CN104899457A - 基于改进无偏gm(1,1)模型的卫星数据预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进无偏GM(1,1)模型的卫星数据预测方法，用于解决现有卫星数据预测方法预测结果精确度差的技术问题。技术方案是首先对卫星原始遥测数据的预处理，进行卫星原始遥测数据的缺失位补齐和野值数据剔除；其次对预处理后的数据进行归一化处理和平滑性处理；然后建立无偏GM(1,1)模型，并将上述步骤处理的数据作为输入数据进行预测，将获取的新预测结果作为信息带入无偏GM(1,1)模型对数据进行更新预测，最后将得到的预测数据进行反平滑处理和反归一化处理得到最终的预测结果。该方法通过对卫星遥测数据预处理，利用新获得的数据对输入无偏GM(1,1)模型的数据进行更新，获取了更精确的预测结果。

Description

基于改进无偏GM(1,1)模型的卫星数据预测方法

技术领域

本发明涉及一种卫星数据预测方法，特别是涉及一种基于改进无偏GM(1,1)模型的卫星数据预测方法。

背景技术

采用灰色GM(1，1)模型的预测方法是一种基于贫信息的不确定因素系统预测方法，它利用部分数据进行建模，提取系统的有价值信息，对未知部分数据进行预测。但在利用传统GM(1，1)模型进行预测时，受到其模型原理的限制，要求原始数据非负且按指数型规律变化的平稳数据，因此传统GM(1，1)模型对震荡型数据的预测结果精度较差，同时由于传统GM(1，1)模型建模过程存在偏差，因此需要提出一种无偏GM(1，1)模型消除建模偏差使预测结果更加精确。

对卫星数据的预测主要基于卫星历史遥测数据，利用卫星遥测数据可对卫星的状态进行监测，使人们能够及时对卫星进行维护，从而减少卫星故障的发生频率和降低故障严重等级。但是卫星历史遥测数据变化范围广，受外界环境影响较大，数据中包含噪声较多，因此在使用灰色GM(1，1)模型进行预测时应针对卫星遥测数据特点进行优化和改进。

目前对基于灰色GM(1，1)模型的预测方法优化和改进主要体现在对原始数据序列生成优化处理和模型背景值的改进两个方面。刘思峰在《冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子》(华中理工大学学报，1997，25(1)：25～27.)一文中提出了弱化序列冲击扰动的缓冲算子概念，提高了预测结果的精度；李翠凤在《基于函数cot x变换的灰色建模方法》(系统工程理论与实践，2005，23(3):110～114.)一文中提出利用函数cot(x)变换对原始数据急性型标准化处理进一步提高原始数据的光滑度；王钟羡在《GM(1,1)改进模型及其应用》(数学的实践与认识，2003，33(9):20～25.)一文中利用模型原始数据的1-AGO的指数律，通过积分方法导出一个精确的背景值计算表达式，并给出了发展系数a不同时的GM(1,1)改进新模型的适用范围和多步预测精度；吉培荣在《无偏灰色预测模型》(系统工程与电子技术，2000，6(22)：6～7.)一文中提出了一种去除传统GM(1,1)模型误差的无偏GM(1,1)模型，提高了在传统GM(1,1)输入数据背景下的预测精度。

发明内容

为了克服现有卫星数据预测方法预测结果精确度差的不足，本发明提供一种基于改进无偏GM(1,1)模型的卫星数据预测方法。该方法首先对卫星原始遥测数据的预处理，预处理过程主要解决卫星原始遥测数据的缺失位补齐问题和野值数据剔除问题；其次对预处理后的数据进行归一化处理和平滑性处理，使数据满足应用GM(1,1)模型的要求；然后建立无偏GM(1,1)模型，并将上述步骤处理的数据作为输入数据进行预测，将获取的新预测结果作为信息带入无偏GM(1,1)模型对数据进行更新预测，最后将得到的预测数据进行反平滑处理和反归一化处理得到最终的预测结果。该方法通过卫星遥测数据预处理，对历史卫星遥测数据中存在的数据缺失位进行补齐并对野值数据点进行剔除，实现卫星遥测数据的平滑处理提高输入数据的平滑度为使用无偏GM(1,1)模型做准备，通过建立无偏GM(1,1)预测模型对处理后的数据进行预测得到较传统GM(1,1)模型更精确的预测结果，利用新获得的数据对输入无偏GM(1,1)模型的数据进行更新，获取了更精确的预测结果。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于改进无偏GM(1,1)模型的卫星数据预测方法，其特点是采用以下步骤：

