CN105955023A - 一种用于快速运动控制系统的模型预测控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于快速运动控制系统的模型预测控制方法，包括以下步骤：(1)建立快速运动离散状态空间模型及其最优目标函数；(2)将步骤(1)中的最优目标函数转换成二次规划问题；(3)通过求解带有Min‑Algebra模型函数的KKT条件来求解步骤(2)中的二次规划问题，得到最优控制量；本发明的模型预测控制方法采用Min‑Algebra型模型预测控制算法，将求解二次规划问题所需的KKT条件整合成Min‑Algebra型目标函数，并通过牛顿法迭代计算可以实现无论计算维度的增加与否，均可以用较低的迭代次数达到快速收敛的目的并得到最优输出，简化程序，提高计算速度。

Description

一种用于快速运动控制系统的模型预测控制方法

技术领域

本发明涉及快速运动控制技术领域，特别涉及一种用于快速运动控制系统的模型预测控制方法。

背景技术

直流随动系统是一种反馈控制系统，它包括位置给定和反馈的检测装置。通过检测装置将它们的差值转换成具有一定精度的相应电量，这就是位置偏差信号。该信号经放大器放大后驱动直流电动机向消除偏差的方向旋转，使被控制机械的实际位移能准确地跟随控制信号而变化。

模型预测控制算法具有能够解决多变量优化问题的优势，所以在传统复杂的流程工业得到了广泛的使用。其主要的处理方法是将原问题转化成二次规划问题进行求解，并且采用Min-Algebra型模型预测控制算法，将求解二次规划问题所需的KKT条件整合成Min-Algebra型目标函数，并通过牛顿法迭代计算可以实现无论计算维度的增加与否(预测时域长度)均可用较低的迭代次数实现快速的收敛并求出最优输出。

例如申请公布号CN 103048927 A的专利文献公开了一种用于精馏系统的模型预测控制方法，步骤如下：建立目标函数；构造状态空间模型；利用子空间方法，构造Hankel矩阵以获得输出变量的子空间函数；根据子空间函数求得目标函数最小化状态下的最优控制率；将最优控制率作用于精馏系统中，获得各回路输入变量和输出变量的方差；通过粒子群优化方法寻找目标函数中权衡矩阵的一次最优值；以一次最优值为初值，利用梯度下降法获得二次最优值，将二次最优值代入目标函数以获得最优化的模型预测控制方法。上述方法通过过程的输入输出数据可以获得过程特性，对权重矩阵进行精确优化的方法，从而将产品质量和控制代价最优化，提升整体的经济效益。

又例如申请公布号CN 103117657 A的专利文献公开了一种基于片上模型预测控制的全桥DC-DC系统的控制方法，包括如下步骤：(1)将非线性的全桥DC-DC系统的对象状态划分为不同的多面体区域，并依据每个多面体区域的控制律，得到每个多面体区域内的最优控制律；(2)将步骤(1)中每个多面体区域的边界约束条件以及最优控制律存储到片上模型预测控制的控制芯片中；(3)依据实际的全桥DC-DC系统的对象状态在控制芯片中查询其所属的多面体区域，并依据该多面体区域内的最优控制律，控制全桥DC-DC系统的反馈控制输入。

但是现有技术的模型预测控制方法计算过程复杂，并不适用于需要快速控制的直流随动系统。

发明内容

本发明提供了一种用于快速运动控制系统的模型预测控制方法，将求解二次规划问题所需的KKT条件整合成Min-Algebra型目标函数，实现无论计算维度的增加与否(预测时域长度)均可用较低的迭代次数实现快速的收敛并求出最优输出，有效简化控制程序，提高控制效率。

