CN105798704A - 一种机床平面轮廓误差单目测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种机床平面轮廓误差单目测量方法属于计算机视觉测量领域，涉及一种适用于机床平面理想运动轨迹与实际运动轨迹的轮廓误差测量方法。测量方法将单目相机与数控机床集成，先设计带有矩阵排列编码标志点的测量基准，使每两个编码标志点之间的位置关系精确已知，测量时将测量基准与单目相机固定在机床上，利用单目相机采集测量基准运动图像，图像处理时识别、定位每一帧图像中接近图像中心位置的数个编码标志点，利用已知的编码标志点间的位置关系解算机床运动轨迹。该方法解决了机床行程大导致需要测量的平面运动轨迹范围大、任意轨迹测量难的问题，实现机床高速运动平面轮廓误差的大范围、高精度测量,有效地提高了测量精度。

Description

一种机床平面轮廓误差单目测量方法

技术领域

本发明属于计算机视觉测量领域，涉及一种适用于机床平面理想运动轨迹与实际运动轨迹的轮廓误差测量方法。

背景技术

在航空、航天、能源动力、船舶制造等国家重大装备工程的发展中，具有复杂变曲率表面轮廓零件，如汽车、卫星接收电磁波的平面微带天线等被广泛应用。这种零件的形状以及几何轮廓的精度直接影响着装备的工作性能。数控机床为复杂变曲率零件高质、高效加工提供有效手段，但是高进给切削中由于伺服系统滞后引起的动态轮廓误差极大地降低了机床的性能。因此，准确测量机床高进给运动轮廓误差，从而为机床误差补偿提供数据依据对提高机床动态性能以及零件加工质量尤为重要。

西安交通大学陶涛等人发明的专利号为CN201410625285《一种数控机床切削工况下主轴轴心轨迹在线测量方法》发明了一种在被测圆表面周向布置三个位移传感器，切削加工前采集位移及主轴旋转角度信号，采用三点法分离出被测圆表面的轮廓误差测量方法，该方法只能实现平面内圆轨迹轮廓误差测量。深圳市大族激光股份有限公司杨朝辉等人发明的专利号为CN201210569818《高速机床动态误差测量系统》发明了通过在高速图像记录设备中读取高速运动的机床大部件或小部件位于光刻玻璃线板的刻度位置，从而直接求解高速运动机床大、小部件误差，该测量系统仅测量钻头高速旋转过程中的上下方向误差，且测量视场受限于光刻玻璃线板大小。

发明内容

本发明要解决的技术难题是克服现有技术的缺陷，发明一种机床平面轮廓误差单目测量方法，解决机床高速运动平面任意轨迹轮廓误差测量难题。测量方法将单目相机与数控机床集成，采集运动过程中安装在机床工作台上的编码标志点成矩阵排列的测量基准的图像，后经图像处理完成高进给速度下机床平面轮廓误差测量。单目相机垂直于机床工作台安装，机床带动测量基准做平面任意轨迹运动，利用相机采集测量基准序列图像，对图像中心的数个编码标志点识别、定位并求解出机床实际运动轨迹，通过与理想轮廓比较求得机床轮廓误差。

本发明采用的技术方案是一种机床平面轮廓误差单目测量方法，其特征是，测量方法将单目相机1与数控机床集成，先设计带有矩阵排列编码标志点的测量基准2，使每两个编码标志点之间的位置关系精确已知，测量时将测量基准2与单目相机1固定在机床上，单目相机1与测量基准2垂直。利用单目相机1采集测量基准运动图像，图像处理时识别、定位每一帧图像中接近图像中心位置的数个编码标志点，利用已知的编码标志点间的位置关系解算机床运动轨迹，通过与理想轮廓比较求得机床轮廓误差。测量方法的具体步骤如下：

第一步、设计带有矩阵排列编码标志点的测量基准

在玻璃基底上光刻编码标志点形成测量基准2，各标志点之间的位置关系精确已知。测量基准2上的编码标志点是环形编码点，分为非编码区和编码区。非编码区为中心圆5，用于环形编码点的定位，编码区由中心圆周围数个环形带组成，用于识别出该编码标志点的编码值。环形带分为光刻环形带6与非光刻环形带7，各环形带由数个基元构成。编码区由n个基元平均分布，根据基元是否光刻将基元用二进制“1”或“0”表示，根据环形带与基元面积的比值确定环形带所含“1”和“0”的个数，解码时以任意基元为起始点顺时针读取n位二进制数，将此二进制移位循环并转化成十进制，十进制中的最小值为该编码标志点的编码值。

