CN105631148A - 应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法，包括以下步骤：确定单向陶瓷基复合材料基体的裂纹数随应力的变化；确定裂纹宽度变化规律；根据已有的400-900℃无应力氧化环境下，单向陶瓷基复合材料的氧化机理，确定考虑应力作用下单向陶瓷基复合材料基体开裂对质量失重率λr变化的影响；确定考虑单向陶瓷基复合材料基体裂纹的情况下，单向陶瓷基复合材料剩余模量在应力氧化环境下的变化规律；根据单向陶瓷基复合材料体积分数变化规律，确定考虑基体裂纹情况下，单向陶瓷基复合材料剩余强度在应力氧化环境下的变化情况。本发明为UD-CMC在应力氧化环境下力学性能的分析提供了相关理论支持。

Description

应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法

技术领域

本发明涉及一种分析单向陶瓷基复合材料(unidirectionalceramicmatrixcomposite,简称UD-CMC)力学性能的理论方法，主要用于分析单向陶瓷基复合材料在应力氧化环境下材料剩余力学性能的预测。

背景技术

为实现航空发动机的高推比，提高涡轮前温度并降低发动机质量，CMC是航空发动机高温部件的理想选材。由于CMC服役环境十分恶劣，常常受到高温、高应力、热震及腐蚀性气体等的作用，大大降低了材料的性能。应力和高温是CMC服役环境最为典型的两个环境因素。考虑CMC在应力-氧化环境下力学性能的变化十分有必要。

在以往的研究分析中，对CMC在无应力氧化环境下力学性能变化的实验分析及理论分析并不多，对CMC在应力-氧化环境下力学性能变化的实验分析很少，而理论分析更是缺乏。单向陶瓷基复合材料结构简单，便于分析，为其他复杂编织陶瓷基复合材料提供理论参考和研究切入点。

CMC陶瓷基体相对纤维具有脆性，在应力的作用下将发生开裂，裂纹为氧气的进入提供通道。同时拉伸应力作用下，已经产生的裂纹宽度增加，增大了材料氧化的有效面积，促进材料的氧化。氧化使得材料性能降低，在拉伸作用下，材料的失效行为同常温环境下有很大的不同。应力和高温的相互作用，相互促进，形成一种新的陶瓷基复合材料动力学。

曾增，张茂庆，刘伟先等(单向C/SiC陶瓷基复合材料基体失效机制与强度预测.复合材料学报.2015,32(4):1075-1082)对单向C/SiC复合材料基体失效机制，并预测了材料的拉伸强度，但并未考虑氧化因素。孙志刚，牛序铭，王振剑等(VerificationandpredictionofresidualstrengthofC/SiCcompositesundernon-stressoxidation.JournalofMaterialsScience.2014,23(49):8192-8203)分析了氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能的变化规律，但并未考虑拉伸应力的影响。

本发明考虑了基体在应力作用下形成裂纹，对UD-CMC在高温环境下的氧化力学性能变化规律进行分析和预测。

发明内容

为了对CMC在服役环境下力学性能更好的进行了解和预测，本发明的目的是提供一种应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法，以解决现有技术中对CMC在高温下剩余力学性能变化的分析没有考虑应力的作用的问题。

为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

一种应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法，包括以下步骤：

步骤一、确定单向陶瓷基复合材料基体的裂纹数随应力的变化：考虑热残余应力，并根据拉伸应力作用下基体承担的应力，推导得出单向陶瓷基复合材料基体裂纹数的变化情况；

步骤二、确定裂纹宽度变化规律：根据裂纹宽度与残余热应力及基体所承担的应力，推导得到应力作用下裂纹宽度的表达式；

步骤三、根据已有的400-900℃无应力氧化环境下，单向陶瓷基复合材料的氧化机理，结合步骤一和步骤二的结果，确定考虑应力作用下单向陶瓷基复合材料基体开裂对质量失重率λr变化的影响；

步骤四、确定考虑单向陶瓷基复合材料基体裂纹的情况下，单向陶瓷基复合材料剩余模量在应力氧化环境下的变化规律；

步骤五、根据步骤四得到的氧化后的单向陶瓷基复合材料体积分数变化规律，确定考虑基体裂纹情况下，单向陶瓷基复合材料剩余强度在应力氧化环境下的变化情况。

所述步骤一的具体步骤是：

采用蒙特卡罗法对基体在拉伸应力作用下的开裂进行分析，当材料受到轴向拉伸应力作用时，假设基体失效概率服从泊松分布，且应力作用下基体产生至少一条裂纹的概率等于1减去基体产生零条裂纹的概率，有：

P(ξ＝σ；η＝L₀)＝1-exp{-M(A)}，N(A)≥1

$M\left(A\right)=-{\left(\frac{\mathrm{\σ}-({\mathrm{\σ}}^{*}-{\mathrm{\σ}}_{th})}{({\mathrm{\σ}}_R-{\mathrm{\σ}}_{th})-(\mathrm{\σ}*-{\mathrm{\σ}}_{th})}\right)}^{\mathrm{\ρ}}$

式中，M(A)为泊松参数，N(A)为应力作用下产生的裂纹条数，P(ξ；η)表示特征长度为L₀，应力为σ时，基体的失效概率；σ_R为特征应力，σ_th为热残余应力，σ^*为基体的初始开裂应力；

