CN104330298B - 表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法及装置 - Google Patents

Abstract

一种表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法及装置，包括：建立纳米压痕试验的有限元模型，验证模型可靠性；基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，预估表面梯度材料的细观力学性能参数，结合所述的有限元模型计算其相应微观力学性能参数；基于数学建模法，对施加载荷和压痕接触深度进行量纲分析，建立无量纲方程；根据无量纲方程，选取预估及计算的相应细微观力学性能参数，建立无量纲函数关系式；沿试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，获得载荷‑位移响应曲线，反推材料相应位置的细观力学性能参数；基于确定的细观力学性能参数，建立表面梯度材料的细观力学性能梯度曲线。

Description

表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法及装置

技术领域

本发明是关于金属材料力学性能测试技术，特别是关于一种表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法及装置。

背景技术

随着工业高精端的发展，微小型机械或构件被大量研制与使用。同时，为满足机构具有高强度、高可靠性等要求，脉冲放电、离子注入、激光冲击及渗碳处理工艺等新型表面处理工艺也被广泛采用。因此，明确包含处理层在内的构件材料的基础力学性能，显得尤为重要。

传统金属材料的力学性能是通过标准试件的单调拉伸试验获得。对应表面处理的材料，其力学性能测量存在两个问题：(1)无视处理层的存在，将处理层和基体视为均匀材料来处理，没有虑及材料表面性能的梯度变化。(2)对于微小型构件而言，其试验设备及测量方法均不适用。纳米压痕仪可以用于材料在微纳米级力学性能的测定，但是目前的研究主要集中于薄膜材料，而对于表面处理金属材料仅仅侧重于硬度的测试，至今没有形成一种有效的、包含处理层在内的材料梯度力学性能表征方法。

因此，一种具有较好理论性、实用可靠、简洁方便的表面梯度金属材料的细微观力学性能评估方法亟待建立。

发明内容

本发明提供一种表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法及装置，以避免忽略表面处理层而近似测定材料力学性能所带来的误差，弥补表面梯度力学性能表征方法的空白。

为了实现上述目的，本发明提供一种表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法，所述的细微观力学性能评估测量方法包括：

步骤1：通过二维建模、赋予材料属性、网格划分、施加边界条件等，建立纳米压痕试验的有限元仿真模型，并验证其准确性；

步骤2：基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，预估表面梯度材料的细观力学性能参数(E，σ_y，n)，结合所述的有限元模型计算所述细观力学性能参数对应的微观力学性能参数(F，S，h_c)；其中，E为所测材料的弹性模量，σ_y为所测材料的屈服应力，n为所测材料的应变硬化指数，F为纳米压痕试验机压头上的加载载荷，S为所测材料的硬度，h_c为压头与所测材料之间的压痕接触深度；

步骤3：基于数学建模法，对加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c进行量纲分析，建立关于压头和所测材料相关参数的无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(2\right)$

步骤4：根据无量纲方程，结合步骤2中预估及计算的相应的材料细微观力学参数(E、σ_y、n、F、S、h_c)，建立无量纲函数关系式：

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=(a-\mathrm{bn}){\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)}^{[c\log \left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)-\mathrm{dn}]}---\left(3\right)$

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=e+\mathrm{fexp}\left(\mathrm{gn}\right)\exp \left[i\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)\right]---\left(4\right)$

其中，a、b、c、d、e、f、g、i均为拟合参数；

步骤5：制备表面梯度材料截面抛光试样，沿所述试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线。得到材料硬度、最大加载载荷F及压痕接触深度h_c的值，并将所述材料硬度、最大加载载荷F及压痕接触深度h_c的值代入到无量纲关系式中，反推出表面梯度材料相应位置的细观力学性能参数；

步骤6：将步骤5中得到的细观力学性能参数(E，σ_y，n)按深度作图，建立表面梯度材料的细观力学性能梯度曲线。

在一实施例中，在所述步骤1中，建立纳米压痕试验的有限元仿真模型，包括：采用二维模型对所测材料进行建模，利用一维线段对压头进行建模，生成纳米压痕试验的初始实体模型。鉴于模型的轴对称性，取所述初始实体模型的二分之一建立纳米压痕试验的有限元仿真模型。

在一实施例中，所述材料参数属性包括：σ_y＝1187MPa、E＝201GPa、ν＝0.3、n＝0.203。

在一实施例中，所述步骤2包括：基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，预估表面梯度材料的细观力学性能参数(E，σ_y，n)，结合所述的有限元模型，生成若干组载荷-位移响应曲线，根据所述载荷-位移响应曲线，计算出若干组相应微观力学参数(F，S，h_c)。

