CN104268330A - 一种复杂曲线的Bezier拟合方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种复杂曲线的Bezier拟合方法，包括以下顺序的步骤：利用基于固定弦弧比的方法来准确确定曲线G¹分裂点的位置，将曲线分解成弯曲变化小的曲线段，并且在分裂点处保留了曲线的G1连续性；采用了直接调整曲线控制点的方法，使得各段曲线独立进行Bezier拟合后既保证了任意相邻的Bezier曲线具有G1连续性，又保证了算法的高效性。本发明的方法，可以高效地对复杂曲线进行Bezier曲线拟合。

Description

一种复杂曲线的Bezier拟合方法

技术领域

本发明涉及计算机图形学与笔式计算领域，特别涉及一种复杂曲线的Bezier拟合方法。

背景技术

一方面，对于一些没有规律的离散采样点或者非常复杂的曲线(类弧形曲线)进行曲线拟合的话，无疑难度是非常大的，若用传统的曲线拟合的方法，并不能很好地找出拐点，这样就不能正确地对曲线进行分裂和曲线拟合了。

另一方面，由于在曲线拟合中通常采用的是三阶Bezier曲线，而三阶Bezier曲线的拟合能力有限，对于形状复杂，弯曲度大的数字点列拟合存在明显的误差。

为了解决上述问题，本发明提出了一种对复杂曲线分段Bezier拟合及平滑合并处理的方法。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供一种复杂曲线的Bezier拟合方法，可以高效地用Bezier曲线拟合复杂曲线或者没有规律的离散采样点。

本发明采用的技术方案主要包括：曲线分裂、光滑处理。

一、曲线分裂：

一般而言，传统的拐点检测的方法能够出色地将弯曲度变化强烈的拐点从连续离散点阵中区分出来；但是，对于如附图2的类弧形曲线，拐点检测就无能为力了；如附图2所示的类弧形曲线，传统的拐点检测方法并不能找出拐点，并将曲线分裂；如利用接用单条Bezier曲线对其进行拟合，误差会是十分大的。

为了解决这个问题，对离散阵列的分裂点检测是必须的；在本发明中，作者提出了一种新的方法，利用固定长度的弦沿着采样点一步步移动，同时计算弦与对应曲线所包围的面积，然后根据这个弦-曲线面积(Chord-curve Area)来估计分裂点所在的位置；具体如下：

1.计算弦-曲线面积：假设曲线包含有n个离散点，分别为P₀,P₁,...,P_n-1，固定弦长为L；从P₀开始，移动弧的另一端到P_m0，满足：

$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{P}_0{P}_i<L& i=\mathrm{1,2},...,m_0-1\end{array}\\ P_0{P}_{m0}>L\end{array}\right.$

计算得弦-曲线面积为S_0m0；同理，移动P₀，可计算得n个对应P₀P_m0，P₁P_m1，P₂P_m2，...P_nP_mn的弦-曲线面积；

2.估计分裂点的位置：对于第1步获得的弦-曲线面积S_imi,i＝0,1,...,n,计算其最大值S_max＝MAX(S_imi)，如果S_max满足：S_max>V_c即可判断其所对应的端点P_k，P_mk间存在分裂点；

3.判断分裂点位置：确定了分裂点所在的弧段后，通过微分法来判断分裂点的准确位置；即是，针对弧段内的每一个点P_i，可计算得对应的微分面积d_i，微分面积最大的点对应的就是分裂点。

附图3是弦括面积变化率分裂法效果图；

由图3可以看到，无论是英文或是中文字体，基于固定弦括面积变化率的方法都能够准确地确定分裂点的位置，将曲线分解成弯曲度变化小的曲线段，这样就大大减少了拟合阶段的负担，提高拟合的准确度。

但是，基于固定弦括面积变化率分裂法重复计算面积的工作是非常耗时的，本发明为了进一步降低消耗的时间，本发明利用弧弦比来代替弦括面积，据此修改上面阐述方法。具体修改如下:

附图4为基于弧弦比的曲线分裂方法；

1.对于曲线上任意一点A，寻找曲线上点B，使得弦长

L_chord＝L_AB＝L_stable

其中L_chord与L_AB为弧AB对应的弦长，等于A、B两点的直线距离，L_stable为某一固定数值，L_stable取值为曲线宽度的8倍；

2.计算弧AB的长度L_arc，并计算弧弦比；

$K=\frac{L_{\mathrm{arc}}}{L_{\mathrm{chord}}}$

假如满足K>M_threshold，则可判断分段点处于弧线AB内；

计算弧AB内每一点的弧弦比差d₁，d₁定义为：

d_i＝K_i-K_i-1

假设弧AB上有n个离散点，则弧AB上第i点对应的弦弧比为K_i，第i-1点对应的弦弧比为K_i-1，d_i则为第i点的弧弦比差；Max(d_i)对应的点即是所要求的分裂点。

