CN105676637B - 基于预测函数控制的分子量输出pdf控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了属于随机系统输出分布控制领域，特别涉及一种基于预测函数控制的分子量输出PDF控制方法。采用线性B样条函数逼近方法，将分子量的输出概率密度函数表示为预先确定的基函数的线性组合，在确定所有基函数后，通过控制权值向量就可以逼近系统输出概率密度函数，构建聚合材料的分子量输出PDF模型；预测函数控制算法实现分子量输出分布的跟踪控制，采用quadprog函数来求解在限定范围内的最优解。本发明进一步完善分子量分布控制的研究，对比于广义预测控制算法，计算量小，缩短了控制算法的时间，提高了控制的实时性；同时预测函数控制具有规律性，使得系统能够更快的收敛到期望的输出，提高了系统的控制性能和稳定性。

Description

基于预测函数控制的分子量输出PDF控制方法

技术领域

本发明属于随机系统输出分布控制领域，特别涉及一种基于预测函数控制的分子量输出PDF控制方法。

技术背景

当前社会，在现代工业飞速发展的带动下，聚合材料因其广泛应用得到了重视，聚合材料的质量要求也逐渐提高。聚合材料是由不同长链分子构成的聚合产物，其生产过程具有随机性。对于聚合材料而言，不同链长的聚合物具有不同的性质，具体表现在聚合材料的性能结晶、机械强度和应变特性等方面，而分子量分布能够提供分子链长平衡，因此，分子量分布控制研究是聚合物微观质量控制中重要课题。

现阶段，聚合反应过程中，人们主要采用辅助变量如反应温度来间接控制产品的质量，但是，间接控制指标只能反应聚合物的平均分子量，并不能完全反应产品信息，因此需要寻找新的可控的方法。如果从完全表征分子量分布的角度来看，新的控制方法需要能够直接控制分子量的输出分布。鉴于此，随机分布控制理论为分子量输出分布控制提供了新的思路。

在聚苯乙烯生产中，考虑到分子量分布形状的复杂性，然而分布形状比较复杂，可能是多峰的，不对称的，不能简单的用集中参数，如平均分子量进行描述，而是需要直接考虑完整的分布；目前已有学者采用随机分布控制理论直接控制分子量的输出分布，可通过建立线性B样条概率密度函数(PDF)模型，采用广义预测控制方法控制分子量输出分布，控制输出PDF能够接近期望PDF。也有学者研究基于有理平方根B样条模型的广义预测控制，控制最终的输出PDF稳定在期望的输出PDF。

基于上述研究得出，采用预测控制能够实现误差较小且稳定的逼近PDF，但是由于控制输入规律性不明确，导致收敛速度慢，且由于该算法需要求解丢番图方程增加了过程的计算量，控制算法还需进一步研究，因此本文选取预测函数控制算法来逼近输出PDF，进一步完善分子量分布控制的研究。

本发明应用预测函数控制算法设计控制器控制输出PDF，为分子量输出分布的控制提供了新的思路和方法。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于预测函数控制的分子量输出PDF控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：首先考虑在聚合反应过程中，聚合物的分子量分布形状的复杂性，分子量分布形状是多峰的或不对称的，不能简单的用集中参数，平均分子量进行描述，而是需要直接考虑完整的分布；采用广义预测控制方法控制分子量输出分布，采用线性B样条函数逼近方法，构建聚合材料的分子量输出PDF模型；

为描述模型，采用线性B样条函数逼近方法，分子量输出PDF用一系列基函数的线性组合来表示，这些基函数是预先确定的，因此，控制权值向量就能够控制分子量输出PDF。假定u(k)为k时刻控制输入向量，γ(y,u(k))表示概率密度函数，其中y为函数变量，那么在u(k)的控制下，概率密度函数可以用线性B样条函数的加权来表示，具体如下：

其中ω_i(u(k))是与u(k)有关的权值，B_i(y)≥0，i＝1,2,…,n是基函数，n为基函数的个数，上述B样条表示形式能够逼近任意形状的分子量输出PDF；定义

i＝1,2,…,n-1，C(y)＝[c₁(y),c₂(y),...,c_n-1(y)]，V_k＝[ω₁(u(k)),ω₂(u(k)),...,ω_n-1(u(k))]^T，其中c₁、c₂为函数变量y的定义域的上下限；则分子量输出PDF可简化表示成如下式子：

γ(y,u(k))＝C(y)V_k+L(y) (2)