根据蒙特卡罗法，采用计算机对裂纹数进行模拟，得到应力作用下相对裂纹数。

所述步骤二的具体步骤为：

假设裂纹均为贯穿裂纹，裂纹宽度与残余热应力σ_th及基体所承担的应力大小σ_m有关:

${\mathrm{\σ}}_{th}=E_f{E}_m{V}_m\frac{{\mathrm{\α}}_m-{\mathrm{\α}}_f}{E_f{V}_f+E_m{V}_m}\mathrm{\Δ}T$

${\mathrm{\σ}}_m=\frac{E_m}{E_f{V}_f+E_m{V}_m}\mathrm{\σ}$

得到应力作用下裂纹宽度的表达式为：

$\frac{e}{e_0}=\frac{1}{T_0}(\mathrm{\Δ}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\α}}_m-{\mathrm{\α}}_f)}\mathrm{\σ})$

式中，e为裂纹宽度，e₀为初始裂纹宽度，α_f、α_m分别为纤维和基体的热膨胀系数，E_f、E_m分别为纤维、基体的弹性模量，V_f、V_m分别为纤维、基体的体积分数；ΔT表示环境温度和基体开裂温度之间的温度差，基体开裂温度一般取为1030℃。

所述步骤三的具体步骤为：

已知在无应力氧化环境下，单向陶瓷基复合材料的质量失重率为：

${\mathrm{\λ}}_r=\frac{\mathrm{\ΔW}}{W}=\frac{K_0{\mathrm{\χ}}_{O_2}{\mathrm{PS}}_{\mathrm{eff}}{M}_c}{\mathrm{WRT}}\exp \left(\frac{-E_r}{\mathrm{RT}}\right)t,$ 400℃＜T＜700℃

${\mathrm{\λ}}_r=\frac{S_{\mathrm{eff}}{N}_c{M}_c}{W}\left(\sqrt{\frac{4\mathrm{\λ}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{\mathrm{RT}}\ln [1+{\mathrm{\χ}}_{O_2}\left(0\right)]t}\right),$ 700℃＜T＜900℃

S_eff＝nel

$\mathrm{\λ}=\frac{2}{3}{\left(\frac{8R_g}{{\mathrm{\πM}}_0}\right)}^{\frac{1}{2}}{e}_0$

其中，S_eff为氧气与纤维的有效接触面积，n为裂纹数量，e为裂纹宽度，l为裂纹深度；K₀为一个常数，该常数与氧化反应速率相关，本发明中取为1.083×10⁶；R为气体常数，E_r为氧化反应所需活化能，W为陶瓷基复合材料的初始质量，T为氧化温度，P为大气压强，t为氧化时间，χ_O2为环境氧分压，M_c为碳的摩尔质量，N_c为碳的摩尔密度，T_c为基体开裂温度；n为裂纹数量，l为裂纹深度；R_g表示理想气体常数，M₀表示空气的摩尔质量；

结合步骤二中得到的裂纹宽度变化规律，得到考虑基体开裂影响时，单向陶瓷基复合材料在应力氧化环境下的质量失重率的变化规律为：

${\mathrm{\λ}}_r=\frac{K_0{\mathrm{\χ}}_{O_2}{\mathrm{PM}}_c{e}_{0}n}{{\mathrm{RTT}}_0}(\mathrm{\ΔT}+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\α}}_m-{\mathrm{\α}}_f)}\mathrm{\σ})\exp \left(\frac{-E_r}{\mathrm{RT}}\right)t,$ 400℃＜T＜700℃

${\mathrm{\λ}}_r=\frac{{\mathrm{ne}}_0{N}_c{M}_c}{T_0}(\mathrm{\ΔT}+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\α}}_m-{\mathrm{\α}}_f)}\mathrm{\σ})\sqrt{\frac{4\mathrm{\λ}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{\mathrm{RT}}\ln [1+{\mathrm{\χ}}_{O_2}\left(0\right)]t},$ 700℃＜T＜900℃

式中出现的参数同首次出现的意义相同。

所述步骤四的具体步骤是：

假设单向陶瓷基复合材料在氧化前后总体积保持不变，假设纤维均匀氧化，V_f和V_f’分别表示氧化前后纤维的体积分数，根据质量守恒有：

$\frac{\mathrm{\Δ}W}{{\mathrm{\ρ}}_f}=\frac{W}{{\mathrm{\ρ}}_c}(V_f-{V_f}^{\′})\⇒{V_f}^{\′}=V_f-\frac{{\mathrm{\ρ}}_c}{{\mathrm{\ρ}}_f}{\mathrm{\λ}}_r$

式中，ρ_c和ρ_f分别为单向陶瓷基复合材料的密度和纤维的密度；

在假设陶瓷基氧化前后体积不变的前提下，单向陶瓷基复合材料质量的减少主要是由于纤维体积分数减小引起的；因此，根据混合定律，氧化后单向陶瓷基复合材料的剩余模量E_c’为：

${E_c}^{\′}=E_f(V_f-\frac{{\mathrm{\ρ}}_c}{{\mathrm{\ρ}}_f}{\mathrm{\λ}}_r)+E_m{V}_m$

结合步骤三，将两个温度区间考虑基体裂纹情况下，质量失重率λ_r的表达式带入上式即可得到400-700℃温度区间和700-900℃温度区间，UD-CMC剩余强度变化：

