CN115047763A - 一种多无人机系统的最小能量控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多无人机系统的最小能量控制方法，涉及直流电动机优化控制领域，该方法包括：基于提升技术将重复运行的多无人机系统转换为时间序列的输入输出矩阵模型，分别设计集中式与分布式点对点迭代学习控制方法。选取M个跟踪时间点作为变量，提出点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架，并基于该框架设计了一种范数优化点对点迭代学习控制与坐标下降法结合的控制算法来解决这个优化问题。通过坐标下降方法改变跟踪时间点的分布从而减少系统能量损耗。

Description

一种多无人机系统的最小能量控制方法

技术领域

本发明涉及直流电动机优化控制领域，尤其是一种多无人机系统的最小能量控制方法。

背景技术

直流电动机是一种将直流电转换为机械能的转动装置，具有变流装置简单、调速性能好、运行性能优良等特点，在工业制造领域中得到广泛的应用。

针对执行重复运动任务的直流电动机，迭代学习控制具有良好的控制性能，迭代学习控制的原理是：使用之前批次的输入输出信息，不断修正当前批次的控制输入，从而在有限的时间能实现对期望轨迹的完全跟踪。然而在很多情况下，往往并不需要跟踪完整的轨迹，只需要在关键点处满足跟踪要求即可，这就是点对点跟踪问题。针对多无人机系统的一致性控制，满足上述点对点迭代学习控制跟踪特点，通过对控制律进行修正，从而保证每个无人机最终的状态相同，即最终实现相同的输出。点对点跟踪问题对于输出的要求不高，会给设计带来潜在优化的可能，比如减少系统能量的损耗。因此，在多无人机系统的点对点跟踪问题中，对最小能量控制方法设计的研究是很有意义的。

发明内容

本发明人针对上述问题及技术需求，提出了一种多无人机系统的最小能量控制方法，在不考虑外界环境的影响，通过前馈设计的集中式范数优化点对点迭代学习控制律更加实用；以跟踪时间点为变量，通过集中式范数优化点对点迭代学习控制与坐标下降方法相结合，在满足跟踪要求的同时，实现最小能量的目的。但是集中式的控制方法会对中央控制器有很大的负担，并且响应速度较慢，于是采用ADMM(Alternating Direction Methodof Multipliers，交替方向乘子算法)实现分布式的控制方法，即分布式范数优化点对点迭代学习控制；以跟踪时间点为变量，通过分布式范数优化点对点迭代学习控制与坐标下降方法相结合，在满足跟踪要求的同时，实现最小能量的目的。

本发明的技术方案如下：

一种多无人机系统的最小能量控制方法，包括如下步骤：

第一步、建立多无人机系统的动态模型：

动态模型采用传递函数表示，描述了单个无人机系统竖直方向的位移z和直流电动机输入电压U_z的转化关系。首先列写系统微分方程组；通过拉氏变换将微分方程组转换为等价的代数方程组，并根据代数方程组画出系统结构图；通过结构图简化，或消去代数方程组的中间变量，获得所需的输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比，即系统的传递函数。建立如式(1)所示的实际物理模型：

其中，s为复数，k_n,ω_n,ζ为根据实验数据所得的常数值，且分别取k_n＝775.3207，ω_n＝4.5994和ζ＝0.7218。

因此，动态模型可以采用式(2)动力学方程表示：

其中，

第二步、构建多无人机系统的离散状态空间方程：

对于式(2)所示的连续系统模型，进行离散化处理，选取满足香农采样定理采样周期T_s，得到第i个(1≤i≤S)无人机系统的离散状态空间方程为：

式中t和k分别代表采样时间和批次，批次过程的运行周期为T；在每个重复过程周期内，对于时间点t∈[0，T]取N个采样点；

和

分别是第i个无人机系统的离散状态空间系统在第k批次t时刻的输入、输出和状态向量，三者具有相同的维度；A_i，B_i，C_i为每个无人机线性离散系统的各个参数矩阵，且满足C_iB_i≠0，并且假设每个无人机系统在每个批次的初始状态一致，令x_i,k(0)＝0；

第三步、建立多无人机系统的提升模型：

针对式(3)形式的线性离散系统，将其离散状态空间方程转换为时间序列的输入输出矩阵模型：

y_i,k＝G_iu_i,k (4)

