CN103944585A - 一种基于环熵的多进制准循环低密度奇偶校验码构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种结构化的多进制准循环低密度奇偶校验码(LDPC cycle codes)构造方法，其步骤为：获取准循环码的二进制基矩阵H_bqc，通过有限域元素β乘的方法随机填充各循环子矩阵；采用环搜索方法获取长度与围长g有关的所有环数及环中元素的位置；计算搜索到的环熵E_c，改变环中元素使E_c增大到最大；为保持校验矩阵的准循环特性，环中每一个元素作为起始元素开始更新循环子矩阵，并使其所在循环子矩阵满足β乘规则；这样便得到一个多进制准循环LDPC码的校验矩阵H_nqc。本发明提出的构造方法构造的码字具有优异的纠错性能——在相同信噪比下可获得更低的误码性能；所获得的码字结构具有准循环特性，提高了编码速度。

Description

一种基于环熵的多进制准循环低密度奇偶校验码构造方法

技术领域

本发明属于通信技术领域，涉及一种基于环熵的多进制准循环低密度奇偶校验码(Cycle-Entropy-Based Nonbinary Quasi-Cyclic LDPC Code)构造方法。 

背景技术

LDPC码最早由Gallager在1962年提出，自1996年被人们重新发现以来，已经被证明在采用置信传播(BP)译码算法进行译码时具有接近香农极限的性能。Davey和Mackay在1998年提出了多进制的LDPC码，并且已经体现出在相同参数条件下优于二进制LDPC码的性能。相对于Turbo码，LDPC码具有以下优势：具有较低的误码平底，译码复杂度相对较低，可以实现完全的并行译码操作，抗干扰能力强，吞吐量较大。因此，LDPC码具有很好的应用前景，在未来的一段时间里它将在光纤通信，深空通信，数字水印，磁/光/全息存储等方面得到广泛的应用。 

在LDPC码的构造方面，针对其校验矩阵的行重和列重是否变化可以分为两个研究方向，规则LDPC码和非规则LDPC码的构造方法。非规则LDPC码首先是由Luby等人提出的，他们证明了非规则LDPC码具有比规则LDPC码更优异的性能，从而使得非规则码成了LDPC码的研究重点。在LDPC码的随机构造方法里面，有早期的Gallager构造法，Mackay构造法和Davey构造法。后来Hu等人提出了一种被称为渐进边增长(PEG，Progressive Edge Growth)的LDPC码构造方法，该方法通过逐步添加边，以减少短环的数目。基于有限几何的理论，Kou和Lin等人提出了一种具有准循环结构的LDPC码构造方法，该方案具有比较低的构造复杂度，同时由于其准循环特性，比较易于硬件实现。随着Davey和Mackay等人在1998年将二进制LDPC码推广到多进制的形式，越来越多的多进制LDPC码构造方法也相应出现。 

在多进制LDPC码的构造方面，常用的做法是在二进制校验矩阵的每一个“1”的位置随机填充有限域GF(q)中的非零元素，进而得到多进制LDPC码的校验矩阵。这种方法虽然便捷，但也有它的缺点，没有结构化的方法，同时会打破原有的准循环特性。由于准循环LDPC码特殊的码字结构，使得它更加易于硬件实现，同时可以节省存储空间，这些优点无疑增加了研究人员对它的兴趣。本专利使用了一种能够并行搜索校验矩阵中存在的环的方法，这种方法不仅能够记录环的个数还能够记录环中元素在校验矩阵中的位置。提出了一种使得校验矩阵在有限域的情况下仍然能够保持准循环特性的方法，然后定义了环熵的概念，从这个角度出发提出了基于环熵的 多进制准循环LDPC码构造方法。基于目前LDPC码采用的迭代译码算法，环的存在及环上元素的取值对译码性能影响很大，本发明提出的这种构造方法能够优化校验矩阵中非零元素在环上的分布，进而提升其译码性能。仿真结果表明这种准循环构造方法的性能表现相当优异，不会带来额外的译码开销，同时由于其准循环特性译码复杂度也相对较低。 

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：针对现有多进制随机构造方法的不足，提供了一种具有准循环特性的多进制准循环LDPC码构造方法。本方法可直接由奇偶校验矩阵进行快速编码，提高编码速度，节省存储空间，并且具有优异的译码性能等优点。 