400℃<T<700℃时：

${E_c}^{\&prime;}=E_f\&lsqb;V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{K_0{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}{\mathrm{PM}}_c{e}_{0}n}{{\mathrm{RTT}}_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\exp \left(\frac{-E_r}{RT}\right)t\&rsqb;+E_m{V}_m$

700℃<T<900℃时：

${E_c}^{\&prime;}=E_f\{V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{{\mathrm{ne}}_0{N}_c{M}_c}{T_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\sqrt{\frac{4\mathrm{\&lambda;}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{RT}ln\&lsqb;1+{\mathrm{\&chi;}}_{o_2}\left(0\right)\&rsqb;t}\}+E_m{V}_m.$

步骤五的具体步骤是：

考虑多基体裂纹时，单向陶瓷基复合材料的剩余强度σ_uts的表达式为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{uts}=V_f{\mathrm{\&sigma;}}_c{\left(\frac{2(m+1)}{(m+2)m}\right)}^{1/(m+1)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)$

式中，m为weibull模量,σ_c为特征强度，此特征应力不同于基体失效概率中的特征应力，考虑应力氧化时有：

${\mathrm{\&sigma;}}_c={\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\frac{V_f}{{V_f}^{\&prime;}}\right)}^{1/(m+1)}$

其中，σ₀为无损情况下复合材料的拉伸强度，τ_i为界面剪切应力，L₀为取样长度，r_f为纤维半径；

因此，考虑基体裂纹情况下，单向陶瓷基复合材料剩余强度的变化规律为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{uts}=V_f{\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\frac{V_f}{{V_f}^{\&prime;}}\right)}^{1/(m+1)}{\left(\frac{2(m+1)}{(m+2)m}\right)}^{1/(m+1)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)$

将步骤四得到的纤维体积分数带入上式即可得到考虑基体裂纹情况下，单向陶瓷基复合材料剩余强度在应力氧化环境下的变化规律：

400℃<T<700℃时：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_{uts}={V_f}^{(m+2)/(m+1)}{\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\right)}^{1/(m+1)}{\left(\frac{2(m+1)}{(m+2)m}\right)}^{1/(m+1)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)\&times;\\ \&lsqb;V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{K_0{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}{\mathrm{PM}}_c{e}_{0}n}{{\mathrm{RTT}}_0}\left(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;}\right)\exp \left(\frac{-E_r}{RT}\right)t\&rsqb;\end{array}$

700℃<T<900℃时：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_{uts}={V_f}^{(m+2)/(m+1)}{\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\right)}^{1/(m+1)}{\left(\frac{2(m+1)}{(m+2)m}\right)}^{1/(m+1)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)\&times;\\ \left\{V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{{\mathrm{ne}}_0{N}_c{M}_c}{T_0}\left(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;}\right)\sqrt{\frac{4\mathrm{\&lambda;}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{RT}\ln \&lsqb;1+{\mathrm{\&chi;}}_{o_2}\left(0\right)\&rsqb;t}\right\}\end{array}.$

本发明的有益效果是：与现有技术相比，本发明具有以下优点：

(1)本发明方法为UD-CMC在应力氧化环境下力学性能的分析提供了相关理论支持；(2)对UD-CMC在应力氧化环境下力学性能的变化有更深的了解，对UD-CMC的安全使用提供参考；(3)采用本发明方法预测的单向C/SiC复合材料在应力氧化环境下剩余模量和剩余强度值与实验数据吻合较好；(4)不考虑基体裂纹，对应力氧化环境下单向C/SiC复合材料力学性能的预测值和实验值之间的误差随着应力的增大而增大；而采用本发明方法预测得到的结果则稳定在某个范围之内，该结果表明本发明方法的合理性。

附图说明

图1为裂纹宽度应力、随氧化时间和氧化温度的变化曲线；

图2为400-700℃，单向C/SiC复合材料质量失重率随应力和时间的变化曲线；

图3为400-700℃，单向C/SiC复合材料质量失重率随应力和温度的变化曲线；

图4为700-900℃，单向C/SiC复合材料质量失重率随应力和时间的变化曲线；

图5为700-900℃，单向C/SiC复合材料质量失重率随应力和温度的变化曲线；

图6为400-700℃，单向C/SiC复合材料剩余模量随应力和时间的变化曲线；

图7为400-700℃，单向C/SiC复合材料剩余模量随应力和温度的变化曲线；

图8为700-900℃，单向C/SiC复合材料剩余模量随应力和时间的变化曲线；

图9为700-900℃，单向C/SiC复合材料剩余模量随应力和温度的变化曲线；

图10为400-700℃，单向C/SiC复合材料剩余强度随应力和时间的变化曲线；

图11为400-700℃，单向C/SiC复合材料剩余强度随应力和温度的变化曲线；

图12为700-900℃，单向C/SiC复合材料剩余强度随应力和时间的变化曲线；

图13为700-900℃，单向C/SiC复合材料剩余强度随应力和温度的变化曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

研究发现，由于陶瓷基体具有一定的脆性，在应力作用下UD-CMC基体的失效过程为：1)在应力作用下基体中形成“裂纹源”；2)“裂纹源”发生扩展形成裂纹；3)新的“裂纹源”形成，同时裂纹继续扩展成为贯穿裂纹；4)裂纹数量不再增多，基体开裂达到饱和状态。

