CN104992415A - 一种基于全变差和小波变换的图像去噪方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于全变差和小波变换的图像去噪方法，该方法的步骤包括对获取的待去噪的原始图像进行小波变换，获得该原始图像的低频小波系数以及水平、垂直和斜向这三个方向的高频系数；在小波域内建立全变差模型；基于迭代算法对上述建立的全变差模型进行求解，获得最优解。本发明首次采用在小波域中直接建立全变差模型并求解的方法进行图像去噪，实现了两种图像处理方法的良好结合；能够更好的克服全变差方法引起的阶梯效应和小波阈值收缩引起的吉布斯现象，在去除噪声的同时有效的保持图像的边缘特征信息，为后续处理提供了良好的图像质量。

Description

一种基于全变差和小波变换的图像去噪方法及系统

技术领域

本发明涉及图像处理，特别是涉及一种基于全变差和小波变换的图像去噪方法及系统。

背景技术

图像在获取过程中不可避免受到噪声影响，全变差(TV)图像去噪方法是目前一种有效的去噪方法，将图像视为分段常数的模型，建立全变差模型，迭代计算实现图像的去噪。但全变差方法采用了梯度信息进行优化，不可避免地带来阶梯效应，小波变换方法可以去除阶梯效应，但是小波去噪方法会引起吉布斯现象。

目前现有的基于全变差和小波的去噪方法，有的方法在图像不同部分分别采用全变差和小波方法，有的方法将全变差方法和小波变换在一定条件下进行等价处理，将小波变换域系数或者将其均方值的的范数L1作为正则化项，该方法实质上将全变差正则化项用小波变换替代，也不是全变差和小波变换的结合处理；有的方法将图像变换到梯度域后再进行小波变换，但是这种方法平滑了图像的梯度信息，进而平滑图像边缘特征信息，将引起图像特征边缘的模糊。

综上所述，目前现有的基于全变差和小波的去噪方法都不能更好地抑制噪声，本发明提出的一种基于小波域的全变差模型方法，能够更有效的去除噪声，获得更高的信噪比。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种基于全变差和小波变换的图像去噪方法及系统，以解决现有技术中对图像噪声抑制效果不佳的问题，以获得更高的图像质量。

为解决上述技术问题，本发明采用下述技术方案

一种基于全变差和小波变换的图像去噪方法，该方法的步骤包括

对获取的待去噪的原始图像进行Haar小波变换，获得该原始图像的低频小波系数以及水平、垂直和斜向这三个方向的高频系数；

在小波域内建立全变差模型；

基于迭代算法对上述建立的全变差模型进行求解，获得最优解；

对优化后的模型进行去噪图像复原，获得最终去噪图像。

优选的，经小波变换后的所述图像的低频小波系数为u＝W^Tx，其中x是图像矩阵按列重排构成的列向量，W是Haar小波变换矩阵，u是将图像x变换到小波域中的系数；若待去噪的图像大小为N*N，则x是一个N²*1的列向量，W是一个N²*N²大小的矩阵，u是一个N²*1的列向量，其中前N²/4个数是图像在Haar小波域内的低频系数，后3N²/4个数分别是图像在小波域中的水平、垂直和斜向这三个方向的高频系数。

优选的，基于小波域系数在水平、垂直和斜向三个方向具有分段光滑函数的特点，在小波域建立全变差模型：其中，u为低频小波系数，z是受噪声污染后的图像y的小波域变换系数，即为满足上述模型最小化的u时，图像去噪处理后的复原图像的小波域的系数。

优选的，采用Bregman迭代算法对全变差模型进行求解。

优选的，所述基于迭代算法对上述建立的全变差模型进行求解，获得最优解的步骤包括

对全变差模型进行等价变形，获得无约束等价模型： $\hat{u}=\underset{u}{\arg \min }\frac{\mathrm{\λ}}{2}{\left|\right|z-u\left|\right|}_2^2+{\left|\right|d\left|\right|}_1+\frac{\mathrm{\γ}}{2}{\left|\right|d-\▿u-b\left|\right|}_2^2,$ 其中， $d=\▿u,$ b是一个和Bregman迭代算法相关的变量，惩罚因子γ是一个正常数；

