CN107067372A - 一种基于四阶偏微分方程的图像去噪方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于四阶偏微分方程的图像去噪方法，其特征是，首先针对平滑算子的非凸性不能保证能量泛函的全局唯一最小值的情况，提出了改进的平滑算子，建立新模型一，有效的抑制了椒盐噪声，但视觉效果尚有欠缺。针对新模型一去噪的视觉效果不够的情况，以及为进一步抑制“阶梯效应”现象和“孤立点”产生，引入梯度算子作为边缘检测算子并结合拉普拉斯算子构造新的能量泛函，建立新模型二；本模型有效的去除了椒盐噪声、抑制了“阶梯效应”和“孤立点”现象，更多的保留了图像的纹理细节特征，去噪效果较经典模型更具优越性。
Description
技术领域
本发明涉及一种基于四阶偏微分方程的图像去噪方法，属于图像去噪技术领域。
背景技术
在图像处理与计算机领域中，图像去噪是最基本的问题之一。基于偏微分方程(Partial Differential Equation，PDE)图像处理方法因其所具有的局部自适应特性、形式上的规范性和模型建立的灵活性而成为一新型的图像处理数学工具，并被应用于图像处理的多个领域。Perona和Malik首次提出了经典的各向异性扩散PM模型，该模型由一个关于图像梯度模值的扩散函数控制图像的扩散程度，使图像在梯度模值小的区域进行大规模地扩散，在梯度模值大的区域进行小规模扩散[1-5]。由于模型的稳定性直接影响滤波的效果，Catte等指出PM模型的病态处理问题是造成去噪不稳定的原因之一，并对PM模型进行了改进，即在每次迭代之前，都对图像进行一次Gauss滤波，去除大噪声。为了解决二阶偏微分方程引起的“块状效应”，近年来，人们越来越利用高阶偏微分方程来解决传统PM方法的问题，You与Kaveh引入了四阶偏微分方程(YK模型)。这种高阶方法对高频噪声平滑速度更快，而且可以引入图像二阶导数的处理，使得图像更加理想。但是这一方法会产生“孤立点”现象。2000年，Li和Kaveh提出了一种四阶PDE模型，在此过程中基于PDE的图像去噪方法经历了从低阶向高阶的过渡，2011年，Zhang等提出了一种ROF模型和四阶模型的组合图像去噪模型该模型是通过某一权函数将运用半隐式加性算子分裂(AOS)数值算法求解出的Rudin-Osher-Fatemi模型和四阶PDE模型进行了加权组合[6-11]。周先春，石兰芳等人也用拟正态分布，梯度与曲率相结合，小波与重调和方程的扩散[12-14]等方法研究了抑制噪声和保留图像边缘细节信息等问题。
发明内容
为解决现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于四阶偏微分方程的图像去噪方法，解决目前的YK模型存在的椒盐噪声和视觉效果方面的缺陷，抑制“阶梯效应”现象和“孤立点”产生。
为了实现上述目标，本发明采用如下的技术方案：
一种基于四阶偏微分方程的图像去噪方法，其特征是，包括如下步骤：
1)在YK模型的基础上改进平滑算子，其对应的能量泛函如下：其中，Δ为拉普拉斯算子，g(|Δu|)为改进的平滑算子函数，u为加噪图像，u0为原始图像，为保真项，λ为调整参数，Ω为图像区域；所述改进的平滑算子函数扩散率函数其中，s＝|Δu|，k为梯度阈值；利用平滑算子函数对图像进行去噪处理；
2)对步骤1)中处理完毕的模型中引入梯度算子作为边缘检测算子，结合拉普拉斯算子构造新的能量泛函：
3)对步骤2)得到的模型采用MATLAB软件进行仿真，得到去噪图像和数值结果，并使用均方差和峰值信噪比来评价算法的有效性。
进一步地，所述步骤2)具体包括如下内容：