其中C(y)和L(y)只与B样条函数相关，由此可知，当基函数选定之后，C(y)和L(y)是已知量，为进一步简化分子量输出PDF表达式，令

f_m(y,k)＝γ(y,u(k))-L(y)＝C(y)V_k (3)

步骤2：对于动态系统而言，根据权值和控制输入的动态关系，将分子量输出PDF的模型写成滑动平均模型形式；

权值与控制输入的动态关系表示为：V_k+1＝AV_k+Bu(k)， (4)

其中A，B是适当维数的模型参数矩阵，V_k是由独立权值组成的向量，将式(4)引入位移算子z^-1并代入式(3)得到：

f_m(y,k)＝C(y)(I-z^-1A)^-1Bu(k-1) (5)

其中I为(n-1)维单位阵，u(k-1)是k-1时刻的输入控制作用，C(y)与B样条函数相关；将(I-z^-1A)^-1B根据矩阵理论展开，则式(5)表示为分子量输出PDF模型，其表达式如下：

其中a_i和D_j是(I-z^-1A)^-1B的展开式系数；以上所有的参数均由最小二乘法辨识方法得到；

步骤3：在步骤2的基础上，采用预测函数控制分子量输出包括步骤：

步骤s1：控制量的确定，

预测函数控制是把每一时刻的控制输入看作若干事先选定的基函数的线性组合，从而保证控制输入的规律性，因此，控制输入可以表示为如下形式：

其中，p为预测时域，N为基函数的个数，s_q为常系数，f_q(i)为基函数f_q在i处的值；

由于控制系统是恒值跟踪系统，因此控制输入采用阶跃响应函数，也就是仅采用一个基函数，即N＝1，由于是阶跃函数，其常系数设定为1；另外，由于预测控制算法在每一个采样时刻在线优化求取到的是优化区间上的一组控制序列，在具体实施控制作用时只采用当前时刻的控制量，这样可以提高系统对扰动和时变的鲁棒性，即对未来控制量可不精确求解，因此未来控制量可以都等于当前的控制量，因此控制量确定为：

u(k+i)＝u(k)＝u_c,i＝0,1,2,...,p-1 (8)

步骤s2：预测输出的确定，

预测模型的输出f_m(y,k+i)写成优化变量分离的形式：

f_m(y,k+i)＝N₀(y,k+i)+N₁(y,k+i)u_c (9)

其中N₀(y,k+i)，N₁(y,k+i)在k+i时刻分别为常数，i＝0,1,2,...,p-1，其递推算法如下：

其中，b_j是公式推导中间参数，b_j＝C(y)D_j；

步骤s3：误差校正，

在实际情况下，由于模型失配的原因，模型输出与实际输出之间常存在一定的误差，通过校正可更加准确地预测过程的输出，在预测函数控制中，校正一般可通过预测误差来对模型输出进行补偿。因此当前时刻的预测误差：

e(y,k+i)＝e(y,k)＝f(y,k)-f_m(y,k) (10)

校正后的预测输出：

f_p(y,k+i)＝f_m(y,k+i)+e(y,k+i) (11)

步骤s4:参考轨迹的确定，

设定参考值f_r(y,k+i)，使系统输出沿着参考轨迹最终趋近设定值，具体参考值f_r(y,k+i)可由以下式子得到：

f_r(y,k+i)＝f_g(y)-αⁱ(f_g(y)-f(y,k-1)) (12)

其中f_g(y)为目标输出设定值，f(y,k-1)为k-1时刻实际输出，α为柔化因子；步骤s5：性能指标的确定，

为了实现输出分布的跟踪控制，选取二次型性能指标，通过极小化性能指标可以使得分子量的输出分布跟踪给定的形状分布为：

上式(13)是二次方程，可以采用quadprog函数来求解最优解；R为u_c的约束因子，R>0。

本发明的有益效果特点为：本发明基于预测函数控制聚合物的分子量的输出分布形状分布，采用线性B样条函数逼近方法，构建聚合材料的分子量输出PDF模型；进一步完善分子量分布控制的研究，与基于广义预测控制算法对比，本发明的算法计算量小，大大的缩短了控制算法的时间，提高了控制的实时性；同时预测函数控制产生的控制输入具有规律性使得系统能够更快的收敛到期望的输出，提高了系统的控制性能和稳定性。

