CN105159068A - 一种改进型二阶系统的参数设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种改进型二阶系统的参数设计方法，包括以下步骤，在(0.447，1)范围内选取ξ_d的取值，在范围内选取ξ的取值，根据给定的上升时间求出ω_n，根据ξ_d、ξ、ω_n求出改进型二阶系统模型。本发明克服了传统参数设计方法计算复杂的缺点。

Description

一种改进型二阶系统的参数设计方法

技术领域

本发明属于自适应控制技术领域，特别涉及了一种改进型二阶系统的参数设计方法。

背景技术

近年来，作为自适应控制技术的一个分支，模型参考自适应控制技术，以其良好的控制效果得到了广泛的应用，当被控对象为二阶系统时，通常选择参考模型也为二阶系统，此时，需要设计具有一定动静态性能的二阶系统。除此之外，其他应用场合也会遇到设计二阶系统模型的需要。

目前最常见的标准二阶系统模型的传递函数如式(1)所示，这里称之为典型二阶系统。

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\ω}}_n^2}{s^2+2{\mathrm{\ξ\ω}}_{n}s+{\mathrm{\ω}}_n^2}---\left(1\right)$

其中，ω_n为系统的固有频率，ξ为系统的阻尼比。

对于典型二阶系统，在欠阻尼(0＜ξ＜1)情况下，单位阶跃输入下的超调量σ、上升时间t_r和调节时间t_s是重要性能指标，可以作为二阶系统参数设计的依据，具体设计步骤为：

1)给定超调量指标数据，按照式(2)确定阻尼比。实际设计中，也可先给定阻尼比，再代入式(2)求解出超调量，看是否满足要求。

$\mathrm{\σ}\%=e^{-\mathrm{\π}\mathrm{\ξ}/\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}^2}}\×100\%---\left(2\right)$

2)给定上升时间指标t_r，并结合步骤1)中确定的ξ，代入式(3)求得系统的固有频率ω_n。

$t_r=\frac{\mathrm{\π}-\arccos \mathrm{\ξ}}{{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}^2}}---\left(3\right)$

3)将ξ、ω_n值代入式(4)计算调节时间，检验调节时间t_s是否满足要求，其中，Δ为允许的误差带宽度，可人为给定，例如选取Δ为0.01。

$t_s=\frac{1}{{\mathrm{\ξ\ω}}_n}(\ln \frac{1}{\mathrm{\Δ}}+\ln \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}^2}})---\left(4\right)$

4)将满足条件的ξ、ω_n带入式(1)即可得到典型二阶系统模型。

在典型二阶系统的基础上加入微分环节可得图1所示二阶系统模型，这里称之为改进型二阶系统，其传递函数为：

$\mathrm{\Φ}\left(s\right)=\frac{{{\mathrm{\ω}}_n}^2}{z}\frac{s+z}{s^2+2{\mathrm{\ξ}}_d{\mathrm{\ω}}_{n}s+{{\mathrm{\ω}}_n}^2}---\left(5\right)$

为便于表述，做如下定义：

z＝1/T_d(6)

${\mathrm{\ξ}}_d=\mathrm{\ξ}+\frac{{\mathrm{\ω}}_n}{2z}---\left(7\right)$

其中，称ξ_d为等效阻尼比，T_d为微分系数。与典型二阶系统类似，也可用上升时间t_r，峰值时间t_p和超调量σ等指标描述改进型二阶系统的性能，相关表达式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{t}_r=\frac{-\mathrm{\φ}}{{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}_d^2}}\\ t_p=\frac{\mathrm{\β}-\mathrm{\φ}}{{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}_d^2}}\\ \mathrm{\σ}=r\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}_d^2}{e}^{-{\mathrm{\ξ}}_d{\mathrm{\ω}}_n{t}_p}\×100\%\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\φ}=-\mathrm{\π}+\arctan \[{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}_d^2}/(z-{\mathrm{\ξ}}_d{\mathrm{\ω}}_n)\]+\arctan (\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}_d^2}/{\mathrm{\ξ}}_d)\\ \mathrm{\β}=\arctan (\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}_d^2}/{\mathrm{\ξ}}_d)\\ r=\sqrt{z^2-2{\mathrm{\ξ}}_d{\mathrm{\ω}}_{n}z+{\mathrm{\ω}}_n^z}/z\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}_d^2}\end{array}\right.---\left(9\right)$

可以看出，上述表达式都为超越方程，而且每个性能指标都与多个参数有关，因此，如果按照传统方法确定式(5)中的系统参数，即首先给定性能指标，然后根据式(8)计算确定二阶系统参数T_d、ξ、ω_n，计算量将会很大。

