CN105069213A - 一种考虑主轴-轴承耦合的混合预紧轴承刚度计算方法 - Google Patents

Abstract

一种考虑主轴-轴承耦合关系的混合预紧轴承刚度计算方法。该方法首先建立定位预紧轴承、定压预紧轴承的迭代方程组以及主轴动力学方程，然后以轴承刚度和主轴支撑节点位移(轴承内圈位移)为耦合量将主轴与轴承进行耦合，最后基于有限迭代法使用Matlab编写计算程序得到混合预紧轴承的刚度值。该方法的特点在于考虑了混合预紧及主轴-轴承耦合关系对轴承刚度的影响，能够对采用不同预紧方式的轴承在承载、高速切削工况下的动刚度进行精确计算，本方法可为电主轴的设计及使用提供指导。

Description

一种考虑主轴-轴承耦合的混合预紧轴承刚度计算方法

技术领域

本发明属于主轴轴承刚度分析领域，涉及一种考虑主轴-轴承耦合关系的混合预紧轴承刚度计算方法，该方法运用有限迭代法计算轴承刚度并考虑了混合预紧及主轴-轴承耦合关系的影响。

背景技术

电主轴是数控机床的关键部件之一。其特点是将机床主轴与主轴电机合二为一，机床主轴由内装式电机直接驱动，把机床主传动链缩短为零，从而实现了机床的零传动。电主轴具有高转速、大功率、响应快、简化机床设计、易于实现主轴定位等优点。高速精密轴承技术是电主轴实现高速化和精密化的关键。由于定位预紧轴承具有很好的承载能力，定压预紧轴承具有良好的高速性能，因此电主轴通常采用混合预紧技术，从而兼具有较好的承载与高速性能。主轴与轴承通过轴承内圈配合，在主轴高速切削时，主轴的振动会传递给轴承内圈，使内圈产生位移，改变轴承刚度。然而在通常的电主轴设计分析中却并未考虑这一点，也并没有考虑混合预紧方式的影响。随着电主轴的高速化和精密化，有必要考虑混合预紧及主轴-轴承的耦合关系对轴承动刚度的影响。

发明内容

本发明的目的是提供一种考虑主轴-轴承耦合关系的混合预紧轴承刚度计算方法，该方法运用有限迭代法计算轴承刚度并考虑了混合预紧及主轴-轴承耦合关系的影响。该方法首先建立定位预紧轴承、定压预紧轴承的迭代方程组以及主轴动力学方程，然后以轴承刚度和主轴支撑节点位移(即轴承内圈位移)为耦合量将主轴与轴承进行耦合，最后基于有限迭代法使用Matlab编写计算程序得到混合预紧轴承的刚度值。

本发明是采用以下技术手段实现的：

1、首先对轴承进行拟静力学分析，建立滚动体的力平衡方程和定位、定压预紧轴承的变形协调方程，再由力平衡方程和变形协调方程组成角接触球轴承的迭代方程组。

2、用有限元的方法，考虑5个方向的自由度，建立主轴的动力学方程。

3、以轴承刚度和主轴支撑节点位移(轴承内圈位移)为耦合量对主轴、轴承进行耦合。

4、按照计算流程编写Matlab程序计算轴承刚度。

本发明的特点在于考虑了混合预紧及主轴-轴承耦合关系对轴承刚度的影响，能够对轴承在承载、高速切削工况下的动刚度进行精确计算。本发明提供的方法可为电主轴的设计及使用提供指导。

通过下面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰，附图说明用于解释本发明方法及实施例。

附图说明

图1主轴-轴承系统工作状态示意图

图2滚动体的受力分析

图3定位预紧轴承几何关系

图4定压预紧轴承的几何关系

图5主轴-轴承的耦合关系

图6轴承刚度计算流程图

图7主轴-轴承系统示意图

图8主轴有限元模型

图9各工况下的轴承刚度，其中(a)为轴承A刚度；(b)为轴承B刚度；(c)为轴承C刚度。

具体实施方式

本发明实施一种考虑主轴-轴承耦合关系的混合预紧轴承刚度计算方法，下面结合附图，对本发明的实施进行具体说明。

图1为主轴-轴承系统工作状态示意图。如图所示，主轴前端轴承采用定位预紧，后端轴承采用定压预紧。虚线表示静止状态，实线表示工作状态。主轴在高转速及切削载荷作用下产生动态位移，主轴支撑节点及轴承内圈位移为{qi}、{qj}、{qk}。定位预紧轴承的外圈视为固定，定压预紧轴承的外圈可沿轴向滑动。

