CN104458297B

CN104458297B - 基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法

Info

Publication number: CN104458297B
Application number: CN201410637676.1A
Authority: CN
Inventors: 冒泽慧; 詹彦豪; 姜斌; 周东华
Original assignee: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
Current assignee: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
Priority date: 2014-11-12
Filing date: 2014-11-12
Publication date: 2017-10-10
Anticipated expiration: 2034-11-12
Also published as: CN104458297A

Abstract

本发明公开了一种基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法，其包括如下步骤：(a)对列车车辆悬架系统进行建模，同时考虑外界干扰等建模不确定性对于系统的动态影响；(b)在列车运行过程中，获得动车/拖车车体与动车/拖车转向架的垂直位移，垂直加速度，俯仰角，俯仰角加速度信号；(c)将系统状态与未知干扰进行重构，形成新的闭环控制系统；(d)设计未知输入观测器，对新的闭环控制系统的状态进行估计，同时构造包含故障信息的残差信号；(e)根据接受区域生成故障报警阈值，依据假设检验决策判断是否报警，并构造置信区间，得到故障要可被检测到应满足的条件，控制故障检测的误报率与漏报率。

Description

基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法

技术领域：

本发明涉及基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法，尤其涉及基于未知输入观测器假设检验的故障检测方法。

背景技术：

高速列车悬架系统负责支撑车体和转向架，还起到缓冲由轨道不平顺所引起的轮轨作用力、控制列车行驶姿态以保证列车运行舒适性的作用，因此对其有高可靠性的要求。CRH型列车是指2007年4月18日起在中国铁路第六次铁路大提速后开行的动车组列车。到目前为止，已经建成世界上规模最大、运营速度最快的高速铁路网。随着高速列车的提速，列车的测速定位问题显得越来越重要，而传感器在高速铁路的测速和定位技术中成为当前的主流。为了提高我国高铁运行的安全性，针对高速列车悬架系统传感器故障诊断的研究势在必行。

高速列车悬架系统分为主动悬架和半主动悬架，采用闭环控制结构。悬架系统位于列车车体与转向架之间的二系悬架系统以及转向架与轮对之间的一系悬架系统，其中包含有大量的部件，包括螺旋弹簧、横向/垂向阻尼器、空气弹簧以及传感器。牵引控制单元中最关心的就是传感器故障，但目前鉴别和处理控制回路中的传感器故障技术匮乏，因此对于能够快速准确诊断传感器故障的技术有迫切的需求。而更深层次的是电机、电调短路、绝缘、噪声振动等。列车行驶时噪声、振动信号很大，但在目前对这些信号本身的关注较少，如能进行采集分析，这对故障诊断是有意义的。

发明内容：

为避免以上现有技术的不足，本发明提出一种基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法。

本发明采用如下技术方案：一种基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法，其特征在于：包括如下步骤

(a)对列车车辆悬架系统进行建模，同时考虑外界干扰等建模不确定性对于系统的动态影响；

(b)在列车运行过程中，获得动车/拖车车体与动车/拖车转向架的垂直位移，垂直加速度，俯仰角，俯仰角加速度信号；

(c)将系统状态与未知干扰进行重构，形成新的闭环控制系统；

(d)设计未知输入观测器，对新的闭环控制系统的状态进行估计，同时构造包含故障信息的残差信号；

(e)根据接受区域生成故障报警阈值，依据假设检验决策判断是否报警，并构造置信区间，得到故障要可被检测到应满足的条件，控制故障检测的误报率与漏报率。

本发明具有如下有益效果：

(1)本发明基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法主要包括两个部分：其一是设计未知输入观测器，以此构造能够将干扰完全解耦并包含故障信息的残差信号；其二是构造置信区间，再依据假设检验方法检测系统故障，以控制故障检测中的误报率与漏报率，从而更加准确地对闭环结构下的传感器故障进行实时检测；

(2)针对高速列车闭环控制结构的悬架系统，以传感器为故障诊断对象，该诊断方法对于外界干扰有很好的鲁棒性能，在悬架系统发生故障的时候可以实时检测到并且控制故障检测的误报率与漏报率；

