CN104392455A - 基于方向检测的在线掌纹有效区域快速分割方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于方向检测的在线掌纹有效区域快速分割方法。主要解决现有的在线掌纹分割技术时间复杂度高、实时性差的不足。其实现步骤是：1.输入掌纹图像，利用轮廓梯度计算手掌方向；2.校正掌纹图像，利用校正后轮廓的梯度方向选取备选点；3.对备选点进行层次聚类，聚到三类为止，再利用这三类中心的位置关系确定谷点的位置；4.以谷点为参照点完成掌纹分割。本发明利用手掌轮廓点的梯度方向与手掌方向的关系，提高了在线掌纹有效区域分割的速度，可用于移动设备中的身份验证。

Description

基于方向检测的在线掌纹有效区域快速分割方法

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，涉及在线掌纹有效区域的提取，可用于移动设备中的身份验证。

背景技术

在线掌纹有效区域的提取是在线掌纹识别领域一个非常重要的步骤，涉及到在线掌纹识别的识别效果，不准确的提取可能会导致匹配错误。在实际的应用系统中，正确高效的掌纹分割方法有利于提高掌纹识别系统的速度和精确度。因此，效果良好的在线掌纹有效区域提取技术有利于改善在线掌纹识别系统其他阶段的性能。现存的在线掌纹分割算法可大致分为基于肤色比例、基于手掌结构这两类。

基于肤色比例的分割方法，是利用肤色模型确定手掌轮廓，对轮廓线上的点进行采样分析。基本原理是遍历手掌轮廓点，对每一个点画圆，按照圆中的皮肤所占的比例进行判断。这种方法有一个重大的问题，手掌的摆放姿势不会严格的满足上述要求。

基于手掌结构的分割方法，是利用手掌的轮廓结构以及该结构的切线方向进行谷点确定和分割。沿着手掌的轮廓线做切线，如果遇到切线过另外一条轮廓点，则检测另一个轮廓点的切线，如果该轮廓点的切线恰好也过该点则认为这两个点就是谷点，然后依据这两个点再分割。这种方法的问题是轮廓上的每个点都要进行复杂的几何运算，因此实现起来比较慢。

发明内容

本发明的目的是针对上述已有技术的不足，提出一种基于方向检测的有效区域提取技术，以提高在线掌纹识别系统的分割效果，避免复杂的几何运算，进而大幅提高了在线掌纹识别系统的速度。

为实现上述目的，本发明的技术方案包括如下步骤：

(1)输入大小为M×L的掌纹图像I(x,y)，其中(x,y)表示掌纹图像的像素点坐标，M表示掌纹图像的长度，L表示掌纹图像的宽度；

(2)对掌纹图像I(x,y)进行阈值分割，得到掌纹二值化图像I_B(x,y)，对掌纹二值化图像I_B(x,y)进行腐蚀操作，得到腐蚀后的掌纹图像I_E(x,y)，进而得到手掌轮廓图像Edg(x,y)：

Edg(x,y)＝I_B(x,y)-I_E(x,y)；

(3)利用手掌轮廓图像Edg(x,y)，计算方向图像D(x,y)和方向角图像θ(x,y)；

(4)计算掌纹图像I(x,y)的手掌方向θ_p：

(4a)对方向角图像θ(x,y)像素值的分布进行统计，求得θ(x,y)中分布最多的像素值θ_max：

(4a1)把[0°,360°)等分成36段角度区间，每段角度区间的大小为10°，将方向角图像θ(x,y)在第i段角度区间内的像素点数表示为L_i，并初始化L_i为0，i＝1,2,...,36；当10(i-1)≤θ(x,y)＜10i且Edg(x,y)＞0时，给第i段角度区间对应的像素点数L_i值加1；

(4a2)找出L_i的最大值，将该最大值对应的i记作i_max，计算方向角图像θ(x,y)中分布最多的像素值θ_max：

${\mathrm{\θ}}_{\max }=\frac{10(i_{\max }-1)+10\×i_{\max }}{2};$

(4b)利用方向角图像θ(x,y)中分布最多的像素值θ_max，计算手掌方向：θ_p＝θ_max-90°；

(5)对掌纹图像I(x,y)进行方向校正，得到梯度校正图像D′(x,y)和角度校正图像θ′(x,y)：

(5a)对掌纹图像I(x,y)以-θ_p为旋转角度进行逆时针旋转，得到手掌校正图像I′(x,y)；

(5b)将手掌校正图像I′(x,y)作为输入图像，重复步骤(1)到步骤(3)，得到的方向图像记作梯度校正图像D′(x,y)，得到的方向角图像记作角度校正图像θ′(x,y)；

