CN104965483B - 一种基于稳健设计的多轴数控机床加工精度保持性优化方法 - Google Patents

一种基于稳健设计的多轴数控机床加工精度保持性优化方法 Download PDF

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Abstract

一种基于稳健设计的多轴数控机床加工精度保持性优化方法，属于机床精度设计领域，具体涉及到多轴数控机床的空间误差的建模方法，机床的可靠性优化设计方法和稳健优化设计方法。本发明建立多轴数控机床空间误差模型，多失效模式下可靠度模型和敏感度模型，以及机床总成本模型。其过程是以最小敏感度和最低成本为目标，将可靠性作为约束，优化机床几何参数误差，提高机床加工精度保持性。该方法从根本上解决多轴数控机床几何误差获取问题和机床主要传输组件精度等级确定问题。

Description

一种基于稳健设计的多轴数控机床加工精度保持性优化方法
技术领域
本发明涉及一种多轴数控机床几何精度设计方法，尤其涉及一种加工精度保持性优化的多轴数控机床几何精度设计方法，属于机床加工精度设计领域。
背景技术
数控机床作为先进制造技术的基础设备，其发展直接关系着航空、航天、船舶、汽车、石化、建筑等支柱产业及能源、交通等基础产业，其质量好坏和可靠性水平的高低成为了制约国家制造业发展的重要瓶颈。在数控机床性能评估与优化设计过程中，其加工精度及其保持性具有重要作用。
数控机床的加工精度主要受到机床零部件和结构的空间几何误差、热误差、载荷误差、伺服误差等因素的影响。机床的几何误差是指由于机床设计、制造、装配等中的缺陷，使得机床中各组成环节或部件的实际几何参数和位置相对于理想几何参数和位置发生偏离。该误差一般与机床各个组成环节或部件的几何要素有关，是机床本身固有的误差。对数控机床误差源的大量研究表明，50％的加工误差都是由机床的几何误差引起的，这些误差包括定位误差，直线度误差，滚摆误差，颠摆误差，偏摆误差，以及运动轴之间的垂直度和平行度误差等，其相互耦合作用最终影响机床的加工精度。在短期内，几何误差通常被看作静态误差，但是在长期使用过程中，由于受磨损及环境变化等因素影响，几何误差随时间缓慢变化，即几何误差具有时变性，使得机床的加工精度发生退化。因此，如何保持机床加工精度是一个亟待解决的问题。本方法的重点是针对机床加工精度退化这一现象，提出一种通用的提高机床精度保持性方法。
结构机构可靠性反应了在规定的时间内和规定的条件下，结构机构完成规定能的能力。灵敏度分析则是建立在可靠性分析基础上，反应了不同的变量参数对结构机构可靠度的影响。机床的几何误差参数变量是一种不确定性的随机性变量，必须采用非确定性的研究方法来研究几何误差的随机概率特征及其对加工精度的影响，才能更真实地反映客观实际情况。可靠性理论和稳健理论是近年来新发展起来的两种处理工程随机问题最为有效的方法。其中，可靠性设计通过优化方法，在满足产品可靠性要求的前提下，寻求性能最优设计参数。而稳健设计则是通过不断调整设计参数及其容差，提高产品性能及性能保持能力(即稳健性)。由于上述两种设计方法对于提高机械产品性能和性能保持能力具有显著效果，因此发展前景非常广阔。但在过往设计过程中，可靠性设计方法和稳健设计方法多被独立地应用于产品设计的不同阶段，发挥各自的效力。如何将可靠度分析方法和可靠性敏感度分析方法引入机床几何精度设计中，辨识和分配加工精度保持性影响较大的几何误差项，是提高数控机床加工精度保持性的关键问题。
这一关键问题的解决方法分为两个步骤：
第一、根据几何误差基本变量间的关系，建立数控机床空间误差模型；
国内外学者在机床误差建模领域已经开展了多方面的研究，提出了不少建模方法。如几何法、误差矩阵法、二次关系法、机构学法、刚体运动学法、多体系统理论、POE模型等。上述这些研究为进行机床精度分析和误差检测、补偿提供了一定的基础，但是存在适用范围小、没有通用性、精度不高以及易产生人为推导误差等问题。齐次坐标变化矩阵(HTMs)由于具备复杂机械系统较强的概括能力和易于编程、高精度等优点广泛应用于机床误差建模。
第二、基于数控机床空间误差模型，提出一种数控机床加工精度保持性优化方法。
对数控机床加工精度保持性优化应同时考虑机床的可靠性和稳健性。可靠性设计反应了在规定的时间内和规定的条件下，结构机构完成规定能的能力，它通过优化方法，在满足产品可靠性要求的前提下，寻求性能最优设计参数。而稳健设计则是通过不断调整设计参数及其容差，提高产品性能及性能保持能力(即稳健性)。但是少量研究将可靠性设计方法和稳健设计方法同时应用到机械设计中，特别是机床的加工精度保持性优化设计还极为少见。此外，数控机床作为一个复杂的串联系统，存在多个失效模式，多失效模式下可靠性分析方法和敏感度分析方法也是本方法研究重点之一。
因此，本发明基于HTMs方法，建立了数控机床几何误差模型；将结构机构可靠度和可靠性灵敏度分析方法引入机床几何精度设计中，提出一种基于稳健设计的多轴数控机床加工精度保持性优化方法。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于稳健设计的数控机床加工精度保持性优化方法。通过建立机床的空间误差模型，分析各项几何误差的耦合作用对加工精度的影响程度，提出新的机床设计和改进理念，从根本上解决机床精度及加工精度保持性问题。
为实现上述目的，本发明采用的技术方案为一种通用的数控机床加工精度保持性优化方法，本发明通过HTMs方法建立机床的空间误差模型，并结合多失效模式下可靠性分析方法及敏感度分析方法，分析机床各项几何误差参数变量的对加工精度可靠性的影响程度，分配影响加工精度的关键性几何误差参数变量。