步骤一、对采集到时长为n的卫星原始遥测数据进行预处理，包括对遥测数据内数据缺失位补齐和野值数据剔除。

对数据缺失位的处理步骤如下：

首先判断数据缺失类型，数据缺失类型包括三种情况：

①完全随机缺失：数据的缺失与不完全变量以及完全变量都是无关的；

②随机缺失：数据的缺失不是完全随机的，数据的缺失只依赖于完全变量；

③完全非随机缺失：数据的缺失依赖于不完全变量自身。

对缺失数据填补的处理步骤如下：

①完全随机缺失情况采用平均值填补法，利用已有数据的平均值对数据进行补充。

②随机缺失情况采用期望值最大化法。假设模型对于完整的样本是正确的，那么通过观测数据的编辑分布，对未知参数进行极大似然估计。

③完全非随机缺失情况采用插值法，参考已有数据的特点采用相应的插值方法对缺失数据进行填补。

使用数据缺失点x_L附近三至四个数据的平均值进行缺失值补齐，下式为临近四点补齐。

$x_L=\frac{x_{L-2}+x_{L-1}+x_{L+1}+x_{L+2}}{4}$

对数据中野值点的处理步骤如下：

首先对数据野值点进行判断，数据野值点的定义为：若设X＝{x₀₁,x₀₂,…,x_0n}为原始输入数据，X中严重偏离大部分数据所呈现变化趋势的小部分数据点称为野值点。

对数据野值点判断，采用莱特准则：根据高斯误差理论，当数据X＝{x₀₁,x₀₂,…,x_0n}服从正态分布时，残差落在[-3σ,3σ]区间的概率超过99.74％，落在此区间外的概率只有不到0.3％，因此，残差落于该区域之外的测量值为异常值。

P(|x_0i-μ|>3σ)≤0.0026

$\mathrm{\μ}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{0i}$

a_i＝x_0i-μ

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{1}{(n-1)}(\mathrm{\Σ}{\left(x_{0i}\right)}^2-\left(\mathrm{\Σ}{x_{0i}}^2\right)/n)}$

当|a_i|>3σ时，该点为野值点。

步骤二、根据灰色GM(1，1)模型对数据非负性要求，采用极差算法对数据进行归一化处理，公式如下：

$x_i=\frac{x_{0i}\left(k\right)-\min \left(x_{0i}\right)}{\max \left(x_{0i}\right)-\min \left(x_{0i}\right)}$

式中x_0i为原始输入数据，通过上式归一化处理将数据x_i转化为[0,1]区间内。

求取输入数据x_i的最大值和最小值之差，记为D，求取输入数据与最大值与最小值间的偏移度B(i)＝(x_i-D)/D，利用下式增强数据平滑性和趋势性：

$y_i=x_i+(i-1)D+\stackrel{\‾}{B}\left(i\right)$

引入修正因子α对D进行修正，则得到数据趋势性增强公式：

$y_i=x_i+(i-1)\mathrm{\αD}+\stackrel{\‾}{B}\left(i\right)$

经化简得公式：

$y_i=(1-\frac{1}{\mathrm{\αD}})x_i+(i-1)\mathrm{\αD}+2$

式中x_i为输入数据，D为最大值和最小值之差，为补偿因子，α∈[0,1]为修正因子，通过上式变换使输入数据称为具有强趋势性和光滑性序列。

步骤三、利用步骤二所得处理数据y_i建立无偏GM(1,1)预测模型；对原始数据序列累加对原始数据序列通过求解微分方程得到。式中，通过求解微分方程得到：

$\frac{{\mathrm{dy}}_k^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ay}}_k^{\left(1\right)}=u$

