CN104376525A - 基于迭代非线性双随机相位编码的图像加密方法 - Google Patents

Abstract

一种基于迭代非线性双随机相位编码的图像加密方法。按如下两大步骤进行：一是加密：利用基于非线性双随机相位编码框架的相位恢复算法将待加密图像的信息隐藏到两块相位板中，相位恢复算法的迭代运算中使用的波长、衍射距离将在解密过程中作为密钥使用；二是解密：将加密过程中得到的两块相位板正确放置在线性双随机相位编码系统中，就可以在系统的输出面上得到正确的解密结果；本发明提出的加密方法具有加密运算收敛速度快、解密光路结构简单的优点。

Description

基于迭代非线性双随机相位编码的图像加密方法

【技术领域】

本发明涉及一种信息安全技术领域和信息光学领域，特别是图像的安全加密方法。 

【背景技术】

20世纪80年代初期，信息光学技术开始被应用于信息安全领域。研究人员运用彩虹全息、莫尔条纹、光可变器件等技术对机密文档和认证信息进行保护，这些技术在信息防伪方面发挥了重要作用。图像是信息载体的重要形式之一，探索光学图像安全处理技术具有很高的学术和应用价值。目前运用最为广泛的光学图像加密技术是由美国Connecticut大学的Refregier和Javidi两位专家在1995年提出的基于4f系统的线性双随机相位编码技术。除了双随机相位编码技术之外，基于相位恢复算法的图像加密技术也受到科研人员越来越多的关注。相位恢复算法是一种由可测量的光场强度确定光场相位分布的方法和技术，它的提出最早是为了解决物理成像领域由强度探测器带来的相位丢失问题。1996年，Johnson和Brasher利用相位恢复算法将图像信息加密到两个相位板中，图像的解密则可以在双随机相位加密系统的光学装置中完成。此后，大量基于相位恢复算法的光学图像加密技术被陆续提出。国内科研人员在相位恢复算法加密方面的研究也取得了不少成果：中国科学院的司徒国海和张静娟提出了基于线性双随机加密系统框架下的相位恢复算法加密方法；台湾云林科技大学的张轩庭提出了基于改进的GS算法的菲涅耳域图像加密方法；哈尔滨工业大学的刘正君结合相位恢复算法和gyrator变换实现了双图像的加密，等等。这些方法大体可以归为两类：一是相位恢复算法加密型图像加密技术；二是相位恢复算法解密型图像加密技术。前者是运用相位恢复算法进行图像的加密，而解密 过程可以通过光学手段或者数字方式实现；对于后者，加密过程是在光学系统中完成，而相位恢复算法则用于图像的解密。这些图像加密方法中的绝大多数所采用的相位恢复算法都是在线性双随机相位编码的框架下实施的。 

【发明内容】

本发明要解决的技术问题是提供基于迭代非线性双随机相位编码的图像加密方法。 

解决上述技术问题采用如下技术措施：本基于迭代非线性双随机相位编码的图像加密方法按如下步骤进行： 

(1)加密： 

(i)f(x，y)代表待加密的原始图像，R₁(x，y)和R₂(u，v)是计算机随机生成的两个相位板，分别可以具体表示成exp[2πα(x，y)]和exp[2πβ(u，v)]，α(x，y)和β(u，v)代表两个在区间[0，1]上具有均匀概率分布并且统计无关的随机矩阵，其中(x，y)和(u，v)分别表示输入平面和菲涅耳衍射输出平面的坐标，运用迭代相位恢复算法进行加密时，假定在第n-1次(n＝1，2，3…)迭代过程中已经得到两个相位板P_n(x，y)和P′_n(u，v)，当n＝1时，特别规定P_n(x，y)＝R₁(x，y)、P′_n(u，v)＝R₂(u，v)，即两个计算机随机生成的相位板被用作第一次迭代运算过程使用的两个密钥； 

(ii)第n次迭代过程中，首先对相位板P_n(x，y)进行一次波长为λ，距离为z₁的菲涅耳变换，接着对变换后得到的复振幅进行取振幅和取相位操作，分别得到振幅分布g_n(u，v)和相位分布r_n(u，v)，即： 