改进型二阶系统参数设计存在的问题总结如下：

1)大多采用试凑法，计算方法不够严谨，需要经过反复多次才能完成设计；

2)单位阶跃响应的性能指标表达式复杂，先定指标数据，再求系统参数的话，需要求解超越方程，计算难度大。

发明内容

本发明提供一种改进型二阶系统的参数设计方法，克服传统参数设计方法计算复杂的缺点。

本发明针对上述背景技术中提到的改进型二阶系统，技术方案为：

(1)在(0.447，1)范围内，选择ξ_d的取值；

(2)确定ξ_d后，在范围内，选取ξ的取值；

(3)确定ξ后，给定系统的上升时间t_r，代入式(10)，求得ω_n，

${\mathrm{\ω}}_n=\frac{\mathrm{\π}-\arccos \mathrm{\ξ}}{t_r\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}^2}}---\left(10\right)$

(4)将ξ_d、ξ、ω_n代入式(11)得到z，

$z=\frac{{\mathrm{\ω}}_n}{2({\mathrm{\ξ}}_d-\mathrm{\ξ})}---\left(11\right)$

(5)将ξ_d、ω_n、z代入式(5)，得到改进型二阶系统模型。

本发明的一种优选方案，在步骤(1)中，在(0.633，1)范围内选取ξ_d的取值。

本发明的一种优选方案，在步骤(1)中，选取ξ_d的取值为0.95，在步骤(2)中，选取ξ的取值为0.2。

本发明的一种优选方案，在步骤(1)中，选取ξ_d的取值为0.8，在步骤(2)中，选取ξ的取值为0.3。

采用上述技术方案带来的有益效果：

1)结合工程设计的要求，选取合适性能指标，确定合理的参数，保证系统稳定运行，动、静态性能良好；

2)避免求解超越方程，参数设计过程更加简单；

3)步骤明确，便于操作；

附图说明

图1是改进型二阶系统的结构框图；

图2是典型二阶系统与改进型二阶系统单位阶跃响应曲线比较图。

具体实施方式

以下将结合附图，对本发明的技术方案进行详细说明。

相较于典型二阶系统，改进型二阶系统增加了对输出误差的微分运算，因此，在ξ、ω_n保持不变情况下，改进型方案将具有更好的动态性能，这非常适合用于对动态性能要求较高的场合。

首先，为发挥微分环节的优势，并考虑微分环节可能对系统稳定带来的不利影响，在工程设计中要对T_d的取值进行适当限制，所以令z＝k_zξω_n，k_z∈(1,10)，结合式(7)可以得到式(12)所示不等式组：

$\left\{\begin{array}{c}0.447<{\mathrm{\&xi;}}_d<1\\ \mathrm{\&xi;}\&Element;\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&xi;}}_d-\sqrt{{\mathrm{\&xi;}}_d^2-0.4}}{2},\frac{{\mathrm{\&xi;}}_d+\sqrt{{\mathrm{\&xi;}}_d^2-0.4}}{2}\&rsqb;\end{array}\right.---\left(12\right)$

为了提高效果，在本实施例中，限制k_z∈(2,5)，从而得到ξ_d∈(0.633,1)。

式(8)显示ξ_d不再是超调量σ的唯一决定因素，但对σ仍有重要影响。其中，指数部分主导σ的取值，这意味着，增大ξ_d，并同时减小ω_n，则可以取得相同的超调量。考虑到欠阻尼情况下，ω_n是ξ的增函数，因此，在工程设计中，为保持相同的超调量σ，可在增大ξ_d取值的同时，降低ξ的取值。

根据上述分析，在给定超调量情况下，如果ξ_d取值较小，则ξ，或ω_n的取值将会比较大，结合式(7)可知，此时z也将比较大，再结合式(6)可知微分系数T_d将比较小，从而降低响应的快速性。因此，在相同超调情况下，为进一步改善响应的快速性，可尽量提高ξ_d的取值，从而间接提高T_d的取值。当然，过高的T_d会降低系统的稳定性，所以ξ_d可以取为0.95.

另外，分析式(12)可以发现，ξ_d越大，则ξ的取值范围越大，不论下限值ξ_min，还是上限值ξ_max都随ξ_d的增大而增大。

基于上述分析，兼顾设计的可操作性，总结得到发明内容中记载的改进型二阶系统的参数设计方法。

为验证前面的理论分析和参数设计方法的正确性，在matlab/simulink下进行了仿真。仿真主要包括以下两方面内容：对改进型二阶系统参数设计方案相关理论分析的验证，对改进型二阶系统参数设计方法的验证。

首先，对相关结论进行验证

这里按照上述要求对ξ_d和ξ进行取值，根据相应步骤构建各个不同参数下的改进型二阶系统模型。以单位阶跃信号为输入，观察各个二阶模型的动态响应效果。其中ξ_d和ξ的取值、各个二阶系统模型表达式以及动态性能指标仿真数据等相关信息如表1所示。