确定数据矩阵B和Y_n

$B=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}[{y_1}^{\left(1\right)}+{y_2}^{\left(1\right)}]& 1\\ -\frac{1}{2}[{y_2}^{\left(1\right)}+{y_3}^{\left(1\right)}]& 1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ -\frac{1}{2}[{y_{n-1}}^{\left(1\right)}+{y_n}^{\left(1\right)}]& 1\end{array}\right],Y_n=\left[\begin{array}{c}{y}_2^{\left(0\right)}\\ y_3^{\left(0\right)}\\ .\\ .\\ .\\ y_n^{\left(0\right)}\end{array}\right]$

最小二乘法求参数a和u

$\left[\begin{array}{c}a\\ u\end{array}\right]={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{Y}_n$

经典GM(1,1)模型计由差分方程向微分方程转化时存在跳跃导致的误差，采用无偏灰色GM(1,1)模型进行预测，其中参数b和A为：

$b=\ln \frac{2-a}{2+a},A=\frac{2u}{2+a}$

建立预测模型

${\hat{y}}_1^{\left(0\right)}=y_1^{\left(0\right)},{\hat{y}}_{k+1}^{\left(0\right)}={\mathrm{Ae}}^{\mathrm{bk}}$

当k≥n时，为预测结果。

步骤四、对数据进行更新处理，输入数据为得到预测数据为更新输入数据为得到预测数据如此进行迭代预测。

本发明的有益效果是：该方法首先对卫星原始遥测数据的预处理，预处理过程主要解决卫星原始遥测数据的缺失位补齐问题和野值数据剔除问题；其次对预处理后的数据进行归一化处理和平滑性处理，使数据满足应用GM(1,1)模型的要求；然后建立无偏GM(1,1)模型，并将上述步骤处理的数据作为输入数据进行预测，将获取的新预测结果作为信息带入无偏GM(1,1)模型对数据进行更新预测，最后将得到的预测数据进行反平滑处理和反归一化处理得到最终的预测结果。该方法通过卫星遥测数据预处理，对历史卫星遥测数据中存在的数据缺失位进行补齐并对野值数据点进行剔除，实现卫星遥测数据的平滑处理提高输入数据的平滑度为使用无偏GM(1,1)模型做准备，通过建立无偏GM(1,1)预测模型对处理后的数据进行预测得到较传统GM(1,1)模型更精确的预测结果，利用新获得的数据对输入无偏GM(1,1)模型的数据进行更新，获取了更精确的预测结果。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明基于改进无偏GM(1,1)模型的卫星数据预测方法的流程图。

图2是图1中数据预处理的流程图。

图3是本发明方法中数据趋势性增强处理的流程图。

图4是本发明方法中野值数据剔除示意图。

图5是本发明方法中利用数据补齐后数据示意图。

图6是本发明方法中采用GM(1,1)模型预测结果示意图。

具体实施方式

参照图1-6。本发明基于改进无偏GM(1,1)模型的卫星数据预测方法具体步骤如下：

步骤一、对采集到时长为n的卫星原始遥测数据进行预处理，主要包括对遥测数据内数据缺失位补齐和野值数据剔除。

对数据缺失位的处理方法步骤如下：

首先判断数据缺失类型，数据缺失类型主要包括三种情况：

①完全随机缺失：数据的缺失与不完全变量以及完全变量都是无关的；

②随机缺失：数据的缺失不是完全随机的，数据的缺失只依赖于完全变量；

③完全非随机缺失：数据的缺失依赖于不完全变量自身。

对缺失数据填补可采用如下方法：

①完全随机缺失情况采用平均值填补法，利用已有数据的平均值对数据进行补充，此种方法计算简便，但是存在填补值与实际值偏差较大的问题。

②随机缺失情况采用期望值最大化法。假设模型对于完整的样本是正确的，那么通过观测数据的编辑分布，对未知参数进行极大似然估计。

③完全非随机缺失情况采用插值法，参考已有数据的特点采用相应的插值方法对缺失数据进行填补。

本发明对卫星数据进行预测因此采用一种临近点填补法对数据进行填补，即使用数据缺失点x_L即附近三至四个数据的平均值进行缺失值补齐，下式为临近四点补齐。

$x_L=\frac{x_{L-2}+x_{L-1}+x_{L+1}+x_{L+2}}{4}$

对数据中野值点的处理方法如下：

首先对数据野值点进行判断，数据野值点的定义为：若设X＝{x₀₁,x₀₂,…,x_0n}为原始输入数据，X中严重偏离大部分数据所呈现变化趋势的小部分数据点称为野值点。

