CN105564176A - 基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法，属于悬架钢板弹簧技术领域。本发明可根据车辆参数、悬架固有频率、钢板弹簧安装结构及抛物线段厚度比，首先确定出悬架所要求的夹紧刚度及少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片的根部厚度<i>h</i>_e，并根据许用应力及单轮簧上质量，确定出根部最大许用厚度[<i>h</i>₂]；然后，根据<i>h</i>_e和[<i>h</i>₂]，对片数<i>N</i>和根部厚度<i>h</i>₂进行设计；随后，根据夹紧刚度要求值和斜线段厚度比γ，对斜线段长度及各片端部平直段的厚度和长度进行优化设计。通过仿真验证可知，利用方法可得到满足车辆要求的少片变截面弹簧的参数设计值，从而提高产品设计水平和性能及车辆平顺性；同时，降低设计及试验费用。

Description

基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法

技术领域

本发明涉及车辆悬架钢板弹簧，特别是基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法。

背景技术

车辆悬架少片变截面钢板弹簧与多片叠加钢板弹簧相比，由于其受力合理，应力载荷趋于均衡，并且节省材料和成本，实现车辆轻量化，降低车轮动载，提高车辆行驶安全性，同时还节省燃油，提高车辆运输效率，具有良好的经济效益和社会效益，国外已经在很多车辆上得到了推广和应用。对于少片变截面钢板弹簧，通常在根部平直段与抛物线段之间增设一斜线段，即采用根部加强型少片变截面钢板弹簧，这样不仅可降低弹簧的应力，提高其应力强度，同时，还可满足刚度精确设计值，而且还可便于抛物线段的加工，改善其加工工艺性。另外，由于受安装和夹紧状态的影响，少片变截面钢板弹簧在车辆实际使用过程中的刚度，与自由状态下的刚度不相同。

尽管先前曾有人给出了少片抛物线型变截面钢板弹簧的设计方法，例如，彭莫和高军曾在《汽车工程》第14卷第3期，提出了少片变断面钢板弹簧的设计计算方法，该方法只能对根部未加强，且端部等构的少片抛物线型变截面钢板弹簧进行设计，其不足之处是不能满足根部加强型且端部非等构的少片变截面钢板弹簧的设计要求，更不能满足基于车辆参数的少片变断面钢板弹簧的设计要求。

对于基于车辆参数的根部加强型且端部非等构少片变断面钢板弹簧，由于受在安装夹紧状态下的变形或刚度等计算理论，及少片变截面钢板弹簧等效厚度及拆分设计理论的制约，至今尚未给出一直简便、准确、可靠的设计方法，目前大都是忽略根部加强斜线段及端部非等构的影响，将斜线段直接近似看作抛物线段，并将各片端部结构都看作相同，按照自由刚度设计要求值，对根部加强型且端部非等构的少片变截面钢板弹簧进行近似设计，因此，很难得到准确可靠的参数设计值。随着计算机及有限元仿真软件的仿真，目前尽管有人曾对根部加强型且端部非等构的少片变截面钢板弹簧采用ANSYS建模仿真法，但是该方法仅能对给定设计结构的少片变截面钢板弹簧的变形或刚度进行仿真验证，不能提供精确的解析设计式，更不能满足车辆快速发展及对悬架钢板弹簧现代化CAD设计软件开发的要求。

因此，必须建立一种精确、可靠的基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法，可根据车辆参数及悬架刚度要求值，对根部加强型且端部非等构的少片变截面钢板弹簧的进行设计，满足车辆行业快速发展及对悬架钢板弹簧精确设计的要求，提高少片变截面钢板弹簧的设计水平、质量和性能，提高车辆的乘坐舒适性、行驶平顺性和操作安全性；同时，降低弹簧质量及成本，降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

发明内容

针对上述现有技术中存在的缺陷，本发明所要解决的技术问题是提供一种简便、可靠的基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法，设计流程图如图1所示，包含：初步设计和优化设计两个过程，其中，通过初步设计，得到少片抛物线型变截面钢板弹簧的根部厚度和片数；然后，在此基础上，增加斜线加强段，通过进一步对斜线段的长度、端部平直段的厚度和长度优化设计，得到满足夹紧刚度要求的根部加强式少片变截面钢板弹簧及结构参数。少片抛物线型变截面钢板弹簧为对称结构，其一半对称结构可看作悬臂梁，即将对称中心线为一半弹簧的根部固定端，将端部受力点看作为弹簧的端点。单片抛物线型变截面钢板弹簧的一半对称结构示意图，如图2所示，由根部平直段、抛物线段、端部平直段三段构成；其中，L为变截面弹簧的一半长度，l₃为安装间距的一半，l₂为抛物线段的根部到弹簧端点的距离，h₂为根部平直段的厚度；h_1i和l_1i为第i片抛物线型变截面钢板弹簧的端部平直段的厚度和长度，即各片抛物线段的厚度比β_i＝h_1i/h₂。单片根部加强式抛物线型变截面钢板弹簧的一半对称结构图，如图3所示，由根部平直段、斜线段、抛物线段和端部平直段4段构成；端部平直段非等构，即第1片的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片的厚度和长度，以满足第1片变截面钢板弹簧端部受力复杂的要求；在根部平直段和抛物线段之间增加一斜线段，不仅可对变截面钢板弹簧起加强作用，而且还可满足车辆对悬架系统固有频率及对悬架弹簧加紧刚度的设计要求；其中，l₂为斜线段的根部到弹簧端点的距离，l_2p为抛物线段的根部到弹簧端点的距离，Δl为斜线段的长度，h_2p为斜线段的小端厚度，即斜线段的厚度比γ＝h_2p/h₂，各片抛物线段的厚度比β_i＝h_1i/h_2p。在车辆悬架参数、悬架系统的固有频率、变截面弹簧的安装结构、应力强度要求给定情况下，对基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧进行设计。