第一步，建立混合预紧轴承的迭代方程组

1.1滚动体的力平衡方程

如图2所示为滚动体的受力分析。根据拟静力学理论，滚动体的水平和竖直方向的平衡方程为：

$\{\begin{array}{c}{Q}_{ik}{\mathrm{sin\α}}_{ik}-Q_{ok}{\mathrm{sin\α}}_{ok}-\frac{2M_{gk}}{D_b}{\mathrm{cos\α}}_{ok}=0\\ Q_{ik}{\mathrm{cos\α}}_{ik}-Q_{ok}{\mathrm{cos\α}}_{ok}+\frac{2M_{gk}}{D_b}{\mathrm{sin\α}}_{ok}+F_{ck}=0\end{array}---\left(1\right)$

式中，α_ik、α_ok分别为内、外接触角；Q_ik、Q_ok分别为滚动体与内、外圈法向接触力；F_ck为离心力；M_gk为陀螺力矩。

$F_{ck}=\frac{\mathrm{\π}}{12}{\mathrm{\ρD}}_b^3{D}_m{\mathrm{\ω}}^2{\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_m}{\mathrm{\ω}}\right)}^2---\left(2\right)$

M_gk＝Jω_mω_bsinβ(3)

接触载荷由下式得到：

$\left[\begin{array}{c}{Q}_{ik}\\ Q_{ok}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{K}_i& 0\\ 0& K_o\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{\mathrm{\δ}}_{ik}}^{3/2}\\ {{\mathrm{\δ}}_{ok}}^{3/2}\end{array}\right]---\left(4\right)$

式中，δ_ik、δ_ok分别为内、外法向接触变形；K_i、K_o分别为内外接触载荷-变形系数。

此外，定压预紧时外圈轴向力保持恒定，因此还有力的补充关系式：

$Q_{ok}=\frac{F_a}{z\×sin\left({\mathrm{\α}}_{ok}\right)}---\left(5\right)$

式中，z为滚动体数目；F_a为轴向预紧力。

1.2定位预紧轴承的变形协调方程

定位预紧轴承几何关系如图3所示。假设轴承外圈固定，因此外圈曲率中心A位置不变，预紧量由内圈曲率中心的位移δ_x0来表示。轴承预紧后，滚动体中心由O移动到O′，内圈曲率中心由B移动到B′,接触角由α变为α′。轴承在高速工况下，由于离心力和外载荷的作用，滚动体中心向外运动到O″处，内圈曲率中心沿轴向和径向分别产生位移Δicu和Δicv。

设主轴支撑位置节点位移为{δ}＝{δ_x,δ_y,δ_z,γ_y,γ_z}，则Δicu和Δicv可由节点位移表示为：

由图3中所示的几何关系可得：

$\{\begin{array}{c}{U}_{ik}={\mathrm{\Δoksin\α}}_{ok}+{\mathrm{\Δiksin\α}}_{ik}=\stackrel{\‾}{{\mathrm{AB}}^{\′}}{\mathrm{sin\α}}^{\′}+\mathrm{\Δ}icu\\ V_{ik}={\mathrm{\Δokcos\α}}_{ok}+{\mathrm{\Δikcos\α}}_{ik}=\stackrel{\‾}{{\mathrm{AB}}^{\′}}{\mathrm{cos\α}}^{\′}+\mathrm{\Δ}icv\end{array}---\left(7\right)$

