CN104101751A - 基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法，对过采样的单次采集信号，采样最大熵原理估计各样本的概率和最大熵，根据样本概率计算样本的不确定度，进而得到置信区间，根据置信区间剔除样本中的粗大量化误差，根据信息量比率计算数据的融合权重系数，并根据融合权重系数对有效样本进行数据融合，将数据融合结果代替粗大量化误差的样本对样本数据进行重构，再采用基于平均的抽取算法，得到输出样本。本发明用于提高数字存储示波器的垂直分辨率，通过结合基于信息熵的数据融合和基于平均的抽取滤波算法，提高数字示波器的垂直分辨率，并提高输出信号的信噪比性能，并且不会影响示波器实际采样率下的模拟带宽。

Description

基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法

技术领域

本发明属于数字存储示波器技术领域，更为具体地讲，涉及一种基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法。

背景技术

带宽、采样率和存储深度是普遍采用的评价数字存储示波器性能的三大核心指标。除此之外，还有一个非常重要的指标：垂直分辨率。较高的垂直分辨率意味着更加精细的波形显示和更加精确的信号测量。数字存储示波器(DSO)的垂直分辨率取决于模数转化器(ADC)的量化位数，以及示波器本身的噪声和失真水平。常见的示波器产品一般采用8位或12位ADC，在ADC的量化位数一定的情况下，降低噪声就成为提供更高分辨率的关键。

数字滤波是常用的降噪手段。其中，平均是一种改善信噪比、提高有效位数(垂直分辨率)的典型方法。数字存储示波器中常用的平均方式有两种：连续捕获平均和连续样点平均。

连续捕获平均是数字存储示波器采集系统中的基本降噪信号处理技术。它依赖于多次触发采集重复的信号。图1为N次连续捕获平均原理图。如图1所示，连续捕获平均使用多次采集的多个波形，逐点平均这些波形中的对应采样点，形成一个平均后的单次捕获结果，即输出单个波形。连续捕获平均的直接计算方法是把所有采集中的对应样点相加，然后除以采集数量，计算公式为：

$A_N(n+i)=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j(n+j)---\left(1\right)$

i＝0,±1,±2,...

其中，A_N(n+i)是平均结果，N是平均总数，x_j(n+i)表示第j次采集中，n+i时刻对应的采样点。显然，这种算法要等到全部N次采集完成之后，才能显示平均值。如果平均总数N过大，系统的吞吐率将受到显著影响。对用户而言，平均造成的延迟将不可接受；对示波器而言，采样数据将迅速耗尽存储容量。针对这种情况，提出了一种改进的指数平均算法，利用n+i时刻的新采集样点x_j(n+i)和上一次平均结果A_j-1(n+i)，得到新平均结果A_j(n+i)，其计算公式为：

A_j(n+i)＝[x_j(n+i)+(p-1)A_j-1(n+i)]/p＝x_j(n+i)/p+[(p-1)/p]A_j-1(n+i)   (2)

i＝0,±1,±2,...

其中，j表示采集次数，N表示平均的波形总数，A_j(n+i)是新平均结果，A_j-1(n+i)是上一次平均结果，x_j(n+i)是新采集样点，p是加权系数，如果(j＜N)，那么p＝j，否则p＝N。显然，指数平均算法在计算和存储采集的波形和被平均的波形时效率要高得多。不但可以在每次采集后立即在画面上更新结果，得到的波形和直接平均算法相同，而且还明显降低了对存储容量的要求。

无论采用何种算法，连续捕获平均都可提高信号的垂直分辨率。这种提升用位衡量，是平均数量N(波形数量)的函数：

R_C＝0.5log₂N             (3)

其中，R_C是连续捕获平均提高的分辨率，N是平均数量。

表1是8位ADC示波器采用连续平均提高的垂直分辨率理想值。

平均总数	提高的分辨率(位)	总垂直分辨率(位)
			1	0.0	8.0
2	0.5	8.5
			4	1.0	9.0
8	1.5	9.5
			16	2.0	10.0
64	3.0	11.0
			256	4.0	12.0
1024	5.0	13.0
			4096	6.0	14.0
8192	6.5	14.5

表1

由于在许多示波器中，平均算法是使用固定点数学运算实现，并考虑到实时性和存储容量，最大平均数量通常不会超过8192，因此，总分辨率位数最大值限定在14.5以内。在实际中，固定点数学运算、噪声和抖动误差均会在一定程度上降低最高分辨率。

连续样点平均是广泛运用于数字存储示波器采集系统的另一种平均算法。连续样点平均也称为矩形滤波或者滑动平均滤波，它仅基于对被测信号的单次采集，因此不易受信号自身重复特性影响。图2是3个连续样点平均的原理示意图。连续样点平均中，每一个输出样点代表了N个连续输入样点的平均值，其计算公式为：

$A_N(n+i)=\frac{1}{N}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_N(n+i+j)---\left(4\right)$

i＝0,±1,±2,...

