CN104732071A - 一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法。首先测量航天器结构的传递矩阵，然后利用本文给出的弹簧-质量块模型对动量轮进行建模，获得动量轮的传递矩阵，再根据位移协调方程及力协调方程，计算得到系统耦合分析矩阵，最后通过傅立叶逆变换得到系统的时域脉冲响应函数，利用杜哈梅积分公式得到系统时域响应。该方法所利用的航天器结构传递矩阵通过试验测量所得，精度高于传统有限元建模得到的传递矩阵；该方法利用弹簧-质量块对动量轮的结构动力学特性进行刻画，计算简便、模型易于利用试验数据修正；该方法获得的系统传递矩阵准确反映了动量轮安装于航天器结构上之后，自身模态特性的变化及对其对航天器局部结构的影响。

Description

一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法

技术领域

本发明涉及一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法，可用于评估动量轮工作时对航天器关键位置造成的扰动响应。

背景技术

航天器进行动态响应分析往往采用有限元方法进行动力学建模，这种动力学模型只能在低频范围保持较高精度，由于动量轮扰动力分布频率较宽，这导致分析结果包含较大误差；此外动量轮本身作为一个结构，安装到航天器上会导致动量轮及航天器舱板局部模态的变化。如果忽视此点，分析结果不能准确反映结构对动量轮扰动力的放大作用；动量轮扰动响应预示迫切需要一种能够准确把握动量轮结构的动力学特征，充分考虑动量轮与航天器耦合作用的分析方法，提高航天器本体分析模型的精度。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提出了一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法，通过引入动量轮的弹簧-质量抽象模型，结合试验测量获取的传递矩阵，通过指定公式获得耦合系统的阻抗矩阵，准确反映了动量轮与航天器结构组成系统对扰动力的放大作用，显著提高了动量轮扰动响应的计算精度。

本发明的技术方案是：一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法，步骤如下：

1)利用频率响应测试数据获取航天器结构的传递矩阵H_p；

2)对星上动量轮进行模态测试，建立动量轮弹簧质量块数学模型；

3)计算航天器结构与动量轮结构的耦合传递特性矩阵H_s；

4)计算获得动量轮与航天器结构的耦合动响应。

步骤1)所述航天器传递矩阵H_p表示为：

$H_p=\left[\begin{array}{cc}{H}_{\mathrm{ii}}^p& H_{\mathrm{ij}}^p\\ H_{\mathrm{ji}}^p& H_{\mathrm{jj}}^p\end{array}\right];$

其中下标j代表航天器与动量轮连接处的界面坐标，i代表非界面坐标。

步骤2)动量轮的弹簧质量块数学模型如下：

$M_f=\left[\begin{array}{cccccccccc}m& & & & & & & & & \\ & m& & & & & & & & \\ & & m& & & & & & & \\ & & & \mathrm{Irr}& & & & & & \\ & & & & \mathrm{Irr}& & & & & \\ & & & & & 0& & & & \\ & & & & & & 0& & & \\ & & & & & & & 0& & \\ & & & & & & & & 0& \\ & & & & & & & & & 0\end{array}\right],$

$C_f=\left[\begin{array}{cccccccccc}c& 0& 0& 0& 0& -c& 0& 0& 0& 0\\ 0& c& 0& 0& 0& 0& -c& 0& 0& 0\\ 0& 0& c_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& -c_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{cd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& {-\mathrm{cd}}^2\\ -c& 0& 0& 0& 0& c& 0& 0& 0& 0\\ 0& -c& 0& 0& 0& 0& c& 0& 0& 0\\ 0& 0& {-c}_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& c_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& {-\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2\end{array}\right],$

$K_f=\left[\begin{array}{cccccccccc}k& 0& 0& 0& 0& -k& 0& 0& 0& 0\\ 0& k& 0& 0& 0& 0& -k& 0& 0& 0\\ 0& 0& k_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& -k_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{kd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& {-\mathrm{kd}}^2\\ -k& 0& 0& 0& 0& k& 0& 0& 0& 0\\ 0& -k& 0& 0& 0& 0& k& 0& 0& 0\\ 0& 0& {-k}_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& k_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& {-\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2\end{array}\right];$