在高温环境下，应力的影响对UD-CMC力学性能的影响主要体现在增大了氧化的有效面积。主要有以下两个途径：1)应力增加，裂纹数增多；2)应力增加，裂纹宽度变大。因此，本发明对UD-CMC在应力氧化环境下力学性能的分析主要分为以下几个步骤：

步骤一、确定裂纹数随应力的变化

由于基体的开裂是一个随机过程，采用蒙特卡罗法对基体在拉伸应力作用下的开裂进行分析。实际的UD-CMC基体各处强度并不是均一的，而是具有一定分散性。当材料受到轴向拉伸应力作用时，假设基体失效概率服从泊松分布。且应力作用下基体产生至少一条裂纹的概率等于1减去基体产生零条裂纹的概率，有：

P(ξ＝σ；η＝L₀)＝1-exp{-M(A)}，N(A)≥1(1)

$M\left(A\right)=-{\left(\frac{\mathrm{\&sigma;}-({\mathrm{\&sigma;}}^{*}-{\mathrm{\&sigma;}}_{th})}{({\mathrm{\&sigma;}}_R-{\mathrm{\&sigma;}}_{th})-(\mathrm{\&sigma;}*-{\mathrm{\&sigma;}}_{th})}\right)}^{\mathrm{\&rho;}}---\left(2\right)$

其中，M(A)为泊松参数，N(A)为应力作用下产生的裂纹条数，P(ξ；η)表示特征长度为L₀，应力为σ时，基体的失效概率。σ_R为特征应力，σ_th为热残余应力，σ^*为基体的初始开裂应力。

根据蒙特卡罗法，采用计算机对裂纹数进行模拟，可以得到应力作用下相对裂纹数。

根据步骤一给出的公式和方法得到一定应力作用下基体产生的裂纹数，如表1：

表1应力作用下裂纹数的模拟结果

采用表2给出的相关参数值对单向C/SiC复合材料在应力氧化环境下的力学性能进行分析。

表2相关参数

步骤二、确定裂纹宽度变化规律

假设裂纹均为贯穿裂纹，裂纹宽度与残余热应力σ_th及基体所承担的应力大小σ_m有关:

${\mathrm{\&sigma;}}_{th}=E_f{E}_m{V}_m\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f}{E_f{V}_f+E_m{V}_m}\mathrm{\&Delta;}T---\left(3\right)$

${\mathrm{\&sigma;}}_m=\frac{E_m}{E_f{V}_f+E_m{V}_m}\mathrm{\&sigma;}---\left(4\right)$

可以得到应力作用下裂纹宽度的表达式为：

$\frac{e}{e_0}=\frac{1}{T_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})---\left(5\right)$

其中，e为裂纹宽度，e₀为初始裂纹宽度，α_f、α_m分别为纤维和基体的热膨胀系数，E_f、E_m分别为纤维、基体的弹性模量，V_f、V_m分别为纤维、基体的体积分数；ΔT表示环境温度和基体开裂温度之间的温度差，基体开裂温度一般取为1030℃。

图1为根据步骤二中的公式(5)得到的裂纹宽度随拉伸应力和温度的变化曲线。其中曲线1-曲线5分别表示应力为200MPa、150MPa、100MPa、50MPa和0时裂纹宽度随氧化温度的变化情况，可以看到，基体的裂纹宽度与环境温度、应力大小以及材料各组分的热膨胀系数等因素有关。随温度的上升裂纹宽度逐渐降低；同一温度条件下，应力越大裂纹宽度越大。

步骤三、根据已有的400-900℃无应力氧化环境下，UD-CMC的氧化机理。结合步骤一和步骤二的结果，确定考虑应力作用下基体开裂对质量失重率λ_r变化的影响。

已知在无应力氧化环境下，UD-CMC的质量失重率为：

${\mathrm{\&lambda;}}_r=\frac{\mathrm{\&Delta;W}}{W}=\frac{K_0{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}{\mathrm{PS}}_{\mathrm{eff}}{M}_c}{\mathrm{WRT}}\exp \left(\frac{-E_r}{\mathrm{RT}}\right)t,$ 400℃＜T＜700℃(6)

${\mathrm{\&lambda;}}_r=\frac{S_{\mathrm{eff}}{N}_c{M}_c}{W}\left(\sqrt{\frac{4\mathrm{\&lambda;}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{\mathrm{RT}}\ln [1+{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}\left(0\right)]t}\right),$ 700℃＜T＜900℃(7)

S_eff＝nel(8)

$\mathrm{\&lambda;}=\frac{2}{3}{\left(\frac{8R_g}{{\mathrm{\&pi;M}}_0}\right)}^{\frac{1}{2}}{e}_0---\left(9\right)$

其中，S_eff为氧气与纤维的有效接触面积，K₀为一个常数，该常数与氧化反应速率相关，本发明中取1.083×10⁶；R为气体常数，E_r为氧化反应所需活化能，n为裂纹数量，l为裂纹深度，W为陶瓷基复合材料的初始质量，T为氧化温度，P为大气压强，t为氧化时间，χ_O2为环境氧分压，M_c为碳的摩尔质量，N_c为碳的摩尔密度，T_c为基体开裂温度，一般取1303K；R_g表示理想气体常数，M₀表示空气的摩尔质量。