为解决上述技术问题，本发明所提供的基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法，其特征在于采用以下设计步骤：

(1)车辆悬架少片抛物线型变截面钢板弹簧的夹紧刚度K设计：

根据车辆单轮悬架的簧上质量m，及悬架系统的固有频率设计要求值f_s，对车辆悬架系统少片抛物线型变截面钢板弹簧的夹紧刚度K进行设计，即

K＝4mπ²f_s ²；

(2)少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部厚度h_e计算：

a步骤：首先，选取等效单片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β，其中，β的选取范围为0.5～0.6；然后，根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，对少片抛物线型变截面钢板弹簧在夹紧状态的变形系数G_x-D进行计算，即

$G_{x-D}=\frac{4\&lsqb;{(L-l_3)}^3(1-{\mathrm{\&beta;}}^3)+{(L-l_3/2)}^3\&rsqb;}{Eb};$

b步骤：根据a步骤中所得到的G_x-D，步骤(1)中设计得到的K，对满足夹紧刚度要求的少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片的根部厚度h_e进行计算，即

$h_e=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{KG}}_{x-D}}{2}};$

(3)少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数N及各片根部厚度h₂设计：

A步骤：确定各片变截面弹簧的根部厚度最大许用厚度[h₂]：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，宽度b，安装间距的一半l₃，车辆单轮悬架的簧上质量m，许用应力[σ]，及步骤(2)中计算所得到的h_e，确定各片抛物线型变截面弹簧的根部厚度的最大许用厚度[h₂]，即

$\&lsqb;h_2\&rsqb;=\frac{{\mathrm{bh}}_e^3\&lsqb;\mathrm{\&sigma;}\&rsqb;}{3mg(L-l_3/2)};$

其中，g＝0.98m/s²；

B步骤：变截面钢板弹簧片数N及各片根部厚度h₂的设计：

选取少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数的初始值N＝2，其中，N为2～5之间的整数；根据A步骤中确定的[h₂]，及步骤(2)中计算所得到的h_e，对少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片根部厚度的理论设计值进行设计，即

$h_{2R}=\frac{1}{\sqrt[3]{N}}{h}_e;$

将理论厚度设计值h_2R向上圆整，得到h_2R的圆整数值h₂，即实际根部厚度h₂设计值；

若h₂≤[h₂]，则h₂即为少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片根部厚度设计值，所对应的片数N即为少片抛物线型变截面钢板弹簧的设计片数；

若h₂>[h₂]，则取钢板弹簧的片数N＝N+1，返回继续执行B步骤，对增加1片情况下的根部厚度h₂进行设计，直到当h₂≤[h₂]时，少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数N及各片根部厚度h₂设计完毕；

(4)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的优化设计：

I步骤：根据步骤(3)中设计得到的h₂，确定少片抛物线型变截面钢板弹簧的根部斜线段的厚度比γ，即

$\mathrm{\&gamma;}=\frac{h_2-1}{h_2},h_2\&Element;\&lsqb;5,35\&rsqb;mm;$

II步骤：根据步骤(3)中设计得到的h₂，确定第1片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₁，即

${\mathrm{\&beta;}}_1=\left\{\begin{array}{cc}0.65,& h_2\&Element;\&lsqb;5,10\&rsqb;mm\\ 0.60,& h_2\&Element;(10,15\&rsqb;mm\\ 0.55,& h_2\&Element;(15,20\&rsqb;mm\\ 0.50,& h_2\&Element;(20,25\&rsqb;mm\\ 0.45,& h_2\&Element;(25,30\&rsqb;mm\\ 0.40,& h_2\&Element;(30,35\&rsqb;mm\end{array}\right.;$

III步骤：根据步骤(2)中所确定的β和h_e，II步骤中确定的第1片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₁，及步骤(3)中设计所得到的变截面钢板弹簧的片数N和各片根部厚度h₂，确定第2片,第3片,…,第N片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比，即

${\mathrm{\&beta;}}_2={\mathrm{\&beta;}}_3=...={\mathrm{\&beta;}}_N=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3{h}_e^3-{\mathrm{\&beta;}}_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}};$

IV步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂＝L-l₃，I步骤中所确定的斜线段的厚度比γ，II步骤中所确定的第1片变截面弹簧的抛物线段的厚度比β₁，III步骤中所确定的第2片,第3片,…,第N片变截面弹簧的抛物线段的厚度比β₂＝β₃＝…＝β_N，步骤(1)中设计所得到的K，及步骤(3)中所设计得到的h₂，以斜线段长度Δl为待设计参数变量，建立少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的优化设计数学模型，即

$\frac{K}{2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\frac{h_2^3}{G_{x-Ei}};$

其中，利用Matlab程序，求解上述关于Δl的方程，便可得到少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的优化设计值；

(5)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片端部平直段的厚度和长度设计：

i步骤：根据步骤(3)中设计所得到的h₂，及I步骤中所确定的根部斜线段的厚度比γ，确定少片抛物线型变截面钢板弹簧的根部斜线段的小端厚度h_2p，即

h_2p＝γh₂；

ii步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，安装间距的一半l₃，i步骤中所确定的h_2p，及II步骤中所确定的β₁和IV步骤中所确定的Δl，确定第1片抛物线型变截面钢板弹簧的端部平直段的厚度h₁₁和长度l₁₁，分别为

h₁₁＝β₁h_2p，

$l_{11}={\mathrm{\&beta;}}_1^2(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l);$

iii步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，安装间距的一半l₃，i步骤中所确定的h_2p，及III步骤中所确定的第2片,第3片,…,第N片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比和IV步骤中所确定的根部斜线段的长度Δl，确定第2片,第3片,…,第N片抛物线型变截面钢板弹簧的端部平直段的厚度和长度，分别为

