CN109489949B - 一种应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法，本发明明确了热影响下的角接触球轴承的内部几何相容关系，建立了更准确的不同安装方式下的轴承套圈热位移计算公式，在考虑接触热阻的情况下，确定了不同润滑方式下的主轴单元热传递网络模型；考虑了热影响下的主轴单元热位移与轴承摩擦热之间的动态耦合关系，并建立了耦合计算流程，从而能够更加准确合理的掌握高速主轴单元的热动态性能。

Description

一种应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法

技术领域

本发明属于机械领域，尤其涉及一种应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法。

背景技术

随着工业技术的不断发展，机床加工精度日益提高，其中主轴单元即主轴轴承系统扮演着重要角色。而滚动轴承相比于滑动轴承，具有结构简单、安装方便、耗油少且能同时承受径向和轴向负荷等优点，所以目前各类主轴单元中，广泛采用滚动轴承作为主轴支承件之一，其中以高速角接触球轴承居多。在机床主轴系统高速运转过程中，轴承摩擦生热是系统主要热源之一，大量的摩擦热会导致主轴单元温度上升并产生不均匀热变形，影响机床加工精度，而主轴转速上升又会导致轴承摩擦加剧，致使轴承使用寿命下降，同时轴承所受离心力增大，使主轴单元刚度软化，这些共同影响着主轴单元的热动态性能，包括精度、速度和刚度性能等，因此，准确计算高速下的主轴单元中轴承的摩擦热和了解主轴单元温度场分布对分析掌握主轴单元的热动态性能有着重要意义。

目前，计算高速主轴单元中角接触球轴承的摩擦热主要是通过建立考虑热效应的球轴承拟静力学模型，求得平衡状态下的球轴承内外圈接触角和接触载荷，进而求得轴承摩擦热，并通过有限单元法或节点网络法求得主轴单元温度场分布，通过微分或球轴承刚度串并联关系求得轴承的动态刚度矩阵。

在已有的技术理论中，计算角接触球轴承摩擦热时往往忽略了高速下轴承内外圈接触角的动态变化对轴承摩擦生热的影响。事实上，由于高速球轴承摩擦热的产生，主轴单元温度上升而发生热膨胀，而轴承座、转轴以及轴承本身的热膨胀又会影响轴承内外圈接触角与接触载荷，进而影响轴承摩擦热的大小，这是一种动态耦合过程，所以要想更加准确求得轴承摩擦热的大小，必须考虑主轴单元热膨胀与轴承产热之间的动态耦合关系。在求得动态平衡后的轴承摩擦热之后，需要建立主轴单元热传递模型，在现有文献中，建立的主轴单元热传递模型往往忽略了各结合面的接触热阻，即认为在热传递过程中，互相配合的零件表面为完全结合，不会产生热传递阻力，但实际上，由于两个名义上互相接触的固体表面，实际上接触仅仅发生在一些离散的面积元上，在未接触的界面之间的间隙常常充满了空气，热量将以导热的方式穿过这种气隙层，这种情况下便增加了附加的热传递阻力，即为接触热阻。因此现有的主轴单元热传递模型与实际情况相差较大，预测不够准确。高速主轴一般只转速超过10000转/min。

发明内容

为解决上述问题，本发明提供了一种应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法，本发明明确了热影响下的角接触球轴承的内部几何相容关系，建立了更准确的不同安装方式下的轴承套圈热位移计算公式，在考虑接触热阻的情况下，确定了不同润滑方式下的主轴单元热传递网络模型；分考虑了热影响下的主轴单元热位移与轴承摩擦热之间的动态耦合关系，并建立了耦合计算流程，从而能偶更加准确合理的掌握高速主轴单元的热动态性能。

为达到上述技术效果，本发明的技术方案是：

一种应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法，包括如下步骤：步骤一、建立角接触球轴承拟静力学模型，所述角接触球轴承拟静力学模型包括热位移和内圈离心位移的轴承内部几何相容关系、滚动体与轴承内圈的受力关系以及轴承整体所受载荷和位移的关系；