其中，m代表动量轮转子质量；Irr代表动量轮转子相对质心的径向转动惯量；其中k代表轴承的径向刚度，ω_r代表模态测试确定的径向平动模态角频率；其中k_az代表轴承的轴向刚度，ω_az代表模态测试确定的轴向平动模态角频率；其中d为轴承长度的1/2，ω_swing代表模态测试确定的摇摆模态角频率；c代表轴承径向平动阻尼；c_az代表轴承轴向平动模态阻尼；c及c_az可直接由模态测试结果确定。

步骤3)航天器结构与动量轮结构的耦合传递特性矩阵H_s为：

H_s(ω)＝Z^-1(ω)；

其中 $Z\left(\mathrm{\ω}\right)=\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{\mathrm{ii}}^p& 0& Z_{\mathrm{ij}}^p\\ 0& Z_{\mathrm{ii}}^f& Z_{\mathrm{ij}}^f\\ Z_{\mathrm{ji}}^0& Z_{\mathrm{ji}}^f& Z_{\mathrm{jj}}^p+Z_{\mathrm{jj}}^f\end{array}\right],$ 下标j代表连接处的界面坐标，i代表非界面坐标，p代表航天器，f代表动量轮；由传递矩阵H_p计算获得：

$\left[\begin{array}{cc}{Z}_{\mathrm{ii}}^p& Z_{\mathrm{ij}}^p\\ Z_{\mathrm{ji}}^p& Z_{\mathrm{jj}}^p\end{array}\right]={\left[\begin{array}{c}{H}_p\end{array}\right]}^{-1}$

满足如下关系：

$\left[\begin{array}{cc}{Z}_{\mathrm{ii}}^f& Z_{\mathrm{ij}}^f\\ Z_{\mathrm{ji}}^f& Z_{\mathrm{jj}}^f\end{array}\right]=-{\mathrm{\ω}}^2{M}_f+\mathrm{i\ω}{C}_f+K_f.$

步骤4)中耦合动响应的计算结果为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_i\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_n\left(t\right)\end{array}\right\}={\∫}_{-\∞}^{+\∞}\left[\begin{array}{ccc}{h}_{11}(t-\mathrm{\τ})& ...& h_{1n}(t-\mathrm{\τ})\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ h_{i1}(t-\mathrm{\τ})& ...h_{\mathrm{ij}}(t-\mathrm{\τ})...& h_{\mathrm{in}}(t-\mathrm{\τ})\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ h_{n1}(t-\mathrm{\τ})& ...& h_{\mathrm{nn}}(t-\mathrm{\τ})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ f_j\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ f_{\left(n\right)}\left(t\right)\end{array}\right\}\mathrm{d\τ};$

其中， $\left\{\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_i\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_n\left(t\right)\end{array}\right\}$ 为时域响应， $\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ f_j\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ f_n\left(t\right)\end{array}\right\}$ 为动量轮激励力，n为矩阵H_s(ω)的维数。

本发明与现有技术相比有益效果为：本专利利用测量数据获取的航天器传递矩阵能够在非常宽的频率范围内保持较高精度，根据位移协调条件及力协调条件建立的耦合分析方程能够充分反映动量轮与航天器的耦合作用，体现动量轮及航天器舱板局部模态的变化情况，刻画结构对动量轮扰动力的放大作用；此外，本专利建立的动量轮理论模型使用方便，动力学特性刻画准确，方便利用试验数据进行修正；故利用本专利提供方法获得的动量轮扰动响应分析结果精度较高。

附图说明

图1为本发明方法流程图；

图2为动量轮的弹簧质量简化模型。

具体实施方式

下面结合图1对本发明做进一步介绍。

(1)利用频率响应测试数据获取结构的传递矩阵H_p；

H_p可以表示为：

$H_p=\left[\begin{array}{cc}{H}_{\mathrm{ii}}^p& H_{\mathrm{ij}}^p\\ H_{\mathrm{ji}}^p& H_{\mathrm{jj}}^p\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中下标j代表航天器与动量轮连接处的界面坐标，i代表非界面坐标；

