CN105738891A - 一种机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法。在对目标进行跟踪的过程中，分别将俯仰角误差和方位角误差作为观测值进行实时测量曲线拐点的检测，当出现检拐点时，数字环路滤波器使用较小的环路等效噪声带宽对目标进行跟踪。本发明加快了角度跟踪环路角度误差收敛速度，降低了拐点处的滤波扰动，保持了跟踪的连续性。

Description

一种机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法

技术领域

本发明属于机载数字阵列雷达目标跟踪领域，具体涉及一种机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法。

背景技术

1961年，R.E.Kalman提出卡尔曼滤波算法后，学者们针对机载数字阵列雷达对机动目标的角度跟踪提出了大量基于卡尔曼滤波的算法。卡尔曼滤波包括状态方程与观测方程，其中状态方程中的状态转移矩阵是对跟踪目标运动特性的建模，也是决定能否精确跟踪目标的关键。一般情况下，由于无法预知目标的运动模型，采用卡尔曼滤波跟踪算法的机载数字阵列雷达在跟踪初始阶段，无法快速达到收敛状态，而且跟踪精度有限，有时甚至会出现滤波发散情况。另一方面，进入到目标跟踪末段，即机载数字阵列雷达与目标接近时，从数字阵列雷达上看到的目标角度位置变化加快，传统的基于卡尔曼滤波的角度跟踪算法中状态转移矩阵所描述的目标运动特性与目标真实的运动轨迹模型间的差别加剧，无法保证跟踪精度，甚至无法完成对目标的跟踪任务。

发明内容

本发明的目的在于提供一种机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法，加快了角度跟踪环路角度误差收敛速度，降低了拐点处的滤波扰动，保持了跟踪的连续性。

为了解决上述技术问题，本发明提出一种机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法，在对目标进行跟踪的过程中，分别将俯仰角误差和方位角误差作为观测值进行实时测量曲线拐点的检测，当出现检拐点时，数字环路滤波器使用较小的环路等效噪声带宽对目标进行跟踪。具体步骤如下：

第一步，建立机载数字阵列雷达和弱机动目标运动场景模型，用于仿真机载数字阵列雷达和弱机动目标的运动轨迹，为角度跟踪环路提供实验场景；

第二步，建立数字阵列的回波信号模型，用于模拟角度跟踪环路中数字波束形成所需要的回波数据，然后对雷达天线阵面接受到的数字阵列雷达的各路子阵回波信号进行下变频、数模转换、FIR滤波以及CIC抽取等处理后获得窄带回波数据；

第三步，进行接收数字阵列的数字波束形成，获得窄带的和波束、俯仰维差波束以及方位维差波束。即对第二步获得的窄带回波数据分别加和波束权重、俯仰维差波束权重、方位维差波束权重获得和波束、俯仰维差波束以及方位维差波束；

第四步，进行和差比幅单脉冲测角，得到机载数字阵列雷达的俯仰角误差和方位角误差。即取俯仰维差波束与和波束比值的实部获得俯仰维的误差电平，取方位维差波束与和波束比值的实部获得方位维的误差电平，取俯仰维误差电平与俯仰维单脉冲比斜率的比值获得俯仰角误差，取方位维误差电平与方位维单脉冲比斜率的比值获得方位角误差；

第五步，分别将俯仰角误差和方位角误差作为观测值进行实时测量曲线拐点的检测，判断是否出拐点，在没有出现拐点时，不改变设定的常规环路等效噪声带宽，在出现拐点的时刻，将数字环路滤波器的环路等效噪声带宽改为较小值。正常情况下，环路等效噪声带宽B_L一般设定为80Hz,在没有拐点出现时，使用正常情况下的环路等效噪声带宽B_L，当出现拐点时，则将环路等效噪声带宽B_L调小，一般调小到40Hz，不在拐点时，仍然使用正常情况下，环路等效噪声带宽B_L。

