CN106127716B - 基于数学形态学的四阶偏微分方程图像去噪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于数学形态学的四阶偏微分方程图像去噪方法，包括以下步骤：S1采用数学形态学的方法对噪声图像边缘进行检测；S2计算噪声图像的梯度幅值；S3根据步骤S1中数学形态学的梯度算子和步骤S2中的梯度幅值建立偏微分方程，S4采用迭代的方法对偏微分方程求解获得去噪声图像。本发明基于数学形态学的四阶偏微分方程进行图像去噪，对处理后的图像边缘保持的更好，具有更好的视觉效果。

Description

基于数学形态学的四阶偏微分方程图像去噪方法

技术领域

本发明属于图像处理领域，具体涉及一种基于数学形态学的四阶偏微分方程图像去噪方法。

背景技术

为了获得好的图像质量，图像去噪成为图像处理的基本任务，而基于偏微分方程(PDEs)的图像去噪方法近几年被广泛应用于图像处理当中。

Perona与Malik(PM)在1990年提出了经典的各向异性扩散模型，该模型通过图像梯度值的扩散函数来控制图像的扩散程度，并且具有很好的去噪效果。除了PM模型，其它基于偏微分方程的模型比如TV模型，它们的变分本质都是二阶偏微分。虽然二阶模型对图像去噪有不错的效果，但是处理后的图像会出现明显的块效应，使得视觉效果不好。为了解决这个问题，更高阶的偏微分方程被提出。Yuli You和Kaveh(YK)首先提出了一个四阶模型来克服块效应。这种方法通过使图像扩散到分段光滑的斜面来有效地避免块效应。然而，YK模型容易使得处理后的图像高频分量过度平滑，模糊边缘细节，产生孤立的脉冲噪声即点效应。

发明内容

鉴于此，本发明的目的是提供一种基于数学形态学的四阶偏微分方程图像去噪方法。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的，

一种基于数学形态学的四阶偏微分方程图像去噪方法，包括以下步骤：

S1采用数学形态学的方法对噪声图像边缘进行检测；

S2计算噪声图像的梯度幅值；

S3根据步骤S1中数学形态学的梯度算子和步骤S2中的梯度幅值建立偏微分方程如下：

u表示图像灰度值，▽²为拉普拉斯算子，▽²u表示对u进行拉普拉斯运算，|▽²u|表示图像强度函数的拉普拉斯的绝对值，c(·)表示控制扩散过程，C_g表示数学形态学的梯度算子，f为输入的灰度图像，g₁和g₂是用于图像去噪的不同结构元素尺寸，g₃是决定图像边缘检测效果的关键因素；

S4采用迭代的方法对偏微分方程求解获得去噪声图像。

进一步，所述步骤S4的具体方法为：

假设τ为时间步长，h为空间网格大小，量化时间t＝nτ，空间坐标x＝ih,y＝jh，假设h为1，那么，

▽u＝(u_x,u_y)^T (16)

u_x,u_y表示的图像u在(x,y)位置下的梯度矢量，

u_i,j为坐标(i，j)的像素值，u_i,j+1表示坐标(i，j+1)的像素值，u_i,j-1表示坐标(i,j-1)的像素值，u_i+1,j表示坐标(i+1,j)的像素值，u_i-1,j表示坐标(i-1,j)的像素值；

图像强度函数的拉普拉斯计算为：

▽²u＝u_i+1,j+u_i-1,j+u_i,j+1+u_i,j-1-4u_i,j (18)

通过上面的方程，得到不同的等式

u₀应该是表示迭代的初始值，u₀(i,j)表示初始图像，uⁿ表示n次迭代的结果，uⁿ⁺¹为n+1次迭代的结果。

进一步，采用数学形态学进行去噪处理，则表达式为：

表示图像位置(i，j)在(n+1)次迭代的像素值。

由于采用了上述技术方案，本发明具有如下的优点：

本发明基于数学形态学的四阶偏微分方程进行图像去噪，对处理后的图像边缘保持的更好，具有更好的视觉效果。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作进一步的详细描述，其中：

图1为本发明的流程图；

图2为使用数学形态学的方法对噪声图像边缘进行检测的效果图，其中a表示有噪声的原始图像，b，c，d分别表示用膨胀边缘检测算子，腐蚀边缘检测算子，以及式(8)定义的边沿检测算法检测图像边缘的效果图；

图3为LENA图像在高斯噪声下各种去噪方法比较，其中a为原始图像，b为带噪图像，c为YK模型去噪声效果图，d为IYK模型去噪效果图，e为本发明提供方法的效果图；

图4为PEPPERS图像在高斯噪声下各种去噪方法比较，其中a为原始图像，b为带噪图像，c为YK模型去噪声效果图，d为IYK模型去噪效果图，e为本发明提供方法的效果图；

具体实施方式

以下将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述；应当理解，优选实施例仅为了说明本发明，而不是为了限制本发明的保护范围。