连续样点平均前后的采样率是相等的，并通过减少数字存储示波器的带宽来去除噪声，提高信号的垂直分辨率。同样地，这种提升用位衡量，是平均数量N(样点数量)的函数：

R_S＝0.5log₂N            (5)

其中，R_S是连续样点平均提高的分辨率，N是平均数量。连续样点平均实质是一个低通滤波器函数，在文献Bishop C.,Effects of averaging to rejectunwanted signals in digital sampling oscilloscopes,AUTOTESTCON,2010IEEE,1-4(2010).中推导了其3dB带宽为：

B_S＝0.44S_R/N              (6)

其中，B_S是带宽，N是平均数量，S_R是每秒采样的点数即采样率。这种类型的滤波器有着非常陡峭的截止频率，与周期是N/S_R的整数倍信号一致。噪声消除情况大致与平均点数的平方根成正比，如一个25点平均将使高频噪声的幅度衰减5倍。在数字存储示波器中连续样点平均也经常用来实现可变带宽功能。

表2是8位ADC示波器在实际采样率为100MSa/s时，采用连续样点平均后分辨率提高和带宽限制的理想值。

表2

可见，连续样点平均虽然基于对被测信号的单次采集，却在噪声的滤除过程中降低了实际采样率下的模拟带宽，因而实用性较差。

综上所述，以上两种平均方法对噪声的抑制和分辨率的提升均具有一定的局限性。连续捕获平均基于对信号的多次重复采集，因而受限于被测信号的重复特性；连续样点平均虽然基于对被测信号的单次采集，却在噪声的滤除过程中牺牲了模拟带宽。除此之外，受环境干扰、时钟抖动以及传输延迟等因素的影响，示波器的采样数据中还经常包含有粗大量化误差，例如一些不相干的噪声、数据失配导致的量化错误等等。对于包含粗大误差的采集样本，若不经过处理而直接平均，结果将大大偏离真实信号。

数据融合(也称为信息融合)是目前广泛使用的样本数据处理方法。在LUOZH L,ZHANG Q J,FANG Q CH,Method of data fusion applied in intelligentinstruments,Instrument Technique and Sensor,3(1),45-46(2002).根据统计理论的分批估计理论提出了一种数据融合算法，在CAI F N,LIU Q X,Single sensor datafusion and analysis of effectiveness,Jouma1of Transducer Technology,24(2),73-74(2005).中对该算法进行了改进，但这两种算法都假设数据样本具有正态分布的特性，具有一定的主观假设。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法，通过采用基于信息熵的数据融合和基于平均的抽取滤波算法，避免对被测信号的主观假设和约束，提高数字存储示波器的垂直分辨率。

为实现上述发明目的，本发明基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法，包括以下步骤：

S1：数字存储示波器的采集系统按照N倍于实际采样率的高采样率进行过采样，将采样样本以N个样本为一组，得到样本序列x₁,x₂,...x_N；

S2：从样本序列中剔除重复样本后得到N′个样本x₁,x₂,...x_N'，采用最大离散熵估计得到去重后各个样本x_d的概率p(x_d)，并得到最大离散熵H(x)_max，d的取值范围为1≤d≤N′，其中离散熵的计算公式为：

$H\left(x\right)=-k\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)\ln p\left(x_d\right)$

概率估计的约束条件为：

$\left\{\begin{array}{c}s.t.\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)=1\\ p\left(x_d\right)\≥0\\ s.t.\underset{n=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_n\right)g_m\left(x_n\right)=E\left(g_m\right),(m=\mathrm{1,2},...,M)\end{array}\right.$

其中，k为正常数，g_m(x_d)为各阶统计矩函数，m表示阶数，M表示最大阶数，E(g_m)表示各阶统计矩的期望值；

S3：计算N′个样本的测量不确定度u，计算公式为：

$u=\sqrt{\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}{(x_d-\stackrel{\‾}{x})}^{2}p\left(x_d\right)}$