第二步、相机标定

采用张氏标定法结合高精度棋盘格标定板标定单目相机1，空间中一点P在世界坐标系下的坐标(X_W,Y_W,Z_W)^T与其在图像坐标系的坐标(u，v)之间的对应关系如下：

$Z_C\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{f}_x& 0& u_0& 0\\ 0& f_y& v_0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_W\\ Y_W\\ Z_W\\ 1\end{array}\right]=M_1{M}_2\left[\begin{array}{c}{X}_W\\ Y_W\\ Z_W\\ 1\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，f_x＝f/dx，f_y＝f/dy，dx和dy分别为该原点在x轴和y轴方向的物体偏移尺寸，f为焦距，(μ₀,ν₀)是以物理长度为单位的图像坐标系原点在像素单位图像坐标系下的坐标，P在相机坐标系中的坐标是(X_C,Y_C,Z_C)^T，世界坐标系和相机坐标系之间的关系用3×3正交单位旋转矩阵R和三维平移向量t来描述，O＝(0,0,0)^T，M₁是4×4的内参数矩阵，其内部参数f、dx、dy、μ₀和ν₀由相机内部结构决定，M₂由相机相对世界坐标系的位置决定，是相机外参数矩阵。公式(1)就是线性相机模型成像方程，即由内参数f、dx、dy、μ₀和ν₀和外参数R、t确定世界坐标系和以像素为单位图像坐标系的关系。

上面方程是理想状态的线性相机模型，实际投影过程考虑镜头会有畸变，在理想线性模型的基础上融合镜头的径向畸变和切向畸变。畸变方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}^{\′}=u+{\mathrm{\δ}}_u(k_1{\mathrm{\ρ}}^2+k_2{\mathrm{\ρ}}^4+k_3{\mathrm{\ρ}}^6)+(2k_4{\mathrm{\δ}}_u{\mathrm{\δ}}_v+k_5({\mathrm{\ρ}}^2+2{{\mathrm{\δ}}_u}^2\left)\right)\\ v^{\′}=v+{\mathrm{\δ}}_v(k_1{\mathrm{\ρ}}^2+k_2{\mathrm{\ρ}}^4+k_3{\mathrm{\ρ}}^6)+\left(k_4\right({\mathrm{\ρ}}^2+2{{\mathrm{\δ}}_v}^2)+2k_5{\mathrm{\δ}}_u{\mathrm{\δ}}_v)\\ \begin{array}{cc}{\mathrm{\δ}}_u=u^{\′}-u& {\mathrm{\δ}}_v=v^{\′}-v\end{array}\\ \mathrm{\ρ}=\sqrt{{(u-u_0)}^2+{(v-v_0)}^2}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，u′是空间点使用径向畸变和切向畸变修正后的像素横向坐标，v′是空间点使用径向畸变和切向畸变修正后的像素纵向坐标，u是空间点理想像素横向坐标，v是空间点理想像素纵向坐标，δ_u是像素横向偏差，δ_v是像素纵向偏差，ρ是空间点像素坐标与主点之间的距离，k₁、k₂和k₃分别为一阶、二阶和三阶径向畸变系数，k₄和k₅是一阶和二阶切向畸变系数。

经过标定得到相机内部参数f、dx、dy、μ₀、ν₀和外部参数R、t以及畸变参数k₁、k₂、k₃、k₄和k₅。

第三步、编码标志点解码

标定完单目相机1后，将测量基准2固定在机床工作台平面4上，机床带动测量基准2运动，同时利用单目相机1采集测量基准2运动序列图像，选取位于图像中央位置的编码标志点解码。

解码时首先利用圆度准则区分非编码区中心圆5和编码区环形带，圆度准则公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_0\≤S\≤S_1\\ l_0\≤l\≤l_1\\ C_0\≤C\≤1\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中S₀、S₁、l₀、l₁、C₀为设定阈值，初步判断目标对象为中心圆，S为封闭对象的面积，l为封闭对象的周长，C＝(4πS)/(l²)表示圆度，C越接近1，对象越近似于圆形。根据以上圆度准则公式(3)设定阈值，区分编码标志点的非编码区中心圆5和编码区环形带。利用面积准则如下式：