其中：

u_i,k＝[u_i,k(0)^T,u_i,k(1)^T,...,u_i,k(N-1)^T]^T

y_i,k＝[y_i,k(1)^T,y_i,k(2)^T,...,y_i,k(N)^T]^T

是时间序列上的输入输出传递矩阵；输入输出的内积及相关的诱导范数定义为：

其中，v(τ)为输入Hilbert空间上的向量，权矩阵R和Q为适当维度的实正定矩阵。

定义所有无人机系统的输入、输出向量：

第四步、提出点对点迭代学习控制设计框架：

选取在运行过程中的当前运行批次中的M个跟踪时间点，定义为t_i,i＝1,...,M，跟踪时间点分布定义为Γ：

Γ＝[t₁,t₂,...,t_M]^T∈Θ (9)

其中：

点对点的参考轨迹r^p是从完整的参考轨迹r中提取的，表示为：

r^p＝[r(t₁)^T,r(t₂)^T,...,r(t_M)^T]^T (11)

第i个无人机点对点的输出信号

和跟踪误差

与式(11)有同样的表达式：

为了将一个信号转换为其点对点形式，引入一个转换矩阵

为M行N列的分块矩阵，使得r^p＝Ψr，

当第m个采样时刻t_m为关键跟踪时间点时，转换矩阵第m行的所有N个元素除了n＝t时为单位矩阵(l×l)其余全是零矩阵，Ψ的表达式为：

其中，Ψ_mn为转换矩阵Ψ中的第m行第n列的元素；

基于式(4)，推导出第i个无人机的提升模型为：

其中，

基于式(15)，拓展到多无人机系统的提升模型为：

其中，

定义所有无人机系统的点对点跟踪目标、点对点误差向量分别为：

R^p＝[(r^p)^T,(r^p)^T,...,(r^p)^T]^T (17)

第五步、建立多无人机系统的网络拓扑结构模型：

用图结构

来表示网络拓扑，节点的集合

边的集合

第i个无人机的邻接节点的集合

无人机之间的通信情况用邻接矩阵

表示，其中：

在多无人机系统的网络拓扑结构模型中，只有有限个数的无人机可以直接获取点对点的参考轨迹r^p，其他无人机则通过邻接无人机获取跟踪信息。用对角矩阵P来表示第i无人机能否直接获取点对点的参考轨迹，它的元素p_ii表示为：

第六步、提出点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架：

选择控制能量作为目标代价函数：

最小能量的设计目的是迭代地寻找一个输入信号U_k，相应的输出Y_k，以及一个跟踪时间点分布Γ_k，满足：

其中，Y^*表示准确地经过点对点的参考轨迹R^p，同时U^*，Γ^*是如下问题的优化解：

通过先优化输入信号U，再优化跟踪时间点分布Γ，将优化问题(23)分为两个优化问题：

其中，U^*(Γ)是优化问题(24)的解析解；由于目标代价函数(21)是凸函数，所以可以保证解析解U^*(Γ)是唯一的全局最优解。

第七步、设计多无人机系统的集中式点对点迭代学习最小能量控制算法：

为了满足实际工业问题设计要求，此处考虑了多无人机系统的拓扑通信结构、点对点跟踪误差及控制信号批次间变化，设计如下全局性能指标：

J_k+1(U)＝q₁||LE^p||²+q₂||PE^p||²+q₃||U-U_k||² (26)