一种基于数学形态学的四阶偏微分方程图像去噪方法，包括以下步骤：S1采用数学形态学的方法对噪声图像边缘进行检测；S2计算噪声图像的梯度幅值；S3根据步骤S1中数学形态学的梯度算子和步骤S2中的梯度幅值建立偏微分方程，S4采用迭代的方法对偏微分方程求解获得去噪声图像。

数学形态学是一门以严格的数学理论为基础的学科，其基本思想是利用一定的结构元素来测量和提取图像中相应的形状，以达到图像分析和识别的目的。数学形态学具有相关的运算，其主要运算规则是膨胀、腐蚀、开运算和闭运算。

腐蚀运算是一个使对象沿边界减少的过程，而膨胀则是一个合并的过程。数学运算的定义如下：

1)腐蚀

FΘB(x,y)＝min{F(x-s,y-t)-B(s,t)} (1)

2)膨胀

其中，F(x,y)是灰度图像，B(s,t)是结构元素，Θ代表腐蚀运算，代表膨胀运算。

闭运算主要是用来填充对象内部的小空隙，而开运算是用来去除微小的对象和不必要的边缘内容。数学运算的定义如下：

1)开运算

2)闭运算

通过膨胀、腐蚀、开运算和闭运算，可以推导出膨胀边缘检测算子、腐蚀边缘检测算子和形态学梯度边缘检测算子。数学运算定义如下：

1)膨胀边缘检测算子

这种算子得到的图像的边缘是模糊的，且边缘信号较弱。

2)腐蚀边缘检测算子

C_gc＝f(x,y)-(fΘg)(x,y) (6)

这种算子得到的图像边缘信号是好的，但是它也可能增强噪声。

其中，f(x,y)为输入的灰度图像，g为结构元素。

本发明中，为了保持图像的边缘，需要提取边缘信息。由于图像受噪声的影响，选择一种改进的数学形态学的方法，新的运算定义如下：

g₁和g₂是用于图像去噪的不同结构元素尺寸，g₃是决定图像边缘检测效果的关键因素。

相比于数学形态学，现有的传统的边缘检测算法存在许多不足之处，比如分辨率低，检测的边缘信号弱，因此，基于数学形态学的边缘检测更适用于本发明。

图像去噪的同时保持边缘细节的一个自然的想法就是使得扩散系数取决于图像的局部特征。换句话说，扩散系数在图像的平坦区域值较大来去除噪声，而在边缘周围的值较小来边缘信息。PM模型的提出就是基于图像去噪的同时保持边缘细节的思想，通过使扩散系数取决于图像的局部特征，利用图像的梯度幅值来控制噪声去除过程。各向异性扩散公式

▽是梯度算子，u是图像的灰度值，div是散度算子。

基于偏微分的图像去噪通常与热传导方程相联系，式(8)可以通过下面的能量函数获得。

E₁(u)＝∫_Ωf(|▽u|)dΩ (10)

Ω是处理后的图像区域，f(·)是与扩散系数相联系的递增函数，关系如下式所示。

c(·)控制扩散过程，一个由Perona和Malik给出的经典原始的系数模型如式(12)所示。

其中，K是通过测试图像设定的阈值。

由于块效应出现在扩散的早期阶段，因此会影响后续图像的理解和分析。YK模型利用图像的拉普拉斯绝对值来控制噪声的去除过程，这样可以克服块效应。模型的数学公式如下：

其中，▽²为拉普拉斯算子，该等式与下面的能量函数相关。

E₂(u)＝∫_Ωf(|▽²u|)dΩ (14)

该函数要求f(·)≥0和f'(·)＞0，这样使得函数是个递增函数，图像的平滑度由|▽²|测量。

由于基于拉普拉斯的模型在消除块效应的同时产生严重的消散，而基于梯度算子的模型能够降低消散效应但会产生严重的块效应。基于梯度算子的PM模型具有较少的消散但是有明显的块效应，基于拉普拉斯的YK模型能够克服块效应但会造成严重的过度平滑。因此，为了更好的保持图像边缘细节，去除图像噪声，本发明提出了基于拉普拉斯四阶偏微分方程和形态学梯度算子相结合的改进方法。将式(13)用下面式子代替。

其中，C_g为式(7)中的数学形态学梯度算子，被用来保持图像边缘信息。|▽2|被用来消除块效应。微分方程(15)通过采用迭代的方法来解，假设τ为时间步长，h为空间网格大小。量化时间t＝nτ，空间坐标x＝ih,y＝jh。假设h为1，那么，

▽u＝(u_x,u_y)^T (16)

图像强度函数的拉普拉斯可以计算为

▽²u＝u_i+1,j+u_i-1,j+u_i,j+1+u_i,j-1-4u_i,j (18)

本发明的形态学梯度算子用来保持图像的边缘细节，数学公式如下：

假设

I＝c(|▽²u|+C_g)▽²u (20)

那么I的拉普拉斯计算如下，

▽²I＝I_i+1,_j+I_i-1,_j+I_i,_j+1+I_i,j-1-4I_i,j (21)