(3)本发明可以用于基于MATLAB-SIMULINK仿真架构的传感器故障分析和系统可靠性分析。

附图说明：

图1为车辆垂向悬架系统示意图。

图2(a)为1号动车车体重心的垂向位移观测器估计误差。

图2(b)为1号动车转向架重心的垂向位移观测器估计误差。

图2(c)为1号动车车体重心的俯仰角观测器估计误差。

图2(d)为拖车车体重心的垂向位移观测器估计误差。

图2(e)为拖车车体重心的俯仰角观测器估计误差。

图2(f)为拖车转向架重心的垂向位移观测器估计误差。

图2(g)为2号动车车体重心的垂向位移观测器估计误差。

图2(h)为2号动车车体重心的俯仰角观测器估计误差。

图2(i)为2号动车转向架重心的垂向位移观测器估计误差。

图3为故障检测报警示意图。

具体实施方式：

下面结合说明书附图对本发明的具体实施方式作进一步详细的说明。

本发明基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法主要包括如下步骤：

步骤(a)中对列车车辆悬架系统的建模包括悬架系统垂向动力学建模，外界干扰等不确定性建模以及悬架传感器故障建模，其中系统空间状态方程为：

x(k+1)＝Ax(k)+Dd(k)+Bg(x,u,k)+δ(k)

z(k)＝Cx(k)+F_sf(k)+η(k)

其中x(k)∈Rⁿ是车辆运动状态变量，包括车体和转向架的垂向位移以及车体和转向架的俯仰角；d(k)∈R^q为外界干扰等建模不确定性；g(x,u,k)是基于x(k)和u(k)的非线性向量函数；δ(k),η(k)分别为过程噪声和测量噪声，且为独立的高斯白噪声序列，分别满足分布和其方差可分别表示为：Q(k)＝diag{q²(1),q²(2),…,q²(i)}和R(k)＝diag{r²(1),r²(2),…,r²(j)}；z(k)∈R^r是系统的测量信号，包括车体和转向架的垂向位移和俯仰角；f(k)∈R^s为常值传感器故障；A∈R^n×n,B∈R^n×n,C∈R^r×n,D∈R^n×q为状态空间方程相应的系数矩阵。

步骤(b)中通过硬件装置获取所需的状态信号，在列车运行过程中通过位移传感器获得动车/拖车车体与动车/拖车转向架的垂直位移，通过加速度传感器获得动车/拖车车体与动车/拖车转向架的垂直加速度与俯仰角加速度，通过陀螺仪获得动车/拖车车体与动车/拖车转向架的俯仰角。

步骤(a)中，根据图2所示的垂向悬挂系统，建立其状态空间方程：

其中，

x¹(k)＝[y¹(k+1) θ¹(k+1) y⁴(k+1) y¹(k) θ¹(k) y⁴(k)]^T

x²(k)＝[y²(k+1) θ²(k+1) y⁵(k+1) y²(k) θ²(k) y⁵(k)]^T

x³(k)＝[y³(k+1) θ³(k+1) y⁶(k+1) y³(k) θ³(k) y⁶(k)]^T

g₁＝sinx¹(k),g₂＝sinx²(k),g₃＝sinx³(k)

f＝[f₁ f₂ f₃]^T为故障向量

d(k)为外界干扰项，将其表示为对矩阵A的参数扰动，则有，

其中，Δa_i,j＝-0.2a_i,j

A₁₃＝0₆

B₁₃＝0₆

C₁＝C₂＝C₃＝[0₃ I₃]