如图1所示，本方法的具体包括如下步骤：
步骤一以五轴数控机床为例，建立机床的空间误差模型。
采用HTMs方法建立机床的空间误差模型；
步骤1.1建立五轴数控机床几何误差模型
HTMs方法应用于建立机床几何误差模型，以获取机床不同部件间各项误差间的关系。文中以为XKH1600的五轴数控机床型号为例分析几何误差并建立几何误差模型。该五轴加工中心针对叶片进行加工，配置有三个直线轴X，Y，Z轴和两个旋转轴A轴，B轴，其三维模型如图2所示。五轴机床的几何误差，共有37项，包括定位误差，直线度误差，角度误差，垂直度误差和平行度误差，见附录1。理想运动齐次变换矩阵和实际运动变换矩阵如表1所示。
表1 理想运动齐次变换矩阵和实际运动变换矩阵
步骤1.2建立基于HTMs方法的五轴机床空间误差模型
大型五轴机床的拓扑结构部图如图3所示，多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型。在HTMs方法中也同样可以进行应用。
设刀尖点在刀具坐标系中的坐标表示为：
Pt＝[Ptx Pty Ptz 1]T (1)
工件成型点在工件坐标系的坐标表示为：
Pw＝[Pwx Pwy Pwz 1]T (2)
当机床做理想运动，即无误差运动，工件坐标系T与刀具坐标系W重合，可得HO,T＝HO,W，其中，HO,T表示由工件到基坐标系的齐次变换矩阵，HO,W表示由工件坐标系到基坐标系的齐次变换矩阵。
HO,XHX,ZHZ,BHB,T＝HO,YHY,AHA,W (3)
HA,W＝(HO,YHY,A)-1HO,XHX,ZHZ,BHB,T＝HA,YHY,OHO,XHX,ZHZ,BHB,T (4)
在实际加工过程中，刀具坐标系T会偏离工件坐标系W。因此，刀具坐标系到工件坐标系的误差齐次变换矩阵可表示为：
其中，公式6中的表达式可由表1得到，因此，这台五轴数控机床的误差模型如下：
E＝Pw-EHW,TPt (7)
式中，E表示机床几何误差，它包括三部分：Ex，Ey和Ez:
[Ex,Ey,Ez,1]T＝E·[0,0,0,1]T (8)
步骤二 提出的一种数控机床加工精度保持性优化方法
步骤2.1数控机床加工精度失效模式分析
先前获取了数控机床几何误差模型，添加精度要求后可获得数控机床的极限状态方程：
根据公式(9)，确定该五轴数控机床的失效模式。
为提高数控机床加工精度保持性，提出了同时考虑可靠性与稳健性的机床优化设计方法。分别用基于窄线法，AFOSM和Monte Carlo的可靠性分析方法验证提出方法的可行性和优越性。
步骤2.2基于高阶标准化技术的单失效模式可靠度及灵敏度分析
若功能函数Z＝g(x)，基本随机变量服从正态分布，令Z＝0(即极限状态方程)，该极限状态方程是失效状态和安全状态的分界面。基于HOMST的单失效模式可靠度、失效概率及灵敏度计算方法如下：
Pf4M＝Φ(-β4M)
(11)
步骤2.3数控机床加工精度可靠性分析及灵敏度分析
根据多轴数控机床失效间逻辑关系，是具有多个失效模式的串联系统。对于具有m个失效模式的串联系统,其失效概率可表示为如下形式：
P{f}＝P{(f1≤0)∪(f2≤0)∪...∪(fm≤0)} (13)
为计算公式(13),本方法采用相关度的概念来表示失效模式间的相关性。对于由两个失效模式组成的串联子系统,其失效概率可表示为
P{f12}＝(f1∪f2)＝P(f1)+P(f2)-P(f1∩f2)＝P(f1)+P(f2)-P(f1f2) (14)
设P(f1f2)＝λ12P(f2),λ12表示两失效模式的相关度。因此，P{f12}＝P(f1)+(1-λ12)P(f2)，进而推得包含多个串联失效模式的系统失效概率为:
在公式(14)中,
到此获得多个串联失效模式的系统失效概率，下一步就是计算可靠性敏感度。基于公式(15),可靠性敏感度可由求导获得：
式中，由公式(12)计算得到，
ψj＝δj(-βj+δj),
步骤2.3数控机床制造成本和实时质量损失成本建模
成本在机床设计与优化中意义重大，公差对于机械产品制造成本及质量损失成本有重大影响。
成本与公差间有着很强的联系，在获取其数学表达方式方面的研究众多，提出来各种模型用以估计制造成本和公差之间的关系。文中采用指数方法进行分析。由于机床具有多个尺寸特征，总的制造成本就是所有尺寸特征制造成本的总和：
其中，ai和bi是常量系数,xi是第i个尺寸特征的变化范围，n表示所有尺寸特征。
质量损失是公差设计另一个重要因素。因此，建立质量损失和公差之间相互关系的模型至关重要。考虑机械产品使用后性能随时间衰退，本方法介绍一种与尺寸公差相关的实时质量损失模型，如下：
式中， J0,J1,J2与公差无关，可独立优化。
与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：将可靠性设计理论与稳健设计理论同多轴数控机床加工精度相结合，建立多失效模式下基于HOMST的加工精度可靠度模型和加工精度灵敏度模型，提出一种基于稳健设计的多轴数控机床加工精度保持性优化方法，为获取多轴数控机床几何误差之间相互关系和定制机床主要传输组件精度等级提供依据。
附图说明
图1为本发明方法的实施流程图。
图2为该五轴加工中心的三维结构图。
图3为该五轴加工中心的多体系统图。
图4文中方法与AFOSM对比图
图5为机床各几何误差对加工精度的初始敏感度。
图6为第一次改进后机床各几何误差对加工精度的敏感度。
图7为第二次改进后机床各几何误差对加工精度的敏感度。
图8为第三次改进后机床各几何误差对加工精度的敏感度。
图9为第四次改进后机床各几何误差对加工精度的敏感度。
