CN104408330A - 水轮机调节系统高阶数学模型的降阶方法 - Google Patents

Abstract

一种水轮机调节系统高阶数学模型的降阶方法，包括如下步骤：①简化系统分母的最高次项，实现系统的一次降阶，得到一次低阶等效系统式；②从波动叠加的角度出发，将一次低阶等效系统式变换为两个2阶子系统相加的形式；③进行拉普拉斯反变换，得到水轮机调节系统的一次低阶等效系统在负荷阶跃扰动下的机组转速响应波动方程；④对完整5阶系统式进行二次降阶；⑤利用二阶系统进行水轮机调节系统转速响应调节品质的影响因素分析。其优点是：较之其他降阶方法，本方法是从完整的5阶系统出发，包含了系统的所有参数和影响因数，为之后的调节品质分析提供了可靠的保障。

Description

水轮机调节系统高阶数学模型的降阶方法

技术领域

本发明涉及一种水轮机调节系统高阶数学模型的降阶方法。

背景技术

为了进行水轮机调节系统的调节品质方面的理论研究，通常需要在如下的假设：(1)忽略水体和管壁的弹性，引水隧洞和压力管道都采用刚性水击模型；(2)小波动过渡过程采用稳态工况点局部线性化的方法，用水轮机的传递系数来表述水轮机稳态特性；(3)发电机采用一阶模型，电站单独运行(在孤立电网下运行)；(4)忽略调速器的非线性特性：饱和特性和转速死区。下建立完整的数学模型，求得相应的综合传递函数。但即便在这样的简化下，引水发电系统的每一个子环节均用最简单的数学模型(引水隧洞动力方程为一阶方程，调压室连续性方程为一阶，压力管道动力方程为一阶方程，水轮机方程为两个线性方程，发电机采用一阶模型，调速器方程为一阶理想调速器方程)，对于有调压室的电站(图1)，相应的调节系统框图如图2、图3所示，得到的负荷阶跃扰动下的综合传递函数为5阶：

$G\left(s\right)=\frac{X\left(s\right)}{M_g\left(s\right)}=-\frac{b_t{T}_{d}s(b_0{s}^3+b_1{s}^2+b_{2}s+b_3)}{a_0{s}^5+a_1{s}^4+a_2{s}^3+a_3{s}^2+a_{4}s+a_5}---\left(1\right)$

$X\left(s\right)=-b_t{T}_d{m}_{g0}\frac{\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{s}^{3-i}}{\underset{i=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{s}^{5-i}}---\left(2\right)$

式(1)、式(2)中：

M_g为负荷阶跃的拉普拉斯变换，输入信号；

X为转速响应的拉普拉斯变换，输出信号；

b_t为暂态转差系数；

T_d为缓冲装置时间常数，s；

s为拉普拉斯算子；

a_i、b_i为系数，是管道参数、机组参数与调速器参数的函数；

m_g0为负荷阶跃相对值，即阶跃后负荷M_g与阶跃前负荷M_g0的偏差相对值，m_g0＝(M_g-M_g0)/M_g0。

根据伽罗瓦理论，5次及以上的方程没有公式解、5次以下的方程有公式解，故式(2)不能直接求解。为了解决这一问题。前人从基本方程的简化出发，假设调压室水位按正弦规律波动且忽略压力管道的水流惯性、整个引水道的水头损失，或者忽略压力管道的水流惯性和水头损失，得到5阶以下的频率响应方程，从而实现频率响应的解析求解。但此种做法的缺陷在于没有建立包含水轮机调节系统各个子环节的完整的数学模型，简化模型无法真实的反应原始系统。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术存在的缺陷，提供一种水轮机调节系统高阶数学模型的降阶方法，得到低阶等效系统。此等效系统不仅可以直接进行解析求解，便于开展调节品质的理论分析，更能真实准确的反映原完整5阶系统，保留完整系统最主要的动态特征。

一种水轮机调节系统高阶数学模型的降阶方法，包括如下步骤：

1、简化系统分母的最高次项a₀s⁵，实现系统的一次降阶，得到一次低阶等效系统式如下

$X_E\left(s\right)=-b_t{T}_d{m}_{g0}\frac{\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{s}^{3-i}}{\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{s}^{5-i}}---\left(3\right)$

式中，E表示等效系统；

2、从波动叠加的角度出发，将一次低阶等效系统式(3)变换为两个2阶子系统相加的形式

X_E(s)＝X₁(s)+X₂(s)      (4)

