CN105182280A - 基于空域稀疏优化的宽带信号超分辨测向误差估计方法 - Google Patents

Abstract

基于空域稀疏优化的宽带信号超分辨测向误差估计方法，涉及宽带信号超分辨测向中存在的阵列误差的估计方法。本发明为了解决现有的阵列误差的估计方法不适用于宽带信号的问题。本发明针对宽带信号超分辨测向时同时存在阵元间互耦、阵列通道幅相不一致性以及阵元位置误差时，利用各个频点上的信号构建对应的优化函数，之后利用信号的空域稀疏性，分别对各个频点上的函数进行迭代优化处理，最后对所有频点上的信息进行融合估计出阵元间互耦、阵列通道幅相不一致性以及阵元位置误差。该方法可以准确的估计出阵元间互耦、阵列通道幅相不一致性以及阵元位置误差。本发明适用于宽带信号超分辨测向中存在的阵列误差的估计。

Description

基于空域稀疏优化的宽带信号超分辨测向误差估计方法

技术领域

本发明涉及宽带信号超分辨测向中存在的阵列误差的估计方法

背景技术

超分辨测向是阵列信号处理中的一个重要研究内容，广泛的应用于雷达、物联网和声呐等领域。常规的超分辨测向方法都需要准确的掌握阵列流型。而实际的测向系统当中往往存在高频振荡、放大器以及长度不一的通道等，并且有时会伴随着阵元位置的扰动，导致测向估计时经常伴随着阵元间互耦、阵列通道幅相不一致性以及阵元位置误差，这直接导致了很多的超分辨测向方法的性能恶化，甚至失效，所以有必要对各种误差进行校正，而校正前需要首先对这些误差进行估计。

FriedlanderB和WeissAJ基于子空间原理，提出了一种信源方位、阵元间互耦、阵元增益和相位扰动交替迭代估计的阵列误差估计与校正技术。Song采用盲估计方法，对声矢量传感器的幅相不一致性、方向不一致性以及阵元位置误差进行了迭代估计，得到了较好的效果。Wang等国外学者利用均匀线阵互耦误差矩阵的带状Toeplitz结构，提出了一种阵元间互耦误差估计方法。Yang针对ULA和均匀圆阵，基于凸松弛原理研究了互耦条件下误差估计问题。Liao通过将互耦误差转换成与角度相关的复阵列增益，提出了一种互耦误差与信号到达方向联合估计算法。然而以上方法都是针对于窄带信号超分辨测向误差的估计，对于宽带信号测向误差的估计，尤其是有关多种误差同时存在时的估计技术，公开发表的文献并不多见。

发明内容

本发明为了解决现有的阵列误差的估计方法不适用于宽带信号的问题。

基于空域稀疏优化的宽带信号超分辨测向误差估计方法，包括下述步骤：

步骤1：建立同时含有阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差的阵列信号模型：

当阵列中同时存在阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差时，阵列输出可以表示为

X”'(f_i)＝A”'(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)

＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)

＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)A(f_i,α)S(f_i)+Λ₍₃₎(f_i)w₍₃₎(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J(12)

＝W₍₁₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)S(f_i)+Λ₍₂₎(f_i)w₍₂₎(f_i)+N(f_i)

＝W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)S(f_i)+Λ₍₁₎(f_i)w₍₁₎(f_i)+N(f_i)

其中，“·”表示Hadamard积，即两个矩阵对应位置的元素相乘，最后得到与原矩阵相同维数的矩阵，A″′(f_i,α)为同时存在以上三种误差时频点f_i上的阵列流型矩阵

A”'(f_i,α)＝[a”'(f_i,α₁),…,a”'(f_i,α_k),…,a”'(f_i,α_K)](13)

A(f_i,α)＝[a(f_i,α₁),…,a(f_i,α_k),…,a(f_i,α_K)]为理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵，a(f_i,α_k)为理想情况下频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量；

A”'(f_i,α)与理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵的关系为

A”'(f_i,α)＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)(14)

相应的同时存在以上三种误差时频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量为

a”'(f_i,α_k)＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α_k)·a(f_i,α_k)(15)

式(12)中，S(f_i)为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵；N(f_i)为噪声n_m(t)经过傅立叶变换后的噪声矢量矩阵，均值为0，方差为μ²(f_i)；则同时存在阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差时频点f_i上的接收信号协方差矩阵

R″′(f_i)＝E{X″′(f_i)(X″′(f_i))^H}，i＝1,2,…,J(16)

W₍₁₎(f_i)为假设阵列当中只存在阵元间互耦误差时的阵列扰动矩阵，

其中，c_q(f_i)表示间距为q、信号频率为f_i时的阵元间的互耦系数，q＝1,2,…,Q；

定义阵元间互耦扰动矢量为w₍₁₎(f_i)＝[c₁(f_i),…,c_Q(f_i)]^T；Λ₍₁₎(f_i)为仅存在阵元间互耦误差时一个只与原信号有关的参数，与误差无关；

W₍₂₎(f_i)为假设阵列当中只存在阵列通道幅相不一致性误差时的幅相阵列扰动矩阵，

W₍₂₎(f_i)＝diag([W₁(f_i),…,W_m(f_i),…,W_M(f_i)]^T)(18)

其中

为信号频点f_i上第m路通道的幅相不一致性误差，ρ_m(f_i)、分别为在信号频点f_i上第m路通道相对于第一路通道的幅度增益和相位偏差；

定义频点f_i上阵列通道幅相不一致扰动矢量为Λ₍₂₎(f_i)为仅存在阵列通道幅相不一致性误差时频点f_i上一个只与原信号有关的参数，与误差无关；

W₍₃₎(f_i,α)＝[W₍₃₎(f_i,α₁),…,W₍₃₎(f_i,α_k),…,W₍₃₎(f_i,α_K)]为假设阵列当中只存在阵元位置误差时频点f_i上的阵元位置误差扰动矩阵，其中

$W_{\left(3\right)}(f_i,{\mathrm{\α}}_k)={\[1,e^{j2{\mathrm{\πf\Δ\τ}}_2\left({\mathrm{\α}}_k\right)},\mathrm{...},e^{j2{\mathrm{\πf}}_i{\mathrm{\Δ\τ}}_m\left({\mathrm{\α}}_k\right)},\mathrm{...},e^{j2{\mathrm{\πf}}_i{\mathrm{\Δ\τ}}_M\left({\mathrm{\α}}_k\right)}\]}^T---\left(20\right)$

为只存在阵元位置误差时频点f_i上、第k个信号的阵元位置误差扰动矩阵，其中

${\mathrm{\Δ\τ}}_m\left({\mathrm{\α}}_k\right)=\frac{{\mathrm{\Δd}}_m}{c}{\mathrm{sin\α}}_k---\left(21\right)$

为第k个信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差引入的信源传播时延误差，Δd_m为第m个阵元的真实位置与测量位置间的偏差，与信号频率f_i无关；

定义频点f_i上的阵元位置误差扰动矢量为w₍₃₎(f_i)＝[Δd₂,…,Δd_M]^T；Λ₍₃₎(f_i)为仅存在阵元位置误差时一个只与原信号有关的参数，与误差无关；

步骤2：对同时含有阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差的阵列信号参数进行估计：

首先将搜索空间划分为若干离散的角度网格L表示信号可能到达的L个方向，可得出频点f_i上阵列流型矩阵的稀疏表示

$A(f_i,\mathrm{\Ω})=\[a(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_1),\mathrm{...},a(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l),\mathrm{...},a(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_L)\]$

其中， $a(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l)={\[1,\mathrm{...},\exp (-jm\frac{2{\mathrm{\πf}}_{i}d}{c}sin{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l),\mathrm{...},\exp (-j(M-1\left)\frac{2{\mathrm{\πf}}_{i}d}{c}sin{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l\right)\]}^T$ 为频点f_i上第l个稀疏信号的阵列导向矢量，同时得出阵元位置误差扰动矩阵的稀疏表示 $W_{\left(3\right)}(f_i,\mathrm{\Ω})=\[W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_1),\mathrm{...},W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l),\mathrm{...},W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_L)\],$ 其中 $W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l)={\[1,e^{j2{\mathrm{\πf}}_i{\mathrm{\Δ\τ}}_2\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l\right)},\mathrm{...},e^{j2{\mathrm{\πf}}_i{\mathrm{\Δ\τ}}_m\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l\right)},\mathrm{...},e^{j2{\mathrm{\πf}}_i{\mathrm{\Δ\τ}}_M\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l\right)}\]}^T$ 为频点f_i上、第l个稀疏信号的阵元位置误差扰动矩阵，为第l个稀疏信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差扰动引入的信源传播时延误差，

相应的可获得同时存在以上三种误差时频点f_i上阵列流型矩阵的稀疏表示

$\begin{array}{c}{A}^{\′\′\′}(f_i,\mathrm{\Ω})=\[a^{\′\′\′}(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_1),\mathrm{...},a^{\′\′\′}(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l),\mathrm{...},a^{\′\′\′}(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_L)\]\\ =W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}(f_i,\mathrm{\Ω})\·A(f_i,\mathrm{\Ω})\end{array}$