δ(k),η(k)分别为独立的期望为零的高斯白噪声序列，其方差分别已知为Q(k),R(k)。

表1.物理参数

表2.状态变量物理意义

y₁	1号动车车体重心的垂向位移
		y₂	拖车车体重心的垂向位移
y₃	2号动车车体重心的垂向位移

y₄	1号动车转向架重心的垂向位移
		y₅	拖车转向架重心的垂向位移
y₆	2号动车转向架重心的垂向位移
		y₇	1号动车转向架的轨道垂直踏面(表征轨道的不平顺)
y₈	拖车转向架的轨道垂直踏面(表征轨道的不平顺)
		y₉	2号动车转向架的轨道垂直踏面(表征轨道的不平顺)
θ₁	1号动车车体重心的俯仰角
		θ₂	拖车车体重心的俯仰角
θ₃	2号动车车体重心的俯仰角

步骤(c)中：将未知输入与状态量进行扩张，形成新的闭环控制系统：

则原系统可变为：

其中，ω(k)＝[x^T(k) d^T(k)]^T为重构的状态向量，为新的状态空间方程对应的系数矩阵。

步骤(d)中，基于设计的未知输入观测器，所构造的残差信号能够将干扰完全解耦而对故障有鲁棒性，而且不含有原系统中的非线性项，其设计步骤如下：

步骤1、根据系统空间状态方程获得列车悬架系统的实际模型：

x(k+1)＝Ax(k)+Dd(k)+Bg(x,u,k)+δ(k)

z(k)＝Cx(k)+F_sf(k)+η(k)

其中，x(k),z(k)是实际模型的状态变量和输出变量，f(k)是实际模型中传感器故障信号；

步骤2、设计未知输入观测器，对重构的闭环控制系统的状态进行估计：

其中，ξ(k)∈R^n+q为观测器状态向量，为观测器输出向量，N,G,X,M为带设计的观测器系数矩阵。

步骤3、定义状态估计误差则有：

步骤4、求得观测器矩阵的解：

存在矩阵P＝P^T＞0,使得N^TPN-P＜0 (12)

则f(k)＝0时观测器状态估计误差是指数收敛稳定的。

观测器矩阵的解可由以下步骤求得，

1).由式(10)可选取得到矩阵X；

2).由式(11)可知其中为广义逆矩阵，有则有：

3).由式(12)可求得矩阵N；

4).由式(9)可知，

步骤五：构造包含故障信息的残差信号：

要使未知输入从残差中解耦，而故障不解耦，则S₁,S₂需满足以下条件：

S₂-S₁M≠0

找出合适的S₁,S₂，则有：

r(k)＝S₁e(k)+(S₂-S₁M)F_sf(k)+(S₂-S₁M)η(k) (14)

步骤(e)中，构造置信区间，运用假设检验方法检测系统故障，得到故障可被检测到的条件，控制故障检测中的误报率与漏报率，其设计步骤如下：

步骤1、由误差状态方程，得到误差的期望与方差量：

步骤2、

根据残差满足的高斯分布其中，σ²＝S₁P(k)S₁ ^T+(S₂-S₁M)R(k)(S₂-S₁M)^T

得到故障检测假设：

其中，H₀表示系统无故障发生，H₁表示系统已发生故障。

步骤3、此时选择残差均值估计μ(k)＝r(k)，得到接受区域B(k)，并有均值估计在区间的概率为：P(μ(k)∈B(k)/H₀)＝1-λ。经计算得B(k)可表示为：

其中，Cov{μ(k)/H₀}＝σ²＝S₁P(k)S₁ ^T+(S₂-S₁M)R(k)(S₂-S₁M)^T，而h_λ/2表示有λ/2的概率在区间[h_λ/2,+∞]中。

则可得出k时刻假设检验决策为：

若有则在时刻T_d发生故障，即为D_test(T_d)＝H₁。

步骤4、构造置信区间A(k)，并有此时的估计均值μ(k)在区间的概率为：

P(μ(k)∈A(k)/H₁)＝1-υ,k＞T₀，类似计算接受区域B(k)，得出置信区间A(k)可表示为：

其中，Cov{μ(k)/H₁}＝σ²＝S₁P(k)S₁ ^T+(S₂-S₁M)R(k)(S₂-S₁M)^T

则对于故障f(k)有|f(k)|≥ε,故障能够被检测的充分条件是：

步骤5、得到故障检测的误报率与漏报率：

其误报率为：P(D_test(k)＝H₁|H₀)＝1-P(μ(k)∈B(k)|H₀)＝λ (20)