在一实施例中，所述步骤3包括：

基于数学建模法，将压头加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c分别表示为关于压头和所测材料相关参数的函数总方程：

F＝F(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (5)

h_c＝h_c(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (6)

其中，ν为所测材料的泊松比，E_i和ν_i分别为压头的弹性模量和泊松比，μ为压头与所测材料间的摩擦系数，θ为压头的半角角度；

在不考虑参数之间耦合的情况下，将所述函数总方程转化为无量纲函数：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}=F(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{v}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{v_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(7\right)$

$\frac{h_c}{{\mathrm{Eh}}^2}=h_c(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{v}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{v_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(8\right)$

上述压头和所测材料的参数中，只有弹性模量的量纲[E]和深度的量纲[h]是独立的，其他参数均用这两个独立量纲的指数积的形式表示。

省略所述无量纲函数中的E_i、ν_i及μ，对于一个给定角度θ的压头，应用Π定理，无量纲函数关系式进一步简化为所述的无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(2\right)$

在一实施例中，所述步骤5包括：制备表面梯度材料截面抛光试样，沿试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线。得到材料硬度、最大加载载荷F及压痕接触深度h_c的值，并将其代入到无量纲关系式中，反推出表面梯度材料相应位置的细观力学性能参数；

在一实施例中，所述步骤6包括：将步骤5中得到的细观力学性能参数按深度作图，建立表面梯度材料的细观力学性能梯度曲线。

为了实现上述目的，本发明提供了一种表面梯度金属材料的细微观力学性能评估及测量装置，所述的细微观力学性能测量方法装置包括：

模型建立单元，通过二维建模、赋予材料属性、网格划分、施加边界条件等，建立纳米压痕试验的有限元仿真模型，并验证其准确性；

细微观力学参数计算单元，基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，预估表面梯度材料的细观力学性能参数(E，σ_y，n)，结合所述的有限元模型计算所述细观力学性能参数对应的微观力学性能参数(F，S，h_c)；其中，E为所测材料的弹性模量，σ_y为所测材料的屈服应力，n为所测材料的应变硬化指数，F为纳米压痕试验机压头上的加载载荷，S为所测材料的硬度，h_c为压头与所测材料之间的压痕接触深度；

无量纲方程生成单元，基于数学建模法，对加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c进行量纲分析，建立关于压头和所测材料相关参数的无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(2\right)$

无量纲关系式生成单元，根据无量纲方程，结合细微观力学参数计算单元相对应材料的细微观力学参数(E，σ_y，n，F，S，h_c)，拟合得到无量纲函数关系式；

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=(a-\mathrm{bn}){\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)}^{[c\log \left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)-\mathrm{dn}]}---\left(3\right)$

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=e+\mathrm{fexp}\left(\mathrm{gn}\right)\exp \left[i\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)\right]---\left(4\right)$

其中，a、b、c、d、e、f、g、i均为拟合参数；

力学性能参数生成单元，制备表面梯度材料截面抛光试样，沿所述试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线。得到材料硬度、最大加载载荷F及压痕接触深度h_c的值，并将所述材料硬度、最大加载载荷F及压痕接触深度h_c的值代入到无量纲关系式中，反推出表面梯度材料相应位置的细观力学性能参数；

力学性能梯度曲线单元，将力学性能参数生成单元得到的细观力学性能参数按深度作图，建立表面梯度材料的细观力学性能梯度曲线。

在一实施例中，所述的模型建立单元具体用于：采用二维模型对所测材料进行建模，利用一维线段对压头进行建模，生成纳米压痕试验的初始实体模型。鉴于模型的轴对称性，取所述初始实体模型的二分之一建立有限元仿真模型。

在一实施例中，所述材料参数属性包括：σ_y＝1187MPa、E＝201GPa、ν＝0.3、n＝0.203。

在一实施例中，所述细微观力学参数计算单元具体用于：基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，预估表面梯度材料的细观力学性能参数(E，σ_y，n)，结合所述的有限元模型，生成若干组载荷-位移响应曲线，得到若干组微观力学参数(F，S，h_c)。

在一实施例中，所述无量纲方程生成单元包括：

总方程生成模块，基于数学建模法，将压头加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c分别表示为关于压头和所测材料相关参数的函数总方程：

F＝F(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (5)

h_c＝h_c(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (6)