对无约束等价模型进行交替方向方法求解，将其转换为关于u，d和b的三个优化模型，：即

$u^{k+1}=\underset{u}{\arg \min }\frac{\mathrm{\λ}}{2}{||u-z||}_2^2+\frac{\mathrm{\γ}}{2}{||\▿u-d^k+b^k||}_2^2,$

$d^{k+1}=\underset{d}{\arg \min }{||d||}_1+\frac{\mathrm{\γ}}{2}{||d-\▿u^{k+1}-b^k||}_2^2,$

$b^{k+1}=b^k+\▿u^{k+1}-d^{k+1};$

对上述u和d的优化模型作进一步整理，得到

$u^{k+1}=\frac{\left(\right(\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ})z-\▿(d^k-b^k)+{\mathrm{\Δu}}^k)}{\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ}},$

$d^{k+1}=\frac{\▿u^{k+1}+b^k}{\left|\▿u^{k+1}+b^k\right|}max\{\left|\▿u^{k+1}+b^k\right|-\frac{1}{\mathrm{\γ}},0\};$

基于迭代算法，对u^k+1，d^k+1和b^k+1反复迭代运算，直至重建图像的误差达到要求范围内，停止迭代。

一种基于全变差和小波变换的图像去噪系统，该系统包括

图像获取单元，获取待去噪的原始图像；

图像变换单元，对带去噪的原始图像进行Haar小波变换，获得该原始图像的低频小波系数以及水平、垂直和斜向这三个方向的高频系数；

建模单元，在小波域内建立全变差模型：

优化单元，对全变差模型进行等价变形，并对进行迭代优化；

图像复原模块，对优化后的模型进行去噪图像复原，获得最终去噪图像。

优选的，所述优化单元包括

模型变形模块，对全变差模型进行等价变形，获得关于u，d和b的三个优化模型：即

$u^{k+1}=\frac{\left(\right(\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ})z-\▿(d^k-b^k)+{\mathrm{\Δu}}^k)}{\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ}},$

$d^{k+1}=\frac{\▿u^{k+1}+b^k}{\left|\▿u^{k+1}+b^k\right|}max\{\left|\▿u^{k+1}+b^k\right|-\frac{1}{\mathrm{\γ}},0\},$

$b^{k+1}=b^k+\▿u^{k+1}-d^{k+1};$

迭代模块，根据上述三个优化模型进行迭代优化，直至重建图像的误差达到要求范围内，停止迭代，获得去噪图像。

本发明的有益效果如下：

本发明所述技术方案首次采用在小波域中直接建立全变差模型并求解的方法进行图像去噪，实现了两种图像处理方法的良好结合；能够更好的克服全变差方法引起的阶梯效应和小波阈值收缩引起的吉布斯现象，在去除噪声的同时有效的保持图像的边缘特征信息，为后续处理提供了良好的图像质量。

附图说明

下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细的说明；

图1示出本发明所述图像去噪方法的示意图；

图2示出本发明实施例中图像的对比图。

具体实施方式

为了更清楚地说明本发明，下面结合优选实施例和附图对本发明做进一步的说明。附图中相似的部件以相同的附图标记进行表示。本领域技术人员应当理解，下面所具体描述的内容是说明性的而非限制性的，不应以此限制本发明的保护范围。

本发明公开了一种基于全变差和小波变换的图像去噪方法，该方法的具体步骤如下：

步骤一：对待去噪的原始图像进行Haar小波变换。

将原始图像变换到小波域中的系数为：u＝W^Tx，其中x是图像矩阵按列重排构成的列向量，W是Haar小波变换矩阵，u是将图像x变换到小波域中的系数；若待去噪的图像大小为N*N，则x是一个N²*1的列向量，W是一个N²*N²大小的矩阵，u是一个N²*1的列向量，其中前N²/4个数是图像在Haar小波域内的低频系数，后3N²/4个数分别是图像在小波域中的水平、垂直和斜向这三个方向的高频系数。这里的Haar小波变换矩阵W还可以由其他小波变换矩阵或者Contourlet、Curvelet、Shearlet变换等变换矩阵所代替，以及其它相关的变换域方法。

步骤二：在小波域内建立全变差模型。

将原始图像域变换到小波域后，小波域系数在水平、垂直和斜向三个方向可以近似看做是分段光滑函数，因此可以在小波域建立全变差模型：

$\hat{u}=\underset{u}{\arg \min }\frac{\mathrm{\λ}}{2}{||z-u||}_2^2+{||\▿u||}_{TV}---\left(1\right)$