(6)利用手掌轮廓图像Edg(x,y)和角度校正图像θ′(x,y)，确定备选点集C：若像素点坐标(x,y)满足Edg(x,y)＝255且165°≤θ′(x,y)≤195°，则将该像素点加入到备选点集C中；

(7)利用备选点集C，计算手掌校正图像I′(x,y)中上谷点v_u和下谷点v_d的位置：

(7a)对备选点集C中的点进行层次聚类，聚到3类为止，分别记为第一类CL₁、第二类CL₂、第三类CL₃，并将这三类的聚类中心分别记为c₁、c₂、c₃；

(7b)遍历第一类CL₁中的点，计算这些点到该类聚类中心c₁的距离，并将距离c₁最近的点记为v₁；

(7c)遍历第二类CL₂中的点，计算这些点到该类聚类中心c₂的距离，并将距离c₂最近的点记为v₂；

(7d)遍历第三类CL₃中的点，计算这些点到该类聚类中心c₃的距离，并将距离c₃最近的点记为v₃；

(7e)将上述得到三个点v₁、v₂、v₃中横坐标最小的点的位置记为I′(x,y)中上谷点v_u的位置，把v₁、v₂、v₃中横坐标最大的点的位置记为I′(x,y)中下谷点v_d的位置；

(8)以手掌校正图像I′(x,y)中上谷点v_u的位置和下谷点v_d的位置为参照点，分割出掌纹有效区域图像R(x,y)。

本发明的优点

1.本发明由于利用了手掌方向和轮廓梯度方向的关系进行在线掌纹有效区域分割，所以能够快速找到谷点位置，大幅提高了掌纹有效区域分割的速度；

2.本发明先找出了备选谷点的位置，然后利用简单的层次聚类，能准确地找到谷点位置，从而避免了选择错误的谷点位置。

附图说明

图1是本发明的实现总流程图；

图2是本发明实验使用原图像；

图3是用本发明方法对图3进行分割的仿真结果图；

图4是本发明所使用的上谷点和下谷点的位置图。

具体实施方式

下面结合图1对本发明的技术内容及效果作进一步详细描述。

参照图1，本发明的实现步骤包括如下：

步骤一，输入掌纹图像I(x,y)。

从图像数据库中获取大小为M×L的掌纹图像I(x,y)，其中(x,y)表示掌纹图像的像素点坐标，M表示掌纹图像的长度，L表示掌纹图像的宽度。

步骤二，获取掌纹图像的手掌轮廓图像Edg(x,y)。

(2a)对掌纹图像I(x,y)进行阈值分割，得到掌纹二值化图像I_B(x,y)：

其中，Th表示灰度阈值，取值为20；

(2b)对掌纹二值化图像I_B(x,y)进行腐蚀操作，得到腐蚀后的掌纹图像I_E(x,y)，进而得到手掌轮廓图像Edg(x,y)：

Edg(x,y)＝I_B(x,y)-I_E(x,y)。

步骤三，计算掌纹图像I(x,y)的方向图像D(x,y)和方向角图像θ(x,y)。

(3a)根据手掌轮廓图像Edg(x,y)，分别计算纵向梯度图像GradX(x,y)和横向梯度图像GradY(x,y)：

其中，*表示卷积，Sobel_x(x,y)表示纵向索贝尔算子，取值为：

$\mathrm{Sobel}\_x(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc}-1& -2& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right\},$

Sobel_y(x,y)表示横向索贝尔算子，取值为：

$\mathrm{Sobel}\_y(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -2& 0& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right\};$