进一步，在第五步中，使用基于弯曲度的实时检测曲线拐点的方法判断是否出拐点，包括以下步骤：

第一步，在待测量的测量曲线上选取三个点，其中一个点为当前点，另外两个点是以当前点为基础向前取得的两个点；

第二步，对选取的三个点的坐标值进行预处理；

第三步，计算选取的三个点的坐标对应的弯曲度；

第四步，如果弯曲度值大于邻域半径，则判断当前点所在位置为测量曲线的拐点。

本发明与现有技术相比，其显著优点在于，(1)首次将广泛用于探测通信以及信号检测中的环路滤波器引入了雷达角度跟踪环路设计中，保证了跟踪环路能够收敛；(2)从机动目标的运动轨迹考虑，在出现拐点的位置使用基于弯曲度的拐点检测算法，用较小的环路等效噪声带宽控制跟踪精度；(3)考虑目标角度曲线的拐点位置与其稳定运动时的不同特性，在目标运动稳定段使用较大的环路等效噪声带宽，快速收敛，在目标角度出现拐点位置使用较小的环路等效噪声带宽，逼近了拐点位置目标的运动特性，控制精度，减轻了机载数字阵列雷达跟踪弱机动目标时目标在拐点处发生的滤波扰动。

附图说明

图1是基于弯曲度的实时检测曲线拐点的方法流程示意图。

图2是基于弯曲度的实时检测曲线拐点的方法在角度跟踪环路中应用的流程示意图。

图3是机载数字阵列雷达与目标运动场景示意图。

图4是仿真场景中机载数字阵列雷达观测到的目标俯仰角与方位角变化曲线。

图5是使用基于弯曲度的实时检测曲线拐点的方法的角度跟踪环路与卡尔曼滤波角度跟踪算法的性能比较图，其中，(a)为俯仰角跟踪误差比较，(b)为方位角跟踪误差比较。

图6是使用基于弯曲度的实时检测曲线拐点的方法的角度跟踪环路与恒定环路滤波系数的角度跟踪环路的性能比较图，其中，(a)为俯仰角跟踪误差比较，(b)为方位角跟踪误差比较。

具体实施方式

结合图2，本发明机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法，包括以下步骤：

第一步、机载数字阵列雷达与目标运动场景建模

设在大地坐标系中，系统0时刻时的机载数字阵列雷达的横坐标M_x＝4000，纵坐标M_y＝5000，竖坐标M_z＝10000，目标横坐标T_x＝7939.6，纵坐标T_y＝9768.1，竖坐标T_z＝14978.7，单位为m，相对位置如图3和图4所示。以0时刻目标的位置作为坐标系原点o'，机载数字阵列雷达指向目标作为x'轴正方向，在x'y'z'坐标系下(o'z'轴位于包含有o'x'的铅垂面内且o'x'到o'z'为顺时针方向，o'y'轴与其构成右手坐标系)，目标沿着x'轴负方向，在x'o'y'，x'o'z'平面内分别做正弦运动。机载数字阵列雷达沿着o'x'正向匀速运动。将任一时刻数字阵列雷达与目标的连线平移到x'y'z'坐标系下(数字阵列雷达位置与o'重合)，采用传统的极坐标定义俯仰角与方位角，得到数字阵列雷达处观测到的俯仰角和方位角变化曲线。

在数字阵列雷达跟踪目标的这段时间内，目标的俯仰角与方位角变化缓慢且变化范围较小，可认为其弱机动。在系统时间t＝0.1353s时，转入对目标跟踪阶段，此时数字阵列雷达与弱机动目标之间的斜距7632m，俯仰角为89.185°，方位角为0.420°，子阵级信噪比为-8.8dB。数字阵列雷达连续发射脉冲信号，每个CPI的持续时间为0.011s，不考虑数字信号处理时间。系统时间t＝2.5433s时，跟踪阶段结束，此时子阵级信噪比为6.3dB。

第二步，数字阵列雷达回波信号建模

在机载数字阵列雷达前端，当天线阵上的阵元收到回波信号后，通过子阵转换矩阵将每个子阵内相应阵元接收到的信号进行合成，得到子阵级的回波信号。子阵级的回波信号包括阵元级的回波信号和接收机噪声信号。