利用梯度算子构造扩散率函数h，得到非线性方程其中，式中，为梯度算子，λ为调整参数；
取h(s)|Δu|为去噪的调节函数，得到改进的能量泛函为求得所述改进的能量泛函变分的极小值。
进一步地，在求所述改进的能量泛函变分的极小值时，在二阶导数项|Δu|中依据经验值加入扰动项ε＞0，再利用梯度下降法可得线性方程其中div为散度算子。
进一步地，所述步骤3)中评价算法有效性的条件是均方差尽可能的小，峰值信噪比尽可能的大。
本发明所达到的有益效果：本方法提出的模型能够有效地去除椒盐噪声、抑制阶梯效应和孤立点现象，同时保留图像的纹理细节特征，去噪效果明显；本模型有效的去除了椒盐噪声、抑制了“阶梯效应”和“孤立点”现象，更多的保留了图像的纹理细节特征，去噪效果较经典模型更具优越性。
附图说明
图1是本发明的流程图；
图2是用于数值实验的原始图像：
(a)为Lena图，(b)为Barbara图；
图3是Lena图经过各模型去噪后的图像：
(a)为加噪后的图像，(b)为加载YK模型后的图像，(c)为新模型一后的图像，(d)为新模型二的图像；
图4是Lena图各模型去噪后局部放大图像：
(a)为加噪后的图像，(b)为加载YK模型后的图像，(c)为新模型一后的图像，(d)为新模型二的图像；
图5是图4的边缘特征提取图像：
(a)为加噪后的边缘特征提取图像，(b)为加载YK模型后的边缘特征提取图像，(c)为新模型一后的边缘特征提取图像，(d)为新模型二的边缘特征提取图像；
图6是Barbara图各模型去噪后图像：
(a)为加噪后的图像，(b)为加载YK模型后的图像，(c)为新模型一后的图像，(d)为新模型二的图像；
图7是Barbara图各模型去噪后局部放大图像：
(a)为加噪后的边缘特征提取图像，(b)为加载YK模型后的边缘特征提取图像，(c)为新模型一后的边缘特征提取图像，(d)为新模型二的边缘特征提取图像；
图8是图7的边缘特征提取图像：
(a)为加噪后的边缘特征提取图像，(b)为加载YK模型后的边缘特征提取图像，(c)为新模型一后的边缘特征提取图像，(d)为新模型二的边缘特征提取图像；
图9是不同噪声密度下的峰值信噪比：
(a)为Lena图不同噪声密度下的峰值信噪比，(b)为Barbara图不同噪声密度下的峰值信噪比。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
结合现有技术中的PM模型和YK模型对本发明进行介绍：
PM模型：Perona和Malik在热传导方程(热扩散方程)的基础上，建立各向异性扩散方程(PM模型)，其能量泛函为式中为梯度算子，Ω为图像区域，且f(·)≥0，f′(·)＞0。
利用梯度下降法解上述能量泛函的最小能量泛函，可得其扩散方程为：式中，div，分别为散度算子和梯度算子，u0(x,y)为初始图像，c(·)为依赖于图像的扩散率函数，与图像的梯度成反比，其中应满足
Perona和Malik给出了两个既能去噪又能保边缘的扩散率函数和其中，k为图像的梯度阈值，为梯度模值。
PM模型对图像的去噪和纹理特征的保持都是自适应进行的，该模型用梯度模的大小来度量某一局部区域是均匀区域还是边缘，在均匀区域对应的梯度的模较小，扩散系数较大，扩散迅速进行，而在边缘附近，对应的梯度的模较大，扩散系数较少，扩散被减弱，随着扩散的进行最终演变为梯度无穷大，扩散系数为零的不连续的区域，形成“振荡”。
YK模型：为了克服PM模型所带来的“阶梯效应”，You与Kaveh引入了四阶偏微分方程(YK模型)，该方程的能量泛函如下式中，Δ为拉普拉斯算子，式中s＝|Δu|，k为图像梯度阈值，若f(a)是凸函数，并且对任意的a＞0，有f′(a)≥0,f″(a)≥0，则有能量泛函存在全局唯一的最小值，Ω为图像区域。