通过上面的方程，可以得到不同的等式。

为了更有效的去除噪声，本发明最后采用数学形态进行去噪，公式如下

本发明改进方法的目的为最大化图像信噪比，保持图像边缘细节，达到更好的人眼视觉效果。

为了证明改进算法具有好的性能，本发明采用了经典的图像处理图片作为测试图片，并使用MATLAB 2014a进行仿真测试。测试图像分别加有均值为0，20，25的高斯噪声，设置τ＝0.15,K＝8,h＝1.迭代的次数为50，结构元素为

本发明选用YK模型和文献中的改进的IYK模型与本发明提出的改进模型进行对比，PSNR和SNR的定义如下：

为原始图像，u为处理后的图像，M×N为图像大小。

表1.LENA图像在高斯噪声下的去噪的信噪比与峰值信噪比

噪声方差	噪声图像	YK	IYK	本发明提出的方法
					20	15.2423/22.0960	21.7218/28.5756	22.7340/29.5877	23.1820/30.0358
25	13.3311/20.1848	18.5069/25.3607	21.2152/28.0689	22.1964/29.0501

表2.PEPPERS图像在高斯噪声下的去噪的信噪比与峰值信噪比

噪声方差	噪声图像	YK	IYK	本发明提出的方法
					20	15.4639/22.0933	21.6769/28.3063	22.6670/29.2964	22.7683/29.3958
25	13.5638/20.1932	18.5404/25.1697	21.1475/27.7769	21.8263/28.4538

图3和图4的(c)-(e)是经三个模型处理后的效果图，图3的原始图像添加了均值为20的高斯噪声，图4的原始图像添加了均值为25的高斯噪声，通过两种图像不同算法处理效果可以明显看出，本发明改进的算法比YK模型和改进的IYK模型的效果更好，本发明改进的算法具有去噪效果更好，去噪后的图像边缘也比较清晰，具有更好的视觉效果。体现了本发明的算法不仅在图像去噪方面具有很好的效果，并且能够很好的保持图像的边缘信息，证明了该算法的优越性。

表1和表2显示的是不同模型算法对加高斯噪声后的图像处理后计算得到的SNR和PSNR。从表中可以看出，所有的算法对图像去噪都有很好的效果，从表1和表2的数据显示可以看出，通过本发明改进的算法去噪后的图像的SNR和PSNR的值都要比YK模型和IYK模型的值高。实验结果显示，本发明的算法要比YK模型和IYK模型的效果好，因为该算法集成了四阶偏微分方程和数学形态学对于图像处理方面的优点。

本发明为了克服PM模型和YK模型存在的缺点，在图像去噪和图像边缘保持方面具有好的性能，提出了基于数学形态学的四阶偏微分方程进行图像去噪。通过实验对比了YK模型和IYK模型的去噪效果，实验证明本发明改进的算法去噪后的SNR和PSNR要比YK模型和IYK模型处理后的值高，体现了该算法更好的去噪效果，并且通过对比实验效果图可以看出，本算法对处理后的图像边缘保持的更好，具有更好的视觉效果。

以上所述仅为本发明的优选实施例，并不用于限制本发明，显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (3)

1.一种基于数学形态学的四阶偏微分方程图像去噪方法，其特征在于：包括以下步骤：

S1采用数学形态学的方法对噪声图像边缘进行检测；

S2计算噪声图像的梯度幅值；

S3根据步骤S1中数学形态学的梯度算子和步骤S2中的梯度幅值建立偏微分方程如下：u表示图像强度函数，为拉普拉斯算子，表示对u进行拉普拉斯运算，表示图像强度函数的拉普拉斯的绝对值，c(·)表示控制扩散过程，C_g表示数学形态学的梯度算子，f为输入的灰度图像，g₁和g₂是用于图像去噪的不同结构元素尺寸，g₃是决定图像边缘检测效果的关键因素，t表示量化时间；

S4采用迭代的方法对偏微分方程求解获得去噪声图像。

2.根据权利要求1所述的基于数学形态学的四阶偏微分方程图像去噪方法，其特征在于：所述步骤S4的具体方法为：

假设τ为时间步长，h为空间网格大小，量化时间t＝nτ，空间坐标x＝ih,y＝jh，假设h为1，那么，u_x,u_y表示图像在(x,y)位置下的梯度矢量，

u_i,j为坐标(i，j)的像素值，u_i,j+1表示坐标(i，j+1)的像素值，u_i,j-1表示坐标(i,j-1)的像素值，u_i+1,j表示坐标(i+1,j)的像素值，u_i-1,j表示坐标(i-1,j)的像素值；

图像强度函数的拉普拉斯计算为：

通过上面的方程，得到不同的等式

u₀应该是表示迭代的初始值，u₀(i,j)表示初始图像，uⁿ表示n次迭代的结果，uⁿ⁺¹为n+1次迭代的结果。

3.根据权利要求2所述的基于数学形态学的四阶偏微分方程图像去噪方法，其特征在于：采用数学形态学进行去噪处理，则表达式为：

表示图像位置(i，j)在(n+1)次迭代的像素值。