CN105676852A - 小型无人直升机无动力学模型结构自适应姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于小型单旋翼无人直升机飞行控制研究领域，避免设计控制器时对系统模型的严重依赖以及未建模动态下的鲁棒性分析问题，设计一种新型的无模型结构自适应滑模控制器，具有准滑模模态和输入有界等稳定性特征，设计的控制器仅仅需要系统的输入输出数据可实现无人直升机的姿态控制。为此，本发明采用的技术方案是，无人直升机姿态无模型结构自适应滑模控制方法，对于俯仰和滚转通道采用多输入多输出系统分析，偏航通道采用单输入单输出系统分析；具体步骤如下：一、俯仰和滚转通道多输入多系统分析二、偏航通道单输入单输出系统分析三、控制器设计与稳定性分析。本发明主要应用于小型单旋翼无人直升机飞行控制研究场合。

Description

小型无人直升机无动力学模型结构自适应姿态控制方法

技术领域

本发明属于小型单旋翼无人直升机飞行控制研究领域。具体讲，涉及无人直升机姿态无模型结构自适应滑模控制方法。

背景技术

小型无人直升机是不需要人驾驶、能够完成自主飞行任务的特殊飞行器。此类飞行器具有垂直起降、低空飞行等诸多特点，在各个领域得到了广泛的应用。同时，由于无人直升机具有强耦合、复杂的动力学特性、非线性等特点，使得对无人直升机的动力学分析和控制设计较困难。

近年来，无人直升机的飞行控制受到了国内外学者的广泛关注。线性控制如：LQR(线性调节控制:LinearQuadraticRegulator)(会议：ProceedingsoftheIEEEInternationalConferenceonAutomationandLogistics；著者：GuoweiCai,AlvinK.Cai,BenM.Chen,TongH.Lee；出版年月：2008年；文章题目：Construction,modelingandcontrolofaminiautonomousUAVhelicopter；页码：449-454)、H无穷控制(期刊：Automatica；著者：ChenBM,LinZ,LiuK；出版年月：2002年；文章题目：Robustandperfecttrackingofdiscretetimesystems；页码：293-299)等方法应用于无人机控制中，但是线性控制方法大都是基于线性化的模型设计控制器，其处理系统耦合、不确定因素的能力有限，也无法满足大范围飞行包线的需求。为了克服线性控制的不足，非线性控制算法如：反步法(期刊：IEEETransactionsonControlSystemsTechnology；著者：RaptisIA,ValavanisKP,VachtsevanosGJ；出版年月：2012年；文章题目：LinearTrackingControlforSmallScaleUnmannedHelicopters；页码：995–1010)、动态逆控制(期刊：IETControlTheoryandApplications；著者：MoralesRM,TurnerMC,CourtP；出版年月：2014年；文章题目：ForceControlofASemi-activeValveLagDamperforVibrationReductioninHelicopters；页码：409–419)、滑模控制(期刊：IEEETransactionsonControlSystemsTechnology；著者：LeonardF,MartiniA,AbbaG；出版年月：2012年；文章题目：RobustNonlinearControlsofModel-ScaleHelicoptersUnderLateralandVerticalWindGusts；页码：154–163)、神经网络控制(期刊：IEEETransactionsonNeuralNetworksandLearningSystems；著者：NodlandD,ZargarzadehH,JagannathanS；出版年月：2013年；文章题目：NeuralNetworkBasedOptimalAdaptiveOutputFeedbackControlofAHelicopterUAV；页码：1061–1073)等应用于无人机控制中，非线性算法的应用很大程度上提高了无人直升机的飞行性能。但是现有的非线性控制方法对系统的模型依赖较高，但无论系统模型多么复杂，其输入输出数据是可以获取的，因此考虑采取数据驱动控制技术。

数据驱动控制(DataDrivenControl,DDC)是指控制器设计过程中不显含受控系统的数学模型信息，仅利用受控系统的在线或者离线I/O数据以及经过数据处理而得到的知识来设计控制器，并在一定的假设条件下有收敛性、稳定性和鲁棒性结论的控制理论与方法。目前数据驱动控制技术广泛应用于交通运输业、机械制造业、化工生产、电机控制等领域。

作为数据驱动控制技术的一种，无模型结构自适应控制技术因其具有完整的理论分析受到了很多学者的广泛关注。该方法的大体思想可以归结为：在满足一定假设条件的基础上，引入新的伪偏导数的概念，在离散系统的每个工作点处，建立一个等价的虚拟的动态线性化模型，然后利用这个动态线性化模型进行控制器设计、结构自适应律设计以及稳定性分析等。

发明内容

为克服现有技术的不足，避免设计控制器时对系统模型的严重依赖以及未建模动态下的鲁棒性分析问题，本发明采用无模型结构自适应的理论方法，设计一种新型的无模型结构自适应滑模控制器，具有准滑模模态和输入有界等稳定性特征，设计的控制器仅仅需要系统的输入输出数据可实现无人直升机的姿态控制。为此，本发明采用的技术方案是，无人直升机姿态无模型结构自适应滑模控制方法，对于俯仰和滚转通道采用多输入多输出系统分析，偏航通道采用单输入单输出系统分析；具体步骤如下：

一、俯仰和滚转通道多输入多系统分析

考虑非线性离散多输入多输出系统：

y(k+1)＝f(y(k),y(k-1)...y(k-n_y),u(k),...u(k-n_u))+d(k),(1)

式(1)中n_y、n_u为系统输出和输入未知阶数，下标‘y’代表系统输出阶数，下标‘u’代表系统输入阶数；u(k)＝[u_φ(k),u_θ(k)]^T为k时刻的控制输入，上标T为求向量的转置，u_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，下标φ代表滚转通道，u_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入，下标θ代表俯仰通道；y(k)＝[y_φ(k),y_θ(k)]^T为k时刻的控制输出，y_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，y_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入；f(·)为一个广义的未知的非线性函数缩写，d(k)＝[d_φ(k),d_θ(k)]^T为k时刻的有界的扰动，即||d(k)||≤d₀，d₀为正常数，d_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，d_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入；‘||.||’为范数符号，‘≤’为小于等于号；y(k-n_y)代表k-n_y时刻的系统输出，u(k-n_u)代表k-n_u时刻的控制输入,y(k+1)代表k+1时刻时的控制输出，y(k-1)代表k-1时刻的控制输出，对于系统(1)做出如下假设：

条件1.系统(1)是输入输出可观可控的；

条件2.系统(1)中f(·)对当前控制输入u(k)的偏导数是连续的；

条件3.系统(1)对△u(k)是广义Lipschitz条件，即对于任意的当△u(k)≠0时，系统(1)满足

||△y(k+1)||≤L||△u(k)||,(2)

其中L为正常数，△u(k)＝[△u_φ(k),△u_θ(k)]^T，△表示k时刻的变量值与k-1时刻的变量值做减法，即△u_i(k)＝u_i(k)-u_i(k-1)，其中下标i＝φ,θ可以代表任一通道，具体形式为△u_φ(k)＝u_φ(k)-u_φ(k-1)和△u_θ(k)＝u_θ(k)-u_θ(k-1)，具体的△u_i(k)表示第i通道在k时刻时的输入值u_i(k)与k-1时刻输入值u_i(k-1)之差；△y(k)＝[△y_φ(k),△y_θ(k)]^T，即△y_i(k+1)＝y_i(k+1)-y_i(k)，其中下标i＝φ,θ可以代表任一通道，具体为△y_φ(k+1)＝y_φ(k+1)-y_φ(k)和△y_θ(k+1)＝y_θ(k+1)-y_θ(k)，△y_i(k+1)表示第i通道在k+1时刻时的输出值y_i(k+1)与k时刻输出值y_i(k)之差；‘||.||’为范数符号，‘≤’为小于等于号；

引理1：对于系统(1)，若满足1-3的条件时，则存在伪偏导数矩阵Φ(k)，使其等价于

△y(k+1)＝Φ(k)△u(k)+△d(k),(3)

其中满足||Φ(k)||≤b，b为一个正常数，且有

$\mathrm{\Φ}\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\φ}}\left(k\right)& {\mathrm{\α}}_{12}\left(k\right)\\ {\mathrm{\α}}_{21}\left(k\right)& {\mathrm{\α}}_{\mathrm{\θ}}\left(k\right)\end{array}\right]\·$

其中||.||为范数符号，≤为小于等于号，Φ(k)表示k时刻的伪偏导数矩阵值，具体的α_φ(k)表示k时刻滚转通道的伪偏导数值，α₁₂(k)表示矩阵第一行第二列的伪偏导数值，下标‘1’代表矩阵第一行，下标‘2’代表矩阵第二列，α₂₁(k)表示矩阵第二行第一列的伪偏导数值，下标‘2’代表矩阵第二行，下标‘1’代表矩阵第一列，‘△’表示k时刻的变量值与k-1时刻的变量值做减法，△d(k)＝[△d_φ(k),△d_θ(k)]^T表示俯仰和滚转通道的扰动信息，亦可写为△d_i(k)＝d_i(k)-d_i(k-1)，其下标i＝φ,θ可以代表任一通道，具体为△d_φ(k)＝d_φ(k)-d_φ(k-1)和△d_θ(k)＝d_θ(k)-d_θ(k-1)，具体的△d_i(k)表示第i通道k时刻的扰动值d_i(k)与k-1时刻的扰动值d_i(k-1)之差；

此时的伪偏导数矩阵设计为：

${\widehat{\mathrm{\Φ}}}^T\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\Φ}}}^T(k-1)+\frac{\mathrm{\η}\mathrm{\Δ}u(k-1)}{\mathrm{\μ}+\left|\right|\mathrm{\Δ}u(k-1)|{|}^2}\[{\mathrm{\Δy}}^T\left(k\right)-{\mathrm{\Δu}}^T(k-1){\widehat{\mathrm{\Φ}}}^T(k-1)\],---\left(4\right)$

其中是对Φ(k)的估计，η>0，μ>0。中的上标^是为了表示其与Φ(k)之间为估计关系，可以表示为k时刻对Φ(k)的估计，此时的伪偏导数估计可以写为： $\widehat{\mathrm{\Φ}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\φ}}\left(k\right)& {\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}\left(k\right)\\ {\widehat{\mathrm{\α}}}_{21}\left(k\right)& {\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\θ}}\left(k\right)\end{array}\right]\·$ 进一步的系统(3)可以写为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{y}_{\mathrm{\φ}}\left(k\right)\\ \mathrm{\Δ}{y}_{\mathrm{\θ}}\left(k\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\φ}}\left(k\right)& 0\\ 0& {\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\θ}}\left(k\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{u}_{\mathrm{\φ}}\left(k\right)\\ \mathrm{\Δ}{u}_{\mathrm{\θ}}\left(k\right)\end{array}\right]+{\mathrm{\Δd}}^1\left(k\right),---\left(5\right)$