本发明的技术解决方案是： 

考虑到现有的LDPC码广泛采用基于迭代的译码思想，译码的互信息在环内进行传递，互信息的独立性越强则译码性能越好。在这样的情况下，本发明针对列重为2的LDPC环码(Cycle codes)构造问题，提出了多进制LDPC码校验矩阵中环熵的计算方法，有效地优化有限域中非零元素在环上的分布，提高码字性能。 

由于本发明是在校验矩阵的环上进行的，因此采用了一种并行的环搜索方法，这种方法不仅能够记录环的个数，还能够记录环中元素在校验矩阵中的位置。同时，由于搜索出来的环存在重叠的可能性，因此需要对这些重叠的环进行特别处理——删除公共边，合并形成一个更大的环来进行环熵计算。 

准循环的LDPC码具有特殊的结构，编译码复杂度较低，且硬件实现方便，占用较少的存储空间。然后，在多进制的情况下，随机分配方法会破坏原有的准循环特性，针对这个问题提出了一种在多进制情况下保持准循环特性的方法，基于环熵构造了多进制的准循环LDPC码。 

附图说明

图1二进制校验矩阵及其环搜索(图1注：A1为当前列的第一个父代；A2为当前列的第二个父代；G2即第二代(Second generation)；G3即第三代(Third generation)) 

图2同一个校验矩阵中重叠的两个6环 

图3图2中矩阵所对应的Tanner图 

图4重叠环的组合过程 

图5组合后的大环所对应的Tanner图 

图6GF(16)上乘与乘得到的循环子矩阵 

图7QC-MCE方法的流程图 

图8在域GF(32)上的(200，120)LDPC环码的误码率性能(R＝3/5，n_b＝1000，80次迭代) 

图9在域GF(32)上QC-MCE方法构造的(200，120，8)LDPC环码译码迭代收敛性能(n_b＝1000) 

具体实施方式

本发明公开了一种基于环熵的结构化多进制准循环LDPC码构造方法，为使本发明的技术方法和优点更加清楚，现对本发明进行更详细说明。 

1环熵的计算 

给定一个多进制LDPC码的校验矩阵H_n，那么其中长度为l的环的环熵E_c可以用如下的式子表示： 

$E_c=-\underset{i=1}{\overset{q-1}{\mathrm{\Σ}}}{p}_i{\log }_2{p}_i$     式(I) 

其中q即为有限域GF(q)中的阶数q，令GF(q)中的非零元素为q_i(1≤i≤q-1)，那么定义它表示相应的q_i在该环中出现的频率，N_i为q_i在该环中出现的次数。 

环熵表示多进制校验矩阵中非零元素在环上的分布情况，本方法需要针对校验矩阵的环来进行，因而需要找出某个校验矩阵里面环的个数及环中的元素的位置。基于这点，下面介绍一种寻找校验矩阵中的环的搜索方法。该方法利用了遗传算法的一些特点，能够并行地处理，达到更高的搜索效率。 

2环搜索方法 

为了避免重复，环搜索方法从校验矩阵的第一列开始从上到下并依次往右扫描，逐步找出存在的环，由于利用了遗传算法的思想，下面先介绍校验矩阵中子代的概念。 

先作如下假定：给定一个二进制的校验矩阵H_b，从当前列的一个非零元素E_a出发，搜索到一个非零元素E_o，如果该元素E_o与元素E_a处于同一行或同一列，那么称非零元素E_o是另一个非零元素E_a的子代，显然E_a即为E_o的父代。也知，当前列非零元素的子代可以是多个的。图1可以更好地帮助理解这个概念，下文会详细描述。 

本发明用到的是列重为2的校验矩阵，因而下面重点讨论列重为2的环搜索方法，当然它可以很容易地应用到其他列重的情况。由于校验矩阵的列重为2，那么当前列就有两个非零元素，可以并行地从这两个非零元素出发，依次寻找它们各自的子代，只要满足一定的条件，那么就能够寻找到所需要的环。图1通过一个简单的例子描述了子代及环搜索的过程。 

从图1可以看出，当前列即为第0列(编号从0开始)，在(0，0)及(2，0)上的两个“1”分别是第一个父代A1和第二个父代A2，然后分别寻找它们的子代。在(0，2)位置上的“1”即为A1的第二代，(1，2)位置上的“1”为A1的第三代。同理可以知道，(2，5)和(1，5)上的“1”分别是A2的第二代和第三代。A1和A2的第三代处于同一行上，因此就形成了一个边长为6的六环。其他的环也可以通过这样的方法去寻找，后面将会详细描述环搜索方法的步骤。 

