CN103985090A - 一种分数阶零相位滤波器及其滤波方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种分数阶零相位滤波器及其滤波方法，属于信号处理领域。该方法包括利用Riemann-Liouville积分运算来设计一个分数阶积分滤波器，并结合经典零相位滤波器构建方法，采用“正向滤波-反向采样滤波-滤波结果反转”和“反向采样-正向滤波-滤波结果反转”两种方法构建一个分数阶零相位滤波器。本发明的优点在于计算简便，涉及分数阶积分运算；滤波结果无相位失真；在信号去噪和信息保留之间达到有效的平衡，并且可以依据实际需要选择阶次。本发明的分数阶零相位滤波器可应用于脑电、肌电、眼电等生物电信号以及其他非平稳信号处理，尤其适用于批信号处理领域。

Description

一种分数阶零相位滤波器及其滤波方法

技术领域

本发明属于数字信号处理技术领域，具体涉及一种基于Riemann-Liouville定义的分数阶零相位滤波器及其滤波方法。

背景技术

信号去噪处理是信号处理中的一个重要并且基础的环节。到目前为止，学者们提出了诸多去噪算法，包括均值滤波、顺序统计滤波、低通滤波和维纳滤波等等滤波算法。上述算法可以在不同程度上降低噪声，但是在滤波过程中却存在丢失信号中部分有用信息的风险，从而导致信号模糊。产生这一现象的原因是上述去噪算法都直接或间接的将其去噪模型建立在整数阶次积分上，而整数阶次的积分对于高频信息的抑制非常明显，当信号的有效频带与噪声的频带产生重叠的时候，常会导致信号误滤波。因此，提出一种同时具备抑制噪声和保留信号有用成分的滤波器方法迫在眉睫。

近三百年来，分数阶微积分在数学分析领域中已成为一个重要分支，但对于大多数工程技术界学者而言还鲜为人知。图像处理领域中，学者们近年来相继提出诸多基于分数阶微积分的图像处理算法，但是在一维信号处理领域，尤其是生物信号处理和非因果系统领域，如批信号处理，分数阶微积分的应用仍是一个急需研究的新兴学科分支。

分数阶积分运算在对一维信号进行处理的时候既能非线性加强信号中的低频和中频成分，抑制高频成分，又能在一定程度上尽量多地保留信号的高频成分。分数阶运算的定义并不单一，许多定义同时存在。欧氏空间下最常使用的定义是Riemann-Liouville(RL)和Grünwald-Letnikov(GL)积分定义。由于Grünwald-Letnikov积分定义基于有限数量的离散的点，而数字信号是由离散值组成的，Grünwald-Letnikov积分定义被广泛应用在数字信号处理中。尽管Grünwald-Letnikov分数阶积分算子解决了传统整数阶积分算子的缺陷，数字信号进行去噪处理时仍然存在局部失真。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：提供一种分数阶零相位滤波器及其滤波方法，将零相位滤波与基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器结合，获得阶次可调节的分数阶零相位滤波器，解决了一维信号在滤波过程中滤除噪声的同时将与噪声频段重叠的有用信号滤除的问题。

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：

一种分数阶零相位滤波器，包括依次连接的第一前向积分滤波器、第一反向采样模块、第二前向积分滤波器、第二反向采样模块或依次连接的第一反向采样模块、第一前向积分滤波器、第二反向采样模块、第二前向积分滤波器，第一前向积分滤波器、第二前向滤波器对其输入的信号进行滤波，第一反向采样模块、第二反向采样模块对其输入的信号进行反向采样，其中，第一前向积分滤波器、第二前向积分滤波器均为基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器。

一种分数阶零相位滤波器的滤波方法，应用所述分数阶积分滤波器，对输入信号依次进行前向-后向滤波或后向-前向滤波，获取分数阶零相位滤波器的输出信号，其中，所述前向-后向滤波包括如下步骤：

首先，将输入信号通过基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器进行第一次滤波；其次，对第一次滤波后的信号进行第一次反向采样；然后，对第一次反向采样的信号再次通过基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器进行第二次滤波；最后，再对第二次滤波后的信号进行第二次反向采样，得到所述分数阶零相位滤波器的输出信号。