基于弧弦长的分裂方法应用在美化的效果如附图5：

由附图5可见，基于弧弦长比的分裂方法能够将弯曲变化小的曲线有效地切分，并且在分裂点处保留曲线的G¹连续性；

相对于基固定弦括面积变化率分裂法，基于弦弧长比的分裂方法有如下优点：

1.避免了递归分裂的过程，减少曲线拟合与误差计算的迭代次数，因而减少了运算量，适合在时间敏感的手写美化中使用；

2.相对于常见的分裂算法在斜率最大处分裂，本发明在斜率变化小的点进行分裂，便于后期的光滑处理；

二、曲线连接光滑处理

一条数字采样曲线在拐点和分裂点处分隔成多段曲线，并且各段曲线独立进行Bezier拟合，结果并不能满足各段拟合后的Bezier曲线在连接处保持连续，造成视觉的突兀；也就是说，对于拟合结果Q＝{Q₀,Q₁,...,Q_n},任意相邻的Bezier曲线Q_i,Q_i+1，不能满足G¹连续条件：

为了解决这个问题，需要调整相邻Bezier曲线的控制点，使其能够满足上式；在本发明中，考虑到算法的高效性，采用直接调整曲线控制点的方法，算法问题表述如附图6，为贝塞尔曲线角度调整示意图。

对于三次Bezier曲线Q，控制点为A，B，C，D，现在需要调整向量的角度，使其逆时针偏移θ，这里θ为两Bezier曲线连接处夹角的一半；

1.对直线AB与CD，寻找其交点O，作为调整角度的轴心；

2.以O为轴心，将控制点C与D环绕其逆时针旋转角度θ，得到偏移后的控制点C'与D’，所得到的由控制点A，B，C'，D'所组成的贝塞尔曲线Q'即是所要求的结果；

3.调整后的三阶Bezier曲线表示为：

Q'(t)＝(1-t)³A+3(1-t)²tB+3(1-t)t²C'+t³D'

Q'(t)为调整后的三阶Bezier曲线，t的取值范围为0≤t≤1，A，B，C'，D'为权利要求3中所述的经过直接调整曲线控制点法调整过后的四个贝塞尔控制点。

附图7为相邻Bezier曲线光滑连接(曲线ABCD为调整前，曲线AB’C’D为调整后)；

由附图7可见，这种方法可以灵活地调整贝塞尔曲线控制点的角度，使其满足G¹连续的要求，同时不会使它的形状产生严重的畸变。

本发明和已有的曲线分段方法相比，具有如下的优点和有益效果：

1、可以对类弧形曲线进行分裂，找出其拐点。

2、基于弦弧长比的分裂方法避免了递归分裂的过程，减少曲线拟合与误差计算的迭代次数，因而减少了运算量，适合在时间敏感的手写美化中使用。

3、相对于常见的分裂算法在斜率最大处分裂，我们的算法在在斜率变化小的点进行分裂，便于后期的光滑处理。

4、本发明的Bezier光滑曲线算法可以灵活地调整贝塞尔曲线控制点的角度，使其满足G¹连续的要求，同时不会使它的形状产生严重的畸变。

附图说明

图1是本发明所述的一种复杂曲线的Bezier拟合方法的流程图；

图2是类弧形曲线示意图；

图3是弧括面积变化率分裂法效果图；

图4是基于弧弦比的曲线分裂方法的示意图；

图5是弦弧笔方法的美化效果图；

图6是贝塞尔曲线角度调整示意图；

图7是相邻Bezier曲线光滑连接示意图。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

实施本发明所用的输入设备可以通过最常见的鼠标在电脑屏幕上进行输入，也可以在各类便携式触屏设备上输入，比如智能手机和平板电脑。对用户输入的离散点进行判断，若为复杂曲线，则进行复杂曲线的Bezier曲线拟合，如附图1所示，一种复杂曲线的Bezier拟合方法，具体步骤包括：

一、笔段轨迹采集：

获取用户在输入设备输入的离散点轨迹，主要是获取每一点的坐标信息以及时间信息；

二、曲线分裂：

基于弧弦比的曲线分裂方法：

1.对于曲线上任意一点A，寻找曲线上点B，使得弦长：

L_chord＝L_AB＝L_stable

2.计算弧AB的长度L_arc，并计算弧弦比：

$K=\frac{L_{\mathrm{arc}}}{L_{\mathrm{chord}}}$

假如满足K>M_threshold，则可判断分段点处于弧线AB内；

3.计算弧AB内每一点的弧弦比差d₁，d₁定义为：

d_i＝K_i-K_i-1

Max(d_i)对应的点即是所要求的分裂点；

三、曲线段Bezier拟合：

利用最小二乘法来求取三阶Bezier曲线的四个控制点；

Bezier曲线拟合问题具体实现如下：

求拟合由P₀,P₁,P₂,P₃四个控制点组成的三阶Bezier曲线P，使其满足：P(t)与原曲线四个控制点组成的三阶Bezier曲线P，使其满足：P(t)与原曲线C＝{C_i(x_i,y_i)|i＝0,1,...,n}对应点之间的最大偏差小于σ，其中σ为给定的误差常数；