其中，ν为所测材料的泊松比，E_i和ν_i分别为压头的弹性模量和泊松比，μ为压头与所测材料间的摩擦系数，θ为压头的半角角度；

无量纲函数生成模块，用于在不考虑参数之间耦合的情况下，将所述函数总方程转化为无量纲函数：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}=F(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{v}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{v_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(7\right)$

$\frac{h_c}{{\mathrm{Eh}}^2}=h_c(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{v}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{v_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(8\right)$

上述压头和所测材料的参数中，只有弹性模量的量纲[E]和深度的量纲[h]是独立的，其他参数均用这两个独立量纲的指数积的形式表示。

无量纲方程生成模块，用于省略所述无量纲函数中的E_i、ν_i及μ，对于一个给定角度θ的压头，应用Π定理将无量纲函数关系式进一步简化为所述的无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(2\right)$

在一实施例中，力学性能参数生成单元具体用于：制备表面梯度材料截面抛光试样，沿试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线。得到材料硬度、最大加载载荷F及压痕接触深度h_c，并将其代入到无量纲关系式中，反推出表面梯度材料相应位置的细观力学性能参数。

本发明在试验测定和表征方法上弥补了获得表面梯度金属材料的细微观力学性能的空白。本发明基于量纲分析法构建的表面梯度材料的微观力学性能与细观力学性能之间的关系，具备较好的理论基础，为研究表面梯度金属材料的可靠性分析和设计提供有效依据；本发明提供了一种新的表面梯度金属材料的细微观力学性能的表征方法及测量装置，可以更直观地了解表面梯度金属材料的力学性能变化。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例表面梯度金属材料的细微观力学性能测量方法流程图；

图2为本发明实施例纳米压痕参数示意图；

图3为本发明实施例有限元计算模型图；

图4为本发明实施例Cr-Mn合金钢纳米压痕仿真和试验对比图；

图5为本发明实施例的表面梯度金属材料的细微观力学性能测量装置的结构框图；

图6为本发明实施例的无量纲方程生成单元503的结构框图；

图7为本发明实施例的表面梯度金属材料的试验硬度分布图；

图8为本发明实施例的表面梯度金属材料的屈服强度拟合梯度曲线图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，本发明提供一种表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法，所述的细微观力学性能测量方法包括：

S101：通过二维建模、赋予材料属性、网格划分、施加边界条件等，建立纳米压痕试验的有限元仿真模型，并验证其准确性；

S102：基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，预估表面梯度材料细观力学性能参数(E，σ_y，n)，结合所述的有限元模型计算其相应微观力学性能参数(F，S，h_c)；其中，E为所测材料的弹性模量，σ_y为所测材料的屈服应力，n为所测材料的应变硬化指数，F为纳米压痕试验机压头上的加载载荷，S为所测材料的硬度，h_c为压头与所测材料之间的压痕接触深度；

S103：基于数学建模法，对加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c进行量纲分析，建立关于压头和所测材料相关参数的无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(2\right)$

S104：根据无量纲方程，选取S102中相对应的材料细微观力学参数(E，σ_y、n、F，S，h_c)，拟合得到无量纲函数关系式：

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=(a-\mathrm{bn}){\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)}^{[c\log \left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)-\mathrm{dn}]}---\left(3\right)$

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=e+\mathrm{fexp}\left(\mathrm{gn}\right)\exp \left[i\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)\right]---\left(4\right)$

其中，a、b、c、d、e、f、g、i均为拟合参数；

S105：制备表面梯度材料截面抛光试样，沿试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线。得到材料硬度、最大加载载荷F及压痕接触深度h_c的值，并将其代入到无量纲关系式中，反推出表面梯度材料相应位置的细观力学性能参数；

S106：将S105中得到的细观力学性能参数按深度作图，建立表面梯度材料的细观力学性能梯度曲线。

由图1所示的流程可知，本发明首先建立纳米压痕试验的有限元仿真模型，进行验证；然后基于有限元仿真模型，根据细观力学材料参数计算微观力学参数；基于数学建模法，结合加载载荷F和压痕接触深度h_c进行量纲分析，建立无量纲方程；根据无量纲方程，选取相对应若干组材料细观力学参数和若干组微观力学参数所对应的离散数值点，拟合得到无量纲函数关系式；制备表面梯度材料截面抛光试样，沿试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线，并将其代入到无量纲关系式中，反推出表面梯度材料相应位置的细观力学性能参数；最后，将上述中得到的细观力学性能参数按深度作图，建立其材料的细观力学性能梯度曲线。