附图说明

图1预测函数控制的基本结构图。

图2聚合反应示意图。

图3分子量分布的机理模型变化图。

图4分子量分布的B样条模型变化图。

图5机理模型与B样条模型对比误差变化图。

图6预测函数控制下期望输出PDF、初始输出PDF和实际输出PDF的对比图。

图7预测函数控制下控制过程中的控制输入变化图。

图8预测函数控制下输出PDF三维变化图。

图9广义预测控制下期望输出PDF、初始输出PDF和实际输出PDF的对比图。

图10广义预测控制下控制过程中的控制输入变化图。

图11广义预测控制下输出PDF三维变化图。

具体实施方式

本发明提出一种基于预测函数控制的分子量输出PDF控制方法，下面结合附图予以进一步说明。

为了实际工业过程需要，将基于预测函数控制的输出分布控制器应用到分子量分布控制中，以解决系统中带有随机性的问题。本发明可以分为以下几步：

步骤1：首先考虑在聚合反应过程中，聚合物的分子量分布形状的复杂性，分子量分布形状是多峰的或不对称的，不能简单的用集中参数，平均分子量进行描述，而是需要直接考虑完整的分布；采用广义预测控制方法控制分子量输出分布，采用线性B样条函数逼近方法，构建聚合材料的分子量输出PDF模型；

为描述模型，采用线性B样条函数逼近方法，分子量输出PDF用一系列基函数的线性组合来表示，这些基函数是预先确定的，因此，控制权值向量就能够控制分子量输出PDF。假定u(k)为k时刻控制输入向量，γ(y,u(k))表示概率密度函数，其中y为函数变量，那么在u(k)的控制下，概率密度函数可以用线性B样条函数的加权来表示，具体如下：

其中ω_i(u(k))是与u(k)有关的权值，B_i(y)≥0，i＝1,2,…,n是基函数，n为基函数的个数，上述B样条表示形式能够逼近任意形状的分子量输出PDF；定义

C(y)＝[c₁(y),c₂(y),...,c_n-1(y)]，V_k＝[ω₁(u(k)),ω₂(u(k)),...,ω_n-1(u(k))]^T，其中c₁、c₂为函数变量y的定义域的上下限；则分子量输出PDF可简化表示成如下式子：

γ(y,u(k))＝C(y)V_k+L(y) (2)

其中C(y)和L(y)只与B样条函数相关，由此可知，当基函数选定之后，C(y)和L(y)是已知量，为进一步简化分子量输出PDF表达式，令

f_m(y,k)＝γ(y,u(k))-L(y)＝C(y)V_k (3)

步骤2：对于动态系统而言，根据权值和控制输入的动态关系，将分子量输出PDF的模型写成滑动平均模型形式；

权值与控制输入的动态关系表示为：V_k+1＝AV_k+Bu(k)， (4)

其中A，B是适当维数的模型参数矩阵，V_k是由独立权值组成的向量，将(4)引入位移算子z^-1并代入(3)得到：

f_m(y,k)＝C(y)(I-z^-1A)^-1Bu(k-1) (5)

其中I为(n-1)维单位阵，u(k-1)是k-1时刻的输入控制作用，C(y)与B样条函数相关；将(I-z^-1A)^-1B根据矩阵理论展开，则式(5)表示为分子量输出PDF模型，其表达式如下：

其中a_i和D_j是(I-z^-1A)^-1B的展开式系数；以上所有的参数均由最小二乘法辨识方法得到；

步骤3：在步骤2的基础上，采用预测函数控制器控制分子量输出。

本发明采用预测函数控制(PFC)算法来跟踪期望的输出分布，预测函数控制是一种新颖的预测控制算法，是第三代模型预测控制算法，除了具有模型预测控制算法基本的三个特征(内部模型、参考轨迹、误差修正)之外，还在于注重控制量的结构性质。PFC在用优化算法求解未来控制作用时，引入了基函数，增强了输入控制量的规律性，同时提高了系统的准确性。

预测函数控制整体控制框图如图1所示，其中k+i表示当前k时刻之后第i个时刻，即k+i时刻。f_g(y)表示期望输出，f_r(y,k+i)表示k+i时刻的参考轨迹，u(k)表示k时刻控制输入，f(y,k)表示k时刻实际模型的输出，f_m(y,k+i)表示k+i时刻对象模型在k+i时刻的预测输出，f_p(y,k+i)是考虑到误差之后的预测输出，e(y,k+i)表示对象预测模型在k+i时刻的输出与实际输出间的误差。J为选取的性能指标。该控制框图整体思想即沿着参考轨迹，通过预测模型的输出与实际对象输出的误差不断调整控制量，使对象输出f(y,k)跟踪参考轨迹。