其中，

数q₁,q₂,q₃表示权重。通过优化这个性能指标函数(26)，得到分布式的点对点迭代学习控制律为：

其中，

I_MS是维度为MS×MS的单位矩阵。

根据控制律(27)，为了获取稳态控制输入，令k→∞，并且初始的输入信号U₀＝0，则：

为了解决优化问题(24)，引入Language乘子λ，构造Language函数：

令U^*(Γ)为Language函数的全局最优解，则：

将

代入式(30)，则：

当且仅当

不等式(31)成立，并且满足跟踪条件

则有：

由范数优化迭代学习控制律生成的稳态控制输入U_∞就是优化问题(24)的全局最优解U^*(Γ)；

将优化问题(24)的全局最优解表达式(28)代入优化问题(25)，则有：

由于集合Θ在离散系统中是有限的，令初始跟踪时间点分布为Γ₀，所以优化问题(33)通过坐标下降法解决，表达式为：

其中

表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数

更新：

其中

是如下优化问题的解：

基于式(34)生成的序列{h(Γ_j)}，向下收敛到极限h^*；

给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Γ₀以及集合Θ，点对点的参考轨迹R^p，选定权矩阵

和

趋近于零的常数ε>0和δ>0，则集中式点对点迭代学习最小能量控制算法设计包括：

步骤7.1：初始跟踪时间点分布为Γ₀时，执行范数优化迭代学习控制律(27)直到系统收敛，即

记录稳态控制输入U^*(Γ₀)以及初始控制能量

步骤7.2：执行坐标下降法(34)，令j→j+1；

步骤7.3：令跟踪时间点分布Γ＝Γ_j时，执行范数优化迭代学习控制律(27)直到系统收敛，即

记录稳态控制输入U^*(Γ_j)以及相应的控制能量

步骤7.4：重复执行步骤7.2和步骤7.3，直到|h(Γ_j)-h(Γ_j-1)|<δ|h(Γ_j-1)|；

步骤7.5：记录最优跟踪时间点分布Γ^*以及相应的最小能量

第八步、设计多无人机系统的分布式点对点迭代学习控制算法：

利用ADMM实现对多无人机系统的分布式控制，式(26)等价于：

是第i个无人机的局部性能指标，定义为：

其中，

是将第i个无人机和邻接无人机的输入作为局部变量。

比如说

则

ADMM用于优化以下优化问题：

其中，

是局部变量，

表示全局变量，

表示一个将全局变量映射到对应维度全局变量的矩阵，全局变量的组成部分z_i对应于局部变量

的组成部分

对于优化问题(39)，构造增广拉格朗日函数为：

ADMM采用三个步骤通过迭代求解，定义为：

其中，o∈[1,...,S]，

表示局部变量

中u_i出现的次数，

表示含有u_i的局部变量

的编号集合。ADMM的目的就是通过迭代的方法，在第k+1批次优化局部变量

得到控制输入u_i，以迫近于性能指标函数(26)的解析解，即集中式的控制律(27)。

给定线性离散时不变系统，对角矩阵P和拉普拉斯矩阵L，各个无人机的点对点跟踪轨迹r^p，权重参数q₁,q₂,q₃，最大ILC迭代次数k_max，最大ADMM迭代次数υ_max，步长ρ，设置初始ILC迭代次数k＝0，初始ADMM迭代次数υ＝0，初始计数i＝0，则分布式点对点迭代学习控制算法设计包括：

步骤8.1：设置i＝i+1，分别执行优化步骤(41)(42)(43)最小化

直至i＝S；

步骤8.2：设置υ＝υ+1，重复执行步骤8.1，直至υ＝υ_max，从优化局部

变量中提取u_i,k+1；

步骤8.3：设置k＝k+1，重复执行步骤8.2，直至k＝k_max；

步骤8.4：获取每个无人机的最优输入u_i,kmax；

第九步、设计多无人机系统的分布式点对点迭代学习最小能量控制算法：

多无人机系统的最优控制，就是优化性能指标函数(26)，可以直接获取解析解，即集中式控制律(27)。利用ADMM实现分布式控制，优化等价的性能指标函数(39)，通过迭代的方式，迫近集中式的解析解。

在集中式控制中，由范数优化迭代学习控制律生成的稳态控制输入U_∞就是优化问题(24)的全局最优解U^*(Γ)。那么在分布式控制中，改写优化问题(24)和(25)：

其中，

是优化问题(44)的解析解。可以得到，只要经过足够的ADMM迭代次数，则最终分布式迭代学习控制的稳态输入u_i,∞就是优化问题(44)的全局最优解

优化问题(45)同样通过坐标下降法解决，表达式为：

其中

表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数

更新：

其中

是如下优化问题的解：

给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Γ₀以及集合Θ，对角矩阵P和拉普拉斯矩阵L，各个无人机的点对点跟踪轨迹r^p，权重参数q₁,q₂,q₃，最大ILC迭代次数k_max，最大ADMM迭代次数υ_max，步长ρ，设置初始ILC迭代次数k＝0，初始ADMM迭代次数υ＝0，初始计数i＝0，趋近于零的常数ε>0和δ>0，则分布式点对点迭代学习最小能量控制算法设计包括：