其中，表示步骤S1中过采样得到的N个样本的平均值；

得到样本的置信区间为将N′个样本中在置信区间范围外的样本剔除，得到N″个样本；

S4：计算N″个样本中各个样本的信息量比率ω_v：

${\mathrm{\ω}}_v=\frac{I\left(x_v\right)}{H{\left(x\right)}_{\max }}$

其中，v的取值范围为v＝1,2,...N″，I(x_v)表示样本x_v的自信息量，I(x_v)＝-lnp(x_v)；

对信息量比率归一化处理得到融合权重系数q_v，计算公式为：

$q_v=\frac{1/{\mathrm{\ω}}_v}{\underset{v=1}{\overset{N^{\′\′}}{\mathrm{\Σ}}}1/{\mathrm{\ω}}_v}$

进行数据融合得到融合结果x_f，计算公式为：

$x_f=\underset{v=1}{\overset{N^{\′\′}}{\mathrm{\Σ}}}{q}_v{x}_v$

S5：在原始N个样本x₁,x₂,...x_N中，根据步骤S3得到的置信区间，将置信区间范围外的样本剔除，并加入同等数量的融合结果x_f，得到N个样本x₁′,x₂′,...x′_N；

S6：将N个样本x₁′,x₂′,...x′_N进行基于平均的抽取，得到平均结果将平均结果A作为样本输出。

本发明基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法，对过采样的单次采集信号，采样最大熵原理估计各样本的概率和最大熵，根据样本概率计算样本的不确定度，进而得到置信区间，根据置信区间剔除样本中的粗大量化误差，根据信息量比率计算数据的融合权重系数，并根据融合权重系数对有效样本进行数据融合，将数据融合结果代替粗大量化误差的样本对样本数据进行重构，再采用基于平均的抽取算法，进一步滤除噪声，得到输出样本。

本发明具有以下有益效果：

(1)与现有的平均方式相比，本发明通过采用基于信息熵的数据融合，未对样本添加主观假设和约束，使输出样本更加准确；

(2)本发明结合了基于信息熵的数据融合和基于平均的抽取滤波算法，经过仿真可知，与现有方法相比，数字示波器的有效位数更高，输出信号的信噪比性能也更优，并且不会影响示波器实际采样率下的模拟带宽。

附图说明

图1是N次连续捕获平均原理图；

图2是3个连续样点平均的原理示意图；

图3是本发明基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法的流程示意图；

图4是3倍过采样下基于平均的抽取原理示意图；

图5是去重后样本数据的最大熵分布示意图；

图6是去重后样本数据的自信息量示意图；

图7是实验1的时域波形图；

图8是实验1的信号频谱图；

图9是实验2的时域波形图；

图10是实验2的信号频谱图；

图11是实验3的时域波形图；

图12是实验3的信号频谱图；

图13是实验4的时域波形图；

图14是实验4的信号频谱图；

图15是实验5的时域波形图；

图16是实验5的信号频谱图；

图17是实验6的时域波形图；

图18是实验6的信号频谱图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述，以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。

图3是本发明基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法的流程示意图。如图3所示，本发明基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法包括以下步骤：

S301：过采样：

数字存储示波器的采集系统按照N倍于实际采样率的高采样率进行过采样，将采样样本以N个样本为一组，得到样本序列x₁,x₂,...x_N。

本发明通过过采样，获得数倍于实际采样率的样本数据，其目的是在样本中剔除粗大量化误差，得到精确的测量结果。

S302：最大熵分布估计：

1957年，杰尼斯(E.T.Jaynes)从信息熵最大为出发点，提出了最大熵原理：在只掌握部分信息的情况下对未知的分布形态做推断时，应选取符合约束条件且信息熵值取最大的那个概率分布，任何其他的选择都意味着添加了其他约束或改变了原有假设条件。换言之，对于只有被测信号样本的情况，若没有充足的理由来选择某种解析分布函数，可通过最大熵来确定出最不带倾向性的被测量分布的形式。本发明根据最大熵原理估计各个样本的概率，具体步骤包括：

S2.1：去除重复样本：从样本序列中剔除重复样本后得到N′个样本x₁,x₂,...x_N'，对应的发生概率分别记为p(x₁),p(x₂),...p(x_N')。

S2.2：采用最大离散熵估计去重后各个样本x_d的概率p(x_d)，并得到最大离散熵H(x)_max，d的取值范围为1≤d≤N′。

根据香农信息熵的定义，离散随机变量x的信息熵为：

$H\left(x\right)=-k\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)\ln p\left(x_d\right)---\left(7\right)$