步骤二、分析不同安装方式下的轴承套圈热位移和离心位移变化情况；

步骤三、对主轴单元进行模型简化并划分热网络节点，确定不同润滑方式下的轴承热传递路径，建立基于热阻的主轴单元热传递网络模型和主轴单元热传递方程；

步骤四、拟定主轴单元热动态性能分析计算流程，选定算法进行求解；

步骤五、输出计算结果，得到主轴单元各动态参数随主轴转速的变化规律，得到不同转速下的主轴单元热动态性能。

进一步的改进，所述步骤一包括如下步骤：

建立角接触球轴承拟静力学模型

所述球轴承的外圈固定而内圈旋转，轴承的外圈曲率中心不动，受载后，轴承的内圈和外圈发生轴向相对位移δ_a、径向相对位移δ_r和角向相对位移θ，由于轴承摩擦发热，主轴单元发生热膨胀，受轴承座和转轴以及轴承自身的热影响，轴承内外圈产生轴向相对热位移u_a和径向相对热位移u_r，同时轴承内圈在高速下产生离心位移u_c，建立高速下的角接触球轴承内部几何相容关系，从而可以得到角位置ψ_j处的轴承内圈和外圈最终的轴向和径向相对距离：

A_1j＝BD_bsinα₀+δ_a+R_iθcosψ_j+u_a

A_2j＝BD_bcosα₀+δ_rcosψ_j+u_r+u_c

式中，A_1j为轴承内圈和外圈轴向相对距离，A_2j为轴承内圈和外圈径向相对距离，B＝f_i+f_o-1，f_i、f_o为轴承内、外滚道曲率半径系数，D_b为球体直径，α₀为轴承初始接触角，R_i为轴承的内圈曲率中心圆半径；

在角位置ψ_j处有：

式中，X_1j为球体中心与外沟道曲率中心的轴向距离，X_2j为球体中心与外沟道曲率中心的径向距离，α_ij、α_oj分别为轴承内、外圈与球体接触角，δ_ij、δ_oj分别为内、外圈与球体接触的弹性变形趋近量；

故得到角接触球轴承沟道接触的变形几何相容方程为：

(A_1j-X_1j)²+(A_2j-X_2j)²-[(f_i-0.5)D_b+δ_ij]²＝0

X_1j ²+X_2j ²-[(f_o-0.5)D_b+δ_oj]²＝0

对于高速情况，设球体所受陀螺力矩完全被球体与外圈沟道的接触摩擦力抵消，其中λ_ij和λ_oj分别表示内、外圈沟道控制系数，取λ_ij＝0,λ_oj＝2；根据Hertz点接触变形关系及球体受力平衡关系可得：

式中，K_ij、K_oj分别为内、外圈滚道与球体接触的载荷变形系数， M_gj、F_cj分别为第j个球体受到的陀螺力矩和离心力；为了求出稳定状态时轴承的各向位移值，建立轴承所受外载荷和位移之间的关系，轴承受到联合载荷的作用，即受轴向载荷F_a、径向载荷F_r和力矩载荷 M的综合作用，则轴承载荷与位移的关系可用下式表达：

对于定压预紧：

对于定位预紧：

式中，Z为轴承球体个数；

进一步的改进，所述步骤二包括如下步骤：确定不同安装方式下的轴承套圈热位移和离心位移计算公式：

高速运转下，主轴单元温度升高而产生热位移，轴承在轴承座、转轴以及自身的热影响下，产生一定的热位移，其中δ_i、δ_o分别为轴承内、外圈轴向热位移，u_i、u_o分别为轴承内、外圈径向热位移；

轴承在不同配置方式下的轴向热伸长量计算方法不同，当轴承为单联O型配置时，轴承内外圈的轴向热位移计算方法如下：

ΔL_s＝λ_sΔT_sL_s，表示转轴轴向热伸长量；ΔL_h＝λ_hΔT_hL_h表示轴承座轴向热伸长量，λ_s表示转轴热导率，λ_h表示轴承座热导率，T_s表示转轴温度，T_h表示轴承座温度；L_s表示转轴长度，L_h表示轴承座长度；

考虑球体的热膨胀和与内外圈接触角变化的影响，对内外圈沟道处的轴向相对热位移进行修正，修正后的计算公式如下：

式中，u_b＝λ_bΔT_bD_b，表示球体热膨胀量，λ_b表示球体热导率， T_b表示球体温度；

当轴承为单联X型配置，此时修正后的轴承内外圈的轴向相对热位移计算方法如下：

考虑转轴热膨胀影响的轴承内圈沟道径向热位移计算公式如下：

式中，λ_i表示轴承内圈热导率，λ_s表示转轴热导率，ΔT_i表示轴承内圈温度变化量，μ_s表示转轴泊松比，d表示轴承内圈直径，d_i表示轴承内圈沟道直径，

考虑轴承座热膨胀影响的轴承外圈沟道径向热位移计算公式如下：

u_o＝λ_hΔT_h(1+μ_h)D_o

式中，λ_h表示轴承座热导率；μ_h表示轴承座泊松比；D_o表示外圈沟道直径；

故修正后的轴承内外圈径向相对热位移计算公式如下：

u_r＝u_i-u_o-u_bcosα_i-u_bcosα_o

高速下，轴承内圈产生的离心位移计算公式如下：

式中，ρ_i表示内圈密度，ω_i表示内圈转速，E_i表示内圈弹性模量，μ_i表示内圈泊松比；

进一步的改进，所述步骤三：建立主轴单元热传递网络模型和主轴单元热传递方程包括如下步骤:

设轴承摩擦热沿周向不变，当主轴单元为轴对称回转体时，用一维热传递模型来描述主轴单元的热传递；首先在主轴单元中划分温度节点；其中L代表润滑剂，下标∞代表周围环境；建立主轴单元热传递网络模型和主轴单元热传递方程，以方便求解；不同润滑方式下的主轴单元热传递方程不同；

润滑方式为脂润滑时，脂润滑的主轴单元热传递方程为：

式中，H_i、H_o分别为轴承内、外圈滚道接触区的摩擦热，T_Li、T_Lo分别为轴承内、外圈滚道接触区温度，T_b为球体中心温度，R_i、R_o分别为轴承内、外圈的热传导热阻，R_is、R_oh分别为轴承内圈与转轴和轴承外圈与轴承座之间的接触热阻，R_s、R_h分别为转轴和轴承座的复合换热热阻，即同时包含了零件自身热传导热阻和零件表面与周围环境的对流换热热阻，R₁、R₂为并联热阻且

R_b为球体热传导热阻，R_Li、R_Lo分别为内外圈滚道润滑油热传导热阻；

T_∞表示环境温度；

对于脂润滑主轴单元的转轴和轴承座的复合换热热阻，计算方法如下：

R_s＝R_rads+R_axs

式中，R_rads为转轴径向热传导热阻，R_axs为转轴轴向热传导热阻与轴向热对流换热热阻之和，R_radh为轴承座径向热传导热阻与径向热对流换热热阻之和，R_axh为轴承座轴向热传导热阻与轴向热对流换热热阻之和；

对于油雾润滑或油气润滑主轴单元，热传递方程为：

式中，R_b为球体强迫对流换热热阻，R_Li、R_Lo分别为内外圈滚道润滑剂对流换热热阻；

为了求解主轴单元热传递方程，需要求出热传递方程中的热边界条件，包括各个热阻值和轴承接触区产热量的大小，下面先给出各个类型热阻的计算公式：

将轴承座和空心转轴简化为圆筒，实心转轴则简化为圆柱，轴承内外圈简化为薄壁短圆筒，根据Fourier定理，圆筒或圆柱轴向热传导热阻为：

λ表示热导率，L表示圆筒或圆柱长度，R1表示圆筒或圆柱轴向热传导热阻，S_a表示对流换热面积；

圆筒径向热传导热阻为：

R₂表示圆筒径向热传导热阻

圆柱径向热传导热阻为：

油脂润滑时内、外滚道的润滑脂热传导阻抗为：

球体热传导热阻为：

油雾或油气润滑时内、外滚道的强迫对流换热阻抗为：

h_i表示内滚道对流换热系数；

h_o表示外滚道对流换热系数；

球体强迫热对流阻抗为：

h_b表示球体强迫对流换热系数；

式中，L为圆筒或圆柱轴向长度，λ为圆筒或圆柱热导率，S_a为圆筒或圆柱轴向截面积，d₂、d₁分别为圆筒外径和内径，λ_b、λ_L分别为球体和润滑脂热导率，h为对流换热系数，B_i、B_o分别为轴承内、外圈宽度；