步骤9.1：初始跟踪时间点分布为Γ₀时，执行分布式点对点迭代学习控制算法步骤8.1到步骤8.4直到系统收敛，即

记录稳态控制输入

以及初始控制能量

步骤9.2：执行坐标下降法(46)，令j→j+1；

步骤9.3：令跟踪时间点分布Γ＝Γ_j时，执行分布式点对点迭代学习控制算法步骤8.1到步骤8.4直到系统收敛，即

记录稳态控制输入

以及相应的控制能量

步骤9.4：重复执行步骤9.2和步骤9.3，直到|h^*(Γ_j)-h^*(Γ_j-1)|<δ|h^*(Γ_j-1)|；

步骤9.5：记录最优跟踪时间点分布Γ^*以及相应的最小能量

本发明的有益技术效果是：

本申请公开了针对具有重复运动特征和线性化模型的多无人机系统，将该多无人机系统作为被控对象，分别提出集中式与分布式控制方法，并且针对点对点跟踪任务中能量损耗问题，将范数优化点对点迭代学习控制与坐标下降方法相结合，提出了点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架，并在该框架下设计可实现的迭代学习控制算法，通过坐标下降方法改变跟踪时间点的分布从而减少系统能量损耗。

附图说明

图1是本申请提供的多无人机系统的网络拓扑结构模型。

图2是本申请提供的多无人机系统的集中式范数优化点对点最小能量控制方法的流程框图。

图3是本申请提供的多无人机系统局部变量与全局变量之间的映射关系图。

图4是本申请提供的多无人机系统实现分布式控制时的系统框图。

图5是本申请提供的多无人机系统在第1批次时系统的输出曲线图。

图6是本申请提供的多无人机系统在第9批次时系统的输出曲线图。

图7是本申请提供的多无人机系统在第30批次时系统的输出曲线图。

图8是本申请提供的多无人机系统集中式与分布式控制的误差曲线图。

图9是本申请提供的多无人机系统跟踪时间点变化图。

图10是本申请提供的多无人机系统输入能量变化图。

图11是本申请提供的多无人机系统在初始跟踪时间点分布与最终跟踪时间点分布处的实际输入曲线图。

图12是本申请提供的多无人机系统在初始跟踪时间点分布与最终跟踪时间点分布处的实际输出曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

如图1所示，是多无人机系统的网络拓扑结构模型，以四个无人机构成多无人机系统为例说明，箭头表示信息传输方向，从而得到参数如下：

如图2所示，第k批次的控制输入信号为U_k，将其作用于多无人机系统得到第k批次系统的输出信号Y_k。针对点对点跟踪问题，将存储在跟踪时间点分布存储器中第j批次的Γ_j作用于转换模块，通过转换模块将输出信号Y_k转换成其点对点输出信号

之后，将点对点输出信号

与存储在点对点期望轨迹存储器的设定期望值R^p进行比较，得到点对点跟踪误差

若误差精度没有达到所设定的精度，则将点对点跟踪误差

与当前控制器输入U_k传递到范数优化迭代学习控制器生成下一批次的控制器输入U_k+1，如此循环运行直至系统实际输出与期望值之间的误差达到精度要求，则停止ILC迭代，此时的控制器输入即为最优控制输入U^*(Γ_j)。若最优控制输入没有达到所设定的要求|h(Γ_j)-h(Γ_j-1)|<δ|h(Γ_j-1)|，则将最优控制输入U^*(Γ_j)与当前跟踪时间点分布存储器中的Γ_j作用于坐标下降法生成下一批次的跟踪时间点分布Γ_j+1，如此循环运行直至满足精度要求，则停止坐标迭代，此时的跟踪时间点分布存储器中是最优跟踪时间点分布Γ^*，以及相应的最小输入能量

如图3所示，多无人机系统局部变量

与全局变量z_i之间的映射关系图，其中局部性能指标优化函数的形式是图1多无人机系统的网络拓扑结构模型决定。

如图4所示，多无人机系统实现分布式控制时的系统框图，和图1相对应，每个圈表示优化的局部变量，和图3相对应。并且每个无人机具有相同的动力学方程，取传递函数的参数值为k_n＝775.3207，ω_n＝4.5994和ζ＝0.7218。可以得到每个无人机的状态空间表达式为：

系统仿真时间设定为T＝10s，采样时间设定为T_s＝0.1s，则系统的离散状态空间方程的参数矩阵分别为：

C＝[1 0 0].