$X_1\left(s\right)=\frac{C_{5}s+C_6}{s^2+C_{1}s+C_2}---\left(5\right)$

$X_2\left(s\right)=\frac{C_{7}s+C_8}{s^2+C_{3}s+C_4}---\left(6\right)$

式中，X₁(s)、X₂(s)分别表示一次低阶等效系统X_E(s)的两个二阶子系统；C₁、C₂、C₃、C₄、C₅、C₆、C₇、C₈为系数，均可用待定系数法求得；

3、对式(4)-式(6)进行拉普拉斯反变换，得到水轮机调节系统的一次低阶等效系统在负荷阶跃扰动下的机组转速响应波动方程：

x_E(t)＝x₁(t)+x₂(t)        (7)；

式中，x_E(t)、x₁(t)、x₂(t)分别为系统X_E(s)、X₁(s)、X₂(s)对应的转速响应波动方程；t为时间变量；

4、对完整5阶系统式进行二次降阶：x₁(t)、x₂(t)中有一个对应系统的共轭主导复极点，依据极点的分布找出主导极点对应的子波动；

以二阶系统来描述系统的转速响应特性方程

式中，K₂为振幅，δ₂为衰减度，ω为角频率，为初相位；

并计算得到调节时间T_p

$T_p=\frac{1}{{\mathrm{\δ}}_2}\ln \frac{K_2}{\left|\mathrm{\Δ}\right|}---\left(8\right)$

式中，Δ的取值对大电网为±0.2％、小电网为±0.4％；

5、利用二阶系统进行水轮机调节系统转速响应调节品质的影响因素分析。

本发明的工作原理与过程如下：本发明降阶的依据为系统的主导极点。闭环系统的极点决定了瞬态响应的类型，而瞬态响应的形状则主要取决于闭环系统的零点。可以采用各种各样的校正手段来改善系统的动态品质，但从本质上看，无非都是改变其极点和零点的分布情况。主导极点是闭环系统所有极点中离虚轴最近的极点，它对系统瞬态过程性能的影响最大，在整个响应过程中起着主要的决定性作用；工程上往往只用主导极点估算系统的动态特性；在高阶系统的降阶处理中，可以略去一些实际存在的极点和零点，得到近似的结果，其中，略去的零点离虚轴越远，计算结果与实际情况的差别越小。

经过分析可知，带调压室的水轮机调节系统，始终存在一对共轭主导极点，此对共轭主导极点对应的是调压室水位波动引起的机组频率低频振荡，是决定系统调节品质的主要方面。当删除系统分母的最高次项a₀s⁵时，系统的共轭主导极点几乎不发生变化，亦即系统的动态特性几乎不发生改变，所以得到的一次低阶等效系统(4阶)可以真实反映进而代替完整5阶系统。又由于共轭主导极点对应着一二阶子系统包含在一次低阶等效系统(4阶)中，所以通过波动叠加的方式将四阶系统拆成两个二阶系统、依据主导极点的分布找出其对应的二阶子系统，用其来代替原5阶系统，进行调节品质的研究。

本发明水轮机调节系统高阶数学模型的降阶方法的优点是：本发明方法理论依据充分，实现方式简单。最终得到的二阶子系统，包含了系统的共轭主导极点，可以反映系统的动态特性，故降阶结果是准确可靠的。并且较之其他降阶方法，本方法是从完整的5阶系统出发，包含了系统的所有参数和影响因数，为之后的调节品质分析提供了可靠的保障。

附图说明

图1为带调压室水电站引水发电系统示意图。

图2为带调压室水电站水轮机调节系统结构框图。

图3为管道子系统结构框图。

图4a为完整5阶系统的机组转速响应对比图(b_t＝0.5,T_d＝10s,n_f＝1.2)；

图4b为一次低阶等效系统的机组转速响应对比图(b_t＝0.5,T_d＝10s,n_f＝1.2)。

图5a为完整5阶系统的机组转速响应对比图(b_t＝0.8,T_d＝15s,n_f＝1.3)；

图5b为一次低阶等效系统的机组转速响应对比图(b_t＝0.8,T_d＝15s,n_f＝1.3)。

图6a为机组转速响应曲线图；

图6b为机组转速响应的主波示意图；

图6c为机组转速响应的尾波示意图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明进行进一步说明。

某设有上游调压室方案的水电站水轮机调节系统，极点分布的计算结果如表1所示。其中：n_f＝F/F_th为调压室面积放大系数，F_th为调压室临界稳定断面积。

表1

从表1可以看出：系统总存在1对共轭复极点(s₄、s₅)，其实部绝对值远小于其他3个极点的实部绝对值，表明其更靠近虚轴，是系统的主导极点；其他3个极点(s₁、s₂、s₃)可以是3个实极点，也可以是1个实极点与1对共轭复极点，且均是系统的非主导极点。