式(9)中的λ表示等号右边的关系式，是一个和环境相关的常数。

结合步骤二中得到的裂纹宽度变化规律，可以得到考虑基体开裂影响时，UD-CMC在应力氧化环境下的质量失重率的变化规律为。

${\mathrm{\&lambda;}}_r=\frac{K_0{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}{\mathrm{PM}}_c{e}_{0}n}{{\mathrm{RTT}}_0}(\mathrm{\&Delta;T}+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\exp \left(\frac{-E_r}{\mathrm{RT}}\right)t,$ 400℃＜T＜700℃(10)

${\mathrm{\&lambda;}}_r=\frac{{\mathrm{ne}}_0{N}_c{M}_c}{T_0}(\mathrm{\&Delta;T}+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\sqrt{\frac{4\mathrm{\&lambda;}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{\mathrm{RT}}\ln [1+{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}\left(0\right)]t},$ 700℃＜T＜900℃(11)

式中出现的参数同首次出现的意义相同。

图2-图5为根据步骤三中的公式(10)和公式(11)得到的400-700℃和700-900℃环境下，单向C/SiC复合材料质量失重率的变化曲线。其中，编号1-5分别表示应力大小为328MPa、240MPa、220MPa、186MPa和146MPa。图2为400-700℃质量失重率随氧化时间的变化曲线；图3为400-700℃质量失重率随氧化温度的变化曲线；图4为700-900℃质量失重率随氧化时间的变化曲线；图5为700-900℃质量失重率随氧化温度的变化曲线。可以看到，当复合材料的氧化由碳氧反应控制时(400-700℃)，应力的作用对氧化具有促进作用，对同一氧化时间和氧化温度，应力越大材料的质量失重率越大；质量失重率随时间的增加呈线性增加，随温度的增加呈非线性增加，并且可以看到曲线的斜率逐渐增大，复合材料的质量失重率增加速度在逐渐增大。而700-900℃，质量失重率随氧化时间的增加不再呈线性变化，随氧化时间的增加材料失重增加，增加速度减缓，同时与400-700℃区间相比，氧化后失重率的变化量很小，应力越大质量失重率增加越多；而质量失重率随氧化温度的上升失重率略有降低，这是由于在该阶段氧气浓度的降低使得氧化程度降低，同时氧化产物对裂纹有一定的封填作用，应力越大，质量失重率越大，材料性能降低越多。

步骤四、确定考虑基体裂纹的情况下，UD-CMC剩余模量在应力氧化环境下的变化规律。

假设UD-CMC在氧化前后总体积保持不变，假设纤维均匀氧化，V_f和V_f’分别表示氧化前后纤维的体积分数，根据质量守恒有：

$\frac{\mathrm{\&Delta;}W}{{\mathrm{\&rho;}}_f}=\frac{W}{{\mathrm{\&rho;}}_c}(V_f-{V_f}^{\&prime;})\&DoubleRightArrow;{V_f}^{\&prime;}=V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}{\mathrm{\&lambda;}}_r---\left(12\right)$

其中，ρ_c和ρ_f分别为UD-CMC的密度和纤维的密度。根据已有的研究知道，在400-900℃温度区间，陶瓷基体不发生氧化反应。在假设陶瓷基氧化前后体积不变的前提下，UD-CMC质量的减少主要是由于纤维体积分数减小引起的。因此，根据混合定律，氧化后UD-CMC的剩余模量E_c’为：

${E_c}^{\&prime;}=E_f(V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}{\mathrm{\&lambda;}}_r)+E_m{V}_m---\left(13\right)$

结合步骤三，将两个温度区间考虑基体裂纹情况下，质量失重率λ_r的表达式带入(13)式即可得到400-700℃温度区间和700-900℃温度区间，UD-CMC剩余强度变化。

400℃<T<700℃时：

${E_c}^{\&prime;}=E_f\&lsqb;V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{K_0{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}{\mathrm{PM}}_c{e}_{0}n}{{\mathrm{RTT}}_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\exp \left(\frac{-E_r}{RT}\right)t\&rsqb;+E_m{V}_m---\left(14\right)$

700℃<T<900℃时：

${E_c}^{\&prime;}=E_f\{V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{{\mathrm{ne}}_0{N}_c{M}_c}{T_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\sqrt{\frac{4\mathrm{\&lambda;}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{RT}ln\&lsqb;1+{\mathrm{\&chi;}}_{o_2}\left(0\right)\&rsqb;t}\}+E_m{V}_m---\left(15\right)$

图6-附图9为根据步骤四的公式(13)及步骤三的公式(10)和公式(11)得到的400-700℃和700-900℃环境下，单向C/SiC复合材料剩余模量的变化曲线。其中，编号1-5分别表示应力大小为146MPa、186MPa、220MPa、240MPa和328MPa。图6为400-700℃剩余模量随氧化时间的变化曲线；图7为400-700℃剩余模量随氧化温度的变化曲线；图8为700-900℃剩余模量随氧化时间的变化曲线；图9为700-900℃剩余模量随氧化温度的变化曲线。可以看到，温度为400-700℃时，剩余刚度随氧化时间的增加线性下降，应力的作用使得刚度下降较快；剩余刚度随氧化温度的增加呈非线性降低，同时拉伸应力的存在使得裂纹宽度增加，应力越大刚度下降越多。温度为700-900℃时，随着氧化时间的增加陶瓷基复合材料的剩余刚度缓慢降低，而应力的增加使得剩余刚度下降的幅度增大，这主要是由于应力的作用阻碍了该阶段裂纹的愈合；随着氧化温度的增加，陶瓷基复合材料的剩余刚度有略微的上升，这主要是由于该阶段裂纹受到氧化物的封填使得裂纹愈合造成的，应力越大，复合材料的剩余刚度越大，同时，复合材料剩余刚度的变化幅度越大。