$h_{12}=h_3=...=h_{1N}=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3{h}_e^3-{\mathrm{\&beta;}}_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}}{h}_{2p},$

$l_{12}=l_{13}=...=l_{1N}={\left(\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3{h}_e^3-{\mathrm{\&beta;}}_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}\right)}^{\frac{2}{3}}(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l);$

(6)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片在不同位置厚度h_i(x)的设计：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂，IV步骤中优化设计所得到的斜线段长度Δl，步骤(3)中设计所得到的各片弹簧的根部厚度h₂，及步骤(5)中所确定的斜线段的小端厚度h_2p，各片变截面弹簧的端部平直段的厚度h₁₁,h₁₂,…,h_1N和长度l₁₁,l₁₂,…,l_1N,以弹簧端点为坐标原点，可得满足车辆悬架刚度要求的少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片在不同位置厚度h_i(x)的设计值，即

$h_i\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{h}_{1i},& x\&Element;\&lsqb;0,l_{1i}\&rsqb;\\ h_{2p}\sqrt{\frac{x}{L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l}},& x\&Element;(l_{1i},L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l\&rsqb;\\ \frac{h_2-h_{2p}}{l_2-\left(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l\right)}x+\frac{h_{2p}{l}_2-h_2\left(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l\right)}{l_2-\left(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l\right)},& x\&Element;(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l,l_2\&rsqb;\\ h_2,& x\&Element;(l_2,L\&rsqb;\end{array}\right.;$

其中，i＝1,2,…,N。

本发明比现有技术具有的优点

车辆悬架少片变断面钢板弹簧，为了满足应力强度和刚度的要求，大都采用根部斜线段且端部非等构的少片变断面钢板弹簧。然而，由于受在安装夹紧状态下的变形或刚度等计算理论，及少片变截面钢板弹簧等效厚度及拆分设计理论的制约，对于基于车辆参数的根部加强型且端部非等构的少片变断面钢板弹簧，至今尚未给出一直简便、准确、可靠的设计方法，目前大都是忽略根部加强斜线段及端部非等构的影响，将斜线段直接近似看作抛物线段，并将各片端部结构都看作相同，按自由刚度设计要求值，对根部加强型且端部非等构的少片变截面钢板弹簧进行近似设计，因此，难以得到准确可靠的参数设计值。随着计算机及有限元仿真软件的仿真，目前尽管有人曾对根部加强型且端部非等构的少片变截面钢板弹簧采用ANSYS建模仿真法，但是该方法仅能对给定设计结构的少片变截面钢板弹簧的变形或刚度进行仿真验证，不能提供精确的解析设计式，更不能满足车辆快速发展及对悬架钢板弹簧现代化CAD设计软件开发的要求。

本发明首先根据车辆悬架参数和悬架固有频率，对车辆悬架系统所要求的少片变截面钢板弹簧的夹紧刚度K进行设计；并根据悬架钢板弹簧的安装结构尺寸和夹紧刚度K，所选定等效单片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β，及夹紧状态的变形系数G_x-D，对少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部厚度h_e进行计算；然后，根据单轮悬架簧上质量m及最大许用应力[σ]，对车辆悬架少片变截面钢板弹簧的根部最大许用厚度[h₂]进行设计，并根据等效单片变截面钢板弹簧的根部厚度h_e，利用叠加钢板重叠部分的等效厚度计算公式，对车辆悬架少片变截面钢板弹簧的片数N及各片根部厚度h₂进行设计；随后，根据各片根部厚度h₂设计值，根部斜线段的厚度比γ，等效单片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β，及所确定第1片钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₁，确定出第2片，第3片，…，第N片的抛物线段的厚度比β₂，β₃，…β_N；并根据车辆悬架少片变截面钢板弹簧的加紧刚度K设计值，及所确定的根部斜线段的厚度比γ，对少片变截面钢板弹簧的根部斜线段长度Δl及最小厚度h_2p进行设计；最后，根据等效单片变截面钢板弹簧的端部平直段厚度的设计值βh_e，及所确定第1片钢板弹簧的端部平直段的厚度h₁₁和长度l₁₁，利用叠加钢板重叠部分的等效厚度计算公式，对车辆悬架少片变截面钢板弹簧的第2片第3片，…，第N片的端部平直段的厚度h₁₂，h₁₃，…，h_1N和端部平直段长度l₁₂，l₁₃，…，l_1N进行设计。

通过设计实例及ANSYS仿真验证可知，该方法可得到准确、可靠的车辆悬架少片变截面钢板弹簧的参数设计值，为车辆悬架少片变截面钢板弹簧提供了可靠的设计方法，并且为CAD软件开发奠定了可靠的技术基础。利用该方法，可提高车辆悬架少片变截面钢板弹簧的设计水平和性能，提高车辆的乘坐舒适性、行驶平顺性和操作安全性，降低悬架弹簧质量和成本，提高车辆的运输效率；同时，还降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

附图说明

为了更好地理解本发明，下面结合附图做进一步的说明。

图1是基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计流程图；

图2是单片抛物线型变截面钢板弹簧的一半对称结构示意图；

图3是单片根部加强式抛物线型变截面钢板弹簧的一半对称结构示意图；

图4是实施例一所设计的第1片变截面钢板弹簧的一半对称结构参数图；

图5是实施例一所设计的第2片变截面钢板弹簧的一半对称结构参数图；

图6是实施例一所设计基于车辆参数的少片抛物线型变截面钢板弹簧的变形仿真云图；

图7是实施例二所设计的第1片变截面钢板弹簧的一半对称结构参数图；

图8是实施例二所设计的第2片变截面钢板弹簧的一半对称结构参数图；

图9是实施例二所设计的第3片变截面钢板弹簧的一半对称结构参数图；

图10是实施例二所设计基于车辆参数的少片抛物线型变截面钢板弹簧的变形仿真云图。

具体实施方案

下面通过实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例一：某车辆单轮悬架的簧上质量m＝375.26kg，悬架系统的固有频率设计值f_s＝1.8Hz，其中，该车辆少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝575mm，宽度b＝60mm，安装间距的一半l₃＝55mm，弹性模量E＝200GPa，安全许用应力[σ]＝500MPa。对该车辆少片变截面钢板弹簧进行设计。