在多无人机系统运行过程中，需要系统的在竖直方向的位移处于几个关键位置。因此，本例选取5个关键跟踪时间点，点对点期望轨迹设置为：

r^p＝[5 4 -4 -6 3]^T,

初始跟踪时间点分布设置为：

Γ₀＝[5 25 45 65 85]^T。

选取权重参数q₁＝1,q₂＝1,q₃＝8000，并且初始输入u_i,0＝0。本申请的上述集中式范数优化迭代学习控制器基于STM32F103RCT6芯片实现，芯片的输入为电机控制电压U，通过电压传感器采集得到。第k批次的输入信号通过调理电路进入STM32F103RCT6芯片进行存储和计算，第j批次的跟踪时间点分布Γ_j同样存储在芯片中，并构建迭代学习更新律，CPU计算后得到的下一批次输入信号U_k+1，输入信号再经RS232通信模块作用于多无人机系统，不断修正系统输出跟踪轨迹，直到跟踪上关键跟踪时间点。多无人机系统的动态模型(3)运行时，请参考图5-图7，其示出了多无人机系统应用集中式范数优化迭代学习控制律(27)的轨迹跟踪效果图，经过一定批次k后，系统的输出值能准确跟踪上关键跟踪时间点。图8示出多无人机系统集中式与分布式控制的误差曲线图，分布式范数优化迭代学习控制中，ADMM的迭代次数υ影响最终跟踪性能，当υ≥10时，分布式控制产生的误差曲线与集中式控制产生的误差曲线相重合。

将范数优化迭代学习控制结合坐标下降法，实现减小能量损耗的目的，这就是最小能量控制方法。图9和图10分别示出了多无人机系统跟踪时间点变化图与输入能量变化图，跟踪时间点分布存储器中的最优跟踪时间分布为Γ^*＝[21265362100]^T，以及相应的最小输入能量为

图11示出了多无人机系统在初始跟踪时间点分布Γ₀与最终跟踪时间点分布Γ₅₀处的实际输入曲线图，可以直观地看出在最终跟踪时间点分布处的输入能量小于在初始跟踪时间点分布处的输入能量。图12示出了多无人机系统在初始跟踪时间点分布Γ₀与最终跟踪时间点分布Γ₅₀处的实际输出曲线图，系统的输出满足点对点跟踪任务。

以上所述的仅是本申请的优选实施方式，本发明不限于以上实施例。可以理解，本领域技术人员在不脱离本发明的精神和构思的前提下直接导出或联想到的其他改进和变化，均应认为包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种多无人机系统的最小能量控制方法，其特征在于，所述方法包括：

第一步、建立所述多无人机系统的动态模型：

所述动态模型采用传递函数表示，描述了单个无人机系统竖直方向的位移z和直流电动机输入电压U_z的转化关系，建立如式(1)所示的实际物理模型：

其中，s为复数，k_n,ω_n,ζ为根据实验数据所得的常数值；

因此，所述动态模型采用式(2)动力学方程表示：

其中，

第二步、构建所述多无人机系统的离散状态空间方程：

对于式(2)所示的连续系统模型，进行离散化处理，选取满足香农采样定理采样周期T_s，得到第i个(1≤i≤S)无人机系统的离散状态空间方程为：

式中t和k分别代表采样时间和批次，批次过程的运行周期为T；在每个重复过程周期内，对于时间点t∈[0，T]取N个采样点；

和

分别是第i个无人机系统的离散状态空间系统在第k批次t时刻的输入、输出和状态向量，三者具有相同的维度；A_i，B_i，C_i为每个无人机线性离散系统的各个参数矩阵，且满足C_iB_i≠0，并且假设每个无人机系统在每个批次的初始状态一致，令x_i,k(0)＝0；

第三步、建立所述多无人机系统的提升模型：

针对式(3)形式的无人机线性离散系统，将其离散状态空间方程转换为时间序列的输入输出矩阵模型：

y_i,k＝G_iu_i,k (4)

其中：

u_i,k＝[u_i,k(0)^T,u_i,k(1)^T,...,u_i,k(N-1)^T]^T

y_i,k＝[y_i,k(1)^T,y_i,k(2)^T,...,y_i,k(N)^T]^T

是时间序列上的输入输出传递矩阵；输入输出的内积及相关的诱导范数定义为：

其中，v(τ)为输入Hilbert空间上的向量，权矩阵R和Q为适当维度的实正定矩阵；

定义所有无人机系统的输入、输出向量为：

第四步、提出点对点迭代学习控制设计框架：

选取在运行过程中的当前运行批次中的M个跟踪时间点，定义为t_i,i＝1,...,M，跟踪时间点分布定义为Γ：

Γ＝[t₁,t₂,...,t_M]^T∈Θ (9)