图1的上述流程可以概括为仿真计算、参数拟合、压痕试验及模型反推四个步骤，通过如图1所示的方法，本发明在试验测定和表征方法上弥补了获得表面梯度金属材料的细微观力学性能的空白。本发明基于量纲分析法构建的表面梯度材料的微观力学性能与细观力学性能之间的关系，具备较好的理论基础，为研究表面梯度金属材料的可靠性分析和设计提供有效依据；本发明提供了一种新的表面梯度金属材料的细微观力学性能的表征方法及测量装置，可以更直观地了解表面梯度金属材料的力学性能变化。

本发明采用纳米压痕技术进行建模，纳米压痕技术也称深度敏感压痕技术，是最简单的测试材料微观力学性能的方法之一，可以在纳米尺度上测量材料的各种力学性质，如载荷-位移曲线、弹性模量、硬度等。纳米压痕试验参数含义如图2所示，本发明基于ABAQUS建立纳米压痕有限元仿真模型。图2中，h和h_r分别为压痕深度和残余压痕深度，h_c是指压头压入材料时压头与材料的接触深度，a为压头半径。

为真实模拟纳米压痕试验测量所测材料的微观力学参数，在一实施例中，本发明在S101中建立纳米压痕试验的有限元仿真模型时，首先采用二维模型对所测材料进行建模，利用一维线段对压头进行建模，生成纳米压痕试验的初始实体模型。鉴于模型的轴对称性，取所述初始实体模型的二分之一建立纳米压痕试验的有限元仿真模型。有限元仿真模型建立之后，可以进行仿真分析，如图3所示。

S101具体实施时，在建立有限元仿真模型的过程中要考虑到纳米压痕的尺寸效应，所测材料的尺寸应该大于压痕深度的十倍以上，在仿真模型中，压痕深度为1500nm，所测材料为边长为30μm的正方形。在距离压头较近的区域，塑性变形较大，网格单元小且密，在距离压头较远的区域，材料发生的变形较小，甚至有的区域仅仅发生了弹性变形，没有发生塑性变形，其区域采用较大且疏的网格。各区域之间采用过渡区域连接。在距离压头较近的区域，网格单元大小为125nm，单元采用四节点对称减缩单元(CAX4R)，以便能够准确模拟其区域产生的大变形。以Cr-Mn合金钢为对象，其试验结果与有限元计算结果较为一致，如图4所示。

S101中，材料参数属性包括：σ_y＝1187MPa、E＝201GPa、ν＝0.3、n＝0.203，上述取值仅为本发明的一种实施方式，本发明不以此为限制。

在一实施例中，S101中边界、载荷分别为：下边边界固定，压头向下移动1500nm。

S102通过对同一个模型多次仿真，可以得到相关力学参数。具体实施时，可以预先设定若干组细观力学材料参数，如下表1所示。

表1模拟计算时采用的材料弹塑性参数组合

由于所测渗碳金属材料基体的弹性模量为201GPa，选取表1中与其弹性模量相临的170GPa和210GPa的70组参数值输入到S101中创建的有限元仿真模型中，进而可以得到70组载荷-位移响应曲线，并计算出70组微观力学参数(F，S，h_c)。细观弹塑性力学参数(E，σ_y，n)与微观力学参数(F，S，h_c)之间存在一一对应的关系。E为所测材料的弹性模量；σ_y为所测材料的屈服应力；n为所测材料的应变硬化指数；F为纳米压痕试验机压头上的加载载荷；S为所测材料的硬度；h_c为压头与所测材料之间的压痕接触深度。

S103为通过量纲分析，建立无量纲方程的步骤。具体实施时，可以利用数学建模的思想将压头加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c分别表示成关于压头和所测材料相关参数的函数总方程(函数关系式)：

F＝F(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (5)

h_c＝h_c(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (6)

上述总方程中，ν为所测材料的泊松比，E_i和ν_i分别为压头的弹性模量和泊松比，μ为压头与所测材料间的摩擦系数，θ为压头的半角角度。

对于上述方程中每个变量的单位如下表2所示，通过量纲分析，选取弹性模量的量纲[E]和深度的量纲[h]为基本量纲，其他参数均用这两个独立量纲的指数积的形式表示。

表2金属材料压痕问题相关参量的量纲

参量	符号	量纲
			压痕载荷	F	LMT-2
屈服强度	σy	L-1MT-2
			应变硬化指数	n	1
弹性模量	E	LMT-2
			压痕接触深度	hc	L