本发明实例所提供的基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法，其设计流程如图1所示，具体步骤如下：

(1)车辆悬架少片抛物线型变截面钢板弹簧的夹紧刚度K设计：

根据车辆单轮悬架的簧上质量m＝375.26kg，及悬架系统的固有频率设计值f_s＝1.8Hz，对车辆悬架系统的少片抛物线型变截面钢板弹簧的加紧刚度K进行设计，即

K＝4mπ²f_s ²＝48N/mm；

(2)少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部厚度h_e计算：

a步骤：首先，选取等效单片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β＝0.55；然后，根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝575mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm，对少片抛物线型变截面钢板弹簧在夹紧状态的变形系数G_x-D进行计算，即

$G_{x-D}=\frac{4\&lsqb;{(L-l_3)}^3(1-{\mathrm{\&beta;}}^3)+{(L-l_3/2)}^3\&rsqb;}{Eb}=93.78{\mathrm{mm}}^4/N;$

b步骤：根据a步骤中计算得到的G_x-D＝93.78mm⁴/N，步骤(1)中设计得到的K＝48N/mm，对满足夹紧刚度要求的少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部厚度h_e进行计算，即

$h_e=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{KG}}_{x-D}}{2}}=13.11mm;$

(3)少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数N及各片根部厚度h₂设计：

A步骤：确定各片变截面弹簧的根部厚度的最大许用厚度[h₂]：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝575mm，宽度b＝60mm安装间距的一半l₃＝55mm，车辆单轮悬架的簧上质量m＝375.26kg，许用应力[σ]＝500MPa，及步骤(2)中计算得到的h_e＝13.11mm，确定各片抛物线型变截面钢板弹簧的根部厚度的最大许用厚度[h₂]，即

$\&lsqb;h_2\&rsqb;=\frac{{\mathrm{bh}}_e^3\&lsqb;\mathrm{\&sigma;}\&rsqb;}{3mg(L-l_3/2)}=11.19mm;$

其中，g＝0.98m/s²；

B步骤：钢板弹簧的片数N及各片根部厚度h₂设计：

选取少片变截面钢板弹簧的片数的初始值N＝2，其中，N为2～5之间的整数；根据A步骤中确定的[h₂]＝11.19mm，及步骤(2)中计算得到的h_e＝13.11mm，对少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片根部厚度的理论设计值进行设计，即

$h_{2R}=\frac{1}{\sqrt[3]{N}}{h}_e=10.41mm;$

将理论设计值h_2R向上圆整，得到h_2R的圆整数值，即实际根部厚度设计值h₂＝11mm；

因为h₂≤[h₂]，则少片变截面钢板弹簧的各片根部厚度设计值h₂＝11mm，片数设计值N＝2；(4)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的优化设计：

I步骤：根据步骤(3)中设计得到的h₂＝11mm，确定少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段的厚度比γ，即

$\mathrm{\&gamma;}=\frac{h_2-1}{h_2}=0.91;$

II步骤：根据步骤(3)中设计得到的h₂＝11mm，确定第1片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₁，即

β₁＝0.60；

III步骤：根据步骤(2)中所确定的β＝0.55和h_e＝13.11mm，II步骤中β₁＝0.60，及步骤(3)中设计得到的N＝2和h₂＝11mm，确定第2片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₂，即

${\mathrm{\&beta;}}_2=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3{h}_e^3-{\mathrm{\&beta;}}_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}}=0.40;$

IV步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝575mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂＝L-l₃＝520mm，I步骤中所确定的斜线段的厚度比γ＝0.91，II步骤中确定的第1片变截面弹簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.60，III步骤中确定的第2片变截面弹簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.40，步骤(1)中设计得到的K＝48N/mm，及步骤(3)中设计得到的h₂＝11mm，以根部斜线段长度Δl为待设计参数变量，建立基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的根部斜线段长度Δl的优化设计数学模型，即

$\frac{K}{2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\frac{h_2^3}{G_{x-Ei}};$

其中，利用Matlab程序，求解上述关于Δl的方程，可得基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的优化设计值，即Δl＝40mm；

(5)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片端部平直段的厚度和长度设计：

i步骤：根据步骤(3)中设计得到的h₂＝11mm，及I步骤中优化设计所得到的斜线段的厚度比γ＝0.91，确定少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段的小端厚度h_2p，即

h_2p＝γh₂＝10.01mm；

ii步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝575mm，安装间距的一半l₃＝55mm，i步骤中所确定的h_2p＝10.01mm，及II步骤中所确定的第1片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.60和IV步骤中优化设计所得到的斜线段的长度Δl＝40mm，确定第1片抛物线型变截面钢板弹簧的端部平直段的厚度h₁₁和长度l₁₁，分别为

h₁₁＝β₁h_2p＝6.01mm，

iii步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝575mm，安装间距的一半l₃＝55mm，i步骤中所确定的h_2p＝10.01mm，及III步骤中所确定的第2片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.40和IV步骤中优化设计所得到的斜线段长度Δl＝40mm，确定第2片抛物线型变截面钢板弹簧的端部平直段的厚度和长度，分别为

h₁₂＝β₂h_2p＝4mm，

(6)根部加强式少片抛物型变截面钢板弹簧的各片在不同位置的厚度h_i(x)设计：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝575mm，安装间距的一半l₃＝55mm，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂＝520mm，IV步骤中优化设计所得到的斜线段长度Δl＝40mm，步骤(5)中确定的斜线段的小端厚度h_2p＝10.01mm、第1片变截面弹簧的端部平直段的厚度h₁₁＝6.01mm和长度l₁₁＝172.80mm、第2片变截面弹簧的端部平直段的厚度h₁₂＝4mm和长度l₁₂＝76.80mm，及步骤(3)中设计得到的各片变截面弹簧的根部厚度h₂＝11mm，以钢板弹簧端点为坐标原点，可得满足该车辆悬架刚度要求的两片抛物线型变截面钢板弹簧在不同位置处厚度h₁(x)、h₂(x)的设计值，分别为