对数据野值点判断，采用莱特准则：根据高斯误差理论，当数据X＝{x₀₁,x₀₂,…,x_0n}服从正态分布时，残差落在[-3σ,3σ]区间的概率超过99.74％，落在此区间外的概率只有不到0.3％，因此，可以认为残差落于该区域之外的测量值为异常值。

P(|x_0i-μ|>3σ)≤0.0026

$\mathrm{\μ}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{0i}$

a_i＝x_0i-μ

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{1}{(n-1)}(\mathrm{\Σ}{\left(x_{0i}\right)}^2-\left(\mathrm{\Σ}{x_{0i}}^2\right)/n)}$

当|a_i|>3σ时，该点为野值点。

第一阶段，对原始数据进行预处理。

参照图4，获取卫星蓄电池放电电流原始数据为：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
															时间	05:01	05:03	05:05	05:07	05:09	05:11	05:13	05:15	05:17	05:19	05:21	05:23	05:25	05:27
数据	1.5	8.0	2.9	100	7.5	4.7	1.1	50	8.8	9.1	10	15	20	10

此段数据与采样时间为严格对齐，因此可认为无数据缺失位。因此利用莱特准则对数据中存在的野值数据进行判断。

数据X₀＝[1.5 8.0 2.9 100.0 7.5 4.7 1.1 50 8.8 9.1 10 15 20 10]。

计算得到：μ＝17.7571，σ＝5.85，应用公式P(|x_0i-μ|>3σ)≤0.0026，进行判断得第4点和第8点为野值数据，用0进行填充，标记出野值点；采用临近4点均值法对数据进行补齐。

$x_{04}=\frac{x_{02}+x_{03}+x_{05}+x_{06}}{4},x_{08}=\frac{x_{06}+x_{07}+x_{09}+x_{10}}{4}$

计算得x₀₄＝5.775，x₀₈＝5.925。

参照图5，经剔除野值和数据补齐后数据为下表所示。

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
															时间	05:01	05:03	05:05	05:07	05:09	05:11	05:13	05:15	05:17	05:19	05:21	05:23	05:25	05:27
数据	1.5	8.0	2.9	5.775	7.5	4.7	1.1	5.925	8.8	9.1	10	15	20	10

步骤二、由于GM(1,1)模型要求输入数据x_i呈单调变化且要求光滑，因此应对数据进行改造，加强数据的平滑性和趋势性。

针对卫星遥测数据振荡性较强且离散度较大的特点，本发明采用递增法对数据进行处理，其步骤为：

根据灰色GM(1，1)模型对数据非负性要求，采用极差算法对数据进行归一化处理，公式如下：

$x_i=\frac{x_{0i}\left(k\right)-\min \left(x_{0i}\right)}{\max \left(x_{0i}\right)-\min \left(x_{0i}\right)}$

式中x_0i为原始输入数据，通过上式归一化处理可将数据x_i转化为[0,1]区间内，在实际工程中应根据原始数据的量级对数据的归一化区间进行放大调整以增强数据的局部特征。

求取输入数据x_i的最大值和最小值之差，记为D，求取输入数据与最大值与最小值间的偏移度B(i)＝(x_i-D)/D，利用下式增强数据平滑性和趋势性：

$y_i=x_i+(i-1)D+\stackrel{\‾}{B}\left(i\right)$

由于预测数据可能超出输入数据偏移度，而对最终结果产生较大影响，因此引入修正因子α对D进行修正，则得到数据趋势性增强公式：

$y_i=x_i+(i-1)\mathrm{\αD}+\stackrel{\‾}{B}\left(i\right)$

经化简得公式为：

$y_i=(1-\frac{1}{\mathrm{\αD}})x_i+(i-1)\mathrm{\αD}+2$

式中x_i为输入数据，D为最大值和最小值之差，为补偿因子，α∈[0,1]为修正因子，通过上式变换使输入数据称为具有强趋势性和光滑性序列。

第二阶段，对数据趋势性增强处理。

首先对数据进行归一化处理，式中min(x_0i)＝1.1，max(x_0i)＝20，为增强原数据的特征，将归一化区间设定为[0,100]，同时对数据进行趋势性增强处理，取α＝0.01得到数据为：