图10为第五次改进后机床各几何误差对加工精度的敏感度。
图11为失效概率的最大值和均值随改进次数的变化趋势。
图12为改进的几何误差对加工精度敏感度的变化趋势。
图13机床总成本的变化趋势。
具体实施方式
本发明以XKH1600五轴加工中心为例，对上述多轴数控机床几何误差分配方法进行验证。
具体包括如下步骤：
步骤一以五轴数控机床为例，建立机床的空间误差模型。
采用HTMs方法建立机床的空间误差模型；
步骤1.1建立五轴数控机床几何误差模型
HTMs方法应用于建立机床几何误差模型，以获取机床不同部件间各项误差间的关系。文中以为XKH1600的五轴数控机床型号为例分析几何误差并建立几何误差模型。该五轴加工中心针对叶片进行加工，配置有三个直线轴X，Y，Z轴和两个旋转轴A轴，B轴，其三维模型如图2所示。五轴机床的几何误差，共有37项，包括定位误差，直线度误差，角度误差，垂直度误差和平行度误差，见附录1。理想运动齐次变换矩阵和实际运动齐次变换矩阵如表2所示。
表2 理想运动齐次变换矩阵和实际运动齐次变换矩阵
步骤1.2建立基于HTMs方法的五轴机床空间误差模型
大型五轴机床的拓扑结构部图如图3所示，多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型。在HTMs方法中也同样可以进行应用。
设刀尖点在刀具坐标系中的坐标表示为：
Pt＝[Ptx Pty Ptz 1]T (19)
工件成型点在工件坐标系的坐标表示为：
Pw＝[Pwx Pwy Pwz 1]T (20)
当机床做理想运动，即无误差运动，工件坐标系T与刀具坐标系W重合，可得HO,T＝HO,W，其中，HO,T表示由工件到基坐标系的齐次变换矩阵，HO,W表示由工件坐标系到基坐标系的齐次变换矩阵。
HO,XHX,ZHZ,BHB,T＝HO,YHY,AHA,W (21)
HA,W＝(HO,YHY,A)-1HO,XHX,ZHZ,BHB,T＝HA,YHY,OHO,XHX,ZHZ,BHB,T (22)
在实际加工过程中，刀具坐标系T会偏离工件坐标系W。因此，刀具坐标系到工件坐标系的误差齐次变换矩阵可表示为：
其中，公式(6)中的表达式可由表1得到，因此，这台五轴数控机床的误差模型如下：
E＝Pw-EHW,TPt (25)
式中，E表示机床几何误差，它包括三部分：Ex，Ey和Ez:
[Ex,Ey,Ez,1]T＝E·[0,0,0,1]T (26)
步骤二 提出的一种数控机床加工精度保持性优化方法
步骤2.1数控机床加工精度保持性模型建立
本方法致力于多轴数控机床几何误差各误差源参数的确定。为证明本方法提出方法的可行性和优越性，窄线法和AFOSM用以验证与对比。先前获取了数控机床几何误差模型，添加精度要求后可获得数控机床的极限状态方程：先前获取了数控机床几何误差模型，添加精度要求后可获得数控机床的极限状态方程：
根据公式(27)，该五轴数控机床共有26种失效模式，包括6个单失效模式，12个双失效模式和8个三失效模式。
该数控机床的设计要求：位置误差小于0.03mm的失效概率不高于5％。并根据《GB/T 17421.1—1998机床检验通则第1部分：在无负荷或精加工条件下的机床几何精度》和《GB/T 17421.2—2000机床检验通则第2部分：数控轴线的定位精度和重复定位精度的确定》，可确定五轴联动数控加工中心的几何参数误差初始值，如表3所示。
表3 五轴数控机床几何误差初始值(mm)
为提高数控机床加工精度保持性，提出了同时考虑可靠性与稳健性的机床优化设计方法。分别用基于窄线法，AFOSM和Monte Carlo的可靠性分析方法验证提出方法的可行性和优越性。首先，在X轴选择5个点50,225,275,325,500，在Y轴也是5个点-125,-50,0,50,125。加工精度保持性优化模型如下：
根据约束条件，当max Pf(t)＞5％或者选取max Pf(t)的点计算确定需要优化的几何误差参数。当max Pf(t)＜Pfsmax且同时最小，优化过程结束。因此，稳健优化的目标就是同时使得可靠性敏感度和总成本最小。
步骤2.2基于高阶标准化技术的单失效模式可靠度及灵敏度分析
若功能函数Z＝g(x)，基本随机变量服从正态分布，令Z＝0(即极限状态方程)，该极限状态方程是失效状态和安全状态的分界面。若功能函数的前四阶功能矩已知，将其标准化:根据HOMST,得到标准正太随机变量为:
式中，α3g是Z的偏度，α4g是Z的峰度。考虑功能函数的前两阶矩可靠度指标和失效概率分别为
Pf2M＝P{z≤0}＝P{u≤-β2M}＝Φ(-β2M)，
其中，μg，α1g表示均值，σg，α2g表示标准差.因此，
所以，功能函数的前四阶矩可靠度指标和失效概率分别为：
Pf4M＝Φ(-β4M) (31)
可靠性敏感度分析可以提供基本变量的变化引起失效概率的信息，为工程设计提供有益的指导。敏感度分析与可靠性分析密切相关，基于不同的可靠性分析方法可以建立不同的可靠性敏感度分析方法。
在前文中得出功能函数的统计矩计算失效概率的方法，即采用功能函数的二阶矩，三阶矩和四阶矩获取失效概率。由于二阶矩和基于HOMST的四阶矩法比较容易实现，而且四阶矩方法的精度更高，因此可以将二阶矩和四阶矩的应用范围拓展到可靠性灵敏度分析领域。
可靠性敏感度一般定义为失效概率Pf对基本随机变量x＝(x1,x2,...,xn)的分布参数(i＝1,2,...,n；k＝1,2,...,mi,mi第i个变量的分布参数的总个数)的偏导数。根据前面基于HOMST的失效概率计算方法，由失效概率与可靠度指标的关系，以及可靠度指标与极限状态函数的关系，采用函数求导法推出二阶矩敏感度公式和四阶矩敏感度公式，如：
其中，