概率估计的约束条件为：

$\left\{\begin{array}{c}s.t.\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)=1\\ p\left(x_d\right)\≥0\\ s.t.\underset{n=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_n\right)g_m\left(x_n\right)=E\left(g_m\right),(m=\mathrm{1,2},...,M)\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，k为正常数，g_m(x_d)为各阶统计矩函数，m表示阶数，M表示最大阶数，E(g_m)表示各阶统计矩的期望值。

最大离散熵估计可以采用多种方式进行求解。本实施例中，采用拉格朗日(Lagrange)乘数法求解，由于k为正常数，此处为便于说明，取k＝1，构建拉格朗日函数L(x,λ)如下式所示：

$L(x,\mathrm{\λ})=-\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)\ln p\left(x_d\right)+({\mathrm{\λ}}_0+1)[\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)-1]+\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_m[\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)g_m\left(x_d\right)-E\left(g_m\right)]---\left(9\right)$

其中，λ₀,λ_m是拉格朗日系数。分别对p(x_d)和λ_m求偏导数，得到方程组：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂L(x_d,{\mathrm{\λ}}_m)}{\∂p\left(x_d\right)}=0,d=\mathrm{1,2},...N^{\′}\\ \frac{\∂L(x_d,{\mathrm{\λ}}_m)}{{\∂\mathrm{\λ}}_m}=0,m=\mathrm{0,1,2},...,M\end{array}\right.---\left(10\right)$

求得概率分布函数：

$p\left(x_d\right)=\exp [{\mathrm{\λ}}_0+\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_m{g}_m\left(x_d\right)]---\left(11\right)$

其中，exp表示以常数e为底的指数函数。

对应的最大熵即可采用下式计算：

$H{\left(x\right)}_{\max }=-{\mathrm{\λ}}_0-\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{m}E\left(g_m\right)---\left(12\right)$

在已知样本数据的情况下，可选择样本序列的期望和方差作为期望函数。可见，最大熵分布估计算法就是通过离散随机变量的熵值估计其概率分布，在保证样本的统计特性的条件下，通过调整概率分布模型p(x_d)使熵值H(x)达到最大，并以此作为算法的进化模型，其理论依据就是杰尼斯提出的最大熵原理。

S303：粗大误差判别：

传统的粗大误差判别准则有3σ准则、格罗布斯准则和狄克逊准则等，这些准则是建立在数理统计的基础上的。采用这些算法处理样本数据需要知道样本的概率分布，然而实际测量中很少有预先知道概率分布的情况。当测量过程中所取得的样本数量较少时，就无法满足统计特性，进而影响到处理粗大误差的精确性。本发明提出一种新的粗大误差判别算法，利用最大离散熵概率分布计算样本序列的测量不确定度，再根据不确定度确定置信区间来判别粗大误差。

根据参考文献ZHU J M,GUO B J,Study on evaluation of measurement resultand uncertainty based on maximum entropy method,Electrical Measurement&Instrument,42(8),5-8(2005)，对于连续随机变量，如果根据最大熵方法估计出概率密度函数为f(x)，则测量不确定度为：

$u=\sqrt{{\∫}_a^b{(x-\stackrel{\‾}{x})}^{2}f\left(x\right)\mathrm{dx}}---\left(13\right)$

由此推出离散随机变量的测量不确定度计算方法，如果根据最大熵方法估计出样本的概率分布为p(x_d)，则剔除重复样本数据后，计算样本的不确定度为：

$u=\sqrt{\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}{(x_d-\stackrel{\‾}{x})}^{2}p\left(x_d\right)}---\left(14\right)$

其中，表示步骤S301中过采样得到的N个样本的平均值，即去重前N个原始样本的平均值；

得到样本的置信区间为再根据置信区间来判别样本中是否含有粗大误差，即N′个样本中在该置信区间之外的数据被视为含有粗大误差，应当从样本序列中剔除，得到N″个样本参与数据融合。

S304：数据融合：

在数字存储示波器中，采样的目的是为了获取被测信号的信息，确定被测信号的量值，而信息熵是信息量的度量，衡量不确定性的程度，因此可以利用信息熵对采集样本数据进行融合。对于不确定性大的样本分配小的权系数，对于不确定性小的样本分配大的权系数，从而减小融合结果的不确定性。

如前文所述，本发明中数字存储示波器的采集系统按照N倍于实际采样率的高采样率进行过采样，得到高采样率下的N个样本x₁,x₂,...x_N，剔除重复样本后得到N'个离散样本x₁,x₂,...x_N'，再剔除粗大误差后，得到N″个样本x₁,x₂,...x_N″，N″个样本中每个样本x_v所提供的信息量用自信息量I(x_v)来表示，而信息熵是总体的平均不确定度，因此可以用自信息量与信息熵的比值来衡量每个样本在总体样本中的不确定性程度，并且融合权系数与自信息量成反比。

