CN104851082A - 一种基于梯度与拉普拉斯算子的混合自适应图像去噪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于梯度与拉普拉斯算子的混合自适应图像去噪方法，针对现有技术中传统的二阶去噪方法具图像平滑区域会产生阶梯效应，使图像视觉效果不够理想，而高阶模型虽然有效去除了阶梯效应，但存在孤立点效应、纹理细节模糊等缺点，提出了梯度与拉普拉斯算子的混合自适应图像去噪算法，能有效抑制阶梯效应和孤立点现象，而且很好的保留了图像的纹理细节特征，去噪效果明显。

Description

一种基于梯度与拉普拉斯算子的混合自适应图像去噪方法

技术领域

本发明涉及偏微分图像去噪领域，具体涉及一种基于梯度与拉普拉斯算子的混合自适应图像去噪方法。

背景技术

现实中的数字图像在数字化和传输过程中常受到成像设备与外部环境噪声干扰等影响导致质量下降。不但影响了视觉效果而且为后续图像的处理造成困难，因此图像去噪是数字图像处理中的重要环节和步骤。自从偏微分方程被引入图像处理时，二十几年来大量学者在这一领域不断的进行理论创新和补充完善以及各种数值方法的研究计算，使得偏微分在这一领域得到飞速发展。变分的方法就是其中的处理工具之一，基于变分方法的图像去噪是通过最小化能量泛函得到偏微分方程，数值离散化后对图像进行滤波。

现有经典模型主要为PM模型和YK模型。

PM模型：

Perona和Malik在热传导方程(热扩散方程)的基础上,建立各向异性扩散方程(PM模型)，其能量泛函为：

$E\left(u\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}f\left(\right|\▿u\left|\right)\mathrm{d\Ω}---\left(1\right)$

式中Ω为图像区域，f(·)≥0，f'(·)＞0。利用梯度下降法解式(1)的最小能量泛函，可得其扩散方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂u}{\∂t}=\mathrm{div}[c\left(\right|\▿u\left|\right)\▿u]\\ u(0,x,y)=u_0(x,y)\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，div,▽分别为散度算子和梯度算子，u₀(x，y)为初始图像，c(·)为依赖于图像的扩散率函数，其中c(|▽u|)应满足:

$c\left(\right|\▿u\left|\right)=\frac{f^{\′}\left(\right|\▿u\left|\right)}{|\▿u|}---\left(3\right)$

Perona和Malik给出了两个即能去噪又能保边缘的扩散率函数：

$c\left(\right|\▿u\left|\right)=\frac{1}{1+{\left(\right|\▿u|/k)}^2}---\left(\text{4}\right)$

$c\left(\right|\▿u\left|\right)=\exp [-{\left(\frac{|\▿u|}{k}\right)}^2]---\left(\text{5}\right)$

其中，k为图像的梯度阈值，|▽u|为梯度模值。

PM模型用|▽u|的大小来度量某一局部区域是均匀区域还是边缘，在均匀区域对应的梯度的模较小，为了去除噪声，扩散应近似为热方程，即各向同性扩散。而在边缘附近，对应的梯度的模较大，平滑作用应“停止”，以保护边缘。

一般来讲，阶梯效应主要出现在能量泛函非凸的情况下，PM模型介于凸性的边缘，其中能量泛函对于图像梯度依赖在无穷远处是线性的，由于这些特点导致PM模型在不连续点处会产生“阶梯效应”，并且在数学上也是“病态”的。

YK模型：

为了克服PM模型所带来的“阶梯效应”，You与Kaveh引入了四阶偏微分方程(YK模型)，该方程的能量泛函如下：

$E\left(u\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}f\left(\right|\mathrm{\Δu}\left|\right)\mathrm{d\Ω}---\left(6\right)$

式中Ω为图像区域，利用梯度下降法解式(6)最小能量泛函,可得其扩散方程为：

$\frac{\∂u}{\∂t}=-\mathrm{\Δ}\left(c\left(\right|\mathrm{\Δu}\left|\right)\mathrm{\Δu}\right)---\left(7\right)$

式(7)中Δ为拉普拉斯算子，c(·)为扩散率函数，依然取(4)式中的形式，得式(8)：

$c\left(\right|\mathrm{\Δu}\left|\right)=\frac{1}{1+{\left(\right|\mathrm{\Δu}|/k)}^2}---\left(8\right)$

然而，YK模型在处理含噪图像后会产生“孤立点”，这是因为图像灰度值差异较大，使得扩散变弱，随着这些点经过迭代次数的增加会得到不断强化，从而导致此现象的发生。并且当Δu大于阀值k时，YK方程此时同样在数学上也具有不适定性。

可见，传统的二阶去噪方法具有去噪同时保持边缘的优点，但在图像平滑区域会产生阶梯效应，使图像视觉效果不够理想。由此便引入了高阶偏微分方程(四阶偏微分方程)，高阶模型虽然有效去除了阶梯效应，但存在孤立点效应、纹理细节模糊等缺点。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种基于梯度与拉普拉斯算子的混合自适应图像去噪方法，通过建立新的去噪模型，抑制阶梯效应和孤立点现象，而且很好的保留了图像的纹理细节特征，解决了现有技术的问题。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：一种基于梯度与拉普拉斯算子的混合自适应图像去噪方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