根据Fourier定理，圆筒和圆柱的轴向、径向对流换热热阻均为：

式中，h为对流换热系数，S为圆筒或圆柱与外界对流换热面积。

主轴单元各处的对流换热系数h₁可表示为：

式中，N_u为努谢尔数，λ_f为流体导热系数，D_h为热交换处几何特征尺寸；

主轴单元为油雾或油气润滑时，流体与球体对流换热系数表示为：

式中，R_e为雷诺数，P_r为空气普朗特数，即为0.707，d_e为轴承对流换热特征尺寸且

h₂为流体与球体对流换热系数；

此处的雷诺数R_e表示为：

式中，u_f为流体在轴承中的平均流速，η_f为环境流体的运动粘度；

主轴高速旋转时，主轴端部与周围环境进行强迫对流换热，对流换热系数h₃表示为：

此处的雷诺数R_e表示为：

式中，ω_s为主轴转速，d_s为主轴端部当量直径；

轴承座表面与周围环境进行自然对流换热，换热系数h₄由下式计算：

h₄＝23(T_h-T_∞)^0.25

轴承内圈与转轴和轴承外圈与轴承座之间的接触热阻计算公式如下：

式中，h_c为结合面接触热传导系数，A为结合面名义接触面积； R₁₁表示接触热阻；

考虑微凸峰、界面流体介质的热传导，忽略气隙间的辐射换热，接触热传导系数h_c表示为：

式中，L_g为结合面空隙厚度，λ₁、λ₂分别为两个配合零件的热导率，λ_f为界面间隙介质的热导率，A^*为结合面无量纲实际接触面积，且

A_c为实际接触面积；A表示名义接触面积；

根据以上各个类型热阻的计算公式即可得到热传递方程中的各个热阻值；对于一维热传递网络模型，求出的各个热阻值需与一维模型相对应，对于轴对称零件，热阻转化形式为：

R_od＝ZR_td

式中，R_od为一维模型下的热阻，R_td为零件总热阻；

另一个边界条件则是轴承产热量：

轴承在运转过程中，由于受到离心力的作用，球体与内、外滚道之间的接触角会有所不同，考虑到这一情况，将轴承总摩擦力矩等额分成内外圈沟道分量，对于角位置ψ_j处的球体有：

式中，f₀、f₁分别为与轴承和润滑、负载的相关系数，η₀为润滑油的运动粘度，ω_cj为第j个球体的公转角速度，Q_imax、Q_omax为球体与内、外滚道接触的最大应力；Q_ij表示第j个球体与内圈接触载荷；Q_oj表示第j个球体与外圈接触载荷；

对于外滚道控制，仅需考虑球体与内滚道的自旋摩擦力矩M_sij，即：

式中，μ_si为球体与内滚道的摩擦系数，a_ij为第j个球体与内滚道的赫兹接触椭圆长半轴，Σ_ij为第j个球体与内滚道赫兹接触椭圆的第二类完全积分；

故内、外滚道接触区的摩擦发热分别为H_ij和H_oj：

H_ij＝ω_cj.M_ij+ω_bj.M_sij

H_oj＝ω_cj.M_oj

式中，ω_bj为球体的自旋角速度；ω_cj表示球体公转角速度，M_ij表示第j个球体与内沟道的摩擦力矩；M_oj表示第j个球体与外沟道的摩擦力矩；

当采用一维热传递模型近似描述主轴单元热传递时，热传递方程中的摩擦热与轴承内、外圈接触区总摩擦热之间的关系为：

H_i表示轴承内圈接触区摩擦热分量；H_o表示轴承外圈接触区摩擦热分量；

进一步的改进，所述轴对称零件为圆柱或圆筒。

进一步的改进，所述步骤四中：拟定主轴单元热动态性能分析计算流程，进行求解:

主轴单元热膨胀位移与轴承摩擦产热之间存在动态耦合关系，针对轴承模型的强非线性，拟定获得主轴单元各热动态性能参数的计算流程.

步骤五：根据拟定的分析计算流程，求解得到主轴单元各热动态性能参数；得到主轴单元各动态参数随主轴转速的变化规律，得到不同转速下的主轴单元热动态性能。

进一步的改进，所述分析计算流程为：应用Newton-Raphson迭代法对角接触球轴承拟静力学模型进行求解；整个计算过程如下：输入已知参数后，首先通过求解轴承拟静力学模型，得到轴承接触区的摩擦生热量；将计算得到的各部分热阻值和轴承产热值代入主轴单元热传递网络模型中，获得主轴单元温度分布并可计算得到主轴单元各部分热位移；再根据主轴单元热位移情况修正轴承内部几何关系，之后再对轴承拟静力学模型进行求解，如此反复，直到各模型达到设定的收敛精度后，才可输出主轴单元热动态性能的结果。

本发明的优点：

与现有技术相比，本发明至少具有以下优点：(1)明确了热影响下的角接触球轴承的内部几何相容关系；(2)建立了更准确的不同安装方式下的轴承套圈热位移计算公式；(3)在考虑接触热阻的情况下，确定了不同润滑方式下的主轴单元热传递网络模型；(4)充分考虑了热影响下的主轴单元热位移与轴承摩擦热之间的动态耦合关系，并建立了耦合计算流程，以便更加准确合理的掌握高速主轴单元的热动态性能。