其中 ${\mathrm{\Δd}}^1\left(k\right)={\[w_{\mathrm{\φ}}\left(k\right),w_{\mathrm{\θ}}\left(k\right)\]}^T={\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}\left(k\right){\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{\θ}}\left(k\right)+{\widehat{\mathrm{\α}}}_{21}\left(k\right){\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{\φ}}\left(k\right)+\mathrm{\Δ}d\left(k\right)+\mathrm{\Φ}\left(k\right)\mathrm{\Δ}u\left(k\right)-\widehat{\mathrm{\Φ}}\left(k\right)\mathrm{\Δ}u\left(k\right);$

由上式得到，△d¹(k)包含了系统间的耦合、外界扰动以及输入扰动，在系统设计中，将其看为广义扰动；△d¹(k)是为了和式(3)中的△d(k)相区分，故在其上加上标1，w_φ(k)表示k时刻滚转通道的扰动分量，w_θ(k)表示k时刻俯仰通道的扰动分量，是为了和式(3)中的α₁₂(k)相区分，故加上标‘^’表示之间的估计关系，下标1代表矩阵第一行，下标2代表矩阵第二列；为了和式(3)中的α₂₁(k)相区分，故加上标^表示之间的估计关系，下标2代表矩阵第二行，下标1代表矩阵第一列；为了和式(3)中的α_φ(k)相区分，故加上标^表示之间的估计关系；为了和式(3)中的α_θ(k)相区分，故加上标^表示之间的估计关系，此时△d¹(k)的有界性与控制输入△u_i(k)与伪偏导数估计有关；式(5)进一步可以写为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{\φ}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\φ}}\left(k\right){\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{\φ}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\φ}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{\θ}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\θ}}\left(k\right){\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{\θ}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\θ}}\left(k\right)\end{array}---\left(6\right)$

二、偏航通道单输入单输出系统分析

改进型非线性离散单输入单输出系统：

y_ψ(k+1)＝f_ψ(y_ψ(k)...y_ψ(k-n_yψ),u_ψ(k)...u₃(k-n_uψ),d_ψ(k)...d_ψ(k-n_dψ))(7)

其中n_yψ、n_uψ、n_dψ为系统未知阶数，下标yψ代表偏航系统的输出未知阶数，下标uψ代表偏航系统输入的未知阶数,下标dψ代表偏航系统的未知扰动阶数；d_ψ(k-n_i)∈R表示偏航通道在k-n_i时刻的值属于实数域，n_i∈[0,n_dψ]为k-n_i时刻系统扰动，∈为属于符号，R代表实数域，下标ψ代表偏航通道，假设d_ψ(k-n_i)是有界的，且满足||d(k-n_i)||≤d_ψ，d_ψ>0常数，u_ψ(k)∈R为偏航通道k时刻的控制输入,y_ψ(k)∈R为偏航通道k时刻的控制输出,f_ψ(·)为偏航通道非线性未知函数，y_ψ(k+1)表示k+1时刻的控制输出，y_ψ(k)表示k时刻的控制输出，y_ψ(k-n_yψ)表示k-n_yψ时刻的控制输出，u_ψ(k)表示k时刻的控制输入，u_ψ(k-n_yψ)表示k-n_uψ时刻的控制输入，d_ψ(k-n_dψ)表示k-n_dψ时刻的扰动量，；同样做出假设：

条件4：系统(7)中f_ψ(·)对当前扰动输入d_ψ(k)的偏导数是连续的；

条件5：系统(7)对△d_ψ(k)是广义Lipschitz，即:对于任意的△d_ψ(k)≠0，系统(7)满足

|△y_ψ(k+1)|≤L₂|△d_ψ(k)|(8)

其中L₂为正常数，下表2是为了与式(2)的L相区别；△表示k时刻的变量值与k-1时刻的变量值做减法，即△d_ψ(k)＝d_ψ(k)-d_ψ(k-1)，具体的△d_ψ(k)表示偏航通道ψ在k时刻的扰动值d_ψ(k)与k-1时刻的扰动值d_ψ(k-1)之差，|.|为绝对值符号，△y_ψ(k+1)＝y_ψ(k+1)-y_ψ(k)，具体的△y_ψ(k+1)表示偏航通道ψ在k+1时刻的输出值y_ψ(k+1)与k时刻的输出值y_ψ(k)之差；

引理2：对于系统(7)，若满足条件1-5时，则存在伪偏导数α_ψ(k),β_ψ(k)，使其等价于

△y_ψ(k+1)＝α_ψ(k)△u_ψ(k)+β_ψ(k)△d_ψ(k)(9)

其中|α_ψ(k)|≤L₁,|β_ψ(k)|≤L₂，下表1是为了与式(2)的L和式(8)中的L₂区别，α_ψ(k),β_ψ(k)表示k时刻的分别针对控制输入和扰动的伪偏导数值，△u_ψ(k)＝u_ψ(k)-u_ψ(k-1)；从系统(9)可以看出，等价系统式(9)中α_ψ(k),β_ψ(k),△d_ψ(k),△u_ψ(k)都是未知的，要是全部设计会增大系统运算量，无法保证系统实时性，由于β_ψ(k),△d_ψ(k)很难测量，但它们都是有界的，看为一个整体未知有界的广义扰动；

、设计α_ψ(k)的近似估计为

${\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\ψ}}(k-1)+\frac{{\mathrm{\η}}_{\mathrm{\ψ}}{\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{\ψ}}(k-1)}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψ}}+{\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{\ψ}}{(k-1)}^2}\left({\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{\ψ}}\right(k)-{\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\ψ}}(k-1\left){\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{\ψ}}\right(k-1\left)\right),---\left(10\right)$

其中μ_ψ>0，η_ψ>0，为了和式(9)中的α_ψ(k)相区分，故加上标^表示之间的估计关系，其表示k时刻对α_ψ(k)的估计，表示k-1时刻的估计值，进一步的，则系统(10)进一步可以化简为：

${\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{\ψ}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right){\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right),---\left(11\right)$

其中 $w_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right)={\mathrm{\α}}_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right){\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right)-{\widehat{\mathrm{\α}}}_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right){\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right)+{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right){\mathrm{\Δd}}_{\mathrm{\ψ}}\left(k\right)$ 包含了系测量误差、输入扰动以及外界扰动等信息，亦可当为广义扰动，此时的w_ψ(k)的有界性与控制输入△u_ψ(k)和伪偏导数估计有关；

三、控制器设计与稳定性分析

根据上述分析过程，整理式(6)和式(11)，得到其系统一般表达式为：

${\mathrm{\Δy}}_j(k+1)={\widehat{\mathrm{\α}}}_j\left(k\right){\mathrm{\Δu}}_j\left(k\right)+w_j\left(k\right),---\left(12\right)$

其中j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，可表示为第j通道的子系统。为了确保系统伪偏导数的符号保持不变，设计系统重置律为：若|△u_j(k)|≤ε_j，则： ${\widehat{\mathrm{\α}}}_j\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\α}}}_j\left(1\right),{\widehat{\mathrm{\α}}}_{21}\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\α}}}_{21}\left(1\right),{\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}---\left(1\right)$ 成立，ε_j为正常数。由重置律可知，以及是有界的。综上式(5)可以做出一般假设是有界的，则△d¹(k)的有界性与△u(k)相关，同样式(11)中是有界的，则w_ψ(k)的有界性只与△u_ψ(k)相关，|.|为绝对值符号，表示为伪偏导数估计初始值，下标j代表滚转、俯仰、偏航任意的通道；

定义系统跟踪误差：

e_j(k+1)＝y_j(k+1)-y_rj(k+1),(13)

其中y_rj(k+1)表示系统k+1时刻系统的给定值，下表rj表示j通道的给定值，r看为英文单词reference的缩写，表示系统给定，e_j(k+1)表示第j通道k+1时刻系统实际输出值与系统给定值之差，定义为跟踪误差，y_j(k+1)表示第j通道系统k+1时刻系统的实际输出值，j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，具体的可以写为e_φ(k+1)＝y_φ(k+1)-y_rφ(k+1),其中e_φ(k+1)表示k+1时刻φ滚转通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_θ(k+1)＝y_θ(k+1)-y_rθ(k+1),其中e_θ(k+1)表示k+1时刻θ俯仰通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_ψ(k+1)＝y_ψ(k+1)-y_rψ(k+1),其中e_ψ(k+1)表示k+1时刻ψ偏航通道系统实际输出值与系统给定值之差；定义一阶滤波误差：

s_j(k)＝e_j(k)+c_je_j(k-1),(14)

其中c_j为正常数,e_j(k)表示k时刻第j通道系统实际输出值与系统给定值之差,e_j(k-1)表示第j通道k-1时刻系统实际输出值与系统给定值之差，s_j(k)为第j通道k时刻的滤波误差信号，j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，具体的可以写为s_φ(k)＝e_φ(k)+c_φe_φ(k-1),e_φ(k)表示k时刻φ滚转通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_φ(k-1)表示k-1时刻φ滚转通道系统实际输出值与系统给定值之差，s_φ(k)为k时刻滚转通道φ的滤波误差信号，s_θ(k)＝e_θ(k)+c_θe_θ(k-1),e_θ(k)表示k时刻‘θ’俯仰通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_θ(k-1)表示k-1时刻θ俯仰通道系统实际输出值与系统给定值之差，s_θ(k)为k时刻俯仰通道θ的滤波误差信号，s_ψ(k)＝e_ψ(k)+c_ψe_ψ(k-1),e_ψ(k)表示k时刻ψ偏航通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_ψ(k-1)表示k-1时刻ψ偏航通道系统实际输出值与系统给定值之差，s_ψ(k)为k时刻偏航通道ψ的滤波误差信号；定义滑模面变量：

σ_j(k+1)＝s_j(k+1)+k_1js_j(k),(15)

其中k_1j为正常数，下标1j表示第j通道的k₁值，下标1仅仅是为了扩展变量使用，s_j(k+1)为k+1时刻的滤波误差信号，σ_j(k+1)表示k+1时刻的滑模变量值，j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，具体为σ_j(k+1)＝[σ_φ(k+1),σ_θ(k+1),σ_ψ(k+1)]^T，σ_φ(k+1)表示k+1时刻滚转通道φ的滑模变量值，σ_θ(k+1)表示k+1时刻俯仰通道θ的滑模变量值，σ_ψ(k+1)表示k+1时刻偏航通道ψ的滑模变量值，s_j(k+1)＝[s_φ(k+1),s_θ(k+1),s_ψ(k+1)]^T，s_φ(k+1)表示k+1时刻φ的滤波误差值，s_θ(k+1)表示k+1时刻俯仰通道θ的滤波误差值，s_ψ(k+1)表示k+1时刻偏航通道ψ的滤波误差值。不考虑广义扰动下，系统的等效控制可以写为：