(3b)利用纵向梯度图像GradX(x,y)和横向梯度图像GradY(x,y)，得到轮廓梯度图像Grad(x,y)：

Grad(x,y)＝(GradX(x,y),GradY(x,y))；

(3c)利用轮廓梯度图像Grad(x,y)，计算方向图像D(x,y)和方向角图像θ(x,y)：

$D(x,y)=(\frac{\mathrm{GradX}(x,y)}{\sqrt{\mathrm{GradX}{(x,y)}^2+\mathrm{GradY}{(x,y)}^2}},\frac{\mathrm{GradY}(x,y)}{\sqrt{\mathrm{GradX}{(x,y)}^2+\mathrm{GradY}{(x,y)}^2}}),$

θ(x,y)＝arctan2(GradX(x,y),GradY(x,y))，

其中，arctan2是值域为[0°360°)的反正切函数。

步骤四，计算掌纹图像I(x,y)的手掌方向θ_p。

(4a)对方向角图像θ(x,y)像素值的分布进行统计，求得θ(x,y)中分布最多的像素值θ_max：

(4a1)把[0°,360°)等分成36段角度区间，每段角度区间的大小为10°，将方向角图像θ(x,y)在第i段角度区间内的像素点数表示为L_i，并初始化L_i为0，i＝1,2,...,36；当10(i-1)≤θ(x,y)≤10i且Edg(x,y)＞0时_，给第i段角度区间对应的像素点数L_i值加1；

(4a2)找出L_i的最大值，将该最大值对应的i记作i_max，计算方向角图像θ(x,y)中分布最多的像素值θ_max：

${\mathrm{\θ}}_{\max }=\frac{10(i_{\max }-1)+10\×i_{\max }}{2};$

(4b)利用θ(x,y)中分布最多的像素值θ_max，计算手掌方向θ_p：

θ_p＝θ_max-90°。

步骤五，对掌纹图像I(x,y)进行方向校正，得到梯度校正图像D′(x,y)和角度校正图像θ′(x,y)：

(5a)对掌纹图像I(x,y)以-θ_p为旋转角度进行逆时针旋转，得到手掌校正图像I′(x,y)；

(5b)将手掌校正图像I′(x,y)作为输入图像，重复步骤(1)到步骤(3)，得到的方向图像记作梯度校正图像D′(x,y)，得到的方向角图像记作角度校正图像θ′(x,y)；

步骤六，利用手掌轮廓图像Edg(x,y)和角度校正图像θ′(x,y)，确定备选点集C，若点(x,y)满足Edg(x,y)＝255且165°≤θ′(x,y)≤195°，则将该点加入到备选点集C中。

步骤七，利用备选点集C，计算手掌校正图像I′(x,y)中上谷点v_u和下谷点v_d的位置。

(7a)对备选点集C中的点进行层次聚类，聚到3类为止，分别记为第一类CL₁、第二类CL₂、第三类CL₃，并将这三类的聚类中心分别记为c₁、c₂、c₃；

(7b)遍历第一类CL₁中的点，计算这些点到该类聚类中心c₁的距离，并将距离c₁最近的点记为v₁；

(7c)遍历第二类CL₂中的点，计算这些点到该类聚类中心c₂的距离，并将距离c₂最近的点记为v₂；

(7d)遍历第三类CL₃中的点，计算这些点到该类聚类中心c₃的距离，并将距离c₃最近的点记为v₃；

(7e)将上述得到三个点v₁、v₂、v₃中横坐标最小的点的位置记为I′(x,y)中上谷点v_u的位置，把v₁、v₂、v₃中横坐标最大的点的位置记为I′(x,y)中下谷点v_d的位置，上谷点v_u和下谷点v_d在手掌中的位置如图4所示，其中左上角的圆圈处表示上谷点v_u的位置，左下角圆圈处表示下谷点v_d的位置。

步骤八，在手掌校正图像I′(x,y)中，分割出掌纹有效区域图像R(x,y)。

(8a)利用下式计算谷点规正角度θ_v：

${\mathrm{\θ}}_v=\arctan \left(\frac{y_{\mathrm{vu}}-y_{\mathrm{vd}}}{x_{\mathrm{vu}}-x_{\mathrm{vd}}}\right),$

其中，x_vu和y_vu分别表示手掌校正图像I′(x,y)中上谷点v_u的横坐标和纵坐标，x_vd和y_vd分别表示表示I′(x,y)中下谷点v_d的横坐标和纵坐标，arctan是值域为[0°,180°)的反正切的函数；