其中，D_test(k)表示k时刻的检验决策。故障检出率θ以及漏报率1-θ，其可以定义为：

1-θ＝1-P(D_test(k)＝H₁|H₁)＝P(μ(k)∈B(k)|H₁) (21)

则有：

因此，漏报率大小可限定为：

由上述可知，我们可选择合适的参数以减小系统的误报率与漏报率。

下面对本发明基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法进行仿真验证：

步骤1.选择合适的系统仿真参数：选取采样时间为T＝0.001s；过程噪声和测量噪声的方差分别为：Q(k)＝0.01²I_18×18,R(k)＝0.01²I_9×9；选取e(0)＝0.01²I_26×26；

步骤2.注入故障信号：假设此时第三车体传感器正发生故障，则有假定故障开始时间为第4个离散时间，此时选取λ＝υ＝0.05，则可选择注入大小为1的常值故障；

步骤3.将得到的状态空间模型导入到Matlab/Simulink中，并在Simulink中建立列车垂向悬架系统控制仿真模型。仿真时常为20秒。

由附图3可知本发明的方法可以有效的实现高速列车悬架系统传感器故障的检测，有效地解决了闭环控制结构下故障的检测及其工程实用问题，这对于高速列车悬架故障的实时监控具有重要的意义。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims

1.一种基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法，其特征在于：包括如下步骤

(a)对列车悬架系统进行建模，同时考虑外界干扰建模不确定性对于系统的动态影响；

(e)根据接受区域生成故障报警阈值，依据假设检验决策判断是否报警，并构造置信区间，得到故障能够被检测到应满足的条件，控制故障检测的误报率与漏报率；

所述步骤(a)中对列车悬架系统的建模包括悬架系统垂向动力学建模，外界干扰不确定性建模以及悬架传感器故障建模，所述系统空间状态方程为：

x(k+1)＝Ax(k)+Dd(k)+Bg(x,u,k)+δ(k)

z(k)＝Cx(k)+F_sf(k)+η(k)

其中x(k)∈Rⁿ是车辆运动状态变量，包括车体和转向架的垂向位移以及车体和转向架的俯仰角；g(x,u,k)是基于x(k)和u(k)的非线性向量函数；δ(k),η(k)分别为过程噪声和测量噪声，且为独立的高斯白噪声序列，分别满足分布和其方差可分别表示为：Q(k)＝diag{q²(1),q²(2),…,q²(i)}和R(k)＝diag{r²(1),r²(2),…,r²(j)}；q²(1),q²(2),...,q²(i)为Q(k)对角线元素，r²(1),r²(2),...,r²(j)为R(k)对角线元素，z(k)∈R^r是系统的测量信号，包括车体和转向架的垂向位移和俯仰角；f(k)∈R^s为常值传感器故障；A∈R^n×n,B∈R^n×n,C∈R^r×n,D∈R^n×q为状态空间方程相应的系数矩阵，F_s为故障分布矩阵。

2.如权利要求1所述的基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法，其特征在于：所述步骤(b)中通过硬件装置获取所需的状态信号，在列车运行过程中通过位移传感器获得动车/拖车车体与动车/拖车转向架的垂直位移，通过加速度传感器获得动车/拖车车体与动车/拖车转向架的垂直加速度与俯仰角加速度，通过陀螺仪获得动车/拖车车体与动车/拖车转向架的俯仰角。

3.如权利要求1所述的基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法，其特征在于：所述步骤(c)中，将未知输入与状态量进行扩张，形成新的闭环控制系统：

<mrow> <mi>E</mi> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mover> <mi>A</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mover> <mi>B</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&omega;</mi> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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其中，ω(k)＝[x^T(k) d^T(k)]^T为重构的状态向量，E为奇异矩阵，为新的状态空间方程对应的系数矩阵。