其中， $a^{\′\′\′}(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l)=W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l)\·a(f_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_l)$ 为同时存在以上三种误差时频点f_i上、第l个稀疏信号对应的阵列导向矢量，则可得出同时存在以上三种误差时频点f_i上的阵列输出信号的稀疏表示

${\stackrel{\‾}{X}}^{\′\′\′}\left(f_i\right)=A^{\′\′\′}(f_i,\mathrm{\Ω})\stackrel{\‾}{S}\left(f_i\right)+N\left(f_i\right),i=1,2,\mathrm{...},J---\left(22\right)$

其协方差矩阵为

${\stackrel{\‾}{R}}^{\′\′\′}\left(f_i\right)=E\left\{{\stackrel{\‾}{X}}^{\′\′\′}\left(f_i\right){\left({\stackrel{\‾}{X}}^{\′\′\′}\right(f_i\left)\right)}^H\right\},i=1,2,\mathrm{...},J---\left(23\right)$

式(22)中 $\stackrel{\‾}{S}\left(f_i\right)=\[\stackrel{\‾}{S}(f_i,1),\mathrm{...},\stackrel{\‾}{S}(f_i,kp),\mathrm{...},\stackrel{\‾}{S}(f_i,KP)\]$ 为S(f_i)的稀疏表示，

其中， $\stackrel{\‾}{S}(f_i,hp)={\[{\stackrel{\‾}{S}}_1(f_i,kp),\mathrm{...}{\stackrel{\‾}{S}}_l(f_i,kp),\mathrm{...},{\stackrel{\‾}{S}}_L(f_i,kp)\]}^T$ 为稀疏矩阵，为S(f_i,kp)的稀疏表示，中只包含K个非零元素，为中的第l个元素，当且仅当时中的元素不全为零且有l＝1,2,…,L，k＝1,2,…,K；故此可以看成是S(f_i)中加入了许多0元素后得到的矩阵；

设δ(f_i)＝[δ₁(f_i),…,δ_l(f_i),…,δ_L(f_i)]^T为中元素的方差，反映了信号的能量，即有

$\stackrel{\‾}{S}\left(f_i\right)~N(0,\mathrm{\Σ}(f_i\left)\right)---\left(24\right)$

其中，Σ(f_i)＝diag(δ(f_i))，即服从均值为0，方差为δ(f_i)的高斯分布；

由于可以看成是S(f_i)中加入了许多0元素后得到的向量，所以δ(f_i)包含了K个非零元素，并且有K<<L，根据δ(f_i)，结合w(f_i)和噪声方差μ²(f_i)估计出从而重构出原信号，同时对误差进行估计；

根据式(22)可知，同时存在以上三种误差时频点f_i的阵列输出信号的概率密度为

$\begin{array}{c}P\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i\left)\right|\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right))\\ =\left|{\mathrm{\&pi;\&mu;}}^2\left(f_i\right)I_M{|}^{-KP}\exp \right\{-{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-A^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\left|{|}_2^2\right\}\\ =\left|{\mathrm{\&pi;\&mu;}}^2\left(f_i\right)I_M{|}^{-KP}\exp \right\{-{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;})\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\left|{|}_2^2\right\}\end{array}---\left(25\right)$

I_M为M×M维的单位阵；结合式(22)、(24)和(25)可得

$\begin{array}{c}P\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i\left)w_{\left(3\right)}\right(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)\\ =\&Integral;P\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i\left)\right|\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right))P\left(\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i\left)\right)d\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\\ =|\mathrm{\&pi;}\left({\mathrm{\&mu;}}^2\right(f_i)I_M+A^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&Sigma;(f_i\left){\left(A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\right)}^H\right){|}^{-KP}\&times;\\ \exp \{-KP\&times;tr\left({\left({\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)I_M+A^{\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&Sigma;\left(f_i\right){\left(A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\right)}^H\right)}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{R}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i\left)\right)\}\end{array}---\left(26\right)$

采用期望最大化(ExpectationMaximization,EM)方法来对w₍₁₎(f_i)、w₍₂₎(f_i)、w₍₃₎(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)进行迭代估计，得出估计值和对应的可得到 $\widehat{\mathrm{\&delta;}}\left(f_i\right)={\&lsqb;{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_1\left(f_i\right),\mathrm{...},{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_l\left(f_i\right),\mathrm{...},{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_L\left(f_i\right)\&rsqb;}^T$ 以及 $\widehat{\&Sigma;}\left(f_i\right)=diag\left(\widehat{\mathrm{\&delta;}}\right(f_i\left)\right).$

本发明具有以下有益效果：

本发明提出了一种基于空域稀疏优化的宽带信号阵列误差估计方法，当阵元间互耦、阵列通道幅相不一致性以及阵元位置误差同时存在时，利用各个频点上的信号构建对应的优化函数，之后利用信号的空域稀疏性，分别对各个频点上的函数进行迭代优化处理，最后对所有频点上的信息进行融合估计出阵元间互耦、阵列通道幅相不一致性以及阵元位置误差，并且利用多片数字信号处理器对该方法进行实现，有效提高了该方法的运行速度。

当信噪比为10dB，每个频点采样快拍数为40时，阵元间互耦误差估计精度：实部0.2/σ，虚部0.2/σ；阵列通道幅相不一致性误差估计精度：实部0.15/σ，虚部0.15/σ；阵元位置误差估计精度：0.05d/σ(d为阵元间距)。

附图说明

图1为宽带信号超分辨测向阵列信号模型示意图；

图2为宽带信号探测系统装置图；

图3为具体实施方式五的宽带信号超分辨测向装置图；

图4为具体实施方式六的宽带信号超分辨测向装置图；

图5为具体实施方式七的宽带信号超分辨测向装置图。

具体实施方式

具体实施方式一：

基于空域稀疏优化的宽带信号超分辨测向误差估计方法，包括下述步骤：

步骤1：建立同时含有阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差的阵列信号模型：

当阵列中同时存在阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差时，阵列输出可以表示为

X”'(f_i)＝A”'(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)

＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)

＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)A(f_i,α)S(f_i)+Λ₍₃₎(f_i)w₍₃₎(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J(12)

＝W₍₁₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)S(f_i)+Λ₍₂₎(f_i)w₍₂₎(f_i)+N(f_i)

＝W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)S(f_i)+Λ₍₁₎(f_i)w₍₁₎(f_i)+N(f_i)

其中，“·”表示Hadamard积，即两个矩阵对应位置的元素相乘，最后得到与原矩阵相同维数的矩阵，A″′(f_i,α)为同时存在以上三种误差时频点f_i上的阵列流型矩阵

A”'(f_i,α)＝[a”'(f_i,α₁),…,a”'(f_i,α_k),…,a”'(f_i,α_K)](13)

A(f_i,α)＝[a(f_i,α₁),…,a(f_i,α_k),…,a(f_i,α_K)]为理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵，a(f_i,α_k)为理想情况下频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量；

A”'(f_i,α)与理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵的关系为

A”'(f_i,α)＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)(14)

相应的同时存在以上三种误差时频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量为

a”'(f_i,α_k)＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α_k)·a(f_i,α_k)(15)

式(12)中，S(f_i)为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵；N(f_i)为噪声n_m(t)经过傅立叶变换后的噪声矢量矩阵，均值为0，方差为μ²(f_i)；则同时存在阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差时频点f_i上的接收信号协方差矩阵

R″′(f_i)＝E{X″′(f_i)(X″′(f_i))^H}，i＝1,2,…,J(16)

W₍₁₎(f_i)为假设阵列当中只存在阵元间互耦误差时的阵列扰动矩阵，

其中，c_q(f_i)表示间距为q、信号频率为f_i时的阵元间的互耦系数，q＝1,2,…,Q；

定义阵元间互耦扰动矢量为w₍₁₎(f_i)＝[c₁(f_i),…,c_Q(f_i)]^T；Λ₍₁₎(f_i)为仅存在阵元间互耦误差时一个只与原信号有关的参数，与误差无关；

W₍₂₎(f_i)为假设阵列当中只存在阵列通道幅相不一致性误差时的幅相阵列扰动矩阵，

W₍₂₎(f_i)＝diag([W₁(f_i),…,W_m(f_i),…,W_M(f_i)]^T)(18)

其中

为信号频点f_i上第m路通道的幅相不一致性误差，ρ_m(f_i)、分别为在信号频点f_i上第m路通道相对于第一路通道的幅度增益和相位偏差；

定义频点f_i上阵列通道幅相不一致扰动矢量为Λ₍₂₎(f_i)为仅存在阵列通道幅相不一致性误差时频点f_i上一个只与原信号有关的参数，与误差无关；

W₍₃₎(f_i,α)＝[W₍₃₎(f_i,α₁),…,W₍₃₎(f_i,α_k),…,W₍₃₎(f_i,α_K)]为假设阵列当中只存在阵元位置误差时频点f_i上的阵元位置误差扰动矩阵，其中

$W_{\left(3\right)}(f_i,{\mathrm{\&alpha;}}_k)={\&lsqb;1,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_2\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)},\mathrm{...},e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)},\mathrm{...},e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_M\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)}\&rsqb;}^T---\left(20\right)$