(2)开展模态试验，获得动量轮固定界面模态参数，利用试验结果计算动量轮弹簧-质量块模型中的M_f、C_f、K_f；

步骤(2)中动量轮弹簧-质量块模型如图2所示，M_f、C_f、K_f矩阵表示如下：

$M_f=\left[\begin{array}{cccccccccc}m& & & & & & & & & \\ & m& & & & & & & & \\ & & m& & & & & & & \\ & & & \mathrm{Irr}& & & & & & \\ & & & & \mathrm{Irr}& & & & & \\ & & & & & 0& & & & \\ & & & & & & 0& & & \\ & & & & & & & 0& & \\ & & & & & & & & 0& \\ & & & & & & & & & 0\end{array}\right]---\left(2\right)$

$C_f=\left[\begin{array}{cccccccccc}c& 0& 0& 0& 0& -c& 0& 0& 0& 0\\ 0& c& 0& 0& 0& 0& -c& 0& 0& 0\\ 0& 0& c_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& -c_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{cd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& {-\mathrm{cd}}^2\\ -c& 0& 0& 0& 0& c& 0& 0& 0& 0\\ 0& -c& 0& 0& 0& 0& c& 0& 0& 0\\ 0& 0& {-c}_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& c_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& {-\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2\end{array}\right]---\left(3\right)$

$K_f=\left[\begin{array}{cccccccccc}k& 0& 0& 0& 0& -k& 0& 0& 0& 0\\ 0& k& 0& 0& 0& 0& -k& 0& 0& 0\\ 0& 0& k_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& -k_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{kd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& {-\mathrm{kd}}^2\\ -k& 0& 0& 0& 0& k& 0& 0& 0& 0\\ 0& -k& 0& 0& 0& 0& k& 0& 0& 0\\ 0& 0& {-k}_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& k_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& {-\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中，m代表动量轮转子质量；Irr代表动量轮转子相对质心的径向转动惯量；其中k代表轴承的径向刚度，ω_r代表模态测试确定的径向平动模态角频率；其中k_az代表轴承的轴向刚度，ω_az代表模态测试确定的轴向平动模态角频率；其中d为轴承长度的1/2，ω_swing代表模态测试确定的摇摆模态角频率；c代表轴承径向平动阻尼；c_az代表轴承轴向平动模态阻尼；c及c_az可直接由模态测试结果确定。

(3)计算航天器结构与动量轮结构的耦合传递特性矩阵H_s；

动量轮的阻抗矩阵为：

Z_f＝-ω²M_f+iωC_f+K_f   (5)

也可表示为：

$Z_f=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{\mathrm{ii}}^f& Z_{\mathrm{ij}}^f\\ Z_{\mathrm{ji}}^f& Z_{\mathrm{jj}}^f\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中，j代表动量轮与航天器连接处的界面坐标，i代表非界面坐标。

卫星阻抗矩阵：

$Z_p=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{\mathrm{ii}}^p& Z_{\mathrm{ij}}^p\\ Z_{\mathrm{ji}}^p& Z_{\mathrm{jj}}^p\end{array}\right]={\left[\begin{array}{c}{H}_p\end{array}\right]}^{-1}---\left(7\right)$

其中，H_p由试验测量。

系统阻抗矩阵可写为：

$\left[\begin{array}{cccc}{Z}_{\mathrm{ii}}^p& Z_{\mathrm{ij}}^p& 0& 0\\ Z_{\mathrm{ji}}^p& Z_{\mathrm{jj}}^p& 0& 0\\ 0& 0& Z_{\mathrm{ii}}^f& Z_{\mathrm{ij}}^f\\ 0& 0& Z_{\mathrm{ji}}^f& Z_{\mathrm{jj}}^f\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{x}_i^p\\ x_j^p\\ x_i^f\\ x_j^f\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{F_i}^p\\ F_j^p\\ {F_i}^f\\ F_j^p\end{array}\right\}---\left(8\right)$