方法：根据Bezier曲线的约束条件可知，首末两个控制点对应数字曲线C的始点与终点，也就是说P₀＝C₀,P₃＝C_n，因此问题就可以简化成计算中间的两个控制点P₁,P₂；

目标三阶Bezier曲线P(t)可以表示为：

P(t)＝(1-t)³P₀+3(1-t)²tP₁+3(1-t)t₂P₂+t³P₃；

它的Berstain基函数为：

其中0≤t≤1。按照累加弦长的方法可以计算得到参数t的值；

设l_i＝|C_iC_i-1|(i＝1，2，...，n)

则有根据Bezier曲线的定义，显然有t₀＝0,t_n＝1；

利用方差来衡量P(t)的逼近程度，有：

其中d_k比C_k处的加权系数。根据数学知识，要使得误差最小，必须满足：

求解上式，可得到方程组：

$\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_i{S}_{\mathrm{ij}}=T_i(i=\mathrm{1,2})$

其中：

求解上述线性方程组，即可得到P₁,P₂；

四、曲线连接光滑处理：

需要调整相邻Bezier曲线的控制点，使其能够满足下式：

采用直接调整曲线控制点的方法；

对于三次Bezier曲线Q，控制点为A，B，C，D，现在需要调整向量的角度，使其逆时针偏移θ，这里θ为两Bezier曲线连接处夹角的一半；

1.对直线AB与CD，寻找其交点O，作为调整角度的轴心；

2.以O为轴心，将控制点C与D环绕其逆时针旋转角度θ，得到偏移后的控制点C'与D'，所得到的由控制点A，B，C'，D'所组成的贝塞尔曲线Q'即是所要求的结果。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种复杂曲线的Bezier拟合方法，其特征在于，包括以下顺序的步骤：

步骤1：利用基于固定弦弧比的方法来准确确定曲线G¹分裂点的位置，将曲线分解成弯曲变化小的曲线段，并且在分裂点处保留了曲线的G¹连续性；

步骤2：采用了直接调整曲线控制点的方法，使得各段曲线独立进行Bezier拟合后既保证了任意相邻的Bezier曲线具有G¹连续性，又保证了算法的高效性。

2.根据权利要求1所述的复杂曲线的Bezier拟合方法，其特征在于，步骤1中，所述的于固定弦弧比的方法，具体包含以下步骤：

(1)对于曲线上任意一点A，寻找曲线上点B，使得弦长：

L_chord＝L_AB＝L_stable；

其中L_chord与L_AB为弧AB对应的弦长，等于A、B两点的直线距离，L_stable为某一固定数值，L_stable取值为曲线宽度的8倍；

(2)计算弧AB的长度L_arc，并计算弧弦比：

$K=\frac{L_{\mathrm{arc}}}{L_{\mathrm{chord}}}$

假如满足K>M_threshold，则可判断分段点处于弧线AB内；

计算弧AB内每一点的弧弦比差d_i，d_i定义为：

d_i＝K_i-K_i-1

假设弧AB上有n个离散点，则弧AB上第i点对应的弦弧比为K_i，第i-1点对应的弦弧比为K_i-1，d_i则为第i点的弧弦比差；Max(d_i)对应的点即是所要求的分裂点。

3.根据权利要求1所述的复杂曲线的Bezier拟合方法，其特征在于，步骤2中，所述的采用直接调整曲线控制点的方法来平滑拟合后的Bezier曲线，具体操作如下:

对于三次Bezier曲线Q，控制点为A，B，C，D，现在需要调整向量的角度，使其逆时针偏移θ，θ为两Bezier曲线连接处夹角的一半，然后进行如下操作：

(1)对直线AB与CD，寻找其交点O，作为调整角度的轴心；

(2)以O为轴心，将控制点C与D环绕其逆时针旋转角度θ，得到偏移后的控制点C'与D'，所得到的由控制点A，B，C'，D'所组成的贝塞尔曲线Q'即是所要求结果。

4.根据权利要求3所述的复杂曲线的Bezier拟合方法，其特征在于，步骤2中，所述的采用直接调整曲线控制点的方法来平滑拟合后的Bezier曲线的数学表达式描述如下：

调整后的四个控制点分别为A，B，C'，D'，调整后的三阶Bezier曲线表示为：

Q'(t)＝(1-t)³A+3(1-t)²tB+3(1-t)t²C'+t³D'

Q'(t)为调整后的三阶Bezier曲线，t的取值范围为0≤t≤1，A，B，C'，D'为权利要求3中所述的经过直接调整曲线控制点法调整过后的四个贝塞尔控制点。