为只存在阵元位置误差时频点f_i上、第k个信号的阵元位置误差扰动矩阵，其中

${\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)=\frac{{\mathrm{\&Delta;d}}_m}{c}{\mathrm{sin\&alpha;}}_k---\left(21\right)$

为第k个信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差引入的信源传播时延误差，Δd_m为第m个阵元的真实位置与测量位置间的偏差，与信号频率f_i无关；

定义频点f_i上的阵元位置误差扰动矢量为w₍₃₎(f_i)＝[Δd₂,…,Δd_M]^T；Λ₍₃₎(f_i)为仅存在阵元位置误差时一个只与原信号有关的参数，与误差无关；

步骤2：对同时含有阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差的阵列信号参数进行估计：

首先将搜索空间划分为若干离散的角度网格L表示信号可能到达的L个方向，可得出频点f_i上阵列流型矩阵的稀疏表示

$A(f_i,\mathrm{\&Omega;})=\&lsqb;a(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1),\mathrm{...},a(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l),\mathrm{...},a(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_L)\&rsqb;$

其中， $a(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l)={\&lsqb;1,\mathrm{...},\exp (-jm\frac{2{\mathrm{\&pi;f}}_{i}d}{c}sin{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l),\mathrm{...},\exp (-j(M-1\left)\frac{2{\mathrm{\&pi;f}}_{i}d}{c}sin{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right)\&rsqb;}^T$ 为频点f_i上第l个稀疏信号的阵列导向矢量，同时得出阵元位置误差扰动矩阵的稀疏表示 $W_{\left(3\right)}(f_i,\mathrm{\&Omega;})=\&lsqb;W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1),\mathrm{...},W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l),\mathrm{...},W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_L)\&rsqb;,$ 其中 $W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l)={\&lsqb;1,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right)},\mathrm{...},e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right)},\mathrm{...},e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_M\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right)}\&rsqb;}^T$ 为频点f_i上、第l个稀疏信号的阵元位置误差扰动矩阵，为第l个稀疏信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差扰动引入的信源传播时延误差，

相应的可获得同时存在以上三种误差时频点f_i上阵列流型矩阵的稀疏表示

$\begin{array}{c}{A}^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,\mathrm{\&Omega;})=\&lsqb;a^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1),\mathrm{...},a^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l),\mathrm{...},a^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_L)\&rsqb;\\ =W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;})\end{array}$

其中， $a^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l)=W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l)\&CenterDot;a(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l)$ 为同时存在以上三种误差时频点f_i上、第l个稀疏信号对应的阵列导向矢量，则可得出同时存在以上三种误差时频点f_i上的阵列输出信号的稀疏表示

${\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)=A^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)+N\left(f_i\right),i=1,2,\mathrm{...},J---\left(22\right)$

其协方差矩阵为

${\stackrel{\&OverBar;}{R}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)=E\left\{{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right){\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i\left)\right)}^H\right\},i=1,2,\mathrm{...},J---\left(23\right)$

式(22)中 $\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)=\&lsqb;\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i,1),\mathrm{...},\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i,kp),\mathrm{...},\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i,KP)\&rsqb;$ 为S(f_i)的稀疏表示，

其中， $\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i,hp)={\&lsqb;{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1(f_i,kp),\mathrm{...}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_l(f_i,kp),\mathrm{...},{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_L(f_i,kp)\&rsqb;}^T$ 为稀疏矩阵，为S(f_i,kp)的稀疏表示，中只包含K个非零元素，为中的第l个元素，当且仅当时中的元素不全为零且有l＝1,2,…,L，k＝1,2,…,K；故此可以看成是S(f_i)中加入了许多0元素后得到的矩阵；

设δ(f_i)＝[δ₁(f_i),…,δ_l(f_i),…,δ_L(f_i)]^T为中元素的方差，反映了信号的能量，即有

$\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)~N(0,\mathrm{\&Sigma;}(f_i\left)\right)---\left(24\right)$

其中，Σ(f_i)＝diag(δ(f_i))，即服从均值为0，方差为δ(f_i)的高斯分布；

由于可以看成是S(f_i)中加入了许多0元素后得到的向量，所以δ(f_i)包含了K个非零元素，并且有K<<L，根据δ(f_i)，结合w(f_i)和噪声方差μ²(f_i)估计出从而重构出原信号，同时对误差进行估计；

根据式(22)可知，同时存在以上三种误差时频点f_i的阵列输出信号的概率密度为

$\begin{array}{c}P\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i\left)\right|\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right))\\ =\left|{\mathrm{\&pi;\&mu;}}^2\left(f_i\right)I_M{|}^{-KP}\exp \right\{-{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-A^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\left|{|}_2^2\right\}\\ =\left|{\mathrm{\&pi;\&mu;}}^2\left(f_i\right)I_M{|}^{-KP}\exp \right\{-{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;})\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\left|{|}_2^2\right\}\end{array}---\left(25\right)$

I_M为M×M维的单位阵；结合式(22)、(24)和(25)可得

$\begin{array}{c}P\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i\left)w_{\left(3\right)}\right(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)\\ =\&Integral;P\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i\left)\right|\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right))P\left(\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i\left)\right)d\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\\ =|\mathrm{\&pi;}\left({\mathrm{\&mu;}}^2\right(f_i)I_M+A^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&Sigma;(f_i\left){\left(A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\right)}^H\right){|}^{-KP}\&times;\\ \exp \{-KP\&times;tr\left({\left({\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)I_M+A^{\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&Sigma;\left(f_i\right){\left(A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\right)}^H\right)}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{R}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i\left)\right)\}\end{array}---\left(26\right)$

采用期望最大化(ExpectationMaximization,EM)方法来对w₍₁₎(f_i)、w₍₂₎(f_i)、w₍₃₎(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)进行迭代估计，得出估计值和对应的可得到 $\widehat{\mathrm{\&delta;}}\left(f_i\right)={\&lsqb;{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_1\left(f_i\right),\mathrm{...},{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_l\left(f_i\right),\mathrm{...},{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_L\left(f_i\right)\&rsqb;}^T$ 以及 $\widehat{\&Sigma;}\left(f_i\right)=diag\left(\widehat{\mathrm{\&delta;}}\right(f_i\left)\right).$

具体实施方式二：

本实施方式步骤1所述建立同时含有阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差的阵列信号模型的具体步骤如下：

步骤1.1：建立理想阵列信号模型：

如图1所示，设有K个远场宽带信号s_k(t)，k＝1,2,…,K，入射到M个全向阵元组成的宽带均匀直线阵列上，到达方向为α＝[α₁,…,α_k,…,α_K]，阵元间距为d；远场宽带信号s_k(t)，简称宽带信号s_k(t)；

将第1个阵元作为相位参考点，在理想情况下，第m个阵元的输出表示为

$x_m\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\&Sigma;}}{s}_k(t-{\mathrm{\&tau;}}_m({\mathrm{\&alpha;}}_k\left)\right)+n_m\left(t\right),m=1,2,\mathrm{...},M---\left(1\right)$

其中，表示第k个宽带信号s_k(t)到达第m个阵元相对于它到达相位参考点的延时，c为电磁波在真空中的传播速度，n_m(t)为第m个阵元接收到的高斯白噪声；

假设宽带信号的频率范围为[f_Low,f_High]，利用离散傅里叶变换将宽带信号分成J个频点，经过窄带滤波器组将它们分开，则第i组滤波器阵列输出信号表示为

X(f_i)＝A(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J(2)

其中，f_Low≤f_i≤f_High，i＝1,2,…,J；

假设在每个频点上进行了KP次采样，X(f_i)的矩阵形式表示为

X(f_i)＝[X(f_i,1),…,X(f_i,kp),…,X(f_i,KP)]，i＝1,2,…,J(3)

其中，X(f_i,kp)为X(f_i)的第kp次数据采样矩阵，

X(f_i,kp)＝[X₁(f_i,kp),…,X_m(f_i,kp),…,X_M(f_i,kp)]^T，i＝1,2,…,J，(4)

X_m(f_i,kp)为第m个阵元在频点f_i上得到的第kp次数据采样值；

A(f_i,α)为理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵，

A(f_i,α)＝[a(f_i,α₁),…,a(f_i,α_k),…,a(f_i,α_K)]，i＝1,2,…,J，(5)

a(f_i,α_k)为理想情况下频点f_i上、第k个信号的阵列导向矢量，

a(f_i,α_k)＝[1,exp(-jφ_k),…,exp(-j(M-1)φ_k)]^T，i＝1,2,…,J，(6)

${\mathrm{\&phi;}}_k=2{\mathrm{\&pi;f}}_i\frac{d}{c}{\mathrm{sin\&alpha;}}_k,i=1,2,\mathrm{...},J,---\left(7\right)$

其中，φ_k是第k个信号的相位；j是复数标志；

S(f_i)＝[S(f_i,1),…,S(f_i,kp),…,S(f_i,KP)]，i＝1,2,…,J，(8)