X＝[2.116 36.508 9.524 24.735 33.862 19.048 0 25.529 40.74142.328 47.090 73.546 100.001 47.091]

步骤三、利用步骤二所得处理数据y_i建立无偏GM(1,1)预测模型，具体步骤为：

对原始数据序列累加对原始数据序列可通过求解微分方程得到。式中， $y_k^{\left(1\right)}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i^{\left(0\right)},k=\mathrm{1,2},\·\·\·,n.$ 通过求解微分方程得到：

$\frac{{\mathrm{dy}}_k^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ay}}_k^{\left(1\right)}=u$

确定数据矩阵B和Y_n

$B=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}[{y_1}^{\left(1\right)}+{y_2}^{\left(1\right)}]& 1\\ -\frac{1}{2}[{y_2}^{\left(1\right)}+{y_3}^{\left(1\right)}]& 1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ -\frac{1}{2}[{y_{n-1}}^{\left(1\right)}+{y_n}^{\left(1\right)}]& 1\end{array}\right],Y_n=\left[\begin{array}{c}{y}_2^{\left(0\right)}\\ y_3^{\left(0\right)}\\ .\\ .\\ .\\ y_n^{\left(0\right)}\end{array}\right]$

最小二乘法求参数a和u

$\left[\begin{array}{c}a\\ u\end{array}\right]={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{Y}_n$

经典GM(1,1)模型计由差分方程向微分方程转化时存在跳跃导致的误差，因此本发明采用无偏灰色GM(1,1)模型进行预测，其中参数b和A为：

$b=\ln \frac{2-a}{2+a},A=\frac{2u}{2+a}$

建立预测模型

${\hat{y}}_1^{\left(0\right)}=y_1^{\left(0\right)},{\hat{y}}_{k+1}^{\left(0\right)}={\mathrm{Ae}}^{\mathrm{bk}}$

当k≥n时，为预测结果。

第三阶段，参照图6，建立无偏GM(1,1)模型进行预测，预测步长为1步，将得到的预测结果作为更新数据送入无偏GM(1,1)模型进行迭代预测。经过反变换得到预测结果如图6所示，输出数据为：

Y＝[1.500 8.000 3.418 5.657 6.323 4.519 4.992 5.530 10.118 6.836 7.62714.687 16.676 10.711]

预测残差为：

E＝[0 3.780e-05 0.518 -0.117 -1.176 -0.180 3.892 -0.394 1.318 -2.263-2.372 -0.312 -3.323 0.711]

步骤四、对数据进行更新处理，GM(1,1)模型主要针对于短时预测，因此应对输入数据进行更新并舍去旧的数据，将更新后的数据作为新的输入数据进行预测。输入数据为得到预测数据为更新输入数据为得到预测数据如此进行迭代预测。这种更新数据的方法可以保证输入数据的信息度，提高数据的预测精度。

Claims (1)

1.一种基于改进无偏GM(1,1)模型的卫星数据预测方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、对采集到时长为n的卫星原始遥测数据进行预处理，包括对遥测数据内数据缺失位补齐和野值数据剔除；

对数据缺失位的处理步骤如下：

首先判断数据缺失类型，数据缺失类型包括三种情况：

①完全随机缺失：数据的缺失与不完全变量以及完全变量都是无关的；

②随机缺失：数据的缺失不是完全随机的，数据的缺失只依赖于完全变量；

③完全非随机缺失：数据的缺失依赖于不完全变量自身；

对缺失数据填补的处理步骤如下：

①完全随机缺失情况采用平均值填补法，利用已有数据的平均值对数据进行补充；

②随机缺失情况采用期望值最大化法；假设模型对于完整的样本是正确的，那么通过观测数据的编辑分布，对未知参数进行极大似然估计；

③完全非随机缺失情况采用插值法，参考已有数据的特点采用相应的插值方法对缺失数据进行填补；

使用数据缺失点x_L附近三至四个数据的平均值进行缺失值补齐，下式为临近四点补齐；

$x_L=\frac{x_{L-2}+x_{L-1}+x_{L+1}+x_{L+2}}{4}$

对数据中野值点的处理步骤如下：

首先对数据野值点进行判断，数据野值点的定义为：若设X＝{x₀₁,x₀₂,…,x_0n}为原始输入数据，X中严重偏离大部分数据所呈现变化趋势的小部分数据点称为野值点；