$h_1\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}6.01mm,& x\&Element;\&lsqb;0,172.80\&rsqb;mm\\ 10.01\&times;\sqrt{\frac{x}{480}}mm,& x\&Element;(172.80,480\&rsqb;mm\\ (0.025x-1.87)mm,& x\&Element;(480,520\&rsqb;mm\\ 11mm,& x\&Element;(520,575\&rsqb;mm\end{array}\right.;$

$h_2\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}4mm,& x\&Element;\&lsqb;0,76.80\&rsqb;mm\\ 10.01\&times;\sqrt{\frac{x}{480}}mm,& x\&Element;(76.80,480\&rsqb;mm\\ (0.025x-1.87)mm,& x\&Element;(480,520\&rsqb;mm\\ 11mm,& x\&Element;(520,575\&rsqb;mm\end{array}\right.;$

其中，第1片变截面钢板弹簧在斜线段和抛物线段不同位置x处的厚度h₁(x)，见表一所示；第2片变截面钢板弹簧在斜线段和抛物线段不同位置x处的厚度h₂(x)，见表二所示；

表一第1片变截面弹簧在斜线段和抛物线段不同位置x处的厚度h₁(x)

位置x/(mm)	520	487.80	452.80	417.80	382.80	347.80	312.80	277.80	242.80	207.80	172.80
												厚度h1(x)/(mm)	11	10.20	9.72	9.34	8.94	8.52	8.08	7.62	7.12	6.59	6.01

表二第2片变截面弹簧在斜线段和抛物线段不同位置x处的厚度h₂(x)

位置x/(mm)	520	481.80	436.80	391.80	346.80	301.80	256.80	211.80	166.80	121.80	76.80
												厚度h2(x)/(mm)	11	10.05	9.55	9.04	8.51	7.94	7.32	6.65	5.90	5.04	4

设计所得到的基于该车辆参数的第1片变截面钢板弹簧的一半对称结构参数，如图4所示；第2片变截面钢板弹簧的一半对称结构参数，如图5所示。

利用ANSYS有限元仿真软件，根据设计得到的两片抛物线型变截面钢板弹簧的结构参数和材料特性参数，建立该变截面钢板弹簧的一半对称结构的ANSYS仿真模型，划分网格，并在仿真模型的根部施加固定约束，在端点施加集中载荷P＝mg/2＝1838.8N，对所设计少片变截面钢板弹簧在夹紧状态的变形进行ANSYS仿真，所得到的变形仿真云图，如图6所示，其中，该少片变截面钢板弹簧的端点最大变形量f＝75.99mm，因此可得该少片变截面钢板弹簧的一半夹紧刚度为K_M＝P/f＝24.20N/mm。可知，该少片变截面钢板弹簧的一半夹紧刚度ANSYS仿真验证值K_M＝24.20N/mm，与设计要求值K_M＝K/2＝24N/mm相吻合，相对偏差仅为0.83％；结果表明该发明所提供的基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法是正确的，参数设计值是准确可靠的，满足车辆悬架刚度设计要求值。

实施例二：某车辆单轮悬架的簧上质量m＝719.24kg，悬架系统的固有频率设计值f_s＝1.8Hz，其中，该车辆少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝600mm，宽度b＝60mm，安装间距的一半l₃＝60mm，弹性模量E＝200GPa，许用应力[σ]＝500MPa。对该车辆少片变截面钢板弹簧进行设计。

采用与实施例一相同的设计方法和步骤，对该车辆悬架的少片抛物线型变截面钢板弹簧进行设计，具体步骤如下：

(1)车辆悬架少片抛物线型变截面钢板弹簧的夹紧刚度K设计：

根据该车辆单轮悬架的簧上质量m＝719.24kg，及悬架系统的固有频率设计值f_s＝1.8Hz，对车辆悬架系统少片抛物线型变截面钢板弹簧的加紧刚度K进行设计，即

K＝4mπ²f_s ²＝92N/mm；

(2)少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部厚度h_e计算：

a步骤：首先，选取等效单片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β＝0.55；然后，根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝600mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝60mm，对少片抛物线型变截面钢板弹簧在夹紧状态的变形系数G_x-D进行计算，即

$G_{x-D}=\frac{4\&lsqb;{(L-l_3)}^3(1-{\mathrm{\&beta;}}^3)+{(L-l_3/2)}^3\&rsqb;}{Eb}=105.49{\mathrm{mm}}^4/N;$

b步骤：根据a步骤中计算得到的G_x-D＝105.49mm⁴/N，步骤(1)中设计所得到的K＝92N/mm，对满足该车辆悬架刚度要求的少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部厚度h_e进行计算，即

$h_e=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{KG}}_{x-D}}{2}}=16.93mm;$

(3)少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数N及各片根部厚度h₂设计：

A步骤：确定各片抛物线型变截面弹簧的根部厚度的最大许用厚度[h₂]：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝600mm，宽度b＝60mm，许用应力[σ]＝500MPa，安装间距的一半l₃＝60mm，车辆单轮悬架的簧上质量m＝719.24kg，及步骤(2)中计算得到的h_e＝16.93mm，确定各片抛物线型变截面弹簧根部厚度的最大许用厚度[h₂]，即