附图说明

图1为本发明中建立的角接触球轴承内部几何相容关系；

图2为本发明中建立的角接触球轴承滚动体转动时的受力图；

图3为本发明中建立的角接触球轴承热膨胀下的套圈位移示意图；

图4(a)为本发明中建立的角接触球轴承O型配置(背对背安装) 单联配置方式示意图；

图4(b)为为本发明中建立的角接触球轴承X型配置(面对面安装)单联配置方式示意图；

图5为本发明中建立的主轴单元温度节点分布示意图；

图6(a)为脂润滑时的建立的主轴单元热传递网络模型示意图；

图6(b)为油雾或油气润滑时的主轴单元热传递网络模型示意图；

图7为本发明中建立的主轴单元热动态性能分析计算流程图；

图8为实施例中轴承各向支承刚度示意图；

图9为实施例中轴承总产热量示意图；

图10为实施例中主轴单元各部分温度。

具体实施方式

以下通过具体实施方式并且结合附图对本发明的技术方案作具体说明。

实施例1

如图1-10所示的一种应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法，包括如下步骤：

1)建立角接触球轴承拟静力学模型，包括考虑热位移和内圈离心位移的轴承内部几何相容关系、滚动体与轴承内圈的受力关系以及轴承整体所受载荷和位移的关系；2)分析不同安装方式下的轴承套圈热位移和离心位移变化情况；3)根据需要，对主轴单元进行一定的模型简化并划分热网络节点，确定不同润滑方式下的轴承热传递路径，建立基于热阻的主轴单元热传递网络模型和主轴单元热传递方程；4) 拟定主轴单元热动态性能分析计算流程，选定算法进行求解；5)输出计算结果，得到主轴单元各动态参数随主轴转速的变化规律，掌握不同转速下的主轴单元热动态性能。

本发明以一种脂润滑主轴单元为算例，根据拟定的计算流程，求解得到主轴单元各热动态性能参数，包括轴承支承刚度、轴承产热量以及主轴单元各部分温度等随转速的变化规律，将利用现有技术分析得到的热动态性能参数与依据本发明得到的热动态性能参数作对比，得到了一些新的结论。本算例中的轴承选用角接触混合陶瓷球轴承，具体参数示于表1，轴承座材料为HT300，转轴材料为40Cr，预紧方式为定位预紧，预紧载荷为50N，环境温度为25℃。表1轴承参数

图8示出了本算例中定位预紧下的轴承刚度变化曲线，图中不考虑零件位移即无位移、仅考虑轴承内圈离心位移和仅考虑零件热位移等曲线是依据现有技术得到的，综合考虑离心位移和热位移即综合位移曲线是依据本发明得到的。从图8中可以看到，仅考虑轴承内圈离心位移时，轴承各向刚度均随转速上升而明显增加，这是因为内圈和球体的离心力使得内外圈的接触载荷增加，且外圈接触角减小，内圈接触角增大，故接触刚度增加。不考虑零件位移时，由于轴承模型中考虑了球体的离心力作用，所以虽然轴承各向刚度也有所上升，但增幅较考虑内圈离心位移时小。仅考虑热位移时，轴承轴向刚度和角向刚度反而有所下降，轴承径向刚度先减小后略有增加，这是因为轴承温度升高，考虑热位移时内外圈轴向相对距离增加，内圈接触角减小，外圈接触角增大，使得接触刚度降低，但随转速上升，轴承径向相对热位移减小，使得轴承径向刚度反而略有增加。考虑综合位移时，可以看到，轴承轴向刚度和角向刚度变化趋势较缓，轴承径向刚度随转速缓慢上升，这是因为不考虑零件位移时，轴承各向刚度有所上升，仅考虑热位移时，轴承轴向和角向刚度下降，径向刚度略有上升，而轴承内圈的离心力又会使轴承各向刚度上升，故在综合因素影响下，轴承轴向和角向刚度随转速变化不大，径向刚度受轴承内圈离心力和径向相对热位移影响较大，故有所上升。

图9中示出了轴承总产热量随转速的变化趋势，可以看到，依据现有技术和本发明得到的轴承总产热量均随转速上升而增加，是因为转速上升，轴承摩擦加剧，故产热量上升。类似轴承刚度变化分析，仅考虑离心位移时，内外圈与球体接触刚度增加，接触载荷增大，故摩擦发热严重，产热量随转速增加而迅速增大，仅考虑热位移时，接触刚度下降，接触载荷减小，但产热量受转速影响明显，故产热量也有所上升，但增幅较仅考虑离心位移时小。因此在综合因素影响下，轴承产热量依然随转速增加而增加，但上升趋势居于前面两种情况之间。

图10示出了主轴单元各部分温度随转速的变化趋势，可以看到，随转速升高，主轴单元各部分温度均随之升高，仅考虑离心位移时，轴承摩擦发热最严重，故主轴单元各部分温度均上升显著，考虑其他情况时，各部分温度也随转速上升而升高，但同一零件温度总体相差不大。

上述仅为本发明的一个具体导向实施方式，但本发明的设计构思并不局限于此，凡利用此构思对本发明进行非实质性的改动，均应属于侵犯本发明的保护范围的行为。

Claims (4)