所述步骤3的预测函数控制分子量输出包括步骤：

步骤s1：控制量的确定，

PFC是第三代模型预测控制算法，可以把每一时刻的控制输入看作若干事先选定的基函数的线性组合，从而保证控制输入的规律性。因此，预测函数控制的第k+i时刻的控制输入u(k+i)一般表示为如下形式：

其中，p为预测时域，N为基函数的个数，s_q为常系数，f_q(i)为基函数f_q在i处的值；

由于控制系统是恒值跟踪系统，因此控制输入采用阶跃响应函数，也就是仅采用一个基函数，即N＝1，由于是阶跃函数，其常系数设定为1；另外，由于预测控制算法在每一个采样时刻在线优化求取到的是优化区间上的一组控制序列，在具体实施控制作用时只采用当前时刻的控制量，这样可以提高系统对扰动和时变的鲁棒性，即对未来控制量可不精确求解，因此未来控制量可以都等于当前的控制量，因此控制量确定为：

u(k+i)＝u(k)＝u_c,i＝0,1,2,...,p-1；(8)

步骤s2：预测输出的确定，

已建立输出分布的模型f_m(y,k)，如式(6)所示。本发明采用预测函数控制设计输出分布控制器，为了由k时刻的模型输出值得到k+i时刻模型预测输出值，因此需要根据控制量和输出分布的模型得到预测模型输出f_m(y,k+i)；为求得模型在k+i时刻的预测输出，可通过求解丢番图方程来得到，但计算复杂，计算量比较大。为方便设计控制器，预测模型的输出f_m(y,k+i)可以写成优化变量分离的形式：

f_m(y,k+i)＝N₀(y,k+i)+N₁(y,k+i)u_c； (9)

其中N₀(y,k+i)，N₁(y,k+i)在k+i时刻分别为常数，i＝0,1,2,...,p-1，其递推算法如下。

当i＝0时，由式(6)知：

那么

当i>0时，

令f_m(y,k+i)＝N₀(y,k+i)+N₁(y,k+i)u_c，则

f_m(y,k+i-j)＝N₀(y,k+i-j)+N₁(y,k+i-j)u_c,j≤i

代入并化简得：

对应f_m(y,k+i)＝N₀(y,k+i)+N₁(y,k+i)u_c，那么

其中N₀(y,k+i)，N₁(y,k+i)在k+i时刻分别为常数，i＝0,1,2,...,p-1，其递推算法如下：

其中，b_j是公式推导中间参数，b_j＝C(y)D_j；

步骤s3：误差校正，

在实际情况下，由于模型失配的原因，模型输出与实际输出之间常存在一定的误差，通过校正可更加准确地预测过程的输出，在预测函数控制中，校正一般可通过预测误差来对模型输出进行补偿，因此当前时刻的预测误差：

e(y,k+i)＝e(y,k)＝f(y,k)-f_m(y,k)； (10)

校正后的预测输出：

f_p(y,k+i)＝f_m(y,k+i)+e(y,k+i)； (11)

步骤s4:参考轨迹的确定，

设定参考值f_r(y,k+i)，使系统输出沿着参考轨迹最终趋近设定值，具体参考值f_r(y,k+i)可由以下式子得到：

f_r(y,k+i)＝f_g(y)-αⁱ(f_g(y)-f(y,k-1))； (12)

其中f_g(y)为目标输出设定值，f(y,k-1)为k-1时刻实际输出，α为柔化因子；实际上参考轨迹相当于一个滤波器，不仅影响系统的动态性能，增加了系统的柔软性，同时对系统的稳定性和鲁棒性起到了重要作用。α的取值反映了闭环系统期望的响应速度和过渡时间的要求。α越小，系统的响应速度越快，α越大，系统的响应速度越慢，控制量的波动越小。

步骤s5：性能指标的确定，

为了实现输出分布的跟踪控制，选取二次型性能指标，通过极小化性能指标可以使得分子量的输出分布跟踪给定的形状分布为：

上式(13)是二次方程，可以采用quadprog函数来求解最优解；R为u_c的约束因子，R>0。

实施例如下：

将上述的建模和控制方法应用于苯乙烯本体聚合过程，用matlab仿真验证方法的有效性。整个仿真过程是先累积聚合过程中输入控制量和输出分子量分布数据，然后采用最小二乘辨识法建立基于线性B样条函数的PDF模型，得到控制量与输出PDF的关系，然后设计预测函数控制器，得到最优控制量控制分子量输出达到期望的PDF。