式中，Δik＝(f_i-0.5)D_b+δ_ik；Δok＝(f_o-0.5)D_b+δ_ok；D_b为滚动体直径；f_i、f_o为曲率半径系数。

1.3定压预紧轴承的变形协调方程

定压预紧轴承的几何关系如图4所示。定压预紧时轴承外圈与预先施加一定压缩量的弹簧连接，在外载荷作用下轴承外圈可沿轴向滑动，因此轴承的轴向预紧力视作恒定值。预紧后，滚动体中心位于O′，内圈曲率中心移动到B′,接触角变为α′。在高速工况下，外载荷的作用导致内圈沿轴向和径向产生位移Δicu和Δicv。由于需要保持轴向力的恒定，外圈沿轴向滑动产生位移δ_x′₀，显然δ_x′₀是主轴挠度{δ}＝{δ_x,δ_y,δ_z,γ_y,γ_z}的函数，但由于热、力载荷的综合作用，函数关系较复杂。因此，在轴向用力的补充关系式(5)代替较复杂的几何方程。由于外圈不能沿径向移动，因此在径向仍然可以得到变形协调方程：

$V_{ik}={\mathrm{\Δokcos\α}}_{ok}+{\mathrm{\Δikcos\α}}_{ik}=\stackrel{\‾}{AB}cos\mathrm{\α}+\mathrm{\Δ}icv---\left(8\right)$

式中，Δik＝(f_i-0.5)D_b+δ_ik；Δok＝(f_o-0.5)D_b+δ_ok；1.4迭代方程组

以轴承的内、外接触角α_ik、α_ok以及法向接触变形量δ_ik、δ_ok为未知变量。根据以上受力和几何分析，则定压预紧轴承迭代方程组可表示为：

$\{\begin{array}{c}{Q}_{ik}{\mathrm{sin\α}}_{ik}-Q_{ok}{\mathrm{sin\α}}_{ok}-\frac{2M_{gk}}{D_b}{\mathrm{cos\α}}_{ok}=0\\ Q_{ik}{\mathrm{cos\α}}_{ik}-Q_{ok}{\mathrm{cos\α}}_{ok}+\frac{2M_{gk}}{D_b}{\mathrm{sin\α}}_{ok}+F_{ck}=0\\ {\mathrm{\Δokcos\α}}_{ok}+{\mathrm{\Δikcos\α}}_{ik}-\stackrel{\‾}{AB}\cos \mathrm{\α}-\mathrm{\Δ}icv=0\\ Q_{ok}-\frac{F_a}{z\×{\mathrm{sin\α}}_{ok}}=0\end{array}---\left(9\right)$

同理，定位预紧轴承迭代方程组为

$\{\begin{array}{c}{Q}_{ik}{\mathrm{sin\α}}_{ik}-Q_{ok}{\mathrm{sin\α}}_{ok}-\frac{2M_{gk}}{D_b}{\mathrm{cos\α}}_{ok}=0\\ Q_{ik}{\mathrm{cos\α}}_{ik}-Q_{ok}{\mathrm{cos\α}}_{ok}+\frac{2M_{gk}}{D_b}{\mathrm{sin\α}}_{ok}+F_{ck}=0\\ {\mathrm{\Δokcos\α}}_{ok}+{\mathrm{\Δikcos\α}}_{ik}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{AB}}^{\′}}{\mathrm{cos\α}}^{\′}-\mathrm{\Δ}icv=0\\ {\mathrm{\Δoksin\α}}_{ok}+{\mathrm{\Δiksin\α}}_{ik}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{AB}}^{\′}}{\mathrm{sin\α}}^{\′}-\mathrm{\Δ}icu=0\end{array}---\left(10\right)$

若主轴支撑节点位移{δ}已知，将其代入几何方程，用牛顿-拉弗松迭代法求解以上非线性方程组可求得四个未知数的值，进而可分别求得内圈接触刚度K_i和外圈接触刚度K_o。由于内圈和外圈接触刚度为串联关系，根据串联刚度公式，可得:

$K=\frac{K_i{K}_o}{K_i+K_o}---\left(11\right)$

第二步，建立主轴的动力学方程

基于Timoshenko梁理论，考虑节点5个方向的自由度建立主轴的有限元模型。主轴的动力学方程为：

$\[M^b\]\left\{\stackrel{\·\·}{q}\right\}+\mathrm{\Ω}\[G^b\]\left\{\stackrel{\·}{q}\right\}+(\[K^b\]+{\[K^b\]}_P-{\mathrm{\Ω}}^2{\[M^b\]}_C)\left\{q\right\}=\left\{F^b\right\}---\left(12\right)$