(1)阵元级的回波信号s(t)的模型如式(1)所示：

$s\left(t\right)K_a\left(t\right)\·\underset{m=0}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{Rect}\left(\frac{r-m{T}_r-T_m\mathrm{\τ}\left(t\right)}{T_p}\right)\·\cos (2\mathrm{\π}(f_0+f_d+f_d\left(t\right))t-\frac{4\mathrm{\πR}\left(t\right)}{\mathrm{\λ}}+{\mathrm{\ψ}}_r)---\left(1\right)$

式(1)中，m表示脉冲个数，t为时间，λ为雷达工作波长，K_a(t)为数字阵列雷达的增益，其如式(2)所示：

$K_a\left(t\right)=\sqrt{P_r}={\left[\frac{P_t\·F_t\·F_r\·{\mathrm{\λ}}^2\·\mathrm{\σ}\·C_b}{{\left(4\mathrm{\π}\right)}^3{R}^4\left(t\right)\·L_s}\right]}^{\frac{1}{2}}={\left[\frac{P_t\·F_t\·F_r\·{\mathrm{\λ}}^2\·\mathrm{\σ}\·C_b}{{\left(4\mathrm{\π}\right)}^3{L}_s}\right]}^{\frac{1}{2}}\·\frac{1}{R^2\left(t\right)}---\left(2\right)$

式(2)中，F_t为发射方向图沿数字阵列雷达与弱机动目标之间连线方向的增益，F_r为接收增益；σ为目标RCS值(雷达散射截面积)；C_b为大气衰减因子；L_s为损失因子；式(1)中的其它变量为：

$\mathrm{Rect}\left(\frac{t}{T_p}\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& 0\&le;t<T_p\\ 0& \mathrm{others}\end{array}\right.;$

R₀为脉冲发射初始时刻的斜距，v为相对径向速度；

为径向多普勒频率；

R(t)＝R₀-vt为每个采样时刻对应的斜距；

T_r为发射波形的脉冲重复频率，T_p为脉冲宽度，f₀为中频载频，ψ_r为回波信号初相。

(2)接收机噪声信号模型：

对于噪声信号，假定在每个阵元后端的接收机处引入，噪声带宽与接收机带宽相等，为40MHz，噪声系数为5dB。用高斯白噪声通过带限滤波器，来模拟子阵级的噪声信号。

(3)子阵接收信号模型：

子阵上接收到的信号包括两个部分，一个是子阵内每个阵元上的目标回波信号，另一部分是子阵内包含的所有接收机的噪声。设每个子阵包含的阵元数为N，第i个子阵接收信号为S_i(t)，子阵内第j个阵元上的目标回波信号为s_i,j(t)，其后端接收机中引入的噪声为n_i,j(k)，对应当前波束指向下的方向性矢量为A_i,j(θ,φ)，则子阵接收信号的模型如式(3)所示：

$S_i\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_{i,j}(\mathrm{\&theta;},\mathrm{\&phi;})\&CenterDot;s_{i,j}\left(t\right)+n_{i,j}\left(t\right)---\left(3\right)$

对子阵上接收到的信号S_i(t)进行下变频、数模转换、FIR滤波以及CIC抽取后，得到用于角度跟踪环路信号处理所需窄带回波数据。

第三步，接收数字阵列的数字波束形成

数字阵列雷达中采用的数字波束形成(DBF)技术也被称为软件相控阵技术，通过对不同通道的输入信号进行相应的加权，就可以得到和差波束，数字波束形成处理的数学模型如式(4)所示：

$B_b=\underset{q=0}{\overset{N_q-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{D}_q{W}_q{S}_b{C}_q---\left(4\right)$

式(4)中，D_q为第q个通道来的输入复信号；W_q为加权系数；S_b为波束指向参数；C_q为通道校准系数；B_b为数字波束形成后的各波束数据；N_q为阵元个数。

计算静态权重并对窄带信号进行加权，形成和波束、俯仰维差波束以及方位维差波束。和波束、俯仰维差波束、方位维差波束的权重系数如式(5)，(6)，(7)所示：

$W_{\mathrm{\&Sigma;}}=e^{j\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}(\mathrm{ux}+\mathrm{uy})}---\left(5\right)$