σ_j(k+1)＝σ_j(k)＝0,(16)

σ_j(k)表示k时刻的第j通道的滑模变量值，进一步化简式(16)可以得到式：

${\widehat{\mathrm{\α}}}_j\left(k\right){\mathrm{\Δu}}_{equj}\left(k\right)+y_j\left(k\right)-y_{rj}(k+1)+c_j{e}_j\left(k\right)=-k_{1j}{s}_j\left(k\right),---\left(17\right)$

△u_equj(k)表示k时刻的等效控制值，下标equj表示第j通道的等效控制值，equ可以看为英文单词equation的缩写，这里用来表示其为等效方法得到的控制输入。则可以设计△u_equj(k)为：

${\mathrm{\Δu}}_{equj}\left(k\right)=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\α}}}_j\left(k\right)+m_j}\left(y_{rj}\right(k+1)-y_j(k)-c_j{e}_j(k)-k_{1j}{s}_j(k\left)\right),---\left(18\right)$

为了避免等效控制输入△u_equj(k)可能会变得很大甚至无界，因此引入正数m_j；为了增加系统的鲁棒性，减缓系统的抖振现象，设计滑模控制器△u_slij(k)：

${\mathrm{\Δu}}_{slij}\left(k\right)=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\α}}}_j\left(k\right)+m_j}\left(\right({\widehat{\mathrm{\α}}}_j\left(k-1\right)+m_j\left){\mathrm{\Δu}}_{slij}\right(k-1)-k_{2j}sign({\mathrm{\σ}}_j\left(k\right)\left)\right),---\left(19\right)$

k_2j>0，下标2j表示第j通道的k₂值，下标2仅仅是为了扩展变量使用，是与之前的k_1j加以区分得到；sign(σ_j(k))表示滑模切换函数，具体表示为：当σ_j(k)>0时，sign(σ_j(k))＝1；当σ_j(k)<0时，sign(σ_j(k))＝-1；当σ_j(k)＝0时，sign(σ_j(k))＝0，sign(.)为标准的符号函数记号。△u_slij(k)表示k时刻的带有滑模的控制输入值，下表slij表示第j通道的滑模控制值，sli看为英文sliding-model的缩写，这里用来表示其包含有滑模切换函数得到的输入值；此时控制输入可以看为：

△u_j(k)＝△u_slij(k)+△u_equj(k),(20)

将式(20)代入式(14)中，进一步可以化简得到：

$s_j(k+1)=\left({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\right(k)+m_j){\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}\left(k\right)-k_{1j}{s}_j\left(k\right)+{\tilde{w}}_j\left(k\right),---\left(21\right)$

其中 ${\tilde{w}}_j\left(k\right)=-m_j\left({\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}\right(k)+{\mathrm{\&Delta;u}}_{equj}(k\left)\right)+w_j\left(k\right),$ 其包含了未建模动态、不确定性、测量误差以及无法测量扰动等信息，将其视为广义扰动，加上标‘～’是为了与w_j(k)进行区别，其表示k时刻的带有控制输入的广义扰动；而s_j(k)可以写为：

$s_j\left(k\right)=\left({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\right(k-1)+m_j){\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}(k-1)-k_{1j}{s}_j(k-1)+{\tilde{w}}_j(k-1),---\left(22\right)$

将式(21)与式(22)进行相减，并带入式(19),进一步整理得到：

${\mathrm{\&sigma;}}_j(k+1)={\mathrm{\&sigma;}}_j\left(k\right)-k_{2j}sign\left({\mathrm{\&sigma;}}_j\right(k\left)\right)+{\tilde{w}}_j\left(k\right)-{\tilde{w}}_j(k-1),---\left(23\right)$

综合重置律，可以得出的有界性只与△u_j(k)相关，只要满足△u_j(k)有界，则广义扰动一定有界，而△u_j(k)的有界性可以采用离散迭代法进行证明，且其上界与u_j(1)和e_j(1)有关，其中u_j(1)表示第j通道的控制输入初始值，e_j(1)表示第j通道的初始误差值；

综上可知，对于任意时刻，是有界的，也即

$|{\tilde{w}}_j\left(k\right)-{\tilde{w}}_j(k-1)|\&le;w^{*},---\left(24\right)$

其中w^*>0，w^*为存在未知的常数，上标‘^*’仅仅是用来扩展变量之用；

引理3：对于系统(12)，若其满足假设1-5，则系统满足条件

k_2j≥w^*

时，对于任意的给定信号y_rj(k+1),系统在控制律(20)的作用下，将进入收敛准滑动模态。

本发明的特点及有益效果是：

1)为了避免设计控制器时对系统模型的严重依赖以及未建模动态下的鲁棒性分析问题，本发明采用无模型结构自适应的理论方法，设计无模型结构自适应滑模控制器时，仅仅利用了系统的输入输出数据，而未使用系统的模型信息，亦对系统模型阶数也无要求，这样避免了未建模动态或者系统模型参数不确定等系统本身的不确定性所造成对控制性能的影响，将无模型控制理论扩展到无人机控制领域中。

2)本发明设计的控制器结构简单、计算量小、易于模块化实现，控制器实现过程中不需要任何的训练过程，其自适应律从常见的参数自适应过程上升为结构自适应变化过程，本发明采用有界的结构自适应律，其对系统时变参数、时变结构以及系统阶数变化等不确定因素不敏感，这样避免了常见自适应控制参数估计无限大的弊端。

3)本发明采用的二阶离散滑模可以有效降低系统的抖振，增强系统的鲁棒性和响应速度。从理论上可以得到准滑动模态的稳定性结论，同时具有有界输入输出稳定性等特征，这样又对系统的输入能量做了限制，克服了以往无人机设计过程中未有效考虑系统输入能量无限制以及舵机输入饱和的缺陷；从仿真实验中，设计的控制器变现出了较好的控制性能。

附图说明：

图1是利用本发明提出的新型无模型结构自适应滑模算法姿态镇定仿真，姿态角变化曲线；

图2是利用本发明提出的新型无模型结构自适应滑模算法姿态镇定仿真，控制输入变化曲线；

图3是利用本发明提出的新型无模型结构自适应滑模算法姿态镇定仿真，结构自适应律变化曲线；

图4是利用本发明提出的新型无模型结构自适应滑模算法姿态跟踪仿真，姿态角变化曲线；

图5是利用本发明提出的新型无模型结构自适应滑模算法姿态跟踪仿真，姿态角误差变化曲线；

图6是利用本发明提出的新型无模型结构自适应滑模算法姿态跟踪仿真，控制输入变化曲线；

图7是利用本发明提出的新型无模型结构自适应滑模算法姿态跟踪仿真，结构自适应律变化曲线。

具体实施方式

为了避免设计控制器时对系统模型的严重依赖以及未建模动态下的鲁棒性分析问题，本发明采用无模型结构自适应的理论方法，设计一种新型的无模型结构自适应滑模控制器，具有准滑模模态和输入有界等稳定性特征，设计的控制器仅仅需要系统的输入输出数据可实现无人直升机的姿态控制。从无人直升机的姿态模型可知，无人直升机在俯仰和滚转方向具有很强的耦合性，而偏航方向相对独立，因此对于俯仰和滚转通道采用多输入多输出系统分析，偏航通道采用单输入单输出系统分析。

需要说明的是本发明采用上下标符号形式表示变量整体，因为所分析系统都为离散系统，k表示离散系统采样时间，后续对k时刻不做过多说明，如：y_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入，下标‘θ’代表俯仰通道，此时应将y_θ(k)作为一个整体变量理解。

无模型结构自适应滑模控制设计包括下列步骤：

四、俯仰和滚转通道多输入多系统分析

考虑非线性离散多输入多输出系统：

y(k+1)＝f(y(k),y(k-1)...y(k-n_y),u(k),...u(k-n_u))+d(k),(1)

式(1)中n_y、n_u为系统输出和输入未知阶数，下标‘y’代表系统输出阶数，下标‘u’代表系统输入阶数；u(k)＝[u_φ(k),u_θ(k)]^T为k时刻的控制输入，上标‘T’为求向量的转置，u_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，下标‘φ’代表滚转通道，u_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入，下标‘θ’代表俯仰通道；y(k)＝[y_φ(k),y_θ(k)]^T为k时刻的控制输出，上标‘T’为求向量的转置，y_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，下标‘φ’代表滚转通道，y_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入，下标‘θ’代表俯仰通道；f(·)为一个广义的未知的非线性函数缩写，d(k)＝[d_φ(k),d_θ(k)]^T为k时刻的有界的扰动，即||d(k)||≤d₀，d₀为正常数，上标‘T’为求向量的转置，d_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，下标‘φ’代表滚转通道，d_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入，下标‘θ’代表俯仰通道；‘||.||’为范数符号，‘≤’为小于等于号；y(k-n_y)代表k-n_y时刻的系统输出，u(k-n_u)代表k-n_u时刻的控制输入,y(k+1)代表k+1时刻时的控制输出，y(k-1)代表k-1时刻的控制输出。对于系统(1)做出如下假设：

条件1.系统(1)是输入输出可观可控的；

条件2.系统(1)中f(·)对当前控制输入u(k)的偏导数是连续的；

条件3.系统(1)对△u(k)是广义Lipschitz条件，即对于任意的当△u(k)≠0时，系统(1)满足

||△y(k+1)||≤L||△u(k)||,(2)

其中L为正常数，△u(k)＝[△u_φ(k),△u_θ(k)]^T，上标‘T’为求向量的转置,下标‘φ’代表滚转通道，下标‘θ’代表俯仰通道，‘△’表示k时刻的变量值与k-1时刻的变量值做减法，即△u_i(k)＝u_i(k)-u_i(k-1)，其中下标i＝φ,θ可以代表任一通道，具体形式为△u_φ(k)＝u_φ(k)-u_φ(k-1)和△u_θ(k)＝u_θ(k)-u_θ(k-1)，具体的△u_i(k)表示第i通道在k时刻时的输入值u_i(k)与k-1时刻输入值u_i(k-1)之差；△y(k)＝[△y_φ(k),△y_θ(k)]^T，上标‘T’为求向量的转置,下标‘φ’代表滚转通道，下标‘θ’代表俯仰通道，‘△’表示k时刻的变量值与k-1时刻的变量值做减法，即△y_i(k+1)＝y_i(k+1)-y_i(k)，其中下标i＝φ,θ可以代表任一通道，具体为△y_φ(k+1)＝y_φ(k+1)-y_φ(k)和△y_θ(k+1)＝y_θ(k+1)-y_θ(k)，△y_i(k+1)表示第i通道在k+1时刻时的输出值y_i(k+1)与k时刻输出值y_i(k)之差；‘||.||’为范数符号，‘≤’为小于等于号。