式中，[M^b]为系统质量阵；[G^b]为和陀螺力矩相关的矩阵；[K^b]为系统刚度矩阵；[K^b]_P为由轴向力引起的刚度矩阵；[M^b]_C为与离心力相关的矩阵；{F^b}为系统的载荷向量。

第三步，对主轴-轴承进行耦合

主轴-轴承的耦合关系如图5所示，主轴在高转速、切削工况下的动态位移影响轴承刚度，而轴承刚度反过来对主轴动态特性产生影响，因此以轴承刚度和主轴支撑节点位移(即轴承内圈位移)为耦合量将主轴与轴承进行耦合，得到主轴-轴承耦合刚度模型，并用有限迭代法进行求解。

第四步，计算流程

用有限迭代法对轴承刚度进行求解，计算流程如图6所示，①开始，输入轴承参数、工况，设定初始节点位移X0；②将轴承参数、工况、节点位移代入混合预紧轴承刚度模型，计算得到定位、定压预紧轴承的刚度K；③将轴承刚度K添加到主轴刚度矩阵中，求解主轴动力学方程得到节点位移向量X；④设定迭代精度为EPS，并计算节点位移向量的迭代误差|X(i)-X(i-1)|；⑤如果迭代误差大于EPS，则重复②-④的迭代过程，直到迭代误差小于EPS；⑥当迭代误差小于EPS则停止迭代，输出混合预紧轴承的刚度K；⑦结束。

上述计算过程将使用Matlab编程实现。为更具体的说明本方法的有效性，本发明提供了一个计算实例。

图7所示为一个主轴-轴承系统，主轴采用“前二后一”的支撑方式，前端轴承为定位预紧，后端轴承为定压预紧。轴承参数如表1所示。

表1轴承参数

主轴有限元模型如图8所示，单元详细尺寸如表2所示。

表2主轴单元详细尺寸

注：表中尺寸按照图8从左至右的顺序排列。

工况：轴承采用中等预紧(800N)，切削力由200N增大到1300N，转速为2000-12000r/min。在上述工况下的轴承刚度如图9所示。轴承A的刚度随着切削力的增大而增大，在转速8000r/min以上时，切削力由200N增大到1000N时，轴承A刚度增大约5％。由于安装方向相反，轴承B的刚度随切削力的增大而减小，当切削力由200N增大到1200N时，轴承B刚度减小约8.7％。轴承C由于对主轴位移具有吸收作用，其刚度不受切削力影响。由此可见，利用上述轴承刚度的计算方法可有效考虑混合预紧及主轴-轴承耦合关系的影响，能够分析主轴高转速及切削力对轴承刚度的影响规律，这种轴承刚度的计算方法将为电主轴的设计及使用提供指导。

Claims (1)

1.一种考虑主轴-轴承耦合关系的混合预紧轴承刚度计算方法，其特征在于：

主轴前端轴承采用定位预紧，后端轴承采用定压预紧；虚线表示静止状态，实线表示工作状态；主轴在高转速及切削载荷作用下产生动态位移，主轴支撑节点及轴承内圈位移为{qi}、{qj}、{qk}；定位预紧轴承的外圈视为固定，定压预紧轴承的外圈可沿轴向滑动；

第一步，建立混合预紧轴承的迭代方程组

1.1滚动体的力平衡方程

根据拟静力学理论，滚动体的水平和竖直方向的平衡方程为：

式中，α_ik、α_ok分别为内、外接触角；Q_ik、Q_ok分别为滚动体与内、外圈法向接触力；F_ck为离心力；M_gk为陀螺力矩；

M_gk＝Jω_mω_bsinβ(3)