为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵，k＝1,2,…,K；

其中，S(f_i,kp)为S(f_i)的第kp次信号采样矩阵，

S(f_i,kp)＝[S₁(f_i,kp),…S_k(f_i,kp),…,S_K(f_i,kp)]^Ti＝1,2,…,J(9)

S_k(f_i,kp)为第k个信号在频点f_i上得到的第kp次信号采样值；

N(f_i)＝[N(f_i,1),…,N(f_i,kp),…,N(f_i,KP)]i＝1,2,…,J(10)

为噪声n_m(t)经过傅立叶变换后的噪声矢量矩阵，均值为0，方差为μ²(f_i)；m＝1,2,…,M；

N(f_i,kp)＝[N₁(f_i,kp),…,N_m(f_i,kp),…,N_M(f_i,kp)]^Ti＝1,2,…,J(11)

为频点f_i上的第kp次噪声采样矩阵，其中N_m(f_i,kp)为第m个阵元在频点f_i上得到的第kp次噪声采样值；

步骤1.2：在理想阵列信号模型基础上建立同时含有阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差的阵列信号模型：

当阵列中同时存在阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差时，频点f_i上的阵列输出可以表示为

X”'(f_i)＝A”'(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)

＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)

＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)A(f_i,α)S(f_i)+Λ₍₃₎(f_i)w₍₃₎(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J(12)

＝W₍₁₎(f_i)W₍₃₎(f,α)·A(f_i,α)S(f_i)+Λ₍₂₎(f_i)w₍₂₎(f_i)+N(f_i)

＝W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f,α)·A(f_i,α)S(f_i)+Λ₍₁₎(f_i)w₍₁₎(f_i)+N(f_i)

其中，“·”表示Hadamard积，即两个矩阵对应位置的元素相乘，最后得到与原矩阵相同维数的矩阵，A″′(f_i,α)为同时存在以上三种误差时频点f_i上的阵列流型矩阵

A”'(f_i,α)＝[a”'(f_i,α₁),…,a”'(f_i,α_k),…,a”'(f_i,α_K)](13)

它与理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵的关系为

A”'(f_i,α)＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)(14)

相应的同时存在以上三种误差时频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量为

a”'(f_i,α_k)＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α_k)·a(f_i,α_k)(15)

式(12)中S(f_i)为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵，N(f_i)为噪声n_m(t)经过傅立叶变换后的噪声矢量矩阵，均值为0，方差为μ²(f_i)；相应的协方差矩阵R″′(f_i)为

R″′(f_i)＝E{X″′(f_i)(X″′(f_i))^H}，i＝1,2,…,J(16)

W₍₁₎(f_i)为假设阵列当中只存在阵元间互耦误差时的阵列扰动矩阵，

其中，c_q(f_i)表示间距为q、信号频率为f_i时的阵元间的互耦系数，q＝1,2,…,Q；

定义阵元间互耦扰动矢量为w₍₁₎(f_i)＝[c₁(f_i),…,c_Q(f_i)]^T；Λ₍₁₎(f_i)为仅存在阵元间互耦误差时一个只与原信号有关的参数，与误差无关；

W₍₂₎(f_i)为假设阵列当中只存在阵列通道幅相不一致性误差时的幅相阵列扰动矩阵，

W₍₂₎(f_i)＝diag([W₁(f_i),…,W_m(f_i),…,W_M(f_i)]^T)(18)

其中

为信号频点f_i上第m路通道的幅相不一致性误差，ρ_m(f_i)、分别为在信号频点f_i上第m路通道相对于第一路通道的幅度增益和相位偏差，；

定义阵列通道幅相不一致扰动矢量为Λ₍₂₎(f_i)为仅存在阵列通道幅相不一致性误差时一个只与原信号有关的参数，与误差无关；

W₍₃₎(f_i,α)＝[W₍₃₎(f_i,α₁),…,W₍₃₎(f_i,α_k),…,W₍₃₎(f_i,α_K)]为假设阵列当中只存在阵元位置误差时频点f_i上的阵元位置误差扰动矩阵，其中

$W_{\left(3\right)}(f_i,{\mathrm{\&alpha;}}_k)={\&lsqb;1,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_2\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)},\mathrm{...},e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)},\mathrm{...},e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_M\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)}\&rsqb;}^T---\left(20\right)$

为只存在阵元位置误差时频点f_i上、第k个信号的阵元位置误差扰动矩阵，其中

${\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)=\frac{{\mathrm{\&Delta;d}}_m}{c}{\mathrm{sin\&alpha;}}_k---\left(21\right)$

为第k个信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差引入的信源传播时延误差；Δd_m为第m个阵元的真实位置与测量位置间的偏差，与信号频率f_i无关；

定义阵元位置误差扰动矢量为w₍₃₎(f_i)＝[Δd₂,…,Δd_M]^T；Λ₍₃₎(f_i)为仅存在阵元位置误差时一个只与原信号有关的参数，与误差无关。

其它步骤和参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：

本实施方式步骤2中所述的采用期望最大化方法来对w₍₁₎(f_i)、w₍₂₎(f_i)、w₍₃₎(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)进行迭代估计的具体步骤如下：

在期望最大化方法中的E-step步中，首先对 $P\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i),w_{\left(3\right)}(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)$ 的分布函数进行计算

其中运算符<·>表示求解条件期望；

在期望最大化方法中的M-step步中，分别求取分布函数 $F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i),w_{\left(3\right)}(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)$ 对各未知参数的导数，即对 $F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);\mathrm{\&delta;}\left(f_i\right),w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right))$ 取极值来对各未知参数求解；

$\begin{array}{c}\frac{\&part;F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i),w_{\left(3\right)}(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)}{\&part;w_{\left(1\right)}\left(f_i\right)}\\ =-2{\mathrm{\&mu;}}^{-2}\left(f_i\right)\&lsqb;<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)>w_{\left(1\right)}\left(f_i\right)-<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(2\right)}(f_i\left)W_{\left(3\right)}\right(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>\&rsqb;\end{array}---\left(28\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\&part;F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i),w_{\left(3\right)}(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)}{\&part;w_{\left(2\right)}\left(f_i\right)}\\ =-2{\mathrm{\&mu;}}^{-2}\left(f_i\right)\&lsqb;<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right)>w_{\left(2\right)}\left(f_i\right)-<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(1\right)}(f_i\left)W_{\left(3\right)}\right(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>\&rsqb;\end{array}---\left(29\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\&part;F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i),w_{\left(3\right)}(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)}{\&part;w_{\left(3\right)}\left(f_i\right)}\\ =-2{\mathrm{\&mu;}}^{-2}\left(f_i\right)\&lsqb;<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right)>w_{\left(3\right)}\left(f_i\right)-<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(1\right)}(f_i\left)W_{\left(2\right)}\right(f_i\left)A\right(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>\&rsqb;\end{array}---\left(30\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\&part;F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i),w_{\left(3\right)}(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)}{\&part;{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)}\\ =-\frac{M\&times;KP}{{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)}+\frac{1}{{\left({\mathrm{\&mu;}}^2\right(f_i\left)\right)}^2}<\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-A^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)|{|}_2^2>\end{array}---\left(31\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\&part;F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i),w_{\left(3\right)}(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)}{\&part;{\mathrm{\&delta;}}_l\left(f_i\right)}\\ =-\frac{KP}{{\mathrm{\&delta;}}_l\left(f_i\right)}+\frac{1}{{\mathrm{\&delta;}}_l^2\left(f_i\right)}<\underset{kp=1}{\overset{KP}{\&Sigma;}}|{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_l(f_i,kp){|}^2>\end{array}---\left(32\right)$

分别令以上的导数为0，即可求得第p次迭代时各个未知参数的估计值

$w_{\left(1\right)}^{\left(p\right)}\left(f_i\right)=<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right){>}^{-1}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(2\right)}(f_i\left)W_{\left(3\right)}\right(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>---\left(33\right)$

$w_{\left(2\right)}^{\left(p\right)}\left(f_i\right)=<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right){>}^{-1}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(1\right)}(f_i\left)W_{\left(3\right)}\right(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>---\left(34\right)$

$w_{\left(3\right)}^{\left(p\right)}\left(f_i\right)=<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right){\widehat{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right){>}^{-1}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(1\right)}(f_i\left)W_{\left(2\right)}\right(f_i\left)A\right(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>---\left(35\right)$

${\left({\mathrm{\&mu;}}^2\right(f_i\left)\right)}^{\left(p\right)}=\frac{1}{M\&times;KP}<\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-{\left(A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\right)}^{\left(p\right)}\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)|{|}_2^2>---\left(36\right)$

${\mathrm{\&delta;}}_l^{\left(p\right)}\left(f_i\right)=\frac{1}{KP}<\underset{kp=1}{\overset{KP}{\&Sigma;}}|{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_l(f_i,kp){|}^2>---\left(37\right)$

其中(p)代表迭代次数；

式(33)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right){>}_{r1,r2}\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(1\right)}\right(f_i\left)\right)}_{r1}^H{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(1\right)}\right(f_i\left)\right)}_{r2}A(f_i,\mathrm{\&Omega;})\left(O_{\left(1\right)}\right(f_i\left)O_{\left(1\right)}^H\right(f_i)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(1\right)}(f_i\left)\right)A^H(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&rsqb;\end{array}---\left(38\right)$