1.一种应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一、建立角接触球轴承拟静力学模型，所述角接触球轴承拟静力学模型包括热位移和内圈离心位移的轴承内部几何相容关系、滚动体与轴承内圈的受力关系以及轴承整体所受载荷和位移的关系；

步骤二、分析不同安装方式下的轴承套圈热位移和离心位移变化情况；

步骤三、对主轴单元进行模型简化并划分热网络节点，确定不同润滑方式下的轴承热传递路径，建立基于热阻的主轴单元热传递网络模型和主轴单元热传递方程；

步骤四、拟定主轴单元热动态性能分析计算流程，选定算法进行求解；

步骤五、输出计算结果，得到主轴单元各动态参数随主轴转速的变化规律，得到不同转速下的主轴单元热动态性能；

所述步骤一包括如下步骤：

建立角接触球轴承拟静力学模型

所述球轴承的外圈固定而内圈旋转，轴承的外圈曲率中心不动，受载后，轴承的内圈和外圈发生轴向相对位移δ_a、径向相对位移δ_r和角向相对位移θ，由于轴承摩擦发热，主轴单元发生热膨胀，受轴承座和转轴以及轴承自身的热影响，轴承内外圈产生轴向相对热位移u_a和径向相对热位移u_r，同时轴承内圈在高速下产生离心位移u_c，建立高速下的角接触球轴承内部几何相容关系，从而可以得到角位置ψ_j处的轴承内圈和外圈最终的轴向和径向相对距离：

A_1j＝BD_bsinα₀+δ_a+R_iθcosψ_j+u_a

A_2j＝BD_bcosα₀+δ_rcosψ_j+u_r+u_c

式中，A_1j为轴承内圈和外圈轴向相对距离，A_2j为轴承内圈和外圈径向相对距离，B＝f_i+f_o-1，f_i、f_o为轴承内、外滚道曲率半径系数，D_b为球体直径，α₀为轴承初始接触角，R_i为轴承的内圈曲率中心圆半径；

在角位置ψ_j处有：

式中，X_1j为球体中心与外沟道曲率中心的轴向距离，X_2j为球体中心与外沟道曲率中心的径向距离，α_ij、α_oj分别为轴承内、外圈与球体接触角，δ_ij、δ_oj分别为内、外圈与球体接触的弹性变形趋近量；故得到角接触球轴承沟道接触的变形几何相容方程为：

(A_1j-X_1j)²+(A_2j-X_2j)²-[(f_i-0.5)D_b+δ_ij]²＝0

X_1j ²+X_2j ²-[(f_o-0.5)D_b+δ_oj]²＝0

对于高速情况，设球体所受陀螺力矩完全被球体与外圈沟道的接触摩擦力抵消，其中λ_ij和λ_oj分别表示内、外圈沟道控制系数，取λ_ij＝0,λ_oj＝2；根据Hertz点接触变形关系及球体受力平衡关系可得：

式中，K_ij、K_oj分别为内、外圈滚道与球体接触的载荷变形系数，M_gj、F_cj分别为第j个球体受到的陀螺力矩和离心力；为了求出稳定状态时轴承的各向位移值，建立轴承所受外载荷和位移之间的关系，轴承受到联合载荷的作用，即受轴向载荷F_a、径向载荷F_r和力矩载荷M的综合作用，则轴承载荷与位移的关系可用下式表达：

对于定压预紧：

对于定位预紧：

式中，Z为轴承球体个数；

所述步骤二包括如下步骤：确定不同安装方式下的轴承套圈热位移和离心位移计算公式：

高速运转下，主轴单元温度升高而产生热位移，轴承在轴承座、转轴以及自身的热影响下，产生一定的热位移，其中δ_i、δ_o分别为轴承内、外圈轴向热位移，u_i、u_o分别为轴承内、外圈径向热位移；

轴承在不同配置方式下的轴向热伸长量计算方法不同，当轴承为单联O型配置时，轴承内外圈的轴向热位移计算方法如下：

ΔL_s＝λ_sΔT_sL_s，表示转轴轴向热伸长量；ΔL_h＝λ_hΔT_hL_h表示轴承座轴向热伸长量，λ_s表示转轴热导率，λ_h表示轴承座热导率，T_s表示转轴温度，T_h表示轴承座温度；L_s表示转轴长度，L_h表示轴承座长度；