4.如权利要求1所述的基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法，其特征在于：所述步骤(d)中，基于设计的未知输入观测器，所构造的残差信号能够将干扰完全解耦而对故障有鲁棒性，而且不含有原系统中的非线性项，其设计步骤如下：

x(k+1)＝Ax(k)+Dd(k)+Bg(x,u,k)+δ(k)

z(k)＝Cx(k)+F_sf(k)+η(k)

步骤2、为新的闭环控制系统设计未知输入观测器，对其状态进行估计：

<mrow> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>X</mi> <mover> <mi>B</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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其中，ξ(k)∈R^n+q为观测器状态向量，为观测器输出向量，N,G,X,M为待设计的观测器系数矩阵；

步骤3、定义状态估计误差：则有：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>M</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mover> <mi>C</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>I</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mi>&eta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>MF</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

根据Lyapunov稳定理论，得到无故障时观测器状态估计误差指数收敛有界；

步骤4、求得观测器矩阵的解：

<mrow> <mi>N</mi> <mi>X</mi> <mi>E</mi> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mover> <mi>C</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>X</mi> <mover> <mi>A</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>

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存在矩阵P＝P^T＞0,使得N^TPN-P＜0；

步骤5、构造包含故障信息的残差信号：

r(k)＝S₁e(k)+(S₂-S₁M)F_sf(k)+(S₂-S₁M)η(k)

其中，e(k)为观测器状态估计误差，S₁,S₂为待设计的系数矩阵。

5.如权利要求4所述的基于非线性随机模型的列车悬架系统传感器故障检测方法，其特征在于：所述步骤(e)中,构造置信区间，运用假设检验方法检测系统故障，得到故障可被检测到的条件，控制故障检测中的误报率与漏报率，其设计步骤如下：

步骤1、由状态估计误差，得到误差的期望与方差量：

E{e(k)}＝N^ke(0)

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>V</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mo>{</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mo>{</mo> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mover> <mo>=</mo> <mi>&Delta;</mi> </mover> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msup> <msup> <mi>XX</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>q</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mi>M</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mi>M</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>

步骤2、根据残差满足的高斯分布得到故障检测假设：

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其中，H₀表示系统无故障发生，H₁表示系统已发生故障；

步骤3、选择残差均值估计μ(k)＝r(k)，得到接受区域B(k)，并有均值估计在区间的概率为：P(μ(k)∈B(k)/H₀)＝1-λ，经计算得B(k)可表示为：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <msup> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msqrt> <mrow> <mi>C</mi> <mi>o</mi> <mi>v</mi> <mo>{</mo> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </msqrt> <mo>,</mo> <msup> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msqrt> <mrow> <mi>C</mi> <mi>o</mi> <mi>v</mi> <mo>{</mo> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </msqrt> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，l(k)和u(k)分别为置信区间B(k)的上下区间值，Cov{μ(k)/H₀}＝σ²＝S₁P(k)S₁ ^T+(S₂-S₁M)R(k)(S₂-S₁M)^T，而h_λ/2表示有λ/2的概率在区间[h_λ/2,+∞]中，则可得出k时刻假设检验决策为：

若有则在时刻T_d发生故障，即为D_test(T_d)＝H₁；

步骤4、构造置信区间A(k)，并有此时的估计均值μ(k)在区间的概率为：P(μ(k)∈A(k)/H₁)＝1-υ,k＞T₀，υ为期望指标，类似计算接受区域B(k)，得出置信区间A(k)可表示为：

则对于故障f(k)有|f(k)|≥ε,故障能够被检测的充分条件是：

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步骤5、得到故障检测的误报率与漏报率

其误报率为：P(D_test(k)＝H₁|H₀)＝1-P(μ(k)∈B(k)|H₀)＝λ

其中，D_test(k)表示k时刻的检验决策，则可得出故障检出率θ以及漏报率1-θ，其可以定义为：

1-θ＝1-P(D_test(k)＝H₁|H₁)＝P(μ(k)∈B(k)|H₁)

则有：

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因此，漏报率大小可限定为：

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