利用梯度下降法解能量泛函的最小能量泛函，可得其扩散方程为c(·)为扩散率函数，变换可得由可得f′(s)＝sc(s)＝s/[1+(s/k)2]，f″(s)＝(k2(k2-s2))/(k2+s2)2，因此，当k＜s时，不是凸函数。又因为在椒盐噪声处，s＝|Δu|异常大接近于无穷状态，因此limf′(s)＝0，因此，f(s)在椒盐噪声点处几乎不起作用，起不到去噪作用。
由上述分析易知，如果f(·)不是凸函数，则能量泛函E(u)不一定是凸函数，有陷入局部最小值的可能，在平滑过程中，图像光滑区域即会出现局部的“孤立点”现象。
基于以上两种模型所存在的缺点，本发明在YK模型的基础上，首先针对平滑算子的非凸性不能保证能量泛函的全局唯一最小值的情况，提出了改进的平滑算子，建立新模型一，有效的抑制了椒盐噪声，但视觉效果尚有欠缺。然后，引入梯度算子作为边缘检测算子并结合拉普拉斯算子构造新的能量泛函，建立新模型二，改善了视觉效果尚有欠缺的缺点，进一步抑制“阶梯效应”现象和“孤立点”产生。最后，对提出的新模型进行仿真：用MATLAB软件对方法进行仿真，得到去噪图像和数值结果，数值结果用来评价方法。
具体地步骤内容如下：
步骤1)针对经典模型中存在的“阶梯效应”和“孤立点”，平滑算子的非凸性不能保证能量泛函的全局唯一最小值的情况，提出了改进的平滑算子，其能量泛函为其中，g(|Δu|)是平滑算子函数，Δ为拉普拉斯算子，u是加噪图像，u0是原始图像，λ为调整参数，为保真项。令扩散率函数则 其中，s＝|Δu|，k为图像梯度阈值。
由上易知:g(s)是凸函数，能量泛函E(u)存在全局唯一的最小值。得到去噪模型如下：
对比和f″(s)＝(k2(k2-s2))/(k2+s2)2可知：由于当k＜s时，不是凸函数，对于椒盐噪声而言，利用f(s)函数处理，椒盐点会锐化，从而增强了该点的效果；利用g(s)函数处理，椒盐点不会锐化，是在全尺度上进行平滑，从而能减弱椒盐点的效果。新模型有效的抑制了椒盐噪声，但是视觉效果尚显不足。
步骤2)引入梯度算子作为边缘检测算子并结合拉普拉斯算子构造新的能量泛函，改善新模型一去噪的视觉效果不够的缺点，进一步抑制“阶梯效应”现象和“孤立点”产生，用梯度算子构造扩散率函数h，得如下非线性方程：其中λ为调整参数，k为图像梯度阈值，整合后取h(s)|Δu|为去噪的调节函数，得到改进的能量泛函如下即演变成求变分的极小值问题。
其一般形式为E(u)＝∫ΩG(x,y,u,ux,uy,uxx,uyy)dΩ。
根据变分法原理可将其转化为欧拉—拉格朗日方程
由上式可得欧拉—拉格朗日方程
为使方程在有界区域内有意义以及弱解的存在性，对二阶导数项|Δu|加入很小的扰动项ε＞0，再利用梯度下降法可得如下非线性方程：
步骤3)为验证算法的合理性与有效性，对加了椒盐噪声的图像进行分析，采用中心差分法进行数值计算，并用Matlab软件进行仿真，使用均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)来评价算法的有效性。
评价两个指标的条件是：均方差(MSE)尽可能的小，峰值信噪比(PSNR)尽可能的大。
综上所述，本发明提出的新模型是一个理想的模型，该模型不仅有效的去除了椒盐噪声、抑制了“阶梯效应”和“孤立点”现象，而且更多的保留了图像的纹理细节特征，去噪效果较经典模型更具优越性。
下面结合实施例具体说明本发明的有益效果：
为验证算法的合理性与有效性，分别对加了椒盐噪声(σ2＝20)的图像Lena(512×512)和Barbara(512×512)进行分析，采用中心差分法进行数值计算，并用Matlab软件进行仿真，使用均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)来评价算法的有效性。