根据力协调方程：

$F_j^p+F_j^f=0$

及位移协调方程：

$x_j^p=x_j^f$

可得到系统耦合分析矩阵

$Z_s\left\{\begin{array}{c}{x}_i^p\\ x_i^f\\ x_j\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{F_i}^p\\ {F_i}^f\\ 0\end{array}\right\}---\left(9\right)$

其中， $Z_s=\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{\mathrm{ii}}^p& 0& Z_{\mathrm{ij}}^p\\ 0& Z_{\mathrm{ii}}^f& Z_{\mathrm{ij}}^f\\ Z_{\mathrm{ji}}^p& Z_{\mathrm{ji}}^f& Z_{\mathrm{jj}}^p+Z_{\mathrm{jj}}^f\end{array}\right].$

由此计算得到系统传递矩阵矩阵H_s(ω)中第i行第j列元素为H_ij(ω)。H_ij(ω)表示如下：

$H_{\mathrm{ij}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{X_i\left(\mathrm{\ω}\right)}{F_j\left(\mathrm{\ω}\right)}---\left(10\right)$

其中F_j(ω)为结构j自由度处施加的激励力，X_i(ω)为i自由度处位移响应。

(4)系统结构动响应求解

H_ij(ω)逆变换得到结构的脉冲响应传递函数位移时域响应可以根据杜哈梅积分公式计算：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_i\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_n\left(t\right)\end{array}\right\}={\∫}_{-\∞}^{+\∞}\left[\begin{array}{ccc}{h}_{11}(t-\mathrm{\τ})& ...& h_{1n}(t-\mathrm{\τ})\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ h_{i1}(t-\mathrm{\τ})& ...h_{\mathrm{ij}}(t-\mathrm{\τ})...& h_{\mathrm{in}}(t-\mathrm{\τ})\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ h_{n1}(t-\mathrm{\τ})& ...& h_{\mathrm{nn}}(t-\mathrm{\τ})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ f_j\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ f_{\left(n\right)}\left(t\right)\end{array}\right\}\mathrm{d\τ}---\left(11\right)$

其中， $\left\{\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_i\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_n\left(t\right)\end{array}\right\}$ 为时域响应序列， $\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ f_j\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ f_n\left(t\right)\end{array}\right\}$ 为动量轮激励力，n为矩阵H_s(ω)的维数。

本发明未详细说明部分属本领域技术人员公知常识。

Claims (5)

1.一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法，其特征在于步骤如下：

1)利用频率响应测试数据获取航天器结构的传递矩阵H_p；

2)对星上动量轮进行模态测试，建立动量轮弹簧质量块数学模型；

3)计算航天器结构与动量轮结构的耦合传递特性矩阵H_s；

4)计算获得动量轮与航天器结构的耦合动响应。

2.根据权利要求1所述的一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法，其特征在于：步骤1)所述航天器传递矩阵H_p表示为：

$H_p=\left[\begin{array}{cc}{H}_{\mathrm{ii}}^p& H_{\mathrm{ij}}^p\\ H_{\mathrm{ji}}^p& H_{\mathrm{jj}}^p\end{array}\right];$

其中下标j代表航天器与动量轮连接处的界面坐标，i代表非界面坐标。

3.根据权利要求1所述的一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法，其特征在于：步骤2)动量轮的弹簧质量块数学模型如下：

$M_f=\left[\begin{array}{cccccccccc}m& & & & & & & & & \\ & m& & & & & & & & \\ & & m& & & & & & & \\ & & & \mathrm{Irr}& & & & & & \\ & & & & \mathrm{Irr}& & & & & \\ & & & & & 0& & & & \\ & & & & & & 0& & & \\ & & & & & & & 0& & \\ & & & & & & & & 0& \\ & & & & & & & & & 0\end{array}\right],$