考虑球体的热膨胀和与内外圈接触角变化的影响，对内外圈沟道处的轴向相对热位移进行修正，修正后的计算公式如下：

式中，u_b＝λ_bΔT_bD_b，表示球体热膨胀量，λ_b表示球体热导率，T_b表示球体温度；

当轴承为单联X型配置，此时修正后的轴承内外圈的轴向相对热位移计算方法如下：

考虑转轴热膨胀影响的轴承内圈沟道径向热位移计算公式如下：

式中，λ_i表示轴承内圈热导率，λ_s表示转轴热导率，ΔT_i表示轴承内圈温度变化量，μ_s表示转轴泊松比，d表示轴承内圈直径，d_i表示轴承内圈沟道直径，

考虑轴承座热膨胀影响的轴承外圈沟道径向热位移计算公式如下：

u_o＝λ_hΔT_h(1+μ_h)D_o

式中，λ_h表示轴承座热导率；μ_h表示轴承座泊松比；D_o表示外圈沟道直径；

故修正后的轴承内外圈径向相对热位移计算公式如下：

u_r＝u_i-u_o-u_bcosα_i-u_bcosα_o

高速下，轴承内圈产生的离心位移计算公式如下：

式中，ρ_i表示内圈密度，ω_i表示内圈转速，E_i表示内圈弹性模量，μ_i表示内圈泊松比；

所述步骤三：建立主轴单元热传递网络模型和主轴单元热传递方程包括如下步骤:

设轴承摩擦热沿周向不变，当主轴单元为轴对称回转体时，用一维热传递模型来描述主轴单元的热传递；首先在主轴单元中划分温度节点；其中L代表润滑剂，下标∞代表周围环境；建立主轴单元热传递网络模型和主轴单元热传递方程，以方便求解；不同润滑方式下的主轴单元热传递方程不同；

润滑方式为脂润滑时，脂润滑的主轴单元热传递方程为：

式中，H_i、H_o分别为轴承内、外圈滚道接触区的摩擦热，T_Li、T_Lo分别为轴承内、外圈滚道接触区温度，T_b为球体中心温度，R_i、R_o分别为轴承内、外圈的热传导热阻，R_is、R_oh分别为轴承内圈与转轴和轴承外圈与轴承座之间的接触热阻，R_s、R_h分别为转轴和轴承座的复合换热热阻，即同时包含了零件自身热传导热阻和零件表面与周围环境的对流换热热阻，R₁、R₂为并联热阻且

R_b为球体热传导热阻，R_Li、R_Lo分别为内外圈滚道润滑油热传导热阻；

T_∞表示环境温度；

对于脂润滑主轴单元的转轴和轴承座的复合换热热阻，计算方法如下：

R_s＝R_rads+R_axs

式中，R_rads为转轴径向热传导热阻，R_axs为转轴轴向热传导热阻与轴向热对流换热热阻之和，R_radh为轴承座径向热传导热阻与径向热对流换热热阻之和，R_axh为轴承座轴向热传导热阻与轴向热对流换热热阻之和；

对于油雾润滑或油气润滑主轴单元，热传递方程为：

式中，R_b为球体强迫对流换热热阻，R_Li、R_Lo分别为内外圈滚道润滑剂对流换热热阻；

为了求解主轴单元热传递方程，需要求出热传递方程中的热边界条件，包括各个热阻值和轴承接触区产热量的大小，下面先给出各个类型热阻的计算公式：

将轴承座和空心转轴简化为圆筒，实心转轴则简化为圆柱，轴承内外圈简化为薄壁短圆筒，根据Fourier定理，圆筒或圆柱轴向热传导热阻为：

λ表示热导率，L表示圆筒或圆柱长度，R1表示圆筒或圆柱轴向热传导热阻，S_a表示对流换热面积；

圆筒径向热传导热阻为：

R₂表示圆筒径向热传导热阻

圆柱径向热传导热阻为：

油脂润滑时内、外滚道的润滑脂热传导阻抗为：

球体热传导热阻为：

油雾或油气润滑时内、外滚道的强迫对流换热阻抗为：

h_i表示内滚道对流换热系数；

h_o表示外滚道对流换热系数；

球体强迫热对流阻抗为：

h_b表示球体强迫对流换热系数；

式中，L为圆筒或圆柱轴向长度，λ为圆筒或圆柱热导率，S_a为圆筒或圆柱轴向截面积，d₂、d₁分别为圆筒外径和内径，λ_b、λ_L分别为球体和润滑脂热导率，h为对流换热系数，B_i、B_o分别为轴承内、外圈宽度；