$g_n(u,v)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[P_n(x,y)\left]\right\}---\left(1\right)$

$r_n(u,v)=\mathrm{PR}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[P_n(x,y)\left]\right\}---\left(2\right)$

其中PT{}代表取振幅运算，即除去复振幅的相位信息，PR{}代表取相位运算，即除去复振幅的振幅信息，FrT[]代表菲涅耳变换，以某一函数U₀(x，y)为例，在波长为λ的平面光波的照射下，传播方向上距离为z处的菲涅耳衍射分布U(u，v)数学上可以表示为： 

$\begin{array}{c}U(u,v)={\mathrm{FrT}}_{z,\mathrm{\λ}}\left[U_0(x,y)\right]\\ =\frac{\exp \left(\mathrm{jk}z\right)}{\mathrm{j\λ}z}\∫\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}{U}_0(x,y)\exp \left\{j\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}z}\right[{(u-x)}^2+{(v-y)}^2\left]\right\}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\end{array}---\left(3\right)$

其中k是波数，大小为式(1)的逆变换可以表示为： 

U₀(x，y)＝IFrT_z，λ[U(u，v)]      (4) 

其中IFrT[]代表逆菲涅耳变换； 

(iii)对g_n(u，v)和P′_n(u，v)的乘积作一次波长为λ，距离为z₂的菲涅耳变换，对变换后的结果进行取振幅和取相位操作，分别得到振幅图像f′_n(x，y)和相位分布r′_n(x，y)，即： 

$f_n^{\′}(x,y)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[g_n(u,v)P_n^{\′}(u,v)\left]\right\}---\left(5\right)$

$r_n^{\′}(x,y)=\mathrm{PR}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[g_n(u,v)P_n^{\′}(u,v)\left]\right\}---\left(6\right)$

(iv)如果n不大于预先设定的某一整数N，则对r′_n(x，y)和f(x，y)的乘积作一次逆菲涅耳变换，对变换后得到的复振幅分布进行取振幅和取相位操作后分别得到振幅分布g′_n+1(u，v)和相位分布P′_n+1(u，v)，接着对g′_n+1(u，v)和r_n(u，v)的乘积作逆菲涅耳变换，对变换后的结果进行取相位操作，得到相位分布P_n+1(x，y)，计算公式分别如下： 

$g_{n+1}^{\′}(u,v)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{IFrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[f(x,y)r_n^{\′}(x,y)\left]\right\}---\left(7\right)$

$P_{n+1}^{\′}(u,v)=\mathrm{PR}\left\{{\mathrm{IFrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[f(x,y)r_n^{\′}(x,y)\left]\right\}---\left(8\right)$

$P_{n+1}(x,y)=\mathrm{PR}\left\{{\mathrm{IFrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[g_{n+1}^{\′}(u,v)r_n(u,v)\left]\right\}---\left(9\right)$

其中P′_n+1(u，v)、P_n+1(x，y)将用于下一轮迭代运算； 

(v)重复步骤(ii)-(iv)，当迭代次数n达到N时，分别由式(8)、式(9)得到两个相位密钥P′_N+1(u，v)、P_N+1(x，y)，利用P′_N+1(u，v)、P_N+1(x，y)根据式(1)和式(5)得到振幅图像f′_N+1(x，y)，即 

$f_{N+1}^{\′}(x,y)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[P_{n+1}(x,y)\left]\right\}{P}_{n+1}^{\′}(u,v)\left\}\right\}---\left(10\right)$

两个用于光学解密的相位板P₁(x，y)、P₂(u，v)分别为 

P₁(x，y)＝P_N+1(x，y)      (11) 

$P_2(u,v)=P_{N+1}^{\′}(u,v)r_{N+1}^{*}(u,v)---\left(12\right)$

其中 $r_{N+1}(u,v)=\mathrm{PR}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[P_{N+1}(x+y)\left]\right\},$ *表示相位共轭，由式(10)、式(11)和式(12)得到迭代结束后输出的振幅图像： 