一种用于快速运动控制系统的模型预测控制方法，包括以下步骤：

(1)建立快速运动离散状态空间模型及其最优目标函数；

(2)将步骤(1)中的最优目标函数转换成如下的二次规划问题：

$min\{\frac{1}{2}{u}^{\′}Mu+c{\left(k\right)}^{\′}u|Gu\≤b\}$

其中，

x为n维状态向量；

u为nu维控制变量；

b为约束条件；

加权系数Q、R分别为n、nu维对称正定方阵；

P为n阶正定矩阵；

G代表约束条件的系数矩阵，G’代表G矩阵转置；

k为当前时刻，x(k)为当前时刻状态；

$\stackrel{\‾}{Q}=diag(Q,...,Q,P);$

$\stackrel{\‾}{R}=diag(R,...,R);$

A、B是对应的快速运动离散状态空间模型的系数矩阵；

(3)通过求解带有Min-Algebra模型函数的KKT条件来求解步骤(2)中的二次规划问题，得到最优控制量。

常见的快速运动控制系统有直流随动系统，DC-DC变换器，三相鼠笼电机等。

模型预测控制算法具有能够解决多变量优化问题的优势，所以在传统复杂的流程工业得到了广泛的使用。其主要的处理方法是将原问题转化成二次规划问题进行求解，并且采用Min-Algebra型模型预测控制算法，将求解二次规划问题所需的KKT条件整合成Min-Algebra型目标函数，并通过牛顿法迭代计算可以实现无论计算维度的增加与否(预测时域长度)均可用较低的迭代次数实现快速的收敛并求出最优输出。

模型预测控制的一般处理方式是将其转化成二次规划问题，该过程通常描述如下：

对于一个离散时间下的线性状态空间模型：

x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)

其中x表示n维状态向量，u表示nu维控制变量，在直流随动系统中分别表示为偏转角度和输出电压。在此类系统中，直流随动系统除控制器外部分本身具备针对两个电机旋转不同步时机械位移即偏转角度的测量并将其转化为电信号的能力。对应的传递函数为带有积分环节的一阶对象，在本发明中将其转换成状态空间模式即为上述模型，由于目标输出的目的是使偏转角度为0，那么对应状态量(偏转角度)的设定点也就是0，即可知通过上述线性状态空间模型就能得到的最优输出电压u。

模型预测控制问题通常为该模型在有限时域下的一个迭代最优问题。这个最优目标函数通常为如下算式：

$\begin{array}{c}J=\underset{i=0}{\overset{Nc}{\Σ}}\{x{(k+i+1)}^{\′}Qx(k+i+1)+u^{\′}(k+i)Ru(k+i)\}+x(k\\ +Nc{)}^{\′}Px(k+Nc)\end{array}$

其中i表示矩阵向量中的第i个元素加权系数Q，R分别为n，nu维对称正定方阵，终端约束加权系数P为n阶正定矩阵通常可以由如下Riccati方程求解:

$P=A^{\′}PA-K^{\′}\tilde{R}K+Q$

其中

那么在预测时域Nc内，决策变量u(k)＝[u(k+1)′…u(k+Nc)′]′。

相应的不等式约束条件为Gu≤b。

在当前时刻x(k)，我们将上述目标方程展开写成矩阵形式，即为

$\min \{\frac{1}{2}{u}^{\′}Mu+c{\left(k\right)}^{\′}u|Gu\≤b\}$

上式即为模型预测控制求解的核心目标问题——二次规划问题。

在本发明中采用将原问题转化成KKT条件来进行求解的方法，如下算式便是KKT条件:

Mu+c+G′y＝0

$G_i.u<b_i\&DoubleRightArrow;y_i=0$

$b_i=G_i.u\&DoubleRightArrow;y_i\&GreaterEqual;0.$

由于M是正定矩阵，那么最优控制序列u可以表示为：

u＝-M^-1(G′y+c)

与此同时，我们将上面的KKT条件改写为如下形式：

Gu-min(b,Gu+y)＝0

将u的求解算式带入即可得到一个关于y的Min-Algebra函数Φ_min(y)＝0，其中

${\mathrm{\&Phi;}}_{min}\left(y\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}(Dy+d)+min(b,y-(Dy+d\left)\right)$

本发明提出的算法就是针对该Min-Algebra函数进行求解，这里的

优选的，步骤(3)中，将控制变量u表示为：

u＝-M^-1(G′y+c)

并将KKT条件改写为如下形式：

Gu-min(b,Gu+y)＝0

将u的求解算式带入即可得到一个关于y的Min-Algebra函数Φ_min(y)＝0，其中：

${\mathrm{\&Phi;}}_{min}\left(y\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}(Dy+d)+\min (b,y-(Dy+d\left)\right)$

通过求解上式中的y以计算得到最优控制量；

其中：

$D\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}{\mathrm{GM}}^{-1}{G}^{\&prime;};$