1)首先对原始图像u进行了Gauss正则化用|▽G_σ*u|来代替|▽u|；

2)用这一权函数对梯度和拉普拉斯算子进行组合得到下式：

(1-λ)|Δu|+λ|▽G_σ*u|，

其中，λ是特征函数用来权衡梯度与拉普拉斯算子；c为图像像素；max(c)为图像像素的最大值；

3)引入保真项(u*G_σ-u)，其中u*G_σ做为Guass低通滤波；

4)经过步骤1)～3)后得到去噪新模型，其能量泛函如下：

$\begin{array}{c}E\left(u\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}\left((1-\mathrm{\λ})\right|\mathrm{\Δu}|+\mathrm{\λ}|{\▿G}_{\mathrm{\σ}}*u\left|\right)\mathrm{d\Ω}\\ +\frac{\widetilde{\mathrm{\λ}}}{2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}{|u*G_{\mathrm{\σ}}-u|}^2\mathrm{d\Ω}\end{array}$

式中Ω为图像区域，利用梯度下降法解其最小能量泛函，获得扩散方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂u}{\∂t}=-{\▿}^2\left[c\left((1-\mathrm{\λ}\right)\right|\mathrm{\Δu}|\\ +\mathrm{\λ}|{\▿G}_{\mathrm{\σ}}*u|){\▿}^{2}u]+\widetilde{\mathrm{\λ}}(u^{*}{G}_{\mathrm{\σ}}-u)\\ u(x,y,0)=u_0(x,y)\end{array}\right.$

在上式中去取扩散率函数c(·)为：

$\begin{array}{c}c\left((1-\mathrm{\λ})\right|\mathrm{\Δu}|+\mathrm{\λ}|{\▿G}_{\mathrm{\σ}}*u|)\\ =\frac{1}{1+{\left(\frac{(1-\mathrm{\λ})\left|\mathrm{\Δ}u\right|+\mathrm{\λ}|{\▿G}_{\mathrm{\σ}}*u|}{k}\right)}^2}\end{array}$

5)利用中心差分法对步骤4)中的去噪新模型进行离散化，并仿真验证。

有益效果：

1、本发明在方法的复杂度方面，利用一权函数，将梯度与拉普拉斯算子进行组合，方法简单；

2、本发明在方法的时效性方面，因为本方法的着手点需要的信息量少，实施的复杂度低，从而降低了方法的处理时间；

3、在去噪性能方面，通过本发明处理的图像的峰值信噪比大幅提高，受噪声污染的图像经本方法处理后更加清晰。

附图说明

图1为Lena图各模型去噪后图像

图2为Lena图各模型去噪后局部放大图像

图3为Lena图各模型去噪后边缘特征提取图像

图4为Dog图各模型去噪后图像

图5为Dog图各模型去噪后局部放大图像

图6为Dog图各模型去噪后边缘特征提取图像

图7为系统流程图

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

如图7所示，一种基于梯度与拉普拉斯算子的混合自适应图像去噪方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

1)首先对原始图像u进行了Gauss正则化用|▽G_σ*u|来代替|▽u|；

2)用这一权函数对梯度和拉普拉斯算子进行组合得到下式：

(1-λ)|Δu|+λ|G_σ*u|，

其中，λ是特征函数用来权衡梯度与拉普拉斯算子；c为图像像素；max(c)为图像像素的最大值；

3)引入保真项(u*G_σ-u)，其中u*G_σ做为Guass低通滤波；

4)经过步骤1)～3)后得到去噪新模型，所述新模型，是针对PM模型的“块效应”，YK模型的“孤立点”和理论上的不适定性提出的，其能量泛函如下：

$\begin{array}{c}E\left(u\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}\left((1-\mathrm{\λ})\right|\mathrm{\Δu}|+\mathrm{\λ}|{\▿G}_{\mathrm{\σ}}*u\left|\right)\mathrm{d\Ω}\\ +\frac{\widetilde{\mathrm{\λ}}}{2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}{|u*G_{\mathrm{\σ}}-u|}^2\mathrm{d\Ω}\end{array}---\left(9\right)$

式中Ω为图像区域，G_σ为高斯核函数，其表达式为

利用这个核函数对u进行了Gauss正则化即用|▽G_σ*u|来代替|▽u|，即克服了梯度对噪声的敏感问题又解决解的唯一性和稳定性。λ是特征函数用来权衡梯度与拉普拉斯算子，本文设计出为权函数，其中c为图像像素，max(c)为图像像素的最大值。(u*G_σ-u)为保真项，其中u*G_σ的作用实际上是做Guass低通滤波，保留了初始图像的低频成分，滤除了空间尺度中高频振荡成分包括尺度小于σ的细节和噪声。为保真权重，用于调节平滑与保真的平衡。