评价两个指标的条件是：均方差(MSE)尽可能的小，峰值信噪比(PSNR)尽可能的大。
表1 Lena图和Barbara图各模型去噪后的MSE和PSNR的比较
其中，新模型一指代经过步骤1)处理后的模型，新模型二指代经过步骤2)处理后的模型。
由Lena图4(b)和Barbara图6(b)的局部放大图像可以看出，四阶YK模型对椒盐噪声的去除能力几乎为零；由本发明所提出的新模型一所得到的Lena图4(c)和Barbara图6(c)的局部放大图像可以看出，新模型一有效的抑制了椒盐噪声，但是视觉效果还有点欠缺。由本发明所提出的新模型二所得到的Lena图4(d)和Barbara图6(d)的局部放大图像可以看出，新模型二不仅有效的去除了椒盐噪声，而且有效地保护了图像边缘，视觉效果明显。由Lena图5和Barbara图8的各模型去噪后边缘特征提取图像可以看出，传统的YK模型的纹理特征很模糊，而新模型一和新模型二的纹理特征很清晰，由此说明，本发明所提出的模型在保持纹理特征方面优势明显。由表1对MSE和PSNR的评价指标可以看出，本发明所提出的新模型二效果最佳，在峰值信噪比方面比YK模型大约提高了13db。
由图9对Lena图和Barbara图的σ2—PSNR折线图可以看出随着方差的不断的增加，YK模型明显呈下降趋势，由此可见，YK模型对随机强噪声的处理能力明显不足，并且极不稳定，而本发明研究提出的模型信噪比随方差的下降趋势变化明显要弱于YK模型，特别是模型二信噪比随方差几乎不发生变化，可见本发明提出的模型稳定性很好。
综上所述，本发明提出的新模型是一个理想的模型，该模型不仅有效的去除了椒盐噪声、抑制了“阶梯效应”和“孤立点”现象，而且更多的保留了图像的纹理细节特征，去噪效果较经典模型更具优越性。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。
Claims (4)
1.一种基于四阶偏微分方程的图像去噪方法，其特征是，包括如下步骤：
1)在YK模型的基础上改进平滑算子，其对应的能量泛函如下：其中，Δ为拉普拉斯算子，g(|Δu|)为改进的平滑算子函数，u为加噪图像，u0为原始图像，为保真项，λ为调整参数，Ω为图像区域；所述改进的平滑算子函数扩散率函数其中，s＝|Δu|，k为梯度阈值；
利用平滑算子函数对图像进行去噪处理；
2)对步骤1)中处理完毕的模型中引入梯度算子作为边缘检测算子，结合拉普拉斯算子构造新的能量泛函：
3)对步骤2)得到的模型采用MATLAB软件进行仿真，得到去噪图像和数值结果，并使用均方差和峰值信噪比来评价算法的有效性。
2.根据权利要求1所述的一种基于四阶偏微分方程的图像去噪方法，其特征是，所述步骤2)具体包括如下内容：
利用梯度算子构造扩散率函数h，得到非线性方程其中，式中，为梯度算子，λ为调整参数；
取h(s)|Δu|为去噪的调节函数，得到改进的能量泛函为求得所述改进的能量泛函变分的极小值。
3.根据权利要求2所述的一种基于四阶偏微分方程的图像去噪方法，其特征是，在求所述改进的能量泛函变分的极小值时，在二阶导数项|Δu|中依据经验值加入扰动项ε＞0，再利用梯度下降法可得线性方程其中div为散度算子。
4.根据权利要求1所述的一种基于四阶偏微分方程的图像去噪方法，其特征是，所述步骤3)中评价算法有效性的条件是均方差尽可能的小，峰值信噪比尽可能的大。
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