数据融合的具体方法如下：

S4.1：利用最大熵方法估计样本数据的最大熵分布及最大熵，求出每个样本的自信息量，定义信息量比率：

${\mathrm{\ω}}_v=\frac{I\left(x_v\right)}{H{\left(x\right)}_{\max }}---\left(15\right)$

其中，v的取值范围为v＝1,2,...N″，I(x_v)表示样本x_v的自信息量，I(x_v)＝-lnp(x_v)。

S4.2：定义融合权系数，并作归一化处理：

$q_v=\frac{1/{\mathrm{\ω}}_v}{\underset{v=1}{\overset{N^{\′\′}}{\mathrm{\Σ}}}1/{\mathrm{\ω}}_v}---\left(16\right)$

S4.3：进行数据融合，得到数据融合结果x_f，计算公式为：

$x_f=\underset{v=1}{\overset{N^{\′\′}}{\mathrm{\Σ}}}{q}_v{x}_v---\left(17\right)$

S305：数据样本重构：

在原始N个样本x₁,x₂,...x_N中，根据步骤S303得到的置信区间，将置信区间范围外的样本剔除，并加入同等数量的融合结果x_f，即剔除多少个样本即加入多少个融合结果，得到N个样本x₁′,x₂′,...x′_N，即新的样本序列。

S306：基于平均的抽取：

数字存储示波器中ADC的最高采样率，通常远远高于被测信号频谱实际要求的采样率。这种过采样可以作为一种优势，对数字化结果滤波，以提高显示波形的有效分辨率，并去掉不想要的噪声。因此，在过采样的前提下，采用基于平均的抽取滤波算法可提高实际采样率下的垂直分辨率。具体而言，相较于用户选择的时基档对应的实际采样率，数字存储示波器可先按照N倍于此的高采样率进行过采样，然后对高采样率下的N个采样点采用步骤S302至S305进行处理得到新的样本序列后，再求平均并抽取出实际采样率下的样点。N倍过采样下基于平均的抽取，其计算公式如下式所示：

$A_N(n+i)=\frac{1}{N}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_N(n+\mathrm{iN}+j)---\left(18\right)$

i＝0,±1,±2,...

为便于描述，此处仅以3倍过采样下基于平均的抽取为例。图4是3倍过采样下基于平均的抽取原理示意图。如图4所示，3倍过采样下，以3个样本为一组进行处理，根据最后得到的包含3个样本的新样本序列进行基于平均的抽取，输出一个样本。

本发明中，基于平均的抽取可以简单地表示为：

$A=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x^{\′}}_j---\left(19\right)$

A表示平均结果，将其作为样本输出。

与背景技术中两种平均方式一样，基于平均的抽取滤波，提高的分辨率用位来衡量仍然是平均数量N(即过采样倍率)的函数：

R_H＝0.5log₂N＝0.5log₂(S_M/S_R)         (20)

式(20)中，R_H是提高的分辨率，N是平均数量，S_M为高采样率，S_R为实际采样率，平均后的-3dB带宽B_H为：

B_H＝0.44S_R         (21)

由此可见，提高的垂直分辨率和模拟带宽会随示波器的最高采样率和实际采样率变化。表3是最高采样率为1GSa/s的8位ADC示波器采用1GSa/s过采样下基于平均的抽取方法后，分辨率提高和模拟带宽限制的理想值。

实际采样率	平均数量	总垂直分辨率(位)	-3dB带宽
				1GSa/s	1	8.0位	440MHz
500MSa/s	2	8.5位	220MHz
				250MSa/s	4	9.0位	110MHz
100MSa/s	10	9.7位	44MHz
				50MSa/s	20	10.2位	22MHz
25MSa/s	40	10.7位	11MHz
				10MSa/s	100	11.3位	4.4MHz
1MSa/s	1000	13.0位	440kHz
				100kSa/s	10000	14.6位	44kHz

表3

表3中的值是理想值，分辨率的提升正比于平均数量N，N每提高4倍，分辨率就可提高1位。实际情况中，受实时性和存储容量限制，最大平均数量通常在10000以内，并且固定点数学运算和噪声也会在一定程度上降低最高分辨率。因此，分辨率提高的位数一般不超过6位。还应注意分辨率的提高也取决于动态信号本身。对于那些转换结果总是在不同编码之间偏移的信号来说，分辨率总是会被提高。但是对稳态信号来说，只有当噪声幅度大于ADC的1倍或2倍LSB(Least Significant Bit，最低有效位)的时候，分辨率的提高才比较显著。幸运的是，现实世界中的信号总是这种情况。