其中：

点对点的参考轨迹r^p是从完整的参考轨迹r中提取的，表示为：

r^p＝[r(t₁)^T,r(t₂)^T,...,r(t_M)^T]^T (11)

第i个无人机点对点的输出信号

和跟踪误差

与式(11)有同样的表达式：

为了将一个信号转换为点对点形式，引入一个转换矩阵

为M行N列的分块矩阵，使得r^p＝Ψr，

当第m个采样时刻t_m为关键跟踪时间点时，转换矩阵第m行的所有N个元素除了n＝t时为单位矩阵其余全是零矩阵，Ψ的表达式为：

其中，Ψ_mn为转换矩阵Ψ中的第m行第n列的元素；

基于式(4)，推导出第i个无人机的提升模型为：

其中，

基于式(15)，拓展到所述多无人机系统的提升模型为：

其中，

定义所有无人机系统的点对点跟踪目标、点对点误差向量分别为：

R^p＝[(r^p)^T,(r^p)^T,...,(r^p)^T]^T (17)

第五步、建立所述多无人机系统的网络拓扑结构模型：

用图结构

来表示网络拓扑，节点的集合

边的集合

第i个无人机的邻接节点的集合

无人机之间的通信情况用邻接矩阵

表示，其中：

顶点i的入度定义为

并且拉普拉斯矩阵定义为

其中

在所述多无人机系统的网络拓扑结构模型中，有限个数的无人机直接获取点对点的参考轨迹r^p，其他无人机则通过邻接无人机获取跟踪信息；用对角矩阵P来表示第i无人机能否直接获取点对点的参考轨迹，它的元素p_ii表示为：

第六步、提出点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架：

选择控制能量作为目标代价函数：

其中，常数q₃表示权重；

最小能量的设计目的是迭代地寻找一个输入信号U_k，相应的输出Y_k，以及一个跟踪时间点分布Γ_k，满足：

其中，Y^*表示准确地经过点对点的参考轨迹R^p，同时U^*，Γ^*是如下问题的优化解：

通过先优化输入信号U，再优化跟踪时间点分布Γ，将优化问题(23)分为两个优化问题：

其中，U^*(Γ)是优化问题(24)的解析解；由于目标代价函数(21)是凸函数，所以保证解析解U^*(Γ)是唯一的全局最优解；

第七步、设计所述多无人机系统的集中式点对点迭代学习最小能量控制算法：

考虑所述多无人机系统的拓扑通信结构、点对点跟踪误差及控制信号批次间变化，设计如下全局性能指标：

J_k+1(U)＝q₁||LE^p||²+q₂||PE^p||²+q₃||U-U_k||² (26)