步骤五、根据步骤四中得到的氧化后的UD-CMC体积分数变化规律(式(12))，确定考虑基体裂纹情况下，UD-CMC剩余强度在应力氧化环境下的变化情况。

考虑多基体裂纹时，UD-CMC的剩余强度σ_uts的表达式为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{uts}=V_f{\mathrm{\&sigma;}}_c{\left(\frac{2(m+1)}{(m+2)m}\right)}^{1/(m+1)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)---\left(16\right)$

式中，m为weibull模量,σ_c为特征强度，此特征应力不同于基体失效概率中的特征应力，考虑应力氧化时有：

${\mathrm{\&sigma;}}_c={\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\frac{V_f}{{V_f}^{\&prime;}}\right)}^{1/(m+1)}---\left(17\right)$

其中，σ₀为无损情况下复合材料的拉伸强度，τ_i为界面剪切应力，L₀为取样长度，r_f为纤维半径。

因此，考虑基体裂纹情况下，CMC剩余强度的变化规律为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{uts}=V_f{\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\frac{V_f}{{V_f}^{\&prime;}}\right)}^{1/(m+1)}{\left(\frac{2(m+1)}{(m+2)m}\right)}^{1/(m+1)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)---\left(18\right)$

将步骤四得到的纤维体积分数(式(12))带入上式即可得到考虑基体裂纹情况下，UD-CMC剩余强度在应力氧化环境下的变化规律。

400℃<T<700℃时：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_{uts}={V_f}^{(m+2)/(m+1)}{\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\right)}^{1/(m+1)}{\left(\frac{2(m+1)}{(m+2)m}\right)}^{1/(m+1)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)\&times;\\ \&lsqb;V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{K_0{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}{\mathrm{PM}}_c{e}_{0}n}{{\mathrm{RTT}}_0}\left(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;}\right)\exp \left(\frac{-E_r}{RT}\right)t\&rsqb;\end{array}---\left(19\right)$

700℃<T<900℃时：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_{uts}={V_f}^{(m+2)/(m+1)}{\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\right)}^{1/(m+1)}{\left(\frac{2(m+1)}{(m+2)m}\right)}^{1/(m+1)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)\&times;\\ \left\{V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{{\mathrm{ne}}_0{N}_c{M}_c}{T_0}\left(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;}\right)\sqrt{\frac{4\mathrm{\&lambda;}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{RT}\ln \&lsqb;1+{\mathrm{\&chi;}}_{o_2}\left(0\right)\&rsqb;t}\right\}\end{array}---\left(20\right)$

图10-附图13为根据步骤五的公式(16)及步骤四的公式(12)得到的400-700℃和700-900℃环境下，单向C/SiC复合材料剩余强度的变化曲线。其中，编号1-5分别表示应力大小为146MPa、186MPa、220MPa、240MPa和328MPa。图10为400-700℃剩余强度随氧化时间的变化曲线；图11为400-700℃剩余强度随氧化温度的变化曲线；图12为700-900℃剩余强度随氧化时间的变化曲线；图13为700-900℃剩余强度随氧化温度的变化曲线。可以看到，400-700℃温度区间，剩余强度随氧化时间、氧化温度及拉伸应力的变化规律与材料剩余刚度的变化规律基本一致。温度为700-900℃时，剩余强度随氧化时间的增加逐渐降低而随氧化温度的增加而有略微的上升，这主要是由于在该温度区间氧化过程由氧气的扩散控制，复合材料的氧化程度有所降低，同时之前的氧化产物对裂纹进行封填，复合材料的质量失重率下降所致。

表3和表4为采用本发明的方法预测的单向C/SiC复合材料的剩余模量(剩余刚度)和剩余强度与实验数据的对比结果。同时对比了不考虑基体裂纹情况下预测的单向C/SiC复合材料的剩余刚度和剩余强度。可以看到，不考虑基体开裂对陶瓷基复合材料剩余强度和剩余刚度的预测值与实验值相比其误差随着应力的增大而增大，而采用本发明的方法预测的结果随应力的增大误差始终稳定在8％-10％的范围内，表明考虑基体开裂的影响对分析单向陶瓷基复合材料在应力氧化条件下力学性能的变化是合理的。

表3采用本发明预测的单向C/SiC复合材料剩余模量与实验和不考虑基体裂纹预测结果的对比结果

表4采用本发明预测的单向C/SiC复合材料剩余强度与实验和不考虑基体裂纹预测结果的对比结果

虽然本发明已以较佳实施例公开如上，但他们并不是用来限定本发明的，任何熟习此技艺者，在不脱离本发明之精神和范围内，自当可做各种变化或润饰，因此本发明的保护范围应当以本申请的专利保护范围所界定的为准。

Claims (6)