$\&lsqb;h_2\&rsqb;=\frac{{\mathrm{bh}}_e^3\&lsqb;\mathrm{\&sigma;}\&rsqb;}{3mg(L-l_3/2)}=12.08mm;$

其中，g＝0.98m/s²；

B步骤：变截面钢板弹簧的片数N及各片根部厚度h₂设计：

选取少片变截面钢板弹簧的片数的初始值N＝2，其中，N为2～5之间的整数；根据A步骤中确定的[h₂]＝12.08mm，及步骤(2)中计算得到的h_e＝16.93mm，对少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片根部厚度的理论设计值进行设计，即

$h_{2R}=\frac{1}{\sqrt[3]{N}}{h}_e=13.44mm;$

将理论设计值h_2R向上圆整，得到h_2R的圆整数值，即实际根部厚度设计值h₂＝14mm；

因为h₂>[h₂]，则取少片变截面钢板弹簧的片数N＝3，返回继续执行B步骤，对增加1片情况下的少片抛物线型变截面钢板弹簧的根部厚度h₂进行设计；

B步骤：变截面钢板弹簧的片数N及各片弹簧根部厚度h₂设计：

选取根部加强型少片变截面钢板弹簧的片数N＝2+1＝3；根据A步骤中确定的[h₂]＝12.08mm，及步骤(2)中计算得到的h_e＝16.93mm，对少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片根部厚度的理论设计值进行设计，即

$h_{2R}=\frac{1}{\sqrt[3]{N}}{h}_e=11.74mm;$

将理论设计值h_2R向上圆整，得到h_2R的圆整数值，即实际根部厚度设计值h₂＝12mm；

因为h₂≤[h₂]，则该车辆的少片变截面钢板弹簧的各片根部厚度设计值h₂＝12mm，片数N＝3；

(4)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的设计：

I步骤：根据步骤(3)中设计得到的h₂＝12mm，确定少片变截面钢板弹簧的斜线段的厚度比γ，即

$\mathrm{\&gamma;}=\frac{h_2-1}{h_2}=0.92;$

II步骤：根据步骤(3)中设计得到的h₂＝12mm，确定第1片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₁，即

β₁＝0.60；

III步骤：根据步骤(2)中所确定的β＝0.55和h_e＝16.93mm，II步骤中确定的第1片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.60，及步骤(3)中设计得到的少片变截面钢板弹簧的片数N＝3和各片根部厚度h₂＝12mm，确定第2片、第3片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比，即

${\mathrm{\&beta;}}_2={\mathrm{\&beta;}}_3=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3{h}_e^3-{\mathrm{\&beta;}}_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}}=0.50;$

IV步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝600mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝60mm，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂＝L-l₃＝540mm，I步骤中所确定的γ＝0.92，II步骤中确定的β₁＝0.60，III步骤中确定的β₂＝β₃＝0.50，步骤(1)中设计所得到的K＝92N/mm，及步骤(3)中设计所得到的h₂＝12mm，建立少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的优化设计数学模型，即

$\frac{K}{2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\frac{h_2^3}{G_{x-Ei}};$

其中，

利用Matlab程序，求解上述关于Δl的方程，可得该少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的优化设计值，即Δl＝70.0mm；

(5)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片端部平直段的厚度和长度设计：

i步骤：根据步骤(3)中设计得到的h₂＝12mm，及I步骤中所确定的斜线段的厚度比γ＝0.92，确定该少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段的小端厚度h_2p，即

h_2p＝γh₂＝11.04mm；

ii步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝600mm，安装间距的一半l₃＝60mm，i步骤中所确定的h_2p＝11.04mm，及II步骤中所确定的β₁＝0.60和IV步骤中优化设计所得到的Δl＝70mm，确定第1片变截面钢板弹簧的端部平直段的厚度h₁₁和长度l₁₁，分别为

h₁₁＝β₁h_2p＝6.62mm，

$l_{11}={\mathrm{\&beta;}}_1^2(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l)=169.20mm;$

iii步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝600mm，安装间距的一半l₃＝60mm，i步骤中所确定的h_2p＝11.04mm，III步骤中所确定的β₂＝β₃＝0.50，及IV步骤中优化设计所得到的Δl＝70mm，确定第2片、第3片变截面钢板弹簧的端部平直段的厚度和长度，分别为

h₁₂＝β₂h_2p＝5.52mm，

h₁₃＝β₃h_2p＝5.52mm，

$l_{12}={\mathrm{\&beta;}}_2^2(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l)=117.50mm,$

$l_{13}={\mathrm{\&beta;}}_3^2(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l)=117.50mm;$

(6)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片在不同位置厚度h_i(x)的设计：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝600mm，安装间距的一半l₃＝60mm，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂＝540mm，IV步骤中优化设计所得到的斜线段的长度Δl＝70mm，步骤(5)中所确定的h_2p＝11.04mm、h₁₁＝6.62mm和l₁₁＝169.20mm、h₁₂＝5.52mm和l₁₂＝117.50mm、h₁₃＝5.52mm和l₁₃＝117.50mm，及步骤(3)中设计所得到的h₂＝12mm，以钢板弹簧的端点为坐标原点，可得满足该车辆悬架刚度要求的三片抛物线型变截面钢板弹簧，在不同位置x处的厚度h₁(x)、h₂(x)、h₃(x)的设计值，分别为

$h_1\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}6.62mm,& x\&Element;\&lsqb;0,169.20\&rsqb;mm\\ 11.04\&times;\sqrt{\frac{x}{470}}mm,& x\&Element;(169.20,470\&rsqb;mm\\ (0.014x+4.59)mm,& x\&Element;(470,540\&rsqb;mm\\ 12mm,& x\&Element;(540,600\&rsqb;mm\end{array}\right.,$