从整体上看，当被测信号具有单次或低速重复特点、不能使用传统的连续捕获平均情况下，过采样下基于平均的抽取可以代替连续捕获平均。具体来看，过采样下基于平均的抽取，特别适合以下两种情况：第一，如果信号的噪声明显很高(且不要求测量噪声)，那么可以使用过采样下基于平均的抽取来“清除”噪声。第二，即使信号噪声不太高，但要求对波形进行高精度测量，那么过采样下基于平均的抽取将提高测量的分辨率。对比公式(6)和(21)不难发现：传统的连续样点平均，带宽与实际采样率成正比，与平均数量成反比。当实际采样率一定时，带宽随平均数量的增加而急剧下降；而过采样下基于平均的抽取，带宽仅与实际采样率成正比，与平均数量(过采样倍率)无关。当实际采样率一定时，带宽随之确定，并没有其他额外损失。此外，通过N倍过采样，奈奎斯特频率随之也被提高了N倍，因此基于平均的抽取的另一个好处是减少了混叠。

实施例

为了更直观地展现本发明的具体过程，以某数字存储示波器实际采样的一组样本为例进行说明。数字存储示波器的工作参数为：500ns/div时基档，实际采样率100MSa/s，过采样倍数为10。可见，数字存储示波器的每组样本中有10个样本。表4是实施例中过采样得到的10个原始样本。

序号	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
											样值	120	121	121	123	124	125	63	79	129	131

表4

10个原始样本的期望μ和样本方差σ²分别为：

$\mathrm{\μ}=\stackrel{\‾}{x}=\frac{1}{10}\underset{i=1}{\overset{10}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i=113.6$

${\mathrm{\σ}}^2=\frac{1}{9}\underset{i=1}{\overset{10}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-\stackrel{\‾}{x})}^2=530.4889$

由于原始样本中，x₂＝x₃＝121，故构造剔除重复数据的新样本序列x₁,x₂,...x₉。表5是原始样本去重后的9个样本。

序号	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
										样值	120	121	123	124	125	63	79	129	131

表5

然后采用最大熵原理对去重后的9个样本的概率进行估计。

本实施例中，选用样本数据的期望和样本方差作为期望函数。即样本概率分布满足的约束条件为：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)=\underset{d=1}{\overset{9}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)=1\\ p\left(x_d\right)\≥0\\ \underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{d}p\left(x_d\right)=\underset{d=1}{\overset{9}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{d}p\left(x_d\right)=\mathrm{\μ}=113.6,(m=1)\\ \underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}{(x_d-\mathrm{\μ})}^{2}p\left(x_d\right)=\underset{d=1}{\overset{9}{\mathrm{\Σ}}}{(x_d-\mathrm{\μ})}^{2}p\left(x_d\right)={\mathrm{\σ}}^2=530.4889,(m=2)\end{array}\right.$

根据最大熵方法和拉格朗日函数，计算得到拉格朗日系数分别为：λ₀＝-4.3009，λ₁＝0.01648，λ₂＝0.000452，估计得到的最大熵概率分布、最大熵及自信息量表达式分别为：

$p\left(x_i\right)=\exp [{\mathrm{\λ}}_0+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_j{g}_j\left(x_i\right)]=\exp [-4.3009+0.01648x_i+0.000452{(x_i-113.6)}^2]$

$H{\left(x\right)}_{\max }=-{\mathrm{\λ}}_0-\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{j}E\left(g_j\right)=2.1893$

I(x_i)＝-lnp(x_i)＝4.3009-0.01648x_i-0.000452(x_i-113.6)²

图5是去重后样本数据的最大熵分布示意图。图6是去重后样本数据的自信息量示意图。

表6是去重后每个样本对应的概率和自信息量。

序号	样值	概率值	自信息量
				x1	120	0.0998	2.3048
x2	121	0.1021	2.2821
				x3	123	0.1071	2.2339
x4	124	0.1099	2.2085
				x5	125	0.1128	2.1822
x6	63	0.1217	2.1054
				x7	79	0.0856	2.4579
x8	129	0.1265	2.0678
				x9	131	0.1346	2.0052

表6

根据最大熵分布计算测量不确定度为：

$u=\sqrt{\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}{(x_d-\stackrel{\‾}{x})}^{2}p\left(x_d\right)}=\sqrt{\underset{d=1}{\overset{9}{\mathrm{\Σ}}}{(x_d-113.6)}^{2}p\left(x_d\right)}=23.033$