$f^{\′}(x,y)=f_{N+1}^{\′}(x,y)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left[P_1(x,y)\right]P_2(u,v)\left\}\right\}---\left(13\right)$

(2)解密： 

(i)对加密过程中得到的P₁(x，y)作一次波长为λ，距离为z₁的菲涅耳变换，变换后的结果为 

$h_1(u,v)={\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left[P_1(x,y)\right]---\left(14\right)$

(ii)h₁(u，v)与加密过程中得到的另一相位板P₂(u，v)相乘后作一次波长为λ，距离为z₂的菲涅耳变换，对变换后的结果进行取振幅操作，得到最终的解密结果D(x，y)，即 

$D(x,y)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[h_1(u,v)P_2(u,v)\left]\right\}---\left(15\right)$

综合以上过程，解密结果可以表述为： 

$D(x,y)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left[P_1(x,y)\right]P_2(u,v)\left\}\right\}=f^{\′}(x,y)---\left(16\right)$

因此，迭代过程中使用的波长λ、传播距离z₁和z₂以及加密过程生成的两个相位板P₁(x，y)、P₂(u，v)都是光学解密过程中所必需的密钥；解密得到的图 像D(x，y)与迭代加密过程中计算得到的振幅图像f′(x，y)相同。 

本发明的有益效果在于：首先，解密过程运用光学方法，解密过程中不需要运用全息技术进行相位信息的记录，相位板之间也不需要放置光学透镜，解密装置简单；其次，图像的加密和解密都运用了菲涅耳变换，变换中涉及的衍射距离、光波波长都成了光学解密过程中必需的密钥，从而扩大了密钥空间，提升了系统的安全性；最后，加密过程采用的基于迭代非线性双随机相位编码的相位恢复算法收敛速度快，恢复质量高。 

【附图说明】

图1为加密过程流程图。 

图2为解密过程流程图。 

图3为光学加密装置示意图。 

图4(a)待加密图像f(x，y)；(b)P₁(x，y)的相位分布；(c)P₂(u，v)的相位分布。 

图5(a)迭代运算过程中得到的振幅图像f′_N+1(x，y)和原图像f(x，y)之间的CC值与迭代次数N的关系图。 

图6不同的迭代次数对应的解密结果：(a)N＝3；(b)N＝10；(c)N＝50。 

图7(a)单独使用P₁(x，y)进行解密后得到的结果；(b)单独使用P₂(u，v)进行解密后得到的结果。 

图8(a)使用错误的衍射参数z₁＝31cm进行解密后得到的结果(b)使用错误的衍射参数z₂＝41cm进行解密后得到的结果；(c)使用错误的波长即λ＝642nm进行解密后得到的结果。 

图9(a)使用错误的P₁(x，y)进行解密后得到的结果；(b)使用错误的P₂(u，v)进行解密后得到的结果。 

【具体实施方式】

本发明所述方法的具体实施方式如下： 

(1)图像的加密过程(如图1所示)分如下几个步骤： 

(i)f(x，y)代表待加密的原始图像，R₁(x，y)和R₂(u，v)是计算机随机生成的两个相位板，分别可以具体表示成exp[2πα(x，y)]和exp[2πβ(u，v)]，α(x，y)和β(u，v)代表两个在区间[0，1]上具有均匀概率分布并且统计无关的随机矩阵，其中(x，y)和(u，v)分别表示输入平面和菲涅耳衍射输出平面的坐标，运用迭代相位恢复算法进行加密时，假定在第n-1次(n＝1，2，3…)迭代过程中已经得到两个相位板P_n(x，y)和P′_n(u，v)，当n＝1时，特别规定P_n(x，_y)＝R₁(x，y)、P′_n(u，v)＝R₂(u，v)，即两个计算机随机生成的相位板被用作第一次迭代运算过程使用的两个密钥； 