为矩阵第r1行、r2列的元素，其中tr[·]表示求迹运算；

式(38)中

O₍₁₎(f_i)＝Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1X”'(f_i)(39)

为中间变量；

Ξ₍₁₎(f_i)

(40)

＝Σ(f_i)-Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)

为中间变量；

式(33)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(2\right)}(f_l\left)W_{\left(3\right)}\right(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(1\right)}\right(f_i\left)\right)}_r^{H}X\left(f_i\right)O_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right)A^H(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&rsqb;-\\ tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(1\right)}\right(f_i\left)\right)}_r^H{W}_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;})\left(O_{\left(1\right)}\right(f_i\left)O_{\left(1\right)}^H\right(f_i)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(1\right)}(f_i\left)\right)A^H(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&rsqb;\end{array}---\left(41\right)$

式(41)中，(Ψ₍₁₎(f_i))_r为中间变量，为M×M维的矩阵，只有在第±r对角线上的元素全为1，其余元素全为0；

式(34)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right){>}_{r1,r2}\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(2\right)}\right(f_i\left)\right)}_{r1}^H{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(2\right)}\right(f_i\left)\right)}_{r2}A(f_i,\mathrm{\&Omega;})\left(O_{\left(2\right)}\right(f_i\left)O_{\left(2\right)}^H\right(f_i)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(2\right)}(f_i\left)\right)A^H(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&rsqb;\end{array}---\left(42\right)$

为矩阵第r1行、r2列的元素；

式(42)中

O₍₂₎(f_i)＝Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1X”'(f_i)(43)

为中间变量；

Ξ₍₂₎(f_i)

(44)

＝Σ(f_i)-Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)

为中间变量；

式(34)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(1\right)}(f_i\left)W_{\left(3\right)}\right(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(2\right)}\right(f_i\left)\right)}_r^{H}X\left(f_i\right)O_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right)A^H(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&rsqb;-\\ tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(2\right)}\right(f_i\left)\right)}_r^2{W}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;})\left(O_{\left(2\right)}\right(f_i\left)O_{\left(2\right)}^H\right(f_i)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(2\right)}(f_i\left)\right)A^H(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&rsqb;\end{array}---\left(45\right)$

式(45)中，(Ψ₍₂₎(f_i))_r为中间变量，为M×M维的矩阵，只有在第±r对角线上的元素全为1，其余元素全为0；

式(35)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right){>}_{r1,r2}\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(3\right)}\right(f_i\left)\right)}_{r1}^H{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(3\right)}\right(f_i\left)\right)}_{r2}A(f_i,\mathrm{\&Omega;})\left(O_{\left(3\right)}\right(f_i\left)O_{\left(3\right)}^H\right(f_i)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(3\right)}(f_i\left)\right)A^H(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&rsqb;\end{array}---\left(46\right)$

为矩阵第r1行、r2列的元素；

式(46)中

O₍₃₎(f_i)＝Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1X”'(f_i)(47)

为中间变量；

Ξ₍₃₎(f_i)

(48)

＝Σ(f_i)-Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)

为中间变量；

式(35)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(1\right)}(f_i\left)W_{\left(2\right)}\right(f_i\left)A\right(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(3\right)}\right(f_i\left)\right)}_r^{H}X\left(f_i\right)O_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right)A^H(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&rsqb;-\\ tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(3\right)}\right(f_i\left)\right)}_r^H{W}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)A(f_i,\mathrm{\&Omega;})\left(O_{\left(3\right)}\right(f_i\left)O_{\left(3\right)}^H\right(f_i)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(3\right)}(f_i\left)\right)A^H(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&rsqb;\end{array}---\left(49\right)$

式(49)中，(Ψ₍₃₎(f_i))_r为中间变量，为M×M维的矩阵，只有在第±r对角线上的元素全为1，其余元素全为0；

由于直接利用式(33)～(35)计算w₍₁₎(f_i)、w₍₂₎(f_i)、w₍₃₎(f_i)比较复杂，因此可将式(38)～(49)代入式(33)～(35)中对等式进行化简并对w₍₁₎(f_i)、w₍₂₎(f_i)、w₍₃₎(f_i)求解；

当迭代若干步后，w₍₁₎(f_i)、w₍₂₎(f_i)、w₍₃₎(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)的估计值的变化趋于0，此时可认为它们已经收敛，则可得出最后的估计值和对应得到 $\widehat{\mathrm{\&delta;}}\left(f_i\right)={\&lsqb;{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_1\left(f_i\right),\mathrm{...},{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_l\left(f_i\right),\mathrm{...},{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_L\left(f_i\right)\&rsqb;}^T$ 以及 $\widehat{\&Sigma;}\left(f_i\right)=diag\left(\widehat{\mathrm{\&delta;}}\right(f_i\left)\right).$

其它步骤和参数与具体实施方式二相同。

具体实施方式四：

本实施方式所述的ρ₁(f_i)＝1，W₁(f_i)＝1。

其它步骤和参数与具体实施方式三相同。

具体实施方式五：参照图2和图3具体说明本实施方式，

本实施方式为实现具体实施方式一至四所述方法的宽带信号探测系统及实现探测的方法，

如图2所示，宽带信号探测系统包括：宽带均匀直线阵列1、多通道宽带数字接收机2和宽带信号超分辨测向装置3；

如图3所示，宽带信号超分辨测向装置3包括6片数字信号处理器，即DSP，采用快速串行输入输出口，即SRIO口，组成多处理器系统实现并行处理。其中，DSP3-1为主DSP，DSP3-2～DSP3-6为从DSP；宽带信号超分辨测向装置3还包括CPLD3-7、PROM3-8、FLASH3-9、SRAM3-10、JTAG3-11、电源、晶振和复位。

数字信号处理器采用TexasInstruments(TI)公司的TMS320C6678，采用6片处理器并行处理，6片DSP通过SRIO口连接，上电后PROM3-8首先将程序加载给CPLD3-7，FLASH3-9也将程序加载给这6块DSP(3-1～3-6)，之后主DSP3-1开始接收多通道宽带数字接收机2传来的J个频点的观测数据，把它们分为W组，假设J＝30，W＝6，则每片DSP可以处理U＝30/6＝5个频点的观测数据，主DSP3-1通过SRIO口将其它从DSP(3-2～3-6)负责处理的观测数据传递给它们，之后每个DSP(3-1～3-6)都按照以上理论推导的步骤进行求解，之后5片从DSP(3-2～3-6)将各自的误差估计值通过SRIO口传给主DSP3-1，主DSP3-1再利用这些结果进行阵列校正。其中SRAM3-10负责存储数据，JTAG3-11负责对DSP(3-1～3-6)进行调试，电源负责整体供电，晶振负责提供时钟，复位负责提供复位信号。

具体实施方式六：参照图2和图4具体说明本实施方式，

本实施方式为实现具体实施方式一至四所述方法的宽带信号探测系统及实现探测的方法，

如图2所示，宽带信号探测系统包括：宽带均匀直线阵列1、多通道宽带数字接收机2和宽带信号超分辨测向装置3；

如图4所示，宽带信号超分辨测向装置3包括6片数字信号处理器，即DSP，采用共享总线紧耦合方式组成多处理器系统实现并行处理。其中，DSP3-1为主DSP，DSP3-2～DSP3-6为从DSP；宽带信号超分辨测向装置3还包括CPLD3-7、PROM3-8、FLASH3-9、SRAM3-10、JTAG3-11、电源、晶振和复位。

数字信号处理器采用AnalogDeviceInstruments(ADI)公司的ADSP-TS201S，采用6片DSP并行处理，6片DSP通过共享总线紧耦合方式连接，上电后PROM3-8首先将程序加载给CPLD3-7对DSP(3-1～3-6)进行配置，之后FLASH3-9将程序加载给这6块DSP(3-1～3-6)，主DSP3-1开始接收多通道宽带数字接收机2传来的J个频点的观测数据，把它们分为W组，假设J＝30，W＝6，则每片DSP可以处理U＝30/6＝5个频点的观测数据，主DSP3-1通过总线将其它从DSP(3-2～3-6)负责处理的观测数据传递给它们，之后每个DSP(3-1～3-6)都按照以上理论推导的步骤进行求解，之后5片从DSP(3-2～3-6)将各自的误差估计值通过总线传给主DSP3-1，主DSP3-1再利用这些结果进行阵列校正。其中SRAM3-10负责存储数据，JTAG3-11负责对DSP(3-1～3-6)进行调试，电源负责整体供电，晶振负责提供时钟，复位负责提供复位信号。