引理1：对于系统(1)，若满足1-3的条件时，则存在伪偏导数矩阵Φ(k)，使其等价于

△y(k+1)＝Φ(k)△u(k)+△d(k),(3)

其中满足||Φ(k)||≤b，b为一个正常数，且有

$\mathrm{\&Phi;}\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)& {\mathrm{\&alpha;}}_{12}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_{21}\left(k\right)& {\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]\&CenterDot;$

其中‘||.||’为范数符号，‘≤’为小于等于号，Φ(k)表示k时刻的伪偏导数矩阵值，具体的α_φ(k)表示k时刻滚转通道的伪偏导数值，下标‘φ’代表滚转通道，α_θ(k)表示k时刻俯仰通道的伪偏导数值，下标‘θ’代表俯仰通道，α₁₂(k)表示矩阵第一行第二列的伪偏导数值，下标‘1’代表矩阵第一行，下标‘2’代表矩阵第二列，α₂₁(k)表示矩阵第二行第一列的伪偏导数值，下标‘2’代表矩阵第二行，下标‘1’代表矩阵第一列，‘△’表示k时刻的变量值与k-1时刻的变量值做减法，△d(k)＝[△d_φ(k),△d_θ(k)]^T表示俯仰和滚转通道的扰动信息，亦可写为△d_i(k)＝d_i(k)-d_i(k-1)，其下标i＝φ,θ可以代表任一通道，具体为△d_φ(k)＝d_φ(k)-d_φ(k-1)和△d_θ(k)＝d_θ(k)-d_θ(k-1)，具体的△d_i(k)表示第i通道k时刻的扰动值d_i(k)与k-1时刻的扰动值d_i(k-1)之差。

类似于文(期刊：IETControlTheoryandApplications；著者：ZhuYM，HouZS；出版年月：2015年；文章题目：ControllerDynamicLinearisationBasedModelFreeAdaptiveControlFrameworkforAClassofNon-linearSystem；页码：1162–1172)，此时的伪偏导数矩阵可以设计为：

${\widehat{\mathrm{\&Phi;}}}^T\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&Phi;}}}^T(k-1)+\frac{\mathrm{\&eta;}\mathrm{\&Delta;}u(k-1)}{\mathrm{\&mu;}+\left|\right|\mathrm{\&Delta;}u(k-1)|{|}^2}\&lsqb;{\mathrm{\&Delta;y}}^T\left(k\right)-{\mathrm{\&Delta;u}}^T(k-1){\widehat{\mathrm{\&Phi;}}}^T(k-1)\&rsqb;,---\left(4\right)$

其中是对Φ(k)的估计，η>0，μ>0。中的上标‘^’是为了表示其与Φ(k)之间为估计关系，可以表示为k时刻对Φ(k)的估计，上标‘T’为求矩阵的转置,‘||.||’为范数符号，此时的伪偏导数估计可以写为： $\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{12}\left(k\right)\\ {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{21}\left(k\right)& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]\&CenterDot;$ 进一步的系统(3)可以写为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{y}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)& 0\\ 0& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{u}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)\\ \mathrm{\&Delta;}{u}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]+{\mathrm{\&Delta;d}}^1\left(k\right),---\left(5\right)$

其中 ${\mathrm{\&Delta;d}}^1\left(k\right)={\&lsqb;w_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right),w_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\&rsqb;}^T={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{12}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{21}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)+\mathrm{\&Delta;}d\left(k\right)+\mathrm{\&Phi;}\left(k\right)\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right)-\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(k\right)\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right).$

上式可以看出，△d¹(k)包含了系统间的耦合、外界扰动以及输入扰动等，在系统设计中，将其看为广义扰动。△d¹(k)是为了和式(3)中的△d(k)相区分，故在其上加上标‘1’，w_φ(k)表示k时刻滚转通道的扰动分量，下标‘φ’代表滚转通道，w_θ(k)表示k时刻俯仰通道的扰动分量，下标‘θ’代表俯仰通道，上标‘T’为求向量的转置。是为了和式(3)中的α₁₂(k)相区分，故加上标‘^’表示之间的估计关系，下标‘1’代表矩阵第一行，下标‘2’代表矩阵第二列；为了和式(3)中的α₂₁(k)相区分，故加上标‘^’表示之间的估计关系，下标‘2’代表矩阵第二行，下标‘1’代表矩阵第一列；为了和式(3)中的α_φ(k)相区分，故加上标‘^’表示之间的估计关系，下标‘φ’代表滚转通道；为了和式(3)中的α_θ(k)相区分，故加上标‘^’表示之间的估计关系，下标‘θ’代表俯仰通道，此时△d¹(k)的有界性与控制输入△u_i(k)与伪偏导数估计有关。式(5)进一步可以写为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&phi;}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&theta;}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}---\left(6\right)$

五、偏航通道单输入单输出系统分析

采用文(期刊：控制与决策；著者：翁永鹏，高宪文，吕明阳；出版年月：2014年；文章题目：一类非仿射非线性离散系统的改进无模型自适应控制；页码：2226–2234)提出的改进型非线性离散单输入单输出系统：

y_ψ(k+1)＝f_ψ(y_ψ(k)...y_ψ(k-n_yψ),u_ψ(k)...u₃(k-n_uψ),d_ψ(k)...d_ψ(k-n_dψ))(7)

其中n_yψ、n_uψ、n_dψ为系统未知阶数，下标‘yψ’代表偏航系统的输出未知阶数，下标‘uψ’代表偏航系统输入的未知阶数,下标‘dψ’代表偏航系统的未知扰动阶数；d_ψ(k-n_i)∈R表示偏航通道在k-n_i时刻的值属于实数域，n_i∈[0,n_dψ]为k-n_i时刻系统扰动，‘∈’为属于符号，R代表实数域，下标‘ψ’代表偏航通道，可以假设d_ψ(k-n_i)是有界的，且满足||d(k-n_i)||≤d_ψ，d_ψ>0常数，‘||.||’为范数符号；u_ψ(k)∈R为偏航通道k时刻的控制输入,下标‘ψ’代表偏航通道，y_ψ(k)∈R为偏航通道k时刻的控制输出,下标‘ψ’代表偏航通道，f_ψ(·)为偏航通道非线性未知函数，下标‘ψ’代表偏航通道，y_ψ(k+1)表示k+1时刻的控制输出，y_ψ(k)表示k时刻的控制输出，下标‘ψ’代表偏航通道，y_ψ(k-n_yψ)表示k-n_yψ时刻的控制输出，下标‘ψ’代表偏航通道，u_ψ(k)表示k时刻的控制输入，下标‘ψ’代表偏航通道，u_ψ(k-n_yψ)表示k-n_uψ时刻的控制输入，下标‘ψ’代表偏航通道，d_ψ(k-n_dψ)表示k-n_dψ时刻的扰动量，下标‘ψ’代表偏航通道。同样做出假设：

条件4：系统(7)中f_ψ(·)对当前扰动输入d_ψ(k)的偏导数是连续的；

条件5：系统(7)对△d_ψ(k)是广义Lipschitz，即:对于任意的△d_ψ(k)≠0，系统(7)满足

|△y_ψ(k+1)|≤L₂|△d_ψ(k)|(8)

其中L₂为正常数，下表‘2’是为了与式(2)的L相区别；‘△’表示k时刻的变量值与k-1时刻的变量值做减法，即△d_ψ(k)＝d_ψ(k)-d_ψ(k-1)，具体的△d_ψ(k)表示偏航通道‘ψ’在k时刻的扰动值d_ψ(k)与k-1时刻的扰动值d_ψ(k-1)之差，‘|.|’为绝对值符号，△y_ψ(k+1)＝y_ψ(k+1)-y_ψ(k)，具体的△y_ψ(k+1)表示偏航通道‘ψ’在k+1时刻的输出值y_ψ(k+1)与k时刻的输出值y_ψ(k)之差。

引理2：对于系统(7)，若满足条件1-5时，则存在伪偏导数α_ψ(k),β_ψ(k)，使其等价于

△y_ψ(k+1)＝α_ψ(k)△u_ψ(k)+β_ψ(k)△d_ψ(k)(9)

其中|α_ψ(k)|≤L₁,|β_ψ(k)|≤L₂，下表‘1’是为了与式(2)的L和式(8)中的L₂区别，α_ψ(k),β_ψ(k)表示k时刻的分别针对控制输入和扰动的伪偏导数值，△u_ψ(k)＝u_ψ(k)-u_ψ(k-1)，下标‘ψ’代表偏航通道。从系统(9)可以看出，等价系统式(9)中α_ψ(k),β_ψ(k),△d_ψ(k),△u_ψ(k)都是未知的，要是全部设计会增大系统运算量，无法保证系统实时性，由于β_ψ(k),△d_ψ(k)很难测量，但它们都是有界的，可以看为一个整体未知有界的广义扰动。

类似于文(期刊：IETControlTheoryandApplications；著者：ZhuYM，HouZS；出版年月：2015年；文章题目：ControllerDynamicLinearisationBasedModelFreeAdaptiveControlFrameworkforAClassofNon-linearSystem；页码：1162–1172)，可以设计α_ψ(k)的近似估计为

${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}(k-1)+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_{\mathrm{\&psi;}}{\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}(k-1)}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;}}+{\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}{(k-1)}^2}\left({\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&psi;}}\right(k)-{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}(k\left){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\right(k-1\left)\right),---\left(10\right)$

其中μ_ψ>0，η_ψ>0，为了和式(9)中的α_ψ(k)相区分，故加上标‘^’表示之间的估计关系，下标‘ψ’代表偏航通道，其表示k时刻对α_ψ(k)的估计，表示k-1时刻的估计值。进一步的，则系统(10)进一步可以化简为：

${\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&psi;}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right),---\left(11\right)$

其中 $w_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)-{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)+{\mathrm{\&beta;}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;d}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)$ 包含了系测量误差、输入扰动以及外界扰动等信息，亦可当为广义扰动，此时的w_ψ(k)的有界性与控制输入△u_ψ(k)和伪偏导数估计有关。

六、控制器设计与稳定性分析

根据上述分析过程，整理式(6)和式(11)，得到其系统一般表达式为：

${\mathrm{\&Delta;y}}_j(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_j\left(k\right)+w_j\left(k\right),---\left(12\right)$