由上面的叙述，现在可以引出代深度(generation depth)的概念。所谓代深度即形成一个长度为l的环时，所需要搜索的子代的数目，表示为g_d。容易得到下面的公式： 

$g_d=\frac{l}{2}$    式(II) 

其中，l为环的长度。现令g_t为一个整数，且2≤g_t≤g_d，那么符号就可表示为当前列下第i个“1”的第g_t代的元素所构成的集合，由于校验矩阵的列重为2，所以就有i的取值为1或2。 

考虑从校验矩阵中搜索出来的环存在重叠的可能性(这点不是一定的)，在译码过程中除了环内自身信息的传递以外，重叠的环之间也会发生信息的交换，因而将重叠的环组合成一个大环，然后再计算环熵，综合考虑了各方面的情况。图2至图5形象地描述了这样一个过程。 

图2通过校验矩阵的形式展示了两个相互重叠的六环，图3将它表示成所对应的Tanner图的形式，图4将两个环重叠的边去掉形成一个大环，最后图5展示了所形成大环对应的Tanner图。 

在LDPC码校验矩阵的所有环中，短环对性能的影响很大，尤其是长度为校验矩阵围长的环对码字性能的影响最大。因而重点搜索出最短环的个数及环上元素的位置即可，当然也可以搜索出其他长度的环。 

通过以上的定义及解释，给定一个校验矩阵，可以把环搜索方法的详细步骤描述如下： 

第一步：初始化信息。令搜索的环的长度l＝g，g为校验矩阵的围长，同时令代深度g_d＝g/2。 

第二步：从当前列j出发，向右搜索出当前列中两个“1”的子代特别要关注最终形成环的i＝1或2。 

第三步：如果代深度为偶数，且中存在元素和中的某个元素处于同一列，那么必存 在一个长度为l的环；如果代深度为奇数，且中存在元素和中的某个元素处于同一行，那么也必存在一个长度为l的环； 

第四步：采用跟踪回溯的方法记录第三步中寻找到的环及环上各个元素在所对应的校验矩阵中的位置。如果存在重叠的环，则采用上面图示的方法将重叠的环展开，形成一个大的环。同时记录大环中各个元素的位置。 

第五步：重复步骤二至步骤四，直到校验矩阵中所有的列都搜索完毕，即找出校验矩阵中的所有需要的环。 

3多进制LDPC码准循环性质的保持 

一个二进制准循环校验矩阵在转换成多进制之后很容易丧失它的准循环特性，因为在子矩阵中，虽然每一行也是循环右移的，但是非零元素的取值却是随机的，不具有规律性。为此，基于前面的方法描述一种称之为β乘的方法。 

在一个给定的M×N维的二进制准循环校验矩阵H_bqc中，对于它的每一个L×L的循环置换子矩阵，它的每一行都是上一行的循环右移一位同时其中的各个元素乘上β，而第一行是最后一行的循环右移一位同时其中的各个元素乘上β。在这里，β＝α^λ，α为GF(q)上的本原元，而λ可以表示为如下的式子： 

   式(III) 

在这里要特别注意，为了能够灵活地选择码字的长度及循环子矩阵的大小，需要做如下改进。在循环子矩阵中定义一个起始元素E_i，一开始它是第一行的非零元，而如果子矩阵中某个元素的值发生改变的话，那么为了更新方便，这个元素就是E_i。然后从E_i开始每一行都是上一行的循环右移一位同时乘上β，然后在E_i的前一行停止。这样就保证了准循环的特性，同时能够灵活地选择码字长度和码率的大小。 

图6展示了在GF(16)上利用α乘与β乘所得到的不同的循环子矩阵。从图中可以看出采用β乘可以更大范围地选取GF(16)上的不同元素，而不像α乘一样只集中在一小个范围里面，同时保持了准循环的特性，可以很方便地进行存储应用。 

4一种基于环熵的多进制准循环LDPC码构造方法 

准循环LDPC码以它特有的结构使得它具有很强的硬件可实现性，具有很好地应用前景，因而研究准循环LDPC码的构造方法具有十分重要的意义。下面就将提出一种构造多进制准循环 LDPC码的方法，把它称为最大环熵准循环构造方法(QC-MCE，Quasi-Cyclic Maximum Cycle Entropy)。 