这里u是图像x变换到小波域中的系数，u＝W^Tx。z是受噪声污染后的图像y的小波域变换系数。满足模型最小化的u的值就是进行图像去噪处理过程后得到的复原图像在小波域的系数。

步骤三：求解该全变差模型。

在求解全变差模型时可以采用多种优化算法进行求解。本发明中采用Bregman迭代算法实现优化求解。

首先，将全变差模型等价变形。由于||u||_TV不可分离，则需通过变量代换将原模型变为可分离模型，令则原模型可变为：

$\begin{array}{ccc}\hat{u}=\underset{u}{\arg \min }\frac{\mathrm{\λ}}{2}{||z-u||}_2^2+{||d||}_1& s.t.& d=\▿x\end{array}---\left(2\right)$

将式(2)的有约束问题等价于式(3)的无约束问题：

$\hat{u}=\underset{u}{\arg \min }\frac{\mathrm{\λ}}{2}{||z-u||}_2^2+{||d||}_1+\frac{\mathrm{\γ}}{2}{||d-\▿u-b||}_2^2---\left(3\right)$

其中，b是一个和Bregman迭代算法相关的极小变量，惩罚因子γ是一个正常数。式(3)可以通过交替方向方法进行求解，每一步固定某个参数，优化另一个参数。则原模型可以转为分别优化u，d和b的三个优化模型：

$u^{k+1}=\underset{u}{\arg \min }\frac{\mathrm{\λ}}{2}{||u-z||}_2^2+\frac{\mathrm{\γ}}{2}{||\▿u-d^k+b^k||}_2^2---\left(4\right)$

$d^{k+1}=\underset{d}{\arg \min }{||d||}_1+\frac{\mathrm{\λ}}{2}{||d-\▿u^{k+1}-b^k||}_2^2---\left(5\right)$

$b^{k+1}=b^k+\▿u^{k+1}-d^{k+1}---\left(6\right)$

式(4)进一步可以整理为

$\mathrm{\λ}(u-z)+{\mathrm{\γ}\▿}^{*}(\▿u-d+b)=0---\left(7\right)$

这里表示后向差分离散梯度，令整理后得到：

$u^{k+1}=\frac{\left(\right(\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ})z-\▿(d^k-b^k)+{\mathrm{\Δu}}^k)}{\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ}}---\left(8\right)$

式(5)中，对d子问题进行解耦，得到具有封闭形式的解，如式(9)所示

$d^{k+1}=\frac{\▿u^{k+1}+b^k}{\left|\▿u^{k+1}+b^k\right|}max\left\{\right|\▿u^{k+1}+b^k|-\frac{1}{\mathrm{\γ}},0\}---\left(9\right)$

式(6)可直接实现对b的更新。

因此，在对模型求解的过程中，我们将求模型最优解等价为对式(8)、式(9)和式(6)反复迭代运算，直到重建图像和上一步重建图像的误差达到所要求的范围，迭代运算停止。

具体步骤如下：

迭代初始条件：k＝0时，b⁰＝0_M×1,d⁰＝0_M×1,z_M×1＝W^Ty,u⁰＝W^Tx，0表示全零向量。

迭代循环：

第一步，固定d和b，对u进行优化，得到u^k+1：

$u^{k+1}=\frac{\left(\right(\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ})z-\▿(d^k-b^k)+{\mathrm{\Δu}}^k)}{\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ}}$

第二步，固定u和b，对参数d进行优化，得到d^k+1：

$d^{k+1}=\frac{\▿u^{k+1}+b^k}{\left|\▿u^{k+1}+b^k\right|}max\{\left|\▿u^{k+1}+b^k\right|-\frac{1}{\mathrm{\γ}},0\}$

第三步，固定d和u，对参数b进行优化，得到b^k+1：

$b^{k+1}=b^k+\▿u^{k+1}-d^{k+1}$

第四步，将u变换回图像域，x^k+1＝Wu^k+1。如果||x^k+1-x^k||₂≥tol，那么置k＝k+1，并返回第一步重复进行；如果||x^k+1-x^k||₂≤tol，那么输出重建图像x^k+1并跳出循环。全部图像重建过程结束。