$d\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}{\mathrm{GM}}^{-1}c;$

i的含义理解如下，对于模型预测控制每一时刻的状态(这个时刻就是k)都需要进行预测控制，预测步长为NC，那么每一步的预测用i来标号。

由于上式中引入了min函数需要讨论，为便于计算，做如下分类:

这里引入m维对角方阵E，其特点为，如果其某个对角元素位置满足γ＜(y)∪γ＝(y)这个集合对应的条件，那么该位置元素就是1。

令 (含义为集合[1,m]中除去的向量)。那么Φ_min(y)＝H*y+q，其中

优选的，在步骤(3)的求解过程中，引入m维对角方阵E，带有如下特点：如果方阵E的任一对角元素位置满足γ＜(y)∪γ＝(y)这个集合对应的条件，那么该位置元素就是1；

其中，

令

接下来采用牛顿法梯度下降思想对最优解进行搜索，其搜索方向为r，这里的求解思路为H^kr＝-Φ_min(y_k)，这里的H即为目标函数Φ_min(y)的一阶微分结果。将该方程左右两边矩阵展开即为：

继续展开按照如下方程即可简化求解搜索方向r：

r_N＝-y_N

优选的，将得到的公式Φ_min(y)＝H*y+q按照如下方程展开：

其中：

所以整个算法的求解过程为：

给定初始值(可设定为0向量):

1:设定迭代开始时刻k＝0；

2:如果满足||Φ_min(y_k)||≤ε，那么计算终止，当前时刻值即为最优输出；

3:计算下面线性系统方程的解即为牛顿法的搜索方向H^kr＝-Φ_min(y_k)；

4:更新迭代计算的对偶参数值y^k+1＝y^k+r^k并设定k←k+1.返回第二步重新进行计算。

当该算法终止后即可获得最优序列u，取u的第一个值作为系统当前状态的控制量参与整个系统的控制回路。

优选的，步骤(3)中，y的求解步骤如下：

3-1、设定一个初始值；

3-2、如果||Φ_min(y_k)||≤ε条件满足，ε为条件阈值，代表一个接近于0的较小数值，可以取0.0001，则终止计算代入公式u＝-M^-1(G′y+c)进行求解，若不满足，按照算式H^kr＝-Φ_min(y_k)求解搜索方向r，并令y＝y+r，重新判断||Φ_min(y_k)||≤ε，重复直至满足||Φ_min(y_k)||≤ε条件终止，代入公式u＝-M^-1(G′y+c)可找到最优控制序列，并选取第一个值作为当前状态最优控制量参与回路控制。

本发明的快速运动控制系统(以直流随动控制系统为例)的硬件实施过程包括如下步骤：

通过GPIC提供的IO口对电路的输入输出端进行连接，实现电压采集以及A/D D/A转换和伺服电机最优控制电压输出；

结合已经编写好的读写程序利用Labview在电脑端进行预测控制算法的编写；

利用Labview将上述步骤中的时钟触发设置好，保证并行逻辑计算的同步性；

利用Labview在电脑端进行上位机编写，实现模型、控制、时间等参数的录入和相应数据的观测。

将以上步骤完成后的GPIC装置与直流随动系统中的偏转电信号输入输出相连接即可完成整个设计。

优选的，所述的模型预测控制方法以及电路采样输入输出均采用GPIC。采用GPIC作为算法的硬件实现，即可以保证高速高精度的数据采集又可以利用FPGA的CPU进行高速的运算。采用Labview软件在电脑端较为方便的进行上位机离线计算以及FPGA的编程。并且为并行化解雇提供了便捷。利用以太网40M/s的传输速率可以保证实时数据读写，同时GPIC提供了100k/s的数据采集以及A/D转换保证了足够的采样。

本发明的有益效果是：

本发明的模型预测控制方法采用Min-Algebra型模型预测控制算法，将求解二次规划问题所需的KKT条件整合成Min-Algebra型目标函数，并通过牛顿法迭代计算可以实现无论计算维度的增加与否(预测时域长度)，均可以用较低的迭代次数达到快速收敛的目的并得到最优输出，简化程序，提高计算速度。