$m_i=ROUND(\frac{A_i}{a},0)---\left(4\right)$

其中，m_i是四舍五入到整数的第i个光刻环形带含有基元的个数，ROUND是四舍五入函数，表示将四舍五入到个位数字，A_i为编码区第i个光刻环形带的面积，a为基元面积，然后将中心圆5的质心分别与每一个光刻环形带的质心连线，计算相邻光刻环形带之间的非光刻环形带的基元的个数，公式为：

其中，q_i是四舍五入到整数的第i个光刻环形带顺时针方向相邻的非光刻环形带含有基元的个数，表示将四舍五入到个位数字，n是选用的环形编码标记点含有基元的个数，θ_i是中心圆质心分别与第i个光刻环形带和其顺时针方向第i+1个光刻环形带质心连线的夹角，M_i是第i个光刻环形带含有基元的个数，M_i+1是第i+1个光刻环形带含有基元的个数。

按顺时针排列的顺序读出该编码标志点的n位二进制数值，循环移位得到n个n位二进制数值，转化成十进制，数值最小的就是该编码标志点的编码值。解码后得到环形编码标志点的编码值以及中心圆5的质心坐标。

第四步、轮廓误差求解

在第一帧图像中选取接近视场中央位置的一个编码标志点，它作为测量基准点，通过解码得到它的编码值A及其在相机坐标系下的坐标(x₁₀,y₁₀)。在拍摄的第i帧图像中，取位于视场中央位置的编码标志点作为测量点，通过解码求出该测量点在相机坐标系中的坐标(x_i,y_i)及编码值B，并解码求出位于测量点右侧距离最近的编码点的坐标(x_i1,y_i1)及编码值C，通过编码值为A、B、C的编码标志点在测量基准2上的位置关系及编码值为B、C的编码标志点在相机坐标系下的坐标，求出编码值为A的编码标志点在拍摄第i帧图像时刻在相机坐标系的坐标，公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{io}-x_i)}^2+{(y_{i0}-y_i)}^2=d^2\\ \tan \mathrm{\α}=\left|\frac{\frac{y_{i0}-y_i}{x_{i0}-x_i}-\frac{y_{i1}-y_i}{x_{i1}-x_i}}{1+\frac{y_{i0}-y_i}{x_{i0}-x_i}\×\frac{y_{i1}-y_i}{x_{i1}-x_i}}\right|\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，(x_io,y_i0)为编码值为A的测量基准点在拍摄第i帧图像时刻的坐标，α为测量基准2上编码值为A、B的编码标记点连线与编码值为B、C的编码标记点连线之间的夹角，d测量基准2上编码值为A的编码标志点和编码值为B的编码标志点之间的距离。由此求出测量基准点在任意时刻的运动轨迹，与机床理论运动轨迹相比就可以求出机床平面轮廓误差。

本发明的有益效果是采用单目相机1与数控机床结合方式，设计了高加工精度的测量基准2，相比于其他测量方法，因利用测量基准2上位置关系已知的光刻编码标志点求解轮廓误差，扩大了机床轮廓误差测量范围。选取位于图像中央位置的编码标记点解码提高测量精度，解决了机床行程大导致需要测量的平面运动轨迹范围大、任意轨迹测量难的问题，实现机床高速运动平面轮廓误差的大范围、高精度测量。在图像处理时的编码标志点位于单目相机1畸变较小的图像中央位置，有效地提高了测量精度。此外采用单目相机1是高速相机，可以实现机床高进给、平面任意运动轨迹的测量。