具体实施方式七：参照图2和图5具体说明本实施方式，

本实施方式为实现具体实施方式一至四所述方法的宽带信号探测系统及实现探测的方法，

如图2所示，宽带信号探测系统包括：宽带均匀直线阵列1、多通道宽带数字接收机2和宽带信号超分辨测向装置3；

如图5所示，宽带信号超分辨测向装置3包括6片数字信号处理器，即DSP，采用链路口级联松耦合方式组成多处理器系统实现并行处理。其中，DSP3-1为主DSP，DSP3-2～DSP3-6为从DSP；宽带信号超分辨测向装置3还包括CPLD3-7、PROM3-8、FLASH3-9、SRAM3-10、JTAG3-11、电源、晶振和复位。

数字信号处理器采用AnalogDeviceInstruments(ADI)公司的ADSP-TS201S，采用6片处理器并行处理，6片DSP通过链路口级联松耦合方式连接，上电后PROM3-8首先将程序加载给CPLD3-7，FLASH3-9将这6片DSP的程序加载给主DSP3-1，主DSP3-1再依次将其它从DSP(3-2～3-6)的程序通过链路口一级一级传给它们，之后主DSP3-1开始接收多通道宽带数字接收机2传来的J个频点的观测数据，把它们分为W组，假设J＝30，W＝6，则每片DSP可以处理U＝30/6＝5个频点的观测数据，主DSP3-1再通过链路口将其它DSP(3-2～3-6)负责处理的观测数据一级一级逐次传递给它们，之后每个DSP(3-1～3-6)都按照以上理论推导的步骤进行求解，之后5片从DSP(3-2～3-6)将各自的误差估计值通过链路口一级一级逐次上传到主DSP3-1，主DSP3-1再利用这些结果进行阵列校正。其中SRAM3-10负责存储数据，JTAG3-11负责对DSP(3-1～3-6)进行调试，电源负责整体供电，晶振负责提供时钟，复位负责提供复位信号。

Claims (4)

1.基于空域稀疏优化的宽带信号超分辨测向误差估计方法，其特征在于包括下述步骤：

步骤1：建立同时含有阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差的阵列信号模型：

当阵列中同时存在阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差时，阵列输出表示为

$\begin{array}{c}{X}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)=A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&alpha;}\right)S\left(f_i\right)+N\left(f_i\right)\\ =W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}\left(f_i,\mathrm{\&alpha;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&alpha;}\right)S\left(f_i\right)+N\left(f_i\right)\end{array},i=1,2,...,J---\left(12\right)$

其中，“·”表示Hadamard积，即两个矩阵对应位置的元素相乘，最后得到与原矩阵相同维数的矩阵，A″′(f_i,α)为同时存在以上三种误差时频点f_i上的阵列流型矩阵

A”'(f_i,α)＝[a”'(f_i,α₁),…,a”'(f_i,α_k),…,a”'(f_i,α_K)](13)

A(f_i,α)＝[a(f_i,α₁),…,a(f_i,α_k),…,a(f_i,α_K)]为理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵，a(f_i,α_k)为理想情况下频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量；

A”'(f_i,α)与理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵的关系为

A”'(f_i,α)＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)(14)

相应的同时存在以上三种误差时频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量为

a”'(f_i,α_k)＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α_k)·a(f_i,α_k)(15)

式(12)中，S(f_i)为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵；N(f_i)为噪声n_m(t)经过傅立叶变换后的噪声矢量矩阵，均值为0，方差为μ²(f_i)；则同时存在阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差时频点f_i上的接收信号协方差矩阵

R″′(f_i)＝E{X″′(f_i)(X″′(f_i))^H}，i＝1,2,…,J(16)

W₍₁₎(f_i)为假设阵列当中只存在阵元间互耦误差时的阵列扰动矩阵，

其中，c_q(f_i)表示间距为q、信号频率为f_i时的阵元间的互耦系数，q＝1,2,…,Q；

定义阵元间互耦扰动矢量为w₍₁₎(f_i)＝[c₁(f_i),…,c_Q(f_i)]^T；Λ₍₁₎(f_i)为仅存在阵元间互耦误差时一个只与原信号有关的参数；

W₍₂₎(f_i)为假设阵列当中只存在阵列通道幅相不一致性误差时的幅相阵列扰动矩阵，

W₍₂₎(f_i)＝diag([W₁(f_i),…,W_m(f_i),…,W_M(f_i)]^T)(18)

其中

为信号频点f_i上第m路通道的幅相不一致性误差，ρ_m(f_i)、分别为在信号频点f_i上第m路通道相对于第一路通道的幅度增益和相位偏差；

定义频点f_i上阵列通道幅相不一致扰动矢量为Λ₍₂₎(f_i)为仅存在阵列通道幅相不一致性误差时频点f_i上一个只与原信号有关的参数；

W₍₃₎(f_i,α)＝[W₍₃₎(f_i,α₁),…,W₍₃₎(f_i,α_k),…,W₍₃₎(f_i,α_K)]为假设阵列当中只存在阵元位置误差时频点f_i上的阵元位置误差扰动矩阵，其中

$W_{\left(3\right)}(f_i,{\mathrm{\&alpha;}}_k)={\&lsqb;1,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_2\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_M\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)}\&rsqb;}^T---\left(20\right)$

为只存在阵元位置误差时频点f_i上、第k个信号的阵元位置误差扰动矩阵，其中

${\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)=\frac{{\mathrm{\&Delta;d}}_m}{c}{\mathrm{sin\&alpha;}}_k---\left(21\right)$

为第k个信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差引入的信源传播时延误差，△d_m为第m个阵元的真实位置与测量位置间的偏差；

定义频点f_i上的阵元位置误差扰动矢量为w₍₃₎(f_i)＝[△d₂,…,△d_M]^T；Λ₍₃₎(f_i)为仅存在阵元位置误差时一个只与原信号有关的参数；

步骤2：对同时含有阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差的阵列信号参数进行估计：

首先将搜索空间划分为若干离散的角度网格L表示信号可能到达的L个方向，得出频点f_i上阵列流型矩阵的稀疏表示

$A(f_i,\mathrm{\&Omega;})=\&lsqb;a(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1),...,a(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l),...,a(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_L)\&rsqb;$

其中， $a\left(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right)={\&lsqb;1,...,\exp \left(-jm\frac{2{\mathrm{\&pi;f}}_{i}d}{c}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right),...,\exp \left(-j\left(M-1\right)\frac{2{\mathrm{\&pi;f}}_{i}d}{c}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right)\&rsqb;}^T$ 为频点f_i上第l个稀疏信号的阵列导向矢量，同时得出阵元位置误差扰动矩阵的稀疏表示 $W_{\left(3\right)}(f_i,\mathrm{\&Omega;})=\&lsqb;W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1),...,W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l),...,W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_L)\&rsqb;,$ 其中 $W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l)={\&lsqb;1,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_2\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right)},...,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right)},...,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_M\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right)}\&rsqb;}^T$ 为频点f_i上、第l个稀疏信号的阵元位置误差扰动矩阵，为第l个稀疏信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差扰动引入的信源传播时延误差，

相应的获得同时存在以上三种误差时频点f_i上阵列流型矩阵的稀疏表示

$\begin{array}{c}{A}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)=\&lsqb;a^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1\right),...,a^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l\right),...,a^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_L\right)\&rsqb;\\ =W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\end{array}$

其中， $a^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l)=W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l)\&CenterDot;a(f_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_l)$ 为同时存在以上三种误差时频点f_i上、第l个稀疏信号对应的阵列导向矢量，则得出同时存在以上三种误差时频点f_i上的阵列输出信号的稀疏表示

${\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)=A^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)+N\left(f_i\right),i=1,2,...,J---\left(22\right)$

其协方差矩阵为

${\stackrel{\&OverBar;}{R}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)=E\left\{{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right){\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i\left)\right)}^H\right\},i=1,2,...,J---\left(23\right)$

式(22)中 $\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)=\&lsqb;\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i,1),...,\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i,kp),...,\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i,KP)\&rsqb;$ 为S(f_i)的稀疏表示，

其中， $\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i,kp)={\&lsqb;{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1(f_i,kp),...{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_l(f_i,kp),...,{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_L(f_i,kp)\&rsqb;}^T$ 为稀疏矩阵，为S(f_i,kp)的稀疏表示，中只包含K个非零元素，为中的第l个元素，当且仅当时中的元素不全为零且有l＝1,2,…,L，k＝1,2,…,K；故此看成是S(f_i)中加入了许多0元素后得到的矩阵；

设δ(f_i)＝[δ₁(f_i),…,δ_l(f_i),…,δ_L(f_i)]^T为中元素的方差，反映了信号的能量，即有

$\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)~N(0,\mathrm{\&Sigma;}(f_i\left)\right)---\left(24\right)$

其中，Σ(f_i)＝diag(δ(f_i))，即服从均值为0，方差为δ(f_i)的高斯分布；

根据式(22)，同时存在以上三种误差时频点f_i的阵列输出信号的概率密度为

$\begin{array}{c}P\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)|\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\right)\\ =|{\mathrm{\&pi;\&mu;}}^2\left(f_i\right)I_M{|}^{-KP}\exp \left\{-{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)|{|}_2^2\right\}\end{array}---\left(25\right)$