详细步骤描述如下： 

第一步：对于所给定二进制准循环校验矩阵H_bqc中的每一个循环子矩阵，采用β乘的方法随机填充各个循环子矩阵； 

第二步：采用环搜索方法来获得长度与围长g有关的所有环的数目及环中元素所在的位置。 

第三步：对于第二步中搜索到的每个环，根据公式(I)计算它的环熵E_c，然后改变这个环中元素的值使得环熵E_c尽可能增大，直到每个环的环熵都不再增大为止。 

第四步：为了保持多进制LDPC码校验矩阵的准循环的特性，从第二步中寻找到的环中的每一个元素作为起始元素开始更新循环子矩阵，更新采用的方法就是使起始元素所在循环子矩阵满足β乘； 

第五步：通过这个方法得到了一个多进制准循环LDPC码的校验矩阵H_nqc。 

为了更好地理解QC-MCE方法，可用流程图7描述。 

按照上述方法实施，便可很好地实现本发明。编码码字经调制后通过信道进行传输，在译码端，采用基于快速傅里叶变换的置信传播算法，通过迭代译码可以得到信息序列。 

为了比较本发明提出的码构造方法的性能，需要进行计算机仿真。具体是，采用该实施构造的多进制准循环LDPC码在AWGN信道上传输，并利用和积译码算法，最大迭代次数为80，调制方式为BPSK，性能结果如图8所示。图中，Eb/N0表示归一化信噪比，单位为分贝(dB)。符号n_b表示该多进制LDPC码的码长所对应的二进制码的码长，即等效二进制码长。如在域GF(32)，即GF(2⁵)上的(200，120)LDPC码，等效的二进制码长为5×200＝1000。图8比较了随机构造方法产生的码字及本发明提出的构造方法产生的码字的性能。由图8可以看出，该方法使得误码率性能得到了很大改善。在误比特率BER＝10^-6时，本发明阐述的码构造方法获得码性能与随机构造的码相比，能获得大约0.14dB的增益。进一步地，为分析在译码端的收敛情况，作了相应的仿真，结果如图9所示。从图中发现，所构造的码字收敛速度快，即这种码字在获得良好性能的同时，不会带来额外的译码开销。 

Claims (6)

1.一种针对环码(Cycle codes，即校验矩阵列重为2的LDPC码)的结构化多进制准循环LDPC码构造方法，该方法具有准循环特性，可直接由奇偶校验矩阵进行快速编码，提高编码速度，节省存储空间，并且具有优异的译码性能等优点，其特征在于：

(1)具有快速编码特性。由于它的校验矩阵是准循环的，减少了编码复杂度；

(2)获得的码具有很好的性能。在校验矩阵的环上进行元素分配优化，使得获得的多进制准循环LDPC码，译码性能优异。

2.根据权利要求1所述的一种结构化的多进制准循环LDPC码构造方法，其特征在于以下编码步骤：

(1)获取准循环的二进制基矩阵H_bqc，采用β乘的方法随机填充各个循环子矩阵；

(2)采用环搜索方法来获得长度与围长g有关的所有环的数目及环中元素所在的位置；

(3)对于搜索到的每个环，计算它的环熵E_c，然后改变这个环中元素的值使得环熵E_c尽可能增大，直到每个环的环熵都不在增大为止；

(4)为了保持多进制LDPC码校验矩阵的准循环的特性，从寻找到的环中的每一个元素作为起始元素开始更新循环子矩阵，更新采用的方法就是使起始元素所在循环子矩阵满足β乘；

(5)通过这个方法得到了一个多进制准循环LDPC码的校验矩阵H_nqc。

3.根据权利要求2所述的一种结构化的多进制准循环LDPC码构造方法，其特征在于，采用β乘的方法随机填充各个循环子矩阵：一个二进制准循环校验矩阵在转换成多进制之后很容易丧失它的准循环特性，因为在子矩阵中，虽然每一行也是循环右移的，但是非零元素的取值却是随机的，不具有规律性，为此，基于前面的方法描述一种称之为β乘的方法如下：

在一个给定的M×N维的二进制准循环校验矩阵H_bqc中，对于它的每一个L×L的循环置换子矩阵，它的每一行都是上一行的循环右移一位同时乘上β，而第一行是最后一行的循环右移一位同时乘上β。在这里，β＝α^λ，α为GF(q)上的本原元，而λ可以表示为如下式(1)所示：