所述后向-前向滤波包括如下步骤：

首先，对输入信号进行第一次反向采样，反向采样后的信号通过基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器进行第一次滤波，其次，对第一次滤波信号进行第二次反向采样，然后，对第二次反向采样的信号再次通过基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器进行滤波，得到分数阶零相位滤波器的输出信号。

所述分数阶零相位滤波器的输出信号采用如下公式表示：

Y(e^iω)＝X(e^iω)·ω^-2v，其中，v为Riemann-Liouville分数阶积分滤波器的积分阶次，取任意实数；X(e^iω)为输入信号；i为虚数单位，ω为信号频率。

与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：

(1)在一维信号处理过程中滤除噪声的同时，可以更好地保留与噪声频段重叠的信号有用成分。在信号去噪和信息保留之间达到有效的平衡。

(2)设计方法简便，通过对信号进行分数阶积分运算，实现对信号的分数阶前向滤波，由“原始信号反向-分数阶前向滤波-滤波结果反转”原理构建分数阶后向滤波器，通过级联设计最终得到的两种分数阶零相位滤波器设计方法简便且算法效率高。

(3)无失真的还原信号特征的位置。

(4)设计灵活性大，通过调节分数阶积分的阶次，可以依据实际需要的设计指标选择合适的阶次。

附图说明

图1(a)为本发明分数阶零相位滤波器的设计流程图。

图1(b)为本发明所述的分数阶积分滤波器的相频响应曲线。

图2(a)为原始信号。

图2(b)为仅前向积分滤波后的波形和原始信号波形的对比图。

图2(c)为本发明前向-后向滤波的波形和原始信号波形的对比图。

图2(d)为本发明后向-前向滤波的波形和原始信号波形的对比图。横坐标为采样点，纵坐标为幅值。

图3(a)为本发明分数阶零相位滤波器的信噪比SNR随积分阶次递增的变化图。

图3(b)为本发明分数阶零相位滤波器的最小均方差MSE随积分阶次递增的变化图。

图4(a)为原始心电信号加入工频噪声后的信号。

图4(b)为采用前向-后向滤波器FFB进行滤波后的波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图4(c)为采用分数阶滤波器(RL)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图4(d)为采用分数阶滤波器(GL)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图4(e)为采用零相位滤波器(FBB)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图4(f)为采用零相位滤波器(FBA)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。横坐标为采样点，纵坐标为幅值。

图5(a)为原始心电信号加入随机噪声后的信号。

图5(b)为采用前向-后向滤波器FFB进行滤波后的波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图5(c)为采用分数阶滤波器(RL)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图5(d)为采用分数阶滤波器(GL)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图5(e)为采用零相位滤波器(FBB)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图5(f)为采用零相位滤波器(FBA)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。横坐标为采样点，纵坐标为幅值。

图6(a)为原始心电信号加入高斯白噪声后的信号。

图6(b)为采用前向-后向滤波器FFB进行滤波后的波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图6(c)为采用分数阶滤波器(RL)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图6(d)为采用分数阶滤波器(GL)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图6(e)为采用零相位滤波器(FBB)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。

图6(f)为采用零相位滤波器(FBA)的滤波波形与原始未加噪声的心电信号波形的对比图。横坐标为采样点，纵坐标为幅值。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案进行详细说明：

如图1(a)所示，一种分数阶零相位滤波器，方法一包括依次连接的第一前向积分滤波器、第一反向采样模块、第二前向积分滤波器、第二反向采样模块，第一前向积分滤波器对输入信号进行滤波，第一反向采样模块对第一前向积分滤波器的输出信号进行反向采样，第二前向积分滤波器对反向采样后的信号进行滤波，第二反向采样模块对第二前向滤波器的输出信号进行反向采样，得到该分数阶零相位滤波器的输出信号，其中，第一前向积分滤波器、第二前向积分滤波器均为基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器。方法二包括依次连接的第一反向采样模块，第一前向积分滤波器，第二反向采样模块，第二前向积分滤波器。