其中j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，可表示为第‘j’通道的子系统。为了确保系统伪偏导数的符号保持不变，设计系统重置律为：若|△u_j(k)|≤ε_j，则： ${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(1\right),{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{21}\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{21}\left(1\right),{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{12}\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{12}---\left(1\right)$ 成立，ε_j为正常数。由重置律可知，以及是有界的。综上式(5)可以做出一般假设是有界的，则△d¹(k)的有界性与△u(k)相关，同样式(11)中是有界的，则w_ψ(k)的有界性只与△u_ψ(k)相关，|.|’为绝对值符号，表示为伪偏导数估计初始值，下标‘j’代表滚转、俯仰、偏航任意的通道。

定义系统跟踪误差：

e_j(k+1)＝y_j(k+1)-y_rj(k+1),(13)

其中y_rj(k+1)表示系统k+1时刻系统的给定值，下表‘rj’表示‘j’通道的给定值，‘r’可以看为英文单词reference的缩写，表示系统给定，e_j(k+1)表示第‘j’通道k+1时刻系统实际输出值与系统给定值之差，定义为跟踪误差，y_j(k+1)表示第‘j’通道系统k+1时刻系统的实际输出值，j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，具体的可以写为e_φ(k+1)＝y_φ(k+1)-y_rφ(k+1),其中e_φ(k+1)表示k+1时刻‘φ’滚转通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_θ(k+1)＝y_θ(k+1)-y_rθ(k+1),其中e_θ(k+1)表示k+1时刻‘θ’俯仰通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_ψ(k+1)＝y_ψ(k+1)-y_rψ(k+1),其中e_ψ(k+1)表示k+1时刻‘ψ’偏航通道系统实际输出值与系统给定值之差。定义一阶滤波误差：

s_j(k)＝e_j(k)+c_je_j(k-1),(14)

其中c_j为正常数,e_j(k)表示k时刻第‘j’通道系统实际输出值与系统给定值之差,e_j(k-1)表示第‘j’通道k-1时刻系统实际输出值与系统给定值之差，s_j(k)为第‘j’通道k时刻的滤波误差信号，j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，具体的可以写为s_φ(k)＝e_φ(k)+c_φe_φ(k-1),e_φ(k)表示k时刻‘φ’滚转通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_φ(k-1)表示k-1时刻‘φ’滚转通道系统实际输出值与系统给定值之差，s_φ(k)为k时刻滚转通道‘φ’的滤波误差信号，s_θ(k)＝e_θ(k)+c_θe_θ(k-1),e_θ(k)表示k时刻‘θ’俯仰通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_θ(k-1)表示k-1时刻‘θ’俯仰通道系统实际输出值与系统给定值之差，s_θ(k)为k时刻俯仰通道‘θ’的滤波误差信号，s_ψ(k)＝e_ψ(k)+c_ψe_ψ(k-1),e_ψ(k)表示k时刻‘ψ’偏航通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_ψ(k-1)表示k-1时刻‘ψ’偏航通道系统实际输出值与系统给定值之差，s_ψ(k)为k时刻偏航通道‘ψ’的滤波误差信号。定义滑模面变量：

σ_j(k+1)＝s_j(k+1)+k_1js_j(k),(15)

其中k_1j为正常数，下标‘1j’表示第‘j’通道的k₁值，下标‘1’仅仅是为了扩展变量使用，s_j(k+1)为k+1时刻的滤波误差信号，σ_j(k+1)表示k+1时刻的滑模变量值，j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，具体为σ_j(k+1)＝[σ_φ(k+1),σ_θ(k+1),σ_ψ(k+1)]^T，σ_φ(k+1)表示k+1时刻滚转通道‘φ’的滑模变量值，σ_θ(k+1)表示k+1时刻俯仰通道‘θ’的滑模变量值，σ_ψ(k+1)表示k+1时刻偏航通道‘ψ’的滑模变量值，s_j(k+1)＝[s_φ(k+1),s_θ(k+1),s_ψ(k+1)]^T，s_φ(k+1)表示k+1时刻‘φ’的滤波误差值，s_θ(k+1)表示k+1时刻俯仰通道‘θ’的滤波误差值，s_ψ(k+1)表示k+1时刻偏航通道‘ψ’的滤波误差值。不考虑广义扰动下，系统的等效控制可以写为：

σ_j(k+1)＝σ_j(k)＝0,(16)

σ_j(k)表示k时刻的第‘j’通道的滑模变量值，进一步化简式(16)可以得到式：

${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{equj}\left(k\right)+y_j\left(k\right)-y_{rj}(k+1)+c_j{e}_j\left(k\right)=-k_{1j}{s}_j\left(k\right),---\left(17\right)$

△u_equj(k)表示k时刻的等效控制值，下标‘equj’表示第‘j’通道的等效控制值，‘equ’可以看为英文单词equation的缩写，这里用来表示其为等效方法得到的控制输入。则可以设计△u_equj(k)为：

${\mathrm{\&Delta;u}}_{equj}\left(k\right)=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right)+m_j}\left(y_{rj}\right(k+1\left)y_j\right(k)-c_j{e}_j(k)-k_{1j}{s}_j(k\left)\right),---\left(18\right)$

为了避免等效控制输入△u_equj(k)可能会变得很大甚至无界，因此引入正数m_j。为了增加系统的鲁棒性，减缓系统的抖振现象，设计滑模控制器△u_slij(k)：

${\mathrm{\&sigma;u}}_{slij}\left(k\right)=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right)+m_j}\left(\right({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k-1\right)+m_j\left){\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}\right(k-1)-k_{2j}sign({\mathrm{\&sigma;}}_j\left(k\right)\left)\right),---\left(19\right)$

k_2j>0，下标‘2j’表示第‘j’通道的k₂值，下标‘2’仅仅是为了扩展变量使用，是与之前的k_1j加以区分得到。sign(σ_j(k))表示滑模切换函数，具体表示为：当σ_j(k)>0时，sign(σ_j(k))＝1；当σ_j(k)<0时，sign(σ_j(k))＝-1；当σ_j(k)＝0时，sign(σ_j(k))＝0，sign(.)为标准的符号函数记号。△u_slij(k)表示k时刻的带有滑模的控制输入值，下表‘slij’表示第‘j’通道的滑模控制值，‘sli’可以看为英文sliding-model的缩写，这里用来表示其包含有滑模切换函数得到的输入值。此时控制输入可以看为：

△u_j(k)＝△u_slij(k)+△u_equj(k),(20)

将式(20)代入式(14)中，进一步可以化简得到：

$s_j(k+1)=\left({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\right(k)+m_j){\mathrm{\&Delta;u}}_{siij}\left(k\right)-k_{1j}{s}_j\left(k\right)+{\tilde{w}}_j\left(k\right),---\left(21\right)$

其中其包含了未建模动态、不确定性、测量误差以及无法测量扰动等信息，将其视为广义扰动，加上标‘～’是为了与w_j(k)进行区别，其表示k时刻的带有控制输入的广义扰动。而s_j(k)可以写为：

$s_j\left(k\right)=\left({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\right(k-1)+m_j){\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}(k-1)-k_{1j}{s}_j(k-1)+{\tilde{w}}_j(k-1),---\left(22\right)$

将式(21)与式(22)进行相减，并带入式(19),进一步整理得到：

${\mathrm{\&sigma;}}_j(k+1)={\mathrm{\&sigma;}}_j\left(k\right)-k_{2j}sign\left({\mathrm{\&sigma;}}_j\right(k\left)\right)+{\tilde{w}}_j\left(k\right)-{\tilde{w}}_j(k-1),---\left(23\right)$

综合重置律，可以得出的有界性只与△u_j(k)相关，只要满足△u_j(k)有界，则广义扰动一定有界，而△u_j(k)的有界性可以采用离散迭代法进行证明，且其上界与u_j(1)和e_j(1)有关，其中u_j(1)表示第‘j’通道的控制输入初始值，e_j(1)表示第‘j’通道的初始误差值。

综上可知，对于任意时刻，是有界的，也即

$|{\tilde{w}}_j\left(k\right)-{\tilde{w}}_j(k-1)|\&le;w^{*},---\left(24\right)$

其中w^*>0，w^*为存在未知的常数，上标‘^*’仅仅是用来扩展变量之用。

引理3：对于系统(12)，若其满足假设1-5，则系统满足条件

k_2j≥w^*

时，对于任意的给定信号y_rj(k+1),系统在控制律(20)的作用下，将进入收敛准滑动模态。

本发明针对小型无人直升机的姿态控制问题，考虑到现有基于模型控制方法对系统模型的严重依赖，以及基于模型控制中时刻伴随着未建模动态对系统的影响，设计了一种新型的无模型结构自适应滑模控制器方法。利用无模型控制方法摆脱对系统模型的依赖，利用二阶离散滑模控制提高系统的鲁棒性和响应速度，其闭环系统的稳定性具有严谨的数学证明，而且具有输入有界等稳定性特征。最后，为了验证本发明设计的无模型结构自适应滑模控制器的控制效果，利用无人直升机的动力学非线性模型进行了姿态镇定仿真和姿态跟踪仿真。

一、俯仰和滚转通道多输入多系统分析

考虑非线性离散多输入多输出系统：

y(k+1)＝f(y(k),y(k-1)...y(k-n_y),u(k),...u(k-n_u))+d(k),(1)

式(1)中n_y、n_u为系统输出和输入未知阶数，u(k)＝[u_φ(k),u_θ(k)]^T为k时刻的控制输入，u_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，u_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入；y(k)＝[y_φ(k),y_θ(k)]^T为k时刻的控制输出，y_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，y_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入；f(·)为一个广义的未知的非线性函数缩写，d(k)＝[d_φ(k),d_θ(k)]^T为k时刻的有界的扰动，即||d(k)||≤d₀，d₀为正常数，d_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，d_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入，对于系统(1)做出如下假设：

条件1.系统(1)是输入输出可观可控的；

条件2.系统(1)中f(·)对当前控制输入u(k)的偏导数是连续的；

条件3.系统(1)对△u(k)是广义Lipschitz条件，即对于任意的当△u(k)≠0时，系统(1)满足

||△y(k+1)||≤L||△u(k)||,(2)

其中L为正常数。

引理1：对于系统(1)，若满足1-3的条件时，则存在伪偏导数矩阵Φ(k)，使其等价于

△y(k+1)＝Φ(k)△u(k)+△d(k),(3)

其中满足||Φ(k)||≤b，b为一个正常数，且有

$\mathrm{\&Phi;}\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)& {\mathrm{\&alpha;}}_{12}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_{21}\left(k\right)& {\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]\&CenterDot;$