(ii)第n次迭代过程中，首先对相位板P_n(x，y)进行一次波长为λ，距离为z₁的菲涅耳变换，接着对变换后得到的复振幅进行取振幅和取相位操作，分别得到振幅分布g_n(u，v)和相位分布r_n(u，v)，即： 其中PT{}代表取振幅运算，即除去复振幅的相位信息，PR{}代表取相位运算，即除去复振幅的振幅信息，FrT[]代表菲涅耳变换，以某一函数U₀(x，y)为例，在波长为λ的平面光波的照射下，传播方向上距离为z处的菲涅耳衍射分布U(u，v)数学上可以表示为：  $U(u,v)={\mathrm{FrT}}_{z,\mathrm{\λ}}\left[U_0(x,y)\right]=\frac{\exp \left(\mathrm{jk}z\right)}{\mathrm{j\λ}z}\∫\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}{U}_0(x,y)\exp \left\{j\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}z}\right[{(u-x)}^2+{(v-y)}^2\left]\right\}\mathrm{dx}\mathrm{dy},$ 其中k是波数，大小为式(1)的逆变换可以表示为：U₀(x，y)＝IFrT_z，λ[U(u，v)]，其中IFrT[]代表逆菲涅耳变换； 

(iii)对g_n(u，v)和P′_n(u，v)的乘积作一次波长为λ，距离为z₂的菲涅耳变 换，对变换后的结果进行取振幅和取相位操作，分别得到振幅图像f′_n(x，y)和相位分布r′_n(x，y)，即： $f_n^{\′}(x,y)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[g_n(u,v)P_n^{\′}(u,v)\left]\right\},$ $r_n^{\′}(x,y)=\mathrm{PR}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[g_n(u,v)P_n^{\′}(u,v)\left]\right\};$

(iv)如果n不大于预先设定的某一整数N，则对r′_n(x，y)和f(x，y)的乘积作一次逆菲涅耳变换，对变换后得到的复振幅分布进行取振幅和取相位操作后分别得到振幅分布g′_n+1(u，v)和相位分布P′_n+1(u，v)，接着对g′_n+1(u，v)和r_n(u，v)的乘积作逆菲涅耳变换，对变换后的结果进行取相位操作，得到相位分布P_n+1(x，y)，计算公式分别如下： $g_{n+1}^{\′}(u,v)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{IFrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[f(x,y)r_n^{\′}(x,y)\left]\right\},$ $P_{n+1}^{\′}(u,v)=\mathrm{PR}\left\{{\mathrm{IFrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[f(x,y)r_n^{\′}(x,y)\left]\right\},P_{n+1}(x,y)=\mathrm{PR}\left\{{\mathrm{IFrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[g_{n+1}^{\′}(u,v)r_n(u,v)\left]\right\},$ 其中P′_n+1(u，v)、P_n+1(x，y)将用于下一轮迭代运算； 

(v)重复步骤(ii)-(iv)，当迭代次数n达到N时，分别由式(8)、式(9)得到两个相位密钥P′_N+1(u，v)、P_N+1(x，y)，利用P′_N+1(u，v)、P_N+1(x，y)根据式(1)和式(5)得到振幅图像f′_N+1(x，y)，即  $f_{N+1}^{\′}(x,y)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[P_{n+1}(x,y)\left]\right\}{P}_{n+1}^{\′}(u,v)\left\}\right\},$ 两个用于光学解密的相位板P₁(x，y)、P₂(u，v)分别为P₁(x，y)＝P_N+1(x，y)、  $P_2(u,v)=P_{N+1}^{\′}(u,v)r_{N+1}^{*}(u,v),$ 其中 $r_{N+1}(u,v)=\mathrm{PR}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[P_{N+1}(x+y)\left]\right\},$ *表示相位共轭，由式(10)、式(11)和式(12)得到迭代结束后输出的振幅图像： 

$f^{\′}(x,y)=f_{N+1}^{\′}(x,y)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left[P_1(x,y)\right]P_2(u,v)\left\}\right\};$

(2)图像的解密过程(如图2所示)： 

(2)解密： 

(i)对加密过程中得到的P₁(x，y)作一次波长为λ，距离为z₁的菲涅耳变换，变换后的结果为 $h_1(u,v)={\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left[P_1(x,y)\right];$