(8b)以θ_v-90°为旋转角度对手掌校正图像I′(x,y)进行逆时针旋转，得到谷点规正图像G_v(x,y)；

(8c)把上谷点v_u的位置(x_vu,y_vu)映射到谷点规正图像G_v(x,y)上，得到G_v(x,y)中规正上谷点v_u′的位置(x′_vu,y′_vu)：

x′_vu＝x_vu×cos(90°-θ_v)-y_vu×sin(90°-θ_v)+x₀-x₀×cos(90°-θ_v)+y₀×cos(90°-θ_v),

y′_vu＝x_vu×sin(90°-θ_v)+y_vu×cos(90°-θ_v)+y₀-x₀×sin(90°-θ_v)-y₀×sin(90°-θ_v),其中，x′_vu和y′_vu分别表示规正上谷点v_u′的横坐标和纵坐标，x₀和y₀表示手掌校正图像I′(x,y)中心点的横坐标和纵坐标；

(8d)把I′(x,y)中下谷点v_d的位置(x_vd,y_vd)映射到谷点规正图像G_v(x,y)上，得到规正下谷点v′_d的位置(x′_vd,y′_vd)：

x′_vd＝x_vd×cos(90°-θ_v)-y_vd×sin(90°-θ_v)+x₀-x₀×cos(90°-θ_v)+y₀×cos(90°-θ_v)，

y′_vd＝x_vd×sin(90°-θ_v)+y_vd×cos(90°-θ_v)+y₀-x₀×sin(90°-θ_v)-y₀×sin(90°-θ_v)，

其中，x′_vd和y′_vd分别表示规正下谷点v′_d的横坐标和纵坐标；

(8e)计算规正上谷点v_u′和规正下谷点v′_d两点的距离d_ud：

d_ud＝x′_vd-x′_vu；

(8f)在谷点规正图像G_v(x,y)中，确定掌纹有效区域中心c的位置(x_c,y_c)：

x_c＝(x′_vu+x′_vd)/2，

y_c＝y′_vu-1.2×d_ud；

(8g)在谷点规正图像G_v(x,y)中，截取待测掌纹有效区域图像R(x,y)：

R(x,y)＝G_v(x+x_c-d_ud/2,y+y_c-d_ud/2)，

其中，x的取值范围为[0,d_ud]，y的取值范围为[0,d_ud]。

本发明的效果可通过以下仿真进一步说明:

1仿真条件

在PC机的VS2010环境下进行仿真，PC机配置Core I7处理器，主频为3.4-GHz。仿真图像来自实验室环境下用Iphone5手机拍摄的在线掌纹数据库，如图3所示，该数据库包含了来自100个手掌的500幅掌纹图像，图像大小为3264×2448。

2仿真内容与分析

用本发明对图2所述的一组数据库中的掌纹图像进行分割，结果如图3所示。其中，图2(a)的分割结果如图3(a)所示，图2(b)的分割结果如图3(b)所示，图2(c)的分割结果如图3(c)所示。

通过图2与图3的对比可以发现，本发明能够准确的提取出掌纹有效区域。本发明最显著的特点是简单快速，无需复杂的几何运算。

本发明所述的基于方向检测的在线掌纹分割方法，并不仅限于说明书中的描述。凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、同等替换、改进等，均包含在本发明的权利要求范围之内。

Claims (5)

1.一种基于方向检测的在线掌纹有效区域快速分割方法，包括如下步骤：

(1)输入大小为M×L的掌纹图像I(x,y)，其中(x,y)表示掌纹图像的像素点坐标，M表示掌纹图像的长度，L表示掌纹图像的宽度；

(2)对掌纹图像I(x,y)进行阈值分割，得到掌纹二值化图像I_B(x,y)，对掌纹二值化图像I_B(x,y)进行腐蚀操作，得到腐蚀后的掌纹图像I_E(x,y)，进而得到手掌轮廓图像Edg(x,y)：