此时的伪偏导数矩阵可以设计为：

${\widehat{\mathrm{\&Phi;}}}^T\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&Phi;}}}^T(k-1)+\frac{\mathrm{\&eta;}\mathrm{\&Delta;}u(k-1)}{\mathrm{\&mu;}+\left|\right|\mathrm{\&Delta;}u(k-1)|{|}^2}\&lsqb;{\mathrm{\&Delta;y}}^T\left(k\right)-{\mathrm{\&Delta;u}}^T(k-1){\widehat{\mathrm{\&Phi;}}}^T(k-1)\&rsqb;,---\left(4\right)$

其中是对Φ(k)的估计，η>0，μ>0，伪偏导数估计可以写为： $\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{12}\left(k\right)\\ {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{21}\left(k\right)& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]\&CenterDot;$ 进一步的系统(3)可以写为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{y}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)& 0\\ 0& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{u}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)\\ \mathrm{\&Delta;}{u}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]+{\mathrm{\&Delta;d}}^1\left(k\right),---\left(5\right)$

其中 ${\mathrm{\&Delta;d}}^1\left(k\right)={\&lsqb;w_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right),w_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\&rsqb;}^T={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{12}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{21}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)+\mathrm{\&Delta;}d\left(k\right)+\mathrm{\&Phi;}\left(k\right)\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right)-\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(k\right)\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right).$

上式可以看出，△d¹(k)包含了系统间的耦合、外界扰动以及输入扰动等，在系统设计中，将其看为广义扰动。此时△d¹(k)的有界性与控制输入△u_i(k)与伪偏导数估计有关。式(5)进一步可以写为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&phi;}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&theta;}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}---\left(6\right)$

二、偏航通道单输入单输出系统分析

采用改进型非线性离散单输入单输出系统：

y_ψ(k+1)＝f_ψ(y_ψ(k)...y_ψ(k-n_yψ),u_ψ(k)...u₃(k-n_uψ),d_ψ(k)...d_ψ(k-n_dψ))(7)

其中n_yψ、n_uψ、n_dψ为系统未知阶数，d_ψ(k-n_i)∈R表示偏航通道在k-n_i时刻的值属于实数域，n_i∈[0,n_dψ]为k-n_i时刻系统扰动，可以假设d_ψ(k-n_i)是有界的，且满足||d(k-n_i)||≤d_ψ，d_ψ>0常数，f_ψ(·)为偏航通道非线性未知函数。同样做出假设：

条件4：系统(7)中f_ψ(·)对当前扰动输入d_ψ(k)的偏导数是连续的；

条件5：系统(7)对△d_ψ(k)是广义Lipschitz，即:对于任意的△d_ψ(k)≠0，系统(7)满足

|△y_ψ(k+1)|≤L₂|△d_ψ(k)|(8)

其中L₂为正常数。

引理2：对于系统(7)，若满足条件1-5时，则存在伪偏导数α_ψ(k),β_ψ(k)，使其等价于

△y_ψ(k+1)＝α_ψ(k)△u_ψ(k)+β_ψ(k)△d_ψ(k)(9)

其中|α_ψ(k)|≤L₁,|β_ψ(k)|≤L₂。从系统(9)可以看出，等价系统式(9)中α_ψ(k),β_ψ(k),△d_ψ(k),△u_ψ(k)都是未知的，要是全部设计会增大系统运算量，无法保证系统实时性，由于β_ψ(k),△d_ψ(k)很难测量，但它们都是有界的，可以看为一个整体未知有界的广义扰动。可以设计α_ψ(k)的近似估计为

${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}(k-1)+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_{\mathrm{\&psi;}}{\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}(k-1)}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;}}+{\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}{(k-1)}^2}\left({\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&psi;}}\right(k-1)-{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}(k-1\left){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\right(k-1\left)\right),---\left(10\right)$

其中μ_ψ>0，η_ψ>0。进一步的，则系统(10)进一步可以化简为：

${\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&psi;}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right),---\left(11\right)$

其中 $w_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)-{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)+{\mathrm{\&beta;}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;d}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)$ 包含了系测量误差、输入扰动以及外界扰动等信息，亦可当为广义扰动，此时的w_ψ(k)的有界性与控制输入△u_ψ(k)和伪偏导数估计有关。

三、控制器设计与稳定性分析

根据上述分析过程，整理式(6)和式(11)，得到其系统一般表达式为：

${\mathrm{\&Delta;y}}_j(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_j\left(k\right)+w_j\left(k\right),---\left(12\right)$

其中j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统。为了确保系统伪偏导数的符号保持不变，设计系统重置律为：若|△u_j(k)|≤ε_j，则： ${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(1\right),{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{21}\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{21}\left(1\right),{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{12}\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{12}---\left(1\right)$ 成立，ε_j为正常数。由重置律可知，以及是有界的。综上式(5)可以做出一般假设是有界的，则△d¹(k)的有界性与△u(k)相关，同样式(11)中是有界的，则w_ψ(k)的有界性只与△u_ψ(k)相关，|.|’为绝对值符号，表示为伪偏导数估计初始值，下标‘j’代表滚转、俯仰、偏航任意的通道。

定义系统跟踪误差：

e_j(k+1)＝y_j(k+1)-y_rj(k+1),(13)

其中y_rj(k+1)表示系统k+1时刻系统的给定值。定义一阶滤波误差：

s_j(k)＝e_j(k)+c_je_j(k-1),(14)

其中c_j为正常数。定义滑模面变量：

σ_j(k+1)＝s_j(k+1)+k_1js_j(k),(15)

其中k_1j为正常数。不考虑广义扰动下，系统的等效控制可以写为：

σ_j(k+1)＝σ_j(k)＝0,(16)

σ_j(k)表示k时刻的第‘j’通道的滑模变量值，进一步化简式(16)可以得到式：

${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{equj}\left(k\right)+y_j\left(k\right)-y_{rj}(k+1)+c_j{e}_j\left(k\right)=-k_{1j}{s}_j\left(k\right),---\left(17\right)$

△u_equj(k)表示k时刻的等效控制值。则可以设计△u_equj(k)为：

${\mathrm{\&Delta;u}}_{equj}\left(k\right)=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right)+m_j}\left(y_{rj}\right(k+1)-y_j(k)-c_j{e}_j(k)-k_{1j}{s}_j(k\left)\right),---\left(18\right)$

为了避免等效控制输入△u_equj(k)可能会变得很大甚至无界，因此引入正数m_j。为了增加系统的鲁棒性，减缓系统的抖振现象，设计滑模控制器△u_slij(k)：

${\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}\left(k\right)=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right)+m_j}\left(\right({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k-1\right)+m_j\left){\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}\right(k-1)-k_{2j}sign({\mathrm{\&sigma;}}_j\left(k\right)\left)\right),---\left(19\right)$

k_2j>0。此时控制输入可以看为：

△u_j(k)＝△u_slij(k)+△u_equj(k),(20)

将式(20)代入式(14)中，进一步可以化简得到：

$s_j(k+1)=\left({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\right(k)+m_j){\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}\left(k\right)-k_{1j}{s}_j\left(k\right)+{\tilde{w}}_j\left(k\right),---\left(21\right)$

其中其包含了未建模动态、不确定性、测量误差以及无法测量扰动等信息，将其视为广义扰动。而s_j(k)可以写为：

$s_j\left(k\right)=\left({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\right(k-1)+m_j){\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}(k-1)-k_{1j}{s}_j(k-1)+{\tilde{w}}_j(k-1),---\left(22\right)$

将式(21)与式(22)进行相减，并带入式(19),进一步整理得到：

${\mathrm{\&sigma;}}_j(k+1)={\mathrm{\&sigma;}}_j\left(k\right)-k_{2j}sign\left({\mathrm{\&sigma;}}_j\right(k\left)\right)+{\tilde{w}}_j\left(k\right)-{\tilde{w}}_j(k-1),---\left(23\right)$

综合重置律，可以得出的有界性只与△u_j(k)相关，只要满足△u_j(k)有界，则广义扰动一定有界，而△u_j(k)的有界性可以采用离散迭代法进行证明，且其上界与u_j(1)和e_j(1)有关，其中u_j(1)表示第‘j’通道的控制输入初始值，e_j(1)表示第‘j’通道的初始误差值。综上可知，对于任意时刻， $\mathrm{\&Delta;}{\tilde{w}}_j\left(k\right)={\tilde{w}}_j\left(k\right)-{\tilde{w}}_j(k-1)$ 是有界的，也即

$|{\tilde{w}}_j\left(k\right)-{\tilde{w}}_j(k-1)|\&le;w^{*},---\left(24\right)$

其中w^*>0，w^*为存在未知的常数，上标‘^*’仅仅是用来扩展变量之用。

引理3：对于系统(12)，当系统满足条件

k_2j≥w^*

时，对于任意的给定信号y_rj(k+1),系统在控制律(20)的作用下，将进入收敛准滑动模态。

为了验证本发明设计的无模型结构自适应滑模控制器的控制效果，采用文(期刊：NonlinearDynamics；著者：BZhu,WHuo；出版年月：2013年；文章题目：RobustNonlinearControlforAModel-scaledHelicopterwithParameterUncertainties；页码：1139–1154)建立的无人直升机非线性模型进行姿态镇定和姿态跟踪仿真研究。

需要特别说明的是，为了和惯有的无人机模型变量保持一致，本发明中的控制输入u_φ(k)、u_θ(k)分别和无人直升机的横滚标准舵机输入δ_lat(t)、俯仰标准舵机输入δ_lon(t)一一对应，本发明中的y_φ(k)、y_θ(k)分别和滚转姿态角φ(t)、俯仰角姿态角θ(t)一一对应，本发明中的输入u_ψ(k)是与偏航标准舵机控制输入δ_ped(t)对应的，本发明中的输出y_ψ(k)是和偏航姿态角ψ(t)对应的。

注：控制器设计过程中所有的未知常数，只需知道其存在即可，具体实施时可以通过有界结构自适应律去消除其影响。

下面结合附图进一步详细说明本发明。

一、姿态镇定仿真

控制器参数选为：η＝1.8,μ＝10,m_φ＝1,m_θ＝1,m_ψ＝1,k_2φ＝5,k_2θ＝5,k_2ψ＝2,c_φ＝0.2,c_θ＝0.2,c_ψ＝0.2,k_1φ＝0.1,k_1θ＝0.1,k_1ψ＝0.1,η₃＝1,μ₃＝20,ε_φ＝0.00005,ε_θ＝0.00005,ε_ψ＝0.005,采样时间k＝0.002秒。姿态初始值选为：φ(1)＝8.5度，θ(1)＝-6度，ψ(1)＝-8.5度。仿真效果如图1至图3所示。