I_M为M×M维的单位阵；结合式(22)、(24)和(25)得

$\begin{array}{c}P\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right);\mathrm{\&delta;}\left(f_i\right),w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\right)\\ =|\mathrm{\&pi;}\left({\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)I_M+A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\mathrm{\&Sigma;}\left(f_i\right){\left(A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\right)}^H\right){|}^{-KP}\&times;\\ \exp \left\{-KP\&times;tr\left({\left({\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)I_M+A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\mathrm{\&Sigma;}\left(f_i\right){\left(A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\right)}^H\right)}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{R}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)\right)\right\}\end{array}---\left(26\right)$

采用期望最大化方法来对w₍₁₎(f_i)、w₍₂₎(f_i)、w₍₃₎(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)进行迭代估计，得出估计值和对应的得到 $\widehat{\mathrm{\&delta;}}\left(f_i\right)={\&lsqb;{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_1\left(f_i\right),...,{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_l\left(f_i\right),...,{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_L\left(f_i\right)\&rsqb;}^T$ 以及 $\widehat{\mathrm{\&Sigma;}}\left(f_i\right)=diag\left(\widehat{\mathrm{\&delta;}}\right(f_i\left)\right).$

2.根据权利1所述的基于空域稀疏优化的宽带信号超分辨测向误差估计方法，其特征在于步骤1所述建立同时含有阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差的阵列信号模型的具体步骤如下：

步骤1.1：建立理想阵列信号模型：

设有K个远场宽带信号s_k(t)，k＝1,2,…,K，入射到M个全向阵元组成的宽带均匀直线阵列上，到达方向为α＝[α₁,…,α_k,…,α_K]，阵元间距为d；远场宽带信号s_k(t)，简称宽带信号s_k(t)；

将第1个阵元作为相位参考点，在理想情况下，第m个阵元的输出表示为

$x_m\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\&Sigma;}}{s}_k(t-{\mathrm{\&tau;}}_m({\mathrm{\&alpha;}}_k\left)\right)+n_m\left(t\right),m=1,2,...,M---\left(1\right)$

其中，表示第k个宽带信号s_k(t)到达第m个阵元相对于它到达相位参考点的延时，c为电磁波在真空中的传播速度，n_m(t)为第m个阵元接收到的高斯白噪声；

假设宽带信号的频率范围为[f_Low,f_High]，利用离散傅里叶变换将宽带信号分成J个频点，经过窄带滤波器组将它们分开，则第i组滤波器阵列输出信号表示为

X(f_i)＝A(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J(2)

其中，f_Low≤f_i≤f_High，i＝1,2,…,J；

假设在每个频点上进行了KP次采样，X(f_i)的矩阵形式表示为

X(f_i)＝[X(f_i,1),…,X(f_i,kp),…,X(f_i,KP)]，i＝1,2,…,J(3)

其中，X(f_i,kp)为X(f_i)的第kp次数据采样矩阵，

X(f_i,kp)＝[X₁(f_i,kp),…,X_m(f_i,kp),…,X_M(f_i,kp)]^T，i＝1,2,…,J，(4)

X_m(f_i,kp)为第m个阵元在频点f_i上得到的第kp次数据采样值；

A(f_i,α)为理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵，

A(f_i,α)＝[a(f_i,α₁),…,a(f_i,α_k),…,a(f_i,α_K)]，i＝1,2,…,J，(5)

a(f_i,α_k)为理想情况下频点f_i上、第k个信号的阵列导向矢量，

a(f_i,α_k)＝[1,exp(-jφ_k),…,exp(-j(M-1)φ_k)]^T，i＝1,2,…,J，(6)

${\mathrm{\&phi;}}_k=2{\mathrm{\&pi;f}}_i\frac{d}{c}{\mathrm{sin\&alpha;}}_k,i=1,2,...,J,---\left(7\right)$

其中，φ_k是第k个信号的相位；j是复数标志；

S(f_i)＝[S(f_i,1),…,S(f_i,kp),…,S(f_i,KP)]，i＝1,2,…,J，(8)

为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵，k＝1,2,…,K；

其中，S(f_i,kp)为S(f_i)的第kp次信号采样矩阵，

S(f_i,kp)＝[S₁(f_i,kp),…S_k(f_i,kp),…,S_K(f_i,kp)]^Ti＝1,2,…,J(9)

S_k(f_i,kp)为第k个信号在频点f_i上得到的第kp次信号采样值；

N(f_i)＝[N(f_i,1),…,N(f_i,kp),…,N(f_i,KP)]i＝1,2,…,J(10)

为噪声n_m(t)经过傅立叶变换后的噪声矢量矩阵，均值为0，方差为μ²(f_i)；m＝1,2,…,M；

N(f_i,kp)＝[N₁(f_i,kp),…,N_m(f_i,kp),…,N_M(f_i,kp)]^Ti＝1,2,…,J(11)

为频点f_i上的第kp次噪声采样矩阵，其中N_m(f_i,kp)为第m个阵元在频点f_i上得到的第kp次噪声采样值；

步骤1.2：在理想阵列信号模型基础上建立同时含有阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差的阵列信号模型：

当阵列中同时存在阵元间互耦误差、阵列通道幅相不一致性误差、阵元位置误差时，频点f_i上的阵列输出表示为

$\begin{array}{c}{X}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)=A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i,\mathrm{\&alpha;}\right)S\left(f_i\right)+N\left(f_i\right)\\ =W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}\left(f_i,\mathrm{\&alpha;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&alpha;}\right)S\left(f_i\right)+N\left(f_i\right)\end{array},i=1,2,...,J---\left(12\right)$

其中，“·”表示Hadamard积，即两个矩阵对应位置的元素相乘，最后得到与原矩阵相同维数的矩阵，A″′(f_i,α)为同时存在以上三种误差时频点f_i上的阵列流型矩阵

A”'(f_i,α)＝[a”'(f_i,α₁),…,a”'(f_i,α_k),…,a”'(f_i,α_K)](13)

它与理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵的关系为

A”'(f_i,α)＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α)·A(f_i,α)(14)

相应的同时存在以上三种误差时频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量为

a”'(f_i,α_k)＝W₍₁₎(f_i)W₍₂₎(f_i)W₍₃₎(f_i,α_k)·a(f_i,α_k)(15)

式(12)中S(f_i)为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵，N(f_i)为噪声n_m(t)经过傅立叶变换后的噪声矢量矩阵，均值为0，方差为μ²(f_i)；相应的协方差矩阵R″′(f_i)为

R″′(f_i)＝E{X″′(f_i)(X″′(f_i))^H}，i＝1,2,…,J(16)

W₍₁₎(f_i)为假设阵列当中只存在阵元间互耦误差时的阵列扰动矩阵，

其中，c_q(f_i)表示间距为q、信号频率为f_i时的阵元间的互耦系数，q＝1,2,…,Q；

定义阵元间互耦扰动矢量为w₍₁₎(f_i)＝[c₁(f_i),…,c_Q(f_i)]^T；Λ₍₁₎(f_i)为仅存在阵元间互耦误差时一个只与原信号有关的参数；

W₍₂₎(f_i)为假设阵列当中只存在阵列通道幅相不一致性误差时的幅相阵列扰动矩阵，

W₍₂₎(f_i)＝diag([W₁(f_i),…,W_m(f_i),…,W_M(f_i)]^T)(18)

其中

为信号频点f_i上第m路通道的幅相不一致性误差，ρ_m(f_i)、分别为在信号频点f_i上第m路通道相对于第一路通道的幅度增益和相位偏差，；

定义阵列通道幅相不一致扰动矢量为Λ₍₂₎(f_i)为仅存在阵列通道幅相不一致性误差时一个只与原信号有关的参数；

W₍₃₎(f_i,α)＝[W₍₃₎(f_i,α₁),…,W₍₃₎(f_i,α_k),…,W₍₃₎(f_i,α_K)]为假设阵列当中只存在阵元位置误差时频点f_i上的阵元位置误差扰动矩阵，其中

$W_{\left(3\right)}(f_i,{\mathrm{\&alpha;}}_k)={\&lsqb;1,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_2\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_i{\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_M\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)}\&rsqb;}^T---\left(20\right)$

为只存在阵元位置误差时频点f_i上、第k个信号的阵元位置误差扰动矩阵，其中

${\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m\left({\mathrm{\&alpha;}}_k\right)=\frac{{\mathrm{\&Delta;d}}_m}{c}{\mathrm{sin\&alpha;}}_k---\left(21\right)$

为第k个信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差引入的信源传播时延误差；△d_m为第m个阵元的真实位置与测量位置间的偏差；

定义阵元位置误差扰动矢量为w₍₃₎(f_i)＝[△d₂,…,△d_M]^T；Λ₍₃₎(f_i)为仅存在阵元位置误差时一个只与原信号有关的参数。

3.根据权利2所述的基于空域稀疏优化的宽带信号超分辨测向误差估计方法，其特征在于步骤2中所述的采用期望最大化方法来对w₍₁₎(f_i)、w₍₂₎(f_i)、w₍₃₎(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)进行迭代估计的具体步骤如下：

在期望最大化方法中的E-step步中，首先对 $P\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i),w_{\left(3\right)}(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)$ 的分布函数进行计算