$W_e=j\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}x\&CenterDot;e^{j\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}(\mathrm{ux}+\mathrm{uy})}---\left(6\right)$

$W_a=j\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}y\&CenterDot;e^{j\frac{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;}}(\mathrm{ux}+\mathrm{uy})}---\left(7\right)$

式(5)，(6)，(7)中：λ为雷达工作波长；为俯仰维的方向余弦，为俯仰维的方向余弦，θ为俯仰角；为方位角；x,y为每个阵元的位置，通常为阵元在阵面坐标系中的坐标。

第四步，进行和差比幅单脉冲测角，得到机载数字阵列雷达的俯仰角误差和方位角误差。

第五步，得到单脉冲测角的角度误差后，将角度误差，包括方位角误差和俯仰角误差，分别按快拍依次送入带有基于弯曲度的实时检测曲线拐点的方法的数字环路滤波器中，并将此数字环路滤波器最后一次传出的角度滤波值作为本次CPI(相关处理间隔)角度跟踪环路的输出，以此来控制下个CPI天线阵面的波束指向以及DBF所需的期望信号角度，实现闭环。配置完成后，调整天线阵面的视角方向，发射、接收下个CPI的信号(每个阵元天线收发共用)，按之前的处理流程得到本次的角度滤波值，如此循环，直至结束跟踪阶段。

结合图1，在在第五步中，使用基于弯曲度的实时检测曲线拐点的方法判断是否出拐点，具体过程为：

5.1在待测量的测量曲线上选取三个点P_n-2r、P_n-r、P_n，其中，P_n为当前点，P_n-2r、P_n-r是以当前点P_n为基础向前取得的两个点，点P_n-2r、P_n-r、P_n的坐标如公式(8)所示，

P_n-2r＝[n-2r,θ_n-2r],P_n-r＝[n-r,θ_n-r],P_n＝[n,θ_n](8)

公式(8)中，r为邻域半径，经验值为r＝2；θ_n为本次测量值，且n＞2r,n∈N⁺，N⁺为正整数；三个点的坐标中，纵坐标为测量值，P_n-2r、P_n-r的纵坐标θ_n-2r和θ_n-r分别为按邻域半径r在本次测量值θ_n的基础上往前取值获得；三个点的坐标中，横坐标为该点测量值对应的编号，测量值θ_n-2r和θ_n-r对应的编号分别为n-2r和n-r。

5.2对选取的三个点的坐标值进行预处理，预处理包括第一次预处理和第二次预处理。

第一次预处理中，设参数L＝min{θ_n-2r,θ_n-r,θ_n}，如式(9)进行第一次预处理，设第一次预处理后三个点的坐标分别为P'_n-2r、P'_n-r、P'_n，

P'_n-2r＝[n-2r,θ_n-2r-L]，P'_n-r＝[n-r,θ_n-r-L]，P'_n＝[n,θ_n-L](9)

第二次预处理中，设参数M＝max{θ_n-2r-L,θ_n-r-L,θ_n-L}，如式(10)进行第二次预处理，获得最终用于计算弯曲度的三个点的坐标P″_n-2r、P″_n-r、P″_n：

${P^{\&prime;\&prime;}}_{n-2r}=[n-2r,\frac{({\mathrm{\&theta;}}_{n-2r}-L)}{M}\&CenterDot;2r],{P^{\&prime;\&prime;}}_{n-r}=[n-r,\frac{({\mathrm{\&theta;}}_{n-r}-L)}{M}\&CenterDot;2r],{P^{\&prime;\&prime;}}_n=[n,\frac{({\mathrm{\&theta;}}_n-L)}{M}\&CenterDot;2r]---\left(10\right)$

5.3计算选取的三个点的坐标对应的弯曲度计算方法如式(11)所示：

$C_n^1=\mathrm{sgn}(\mathrm{out}({P^{\&prime;\&prime;}}_{n-2r}{P^{\&prime;\&prime;}}_{n-r},{P^{\&prime;\&prime;}}_n{P^{\&prime;\&prime;}}_{n-r}\left)\right)\&times;d_n---\left(11\right)$