图1是滚转角φ(t)、俯仰角θ(t)以及偏航角ψ(t)的变化曲线；图2是横向周期变距δ_lat(t)、纵向周期变距δ_lon(t)以及尾桨总距δ_ped(t)的变化趋势图；图3是结构自适应律的变化曲线。从图1中可以看出，滚转方向在0.5秒内达到稳定状态，俯仰方向在1秒达到稳定状态，偏航方向在3秒达到稳定状态，图2中控制输入保持在合理的范围内，且图3中结构自适应律最后都收敛到其初值附近。

二、姿态跟踪仿真

为了验证本章设计的控制器的跟踪效果，进行姿态跟踪控制仿真研究，控制器参数选取和姿态镇定仿真参数类似，设计姿态跟踪给定为：

仿真时长为100秒，仿真结果如图4至图7所示。

图4和图5是跟踪过程中，滚转角φ(t)、俯仰角θ(t)以及偏航角ψ(t)的变化曲线，以及跟踪误差e_φ(t)、e_θ(t)、e_ψ(t)，从图中可以看出滚转方向跟踪过程中误差为±0.02度，俯仰方向跟踪过程中跟踪误差为±0.02度，偏航方向跟踪过程中跟踪误差为±0.1度；图6是横向周期变距δ_lat(t)、纵向周期变距δ_lon(t)以及尾桨总距δ_ped(t)的变化，其保持在合理的范围内；图7是结构自适应律的变化曲线，都围绕在初值附近。

Claims (1)

1.一种无人直升机姿态无模型结构自适应滑模控制方法，其特征是，对于俯仰和滚转通道采用多输入多输出系统分析，偏航通道采用单输入单输出系统分析；具体步骤如下：

一、俯仰和滚转通道多输入多系统分析

考虑非线性离散多输入多输出系统：

y(k+1)＝f(y(k),y(k-1)...y(k-n_y),u(k),...u(k-n_u))+d(k),(1)

式(1)中n_y、n_u为系统输出和输入未知阶数，下标‘y’代表系统输出阶数，下标‘u’代表系统输入阶数；u(k)＝[u_φ(k),u_θ(k)]^T为k时刻的控制输入，上标T为求向量的转置，u_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，下标φ代表滚转通道，u_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入，下标θ代表俯仰通道；y(k)＝[y_φ(k),y_θ(k)]^T为k时刻的控制输出，y_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，y_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入；f(·)为一个广义的未知的非线性函数缩写，d(k)＝[d_φ(k),d_θ(k)]^T为k时刻的有界的扰动，即||d(k)||≤d₀，d₀为正常数，d_φ(k)代表滚转通道k时刻的控制输入，d_θ(k)代表俯仰通道k时刻的控制输入；‘||.||’为范数符号，‘≤’为小于等于号；y(k-n_y)代表k-n_y时刻的系统输出，u(k-n_u)代表k-n_u时刻的控制输入,y(k+1)代表k+1时刻时的控制输出，y(k-1)代表k-1时刻的控制输出，对于系统(1)做出如下假设：

条件1.系统(1)是输入输出可观可控的；

条件2.系统(1)中f(·)对当前控制输入u(k)的偏导数是连续的；

条件3.系统(1)对△u(k)是广义Lipschitz条件，即对于任意的当△u(k)≠0时，系统(1)满足

||△y(k+1)||≤L||△u(k)||,(2)

其中L为正常数，△u(k)＝[△u_φ(k),△u_θ(k)]^T，△表示k时刻的变量值与k-1时刻的变量值做减法，即△u_i(k)＝u_i(k)-u_i(k-1)，其中下标i＝φ,θ可以代表任一通道，具体形式为△u_φ(k)＝u_φ(k)-u_φ(k-1)和△u_θ(k)＝u_θ(k)-u_θ(k-1)，具体的△u_i(k)表示第i通道在k时刻时的输入值u_i(k)与k-1时刻输入值u_i(k-1)之差；△y(k)＝[△y_φ(k),△y_θ(k)]^T，即△y_i(k+1)＝y_i(k+1)-y_i(k)，其中下标i＝φ,θ可以代表任一通道，具体为△y_φ(k+1)＝y_φ(k+1)-y_φ(k)和△y_θ(k+1)＝y_θ(k+1)-y_θ(k)，△y_i(k+1)表示第i通道在k+1时刻时的输出值y_i(k+1)与k时刻输出值y_i(k)之差；‘||.||’为范数符号，‘≤’为小于等于号；

引理1：对于系统(1)，若满足1-3的条件时，则存在伪偏导数矩阵Φ(k)，使其等价于

△y(k+1)＝Φ(k)△u(k)+△d(k),(3)

其中满足||Φ(k)||≤b，b为一个正常数，且有

$\mathrm{\&Phi;}\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)& {\mathrm{\&alpha;}}_{12}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_{21}\left(k\right)& {\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right].$

其中||.||为范数符号，≤为小于等于号，Φ(k)表示k时刻的伪偏导数矩阵值，具体的α_φ(k)表示k时刻滚转通道的伪偏导数值，α₁₂(k)表示矩阵第一行第二列的伪偏导数值，下标‘1’代表矩阵第一行，下标‘2’代表矩阵第二列，α₂₁(k)表示矩阵第二行第一列的伪偏导数值，下标‘2’代表矩阵第二行，下标‘1’代表矩阵第一列，‘△’表示k时刻的变量值与k-1时刻的变量值做减法，△d(k)＝[△d_φ(k),△d_θ(k)]^T表示俯仰和滚转通道的扰动信息，亦可写为

△d_i(k)＝d_i(k)-d_i(k-1)，其下标i＝φ,θ可以代表任一通道，具体为

△d_φ(k)＝d_φ(k)-d_φ(k-1)和△d_θ(k)＝d_θ(k)-d_θ(k-1)，

具体的△d_i(k)表示第i通道k时刻的扰动值d_i(k)与k-1时刻的扰动值d_i(k-1)之差；

此时的伪偏导数矩阵设计为：

${\widehat{\mathrm{\&Phi;}}}^T\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&Phi;}}}^T(k-1)+\frac{\mathrm{\&eta;}\mathrm{\&Delta;}u(k-1)}{\mathrm{\&mu;}+\left|\right|\mathrm{\&Delta;}u(k-1)|{|}^2}\&lsqb;{\mathrm{\&Delta;y}}^T\left(k\right)-{\mathrm{\&Delta;u}}^T(k-1){\widehat{\mathrm{\&Phi;}}}^T(k-1)\&rsqb;,---\left(4\right)$

其中是对Φ(k)的估计，η>0，μ>0。中的上标^是为了表示其与Φ(k)之间为估计关系，可以表示为k时刻对Φ(k)的估计，此时的伪偏导数估计可以写为： $\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{12}\left(k\right)\\ {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{21}\left(k\right)& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right].$ 进一步的系统(3)可以写为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{y}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)& 0\\ 0& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{u}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)\\ \mathrm{\&Delta;}{u}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\end{array}\right]+{\mathrm{\&Delta;d}}^1\left(k\right),---\left(5\right)$

其中 ${\mathrm{\&Delta;d}}^1\left(k\right)={\&lsqb;w_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right),w_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)\&rsqb;}^T={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{12}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{21}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)+\mathrm{\&Delta;}d\left(k\right)+\mathrm{\&Phi;}\left(k\right)\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right)-\widehat{\mathrm{\&Phi;}}\left(k\right)\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right);$ 由上式得到，△d¹(k)包含了系统间的耦合、外界扰动以及输入扰动，在系统设计中，将其看为广义扰动；△d¹(k)是为了和式(3)中的△d(k)相区分，故在其上加上标1，w_φ(k)表示k时刻滚转通道的扰动分量，w_θ(k)表示k时刻俯仰通道的扰动分量，是为了和式(3)中的α₁₂(k)相区分，故加上标‘^’表示之间的估计关系，下标1代表矩阵第一行，下标2代表矩阵第二列；为了和式(3)中的α₂₁(k)相区分，故加上标^表示之间的估计关系，下标2代表矩阵第二行，下标1代表矩阵第一列；为了和式(3)中的α_φ(k)相区分，故加上标^表示之间的估计关系；为了和式(3)中的α_θ(k)相区分，故加上标^表示之间的估计关系，此时△d¹(k)的有界性与控制输入△u_i(k)与伪偏导数估计有关；式(5)进一步可以写为：

${\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&phi;}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\&phi;}}\left(k\right)$ (6)

${\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&theta;}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)$

二、偏航通道单输入单输出系统分析

改进型非线性离散单输入单输出系统：

y_ψ(k+1)＝f_ψ(y_ψ(k)...y_ψ(k-n_yψ),u_ψ(k)...u₃(k-n_uψ),d_ψ(k)...d_ψ(k-n_dψ))(7)

其中n_yψ、n_uψ、n_dψ为系统未知阶数，下标yψ代表偏航系统的输出未知阶数，下标uψ代表偏航系统输入的未知阶数,下标dψ代表偏航系统的未知扰动阶数；d_ψ(k-n_i)∈R表示偏航通道在k-n_i时刻的值属于实数域，n_i∈[0,n_dψ]为k-n_i时刻系统扰动，∈为属于符号，R代表实数域，下标ψ代表偏航通道，假设d_ψ(k-n_i)是有界的，且满足||d(k-n_i)||≤d_ψ，d_ψ>0常数，u_ψ(k)∈R为偏航通道k时刻的控制输入,y_ψ(k)∈R为偏航通道k时刻的控制输出,f_ψ(·)为偏航通道非线性未知函数，y_ψ(k+1)表示k+1时刻的控制输出，y_ψ(k)表示k时刻的控制输出，y_ψ(k-n_yψ)表示k-n_yψ时刻的控制输出，u_ψ(k)表示k时刻的控制输入，u_ψ(k-n_yψ)表示k-n_uψ时刻的控制输入，d_ψ(k-n_dψ)表示k-n_dψ时刻的扰动量，；同样做出假设：

条件4：系统(7)中f_ψ(·)对当前扰动输入d_ψ(k)的偏导数是连续的；

条件5：系统(7)对△d_ψ(k)是广义Lipschitz，即:对于任意的△d_ψ(k)≠0，系统(7)满足

|△y_ψ(k+1)|≤L₂|△d_ψ(k)|(8)