附图说明

图1为机床平面轮廓误差测量系统。其中，1-单目相机，2-测量基准，3-机床立柱，4-机床工作台平面。

图2为图1中机床平面轮廓误差测量系统中测量基准2局部放大图。其中，5-中心圆，6-光刻环形带，7-非光刻环形带。

图3为测量机床平面轮廓误差的流程图。

具体实施方式

以下结合技术方案和附图详细叙述本发明的具体实施方式。

附图1为机床平面轮廓误差测量系统，其中1为单目相机，2为测量基准，3为机床立柱，4为机床工作台平面。本发明先设计矩阵排列环形编码标志点的测量基准2，将其固定在机床工作台平面4上，通过机床X轴、Y轴联动带动测量基准2运动，单目相机1垂直于机床平面安装在机床立柱3上，标定后采集测量基准2序列图像，对图像中央位置的数个编码标志点识别、定位并求解出机床的实际运动轨迹，通过与理想轨迹比较求得机床轮廓误差。

将设计的测量基准2固定在三轴联动机床工作台平面4上，机床带动测量基准2用5m/min的进给速度XY插补半径为50mm的圆，垂直于机床工作台平面4安装在机床立柱3上的单目相机1在机床运动过程中以80fps帧频拍摄序列图像。单目相机1用的是Eosens25CXP黑白相机，分辨率为5120×5120，帧率是80fps，像元尺寸4.5μm×4.5μm。

第一步、设计带有矩阵排列编码标志点的测量基准

附图2为测量基准的局部放大图，其中,5为中心圆，6为光刻环形带，7为非光刻环形带。测量基准2以高加工精度玻璃板为基底，结合光刻工艺，精度较高，可作为标准板进行后续实验。测量基准玻璃板尺寸为260mm×260mm，环形编码标志点由12个基元组成，中心圆5直径为Φ5mm，环形带内径为Φ9mm，外径为Φ13mm，阵列14×14编码标志点，中心距为16mm。测量基准中每一个编码标志点的编码值都不相同，编码值从左到右，从上到下增加，保证了解码时对已知编码值的编码标志点之间位置关系的精确定位。

第二步、相机标定

采用棋盘格标定板标定。根据单目相机1视场选择100mm×100mm、每一小格尺寸为2mm的玻璃棋盘格标定板。标定时棋盘格标定板尽量布满视场，摆放16个不用位置，采用张氏标定法，根据公式(1)和(2)求出内参数f、dx、dy、μ₀和ν₀，外参数R和t，以及畸变参数k₁、k₂、k₃、k₄和k₅，得到单目相机1成像模型。

第三步、编码标志点解码

在拍摄的第一帧图像上选取最接近图像中央位置的编码标志点为测量基准点，首先根据圆度准则公式(3)，将编码标志点的三个光刻封闭区域分成中心圆5区域，和两个光刻环形带6区域。根据面积准则公式(4)可以算出其中一个光刻环形带6区域由3个基元组成，另一个光刻环形带6区域由2个基元组成，即M₁＝3，M₂＝2。根据质心连线可以得到θ₁＝195°，θ₂＝165°，根据公式(5)， 即两个光刻环形带6之间的非光刻环形带7分别由4个基元和3个基元组成。由此顺时针可以得到12个十二位二进制数字，数值最小的是000011000111，转化成十进制数为199，即为该编码点的编码值。

第四步、轮廓误差求解

取第一帧图像中位于视场中央的编码标志点为测量基准点，解码得到编码值199以及中心圆5质心在相机坐标系下的坐标(x₁₀,y₁₀)，在拍摄的每一帧图像中经过解码求得位于视场中央编码标志点以及位于它右侧距离最近的编码标志点的编码和中心圆5质心在相机坐标系下的坐标，根据公式(6)，求出编码值199的测量基准点在拍摄第i帧图像时刻下的在相机坐标系中的坐标(x_i0,y_i0)，连接每一帧图像拍摄时测量基准点在相机坐标系中的坐标求得该点实际的运动轨迹，与机床理想运动轨迹比较，求出机床平面运动的轮廓误差。

本发明利用单目相机与数控机床集成，设计高加工精度的带有矩阵排列编码标志点的测量基准，扩大单目相机的测量范围，选取接近图像中心的编码标记点识别、定位，减轻单目相机畸变的影响，同时单目相机为高速相机，可采集机床高速运动序列图像，实现机床高速运动平面任意轨迹轮廓误差的大范围、高精度、便捷测量。

Claims (1)