$h_2\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}5.52mm,& x\&Element;\&lsqb;0,117.50\&rsqb;mm\\ 11.04\&times;\sqrt{\frac{x}{470}}mm,& x\&Element;(117.50,470\&rsqb;mm\\ (0.014x+4.59)mm,& x\&Element;(470,540\&rsqb;mm\\ 12mm,& x\&Element;(540,600\&rsqb;mm\end{array}\right.,$

$h_3\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}5.52mm,& x\&Element;\&lsqb;0,117.50\&rsqb;mm\\ 11.04\&times;\sqrt{\frac{x}{470}}mm,& x\&Element;(117.50,470\&rsqb;mm\\ \left(0.014x+4.59\right)mm,& x\&Element;(470,540\&rsqb;mm\\ 12mm,& x\&Element;(540,600\&rsqb;mm\end{array}\right.;$

其中，第1片变截面钢板弹簧在斜线段和抛物线段不同位置x处的厚度h₁(x)，见表三所示；第2片变截面钢板弹簧在斜线段和抛物线段不同位置x处的厚度h₂(x)，见表四所示；第3片变截面钢板弹簧在斜线段和抛物线段不同位置x处的厚度h₃(x)，见表五所示；

表三第1片变截面弹簧在斜线段和抛物线段不同位置x处的厚度h₁(x)

位置x/(mm)	540	529.20	489.20	449.20	409.20	369.20	329.20	289.20	249.20	209.20	169.20
												厚度h1(x)/(mm)	12.0	11.85	11.30	10.79	10.30	9.78	9.24	8.66	8.04	7.37	6.62

表四第2片变截面弹簧在斜线段和抛物线段不同位置x处的厚度h₂(x)

位置x/(mm)	540	522.50	477.50	432.50	387.50	342.50	297.50	252.50	207.50	162.50	117.50
												厚度h2(x)/(mm)	12.0	11.76	11.14	10.59	10.02	9.42	8.78	8.09	7.34	6.49	5.52

表五第3片变截面弹簧在斜线段和抛物线段不同位置x处的厚度h₃(x)

位置x/(mm)	540	522.50	477.50	432.50	387.50	342.50	297.50	252.50	207.50	162.50	117.50
												厚度h3(x)/(mm)	12	11.76	11.14	10.59	10.02	9.42	8.78	8.09	7.34	6.49	5.52

设计所得到该车辆的第1片变截面钢板弹簧的一半对称结构参数，如图7所示；第2片变截面钢板弹簧的一半对称结构参数，如图8所示；第3片变截面钢板弹簧的一半对称结构参数，如图9所示。

利用ANSYS有限元仿真软件，根据设计得到的该车辆的少片变截面钢板弹簧的结构参数和材料特性参数，建立该车辆的少片变截面钢板弹簧的一半对称结构的ANSYS仿真模型，划分网格，并在仿真模型的根部施加固定约束，在端点施加集中载荷P＝mg/2＝3524.3N，对所设计该车辆的少片变截面钢板弹簧在夹紧状态下的变形进行ANSYS仿真，所得到的变形仿真云图，如图10所示，其中，该少片变截面钢板弹簧的端点最大变形量f＝76.16mm，因此可得该车辆的少片变截面钢板弹簧的一半夹紧刚度为K_M＝P/f＝46.27N/mm。

可知，所设计该少片变截面钢板弹簧一半夹紧刚度的ANSYS仿真验证值K_M＝46.27N/mm，与该车辆悬架的设计要求值K_M＝K/2＝46N/mm相吻合，相对偏差仅为0.58％；结果表明该发明所提供的基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法是正确的，参数设计值是准确可靠的，满足车辆悬架刚度设计要求值。

Claims (1)

1.基于车辆参数的少片变截面钢板弹簧的设计方法，其中，少片变截面弹簧为根部加强式抛物线型变截面钢板弹簧，其一半对称结构由根部平直段、斜线段、抛物线段和端部平直段4段构成；端部平直段非等构，即第1片的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片的厚度和长度，以满足第1片变截面钢板弹簧端部受力复杂的要求；在根部平直段和抛物线段之间增加一斜线段，不仅可对变截面钢板弹簧起加强作用，而且还可满足车辆对悬架系统固有频率及对悬架弹簧加紧刚度的设计要求；在车辆参数、悬架系统固有频率、及弹簧安装结构参数给定情况下，首先对基于车辆参数的少片抛物线型变截面钢板弹簧的根部厚度和片数进行初步设计，然后，在此基础上，根据车辆悬架所需要的弹簧夹紧刚度，对基于车辆参数的根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段的长度和端部平直段的厚度和长度进行优化设计，具体设计步骤如下：

(1)车辆悬架少片抛物线型变截面钢板弹簧的夹紧刚度K设计：

根据车辆单轮悬架的簧上质量m，及悬架系统的固有频率设计要求值f_s，对车辆悬架系统少片抛物线型变截面钢板弹簧的夹紧刚度K进行设计，即

K＝4mπ²f_s ²；

(2)少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部厚度h_e计算：

a步骤：首先，选取等效单片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β，其中，β的选取范围为0.5～0.6；然后，根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，对少片抛物线型变截面钢板弹簧在夹紧状态的变形系数G_x-D进行计算，即

$G_{x-D}=\frac{4\&lsqb;{(L-l_3)}^3(1-{\mathrm{\&beta;}}^3)+{(L-l_3/2)}^3\&rsqb;}{Eb};$

b步骤：根据a步骤中所得到的G_x-D，步骤(1)中设计得到的K，对满足夹紧刚度要求的少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片的根部厚度h_e进行计算，即

$h_e=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{KG}}_{x-D}}{2}};$

(3)少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数N及各片根部厚度h₂设计：

A步骤：确定各片变截面弹簧的根部厚度的最大许用厚度[h₂]：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，宽度b，安装间距的一半l₃，车辆单轮悬架的簧上质量m，许用应力[σ]，及步骤(2)中计算所得到的h_e，确定各片抛物线型变截面弹簧的根部厚度的最大许用厚度[h₂]，即