在不考虑各个参数之间耦合的情况下，可以将上述总方程可以转化为下述的无量纲函数：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}=F(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{v}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{v_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(7\right)$

$\frac{h_c}{{\mathrm{Eh}}^2}=h_c(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{v}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{v_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(8\right)$

上述的无量纲函数中，压头的变形可以忽略不计，据此可消去上述无量纲函数中的压头参数E_i和ν_i，摩擦系数μ对大角度压头压入问题的影响很小，因此上述无量纲函数中将摩擦系数μ也可消去。对于金属材料，泊松比ν可以取0.3，同样做消去处理。所以，对于一个给定角度θ的压头，应用Π定理无量纲函数关系式进一步简化为S103中的无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(2\right)$

S104为确定无量纲函数的具体表达式的步骤。具体实施时，可以在S102、S103的基础上，根据上述无量纲方程，选取相对应的70组材料细观力学参数(E，σ_y，n)和70组微观力学参数(F，S，h_c)所对应的离散数值点，拟合数据得到具体的无量纲函数关系式，见上述公式(3)及公式(4)。

在一实施例中，对细微观力学性能参数未知的所述渗碳梯度Cr-Mn合金钢零件，上述公式(3)、(4)中参数a、b、c、d、e、f、g、i的取值分别为：a＝2.67，b＝2.11，c＝-0.053，d＝0.42，e＝0.5，f＝0.29，g＝-2.76，i＝-40.32。据此，公式(3)和(4)可变为：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}=(2.67-2.11n){\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)}^{[-0.053\log \left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)-0.42n]}---\left(9\right)$

$\frac{h_c}{h}=0.5+0.29\exp (-2.76n)\exp [-40.32\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)]---\left(10\right)$

基于不同表面处理工艺及基体材料弹性模量，选取的若干组预估表面梯度材料细观力学性能参数不同，上述拟合参数的取值也有所不同，不再一一赘述。

对于细微观力学性能参数未知的所述渗碳梯度Cr-Mn合金钢零件，S105具体实施时，首先制备渗碳梯度零件截面抛光试样，然后沿试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线。得到材料硬度、最大加载载荷F及压痕接触深度h_c，并将其代入到无量纲关系式中，反推出表面梯度材料相应位置的细观力学性能参数，Cr-Mn合金钢(渗碳梯度零件)硬度分布如图7所示。

通过S106，将步骤S105中得到的细观力学性能参数按深度作图，建立表面梯度材料细观力学性能梯度曲线。具体实施时，以屈服强度为例，得到Cr-Mn合金钢(渗碳梯度零件)屈服强度拟合梯度曲线如图8所示。

本发明在试验测定和表征方法上弥补了量化表面梯度金属材料的细微观力学性能的空白。本发明基于量纲分析法构建的表面梯度材料的微观力学性能与细观力学性能之间的关系，具备较好的理论基础，为研究表面梯度金属材料的可靠性分析和设计供有效依据；本发明提供了一种新的表面梯度金属材料的细微观力学性能的表征方法及测量装置，可以更直观地了解表面梯度金属材料的力学性能变化。

如图5所示，本发明提供一种表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量装置，其细微观力学性能测量方法装置包括：模型建立单元501，细微观力学参数计算单元502，无量纲方程生成单元503，无量纲关系式生成单元504及力学性能参数生成单元505。

模型建立单元501用于建立纳米压痕试验的有限元仿真模型，进行如下仿真分析：赋予材料参数属性，进行网格划分，施加边界条件及载荷。

在一实施例中，501用于采用二维模型对所测材料进行建模，利用一维线段对压头进行建模，生成纳米压痕试验的初始实体模型。鉴于模型的轴对称性，取所述初始实体模型的二分之一建立纳米压痕试验的有限元仿真模型。

在建立有限元仿真模型的过程中要考虑到纳米压痕的尺寸效应，所测材料的尺寸应大于压痕深度的十倍以上，在仿真模型中，压痕深度为1500nm，所测材料为边长为30μm的正方形。在距离压头较近的区域，塑性变形较大，网格单元小且密，在距离压头较远的区域，材料发生的变形较小，甚至有的区域仅仅发生了弹性变形，没有发生塑性变形，其区域采用较大且疏的网格。各区域之间采用过渡区域连接。在距离压头较近的区域，网格单元大小为125nm，单元采用四节点对称减缩单元(CAX4R)，以便准确模拟其区域产生的大变形。采用Cr-Mn合金钢对有限元仿真模型进行验证，结果表明其有限元仿真模型与实际试验情况一致，如图4所示。