本发明所解决的技术问题在于获得一种比现有的基于整数阶积分的滤波方法更理想的信号处理算法，其可以在信号处理过程中滤除噪声的同时，保留信号中与噪声频段重叠的有用成分。在具体说明本发明内容之前，有必要对本说明书所用符号涵义进行简要说明。

我们定义v阶分数阶积分算子用符号J^v表示，其中J⁰＝I(单位算子)，即J⁰f(t)＝f(t)。对函数f(t)进行v阶Riemann-Liouville积分，得到下式：

$J^{v}f\left(t\right)\frac{1}{\mathrm{\Γ}\left(v\right)}{\∫}_0^t{(t-u)}^{v-1}f\left(u\right)\mathrm{du},v>0$

其中f(t)的定义域为[0,t],Γ(·)是伽马函数，定义为：

$\mathrm{\Γ}\left(z\right)={\∫}_0^{\∞}{e}^{-t}{t}^{z-1}\mathrm{dt}$

我们定义算子J^v的核函数为K^v(t)

$K^v\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{t^{v-1}}{\mathrm{\Γ}\left(v\right)}& t>0\\ 0& t\≤0\end{array}\right.$

根据拉式卷积定义，我们可以进一步将函数f(t)的v阶积分表示为f(t)和K^v(t)的卷积积分：

J^vf(t)＝f(t)*K^v(t)

非周期信号f(t)的傅里叶变换，记为F(ω)，且满足同时对等式两边进行v阶Riemann-Liouville积分运算，得到：

$J^{v}f\left(t\right)=J^v\left[\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\∞}^{+\∞}F\left(\mathrm{\ω}\right)e^{\mathrm{i\ωt}}\mathrm{d\ω}\right]=\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\∞}^{+\∞}F\left(\mathrm{\ω}\right)J^v{e}^{\mathrm{i\ωt}}\mathrm{d\ω}=\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\left(\mathrm{i\ω}\right)}^{-v}F\left(\mathrm{\ω}\right)e^{\mathrm{i\ωt}}\mathrm{d\ω}$

因此函数f(t)的v阶Riemann-Liouville积分的傅里叶变换由(iω)^-vF(ω)给出，其中v为大于零的任意实数。当输入信号序列f(t)通过频域响应为(iω)^-v的数字滤波器时，滤波器输出结果即为J^vf(t)。因此，频域响应为(iω)^-v的数字滤波器的设计也就是计算函数f(t)的v阶Riemann-Liouville积分。因此整个分数阶积分滤波系统的传递函数为

G^v(e^iω)＝(iω)^-v＝|ω|^ive^{-i(vπ/2)sgn(ω)}

相频响应和幅频响应分别为：

从公式(1)我们可以看出，分数阶积分是一般意义上的幅度和相角调制器。幅度随着频率和分数阶阶次变化；而相角则滞后这意味着分数阶积分滤波器时一个分数阶线性相角延迟滤波器。幅频特性在数学表达上是偶函数，而相角特性是奇函数。因此，我们只需要对分数阶积分滤波器的正向频率区间进行和研究即可。

分数阶积分滤波器的不同阶次的幅频响应曲线如图1(b)所示。本发明的分数阶积分算子在频率ω趋向0的时候，幅频响应(ω)^-v趋向于无穷大；当频率ω趋向无穷大的时候，幅频响应(ω)^-v趋向于0。在频率0<ω≤1区间内，分数阶积分对低频成分的加强作用弱于一阶积分；在频率ω>1时，分数阶积分对高频信号的抑制作用亦不如一阶积分强，因而对于那些相对较高频率信号的保留能力比整数阶积分更好。换句话说，分数阶积分算子的阶次特性使得它可以在加强低频成分的同时非线性得保留那些极低频率的信号成分，抑制高频成分的同时非线性得保留那些极高频率的信号成分。当分数阶次趋向于0的时候，分数阶积分算子近似于一个全通滤波器，其幅频响应接近于1；当0<v≤1的时候，分数阶积分算子是一个分数阶积分器，或称之为一个奇异的低通滤波器。值得注意的是，在分数阶阶次v增加到1的过程中，滤波器的传输频带越来越窄，且低通特性越来越明显。因此，在信号去噪和信号细节信息保留方面，基于分数阶积分的算子相对于传统的整数阶算子具备更强的折中能力。