附图说明

图1为本发明的实验效果示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步说明。

本实施例是将本发明方法应用在直流随动系统中，直流随动系统是一种反馈控制系统，它包括位置给定和反馈的检测装置。通过检测装置将它们的差值转换成具有一定精度的相应电量，这就是位置偏差信号，该信号经放大器放大后驱动直流电动机向消除偏差的方向旋转，使被控制机械的实际位移能准确地跟随控制信号而变化。在该系统中，直流随动系统除控制器外部分采用旋转变压器测角单元、相敏整流器、校正装置和功率放大器将两个电机旋转不同步时机械位移即偏转角度的测量并将其转化为电信号。对应的传递函数为带有积分环节的一阶对象，在本实施例中将其转换成状态空间模式即为下面的模型，由于目标输出的目的是使偏转角度为0，那么对应状态量(偏转角度)的设定点也就是0，即可知通过接下来的线性状态空间模型就能得到的最优输出电压u。

本实施例中，通过仪器参数可以计算两个电机之间输入输出电压以及偏转角差值的传递函数为一个一般的带有积分环节的一阶过程，这里采用采样时间为0.00001秒的离散化方法，将其转化成一个离散时间下的线性状态空间模型：

x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)

其中x表示n维状态向量，u表示nu维控制步长向量，在该系统中分别表示为偏转角度和输出电压，k表示系统运转到某时刻，A、B是系数矩阵，每一种模型对应每一种A、B。

模型预测控制问题通常为该模型在有限时域下的一个迭代最优问题。这个最优目标函数通常为如下算式：

$\begin{array}{c}J=\underset{i=0}{\overset{Nc}{\&Sigma;}}\{x{(k+i+1)}^{\&prime;}Qx(k+i+1)+u^{\&prime;}(k+i)Ru(k+i)\}+x(k\\ +Nc{)}^{\&prime;}Px(k+Nc)\end{array}$

其中加权系数Q，R分别为n，nu维对称正定方阵，(请对i，x进行定义)终端约束加权系数P为n阶正定矩阵，通常可以由如下Riccati方程求解:

$P=A^{\&prime;}PA-K^{\&prime;}\tilde{R}K+Q$

其中

那么在预测时域Nc内，决策变量u(k)＝[u(k+1)′…u(k+Nc)′]′。

相应的不等式约束条件为Gu≤b，本发明采用单侧限制，简化后续的计算，b为约束条件。

在当前时刻x(k)，将上述目标方程展开写成矩阵形式，即为

$\min \{\frac{1}{2}{u}^{\&prime;}Mu+c{\left(k\right)}^{\&prime;}u|Gu\&le;b\}$

其中

上式即为本实施例的模型预测控制求解的二次规划方程，在本实施例中采用将上述问题转化成KKT条件来进行求解，KKT条件如下算式：

Mu+c+G′y＝0

$G_i.u<b_i\&DoubleRightArrow;y_i=0$

$b_i=G_i.u\&DoubleRightArrow;y_i\&GreaterEqual;0$

c即c(k)，由于y是时刻变化的，所以，为了便于标记用c代替c(k)。

由于M是正定矩阵，那么最优控制序列u可以表示为：

u＝-M^-1(G′y+c)

与此同时，我们将上述的KKT条件转换为如下形式：

Gu-min(b,Gu+y)＝0

将u的求解算式带入即可得到一个关于y的Min-Algebra函数Φ_min(y)＝0，其中

${\mathrm{\&Phi;}}_{min}\left(y\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}(Dy+d)+min(b,y-(Dy+d\left)\right)$

对上述Min-Algebra函数进行求解，这里的

由于上式中引入了min函数需要讨论，为便于计算，做如下分类:

这里引入m维对角方阵E，其特点为：如果其某个对角元素位置满足γ＜(y)∪γ＝(y)这个集合对应的条件，那么该位置元素就是1。

令 (含义为集合[1,m]中除去的向量)。那么Φ_min(y)＝H*y+q，其中

接下来采用牛顿法梯度下降思想对最优解进行搜索，其搜索方向为r，求解方程为H^kr＝-Φ_min(y_k)，将该方程左右两边矩阵展开即为：

按照下述方程继续展开即可简化求解搜索方向r：

r_N＝-y_N

所以整个算法的求解过程为：

给定初始值(可设定为0向量):