根据Fourier定理，圆筒和圆柱的轴向、径向对流换热热阻均为：

式中，h为对流换热系数，S为圆筒或圆柱与外界对流换热面积

主轴单元各处的对流换热系数h₁可表示为：

式中，N_u为努谢尔数，λ_f为流体导热系数，D_h为热交换处几何特征尺寸；

主轴单元为油雾或油气润滑时，流体与球体对流换热系数表示为：

式中，R_e为雷诺数，P_r为空气普朗特数，即为0.707，d_e为轴承对流换热特征尺寸且

h₂为流体与球体对流换热系数；

此处的雷诺数R_e表示为：

式中，u_f为流体在轴承中的平均流速，η_f为环境流体的运动粘度；

主轴高速旋转时，主轴端部与周围环境进行强迫对流换热，对流换热系数h₃表示为：

此处的雷诺数R_e表示为：

式中，ω_s为主轴转速，d_s为主轴端部当量直径；

轴承座表面与周围环境进行自然对流换热，换热系数h₄由下式计算：

h₄＝23(T_h-T_∞)^0.25

轴承内圈与转轴和轴承外圈与轴承座之间的接触热阻计算公式如下：

式中，h_c为结合面接触热传导系数，A为结合面名义接触面积；R₁₁表示接触热阻；

考虑微凸峰、界面流体介质的热传导，忽略气隙间的辐射换热，接触热传导系数h_c表示为：

式中，L_g为结合面空隙厚度，λ₁、λ₂分别为两个配合零件的热导率，λ_f为界面间隙介质的热导率，A^*为结合面无量纲实际接触面积，且

A_c为实际接触面积；A表示名义接触面积；

根据以上各个类型热阻的计算公式即可得到热传递方程中的各个热阻值；对于一维热传递网络模型，求出的各个热阻值需与一维模型相对应，对于轴对称零件，热阻转化形式为：

R_od＝ZR_td

式中，R_od为一维模型下的热阻，R_td为零件总热阻；

另一个边界条件则是轴承产热量：

轴承在运转过程中，由于受到离心力的作用，球体与内、外滚道之间的接触角会有所不同，考虑到这一情况，将轴承总摩擦力矩等额分成内外圈沟道分量，对于角位置ψ_j处的球体有：

式中，f₀、f₁分别为与轴承和润滑、负载的相关系数，η₀为润滑油的运动粘度，ω_cj为第j个球体的公转角速度，Q_imax、Q_omax为球体与内、外滚道接触的最大应力；Q_ij表示第j个球体与内圈接触载荷；Q_oj表示第j个球体与外圈接触载荷；

对于外滚道控制，仅需考虑球体与内滚道的自旋摩擦力矩M_sij，即：

式中，μ_si为球体与内滚道的摩擦系数，a_ij为第j个球体与内滚道的赫兹接触椭圆长半轴，Σ_ij为第j个球体与内滚道赫兹接触椭圆的第二类完全积分；

故内、外滚道接触区的摩擦发热分别为H_ij和H_oj：

H_ij＝ω_cj.M_ij+ω_bj.M_sij

H_oj＝ω_cj.M_oj

式中，ω_bj为球体的自旋角速度；ω_cj表示球体公转角速度，M_ij表示第j个球体与内沟道的摩擦力矩；M_oj表示第j个球体与外沟道的摩擦力矩；

当采用一维热传递模型近似描述主轴单元热传递时，热传递方程中的摩擦热与轴承内、外圈接触区总摩擦热之间的关系为：

H_i表示轴承内圈接触区摩擦热分量；H_o表示轴承外圈接触区摩擦热分量。

2.如权利要求1所述的应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法，其特征在于，所述轴对称零件为圆柱或圆筒。

3.如权利要求1所述的应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法，其特征在于，所述步骤四中：拟定主轴单元热动态性能分析计算流程，进行求解:

主轴单元热膨胀位移与轴承摩擦产热之间存在动态耦合关系，针对轴承模型的强非线性，拟定获得主轴单元各热动态性能参数的计算流程；

步骤五：根据拟定的分析计算流程，求解得到主轴单元各热动态性能参数；得到主轴单元各动态参数随主轴转速的变化规律，得到不同转速下的主轴单元热动态性能。

4.如权利要求3所述的应用于高速主轴单元热动态性能的分析方法，其特征在于，

所述分析计算流程为：应用Newton-Raphson迭代法对角接触球轴承拟静力学模型进行求解；整个计算过程如下：输入已知参数后，首先通过求解轴承拟静力学模型，得到轴承接触区的摩擦生热量；将计算得到的各部分热阻值和轴承产热值代入主轴单元热传递网络模型中，获得主轴单元温度分布并可计算得到主轴单元各部分热位移；再根据主轴单元热位移情况修正轴承内部几何关系，之后再对轴承拟静力学模型进行求解，如此反复，直到各模型达到设定的收敛精度后，才可输出主轴单元热动态性能的结果。

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