，计算涉及功能函数各阶矩αkg(k＝1,...,4)对基本变量分布参数偏导数如下：
上式中,对工程设计中的常用密度函数解析给出。数学期望E只需按照估计功能函数均值α1g的公式进行即可。因此，得到基于HOMST的四阶矩敏感度计算方法。
步骤2.3数控机床加工精度可靠性分析及灵敏度分析
根据多轴数控机床失效间逻辑关系，是具有多个失效模式的串联系统。对于具有m个失效模式的串联系统,其失效概率可表示为如下形式：
P{f}＝P{(f1≤0)∪(f2≤0)∪...∪(fm≤0)} (34)
为计算公式(33),本文采用相关度的概念来表示失效模式间的相关性。对于由两个失效模式组成的串联子系统,其失效概率可表示为
P{f12}＝(f1∪f2)＝P(f1)+P(f2)-P(f1∩f2)＝P(f1)+P(f2)-P(f1f2) (35)
设P(f1f2)＝λ12P(f2),λ12表示两失效模式的相关度。因此，P{f12}＝P(f1)+(1-λ12)P(f2)，进而可以推得包含多个串联失效模式的系统失效概率为:
在公式(22)中,
到此获得多个串联失效模式的系统失效概率，下一步就是计算可靠性敏感度。基于公式(35),可靠性敏感度可由求导获得:
式中，由公式(33)计算得到，
步骤2.3数控机床制造成本和实时质量损失成本建模
成本在机床设计与优化中意义重大，公差对于机械产品制造成本及质量损失成本有重大影响。公差对于机械产品制造成本及质量损失成本有重大影响。公差设计过宽，导致产品质量损失过大而失效；设计过窄使得制造成本过高。显然，公差成为平衡制造成本和质量损失的枢纽，尺寸公差的优化分配通常是上述两因素的平衡。
成本与公差间有着很强的联系，在获取其数学表达方式方面的研究众多，提出来各种模型用以估计制造成本和公差之间的关系。文中采用指数方法进行分析。由于机床具有多个尺寸特征，总的制造成本就是所有尺寸特征制造成本的总和：
其中，ai和bi是常量系数,xi是第i个尺寸特征的变化范围，n表示所有尺寸特征。
质量损失是公差设计另一个重要因素。因此，建立质量损失和公差之间相互关系的模型至关重要。考虑机械产品使用后性能随时间衰退，本方法介绍一种与尺寸公差相关的实时质量损失模型。
产品具有多个特性，得到综合质量损失函数以估计产品质量损失，如下：
其中，Z＝(z1,z2,...,zn)代表质量特征矩阵，M＝(M1,M2,...,Mn)T代表质量特征的目标矩阵,A是一个n×n正定矩阵损失系数,n质量特征的总个数,zi＝mi且zj＝mj
若产品特征均值偏离其目标值具有相关特性的批量产品的预期质量损失为:
式中，是特征zi的方差,是特征zi和zj的协方差。令ξi表示质量特征zi的偏度,也就是质量特征zi的均值与其目标mi的差值,那么公式[40]可表示为:
然而，机械产品使用后性能随时间衰退。也就是说，质量特征z和质量损失L(z)都是时间的函数，表示为z(t)和L(z:t)。因此，E[L(z:t)]表示为:
实时质量损失PWL表示为:
其中，T产品使用时间，r顾客使用率。
因此，实时质量损失PWL表示为部件尺寸公差的函数，即，
式中，
J0,J1,J2与公差无关，可独立优化。
表3显示文中方法计算得出的失效概率在窄线法允许的范围内，证明了该方法的可行性。为证明其优越性，文中以Monte Carlo作为计算失效概率的标准，分别求出AFOSM和文中方法相对Monte Carlo的误差并作图，如图4所示。由图4可知，文中方法计算得到的误差值及均值(2.306<2.439)不大于由AFOSM法得出的误差值和均值，所以，本文所提方法的优越性得证。此外，由于机床初始可靠度值不满足设计要求(最大失效概率和平均失效概率分别不大于5％和3％)，因此，有必要根据图5显示的可靠性敏感度对表2中的参数进行优化。从图5到图10可以看出几何误差参数Δβxz，Δαyz，Δαy，Δγx，Δβx，Δβy具有最大的敏感度，因此被作为优化对象进行改进，同时计算每次改进后的机床可靠度和总成本，如表4所示。
表4 该五轴机床初始失效概率
表5 改进的误差和失效概率
图11说明每次对参数误差的改进对失效概率的影响，显然，每次改进对失效概率的降低有重要作用，但是一定的改进次数后，继续优化参数误差对降低失效概率作用不明显。图12说明每次对参数误差的改进对敏感度的影响，不难发现，随着改进次数的增加，参数误差间敏感度数值间隔缩小，原因是敏感度分析的目标在于降低具有最高敏感度的误差项。图13说明了成本与参数误差的平衡关系。当精度要求变高，成本增加，当精度要求过高，成本急剧升高。因此，机床的优化设计不需要最高的精度，所以，以改进5次最佳，不但能够满足性能要求，同时成本也是最优。
由于几何参数误差随时间变化引起加工精度衰退，如何保持机床的加工精度至关重要。为解决机床精度保持性这一问题，本方法通过识别和优化对加工精度敏感度较大的参数误差，使得机床的可靠性和稳健性得到提高，进而提高加工精度保持性。
为证明优化结果的有效性，选用了一台持续加工不同材料不同形状尺寸工件的五轴机床作为分析对象进行了验证。该床在40周内(分为5个时间段：第1-8周(优化前)、第9-16周(优化后)、第17-24周(优化后)、第25-32周(优化后)和第33-40周(优化后))持续加工了人头模型(铝)和叶片(45钢)。加工前，运用九线法，使用型号为RENISHAW(XL80)的激光干涉仪测量几何参数误差。在测试中，选择人头和叶片作为工件每天分别加工4件，在测试过程中记录工件的失效件数，不同工件在不同时间段的失效概率测试结果如表5所示。从表5不难发现，优化前最大失效概率为5.42％，高于设计要求5％，平均失效概率为4.17％，高于设计要求3％；优化后最大失效概率和平均失效概率分别为3.75％和2.71％，均达到机床设计要求。然而，从第9周到第40周，平均失效概率有缓慢变大的趋势，即加工精度呈现微小的衰退，造成这一现象的因素之一是几何参数误差随时间变化。虽然加工精度有微小的衰退，但在测试时间段内，失效概率达到机床的设计要求，反映了机床的可靠性和稳健性得到了提高，从实验的角度证实运用本方法能够提高机床加工精度保持性，具有通用性。