结合零相位滤波思想，通过两种经典方法搭建分数阶零相位滤波器，其设计流程图如图1(a)所示，假设我们有一段有限长度的输入信号序列x(t),t∈[0,T]。通过串联一个分数阶前向滤波器和一个分数阶后向滤波器得到我们需要的分数阶前向-后向零相位滤波器的设计过程可以表示为如下的四个步骤：第一步：输入信号序列x(t)通过分数阶积分滤波器K^v(t)，其输出信号记为y_f(t)；第二步：将序列y_f(t)反向，得到第三步:将序列再次通过分数阶积分滤波器K^v(t)，得到新的序列最后，进行反向操作，得到最终的信号y_fb(t)。上述过程可以用数学公式表示为：

y_f(t)＝x(t)*K^v(t)   (2)

$y_f^R\left(t\right)=y_f(T-t)---\left(3\right)$

$y_{\mathrm{fb}}^R\left(t\right)=y_f^R\left(t\right)*K^v\left(t\right)---\left(4\right)$

$y_{\mathrm{fb}}\left(t\right)=y_{\mathrm{fb}}^R(T-t)---\left(5\right)$

其中，K^v(t)是分数阶积分算子J^v，即分数阶滤波器H^v(e^iw)的阶跃响应，*表示卷积。上述公式(2)-(5)对应的傅里叶变换为：

Y_f(e^iω)＝X(e^iω)G^v(e^iω)   (6)

$Y_f^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)=e^{\mathrm{iT\&omega;}}{Y}_f\left(e^{-\mathrm{i\&omega;}}\right)---\left(7\right)$

$Y_{\mathrm{fb}}^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)=Y_f^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)G^v\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)---\left(8\right)$

$Y_{\mathrm{fb}}\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)=e^{\mathrm{iT\&omega;}}{Y}_{\mathrm{fb}}^R\left(e^{-\mathrm{i\&omega;}}\right)---\left(9\right)$

由(6)-(9)式可知，Y_fb(e^iω)＝X(e^iω)|H^v(e^iω)|²＝X(e^iω)ω^-2v

前向-后向分数阶零相位滤波器的传递函数由此得到，为ω^-2v。因此，任意信号通过前向-后向滤波器，得到的结果都具有零相位特征。

所述前向-后向分数阶零相位滤波器的设计方法采用频域表达如下：

步骤A、根据如下公式对输入信号进行滤波，Y_f(e^iω)＝X(e^iω)G^v(e^iω)，其中，Y_f(e^iω)为原始信号序列X(e^iω)通过基于Riemann-Liouville积分的分数阶积分滤波器的输出信号序列，G^v(e^iω)为Riemann-Liouville积分的分数阶积分滤波器的频域模型，G^v(e^iω)＝(iω)^-v；

步骤B、对基于Riemann-Liouville积分的分数阶积分滤波器的输出信号序列Y_f(e^iω)进行反向采样，得到第一输出信号序列

步骤C、将第一输出信号序列再次通过Riemann-Liouville积分的分数阶积分滤波器，得到第二输出信号序列 $Y_{\mathrm{fb}}^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right),Y_{\mathrm{fb}}^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)=Y_f^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)G^v\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right);$

步骤D、将第二输出信号序列进行反向采样操作，得到第一分数阶零相位滤波器的输出信号Y_fb(e^iω)，第一分数阶零相位滤波器的输出信号Y_fb(e^iω)与原始输入信号X(e^iω)之间的关系模型为即Y_fb(e^iω)＝X(e^iω)·ω^-2v。

通过串联一个分数阶后向滤波器和一个分数阶前向滤波器，进而得到一个全局零相位的分数阶后向-前向滤波器。分数阶后向-前向零相位滤波器的过程定义，表示为如下的四个步骤：第一步：将输入信号x(t)反向，得到x^R(t)；第二步：序列x^R(t)通过分数阶积分滤波器K^v(t)，其输出信号记为第三步:将序列反向，得到y_b(t)；最后，将序列y_b(t)再次通过分数阶积分滤波器K^v(t)，得到最终的信号y_fb(t)。上述过程可以用数学公式表示为：x^R(t)＝x(T-t)