$C_f=\left[\begin{array}{cccccccccc}c& 0& 0& 0& 0& -c& 0& 0& 0& 0\\ 0& c& 0& 0& 0& 0& -c& 0& 0& 0\\ 0& 0& c_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& -c_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{cd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{cd}}^2\\ -c& 0& 0& 0& 0& c& 0& 0& 0& 0\\ 0& -c& 0& 0& 0& 0& c& 0& 0& 0\\ 0& 0& -c_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& c_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& -{\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{cd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{cd}}^2\end{array}\right],$

$K_f=\left[\begin{array}{cccccccccc}k& 0& 0& 0& 0& -k& 0& 0& 0& 0\\ 0& k& 0& 0& 0& 0& -k& 0& 0& 0\\ 0& 0& k_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& {-k}_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{kd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{kd}}^2\\ -k& 0& 0& 0& 0& k& 0& 0& 0& 0\\ 0& -k& 0& 0& 0& 0& k& 0& 0& 0\\ 0& 0& -k_{\mathrm{az}}& 0& 0& 0& 0& k_{\mathrm{az}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& -{\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{kd}}^2& 0& 0& 0& 0& {\mathrm{kd}}^2\end{array}\right];$

其中，m代表动量轮转子质量；Irr代表动量轮转子相对质心的径向转动惯量；ω_r代表模态测试确定的径向平动模态角频率；其中ω_az代表模态测试确定的轴向平动模态角频率；其中ω_swing代表模态测试确定的摇摆模态角频率；c代表模态测试确定的径向平动阻尼；c_az代表模态测试确定的轴向平动模态阻尼；cd²代表模态测试确定的摇摆模态阻尼。

4.根据权利要求2所述的一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法，其特征在于：步骤3)航天器结构与动量轮结构的耦合传递特性矩阵H_s为：

H_s(ω)＝Z^-1(ω)；

其中 $Z\left(\mathrm{\ω}\right)=\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{\mathrm{ii}}^p& 0& Z_{\mathrm{ij}}^p\\ 0& Z_{\mathrm{ii}}^f& Z_{\mathrm{ij}}^f\\ Z_{\mathrm{ji}}^p& Z_{\mathrm{ji}}^f& Z_{\mathrm{jj}}^p+Z_{\mathrm{jj}}^f\end{array}\right]\text{,}$ 下标j代表连接处的界面坐标，i代表非界面坐标，p代表航天器，f代表动量轮；由传递矩阵H_p计算获得：

$\left[\begin{array}{cc}{Z}_{\mathrm{ii}}^p& Z_{\mathrm{ij}}^p\\ Z_{\mathrm{ji}}^p& Z_{\mathrm{jj}}^p\end{array}\right]={\left[H_p\right]}^{-1}$

满足如下关系：

$\left[\begin{array}{cc}{Z}_{\mathrm{ii}}^f& Z_{\mathrm{ij}}^f\\ Z_{\mathrm{ji}}^f& Z_{\mathrm{jj}}^f\end{array}\right]=-{\mathrm{\ω}}^2{M}_f+\mathrm{i\ω}{C}_f+K_f.$

5.根据权利要求1所述的一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法，其特征在于：步骤4)中耦合动响应的计算结果为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ x_i\left(t\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ x_n\left(t\right)\end{array}\right\}={\∫}_{-\∞}^{+\∞}\left[\begin{array}{ccc}{h}_{11}(t-\mathrm{\τ})& \·\·\·& h_{1n}(t-\mathrm{\τ})\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ h_{i1}(t-\mathrm{\τ})& \·\·\·h_{\mathrm{ij}}(t-\mathrm{\τ})\·\·\·& h_{\mathrm{in}}(t-\mathrm{\τ})\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ h_{n1}(t-\mathrm{\τ})& \·\·\·& h_{\mathrm{nn}}(t-\mathrm{\τ})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(t\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ f_j\left(t\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ f_n\left(t\right)\end{array}\right\}\mathrm{d\τ};$

其中， $\left\{\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ x_i\left(t\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ x_n\left(t\right)\end{array}\right\}$ 为时域响应， $\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(t\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ f_j\left(t\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ f_n\left(t\right)\end{array}\right\}$ 为动量轮激励力，n为矩阵H_s(ω)的维数。