其中，

常数q₁,q₂表示权重；通过优化性能指标函数(26)，得到集中式的点对点迭代学习控制律为：

其中，

I_MS是维度为MS×MS的单位矩阵；

根据控制律(27)，为了获取稳态控制输入，令k→∞，并且初始的输入信号U₀＝0，则：

为了解决优化问题(24)，引入Language乘子λ，构造Language函数：

令U^*(Γ)为所述Language函数的全局最优解，则：

将

代入式(30)，则：

当且仅当

不等式(31)成立，并且满足跟踪条件

则有：

由范数优化迭代学习控制律(27)生成的稳态控制输入U_∞就是优化问题(24)的全局最优解U^*(Γ)；

将优化问题(24)的全局最优解表达式(28)代入优化问题(25)，则有：

由于集合Θ在离散系统中是有限的，令初始跟踪时间点分布为Γ₀，所以优化问题(33)通过坐标下降法解决，表达式为：

其中，

表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数

更新：

其中

是如下优化问题的解：

基于式(34)生成的序列{h(Γ_j)}，向下收敛到极限h^*；

给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Γ₀以及集合Θ，点对点的参考轨迹R^p，选定权矩阵

和

趋近于零的常数ε>0和δ>0，则所述集中式点对点迭代学习最小能量控制算法设计包括：

初始跟踪时间点分布为Γ₀时，执行范数优化迭代学习控制律(27)直到系统收敛，即

记录稳态控制输入U^*(Γ₀)以及初始控制能量

执行坐标下降法(34)，令j→j+1；

令跟踪时间点分布Γ＝Γ_j时，执行范数优化迭代学习控制律(27)直到系统收敛，即

记录稳态控制输入U^*(Γ_j)以及相应的控制能量

重复所述执行坐标下降法(34)，直到|h(Γ_j)-h(Γ_j-1)|<δ|h(Γ_j-1)|；

记录最优跟踪时间点分布Γ^*以及相应的最小能量

第八步、设计所述多无人机系统的分布式点对点迭代学习控制算法：

利用ADMM实现对所述多无人机系统的分布式控制，式(26)等价于：

是第i个无人机的局部性能指标，定义为：

其中，

是将第i个无人机和邻接无人机的输入作为局部变量；

所述ADMM用于优化以下优化问题：

其中，

表示全局变量，

表示一个将全局变量映射到对应维度全局变量的矩阵，全局变量的组成部分z_i对应于局部变量

的组成部分

对于优化问题(39)，构造增广拉格朗日函数为：

所述ADMM采用三个步骤通过迭代求解，定义为：

其中，o∈[1,...,S]，

表示局部变量

中u_i出现的次数，

表示含有u_i的局部变量

的编号集合；所述ADMM的目的是通过迭代的方法，在第k+1批次优化局部变量

得到控制输入u_i，以迫近于性能指标函数(26)的解析解，即集中式的控制律(27)；

给定线性离散时不变系统，对角矩阵P和拉普拉斯矩阵L，各个无人机的点对点跟踪轨迹r^p，权重q₁,q₂,q₃，最大ILC迭代次数k_max，最大ADMM迭代次数υ_max，步长ρ，设置初始ILC迭代次数k＝0，初始ADMM迭代次数υ＝0，初始计数i＝0，则所述分布式点对点迭代学习控制算法设计包括：

设置i＝i+1，分别执行优化步骤(41)(42)(43)最小化

直至i＝S；

设置υ＝υ+1，重复执行所述i＝i+1，直至υ＝υ_max，从优化局部

变量中提取u_i,k+1；

设置k＝k+1，重复执行所述υ＝υ+1，直至k＝k_max；

获取每个无人机的最优输入

第九步、设计所述多无人机系统的分布式点对点迭代学习最小能量控制算法：

所述多无人机系统的最优控制，就是优化性能指标函数(26)，直接获取解析解，即集中式的点对点迭代学习控制律(27)；利用所述ADMM实现分布式控制，优化等价的性能指标函数(39)，通过迭代的方式，迫近集中式的解析解；

在集中式控制中，由范数优化迭代学习控制律生成的稳态控制输入U_∞就是优化问题(24)的全局最优解U^*(Γ)；那么在分布式控制中，改写优化问题(24)和(25)：

其中，

是优化问题(44)的解析解；当经过足够的ADMM迭代次数，则最终分布式迭代学习控制的稳态输入u_i,∞就是优化问题(44)的全局最优解

优化问题(45)同样通过坐标下降法解决，表达式为：

其中

表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数

更新：

其中

是如下优化问题的解：

给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Γ₀以及集合Θ，对角矩阵P和拉普拉斯矩阵L，各个无人机的点对点跟踪轨迹r^p，权重q₁,q₂,q₃，最大ILC迭代次数k_max，最大ADMM迭代次数υ_max，步长ρ，设置初始ILC迭代次数k＝0，初始ADMM迭代次数υ＝0，初始计数i＝0，趋近于零的常数ε>0和δ>0，则所述分布式点对点迭代学习最小能量控制算法设计包括：

初始跟踪时间点分布为Γ₀时，执行第八步中的所述分布式点对点迭代学习控制算法设计的步骤直到系统收敛，即

记录稳态控制输入

以及初始控制能量

执行坐标下降法(46)，令j→j+1；

令跟踪时间点分布Γ＝Γ_j时，执行第八步中的所述分布式点对点迭代学习控制算法设计的步骤直到系统收敛，即

记录稳态控制输入

以及相应的控制能量

重复所述执行坐标下降法(46)，直到|h^*(Γ_j)-h^*(Γ_j-1)|<δ|h^*(Γ_j-1)|；

记录最优跟踪时间点分布Γ^*以及相应的最小能量

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