Edg(x,y)＝I_B(x,y)-I_E(x,y)；

(3)利用手掌轮廓图像Edg(x,y)，计算方向图像D(x,y)和方向角图像θ(x,y)；

(4)计算掌纹图像I(x,y)的手掌方向θ_p：

(4a)对方向角图像θ(x,y)像素值的分布进行统计，求得θ(x,y)中分布最多的像素值θ_max：

(4a1)把[0°,360°)等分成36段角度区间，每段角度区间的大小为10°，将方向角图像θ(x,y)在第i段角度区间内的像素点数表示为L_i，并初始化L_i为0，i＝1,2,...,36；当10(i-1)≤θ(x,y)＜10i且Edg(x,y)＞0时_，给第i段角度区间对应的像素点数L_i值加1；

(4a2)找出L_i的最大值，将该最大值对应的i记作i_max，计算方向角图像θ(x,y)中分布最多的像素值θ_max：

${\mathrm{\θ}}_{\max }=\frac{10(i_{\max }-1)+10\×i_{\max }}{2};$

(4b)利用方向角图像θ(x,y)中分布最多的像素值θ_max，计算手掌方向：θ_p＝θ_max-90°；

(5)对掌纹图像I(x,y)进行方向校正，得到梯度校正图像D′(x,y)和角度校正图像θ′(x,y)：

(5a)对掌纹图像I(x,y)以-θ_p为旋转角度进行逆时针旋转，得到手掌校正图像I′(x,y)；

(5b)将手掌校正图像I′(x,y)作为输入图像，重复步骤(1)到步骤(3)，得到的方向图像记作梯度校正图像D′(x,y)，得到的方向角图像记作角度校正图像θ′(x,y)；

(6)利用手掌轮廓图像Edg(x,y)和角度校正图像θ′(x,y)，确定备选点集C：若像素点坐标(x,y)满足Edg(x,y)＝255且165°≤θ′(x,y)≤195°，则将该像素点加入到备选点集C中；

(7)利用备选点集C，计算手掌校正图像I′(x,y)中上谷点v_u和下谷点v_d的位置：

(7a)对备选点集C中的点进行层次聚类，聚到3类为止，分别记为第一类CL₁、第二类CL₂、第三类CL₃，并将这三类的聚类中心分别记为c₁、c₂、c₃；

(7b)遍历第一类CL₁中的点，计算这些点到该类聚类中心c₁的距离，并将距离c₁最近的点记为v₁；

(7c)遍历第二类CL₂中的点，计算这些点到该类聚类中心c₂的距离，并将距离c₂最近的点记为v₂；

(7d)遍历第三类CL₃中的点，计算这些点到该类聚类中心c₃的距离，并将距离c₃最近的点记为v₃；

(7e)将上述得到三个点v₁、v₂、v₃中横坐标最小的点的位置记为I′(x,y)中上谷点v_u的位置，把v₁、v₂、v₃中横坐标最大的点的位置记为I′(x,y)中下谷点v_d的位置；

(8)以手掌校正图像I′(x,y)中上谷点v_u的位置和下谷点v_d的位置为参照点，分割出掌纹有效区域图像R(x,y)。

2.根据权利要求1所述的基于梯度方向模板的在线掌纹分割方法，其中步骤(2)中所述的对掌纹图像I(x,y)进行阈值分割，得到掌纹二值化图像I_B(x,y)，按如下公式进行：

其中，Th表示灰度阈值，取值为20。

3.根据权利要求1所述的基于梯度方向模板的在线掌纹分割方法，其中，步骤(3)所述的利用手掌轮廓图像Edg(x,y)，计算方向图像D(x,y)和方向角图像θ(x,y)，按如下步骤进行；

(3a)根据手掌轮廓图像Edg(x,y)，分别计算纵向梯度图像GradX(x,y)和横向梯度图像GradY(x,y)：

其中，*表示卷积，Sobel_x(x,y)表示纵向索贝尔算子，取值为：

$\mathrm{Sobel}\_x(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc}-1& -2& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right\},$

Sobel_y(x,y)表示横向索贝尔算子，取值为：

$\mathrm{Sobel}\_y(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -2& 0& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right\};$