下面通过一组实施例对本发明做进一步说明：

选取Lena图像和peppers图像作为实验图像，图像大小为64*64，初始图像如图2-a和图2-f图像所示。

对初始图像中加入高斯白噪声，如图2-b和图2-g图像所示，含噪图像的信噪比为24dB。

对含噪的图2-b和图2-g图像y进行Haar小波变换后，建立本发明中的模型，迭代优化，有如下计算步骤：

迭代初始条件：k＝0时，x⁰＝0_4096×1,b⁰＝0_4096×1,d⁰＝0_4096×1,z_4096×1＝W^Ty,u⁰＝W^Tx，0表示全零向量。迭代中参数λ＝30，γ＝5，tol＝10^-3。

迭代循环：

第一步，固定d和b，对u进行优化，得到u^k+1：

$u^{k+1}=\frac{\left(\right(\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ})z-\▿(d^k-b^k)+{\mathrm{\Δu}}^k)}{\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ}}$

第二步，固定u和b，对参数d进行优化，得到d^k+1：

$d^{k+1}=\frac{\▿u^{k+1}+b^k}{\left|\▿u^{k+1}+b^k\right|}max\{\left|\▿u^{k+1}+b^k\right|-\frac{1}{\mathrm{\γ}},0\}$

第三步，固定d和u，对参数b进行优化，得到b^k+1：

$b^{k+1}=b^k+\▿u^{k+1}-d^{k+1}$

第四步，将u变换回图像域，x^k+1＝Wu^k+1。

如果||x^k+1-x^k||₂≥tol，那么置k＝k+1，并返回第一步重复进行；如果||x^k+1-x^k||₂≤tol或者迭代次数达到设定的最大迭代次数，那么输出重建图像x^k+1(x^k+1是将向量x^k+1重新排成64*64矩阵的图像矩阵)，并跳出循环。全部图像重建过程结束。

在本例中，最终迭代次数为7次，重建后的图像如图2-e和2-j图像所示。

如图2-a和图2-f所示，为本实例中选取的原清晰干净图像，图2-b和图2-g是加入高斯白噪声后的图像，含噪图像的信噪比为24dB。图2-c和图2-h图像是经过Haar小波分解后对高频部分进行阈值去噪后重建的图像，图2-d和2-i图像是直接经过全变差建模模型方法去噪后重建的图像，图2-e和图2-j图像是经过本专利中提出的算法，即将两种方法结合，在小波域内经过全变差建模模型方法去噪后重建的图像。

单纯用小波阈值方法去噪实验结果如图2-c和图2-h所示虽然噪声可以被去除，但是由于吉布斯效应的影响，图像还是比较模糊，比如图2-c眼睛和如图2-h辣椒附近的轮廓不清楚，边界不够清晰，去噪的效果不够好。单纯用全变差方法去噪实验结果如图2-d和图2-h所示，其去噪效果从视觉上看比小波去噪效果好，但是对边缘重建效果不够平滑，比如在图2-d中的右上方帽子凸起的部分，其边界过度就不够自然。尤其在噪声比较严重的时候，图像边缘将更加不光滑，呈现出阶梯状。本文提出的方法如2-e和图2-j所示，它在小波域内直接建立全变差模型，较好的结合了全变差方法和小波方法的优势，在抑制噪声的同时可以有效保持图像特征的边缘信息，边缘更加平滑。比如在图2-e中，右上方帽子凸起的部分其边界过渡比图2-d更加光滑自然。

综上所述，本发明所述技术方案首次采用在小波域中直接建立全变差模型并求解的方法进行图像去噪，实现了两种图像处理方法的良好结合；能够更好的克服全变差方法引起的阶梯效应和小波阈值收缩引起的吉布斯现象，在去除噪声的同时有效的保持图像的边缘特征信息，为后续处理提供了良好的图像质量。

显然，本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动，这里无法对所有的实施方式予以穷举，凡是属于本发明的技术方案所引伸出的显而易见的变化或变动仍处于本发明的保护范围之列。

在图2中还有用其他方法重建后的对比图像。

Claims (7)