上述赋予的材料参数属性包括：σ_y＝1187MPa、E＝201GPa、ν＝0.3、n＝0.203，上述取值仅为本发明的一种实施方式，本发明不以此为限制。

在一实施例中，施加的边界条件可以为：下边边界固定；载荷是压头向下移动1500nm。

细微观力学参数计算单元502用于基于所述的有限元仿真模型，根据细观力学材料参数(E，σ_y，n)计算微观力学参数(F，S，h_c)。

基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，选取表1中若干组(E，σ_y，n)参数组合输入到S101中创建的有限元仿真模型中，从而可以得到若干组载荷-位移响应曲线，计算出若干组微观力学参数(F，S，h_c)。细观弹塑性力学参数(E，σ_y，n)与微观力学参数(F，S，h_c)有相对应的关系。E为所测材料的弹性模量；σ_y为所测材料的屈服应力；n为所测材料的应变硬化指数；F为纳米压痕试验机压头上的加载载荷；S为所测材料的硬度；h_c为压头与所测材料之间的压痕接触深度。

无量纲方程生成单元503用于对加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c进行量纲分析，建立关于压头和所测材料相关参数的无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n]---\left(2\right)$

在一实施例中，如图6所示，无量纲方程生成单元503包括：总方程生成模块601，无量纲函数生成模块602及无量纲方程生成模块603。

总方程生成模块601用于，根据数学建模法，将压头加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c分别表示成关于压头和所测材料相关参数的函数总方程：

F＝F(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (5)

h_c＝h_c(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (6)

其中，ν为所测材料的泊松比，E_i和ν_i分别为压头的弹性模量和泊松比，μ为压头与所测材料间的摩擦系数，θ为压头的半角角度；

无量纲函数生成模块602用于在不考虑参数之间耦合的情况下，将所述函数总方程转化为无量纲函数：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}=F(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{v}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{v_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(7\right)$

$\frac{h_c}{{\mathrm{Eh}}^2}=h_c(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{v}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{v_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(8\right)$

上述压头和所测材料的参数中，只有弹性模量的量纲[E]和深度的量纲[h]是独立的，其他参数均用这两个独立量纲的指数积的形式表示。

无量纲方程生成模块603用于省略所述无量纲函数中的E_i、ν_i及μ，对于一个给定角度θ的压头，应用Π定理将无量纲函数关系式进一步简化为无量纲方程，见上述公式(1)及公式(2)。

无量纲关系式生成单元504用于根据所述无量纲方程，选取相对应的若干组材料细观力学参数(E，σ_y，n)和若干组微观力学参数(F，S，h_c)所对应的离散数值点，拟合数据得到无量纲函数关系式：

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=(a-\mathrm{bn}){\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)}^{[c\log \left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)-\mathrm{dn}]}---\left(3\right)$

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=e+\mathrm{fexp}\left(\mathrm{gn}\right)\exp \left[i\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)\right]---\left(4\right)$

其中，a、b、c、d、e、f、g、i均为拟合参数。

力学性能参数生成单元505用于制备表面梯度材料截面抛光试样，沿试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线。得到材料硬度、最大加载载荷F及压痕接触深度h_c，并将其代入到无量纲关系式中，反推出表面梯度材料相应位置的细观力学性能参数；

在一实施例中，对于细微观力学性能参数未知的所述渗碳梯度Cr-Mn合金钢零件，上述公式(3)、(4)中的拟合参数a、b、c、d、e、f、g、i的取值分别为：a＝2.67，b＝2.11，c＝-0.053，d＝0.42，e＝0.5，f＝0.29，g＝-2.76，i＝-40.32。此时，公式(3)及公式(4)变为：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}=(2.67-2.11n){\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)}^{[-0.053\log \left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)-0.42n]}---\left(9\right)$

$\frac{h_c}{h}=0.5+0.29\exp (-2.76n)\exp [-40.32\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)]---\left(10\right)$

基于不同表面处理工艺及基体材料弹性模量，选取的若干组预估表面梯度材料细观力学性能参数不同，上述拟合参数的取值也有所不同，不再一一赘述。

在一实施例中，力学性能参数生成单元505可以用于对于细观力学性能参数未知的所述渗碳梯度Cr-Mn合金钢零件，首先制备表面梯度材料截面抛光试样，然后沿试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线。得到材料硬度、最大加载载荷F及压痕接触深度h_c，并将其代入到无量纲关系式中，反推出渗碳梯度材料相应位置的细观力学性能参数；