$\&lsqb;h_2\&rsqb;=\frac{{\mathrm{bh}}_e^3\&lsqb;\mathrm{\&sigma;}\&rsqb;}{3mg(L-l_3/2)};$

其中，g＝0.98m/s²；

B步骤：变截面钢板弹簧片数N及各片根部厚度h₂的设计：

选取少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数的初始值N＝2，其中，N为2～5之间的整数；根据A步骤中确定的[h₂]，及步骤(2)中计算所得到的h_e，对少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片根部厚度的理论设计值进行设计，即

$h_{2R}=\frac{1}{\sqrt[3]{N}}{h}_e;$

将理论厚度设计值h_2R向上圆整，得到h_2R的圆整数值h₂，即实际根部厚度h₂设计值；

若h₂≤[h₂]，则h₂即为少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片根部厚度设计值，所对应的片数N即为少片抛物线型变截面钢板弹簧的设计片数；

若h₂>[h₂]，则取钢板弹簧的片数N＝N+1，返回继续执行B步骤，对增加1片情况下的根部厚度h₂进行设计，直到当h₂≤[h₂]时，少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数N及各片根部厚度h₂设计完毕；

(4)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的优化设计：

I步骤：根据步骤(3)中设计得到的h₂，确定少片抛物线型变截面钢板弹簧的根部斜线段的厚度比γ，即

h₂∈[5,35]mm；

II步骤：根据步骤(3)中设计得到的h₂，确定第1片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₁，即

${\mathrm{\&beta;}}_1=\left\{\begin{array}{cc}0.65,& h_2\&Element;\&lsqb;5,10\&rsqb;mm\\ 0.60,& h_2\&Element;(10,15\&rsqb;mm\\ 0.55,& h_2\&Element;(15,20\&rsqb;mm\\ 0.50,& h_2\&Element;(20,25\&rsqb;mm\\ 0.45,& h_2\&Element;(25,30\&rsqb;mm\\ 0.40,& h_2\&Element;(30,35\&rsqb;mm\end{array}\right.;$

III步骤：根据步骤(2)中所确定的β和h_e，II步骤中确定的第1片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β₁，及步骤(3)中设计所得到的变截面钢板弹簧的片数N和各片根部厚度h₂，确定第2片,第3片,…,第N片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比，即

${\mathrm{\&beta;}}_2={\mathrm{\&beta;}}_3=...={\mathrm{\&beta;}}_N=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3{h}_e^3-{\mathrm{\&beta;}}_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}};$

IV步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂＝L-l₃，I步骤中所确定的斜线段的厚度比γ，II步骤中所确定的第1片变截面弹簧的抛物线段的厚度比β₁，III步骤中所确定的第2片,第3片,…,第N片变截面弹簧的抛物线段的厚度比β₂＝β₃＝…＝β_N，步骤(1)中设计所得到的K，及步骤(3)中所设计得到的h₂，以斜线段长度Δl为待设计参数变量，建立少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的优化设计数学模型，即

$\frac{K}{2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\frac{h_2^3}{G_{x-Ei}};$

其中，

利用Matlab程序，求解上述关于Δl的方程，便可得到少片抛物线型变截面钢板弹簧的斜线段长度Δl的优化设计值；

(5)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片端部平直段的厚度和长度设计：

i步骤：根据步骤(3)中设计所得到的h₂，及I步骤中所确定的根部斜线段的厚度比γ，确定少片抛物线型变截面钢板弹簧的根部斜线段的小端厚度h_2p，即

h_2p＝γh₂；

ii步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，安装间距的一半l₃，i步骤中所确定的h_2p，及II步骤中所确定的β₁和IV步骤中所确定的Δl，确定第1片抛物线型变截面钢板弹簧的端部平直段的厚度h₁₁和长度l₁₁，分别为

h₁₁＝β₁h_2p，

$l_{11}={\mathrm{\&beta;}}_1^2(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l);$

iii步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，安装间距的一半l₃，i步骤中所确定的h_2p，及III步骤中所确定的第2片,第3片,…,第N片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比和IV步骤中所确定的根部斜线段的长度Δl，确定第2片,第3片,…,第N片抛物线型变截面钢板弹簧的端部平直段的厚度和长度，分别为

$h_{12}=h_{13}=...=h_{1N}=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3{h}_e^3-{\mathrm{\&beta;}}_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}}{h}_{2p},$

$l_{12}=l_{13}=...=l_{1N}={\left(\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3{h}_e^3-{\mathrm{\&beta;}}_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}\right)}^{\frac{2}{3}}(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l);$

(6)根部加强式少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片在不同位置厚度h_i(x)的设计：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂，IV步骤中优化设计所得到的斜线段长度Δl，步骤(3)中设计所得到的各片弹簧的根部厚度h₂，及步骤(5)中所确定的斜线段的小端厚度h_2p，各片变截面弹簧的端部平直段的厚度h₁₁,h₁₂,…,h_1N和长度l₁₁,l₁₂,…,l_1N,以弹簧端点为坐标原点，可得满足车辆悬架刚度要求的少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片在不同位置厚度h_i(x)的设计值，即

$h_i\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{h}_{1i},& x\&Element;\&lsqb;0,l_{1i}\&rsqb;\\ h_{2p}\sqrt{\frac{x}{L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l}},& x\&Element;\&lsqb;l_{1i},L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l\&rsqb;\\ \frac{h_2-h_{2p}}{l_2-(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l)}x+\frac{h_{2p}{l}_2-h_2(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l)}{l_2-(L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l)},& x\&Element;\&lsqb;L-l_3-\mathrm{\&Delta;}l,l_2\&rsqb;\\ h_2& x\&Element;(l_2,L\&rsqb;\end{array}\right.;$

其中，i＝1,2,…,N。