(3b)利用纵向梯度图像GradX(x,y)和横向梯度图像GradY(x,y)，得到轮廓梯度图像Grad(x,y)：

Grad(x,y)＝(GradX(x,y),GradY(x,y))；

(3c)利用轮廓梯度图像Grad(x,y)，计算方向图像D(x,y)和方向角图像θ(x,y)：

$D(x,y)=(\frac{\mathrm{GradX}(x,y)}{\sqrt{\mathrm{GradX}{(x,y)}^2+\mathrm{GradY}{(x,y)}^2}},\frac{\mathrm{GradY}(x,y)}{\sqrt{\mathrm{GradX}{(x,y)}^2+\mathrm{GradY}{(x,y)}^2}}),$

θ(x,y)＝arctan2(GradX(x,y),GradY(x,y))，

其中，arctan2是值域为[0°,360°)的反正切函数。

4.根据权利要求1所述的基于方向检测的在线掌纹分割方法，其中步骤(7a)中叙述的对备选点集C中的点进行层次聚类，按如下步骤进行：

(7a1)把备选点集C中的每一个点都视作一类；

(7a2)计算备选点集C中每两类之间的距离，选择距离最近的两类合并为一个类；

(7a3)如果备选点集C中类的数量大于3，重复执行步骤(7a2)，否则，聚类结束。

5.根据权利要求1所述的基于梯度方向模板的在线掌纹分割方法，其中，步骤(8)中所述的以手掌校正图像I′(x,y)中上谷点v_u和下谷点v_d的位置为参照点，分割出掌纹有效区域图像R(x,y)，具体步骤如下：

(8a)利用下式计算谷点规正角度θ_v：

${\mathrm{\θ}}_v=\arctan \left(\frac{y_{\mathrm{vu}}-y_{\mathrm{vd}}}{x_{\mathrm{vu}}-x_{\mathrm{vd}}}\right),$

其中，x_vu和y_vu分别表示手掌校正图像I′(x,y)中上谷点v_u的横坐标和纵坐标，x_vd和y_vd分

别表示I′(x,y)中下谷点v_d的横坐标和纵坐标，arctan是值域为[0°,180°)的反正切的函数；

(8b)以θ_v-90°为旋转角度对手掌校正图像I′(x,y)进行逆时针旋转，得到谷点规正图像G_v(x,y)；

(8c)把手掌校正图像I′(x,y)中上谷点v_u的位置(x_vu,y_vu)映射到谷点规正图像G_v(x,y)上，得到G_v(x,y)的规正上谷点v′_u的位置(x′_vu,y′_vu)：

x′_vu＝x_vu×cos(90°-θ_v)-y_vu×sin(90°-θ_v)+x₀-x₀×cos(90°-θ_v)+y₀×cos(90°-θ_v),

y′_vu＝x_vu×sin(90°-θ_v)+y_vu×cos(90°-θ_v)+y₀-x₀×sin(90°-θ_v)-y₀×sin(90°-θ_v),

其中，x′_vu和y′_vu分别表示规正上谷点v′_u的横坐标和纵坐标，x₀和y₀表示I′(x,y)中心点的横坐标和纵坐标；

(8d)把I′(x,y)中下谷点v_d的位置(x_vd,y_vd)映射到谷点规正图像G_v(x,y)上，得到G_v(x,y)的规正下谷点v′_d的位置(x′_vd,y′_vd)，公式如下：

x′_vd＝x_vd×cos(90°-θ_v)-y_vd×sin(90°-θ_v)+x₀-x₀×cos(90°-θ_v)+y₀×cos(90°-θ_v)，

y′_vd＝x_vd×sin(90°-θ_v)+y_vd×cos(90°-θ_v)+y₀-x₀×sin(90°-θ_v)-y₀×sin(90°-θ_v)，

其中，x′_vd和y′_vd分别表示规正下谷点v′_d的横坐标和纵坐标；

(8e)计算规正上谷点v′_u和规正下谷点v′_d两点的距离d_ud：

d_ud＝x′_vd-x′_vu；

(8f)在谷点规正图像G_v(x,y)中，确定掌纹有效区域中心c的位置(x_c,y_c)：

x_c＝(x′_vu+x′_vd)/2，

y_c＝y′_vu-1.2×d_ud；

(8g)在谷点规正图像G_v(x,y)中，截取待测掌纹有效区域图像R(x,y)：

R(x,y)＝G_v(x+x_c-d_ud/2,y+y_c-d_ud/2)，

其中，x的取值范围为[0,d_ud]，y的取值范围为[0,d_ud]。