在一实施例中，力学性能参数生成单元506可以将单元505中得到的细观力学性能参数按深度作图，建立表面梯度材料细观力学性能梯度曲线。

本发明在试验测定和表征方法上弥补了获得表面梯度金属材料的细微观力学性能的空白。本发明基于量纲分析法构建的表面梯度材料的微观力学性能与细观力学性能之间的关系，具备较好的理论基础，为研究表面梯度金属材料的可靠性分析和设计供有效依据；本发明提供了一种新的表面梯度金属材料的细微观力学性能的表征方法及测量装置，可以更直观地了解表面梯度金属材料的力学性能变化。

本领域内的技术人员应明白，本发明的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本发明可采用完全硬件实施例、完全软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本发明可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。

本发明是参照根据本发明实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。

这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。

这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。

本发明中应用了具体实施例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (8)

1.一种表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法，其特征在于，包括：

步骤1：通过二维建模、赋予材料属性、网格划分、施加边界条件，建立纳米压痕试验的有限元仿真模型，并验证所述有限元仿真模型的准确性；

步骤2：基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，预估表面梯度材料的细观力学性能参数E，σ_y，n，结合所述的有限元仿真模型计算所述细观力学性能参数对应的微观力学性能参数F，S，h_c；其中，E为所测材料的弹性模量，σ_y为所测材料的屈服应力，n为所测材料的应变硬化指数，F为纳米压痕试验机压头上的加载载荷，S为所测材料的硬度，h_c为压头与所测材料之间的压痕接触深度；

步骤3：基于数学建模法，对纳米压痕试验机压头上的加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c进行量纲分析，建立关于压头和所测材料相关参数的无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n\]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n\]---\left(2\right)$

步骤4：根据所述无量纲方程，选取步骤2中预估及计算的相应细微观力学参数E，σ_y，n，F，S，h_c，建立无量纲函数关系式：

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=(a-bn){\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)}^{\[clog\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)-dn\]}---\left(3\right)$

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=e+f\exp \left(gn\right)\exp \[i\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)\]---\left(4\right)$

其中，a、b、c、d、e、f、g、i均为拟合参数；

步骤5：制备表面梯度材料截面抛光试样，沿所述试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线；得到材料硬度、最大的加载载荷F及压痕接触深度h_c的值，并将所述材料硬度、最大的加载载荷F及压痕接触深度h_c的值代入到无量纲关系式中，反推出表面梯度材料相应位置的细观力学性能参数；

步骤6：将所述步骤5中得到的细观力学性能参数按深度作图，建立表面梯度材料的细观力学性能梯度曲线。

2.根据权利要求1所述的表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法，其特征在于，在所述步骤1中，建立纳米压痕试验的有限元仿真模型，包括：采用二维模型对所测材料进行建模，利用一维线段对压头进行建模，生成纳米压痕试验的初始实体模型；鉴于模型的轴对称性，取所述初始实体模型的二分之一建立纳米压痕试验的有限元仿真模型。

3.根据权利要求1所述的表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法，其特征在于，所述步骤2包括：基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，预估表面梯度材料的细观力学性能参数E，σ_y，n，结合有限元仿真模型，生成若干组载荷-位移响应曲线，计算相应位置微观力学参数F，S，h_c。

4.根据权利要求1所述的表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量方法，其特征在于，所述步骤3包括：

基于数学建模法，将纳米压痕试验机压头上的加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c分别表示为关于压头和所测材料相关参数的函数总方程：

F＝F(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (5)

h_c＝h_c(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (6)

其中，ν为所测材料的泊松比，E_i和ν_i分别为压头的弹性模量和泊松比，μ为压头与所测材料间的摩擦系数，θ为压头的半角角度；

在不考虑参数之间耦合的情况下，将所述函数总方程转化为无量纲函数：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}=F(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{\mathrm{\ν}}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{{\mathrm{\ν}}_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(7\right)$

$\frac{h_c}{{\mathrm{Eh}}^2}=h_c(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{\mathrm{\ν}}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{{\mathrm{\ν}}_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(8\right)$

上述压头和所测材料的参数中，只有弹性模量的量纲[E]和深度的量纲[h]是独立的，其他参数均用这两个独立量纲的指数积的形式表示；

省略所述无量纲函数中的E_i、ν_i及μ，对于一个给定角度θ的压头，应用Π定理将无量纲函数关系式进一步简化为无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n\]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n\]---\left(2\right).$

5.一种表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量装置，其特征在于，所述的细微观力学性能评估测量装置包括：