(1)设定迭代开始时刻k＝0；

(2)如果满足||Φ_min(y_k)||≤ε，那么计算终止，当前时刻值即为最优输出；

(3)计算下面线性系统方程的解即为牛顿法的搜索方向H^kr＝-Φ_min(y_k)；

(4)更新迭代计算的对偶参数值y^k+1＝y^k+r^k并设定k←k+1，返回第二步重新进行计算。

当该算法终止后即可获得最有序列u，取u的第一个值作为系统当前状态的控制量参与整个系统的控制回路。

图1为应用了本实施例方法后的电机组的实际效果示意图，展示了从开机时刻起(两个电机此时同步)人为的给予主动电机外力使得二者指针对应位置不同步，从图中可以看出在连续给出外力干扰时可以较快的对从动电机做出响应以使得两个电机偏转同步(即偏转角度为0)，下面的计时为0.00001秒为单位。可以看出与传统的PID控制以及补偿电路法相比都要快很多，再结合FPGA自身运算特性，使得控制效果达到一个相对出色的水平。

Claims (6)

1.一种用于快速运动控制系统的模型预测控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立快速运动离散状态空间模型及其最优目标函数；

(2)将步骤(1)中的最优目标函数转换成如下的二次规划问题：

$min\{\frac{1}{2}{u}^{\&prime;}Mu+c{\left(k\right)}^{\&prime;}u|Gu\&le;b\}$

其中，

x为n维状态向量；

u为nu维控制变量；

b为约束条件；

加权系数Q、R分别为n、nu维对称正定方阵；

P为n阶正定矩阵；

G代表约束条件的系数矩阵，G’代表G矩阵转置；

k为当前时刻，x(k)为当前时刻状态；

$\stackrel{\&OverBar;}{Q}=diag(Q,...,Q,P);$

$\stackrel{\&OverBar;}{R}=diag(R,...,R);$

A、B是对应的快速运动离散状态空间模型的系数矩阵；

(3)通过求解带有Min-Algebra模型函数的KKT条件来求解步骤(2)中的二次规划问题，得到最优控制量。

2.如权利要求1所述的用于快速运动控制系统的模型预测控制方法，其特征在于，步骤(3)中，将控制变量u表示为：

u＝-M^-1(G′y+c)

并将KKT条件改写为如下形式：

Gu-min(b,Gu+y)＝0

将u的求解算式带入即可得到一个关于y的Min-Algebra函数Φ_min(y)＝0，其中：

${\mathrm{\&Phi;}}_{min}\left(y\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}(Dy+d)+\min (b,y-(Dy+d\left)\right)$

通过求解上式中的y以计算得到最优控制量；

其中：

$D\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}{\mathrm{GM}}^{-1}{G}^{\&prime;};$

$d\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}{\mathrm{GM}}^{-1}c;$

y代表原问题的对偶变量，与u对应，可以视作一个中间变量。

3.如权利要求2所述的用于快速运动控制系统的模型预测控制方法，其特征在于，步骤(3)中，y的求解步骤如下：

3-1、设定一个初始值；

3-2、如果‖Φ_min(y_k)‖≤ε条件满足，ε为条件阈值，则终止计算代入公式u＝-M^-1(G′y+c)进行求解，若不满足，按照算式H^kr＝-Φ_min(y_k)求解搜索方向r，并令y＝y+r，重新判断‖Φ_min(y_k)‖≤ε，重复直至满足‖Φ_min(y_k)‖≤ε条件终止，代入公式u＝-M^-1(G′y+c)可找到最优控制序列，并选取第一个值作为当前状态最优控制量参与回路控制。

4.如权利要求2或3所述的用于快速运动控制系统的模型预测控制方法，其特征在于，在步骤(3)的求解过程中，引入m维对角方阵E，带有如下特点：如果方阵E的任一对角元素位置满足γ＜(y)∪γ＝(y)这个集合对应的条件，那么该位置元素就是1；

其中，

令

5.如权利要求4所述的用于快速运动控制系统的模型预测控制方法，其特征在于，将得到的公式Φ_min（y)＝H*y+q按照如下方程展开：

其中：

6.如权利要求1～5任一权利要求所述的用于快速运动控制系统的模型预测控制方法，其特征在于，所述的模型预测控制方法以及电路采样输入输出均采用GPIC。