(10)

$y_b^R\left(t\right)=x^R\left(t\right)*K^v\left(t\right)---\left(11\right)$

$y_b\left(t\right)=y_b^R(T-t)---\left(12\right)$

y_bf(t)＝y_b(t)*K^v(t)   (13)

上述公式(10)-(13)对应的傅里叶变换为：

X^R(e^iω)＝e^iTωX(e^-iω)   (14)

$Y_b^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)=X^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)G^v\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)---\left(15\right)$

$Y_b\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)=e^{\mathrm{iT\&omega;}}{Y}_b^R\left(e^{-\mathrm{i\&omega;}}\right)---\left(16\right)$

Y_fb(e^iω)＝Y_f(e^iω)G^v(e^iω)   (17)

由(14)-(17)式可知，Y_fb(e^iω)＝X(e^iω)|H^v(e^iω)|²＝X(e^iω)ω^-2v。后向-前向分数阶零相位滤波器的传递函数为ω^-2v。因此，任意信号通过前向-后向滤波器，得到的结果也都具有零相位特征。

所述后向-前向分数阶零相位滤波器的设计方法采用频域表达如下：

步骤a、将原始输入信号X(e^iω)进行反向，得到反向后的输入信号X^R(e^iω)：X^R(e^iω)＝e^iTωX(e^-iω)；

步骤b、将反向后的输入信号X^R(e^iω)通过Riemann-Liouville积分的分数阶积分滤波器，得到第三输出信号序列 $Y_b^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right),Y_b^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)=X^R\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)G^v\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right);$

步骤c、将第三输出信号序列进行反向，得到反向后的第三输出信号序列Y_b(e^iω)， $Y_b\left(e^{\mathrm{i\&omega;}}\right)=e^{\mathrm{iT\&omega;}}{Y}_b^R\left(e^{-\mathrm{i\&omega;}}\right);$

步骤d、将反向后的第三输出信号序列Y_b(e^iω)再次通过Riemann-Liouville积分的分数阶积分滤波器，得到第二分数阶零相位滤波器的输出信号Y_bf(e^iω)，第二分数阶零相位滤波器的输出信号Y_bf(e^iω)与原始输入信号X(e^iω)之间的关系模型为即Y_bf(e^iω)＝X(e^iω)·ω^-2v。

分数阶前向滤波可通过对信号f(t)进行分数阶积分运算得到，形式上可写为信号f(t)和核函数Kv(t)的卷积运算。而分数阶反向滤波可以通过“反向采样-分数前向滤波-滤波结果反转”实现。因此，基于Riemann-Liouville积分的分数阶前向-后向，或者后向-前向零相位滤波器计算量小且容易操作。

本发明涉及一种滤波器方法的设计，特别涉及一种基于Riemann-Liouville分数阶次信号处理的零相位滤波器设计方法。本发明涉及的分数阶积分的阶次不是传统的整数阶，而是非整数阶，工程应用中一般取分数或者有理小数。本发明提出的基于Riemann-Liouville积分的分数阶零相位滤波器设计方法结构简单，运算规则简明，计算量小，效率高。将该发明技术应用于心电信号工频干扰去噪、肌电干扰去噪以及合成干扰去噪均取得了较好的效果，在抑制高频噪声以及波形保持方面优于其它方法。此外，本项目所设计的分数阶零相位滤波器还可广泛应用于脑电、肌电、眼电等生物电信号以及其他非平稳信号处理，该研究成果必将提升我国在该领域的科研学术和实际应用水平。

为了进一步阐述本发明的实质及其优点，下面将我们提出的算法应用在心电信号的去噪预处理中来进行具体的说明。心电信号的三个最大的信号干扰源分别是工频干扰、肌电干扰和基线漂移。工频干扰是频率集中在50Hz附近的窄带噪声，通常带宽不超过1Hz。工频干扰可以模拟为正弦信号，如下式所示：

N(t)＝A×sin(2×π×f×t)