(ii)h₁(u，v)与加密过程中得到的另一相位板P₂(u，v)相乘后作一次波长为 λ，距离为z₂的菲涅耳变换，对变换后的结果进行取振幅操作，得到最终的解密结果D(x，y)，即 $D(x,y)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[h_1(u,v)P_2(u,v)\left]\right\};$

综合以上过程，解密结果可以表述为：  $D(x,y)=\mathrm{PT}\left\{{\mathrm{FrT}}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{{\mathrm{FrT}}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left[P_1(x,y)\right]P_2(u,v)\left\}\right\}=f^{\′}(x,y),$ 因此，迭代过程中使用的波长λ、传播距离z₁和z₂以及加密过程生成的两个相位板P₁(x，y)、P₂(u，v)都是光学解密过程中所必需的密钥；解密得到的图像D(x，y)与迭代加密过程中计算得到的振幅图像f′(x，y)相同。 

下面对本发明中采用的光学解密方式进行具体说明： 

光学解密的过程参照图3，两个相位板P₁(x，y)和P₂(u，v)之间的距离为z₁，系统输出面的位置即CCD进行光强记录的位置与相位板P₂(u，v)之间的距离为z2，在单位振幅平面波入射下，系统输出面上的复振幅信息则可以表示为 由计算机控制的CCD直接探测到解密图像的信息为[f′(x，y)]²，最终在计算机中得到解密图像f′(x，y)。 

在迭代运算过程中使用相关系数(the correlation coefficient，CC)来衡量两幅图像的相似度，已知f(x，y)和f′(x，y)分别表示原始图像和N次迭代运算后对应的解密图像，两者间的CC值可以表示为： 

$\mathrm{CC}=\frac{E\left\{\right[f-E\left[f\right]\left]\right[f^{\′}-E\left[f^{\′}\right]\left]\right\}}{\sqrt{E\left\{{[f-E[f\left]\right]}^2\right\}E\left\{{[f^{\′}-E[f^{\′}\left]\right]}^2\right\}}}---\left(17\right)$

其中E[]代表数学期望运算符，上式中函数的坐标已经略去，通过CC可以反映出本方法所进行的迭代运算的收敛性和图像恢复的质量。 

下面结合实施例和附图对本发明的内容进行进一步的解释。 

图4(a)是待加密图像，大小为256×256，根据加密流程图图1进行加密， 迭代运算50次后得到的两个相位板P₁(x，y)、P₂(u，v)的相位分布分别如图4(b)、4(c)所示。仿真中采用的入射光波波长λ为632nm，衍射距离z₁、z₂分别为30cm、40cm。每次迭代都会生成两个用于解密的相位板，运用这两个相位板解密得到的图像(即f′(x，y))与原图之间的CC值的分布如图5所示。迭代运算次数从1到10，原图和解密结果之间的CC值迅速增加，当迭代次数到达10次时，CC值为0.9998。迭代运算14次后计算得到的CC值达到最大值，即1，在这之后相关度不再发生变化。迭代运算3次后对应的解密结果如图6(a)所示。迭代运算10次后对应的解密结果则如图6(b)所示，可以看出，从视觉上已经无法分辨出它与原图之间的区别。迭代运算50次后对应的解密结果如图6(c)所示。图6充分表明本发明采用的相位恢复算法收敛速度非常快。 