表6 几何参数误差优化前后各时间段失效概率
附录1
五轴数控机床几何误差符号及意义 (单位：mm)

Claims (1)

1.一种基于稳健设计的多轴数控机床加工精度保持性优化方法，其特征在于：多轴数控机床为XKH1600五轴加工中心，对多轴数控机床几何误差分配方法进行验证；
具体包括如下步骤：
步骤一 以五轴数控机床为例，建立机床的空间误差模型；
采用HTMs方法建立机床的空间误差模型；
步骤1.1建立五轴数控机床几何误差模型
HTMs方法应用于建立机床几何误差模型，以获取机床不同部件间各项误差间的关系；文中以为XKH1600的五轴数控机床型号为例分析几何误差并建立几何误差模型；该五轴加工中心针对叶片进行加工，配置有三个直线轴X，Y，Z轴和两个旋转轴A轴，B轴；五轴机床的几何误差，共有37项；
五轴数控机床几何误差符号及意义 (单位：mm)
理想运动齐次变换矩阵和实际运动齐次变换矩阵如表2所示；
表2 理想运动齐次变换矩阵和实际运动齐次变换矩阵
步骤1.2建立基于HTMs方法的五轴机床空间误差模型
大型五轴机床的拓扑结构部图中，多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型；在HTMs方法中也同样可以进行应用；
设刀尖点在刀具坐标系中的坐标表示为：
Pt＝[Ptx Pty Ptz 1]T (19)
工件成型点在工件坐标系的坐标表示为：
Pw＝[Pwx Pwy Pwz 1]T (20)
当机床做理想运动，即无误差运动，工件坐标系T与刀具坐标系W重合，可得HO,T＝HO,W，其中，HO,T表示由工件到基坐标系的齐次变换矩阵，HO,W表示由工件坐标系到基坐标系的齐次变换矩阵；
HO,XHX,ZHZ,BHB,T＝HO,YHY,AHA,W (21)
HA,W＝(HO,YHY,A)-1HO,XHX,ZHZ,BHB,T＝HA,YHY,OHO,XHX,ZHZ,BHB,T (22)
<mrow> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>O</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在实际加工过程中，刀具坐标系T会偏离工件坐标系W；因此，刀具坐标系到工件坐标系的误差齐次变换矩阵可表示为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mi>E</mi> </mmultiscripts> <mrow> <mi>W</mi> <mo>,</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mi>E</mi> </mmultiscripts> <mrow> <mi>W</mi> <mo>,</mo> <mi>O</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mi>E</mi> </mmultiscripts> <mrow> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>W</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> </mrow> <mi>P</mi> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mrow> <mi>W</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> </mrow> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> <mi>P</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> <mi>s</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>O</mi> </mrow> <mi>p</mi> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mrow> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>O</mi> </mrow> <mi>p</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mrow> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>O</mi> </mrow> <mi>s</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>X</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mrow> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>X</mi