聚合反应是在连续搅拌釜反应器中进行，反应单体为苯乙烯，引发剂为偶氮二异丁腈。这两种反应物通过控制装置送入反应器内，出口流量由一个平衡式流量计测量。在聚合反应过程中，可通过控制单体和引发剂的流量及比例来调整输出分子量的分布。具体聚合反应示意图如图2所示。聚合物的链长从2变化到2000，即分子量分布的输出离散形式定义在2～2000，系统变量y∈(2,2000)，控制量选取了0.3到0.7之间的500个数据，从0.3开始逐个递增0.002直到0.7。给定控制量后，经仿真得到的分子量输出机理模型变化图为图3所示。

从机理模型图中可以看出，本文获取了500组输入输出数据，根据这些数据建立线性B样条的PDF模型。选取的基函数的阶次为3，个数n为10。根据500组输入输出数据采用最小二乘辨识法得到输出PDF模型可用图4所示，机理模型与输出PDF模型的误差如图5所示。对比图3和图4发现，机理模型与B样条模型差别不大，从图5误差变化图可以可出，两者误差在0附近，说明本文的辨识参数较好，B样条PDF模型比较准确。

辨识得到式(6)中的系数后，可得到控制量与输出PDF之间的关系式，进而设计控制器。设定初始控制输入为0.5，最终期望输出PDF为控制输入为0.65时机理模型的输出，R_c＝0，柔化因子α＝0.99，预测步长和控制时域都等于4，控制量限定范围[0.3,0.7]。经仿真，控制次数在300时系统已经达到期望的输出PDF，程序运行时间79.8782s。控制仿真图如图6、图7和图8所示

图6为初始输出PDF、期望输出PDF和通过PFC控制后的输出PDF对比图，图7为控制过程中控制量的变化情况。仿真的控制量最终稳定在0.6504，与期望的控制量0.65非常接近，因此最终的输出PDF也非常接近于期望输出PDF。图8为控制过程中三维输出分布图，更直观的看出，随着控制次数的增长输出PDF是逐渐稳定到期望的输出PDF。

本文利用预测函数控制算法计算量少，控制输入明确的优点设计控制器，为说明其优点，将其与基于广义预测控制的分子量输出分布控制对比。控制所需次数为1200，仿真时间为469.5114s。仿真图如图9、图10和图11所示。

通过图6和图9对比发现，预测函数控制得到的输出分布比广义预测控制的输出分布更加接近期望输出分布；通过图7和图10对比发现，在控制过程中，采用预测函数控制明显的比采用广义预测控制的要更快的稳定在期望的输出分布。

从以上所述知道，传统的MPC在优化算法求解未来控制作用时，并未注意到控制量的结构性质，所产生的控制输入的规律性不明确。PFC将控制输入结构化，即把每一时刻加入的控制输入看作是若干事先选定的基函数的线性组合。由于在输入频谱有限的情况下，控制输入只能属于一组与设定值轨线和对象性质有关的特定的函数族，因此，对于线性过程，这样的组合是可行的。基函数的选取依赖于设定值轨线和对象的性质。这样，系统输出是上述基函数作用于对象的响应(当过程模型已知时，可事先算出)的加权组合。在线优化的目的只是为了求出少量的线性加权系数，进而算出未来的控制输入，在线计算工作量则可以大大减少。

Claims (1)

1.一种基于预测函数控制的分子量输出PDF控制方法，包括以下步骤：

步骤1：首先考虑在聚合反应过程中，聚合物的分子量分布形状的复杂性，分子量分布形状是多峰的或不对称的，不能简单的用集中参数，平均分子量进行描述，而是需要直接考虑完整的分布；采用广义预测控制方法控制分子量输出分布，采用线性B样条函数逼近方法，构建聚合材料的分子量输出PDF模型；

为描述模型，采用线性B样条函数逼近方法，分子量输出PDF用一系列基函数的线性组合来表示，这些基函数是预先确定的，因此，控制权值向量就能够控制分子量输出PDF；假定u(k)为k时刻控制输入向量，γ(y,u(k))表示概率密度函数，其中y为函数变量，那么在u(k)的控制下，概率密度函数可以用线性B样条函数的加权来表示，具体如下：