接触载荷由下式得到：

式中，δ_ik、δ_ok分别为内、外法向接触变形；K_i、K_o分别为内外接触载荷-变形系数；

此外，定压预紧时外圈轴向力保持恒定，因此还有力的补充关系式：

式中，z为滚动体数目；F_a为轴向预紧力；

1.2定位预紧轴承的变形协调方程

定义轴承外圈固定，因此外圈曲率中心A位置不变，预紧量由内圈曲率中心的位移δ_x0来表示；轴承预紧后，滚动体中心由O移动到O′，内圈曲率中心由B移动到B′,接触角由α变为α′；轴承在高速工况下，由于离心力和外载荷的作用，滚动体中心向外运动到O″处，内圈曲率中心沿轴向和径向分别产生位移Δicu和Δicv；

设主轴支撑位置节点位移为{δ}＝{δ_x,δ_y,δ_z,γ_y,γ_z}，则Δicu和Δicv可由节点位移表示为：

由几何关系可得：

式中，Δik＝(f_i-0.5)D_b+δ_ik；Δok＝(f_o-0.5)D_b+δ_ok；D_b为滚动体直径；f_i、f_o为曲率半径系数；

1.3定压预紧轴承的变形协调方程

定压预紧轴承的几何关系中，定压预紧时轴承外圈与预先施加一定压缩量的弹簧连接，在外载荷作用下轴承外圈可沿轴向滑动，因此轴承的轴向预紧力视作恒定值；预紧后，滚动体中心位于O′，内圈曲率中心移动到B′,接触角变为α′；在高速工况下，外载荷的作用导致内圈沿轴向和径向产生位移Δicu和Δicv；由于需要保持轴向力的恒定，外圈沿轴向滑动产生位移δ′_x0，显然δ′_x0是主轴挠度{δ}＝{δ_x,δ_y,δ_z,γ_y,γ_z}的函数，但由于热、力载荷的综合作用，函数关系较复杂；因此，在轴向用力的补充关系式(5)代替较复杂的几何方程；由于外圈不能沿径向移动，因此在径向仍然可以得到变形协调方程：

式中，Δik＝(f_i-0.5)D_b+δ_ik；Δok＝(f_o-0.5)D_b+δ_ok；

1.4迭代方程组

以轴承的内、外接触角α_ik、α_ok以及法向接触变形量δ_ik、δ_ok为未知变量；根据以上受力和几何分析，则定压预紧轴承迭代方程组可表示为：

同理，定位预紧轴承迭代方程组为

若主轴支撑节点位移{δ}已知，将其代入几何方程，用牛顿-拉弗松迭代法求解以上非线性方程组可求得四个未知数的值，进而可分别求得内圈接触刚度K_i和外圈接触刚度K_o；由于内圈和外圈接触刚度为串联关系，根据串联刚度公式，可得:

第二步，建立主轴的动力学方程

基于Timoshenko梁理论，考虑节点5个方向的自由度建立主轴的有限元模型；主轴的动力学方程为：

式中，[M^b]为系统质量阵；[G^b]为和陀螺力矩相关的矩阵；[K^b]为系统刚度矩阵；[K^b]_P为由轴向力引起的刚度矩阵；[M^b]_C为与离心力相关的矩阵；{F^b}为系统的载荷向量；

第三步，对主轴-轴承进行耦合

主轴-轴承的耦合关系中，主轴在高转速、切削工况下的动态位移影响轴承刚度，而轴承刚度反过来对主轴动态特性产生影响，因此以轴承刚度和主轴支撑节点位移(即轴承内圈位移)为耦合量将主轴与轴承进行耦合，得到主轴-轴承耦合刚度模型，并用有限迭代法进行求解；

第四步，计算流程

用有限迭代法对轴承刚度进行求解，计算流程日下，①开始，输入轴承参数、工况，设定初始节点位移X0；②将轴承参数、工况、节点位移代入混合预紧轴承刚度模型，计算得到定位、定压预紧轴承的刚度K；③将轴承刚度K添加到主轴刚度矩阵中，求解主轴动力学方程得到节点位移向量X；④设定迭代精度为EPS，并计算节点位移向量的迭代误差|X(i)-X(i-1)|；⑤如果迭代误差大于EPS，则重复②-④的迭代过程，直到迭代误差小于EPS；⑥当迭代误差小于EPS则停止迭代，输出混合预紧轴承的刚度K；⑦结束。