1.一种应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一、确定单向陶瓷基复合材料基体的裂纹数随应力的变化：考虑热残余应力，并根据拉伸应力作用下基体承担的应力，推导得出单向陶瓷基复合材料基体裂纹数的变化情况；

步骤二、确定裂纹宽度变化规律：根据裂纹宽度与残余热应力及基体所承担的应力，推导得到应力作用下裂纹宽度的表达式；

步骤三、根据已有的400-900℃无应力氧化环境下，单向陶瓷基复合材料的氧化机理，结合步骤一和步骤二的结果，确定考虑应力作用下单向陶瓷基复合材料基体开裂对质量失重率λr变化的影响；

步骤四、确定考虑单向陶瓷基复合材料基体裂纹的情况下，单向陶瓷基复合材料剩余模量在应力氧化环境下的变化规律；

步骤五、根据步骤四得到的氧化后的单向陶瓷基复合材料体积分数变化规律，确定考虑基体裂纹情况下，单向陶瓷基复合材料剩余强度在应力氧化环境下的变化情况。

2.如权利要求1所述的应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法，其特征在于：所述步骤一的具体步骤是：

采用蒙特卡罗法对基体在拉伸应力作用下的开裂进行分析，当材料受到轴向拉伸应力作用时，假设基体失效概率服从泊松分布，且应力作用下基体产生至少一条裂纹的概率等于1减去基体产生零条裂纹的概率，有：

P(ξ＝σ；η＝L₀)＝1-exp{-M(A)}，N(A)≥1

$M\left(A\right)=-{\left(\frac{\mathrm{\&sigma;}-({\mathrm{\&sigma;}}^{*}-{\mathrm{\&sigma;}}_{th})}{({\mathrm{\&sigma;}}_R-{\mathrm{\&sigma;}}_{th})-(\mathrm{\&sigma;}*-{\mathrm{\&sigma;}}_{th})}\right)}^{\mathrm{\&rho;}}$

式中，M(A)为泊松参数，N(A)为应力作用下产生的裂纹条数，P(ξ；η)表示特征长度为L₀，应力为σ时，基体的失效概率；σ_R为特征应力，σ_th为热残余应力，σ^*为基体的初始开裂应力；

根据蒙特卡罗法，采用计算机对裂纹数进行模拟，得到应力作用下相对裂纹数。

3.如权利要求1所述的应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法，其特征在于：所述步骤二的具体步骤为：

假设裂纹均为贯穿裂纹，裂纹宽度与残余热应力σ_th及基体所承担的应力大小σ_m有关:

${\mathrm{\&sigma;}}_{th}=E_f{E}_m{V}_m\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f}{E_f{V}_f+E_m{V}_m}\mathrm{\&Delta;}T$

${\mathrm{\&sigma;}}_m=\frac{E_m}{E_f{V}_f+E_m{V}_m}\mathrm{\&sigma;}$

得到应力作用下裂纹宽度的表达式为：

$\frac{e}{e_0}=\frac{1}{T_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})$

式中，e为裂纹宽度，e₀为初始裂纹宽度，α_f、α_m分别为纤维和基体的热膨胀系数，E_f、E_m分别为纤维、基体的弹性模量，V_f、V_m分别为纤维、基体的体积分数，ΔT表示环境温度和基体开裂温度之间的温度差。

4.如权利要求1所述的应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法，其特征在于：所述步骤三的具体步骤为：

已知在无应力氧化环境下，单向陶瓷基复合材料的质量失重率为：

${\mathrm{\&lambda;}}_r=\frac{\mathrm{\&Delta;}W}{W}=\frac{K_0{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}{\mathrm{PS}}_{eff}{M}_c}{WRT}\exp \left(\frac{-E_r}{RT}\right)t,$ 400℃<T<700℃

${\mathrm{\&lambda;}}_r=\frac{S_{eff}{N}_c{M}_c}{W}\left(\sqrt{\frac{4\mathrm{\&lambda;}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{RT}ln\&lsqb;1+{\mathrm{\&chi;}}_{o_2}\left(0\right)\&rsqb;t}\right),$ 700℃<T<900℃

S_eff＝nel

令： $\mathrm{\&lambda;}=\frac{2}{3}{\left(\frac{8R_g}{{\mathrm{\&pi;M}}_0}\right)}^{\frac{1}{2}}{e}_0$

其中，S_eff为氧气与纤维的有效接触面积；K₀为一个常数，该常数与氧化反应速率相关，R为气体常数，E_r为氧化反应所需活化能，W为陶瓷基复合材料的初始质量，T为氧化温度，P为大气压强，t为氧化时间，χ_O2为环境氧分压，M_c为碳的摩尔质量，N_c为碳的摩尔密度，T_c为基体开裂温度；n为裂纹数量，l为裂纹深度；R_g表示理想气体常数，M₀表示空气的摩尔质量；

结合步骤二中得到的裂纹宽度变化规律，得到考虑基体开裂影响时，单向陶瓷基复合材料在应力氧化环境下的质量失重率的变化规律为：

${\mathrm{\&lambda;}}_r=\frac{K_0{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}{\mathrm{PM}}_c{e}_{0}n}{{\mathrm{RTT}}_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\exp \left(\frac{-E_r}{RT}\right)t,$ 400℃<T<700℃