表1

通过对表1中的数据的分析，可以证明前述相关结论的正确性：

1)ξ_d不再是超调量的唯一决定因素，但对σ仍有重要影响。为避免超调太大，ξ_d取值不宜太低。

2)适当增大ξ_d的取值，与此同时降低ξ的取值，可获得同样的超调量；

3)在相同超调情况下，为进一步改善响应的快速性，可尽量提高ξ_d的取值；

4)ξ_d越大，则ξ的取值范围越大，不论下限值ξ_min，还是上限值ξ_max都随ξ_d的增大而增大

为了达到不同的超调效果或响应速度，可以选取不同的参数。这里选取超调量为5％作为参数选取依据。满足条件的改进型二阶系统模型相关信息如表2所示：

表2

在超调量相同的情况下，希望获得更快的响应速度，所以这里选取ξ_d＝0.95，ξ＝0.2所对应的改进型二阶系统模型作为最终的选取目标。

然后，对改进型二阶系统参数设计方法进行验证

以单位阶跃信号为输入，比较相同超调量下典型二阶系统和改进型二阶系统的动态响应效果。

其中改进型二阶系统选取的是ξ_d＝0.95，ξ＝0.2，ω_n＝3.6，z＝2.4所对应的二阶系统模型，模型表达式：

$\mathrm{\&Phi;}\left(s\right)=\frac{5.4s+12.96}{s^2+6.84s+12.96}---\left(13\right)$

典型二阶系统模型选取的是ξ＝0.6877，ω_n＝3.6所对应的二阶系统模型，模型表达式：

$G\left(s\right)=\frac{12.96}{s^2+4.95144s+12.96}---\left(14\right)$

仿真结果如图2(横坐标为时间，纵坐标为幅值)所示。从图2的仿真结果中可以看出，在超调量相同的情况下，改进型二阶系统的单位阶跃响应的上升时间和调节时间均比典型二阶系统的小，即改进型二阶系统的动态响应效果更好，尤其体现在快速性方面，证实所提出的改进型二阶系统参数设计方法的正确性。

以上实施例仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明保护范围之内。

Claims (6)

1.一种改进型二阶系统的参数设计方法，所述改进型二阶系统是在典型二阶系统的基础上加入微分环节，典型二阶系统的闭环传递函数如式(1)所示，改进型二阶系统的闭环传递函数如式(2)所示，

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_n^2}{s^2+2{\mathrm{\&xi;\&omega;}}_{n}s+{\mathrm{\&omega;}}_n^2}---\left(1\right)$

$\mathrm{\&Phi;}\left(s\right)=\frac{{{\mathrm{\&omega;}}_n}^2}{z}\frac{s+z}{s^2+2{\mathrm{\&xi;}}_d{\mathrm{\&omega;}}_{n}s+{{\mathrm{\&omega;}}_n}^2}---\left(2\right)$

式(1)、(2)中，ξ为典型二阶系统的阻尼比，ω_n为典型二阶系统的固有频率，z＝1/T_d，T_d为微分系数，ξ_d为等效阻尼比，

其特征在于，包括以下步骤：

(1)在(0.447，1)范围内，选取ξ_d的取值；

(2)在 $\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&xi;}}_d-\sqrt{{\mathrm{\&xi;}}_d^2-0.4}}{2},\frac{{\mathrm{\&xi;}}_d+\sqrt{{\mathrm{\&xi;}}_d^2-0.4}}{2}\&rsqb;$ 范围内，选取ξ的取值；

(3)给定系统的上升时间t_r，根据式(3)求得ω_n，

${\mathrm{\&omega;}}_n=\frac{\mathrm{\&pi;}-arccos\mathrm{\&xi;}}{t_r\sqrt{1-{\mathrm{\&xi;}}^2}}---\left(3\right)$

(4)将ξ_d、ξ、ω_n代入式(4)得到z，

$z=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_n}{2({\mathrm{\&xi;}}_d-\mathrm{\&xi;})}---\left(4\right)$

(5)将ξ_d、ω_n、z代入式(2)得到改进型二阶系统模型。

2.根据权利要求1所述一种改进型二阶系统的参数设计方法，其特征在于：在步骤(1)中，在(0.633，1)范围内选取ξ_d的取值。

3.根据权利要求1所述一种改进型二阶系统的参数设计方法，其特征在于：在步骤(1)中，选取ξ_d的取值为0.95。

4.根据权利要求3所述一种改进型二阶系统的参数设计方法，其特征在于：在步骤(2)中，选取ξ的取值为0.2。

5.根据权利要求1所述一种改进型二阶系统的参数设计方法，其特征在于：在步骤(1)中，选取ξ_d的取值为0.8。

6.根据权利要求5所述一种改进型二阶系统的参数设计方法，其特征在于：在步骤(2)中，选取ξ的取值为0.3。