则置信区间为：

$[\stackrel{\‾}{x}-u,\stackrel{\‾}{x}+u]=\left[\mathrm{90.567,136.633}\right]$

根据置信区间可以判断得到，表5所示去重后样本中的x₆和x₇是粗大量化误差，从去重后样本中剔除，得到7个参与数据融合的有效样本。表7是7个有效样本的融合权系数。

序号	样值	自信息量	信息量比率	融合系数
					x1	120	2.3048	1.0528	0.1350
x2	121	2.2821	1.0424	0.1364
					x3	123	2.2339	1.0204	0.1393
x4	124	2.2085	1.0088	0.1409
					x5	125	2.1822	0.9968	0.1426
x6	129	2.0678	0.9445	0.1505
					x7	131	2.0051	0.9159	0.1552

表7

根据数据融合的公式，可以得到数据融合结果为：

x_f＝124.893

用数据融合结果x_f替代粗大量化误差进行样本数据重构，得到新的样本序列，得到高采样率下不含粗大误差的10个新样本x'₁,x'₂,...x'₁₀。表8是样本数据重构后的10个新样本。

序号	x'1	x'2	x'3	x'4	x'5	x'6	x'7	x'8	x'9	x'10
											样值	120	121	121	123	124	125	124.893	124.893	129	131

表8

最后，对高采样率(1GSa/s)下的10个新样本进行平均并抽取出实际采样率(100MSa/s)下的1个样点。即：

$A=\frac{1}{10}\underset{j=1}{\overset{10}{\mathrm{\Σ}}}{x^{\′}}_j=124.3786$

如果单纯采用过采样手段(即假设各样本平均分布)，对过采样下获得的10个原始样本数据x₁,x₂,...x₁₀直接求平均：

$A^{\′}=\frac{1}{10}\underset{i=1}{\overset{10}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i=113.6$

若对过采样下获得的10个样本数据x₁,x₂,...x₁₀，剔除粗大误差x₇和x₈后，对剩余的8个样本数据直接求平均(即假设剔除粗大误差后的各样本平均分布)：

$A^{\′\′}=\frac{1}{8}(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_9+x_{10})=124.25$

可见，本发明采用最大熵原理，未添加任何其他主观假设和约束，而是根据采集样本的最大熵分布得到的数据融合结果来求得测量值，排除了主观因素影响，使测量结果更加接近真实值。

同理，对于过采样(1GSa/s)下获得的每一组原始样本数据x₁,x₂,...x₁₀，采用上述基于信息熵的算法进行粗大误差剔除、数据融合以及平均抽取，可获得实际采样率(100MSa/s)下的一幅完整波形的精确测量数据。

为了验证本文算法对垂直分辨率提升的有效性和优越性，我们利用Analog公司提供的8Bit ADC模型(Ideal_8_Bit.adc)构建示波器的采集系统，分别用传统平均算法、直接抽取算法以及本发明提出的方法进行对比仿真实验，估计并对比各算法的性能。

设示波器工作在500ns/div的时基档下，对应的实际采样率是100MSa/s，对输入频率为f_i＝1MSa/s的正弦信号进行采样。为了模拟噪声干扰、时钟抖动带来的量化错误，在理想ADC采样模型中随机加入了数据失配样本，故采集样本序列中包含有粗大量化误差。

实验1：采样频率f_s＝100MSa/s。对采样结果不做任何处理。图7是实验1的时域波形图。图8是实验1的信号频谱图。经计算，此时的信噪比SNR＝28.0776dB，有效位数ENOB＝4.3717Bit。

实验2：采样频率f_s＝100MSa/s。对采样结果做N＝10的连续捕获平均，得到时域波形图和信号频谱图。图9是实验2的时域波形图。图10是实验2的信号频谱图。经计算，此时的信噪比SNR＝43.0485dB，有效位数ENOB＝6.8585Bit。

实验3：采样频率f_s＝100MSa/s。对采样结果做N＝10的连续样点平均，得到时域波形图和信号频谱图。图11是实验3的时域波形图。图12是实验3的信号频谱图。经计算，此时的信噪比SNR＝44.2538dB，有效位数ENOB＝7.0588Bit。

实验4：采用过采样手段，采样频率f_s＝1GSa/s。对采样结果做10:1的直接抽取，得到时域波形图和信号频谱图。图13是实验4的时域波形图。图14是实验4的信号频谱图。经计算，此时的信噪比SNR＝28.8353dB，有效位数ENOB＝4.4976Bit。