其中ω_i(u(k))是与u(k)有关的权值，B_i(y)≥0，i＝1,2,…,n是基函数，n为基函数的个数，上述B样条表示形式能够逼近任意形状的分子量输出PDF；定义

其中c₁、c₂为函数变量y的定义域的上下限；

i＝1,2,…,n-1，C(y)＝[c₁(y),c₂(y),...,c_n-1(y)]，V_k＝[ω₁(u(k)),ω₂(u(k)),...,ω_n-1(u(k))]^T，则分子量输出PDF可简化表示成如下式子：

γ(y,u(k))＝C(y)V_k+L(y) (2)

其中C(y)和L(y)只与B样条函数相关，由此可知，当基函数选定之后，C(y)和L(y) 是已知量，为进一步简化分子量输出PDF表达式，令

f_m(y,k)＝γ(y,u(k))-L(y)＝C(y)V_k (3)

步骤2：对于动态系统而言，根据权值和控制输入的动态关系，将分子量输出PDF的模型写成滑动平均模型形式；

权值与控制输入的动态关系表示为：V_k+1＝AV_k+Bu(k)，(4)

其中A，B是适当维数的模型参数矩阵，V_k是由独立权值组成的向量，将式(4)引入位移算子z^-1并代入式(3)得到：

f_m(y,k)＝C(y)(I-z^-1A)^-1Bu(k-1) (5)

其中I为(n-1)维单位阵，u(k-1)是k-1时刻的输入控制作用，C(y)与B样条函数相关；将(I-z^-1A)^-1B根据矩阵理论展开，则式(5)表示为模型输出PDF表达式：

其中a_i和D_j是(I-z^-1A)^-1B的展开式系数；以上所有的参数均由最小二乘法辨识方法得到；其特征在于，在步骤2的基础上，采用预测函数控制分子量输出，具体包括步骤：

步骤s1：控制量的确定，

预测函数控制是把每一时刻的控制输入看作若干事先选定的基函数的线性组合，从而保证控制输入的规律性，因此，控制输入可以表示为如下形式：

其中，p为预测时域，N为基函数的个数，s_q为常系数，f_q(i)为基函数f_q在i处的值；

由于控制系统是恒值跟踪系统，因此控制输入采用阶跃响应函数，也就是仅采用一个基函数，即N＝1，由于是阶跃函数，其常系数设定为1；另外，由于预测控制算法在每一个采样时刻在线优化求取到的是优化区间上的一组控制序列，在具体实施控制作用时只采用当前时刻的控制量，这样可以提高系统对扰动和时变的鲁棒性，即对未来控制量可不精确求解，因此未来控制量可以都等于当前的控制量，因此控制量确定为：

u(k+i)＝u(k)＝u_c,i＝0,1,2,...,p-1 (8)

步骤s2：预测输出的确定，

预测模型的输出f_m(y,k+i)写成优化变量分离的形式：

f_m(y,k+i)＝N₀(y,k+i)+N₁(y,k+i)u_c(9)

其中N₀(y,k+i)，N₁(y,k+i)在k+i时刻分别为常数，i＝0,1,2,...,p-1，其递推算法如下：

其中，b_j是公式推导中间参数，b_j＝C(y)D_j；

步骤s3：误差校正，

在实际情况下，由于模型失配的原因，模型输出与实际输出之间常存在一定的误差，通过校正可更加准确地预测过程的输出，在预测函数控制中，校正一般可通过预测误差来对模型输出进行补偿， 因此当前时刻的预测误差：

e(y,k+i)＝e(y,k)＝f(y,k)-f_m(y,k) (10)

校正后的预测输出：

f_p(y,k+i)＝f_m(y,k+i)+e(y,k+i) (11)

步骤s4:参考轨迹的确定，

设定参考值f_r(y,k+i)，使系统输出沿着参考轨迹最终趋近设定值，具体参考值f_r(y,k+i)可由以下式子得到：

其中f_g(y)为目标输出设定值，f(y,k-1)为k-1时刻实际输出，α为柔化因子；步骤s5：性能指标的确定，

为了实现输出分布的跟踪控制，选取二次型性能指标，通过极小化性能指标可以使得分子量的输出分布跟踪给定的形状分布为：

上式(13)是二次方程，可以采用quadprog函数来求解最优解；R为u_c的约束因子，R>0。