${\mathrm{\&lambda;}}_r=\frac{{\mathrm{ne}}_0{N}_c{M}_c}{T_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\sqrt{\frac{4\mathrm{\&lambda;}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{RT}ln\&lsqb;1+{\mathrm{\&chi;}}_{o_2}\left(0\right)\&rsqb;t},$ 700℃<T<900℃

式中出现的参数同首次出现的意义相同。

5.如权利要求1所述的应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法，其特征在于：所述步骤四的具体步骤是：

假设单向陶瓷基复合材料在氧化前后总体积保持不变，假设纤维均匀氧化，V_f和V_f’分别表示氧化前后纤维的体积分数，根据质量守恒有：

$\frac{\mathrm{\&Delta;}W}{{\mathrm{\&rho;}}_f}=\frac{W}{{\mathrm{\&rho;}}_c}(V_f-{V_f}^{\&prime;})\&DoubleRightArrow;{V_f}^{\&prime;}=V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}{\mathrm{\&lambda;}}_r$

式中，ρ_c和ρ_f分别为单向陶瓷基复合材料的密度和纤维的密度；

在假设陶瓷基氧化前后体积不变的前提下，单向陶瓷基复合材料质量的减少主要是由于纤维体积分数减小引起的；因此，根据混合定律，氧化后单向陶瓷基复合材料的剩余模量E_c’为：

${E_c}^{\&prime;}=E_f(V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}{\mathrm{\&lambda;}}_r)+E_m{V}_m$

结合步骤三，将两个温度区间考虑基体裂纹情况下，质量失重率λ_r的表达式带入上式即可得到400-700℃温度区间和700-900℃温度区间，单向陶瓷基复合材料剩余强度变化：

400℃<T<700℃时：

${E_c}^{\&prime;}=E_f\&lsqb;V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{K_0{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}{\mathrm{PM}}_c{e}_{0}n}{{\mathrm{RTT}}_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\exp \left(\frac{-E_r}{RT}\right)t\&rsqb;+E_m{V}_m$

700℃<T<900℃时：

${E_c}^{\&prime;}=E_f\{V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{{\mathrm{ne}}_0{N}_c{M}_c}{T_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\sqrt{\frac{4\mathrm{\&lambda;}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{RT}ln\&lsqb;1+{\mathrm{\&chi;}}_{o_2}\left(0\right)\&rsqb;t}\}+E_m{V}_m.$

6.如权利要求1所述的应力氧化环境下单向陶瓷基复合材料力学性能分析方法，其特征在于：步骤五的具体步骤是：

考虑多基体裂纹时，单向陶瓷基复合材料的剩余强度σ_uts的表达式为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{uts}=V_f{\mathrm{\&sigma;}}_c{\left(\frac{2(m+1)}{(m+2)m}\right)}^{1/(m+1)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)$

式中，m为weibull模量,σ_c为特征强度，此特征应力不同于基体失效概率中的特征应力，考虑应力氧化时有：

${\mathrm{\&sigma;}}_c={\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\frac{V_f}{{V_f}^{\&prime;}}\right)}^{1/(m+1)}$

其中，σ₀为无损情况下复合材料的拉伸强度，τ_i为界面剪切应力，L₀为取样长度，r_f为纤维半径；

因此，考虑基体裂纹情况下，单向陶瓷基复合材料剩余强度的变化规律为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{uts}=V_f{\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\frac{V_f}{{V_f}^{\&prime;}}\right)}^{1/(m+1)}{\left(\frac{2(m+1)}{(m+2)m}\right)}^{1/(m+1)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)$

将步骤四得到的纤维体积分数带入上式即可得到考虑基体裂纹情况下，单向陶瓷基复合材料剩余强度在应力氧化环境下的变化规律：

400℃<T<700℃时：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_{uts}={V_f}^{\left(m+2\right)/\left(m+1\right)}{\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\right)}^{1/\left(m+1\right)}{\left(\frac{2\left(m+1\right)}{\left(m+2\right)m}\right)}^{1/\left(m+1\right)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)\&times;\\ \&lsqb;V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{K_0{\mathrm{\&chi;}}_{O_2}{\mathrm{PM}}_c{e}_{0}n}{{\mathrm{RTT}}_0}\left(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m\left({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f\right)}\mathrm{\&sigma;}\right)\exp \left(\frac{-E_r}{RT}\right)t\&rsqb;\end{array}$

700℃<T<900℃时：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_{uts}={V_f}^{\left(m+2\right)/\left(m+1\right)}{\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0^m{\mathrm{\&tau;}}_i{L}_0}{r_f}\right)}^{1/\left(m+1\right)}{\left(\frac{2\left(m+1\right)}{\left(m+2\right)m}\right)}^{1/\left(m+1\right)}\left(\frac{m+1}{m+2}\right)\&times;\\ \{V_f-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_c}{{\mathrm{\&rho;}}_f}\frac{{\mathrm{ne}}_0{N}_c{M}_c}{T_0}(\mathrm{\&Delta;}T+\frac{1}{E_f{V}_m({\mathrm{\&alpha;}}_m-{\mathrm{\&alpha;}}_f)}\mathrm{\&sigma;})\sqrt{\frac{4\mathrm{\&lambda;}(T^{1/2}-T^{3/2}/T_c)}{N_c}\frac{P}{RT}\ln \&lsqb;1+{\mathrm{\&chi;}}_{o_2}\left(0\right)\&rsqb;t}\}\end{array}.$