其中运算符<·>表示求解条件期望；

在期望最大化方法中的M-step步中，分别求取分布函数 $F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i),w_{\left(3\right)}(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)$ 对各未知参数的导数，即对 $F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i),\stackrel{\&OverBar;}{S}(f_i);\mathrm{\&delta;}(f_i),w_{\left(1\right)}(f_i),w_{\left(2\right)}(f_i),w_{\left(3\right)}(f_i),{\mathrm{\&mu;}}^2(f_i\left)\right)$ 取极值来对各未知参数求解；

$\begin{array}{c}\frac{\&part;F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right),\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);\mathrm{\&delta;}\left(f_i\right),w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\right)}{\&part;w_{\left(1\right)}\left(f_i\right)}\\ =-2{\mathrm{\&mu;}}^{-2}\left(f_i\right)\&lsqb;<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)>w_{\left(1\right)}\left(f_i\right)-<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\right)>\&rsqb;\end{array}---\left(28\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\&part;F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right),\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);\mathrm{\&delta;}\left(f_i\right),w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\right)}{\&part;w_{\left(2\right)}\left(f_i\right)}\\ =-2{\mathrm{\&mu;}}^{-2}\left(f_i\right)\&lsqb;<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right)>w_{\left(2\right)}\left(f_i\right)-<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\right)>\&rsqb;\end{array}---\left(29\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\&part;F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right),\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);\mathrm{\&delta;}\left(f_i\right),w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\right)}{\&part;w_{\left(3\right)}\left(f_i\right)}\\ =-2{\mathrm{\&mu;}}^{-2}\left(f_i\right)\&lsqb;<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right)>w_{\left(3\right)}\left(f_i\right)-<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\right)>\&rsqb;\end{array}---\left(30\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\&part;F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right),\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);\mathrm{\&delta;}\left(f_i\right),w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\right)}{\&part;{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)}\\ =-\frac{M\&times;KP}{{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)}+\frac{1}{{\left({\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\right)}^2}<\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-A^{\&prime;\&prime;\&prime;}(f_i,\mathrm{\&Omega;})\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)|{|}_2^2>\end{array}---\left(31\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\&part;F\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right),\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right);\mathrm{\&delta;}\left(f_i\right),w_{\left(1\right)}\left(f_i\right),w_{\left(2\right)}\left(f_i\right),w_{\left(3\right)}\left(f_i\right),{\mathrm{\&mu;}}^2\left(f_i\right)\right)}{\&part;{\mathrm{\&delta;}}_l\left(f_i\right)}\\ =-\frac{KP}{{\mathrm{\&delta;}}_l\left(f_i\right)}+\frac{1}{{\mathrm{\&delta;}}_l^2\left(f_i\right)}<\left|\underset{kp=1}{\overset{KP}{\&Sigma;}}\right|{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_l(f_i,kp){|}^2>\end{array}---\left(32\right)$

分别令以上的导数为0，即求得第p次迭代时各个未知参数的估计值

$w_{\left(1\right)}^{\left(p\right)}\left(f_i\right)=<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right){>}^{-1}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(2\right)}(f_i\left)W_{\left(3\right)}\right(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>---\left(33\right)$

$w_{\left(2\right)}^{\left(p\right)}\left(f_i\right)=<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right){>}^{-1}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(1\right)}(f_i\left)W_{\left(3\right)}\right(f_i,\mathrm{\&Omega;})\&CenterDot;A(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>---\left(34\right)$

$w_{\left(3\right)}^{\left(p\right)}\left(f_i\right)=<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right){>}^{-1}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i)-W_{\left(1\right)}(f_i\left)W_{\left(2\right)}\right(f_i\left)A\right(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{S}\right(f_i\left)\right)>---\left(35\right)$

${\left({\mathrm{\&mu;}}^2\right(f_i\left)\right)}^{\left(p\right)}=\frac{1}{M\&times;KP}<\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-{\left(A^{\&prime;\&prime;\&prime;}\right(f_i,\mathrm{\&Omega;}\left)\right)}^{\left(p\right)}\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\left|{|}_2^2\right)---\left(36\right)$

${\mathrm{\&delta;}}_l^{\left(p\right)}\left(f_i\right)=\frac{1}{KP}\left(\underset{kp=1}{\overset{KP}{\&Sigma;}}|{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_l\left(f_i,kp\right){|}^2\right)---\left(37\right)$

其中(p)代表迭代次数；

式(33)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right){>}_{r1,r2}\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)\right)}_{r1}^H{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)\right)}_{r2}A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\left(O_{\left(1\right)}\left(f_i\right)O_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)\right)A^H\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&rsqb;\end{array}---\left(38\right)$

为矩阵第r1行、r2列的元素，其中tr[·]表示求迹运算；

式(38)中

O₍₁₎(f_i)＝Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1X”'(f_i)(39)

为中间变量；

Ξ₍₁₎(f_i)

＝Σ(f_i)-Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(40)

为中间变量；

式(33)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\right)>\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)\right)}_r^{H}X\left(f_i\right)O_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right)A^H\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&rsqb;-\\ tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)\right)}_r^H{W}_{\left(2\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\left(O_{\left(1\right)}\left(f_i\right)O_{\left(1\right)}^H\left(f_i\right)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)\right)A^H\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&rsqb;\end{array}---\left(41\right)$

式(41)中，(Ψ₍₁₎(f_i))_r为中间变量，为M×M维的矩阵，只有在第±r对角线上的元素全为1，其余元素全为0；

式(34)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right){>}_{r1,r2}\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right)\right)}_{r1}^H{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right)\right)}_{r2}A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\left(O_{\left(2\right)}\left(f_i\right)O_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right)\right)A^H\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&rsqb;\end{array}---\left(42\right)$

为矩阵第r1行、r2列的元素；

式(42)中

O₍₂₎(f_i)＝Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1X”'(f_i)(43)

为中间变量；

Ξ₍₂₎(f_i)

＝Σ(f_i)-Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(44)

为中间变量；

式(34)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\right)>\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right)\right)}_r^{H}X\left(f_i\right)O_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right)A^H\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&rsqb;-\\ tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right)\right)}_r^H{W}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(3\right)}\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&CenterDot;A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\left(O_{\left(2\right)}\left(f_i\right)O_{\left(2\right)}^H\left(f_i\right)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(2\right)}\left(f_i\right)\right)A^H\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&rsqb;\end{array}---\left(45\right)$

式(45)中，(Ψ₍₂₎(f_i))_r为中间变量，为M×M维的矩阵，只有在第±r对角线上的元素全为1，其余元素全为0；

式(35)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right){\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right){>}_{r1,r2}\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right)\right)}_{r1}^H{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right)\right)}_{r2}A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\left(O_{\left(3\right)}\left(f_i\right)O_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right)\right)A^H\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&rsqb;\end{array}---\left(46\right)$

为矩阵第r1行、r2列的元素；

式(46)中

O₍₃₎(f_i)＝Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1X”'(f_i)(47)

为中间变量；

Ξ₍₃₎(f_i)

＝Σ(f_i)-Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A”'(f_i,Ω))^H)^-1A”'(f_i,Ω)Σ(f_i)(48)

为中间变量；

式(35)中

$\begin{array}{c}<{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right)\left({\stackrel{\&OverBar;}{X}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(f_i\right)-W_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\stackrel{\&OverBar;}{S}\left(f_i\right)\right)>\\ =tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right)\right)}_r^{H}X\left(f_i\right)O_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right)A^H\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&rsqb;-\\ tr\&lsqb;{\left({\mathrm{\&Psi;}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right)\right)}_r^H{W}_{\left(1\right)}\left(f_i\right)W_{\left(2\right)}\left(f_i\right)A\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\left(O_{\left(3\right)}\left(f_i\right)O_{\left(3\right)}^H\left(f_i\right)+KP\&times;{\mathrm{\&Xi;}}_{\left(3\right)}\left(f_i\right)\right)A^H\left(f_i,\mathrm{\&Omega;}\right)\&rsqb;\end{array}---\left(49\right)$

式(49)中，(Ψ₍₃₎(f_i))_r为中间变量，为M×M维的矩阵，只有在第±r对角线上的元素全为1，其余元素全为0；

将式(38)～(49)代入式(33)～(35)中对等式进行化简并对w₍₁₎(f_i)、w₍₂₎(f_i)、w₍₃₎(f_i)求解；

当迭代若干步后，w₍₁₎(f_i)、w₍₂₎(f_i)、w₍₃₎(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)的估计值的变化趋于0，则得出最后的估计值和对应得到 $\widehat{\mathrm{\&delta;}}\left(f_i\right)={\&lsqb;{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_1\left(f_i\right),...,{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_l\left(f_i\right),...,{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}_L\left(f_i\right)\&rsqb;}^T$ 以及 $\widehat{\mathrm{\&Sigma;}}\left(f_i\right)=diag\left(\widehat{\mathrm{\&delta;}}\right(f_i\left)\right).$

4.根据权利要求1、2或3所述的基于空域稀疏优化的宽带信号超分辨测向误差估计方法，其特征在于所述的ρ₁(f_i)＝1，W₁(f_i)＝1。