1.一种机床平面轮廓误差单目测量方法，其特征是，测量方法将单目相机(1)与数控机床集成，先设计带有矩阵排列编码标志点的测量基准(2)，使每两个编码标志点之间的位置关系精确已知，测量时将测量基准(2)与单目相机(1)固定在机床上，单目相机(1)与测量基准(2)垂直；利用单目相机(1)采集测量基准运动图像，图像处理时识别、定位每一帧图像中接近图像中心位置的数个编码标志点，利用已知的编码标志点间的位置关系解算机床运动轨迹，通过与理想轮廓比较求得机床轮廓误差；测量方法的具体步骤如下：

第一步、设计带有矩阵排列编码标志点的测量基准

在玻璃基底上光刻编码标志点矩阵形成测量基准(2)，各标志点之间的位置关系精确已知；测量基准(2)上的编码标志点是环形编码点，分为非编码区和编码区；非编码区为中心圆(5)，用于环形编码点的定位，编码区由中心圆周围数个环形带组成，用于识别出该编码标志点的编码值；环形带分为光刻环形带(6)与非光刻环形带(7)，各环形带由数个基元构成；编码区由n个基元平均分布，根据基元是否光刻将基元用二进制“1”或“0”表示，根据环形带与基元面积的比值确定环形带所含“1”和“0”的个数，解码时以任意基元为起始点顺时针读取n位二进制数，将此二进制移位循环并转化成十进制，十进制中的最小值为该编码标志点的编码值；

第二步、相机标定

采用张氏标定法结合高精度棋盘格标定板标定单目相机(1)，空间中一点P在世界坐标系下的坐标(X_W,Y_W,Z_W)^T与其在图像坐标系的坐标(u，v)之间的对应关系如下：

$Z_C\left[\begin{array}{c}u\\ \mathrm{\ν}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{f}_x& 0& u_0& 0\\ 0& f_y& {\mathrm{\ν}}_0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_W\\ Y_W\\ Z_W\\ 1\end{array}\right]=M_1{M}_2\left[\begin{array}{c}{X}_W\\ Y_W\\ Z_W\\ 1\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，f_x＝f/dx，f_y＝f/dy，dx和dy分别为该原点在x轴和y轴方向的物体偏移尺寸，f为焦距，(μ₀,ν₀)是以物理长度为单位的图像坐标系原点在像素单位图像坐标系下的坐标，P在相机坐标系中的坐标是(X_C,Y_C,Z_C)^T，世界坐标系和相机坐标系之间的关系用3×3正交单位旋转矩阵R和三维平移向量t来描述，O＝(0,0,0)^T，M₁是4×4的内参数矩阵，其内部参数f、dx、dy、μ₀和ν₀由相机内部结构决定，M₂由相机相对世界坐标系的位置决定，是相机外参数矩阵；公式(1)就是线性相机模型成像方程，即由内参数f、dx、dy、μ₀和ν₀和外参数R、t确定世界坐标系和以像素为单位图像坐标系的关系；

上面方程是理想状态的线性相机模型，实际投影过程考虑镜头会有畸变，在理想线性模型的基础上融合镜头的径向畸变和切向畸变；畸变方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}^{\′}=u+{\mathrm{\δ}}_u(k_1{\mathrm{\ρ}}^2+k_2{\mathrm{\ρ}}^4+k_3{\mathrm{\ρ}}^6)+(2k_4{\mathrm{\δ}}_u{\mathrm{\δ}}_v+k_5({\mathrm{\ρ}}^2+2{{\mathrm{\δ}}_u}^2\left)\right)\\ v^{\′}=v+{\mathrm{\δ}}_v(k_1{\mathrm{\ρ}}^2+k_2{\mathrm{\ρ}}^4+k_3{\mathrm{\ρ}}^6)+\left(k_4\right({\mathrm{\ρ}}^2+2{{\mathrm{\δ}}_v}^2)+2k_5{\mathrm{\δ}}_u{\mathrm{\δ}}_v)\\ \begin{array}{cc}{\mathrm{\δ}}_u=u^{\′}-u& {\mathrm{\δ}}_v=v^{\′}-v\end{array}\\ \mathrm{\ρ}=\sqrt{{(u-u_0)}^2+{(v-v_0)}^2}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，u′是空间点使用径向畸变和切向畸变修正后的像素横向坐标，v′是空间点使用径向畸变和切向畸变修正后的像素纵向坐标，u是空间点理想像素横向坐标，v是空间点理想像素纵向坐标，δ_u是像素横向偏差，δ_v是像素纵向偏差，ρ是空间点像素坐标与主点之间的距离，k₁、k₂和k₃分别为一阶、二阶和三阶径向畸变系数，k₄和k₅是一阶和二阶切向畸变系数；