对数据野值点判断，采用莱特准则：根据高斯误差理论，当数据X＝{x₀₁,x₀₂,…,x_0n}服从正态分布时，残差落在[-3σ,3σ]区间的概率超过99.74％，落在此区间外的概率只有不到0.3％，因此，残差落于该区域之外的测量值为异常值；

P(|x_0i-μ|>3σ)≤0.0026

$\mathrm{\μ}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{0i}$

a_i＝x_0i-μ

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{1}{(n-1)}(\mathrm{\Σ}{\left(x_{0i}\right)}^2-\left(\mathrm{\Σ}{x_{0i}}^2\right)/n)}$

当|a_i|>3σ时，该点为野值点；

步骤二、根据灰色GM(1，1)模型对数据非负性要求，采用极差算法对数据进行归一化处理，公式如下：

$x_i=\frac{x_{0i}\left(k\right)-\min \left(x_{0i}\right)}{\max \left(x_{0i}\right)-\min \left(x_{0i}\right)}$

式中x_0i为原始输入数据，通过上式归一化处理将数据x_i转化为[0,1]区间内；

求取输入数据x_i的最大值和最小值之差，记为D，求取输入数据与最大值与最小值间的偏移度B(i)＝(x_i-D)/D，利用下式增强数据平滑性和趋势性：

$y_i=x_i+(i-1)D+\stackrel{\‾}{B}\left(i\right)$

引入修正因子α对D进行修正，则得到数据趋势性增强公式：

$y_i=x_i+(i-1)\mathrm{\αD}+\stackrel{\‾}{B}\left(i\right)$

经化简得公式：

$y_i=(1-\frac{1}{\mathrm{\αD}})x_i+(i-1)\mathrm{\αD}+2$

式中x_i为输入数据，D为最大值和最小值之差，为补偿因子，α∈[0,1]为修正因子，通过上式变换使输入数据称为具有强趋势性和光滑性序列；

步骤三、利用步骤二所得处理数据y_i建立无偏GM(1,1)预测模型；对原始数据序列累加对原始数据序列通过求解微分方程得到；式中，通过求解微分方程得到：

$\frac{{\mathrm{dy}}_k^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+a{y}_k^{\left(1\right)}=u$

确定数据矩阵B和Y_n

$B=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}[{y_1}^{\left(1\right)}+{y_2}^{\left(1\right)}]& 1\\ -\frac{1}{2}[{y_2}^{\left(1\right)}+{y_3}^{\left(1\right)}]& 1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ -\frac{1}{2}[{y_{n-1}}^{\left(1\right)}+{y_n}^{\left(1\right)}& 1\end{array}\right],Y_n=\left[\begin{array}{c}{y}_2^{\left(0\right)}\\ y_3^{\left(0\right)}\\ .\\ .\\ .\\ y_n^{\left(0\right)}\end{array}\right]$

最小二乘法求参数a和u

$\left[\begin{array}{c}a\\ u\end{array}\right]={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{Y}_n$

经典GM(1,1)模型计由差分方程向微分方程转化时存在跳跃导致的误差，采用无偏灰色GM(1,1)模型进行预测，其中参数b和A为：

$b=\ln \frac{2-a}{2+a},A=\frac{2u}{2+a}$

建立预测模型

${\hat{y}}_1^{\left(0\right)}=y_1^{\left(0\right)},{\hat{y}}_{k+1}^{\left(0\right)}={\mathrm{Ae}}^{\mathrm{bk}}$

当k≥n时，为预测结果；

步骤四、对数据进行更新处理，输入数据为得到预测数据为更新输入数据为得到预测数据如此进行迭代预测。