式(11)中：out(P″_n-2rP″_n-r,P″_nP″_n-r)表示向量P″_n-2rP″_n-r和P″_nP″_n-r的外积；d_n为点P″_n-r到直线P″_n-2rP^″ _n的欧式距离，d_n的计算方式如式(12)所示：

$\begin{array}{c}{d}_n=\frac{|(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_n-L}{M}\&CenterDot;2r-\frac{{\mathrm{\&theta;}}_{n-2r}-L}{M}\&CenterDot;2r)\&CenterDot;(n-r)-2r\&CenterDot;\frac{{\mathrm{\&theta;}}_{n-r}-L}{M}\&CenterDot;2r+n\&CenterDot;\frac{{\mathrm{\&theta;}}_{n-2r}-L}{M}\&CenterDot;2r-(n-2r)\&CenterDot;\frac{{\mathrm{\&theta;}}_n-L}{M}\&CenterDot;2r|}{\sqrt{{\left(2r\right)}^2+{(\frac{{\mathrm{\&theta;}}_n-L}{M}\&CenterDot;2r-\frac{{\mathrm{\&theta;}}_{n-2r}-L}{M}\&CenterDot;2r)}^2}}\\ =\frac{|{\mathrm{\&theta;}}_n+{\mathrm{\&theta;}}_{n-2r}-2{\mathrm{\&theta;}}_{n-r}|}{\sqrt{M^2+{({\mathrm{\&theta;}}_n-{\mathrm{\&theta;}}_{n-2r})}^2}}\&CenterDot;r\end{array}---\left(12\right)$

5.4根据弯曲度判断拐点位置。具体判断方式为：

如果弯曲度值大于邻域半径，即成立，则当前点P_n所在位置即为测量曲线的拐点；若弯曲度值不大于邻域半径，即成立，则当前点P_n所在位置不是测量曲线的拐点。

本发明将俯仰角与方位角的跟踪环路的跟踪误差作为角度跟踪环路性能的评判标准。定义俯仰角与方位角的跟踪环路的跟踪误差为：用第k个CPI的角度滤波值与第k+1个CPI角度的真实值的差值作为第k个CPI的角度跟踪误差，即：

${\mathrm{\&theta;}}_k^{\mathrm{error}}={\mathrm{\&theta;}}_k^{\mathrm{LF}}-{\mathrm{\&theta;}}_{k+1}^{\mathrm{true}}$

在机载数字阵列雷达与弱机动目标运动场景中，将基于弯曲度拐点检测的角度跟踪环路滤波器分别与采用卡尔曼滤波跟踪算法的角度跟踪环路、恒定环路滤波系数的角度跟踪环路作对比，得到了如图5和图6所示的环路跟踪性能，使用了弯曲度拐点检测方法的角度跟踪环路滤波器加快了角度跟踪环路角度误差收敛速度，降低了拐点处的滤波扰动，保持了跟踪的连续性。

Claims (7)

1.一种机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法，其特征在于，在对目标进行跟踪的过程中，分别将俯仰角误差和方位角误差作为观测值进行实时测量曲线拐点的检测，当出现检拐点时，数字环路滤波器使用较小的环路等效噪声带宽对目标进行跟踪。

2.如权利要求1所述机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法，其特征在于，包括以下步骤：

2.1建立机载数字阵列雷达和弱机动目标运动场景模型，用于仿真机载数字阵列雷达和弱机动目标的运动轨迹，为角度跟踪环路提供实验场景；

2.2建立数字阵列的回波信号模型，用于模拟角度跟踪环路中数字波束形成所需要的回波数据，然后对雷达天线阵面接受到的数字阵列雷达的各路子阵回波信号进行下变频、数模转换、FIR滤波以及CIC抽取处理后获得窄带回波数据；