其中，N(t)是工频噪声，A是幅度，f是频率。在这里，我们选择幅度为0.15mV，而工频噪声的频率选为50Hz。基线漂移同样可以模拟为一个低频的正弦曲线，我们选取幅值为0.5mV，频率大概为0.3Hz。

肌电干扰是由于肌肉收缩等产生的，因此可以将其模拟为随机噪声。我们选择均值为0，方差为0.15²的随机噪声来模拟心电信号采集过程中可能遇到的随机噪声。合成噪声是以上各种的噪声的总和，我们用白高斯噪声(15dB)来进行模拟。

RL积分算子和GL积分算子具有的分数阶线性相移特性，使其常被用来构建分数阶FIR平滑滤波器。同样的，零相位巴特沃斯滤波器(FBB)和调用MATLAB的filtfilt函数的零相位平均窗口滤波器(FBA)是两个常用的零相位平滑滤波器。以下的分析中，这四个滤波器将与我们的算法同时对心电信号进行处理来作为对比实验。

为了能够对实验结果进行量化分析，我们引入信噪比SNR和均方差MSE两个量化指标来对滤波效果进行评估。

$\mathrm{SNR}=10{\log }_{10}[\underset{n=1}{\overset{N_p}{\mathrm{\&Sigma;}}}x{\left(n\right)}^2/\underset{n=1}{\overset{\mathrm{Np}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y\left(n\right)-x\left(n\right))}^2]$

$\mathrm{MSE}=\frac{1}{N_p}\underset{n=1}{\overset{N_p}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y\left(n\right)-x\left(n\right))}^2$

其中，Np是采样点个数，x(n)是原始输入信号，y(n)是数字滤波器的输出信号。从能量的角度来看，SNR可以被理解为有用信号和噪声信号的能量比率。因此，SNR越大，说明背景的噪声越小，滤波器的信号去噪能力越强。另外一方面，MSE是一种度量滤波器追踪原始信号的能力。MSE越小，滤波器保留原始有用信号的能力越强。

见图2(a)为原始心电信号。图2(b)为仅前向积分滤波后的波形和原始信号波形的对比图。从图中可看出仅前向积分滤波后的波形与原始波形存在相位失真。图2(c)为本发明前向-后向滤波的波形和原始信号波形的对比图。图2(d)为本发明后向-前向滤波的波形和原始信号波形的对比图。从以上两幅图中皆可看到滤波后的波形与原始波形在相位上无失真。

本方法可以根据不同的需要来选择不同大小的分数阶阶次值(0<v<1)，根据阶次值设置的不同可以得到不同的效果。图3(a)为本发明分数阶零相位滤波器的信噪比SNR随积分阶次递增的变化图。图3(b)为本发明分数阶零相位滤波器的最小均方差MSE随积分阶次递增的变化图。我们将心电信号加上50Hz工频噪声，用不同阶次的分数阶零相位滤波器进行滤波，得到的定量滤波指标SNR和MSE。注意到，随着阶次增加到1，前向-后向零相位滤波器去噪性能增强。然而，要同时得到SNR最大，MSE最小的话，该实验中，阶次应取0.8。这些现象表明，阶次的增高会导致信号细节信息的丢失(MSE随着阶次增高而减小)。

如图4(a)、图4(b)、图4(c)、图4(d)、图4(e)、图4(f)所示,我们对原始信号加入工频噪声，分别采用前向-后向滤波器FFB，两种最常见的分数阶滤波器，即基于Riemann-Liouville(RL)和Grünwald-Letnikov(GL)定义的分数阶积分滤波器，和两种零相位滤波器，即零相位巴特沃斯滤波器(FBB)和调用MATLAB的filtfilt函数的零相位平均窗口滤波器(FBA)，得到所示的滤波波形对比图。下表1为相应的5种滤波器滤波效果的量化分析比较。从滤波波形对比图和表1可以看出，我们提出的FFB方法在去除工频干扰方面效果最为突出。定量比较上，FFB滤波算法的信噪比SNR最大，同时均方差MSE最小，表现出更好的平滑性和精确性。