利用梯度下降法解其最小能量泛函，获得扩散方程：

在上式中去取扩散率函数c(·)为：

5)利用中心差分法对步骤4)中的去噪新模型进行离散化，并仿真验证。

为验证本发明的合理性与有效性，如图1-图6所示，本发明分别对加了高斯白噪声(σ＝20)的自然图像Lena(600×600)和真实图像Dog(600×600)进行分析，采用中心差分法进行数值计算，并用Matlab软件进行仿真,使用均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)来评价算法的有效性。

$\mathrm{MSE}=\frac{1}{W\×H}\underset{i=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{H}{\mathrm{\Σ}}}{[u(i,j)-u_0(i,j)]}^2---\left(12\right)$

$\mathrm{PSNR}=10{\log }_{10}\left(\frac{{255}^2}{\mathrm{MSe}}\right)---\left(13\right)$

图像的分辨率为W×H，u(i,j)和u₀(i,j)表示初始图像和去噪后的图像，均方差(MSE)越小越好，峰值信噪比(PSNR)越大越好。

首先对Lena图和Dog图加方差为20的高斯白噪声，分别利用背景技术中的式(2)PM模型，式(7)YK模型和本文所提出的式(10)新模型对此加噪图像进行图像去噪实验，比较其MSE和PSNR这两项指标。其中三个模型中Δt都取0.2，迭代次数都是30次，PM的扩散函数取式(4)且阈值k为10，YK的扩散函数取式(8)且阈值k为10，新模型中的权函数扩散函数取式(11)且阈值k为10，保真权重取0.2。

由Lena图2(b)和Dog图5(b)的局部放大图像可以看出，二阶PM模型存在明显的“阶梯效应”；由Lena图2(c)和Dog图5(c)的局部放大图像可以看出，四阶YK模型存在明显的黑白“孤立点”；而由本文所提出的新模型所得到的Lena图2(d)和Dog图5(d)的局部放大图像可以看出，新模型有效的抑制了“阶梯效应”和“孤立点”现象的发生。

以上仿真实验结果表明，文章所分析的PM模型存在明显的“阶梯效应”和四阶YK模型存在明显的黑白的“孤立点”，而本文所提出的新模型能够有效的去除“块效应”和“孤立点”，具有很好的视觉效果，去噪效果比经典的PM和YK模型优越。

通过Lena图3和Dog图6对各模型去噪后边缘特征提取图像可知，本文所提出的新模型在保护边缘细节信息方面明显好于经典的PM和YK模型。这是因为新模型通过权函数λ分别将梯度和拉普拉斯算子的优点相结合，同时恰当的引入保真项，使得新模型不仅在数学上具有解的唯一性和稳定性，而且很好的消除了单独使用梯度算子所带来的“阶梯效应”和单独使用拉普拉斯算子所产生的“孤立点效应”。

表1 Lena图和Dog图各模型去噪后的MSE和PSNR的比较

由表1对MSE和PSNR的评价指标可以看出，本发明所提出的新模型效果最佳，在峰值信噪比方面比PM模型提高了大约12db，比YK模型大约提高了8db。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于梯度与拉普拉斯算子的混合自适应图像去噪方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

1)首先对原始图像u进行了Gauss正则化用来代替

2)用这一权函数对梯度和拉普拉斯算子进行组合得到下式：

$(1-\mathrm{\λ})\left|\mathrm{\Δu}\right|+\mathrm{\λ}|\▿G_{\mathrm{\σ}}*u|,$

其中，λ是特征函数用来权衡梯度与拉普拉斯算子；c为图像像素；max(c)为图像像素的最大值；

3)引入保真项(u*G_σ-u)，其中u*G_σ做为Guass低通滤波；

4)经过步骤1)～3)后得到去噪新模型，其能量泛函如下：

$\begin{array}{c}E\left(u\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}\left((1-\mathrm{\λ})\right|\mathrm{\Δu}|+\mathrm{\λ}|{\▿G}_{\mathrm{\σ}}*u\left|\right)\mathrm{d\Ω}\\ +\frac{\widetilde{\mathrm{\λ}}}{2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}{|u*G_{\mathrm{\σ}}-u|}^2\mathrm{d\Ω}\end{array}$

式中Ω为图像区域，利用梯度下降法解其最小能量泛函，获得扩散方程：

$\begin{array}{c}\frac{\∂u}{\∂t}=-{\▿}^2\left[c((1-\mathrm{\λ})\right|\mathrm{\Δu}|\\ +\mathrm{\λ}|{\▿G}_{\mathrm{\σ}}*u|\left){\▿}^{2}u\right]+\widetilde{\mathrm{\λ}}(u*G_{\mathrm{\σ}}-u)\\ u(x,y,0)=u_0(x,y)\end{array}$

在上式中去取扩散率函数c(·)为：

$\begin{array}{c}c\left((1-\mathrm{\λ})\right|\mathrm{\Δu}|+\mathrm{\λ}|{\▿G}_{\mathrm{\σ}}*u\left|\right)\\ =\frac{1}{1+{\left(\frac{(1-\mathrm{\λ})\left|\mathrm{\Δu}\right|+\mathrm{\λ}|{\▿G}_{\mathrm{\σ}}*u|}{k}\right)}^2}\end{array}$

5)利用中心差分法对步骤4)中的去噪新模型进行离散化，获得去噪图像。