实验5：采用过采样手段，采样频率f_s＝1GSa/s。对采样结果做每10:1的基于平均的抽取，得到时域波形和信号频谱图。图15是实验5的时域波形图。图16是实验5的信号频谱图。经计算，此时的信噪比SNR＝46.6242dB，有效位数ENOB＝7.4525Bit。

实验6：采用过采样手段，采样频率f_s＝1GSa/s。对采样结果采用本发明提出方法基于信息熵的方法，剔除粗大误差，进行数据融合，并构造新的样本序列后，再做10:1的基于平均的抽取，得到时域波形和信号频谱图。图17是实验6的时域波形图。图18是实验6的信号频谱图。经计算，此时的信噪比SNR＝59.6071dB，有效位数ENOB＝9.6092Bit。

表9是6个实验结果对比。

表9

对比以上6次实验结果，针对包含量化错误的正弦测试数据，在100MSa/s采样率下，传统的连续捕获平均和连续样点平均算法将有效位数分别提升了约2.49和2.69Bit，但连续样点平均却造成了带宽的严重下降；而在1GSa/s的过采样下，对比直接抽取算法和基于平均的抽取算法，后者提供的有效位数比前者高约2.95Bit。在此基础上，本发明提出的基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法，垂直分辨率的有效位数可进一步提高约2.16Bit，达到9.61Bit。相对于ADC的理论量化位数8Bit，实际有效位数(分辨率)共提升了约1.61Bit，与理论提升结果R_H＝0.5log₂10≈1.66Bit非常接近，同时也没有损失实际采样率下的模拟带宽。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (3)

1.一种基于信息熵的数字存储示波器垂直分辨率提高方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：数字存储示波器的采集系统按照N倍于实际采样率的高采样率进行过采样，将采样样本以N个样本为一组，得到样本序列x₁,x₂,...x_N；

S2：从样本序列中剔除重复样本后得到N′个样本x₁,x₂,...x_N'，采用最大离散熵估计得到去重后各个样本x_d的概率p(x_d)，并得到最大离散熵H(x)_max，d的取值范围为1≤d≤N′，其中离散熵的计算公式为：

$H\left(x\right)=-k\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)\ln p\left(x_d\right)$

概率估计的约束条件为：

$\left\{\begin{array}{c}s.t.\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_d\right)=1\\ p\left(x_d\right)\≥0\\ s.t.\underset{n=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_n\right)g_m\left(x_n\right)=E\left(g_m\right),(m=\mathrm{1,2},...,M)\end{array}\right.$

其中，k为正常数，g_m(x_d)为各阶统计矩函数，m表示阶数，M表示最大阶数，E(g_m)表示各阶统计矩的期望值；

S3：计算N′个样本的测量不确定度u，计算公式为：

$u=\sqrt{\underset{d=1}{\overset{N^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}{(x_d-\stackrel{\‾}{x})}^{2}p\left(x_d\right)}$

其中，表示步骤S1中过采样得到的N个样本的平均值；

得到样本的可靠区间为将N′个样本中在置信区间范围外的样本剔除，得到N″个样本；

S4：计算N″个样本中各个样本的信息量比率ω_v：

${\mathrm{\ω}}_v=\frac{I\left(x_v\right)}{H{\left(x\right)}_{\max }}$

其中，v的取值范围为v＝1,2,...N″，I(x_v)表示样本x_v的自信息量，I(x_v)＝-lnp(x_v)；

对信息量比率归一化处理得到融合权重系数q_v，计算公式为：

$q_v=\frac{1/{\mathrm{\ω}}_v}{\underset{v=1}{\overset{N^{\′\′}}{\mathrm{\Σ}}}1/{\mathrm{\ω}}_v}$

进行数据融合得到融合结果x_f，计算公式为：

$x_f=\underset{v=1}{\overset{N^{\′\′}}{\mathrm{\Σ}}}{q}_v{x}_v$

S5：在原始N个样本x₁,x₂,...x_N中，根据步骤S3得到的置信区间，将置信区间范围外的样本剔除，并加入同等数量的融合结果x_f，得到N个样本x₁′,x₂′,...x′_N；

S6：将N个样本x₁′,x₂′,...x′_N进行基于平均的抽取，得到平均结果将平均结果A作为样本输出。

2.根据权利要求1所述的数字存储示波器垂直分辨率提高方法，其特征在于，所述过采样的倍数N≤10000。

3.根据权利要求1所述的数字存储示波器垂直分辨率提高方法，其特征在于，所述步骤S2中采用最大离散熵估计样本概率时采用拉格朗日乘数法求解。