删去完整5阶系统X(s)表达式分母的最高次项a₀s⁵，使分母变成再进行系统极点分布的计算，结果如表2所示。

表2

从表2可以看出：系统仍总存在1对共轭主导复极点(s₄、s₅)，且其取值较原系统几乎不发生变化，说明删去分母的最高次项a₀s⁵不仅不会改变主导极点的类型和数量，而且几乎不会改变主导极点的大小；另2个非主导极点(s₂、s₃)为实极点。

用一次低阶等效系统代替完整5阶系统，即X_E(s)≈X(s)。对比分析这2个系统的机组转速响应：额定负荷运行突减10％额定负荷(即m_g0＝-0.1)下的机组转速瞬态响应过程如图4、图5所示，

从图4、图5可以看出：一次低阶等效系统的波动响应曲线的趋势与5阶系统一致，两者吻合的很好，说明此4阶系统可以真实反映完整5阶系统的波动特性，用其近似代替完整5阶系统的处理方法是可行的。

然后按照前文所述的方法，求得共轭主导极点对应的二阶子系统。在带有调压室的水轮机调节系统中，此共轭主导二阶子系统对应的是系统的尾波，非主导二阶子系统对应的是系统的主波，示意图如图6。

从图6可以看出，尾波是负荷阶跃扰动下机组转速响应波动的主体部分和和决定调节品质的主要方面，可依据尾波开展水轮机调节系统转速响应调节品质的分析。

Claims (1)

1.一种水轮机调节系统高阶数学模型的降阶方法，其特征在于包括如下步骤：

①简化系统分母的最高次项a₀s⁵，实现系统的一次降阶，得到一次低阶等效系统式如下

$X_E\left(s\right)={-b}_t{T}_d{m}_{g0}\frac{\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{s}^{3-i}}{\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{s}^{5-i}}---\left(3\right)$

式中，M_g为负荷阶跃的拉普拉斯变换，输入信号；

X为转速响应的拉普拉斯变换，输出信号；

E表示等效系统；

s为拉普拉斯算子；

b_t为暂态转差系数；

T_d为缓冲装置时间常数，s；

a_i、b_i为系数，是管道参数、机组参数与调速器参数的函数；

m_g0为负荷阶跃相对值，即阶跃后负荷M_g与阶跃前负荷M_g0的偏差相对值，m_g0＝(M_g-M_g0)/M_g0；

②从波动叠加的角度出发，将一次低阶等效系统式(3)变换为两个2阶子系统相加的形式

X_E(s)＝X₁(s)+X₂(s)    (4)

$X_1\left(s\right)=\frac{C_{5}s+C_6}{s^2+C_{1}s+C_2}---\left(5\right)$

$X_2\left(s\right)=\frac{C_{7}s+C_8}{s^2+C_{3}s+C_4}---\left(6\right)$

式中，X₁(s)、X₂(s)分别表示一次低阶等效系统X_E(s)的两个二阶子系统；C₁、C₂、C₃、C₄、C₅、C₆、C₇、C₈为系数，均可用待定系数法求得；

③对式(4)-式(6)进行拉普拉斯反变换，得到水轮机调节系统的一次低阶等效系统在负荷阶跃扰动下的机组转速响应波动方程：

x_E(t)＝x₁(t)+x₂(t)    (7)；

式中，x_E(t)、x₁(t)、x₂(t)分别为系统X_E(s)、X₁(s)、X₂(s)对应的转速响应波动方程；t为时间变量；

④对完整5阶系统式进行二次降阶：x₁(t)、x₂(t)中有一个对应系统的共轭主导复极点，依据极点的分布找出主导极点对应的子波动；

以二阶系统来描述系统的转速响应特性方程

式中，K₂为振幅，δ₂为衰减度，ω为角频率，为初相位；

并计算得到调节时间T_p

$T_p=\frac{1}{{\mathrm{\δ}}_2}\ln \frac{K_2}{\left|\mathrm{\Δ}\right|}---\left(8\right)$

式中，Δ的取值对大电网为±0.2％、小电网为±0.4％；

⑤利用二阶系统进行水轮机调节系统转速响应调节品质的影响因素分析。