2.3进行接收数字阵列的数字波束形成，获得窄带的和波束、俯仰维差波束以及方位维差波束；

2.4进行和差比幅单脉冲测角，得到机载数字阵列雷达的俯仰角误差和方位角误差；

2.5分别将俯仰角误差和方位角误差作为观测值进行实时测量曲线拐点的检测，判断是否出拐点，在没有出现拐点时，不改变设定的常规环路等效噪声带宽，在出现拐点的时刻，将数字环路滤波器的环路等效噪声带宽改为较小值。

3.如权利要求2所述机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法，其特征在于，步骤2.5中，在没有拐点出现时，环路等效噪声带宽为80Hz，当出现拐点时，环路等效噪声带宽调整为40Hz。

4.如权利要求2所述机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法，其特征在于，步骤2.5中，判断是否出拐点的方法为：

4.1在待测量的测量曲线上选取三个点，其中一个点为当前点，另外两个点是以当前点为基础向前取得的两个点；

4.2对选取的三个点的坐标值进行预处理；

4.3计算选取的三个点的坐标对应的弯曲度；

4.4如果弯曲度值大于邻域半径，则判断当前点所在位置为测量曲线的拐点。

5.如权利要求4所述机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法，其特征在于，步骤4.1中，令当前点为P_n，另外两个点为P_n-2r、P_n-r，三个点P_n-2r、P_n-r、P_n的坐标如公式(1)所示，

P_n-2r＝[n-2r,q_n-2r],P_n-r＝[n-r,q_n-r],P_n＝[n,q_n](1)

公式(1)中，r为邻域半径；q_n为本次测量值，且n＞2r,n∈N⁺，N⁺为正整数。

6.如权利要求4所述机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法，其特征在于，步骤4.2中，预处理包括第一次预处理和第二次预处理；

第一次预处理的方法如式(2)所示，

P'_n-2r＝[n-2r,q_n-2r-L]，P'_n-r＝[n-r,q_n-r-L]，P'_n＝[n,q_n-L](2)

式(2)中，P'_n-2r、P'_n-r、P'_n分别为第一次预处理后三个点对应的坐标，参数L＝min{q_n-2r,q_n-r,q_n}，

第二次预处理的方法如式(3)所示，

${P^{\&prime;\&prime;}}_{n-2r}=[n-2r,\frac{({\mathrm{\&theta;}}_{n-2r}-L)}{M}\&CenterDot;2r],{P^{\&prime;\&prime;}}_{n-r}=[n-r,\frac{({\mathrm{\&theta;}}_{n-r}-l)}{M}\&CenterDot;2r],{P^{\&prime;\&prime;}}_n=[n,\frac{({\mathrm{\&theta;}}_n-L)}{M}\&CenterDot;2r]---\left(3\right)$

式(3)中，P″_n-2r、P″_n-r、P″_n分别为第二次预处理后三个点对应的坐标，参数M＝max{q_n-2r-L,q_n-r-L,q_n-L}。

7.如权利要求4所述机载数字阵列雷达对弱机动目标角度进行跟踪的方法，其特征在于，步骤4.3中，弯曲度的计算方法如式(4)所示：

$C_n^1=\mathrm{sgn}\left(\mathrm{out}({P^{\&prime;\&prime;}}_{n-2r}{P^{\&prime;\&prime;}}_{n-r},{P^{\&prime;\&prime;}}_n{P^{\&prime;\&prime;}}_{n-r})\right)\&times;d_n---\left(4\right)$

式(4)中：out(P″_n-2rP″_n-r,P″_nP″_n-r)表示向量P″_n-2rP″_n-r和P″_nP″_n-r的外积；d_n为点P″_n-r到直线P″_n-2rP″_n的欧式距离，_dn的计算方式如式(5)所示：

$d_n=\frac{|{\mathrm{\&theta;}}_n+{\mathrm{\&theta;}}_{n-2r}-2{\mathrm{\&theta;}}_{n-r}|}{\sqrt{M^2+{({\mathrm{\&theta;}}_n-{\mathrm{\&theta;}}_{n-2r})}^2}}\&CenterDot;r---\left(5\right).$