在这里要特别注意，为了能够灵活地选择码字的长度及循环子矩阵的大小，需要做如下的改进。在循环子矩阵中定义一个起始元素E_i，一开始它是第一行的非零元，而如果子矩阵中某个元素的值发生改变的话，那么为了更新方便，这个元素就是E_i。然后从E_i开始每一行都是上一行的循环右移一位同时乘上β，然后在E_i的前一行停止。这样就保证了准循环的特性，同时能够灵活地选择码字长度和码率的大小。

作为例子，式(2)展示了在域GF(16)上利用α乘与β乘所得到的不同的循环子矩阵。从中可以看出，采用β乘可以更大范围地选取GF(16)上的不同元素，而不像α乘那样只集中在一小个范围里面，同时保持了准循环的特性，可以很方便地进行存储应用。

$I_{\mathrm{\α}-\mathrm{mul}}=\left[\begin{array}{ccccccc}0& 2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 6& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 7\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]I_{\mathrm{\β}-\mathrm{mul}}=\left[\begin{array}{ccccccc}0& 3& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 5& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 7& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 9& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 11& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 13\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(2\right)$

4.根据权利要求2所述的一种结构化的多进制准循环LDPC码构造方法，其特征在于，并行的环搜索的实现方法——给定一个校验矩阵，环搜索步骤如下：

第一步：初始化信息，令搜索的环的长度l＝g，此处g表示校验矩阵的围长，同时令代深度g_d＝g/2(其中g_d表示所要搜索的子代的数目)；

第二步：从校验矩阵的当前列j出发，向右搜索出当前列中含两个“1”的子代(其中表示当前列下第i个“1”的第g_t代的元素所构成的集合)，特别要关注最终形成环的i＝1或2；

第三步：如果代深度为偶数，且中存在元素和中的某个元素处于同一列，那么必存在一个长度为l的环；如果代深度为奇数，且中存在元素和中的某个元素处于同一行，那么也必存在一个长度为l的环；

第四步：采用跟踪回溯的方法记录第三步中寻找到的环及环上各个元素在所对应的校验矩阵中的位置。如果存在重叠的环，则采用上面图示的方法将重叠的环展开，形成一个大的环。同时记录大环中各个元素的位置。

第五步：重复步骤二至步骤四，直到校验矩阵中所有的列都搜索完毕，即找出校验矩阵中的所有需要的环。

5.根据权利要求2所述的一种结构化的多进制准循环LDPC码构造方法，其特征在于，环熵的计算方法：给定一个多进制LDPC码的校验矩阵H_n，那么其中长度为l的环的环熵E_c可以用如下的式子表示：

$E_c=-\underset{i=1}{\overset{q-1}{\mathrm{\Σ}}}{p}_i{\log }_2{p}_i---\left(3\right)$

其中q即为有限域GF(q)中的阶数q，令GF(q)中的非零元素为q_i(1≤i≤q-1)，那么表示相应的元素q_i在该环中出现的频度，N_i为q_i在该环中出现的次数；该环熵表示多进制校验矩阵中非零元素在环上的分布情况，计算时需要针对校验矩阵的环来进行，因而需要找出某个校验矩阵里面环的个数及环上元素的位置。

6.根据权利要求2所述的一种结构化的多进制准循环LDPC码构造方法，其特征在于，多进制的准循环LDPC码的构造：这是一种多进制准循环LDPC码的构造方法，简称为QC-MCE(Quasi-Cyclic Maximum Cycle Entropy)构造方法，构造步骤如下：

第一步：对于所给定H_bqc中的每一个循环子矩阵，采用β乘的方法随机填充各个循环子矩阵；

第二步：采用环搜索方法来获得长度与围长g有关的所有环的数目及环中元素所在的位置；

第三步：对于第二步中搜索到的每个环，根据式(3)计算它的环熵E_c，然后改变这个环中元素的值使得环熵E_c尽可能增大，直到每个环的环熵都不再增大为止；

第四步：为了保持多进制LDPC码校验矩阵的准循环的特性，从第二步中寻找到的环中的每一个元素作为起始元素开始更新循环子矩阵，更新采用的方法就是使起始元素所在循环子矩阵满足β乘；

第五步：经上述步骤得到一个多进制准循环LDPC码的校验矩阵H_nqc。