表1

QC	FFB	RL	GL	FBB	FBA
						SNR	14.9140	7.2602	7.0987	10.1185	7.1089
MSE	0.0104	0.0607	0.0630	0.0314	0.0628

如图5(a)、图5(b)、图5(c)、图5(d)、图5(e)、图5(f)所示，我们对原始信号加入随机噪声，分别采用前向-后向滤波器FFB，两种最常见的分数阶滤波器，即基于Riemann-Liouville(RL)和Grünwald-Letnikov(GL)定义的分数阶积分滤波器，和两种零相位滤波器，即零相位巴特沃斯滤波器(FBB)和调用MATLAB的filtfilt函数的零相位平均窗口滤波器(FBA)，得到滤波波形对比图。从图中可以看出，FFB的滤波效果最为光滑，且GL比RL的滤波效果更优。对于后两种传统零相位滤波器，FBA比FBB性能更优，尤其在信号的那些突然的转折点上。表2为相应的5种滤波器滤波效果的量化分析比较。

表2

QC	FFB	RL	GL	FBB	FBA
						SNR	14.3551	7.4211	8.3806	9.5159	10.5291
MSE	0.0118	0.0585	0.0469	0.0361	0.0286

如图6(a)、图6(b)、图6(c)、图6(d)、图6(e)、图6(f)所示,我们对原始信号加入高斯白噪声，分别采用前向-后向滤波器FFB，两种最常见的分数阶滤波器，即基于Riemann-Liouville(RL)和Grünwald-Letnikov(GL)定义的分数阶积分滤波器，和两种零相位滤波器，即零相位巴特沃斯滤波器(FBB)和调用MATLAB的filtfilt函数的零相位平均窗口滤波器(FBA)，得到如图5所示的滤波波形对比图。表3为相应的5种滤波器滤波效果的量化分析比较。

表3

QC	FFB	RL	GL	FBB	FBA
						SNR	13.0191	6.8770	7.3799	9.4531	8.2427
MSE	0.0161	0.0663	0.0590	0.0366	0.0484

从以上分析可以看出，本方法可以产生更优的去噪效果并且展现出了更强的信号去噪与细节信息保留的折中能力。因此，本方法可以为受噪心电信号基于模型的滤波方法建立有效的处理框架。

Claims (3)

1.一种分数阶零相位滤波器，其特征在于：包括依次连接的第一前向积分滤波器、第一反向采样模块、第二前向积分滤波器、第二反向采样模块或依次连接的第一反向采样模块、第一前向积分滤波器、第二反向采样模块、第二前向积分滤波器，第一前向积分滤波器、第二前向滤波器对其输入的信号进行滤波，第一反向采样模块、第二反向采样模块对其输入的信号进行反向采样，其中，第一前向积分滤波器、第二前向积分滤波器均为基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器。

2.一种分数阶零相位滤波器的滤波方法，其特征在于：应用所述分数阶积分滤波器，对输入信号依次进行前向-后向滤波或后向-前向滤波，获取分数阶零相位滤波器的输出信号，其中，所述前向-后向滤波包括如下步骤：

首先，将输入信号通过基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器进行第一次滤波；其次，对第一次滤波后的信号进行第一次反向采样；然后，对第一次反向采样的信号再次通过基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器进行第二次滤波；最后，再对第二次滤波后的信号进行第二次反向采样，得到所述分数阶零相位滤波器的输出信号。

所述后向-前向滤波包括如下步骤：

首先，对输入信号进行第一次反向采样，反向采样后的信号通过基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器进行第一次滤波，其次，对第一次滤波信号进行第二次反向采样，然后，对第二次反向采样的信号再次通过基于Riemann-Liouville定义的分数阶积分滤波器进行滤波，得到分数阶零相位滤波器的输出信号。

3.根据权利要求2所述的分数阶零相位滤波器的滤波方法，其特征在于：所述分数阶零相位滤波器的输出信号采用如下公式表示：

Y(e^iω)＝X(e^iω)·ω^-2v，其中，v为Riemann-Liouville分数阶积分滤波器的积分阶次，取任意实数；X(e^iω)为输入信号；i为虚数单位，ω为信号频率。