接着测试本发明提出的加密方法的安全性。首先测试两个相位板自身的安全性。当单独使用P₁(x，y)进行解密，即在光学解密示意图图3中移去P₂(u，v)时，得到的解密结果如图7(a)所示；当单独使用P₂(u，v)进行解密时得到的解密结果如图7(b)所示。图7说明当其中任意一个相位板被单独放置在解密装置中时，均不会出现信息的泄露问题，只有当两个相位板同时使用时，才能得到正确的解密图像，即图6(c)。仿真表明当入射光波波长λ、衍射距离z₁和z₂这三个参数中的任何一个发生错误时，都不能得到正确的解密结果。图8(a)-8(c)分别是参数z₁＝31cm(Δz₁＝1cm)、z₂＝41cm(Δz₂＝1cm)和λ＝642nm(Δλ＝10nm)所对应的解密结果。仿真中所有解密过程采用的最大迭代次数均为50次，并且当其中一个错误的参数用于解密时，其他解密密钥均为正确。解密过程中若两个作为解密密钥的相位板中的任何一个发生错误，也无法得到正确的解密图像。当使用一个随机生成的相位板依次代替P₁(x，y)和P₂(u，v)时，得到的解密图像分别如图9(a)和图9(b)所示。 

Claims (1)

1.一种迭代非线性双随机相位编码的图像加密方法，其特征是按如下步骤进行：

(1)加密：

(i)f(x，y)代表待加密的原始图像，R₁(x，y)和R₂(u，v)是计算机随机生成的两个相位板，分别可以具体表示成exp[2πα(x，y)]和exp[2πβ(u，v)]，α(x，y)和β(u，v)代表两个在区间[0，1]上具有均匀概率分布并且统计无关的随机矩阵，其中(x，y)和(u，v)分别表示输入平面和菲涅耳衍射输出平面的坐标，运用迭代相位恢复算法进行加密时，假定在第n-1次(n＝1，2，3…)迭代过程中已经得到两个相位板P_n(x，y)和P′_n(u，v)，当n＝1时，特别规定P_n(x，y)＝R₁(x，y)、P′_n(u，v)＝R₂(u，v)，即两个计算机随机生成的相位板被用作第一次迭代运算过程使用的两个密钥；

(ii)第n次迭代过程中，首先对相位板P_n(x，y)进行一次波长为λ，距离为z₁的菲涅耳变换，接着对变换后得到的复振幅进行取振幅和取相位操作，分别得到振幅分布g_n(u，v)和相位分布r_n(u，v)，即：

$g_n(u,v)=\mathrm{PT}\left\{\mathrm{Fr}{T}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[P_n(x,y)\left]\right\}---\left(1\right)$

$r_n(u,v)=\mathrm{PR}\left\{\mathrm{Fr}{T}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[P_n(x,y)\left]\right\}---\left(2\right)$

其中PT{}代表取振幅运算，即除去复振幅的相位信息，PR{}代表取相位运算，即除去复振幅的振幅信息，FrT[]代表菲涅耳变换，以某一函数U₀(x，y)为例，在波长为λ的平面光波的照射下，传播方向上距离为z处的菲涅耳衍射分布U(u，v)数学上可以表示为：

$\begin{array}{c}U(u,v)=\mathrm{Fr}{T}_{z,\mathrm{\λ}}\left[U_0(x,y)\right]\\ =\frac{\exp \left(\mathrm{jkz}\right)}{\mathrm{j\λz}}\∫\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}{U}_0(x,y)\exp \left\{j\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{\λz}}\right[{(u-x)}^2+{(v-y)}^2\left]\right\}\mathrm{dxdy}\end{array}---\left(3\right)$

其中k是波数，大小为式(1)的逆变换可以表示为：

U₀(x，y)＝IFrT_z，λ[U(u，v)]            (4)

其中IFrT[]代表逆菲涅耳变换；

(iii)对g_n(u，v)和P′_n(u，v)的乘积作一次波长为λ，距离为z₂的菲涅耳变换，对变换后的结果进行取振幅和取相位操作，分别得到振幅图像f′_n(x，y)和相位分布r′_n(x，y)，即：

$f_n^{\′}(x,y)=\mathrm{PT}\left\{\mathrm{Fr}{T}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[g_n(u,v)P_n^{\′}(u,v)\left]\right\}---\left(5\right)$

$r_n^{\′}(x,y)=\mathrm{PR}\left\{\mathrm{Fr}{T}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[g_n(u,v)P_n^{\′}(u,v)\left]\right\}---\left(6\right)$