> </mrow> <mi>s</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> </mrow> <mi>p</mi> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mrow> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> </mrow> <mi>s</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mi>p</mi> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mrow> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mi>s</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>T</mi> </mrow> <mi>p</mi> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mmultiscripts> <mi>H</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>T</mi> </mrow> <mi>p</mi> <mi>e</mi> </mmultiscripts> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，公式(24)中的表达式可由表1得到，因此，这台五轴数控机床的误差模型如下：
E＝Pw-EHW,TPt (25)
式中，E表示机床几何误差，它包括三部分：Ex，Ey和Ez:
[Ex,Ey,Ez,1]T＝E·[0,0,0,1]T (26)
步骤二 提出的一种数控机床加工精度保持性优化方法
步骤2.1数控机床加工精度保持性模型建立
本方法致力于多轴数控机床几何误差各误差源参数的确定；为证明本方法提出方法的可行性和优越性，窄线法和AFOSM用以验证与对比；先前获取了数控机床几何误差模型，添加精度要求后可获得数控机床的极限状态方程：先前获取了数控机床几何误差模型，添加精度要求后可获得数控机床的极限状态方程：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>X</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>12</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>Y</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>22</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>32</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
根据公式(19)，该五轴数控机床共有26种失效模式，包括6个单失效模式，12个双失效模式和8个三失效模式；
该数控机床的设计要求：位置误差小于0.03mm的失效概率不高于5％；并根据《GB/T17421.1—1998机床检验通则第1部分：在无负荷或精加工条件下的机床几何精度》和《GB/T17421.2—2000机床检验通则第2部分：数控轴线的定位精度和重复定位精度的确定》，可确定五轴联动数控加工中心的几何参数误差初始值，如表3所示；
表3 五轴数控机床几何误差初始值(mm)
为提高数控机床加工精度保持性，提出了同时考虑可靠性与稳健性的机床优化设计方法；分别用基于窄线法，AFOSM和Monte Carlo的可靠性分析方法验证提出方法的可行性和优越性；首先，在X轴选择5个点50,225,275,325,500，在Y轴也是5个点-125,-50,0,50,125；加工精度保持性优化模型如下：
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根据约束条件，当maxPf(t)＞5％或者选取maxPf(t)的点计算确定需要优化的几何误差参数；当maxPf(t)＜Pfsmax且同时CM(x)+PWL(▽)最小，优化过程结束；因此，稳健优化的目标就是同时使得可靠性敏感度和总成本[CM(x)及]最小；
步骤2.2基于高阶标准化技术的单失效模式可靠度及灵敏度分析
若功能函数Z＝g(x)，基本随机变量服从正态分布，令Z＝0(即极限状态方程)，该极限状态方程是失效状态和安全状态的分界面；若功能函数的前四阶功能矩已知，将其标准化:根据HOMST,得到标准正态随机变量为:
<mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>u</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mi>u</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>9</mn> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，α3g是Z的偏度，α4g是Z的峰度；考虑功能函数的前两阶矩可靠度指标和失效概率分别为
<mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>g</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>g</mi> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo>{</mo> <mi>z</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo>{</mo> <mi>u</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
其中，μg，α1g表示均值，σg，α2g表示标准差.因此，
<mrow> <mi>P</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>u</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mo>{</mo> <mi>u</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>9</mn> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>}</mo> <mo>,</mo> </mrow>
所以，功能函数的前四阶矩可靠度指标和失效概率分别为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>9</mn> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Pf4M＝Φ(-β4M) (31)
可靠性敏感度分析可以提供基本变量的变化引起失效概率的信息，为工程设计提供有益的指导；敏感度分析与可靠性分析密切相关，基于不同的可靠性分析方法可以建立不同的可靠性敏感度分析方法；
在前文中得出功能函数的统计矩计算失效概率的方法，即采用功能函数的二阶矩，三阶矩和四阶矩获取失效概率；由于二阶矩和基于HOMST的四阶矩法比较容易实现，而且四阶矩方法的精度更高，因此可以将二阶矩和四阶矩的应用范围拓展到可靠性灵敏度分析领域；
可靠性敏感度一般定义为失效概率Pf对基本随机变量x＝(x1,x2,...,xn)的分布参数的偏导数，i＝1,2,...,n；k＝1,2,...,mi,mi第i个变量的分布参数的总个数；根据前面基于HOMST的失效概率计算方法，由失效概率与可靠度指标的关系，以及可靠度指标与极限状态函数的关系，采用函数求导法推出二阶矩敏感度公式和四阶矩敏感度公式，如：
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中，
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mfrac> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>M</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>3</mn> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
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计算涉及功能函数各阶矩αkg(k＝1,...,4)对基本变量分布参数偏导数如下：
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上式中,对工程设计中的常用密度函数解析给出；数学期望E只需按照估计功能函数均值α1g的公式进行即可；因此，得到基于HOMST的四阶矩敏感度计算方法；
步骤2.3数控机床加工精度可靠性分析及灵敏度分析
根据多轴数控机床失效间逻辑关系，是具有多个失效模式的串联系统；对于具有m个失效模式的串联系统,其失效概率可表示为如下形式：
P{f}＝P{(f1≤0)∪(f2≤0)∪...∪(fm≤0)} (34)
为计算公式(34),本文采用相关度的概念来表示失效模式间的相关性；对于由两个失效模式组成的串联子系统,其失效概率可表示为
P{f12}＝(f1∪f2)＝P(f1)+P(f2)-P(f1∩f2)＝P(f1)+P(f2)-P(f1f2) (35)
设P(f1f2)＝λ12P(f2),λ12表示两失效模式的相关度；因此，P{f12}＝P(f1)+(1-λ12)P(f2)，进而可以推得包含多个串联失效模式的系统失效概率为:
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>12...</mn> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>12...</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>123</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>...</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>12...</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在公式(22)中,
到此获得多个串联失效模式的系统失效概率，下一步就是计算可靠性敏感度；基于公式(36),可靠性敏感度可由求导获得:
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>12</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>123</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>123</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>...</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>12...</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>12...</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，由公式(33)计算得到，
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>
步骤2.4数控机床制造成本和实时质量损失成本建模
成本在机床设计与优化中意义重大，公差对于机械产品制造成本及质量损失成本有重大影响；公差对于机械产品制造成本及质量损失成本有重大影响；公差设计过宽，导致产品质量损失过大而失效；设计过窄使得制造成本过高；显然，公差成为平衡制造成本和质量损失的枢纽，尺寸公差的优化分配通常是上述两因素的平衡；
成本与公差间有着很强的联系，在获取其数学表达方式方面的研究众多，提出来各种模型用以估计制造成本和公差之间的关系；文中采用指数方法进行分析；由于机床具有多个尺寸特征，总的制造成本就是所有尺寸特征制造成本的总和：
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mi>M</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ai和bi是常量系数,xi是第i个尺寸特征的变化范围，n表示所有尺寸特征；
质量损失是公差设计另一个重要因素；因此，建立质量损失和公差之间相互关系的模型至关重要；考虑机械产品使用后性能随时间衰退，本方法介绍一种与尺寸公差相关的实时质量损失模型；
产品具有多个特性，得到综合质量损失函数以估计产品质量损失，如下：
<mrow> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>-</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>-</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Z＝(z1,z2,...,zn)代表质量特征矩阵，M＝(M1,M2,...,Mn)T代表质量特征的目标矩阵,A是一个n×n正定矩阵损失系数,n质量特征的总个数,zi＝mi且zj＝mj
若产品特征均值偏离其目标值具有相关特性的批量产品的预期质量损失为:
<mrow> <mi>E</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>40</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，是特征zi的方差,是特征zi和zj的协方差；令ξi表示质量特征zi的偏度,也就是质量特征zi的均值与其目标mi的差值,那么公式[40]可表示为:
<mrow> <mi>E</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>41</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
然而，机械产品使用后性能随时间衰退；也就是说，质量特征z和质量损失L(z)都是时间的函数，表示为z(t)和L(z:t)；因此，E[L(z:t)]表示为:
<mrow> <mi>E</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>:</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>
实时质量损失PWL表示为:
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>E</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>:</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>42</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，T产品使用时间，r顾客使用率；
<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
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因此，实时质量损失PWL表示为部件尺寸公差的函数，即，
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式中，
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J0,J1,J2与公差无关，可独立优化。
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