模型建立单元，通过二维建模、赋予材料属性、网格划分、施加边界条件等，建立纳米压痕试验的有限元仿真模型，并验证所述有限元仿真模型的准确性；

细微观力学参数计算单元，基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，预估表面梯度材料的细观力学性能参数E，σ_y，n，结合所述的有限元仿真模型计算所述细观力学性能参数对应的微观力学性能参数F，S，h_c；其中，E为所测材料的弹性模量，σ_y为所测材料的屈服应力，n为所测材料的应变硬化指数，F为纳米压痕试验机压头上的加载载荷，S为所测材料的硬度，h_c为压头与所测材料之间的压痕接触深度；

无量纲方程生成单元，基于数学建模法，对加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c进行量纲分析，建立关于压头和所测材料相关参数的无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n\]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n\]---\left(2\right)$

无量纲关系式生成单元，根据所述无量纲方程，结合所述细微观力学参数计算单元相对应的材料细微观力学参数E、σ_y、n、F、S、h_c，建立无量纲函数关系式：

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=(a-bn){\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)}^{\[clog\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)-dn\]}---\left(3\right)$

${\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n)=e+f\exp \left(gn\right)\exp \[i\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E}\right)\]---\left(4\right)$

其中，a、b、c、d、e、f、g、i均为拟合参数；

力学性能参数生成单元，制备表面梯度材料截面抛光试样，沿所述试样表面不同的纵深方向，结合纳米压痕试验，按预定深度获得一系列载荷-位移响应曲线；得到材料硬度、最大的加载载荷F及压痕接触深度h_c的值，并将材料硬度、最大的加载载荷F及压痕接触深度h_c的值代入到无量纲关系式中，反推出表面梯度材料相应位置的细观力学性能参数；

力学性能梯度曲线单元，将所述力学性能参数生成单元得到的细观力学性能参数按深度作图，得到其材料的力学性能梯度曲线。

6.根据权利要求5所述的表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量装置，其特征在于，所述的模型建立单元具体用于：采用二维模型对所测材料进行建模，利用一维线段对压头进行建模，生成纳米压痕试验的初始实体模型；鉴于模型的轴对称性，取所述初始实体模型的二分之一建立纳米压痕试验的有限元仿真模型。

7.根据权利要求5所述的表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量装置，其特征在于，所述细微观力学参数计算单元具体用于：基于表面处理工艺及基体材料弹性模量，预估表面梯度材料细观力学性能参数E，σ_y，n，结合有限元仿真模型，生成若干组载荷-位移响应曲线，计算相应位置微观力学参数F，S，h_c。

8.根据权利要求5所述的表面梯度金属材料的细微观力学性能评估测量装置，其特征在于，所述无量纲方程生成单元包括：

总方程生成模块，用于将纳米压痕试验机压头上的加载载荷F和压头与所测材料之间的压痕接触深度h_c分别表示为关于压头和所测材料相关参数的函数总方程：

F＝F(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (5)

h_c＝h_c(h,E,ν,E_i,ν_i,σ_y,n,μ,θ) (6)

其中，ν为所测材料的泊松比，E_i和ν_i分别为压头的弹性模量和泊松比，μ为压头与所测材料间的摩擦系数，θ为压头的半角角度；

无量纲函数生成模块，用于在不考虑参数之间耦合的情况下，将所述函数总方程转化为无量纲函数：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}=F(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{\mathrm{\ν}}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{{\mathrm{\ν}}_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(7\right)$

$\frac{h_c}{{\mathrm{Eh}}^2}=h_c(\frac{h}{h},\frac{E}{E},\frac{\mathrm{\ν}}{E^0{h}^0},\frac{E_i}{E},\frac{{\mathrm{\ν}}_i}{E^0{h}^0},\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},\frac{n}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\μ}}{E^0{h}^0},\frac{\mathrm{\θ}}{E^0{h}^0})---\left(8\right)$

上述压头和所测材料的参数中，只有弹性模量的量纲[E]和深度的量纲[h]是独立的，其他参数均用这两个独立量纲的指数积的形式表示；

无量纲方程生成模块，用于省略所述无量纲函数中的E_i、ν_i及μ，对于一个给定角度θ的压头，应用Π定理将无量纲函数关系式进一步简化为所述的无量纲方程：

$\frac{F}{{\mathrm{Eh}}^2}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\α}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n\]---\left(1\right)$

$\frac{h_c}{h}={\mathrm{\Π}}_{\mathrm{\β}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{E},n\]---\left(2\right).$