经过标定得到相机内部参数f、dx、dy、μ₀、ν₀和外部参数R、t以及畸变参数k₁、k₂、k₃、k₄和k₅；

第三步、编码标志点解码

标定完单目相机(1)后，将测量基准(2)固定在机床工作台平面(4)上，机床带动测量基准(2)运动，同时利用单目相机(1)采集测量基准(2)运动序列图像，选取位于图像中央位置的编码标志点解码；解码时首先利用圆度准则区分非编码区中心圆(5)和编码区环形带，圆度准则公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_0\≤S\≤S_1\\ l_0\≤l\≤l_1\\ C_0\≤C\≤1\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中S₀、S₁、l₀、l₁、C₀为设定阈值，初步判断目标对象为中心圆，S为封闭对象的面积，l为封闭对象的周长，C＝(4πS)/(l²)表示圆度，C越接近1，对象越近似于圆形；根据以上圆度准则公式(3)设定阈值，区分编码标志点的非编码区中心圆(5)和编码区环形带；利用面积准则如下式：

$m_i=ROUND(\frac{A_i}{a},0)---\left(4\right)$

其中，m_i是四舍五入到整数的第i个光刻环形带含有基元的个数，ROUND是四舍五入函数，表示将四舍五入到个位数字，A_i为编码区第i个光刻环形带的面积，a为基元面积，然后将中心圆(5)的质心分别与每一个光刻环形带的质心连线，计算相邻光刻环形带之间的非光刻环形带的基元的个数，公式为：

其中，q_i是四舍五入到整数的第i个光刻环形带顺时针方向相邻的非光刻环形带含有基元的个数，表示将四舍五入到个位数字，n是选用的环形编码标记点含有基元的个数，θ_i是中心圆质心分别与第i个光刻环形带和其顺时针方向第i+1个光刻环形带质心连线的夹角，M_i是第i个光刻环形带含有基元的个数，M_i+1是第i+1个光刻环形带含有基元的个数；按顺时针排列的顺序读出该编码标志点的n位二进制数值，循环移位得到n个n位二进制数值，转化成十进制，数值最小的就是该编码标志点的编码值；解码后得到环形编码标志点的编码值以及中心圆(5)的质心坐标；

第四步、轮廓误差求解

在第一帧图像中选取接近视场中央位置的一个编码标志点，它作为测量基准点，通过解码得到它的编码值A及其在相机坐标系下的坐标(x₁₀,y₁₀)；在拍摄的第i帧图像中，取位于视场中央位置的编码标志点作为测量点，通过解码求出该测量点在相机坐标系中的坐标(x_i,y_i)及编码值B，并解码求出位于测量点右侧距离最近的编码点的坐标(x_i1,y_i1)及编码值C，通过编码值为A、B、C的编码标志点在测量基准(2)上的位置关系及编码值为B、C的编码标志点在相机坐标系下的坐标，求出编码值为A的编码标志点在拍摄第i帧图像时刻在相机坐标系的坐标，公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{io}-x_i)}^2+{(y_{i0}-y_i)}^2=d^2\\ tan\mathrm{\α}=\left|\frac{\frac{y_{i0}-y_i}{x_{i0}-x_i}-\frac{y_{i1}-y_i}{x_{i1}-x_i}}{1+\frac{y_{i0}-y_i}{x_{i0}-x_i}\×\frac{y_{i1}-y_i}{x_{i1}-x_i}}\right|\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，(x_io,y_i0)为编码值为A的测量基准点在拍摄第i帧图像时刻的坐标，α为测量基准(2)上编码值为A、B的编码标记点连线与编码值为B、C的编码标记点连线之间的夹角，d为测量基准(2)上编码值为A的编码标志点和编码值为B的编码标志点之间的距离；由此求出测量基准点在任意时刻的运动轨迹，与机床理论运动轨迹相比求出机床平面轮廓误差。