(iv)如果n不大于预先设定的某一整数N，则对r′_n(x，y)和f(x，y)的乘积作一次逆菲涅耳变换，对变换后得到的复振幅分布进行取振幅和取相位操作后分别得到振幅分布g′_n+1(u，v)和相位分布P′_n+1(u，v)，接着对g′_n+1(u，v)和r_n(u，v)的乘积作逆菲涅耳变换，对变换后的结果进行取相位操作，得到相位分布P_n+1(x，y)，计算公式分别如下：

$g_{n+1}^{\′}(u,v)=\mathrm{PT}\left\{\mathrm{IFr}{T}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[f(x,y)r_n^{\′}(x,y)\left]\right\}---\left(7\right)$

$P_{n+1}^{\′}(u,v)=\mathrm{PR}\left\{\mathrm{IFr}{T}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[f(x,y)r_n^{\′}(x,y)\left]\right\}---\left(8\right)$

$P_{n+1}(x,y)=\mathrm{PR}\left\{\mathrm{IFr}{T}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[g_{n+1}^{\′}(u,v)r_n(u,v)\left]\right\}---\left(9\right)$

其中P′_n+1(u，v)、P_n+1(x，y)将用于下一轮迭代运算；

(v)重复步骤(ii)-(iv)，当迭代次数n达到N时，分别由式(8)、式(9)得到两个相位密钥P′_N+1(u，v)、P_N+1(x，y)，利用P′_N+1(u，v)、P_N+1(x，y)根据式(1)和式(5)得到振幅图像f′_N+1(x，y)，即

$f_{N+1}^{\′}(x,y)=\mathrm{PT}\left\{\mathrm{Fr}{T}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{\mathrm{PT}\left\{\mathrm{Fr}{T}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[P_{n+1}(x,y)\left]\right\}{P}_{n+1}^{\′}(u,v)\left\}\right\}---\left(10\right)$

两个用于光学解密的相位板P₁(x，y)、P₂(u，v)分别为

P₁(x，y)＝P_N+1(x，y)              (11)

$P_2(u,v)=P_{N+1}^{\′}(u,v)r_{N+1}^{*}(u,v)---\left(12\right)$

其中 $r_{N+1}(u,v)=\mathrm{PR}\left\{\mathrm{Fr}{T}_{z_1,\mathrm{\λ}}\right[P_{N+1}(x,y)\left]\right\},$ *表示相位共轭，由式(10)、式(11)和式(12)得到迭代结束后输出的振幅图像：

$f^{\′}(x,y)=f_{N+1}^{\′}(x,y)=\mathrm{PT}\left\{\mathrm{Fr}{T}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{\mathrm{Fr}{T}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left[P_1(x,y)\right]P_2(u,v)\left\}\right\}---\left(13\right)$

(2)解密：

(i)对加密过程中得到的P₁(x，y)作一次波长为λ，距离为z₁的菲涅耳变换，变换后的结果为

$h_1(u,v)=\mathrm{Fr}{T}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left[P_1(x,y)\right]---\left(14\right)$

(ii)h₁(u，v)与加密过程中得到的另一相位板P₂(u，v)相乘后作一次波长为λ，距离为z₂的菲涅耳变换，对变换后的结果进行取振幅操作，得到最终的解密结果D(x，y)，即

$D(x,y)=\mathrm{PT}\left\{\mathrm{Fr}{T}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right[h_1(u,v)P_2(u,v)\left]\right\}---\left(15\right)$

综合以上过程，解密结果可以表述为：

$D(x,y)=\mathrm{PT}\left\{\mathrm{Fr}{T}_{z_2,\mathrm{\λ}}\right\{\mathrm{Fr}{T}_{z_1,\mathrm{\λ}}\left[P_1(x,y)\right]P_2(u,v)\left\}\right\}=f^{\′}(x,y)---\left(16\right)$

因此，迭代过程中使用的波长λ、传播距离z₁和z₂以及加密过程生成的两个相位板P₁(x，y)、P₂(u，v)都是光学解密过程中所必需的密钥；解密得到的图像D(x，y)与迭代加密过程中计算得到的振幅图像f′(x，y)相同。