其中L₂为正常数，下表2是为了与式(2)的L相区别；△表示k时刻的变量值与k-1时刻的变量值做减法，即△d_ψ(k)＝d_ψ(k)-d_ψ(k-1)，具体的△d_ψ(k)表示偏航通道ψ在k时刻的扰动值d_ψ(k)与k-1时刻的扰动值d_ψ(k-1)之差，|.|为绝对值符号，△y_ψ(k+1)＝y_ψ(k+1)-y_ψ(k)，具体的△y_ψ(k+1)表示偏航通道ψ在k+1时刻的输出值y_ψ(k+1)与k时刻的输出值y_ψ(k)之差；

引理2：对于系统(7)，若满足条件1-5时，则存在伪偏导数α_ψ(k),β_ψ(k)，使其等价于

△y_ψ(k+1)＝α_ψ(k)△u_ψ(k)+β_ψ(k)△d_ψ(k)(9)

其中|α_ψ(k)|≤L₁,|β_ψ(k)|≤L₂，下表1是为了与式(2)的L和式(8)中的L₂区别，α_ψ(k),β_ψ(k)表示k时刻的分别针对控制输入和扰动的伪偏导数值，△u_ψ(k)＝u_ψ(k)-u_ψ(k-1)；从系统(9)可以看出，等价系统式(9)中α_ψ(k),β_ψ(k),△d_ψ(k),△u_ψ(k)都是未知的，要是全部设计会增大系统运算量，无法保证系统实时性，由于β_ψ(k),△d_ψ(k)很难测量，但它们都是有界的，看为一个整体未知有界的广义扰动；

设计α_ψ(k)的近似估计为

${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}(k-1)+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_{\mathrm{\&psi;}}{\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}(k-1)}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;}}+{\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}{(k-1)}^2}\left({\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&psi;}}\right(k)-{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}(k-1\left){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\right(k-1\left)\right),---\left(10\right)$

其中μ_ψ>0，η_ψ>0，为了和式(9)中的α_ψ(k)相区分，故加上标^表示之间的估计关系，其表示k时刻对α_ψ(k)的估计，表示k-1时刻的估计值，进一步的，则系统(10)进一步可以化简为：

${\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&psi;}}(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)+w_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right),---\left(11\right)$

其中 $w_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)-{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)+{\mathrm{\&beta;}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right){\mathrm{\&Delta;d}}_{\mathrm{\&psi;}}\left(k\right)$ 包含了系测量误差、输入扰动以及外界扰动等信息，亦可当为广义扰动，此时的w_ψ(k)的有界性与控制输入△u_ψ(k)和伪偏导数估计有关；

三、控制器设计与稳定性分析

根据上述分析过程，整理式(6)和式(11)，得到其系统一般表达式为：

${\mathrm{\&Delta;y}}_j(k+1)={\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_j\left(k\right)+w_j\left(k\right),---\left(12\right)$

其中j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，可表示为第j通道的子系统。为了确保系统伪偏导数的符号保持不变，设计系统重置律为：若|△u_j(k)|≤ε_j，则：成立，ε_j为正常数。由重置律可知，以及是有界的。综上式(5)可以做出一般假设是有界的，则△d¹(k)的有界性与△u(k)相关，同样式(11)中是有界的，则w_ψ(k)的有界性只与△u_ψ(k)相关，|.|为绝对值符号，表示为伪偏导数估计初始值，下标j代表滚转、俯仰、偏航任意的通道；

定义系统跟踪误差：

e_j(k+1)＝y_j(k+1)-y_rj(k+1),(13)

其中y_rj(k+1)表示系统k+1时刻系统的给定值，下表rj表示j通道的给定值，r看为英文单词reference的缩写，表示系统给定，e_j(k+1)表示第j通道k+1时刻系统实际输出值与系统给定值之差，定义为跟踪误差，y_j(k+1)表示第j通道系统k+1时刻系统的实际输出值，j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，具体的可以写为e_φ(k+1)＝y_φ(k+1)-y_rφ(k+1),其中e_φ(k+1)表示k+1时刻φ滚转通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_θ(k+1)＝y_θ(k+1)-y_rθ(k+1),其中e_θ(k+1)表示k+1时刻θ俯仰通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_ψ(k+1)＝y_ψ(k+1)-y_rψ(k+1),其中e_ψ(k+1)表示k+1时刻ψ偏航通道系统实际输出值与系统给定值之差；定义一阶滤波误差：

s_j(k)＝e_j(k)+c_je_j(k-1),(14)

其中c_j为正常数,e_j(k)表示k时刻第j通道系统实际输出值与系统给定值之差,e_j(k-1)表示第j通道k-1时刻系统实际输出值与系统给定值之差，s_j(k)为第j通道k时刻的滤波误差信号，j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，具体的可以写为s_φ(k)＝e_φ(k)+c_φe_φ(k-1),e_φ(k)表示k时刻φ滚转通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_φ(k-1)表示k-1时刻φ滚转通道系统实际输出值与系统给定值之差，s_φ(k)为k时刻滚转通道φ的滤波误差信号，s_θ(k)＝e_θ(k)+c_θe_θ(k-1),e_θ(k)表示k时刻‘θ’俯仰通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_θ(k-1)表示k-1时刻θ俯仰通道系统实际输出值与系统给定值之差，s_θ(k)为k时刻俯仰通道θ的滤波误差信号，s_ψ(k)＝e_ψ(k)+c_ψe_ψ(k-1),e_ψ(k)表示k时刻ψ偏航通道系统实际输出值与系统给定值之差，e_ψ(k-1)表示k-1时刻ψ偏航通道系统实际输出值与系统给定值之差，s_ψ(k)为k时刻偏航通道ψ的滤波误差信号；定义滑模面变量：

σ_j(k+1)＝s_j(k+1)+k_1js_j(k),(15)

其中k_1j为正常数，下标1j表示第j通道的k₁值，下标1仅仅是为了扩展变量使用，s_j(k+1)为k+1时刻的滤波误差信号，σ_j(k+1)表示k+1时刻的滑模变量值，j＝φ,θ,ψ代表任意通道的系统，具体为σ_j(k+1)＝[σ_φ(k+1),σ_θ(k+1),σ_ψ(k+1)]^T，σ_φ(k+1)表示k+1时刻滚转通道φ的滑模变量值，σ_θ(k+1)表示k+1时刻俯仰通道θ的滑模变量值，σ_ψ(k+1)表示k+1时刻偏航通道ψ的滑模变量值，s_j(k+1)＝[s_φ(k+1),s_θ(k+1),s_ψ(k+1)]^T，s_φ(k+1)表示k+1时刻φ的滤波误差值，s_θ(k+1)表示k+1时刻俯仰通道θ的滤波误差值，s_ψ(k+1)表示k+1时刻偏航通道ψ的滤波误差值。不考虑广义扰动下，系统的等效控制可以写为：

σ_j(k+1)＝σ_j(k)＝0,(16)

σ_j(k)表示k时刻的第j通道的滑模变量值，进一步化简式(16)可以得到式：

${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{equj}\left(k\right)+y_j\left(k\right)-y_{rj}(k+1)+c_j{e}_j\left(k\right)=-k_{1j}{s}_j\left(k\right),---\left(17\right)$

△u_equj(k)表示k时刻的等效控制值，下标equj表示第j通道的等效控制值，equ可以看为英文单词equation的缩写，这里用来表示其为等效方法得到的控制输入。则可以设计△u_equj(k)为：

${\mathrm{\&Delta;u}}_{equj}\left(k\right)=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right)+m_j}\left(y_{rj}\right(k+1)-y_j(k)-c_j{e}_j(k)-k_{1j}{s}_j(k\left)\right),---\left(18\right)$

为了避免等效控制输入△u_equj(k)可能会变得很大甚至无界，因此引入正数m_j；为了增加系统的鲁棒性，减缓系统的抖振现象，设计滑模控制器△u_slij(k)：

${\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}\left(k\right)=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k\right)+m_j}\left(\right({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\left(k-1\right)+m_j\left){\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}\right(k-1)-k_{2j}sign({\mathrm{\&sigma;}}_j\left(k\right)\left)\right),---\left(19\right)$

k_2j>0，下标2j表示第j通道的k₂值，下标2仅仅是为了扩展变量使用，是与之前的k_1j加以区分得到；sign(σ_j(k))表示滑模切换函数，具体表示为：当σ_j(k)>0时，sign(σ_j(k))＝1；当σ_j(k)<0时，sign(σ_j(k))＝-1；当σ_j(k)＝0时，sign(σ_j(k))＝0，sign(.)为标准的符号函数记号。△u_slij(k)表示k时刻的带有滑模的控制输入值，下表slij表示第j通道的滑模控制值，sli看为英文sliding-model的缩写，这里用来表示其包含有滑模切换函数得到的输入值；此时控制输入可以看为：

△u_j(k)＝△u_slij(k)+△u_equj(k),(20)

将式(20)代入式(14)中，进一步可以化简得到：

$s_i(k+1)=\left({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\right(k)+m_j){\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}\left(k\right)-k_{1j}{s}_j\left(k\right)+{\tilde{w}}_j\left(k\right),---\left(21\right)$

其中其包含了未建模动态、不确定性、测量误差以及无法测量扰动等信息，将其视为广义扰动，加上标‘～’是为了与w_j(k)进行区别，其表示k时刻的带有控制输入的广义扰动；而s_j(k)可以写为：

$s_i\left(k\right)=\left({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_j\right(k-1)+m_j){\mathrm{\&Delta;u}}_{slij}(k-1)-k_{1j}{s}_j(k-1)+{\tilde{w}}_j(k-1),---\left(22\right)$

将式(21)与式(22)进行相减，并带入式(19),进一步整理得到：

${\mathrm{\&sigma;}}_j(k+1)={\mathrm{\&sigma;}}_j\left(k\right)-k_{2j}sign\left({\mathrm{\&sigma;}}_j\right(k\left)\right)+{\tilde{w}}_j\left(k\right)-{\tilde{w}}_j(k-1),---\left(23\right)$

综合重置律，可以得出的有界性只与△u_j(k)相关，只要满足△u_j(k)有界，则广义扰动一定有界，而△u_j(k)的有界性可以采用离散迭代法进行证明，且其上界与u_j(1)和e_j(1)有关，其中u_j(1)表示第j通道的控制输入初始值，e_j(1)表示第j通道的初始误差值；

综上可知，对于任意时刻，是有界的，也即

$|{\tilde{w}}_j\left(k\right)-{\tilde{w}}_j(k-1)|\&le;w^{*},---\left(24\right)$

其中w^*>0，w^*为存在未知的常数，上标‘*’仅仅是用来扩展变量之用；

引理3：对于系统(12)，若其满足假设1-5，则系统满足条件

k_2j≥w^*

时，对于任意的给定信号y_rj(k+1),系统在控制律(20)的作用下，将进入收敛准滑动模态。