1.一种基于全变差和小波变换的图像去噪方法，其特征在于，该方法的步骤包括

对获取的待去噪的原始图像进行Haar小波变换，获得该原始图像的低频小波系数以及水平、垂直和斜向这三个方向的高频系数；

在小波域内建立全变差模型；

基于迭代算法对上述建立的全变差模型进行求解，获得最优解；

对优化后的模型进行去噪图像复原，获得最终去噪图像。

2.根据权利要求1所述的图像去噪方法，其特征在于，经小波变换后的所述图像的低频小波系数为u＝W^Tx，其中x是图像矩阵按列重排构成的列向量，W是Haar小波变换矩阵，u是将图像x变换到小波域中的系数；若待去噪的图像大小为N*N，则x是一个N²*1的列向量，W是一个N²*N²大小的矩阵，u是一个N²*1的列向量，其中前N²/4个数是图像在Haar小波域内的低频系数，后3N²/4个数分别是图像在小波域中的水平、垂直和斜向这三个方向的高频系数。

3.根据权利要求1所述的图像去噪方法，其特征在于，基于小波域系数在水平、垂直和斜向三个方向具有分段光滑函数的特点，在小波域建立全变差模型：其中，u为低频小波系数，z是受噪声污染后的图像y的小波域变换系数，即为满足上述模型最小化时，复原图像的小波域系数。

4.根据权利要求1所述的图像去噪方法，其特征在于，采用Bregman迭代算法对全变差模型进行求解。

5.根据权利要求3所述的图像去噪方法，其特征在于，所述基于迭代算法对上述建立的全变差模型进行求解，获得最优解的步骤包括

对全变差模型进行等价变形，获得无约束等价模型：其中，d＝▽u，b是一个和Bregman迭代算法相关的极小变量，惩罚因子γ是一个正常数；

对无约束等价模型进行交替方向方法求解，将其转换为关于u，d和b的三个优化模型，即：

$u^{k+1}=\underset{u}{\arg \min }\frac{\mathrm{\λ}}{2}\left|\right|u-z|{|}_2^2+\frac{\mathrm{\γ}}{2}||\▿u-d^k+b^k|{|}_2^2,$

$d^{k+1}=\underset{d}{\mathrm{argmin}}\left|\right|d|{|}_1+\frac{\mathrm{\γ}}{2}||d-\▿u^{k+1}-b^k|{|}_2^2,$

b^k+1＝b^k+▽u^k+1-d^k+1；

对上述u和d的优化模型作进一步整理，得到

$u^{k+1}=\frac{\left(\right(\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ})z-\▿(d^k-b^k)+{\mathrm{\Δu}}^k)}{\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ}},$

$d^{k+1}=\frac{\▿u^{k+1}+b^k}{|\▿u^{k+1}+b^k|}max\left\{\right|\▿u^{k+1}+b^k|-\frac{1}{\mathrm{\γ}},0\};$

基于迭代算法，对u^k+1，d^k+1和b^k+1反复迭代运算，直至重建图像的误差达到要求范围内，停止迭代。

6.一种基于全变差和小波变换的图像去噪系统，其特征在于，该系统包括

图像获取单元，获取待去噪的原始图像；

图像变换单元，对带去噪的原始图像进行Haar小波变换，获得该原始图像的低频小波系数以及水平、垂直和斜向这三个方向的高频系数；

建模单元，在小波域内直接建立全变差模型：

优化单元，对全变差模型进行等价变形，并对进行迭代优化；

图像复原模块，对优化后的模型进行去噪图像复原，获得最终去噪图像。

7.根据权利要求6所述的图像去噪系统，其特征在于，所述优化单元包括

模型变形模块，对全变差模型进行等价变形，获得关于u，d和b的三个优化模型：即

$u^{k+1}=\frac{\left(\right(\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ})z-\▿(d^k-b^k)+{\mathrm{\Δu}}^k)}{\mathrm{\λ}/\mathrm{\γ}},$

$d^{k+1}=\frac{\▿u^{k+1}+b^k}{|\▿u^{k+1}+b^k|}max\left\{\right|\▿u^{k+1}+b^k|-\frac{1}{\mathrm{\γ}},0\},$

b^k+1＝b^k+▽u^k+1-d^k+1；

迭代模块，根据上述三个优化模型进行迭代优化，直至重建图像的误差达到要求范围内，停止迭代，获得去噪图像。