CN114189251A

CN114189251A - 基于西顿序列构造围长为10的qc-ldpc码

Info

Publication number: CN114189251A
Application number: CN202111533658.5A
Authority: CN
Inventors: 黄胜; 昝继航
Original assignee: Chongqing University of Post and Telecommunications
Current assignee: Chongqing University of Post and Telecommunications
Priority date: 2021-12-15
Filing date: 2021-12-15
Publication date: 2022-03-15

Abstract

本发明提供了一种基于西顿序列构造围长为10的QC‑LDPC码。该方法首先构造了一种类似双对角形式的基矩阵，该基矩阵由四种子矩阵构成，确定矩阵的参数t和L的取值，从而确定基矩阵的形式，通过西顿序列对该基矩阵进行元素填充，最后通过矩阵扩展得到校验矩阵。本发明利用西顿序列构造大围长QC‑LDPC码，消除了LDPC码短环，进而提升了译码性能。相对于最大公约数构造方法，在相同的译码条件下，本发明提出的构造方法具有较好的译码性能。

Description

基于西顿序列构造围长为10的QC-LDPC码

技术领域

本发明涉及通信领域，属于信道编码范畴，具体是一种构造大围长QC-LDPC码的方法。

背景技术

信道编码是用来提高通信系统传输可靠性的技术，Gallager在1962年提出并系统地论述了低密度奇偶校验码(Low Density Parity Check Codes，简称LDPC码)的编码方法和概率迭代译码方法，给出了详细的译码错误概率分析，指出在加性高斯白噪声(Additional white Gaussian noise,AWGN)信道下，这种码的性能接近香农限且实现复杂度低。准循环低密度奇偶校验(Quasi Cyclic Low Density Parity Check,QC-LDPC)码作为LDPC码中一类结构化的码字，由于准循环的结构，使其编译码复杂度都比较低，并且构造较大最小汉明距离的QC-LDPC码比随机法构造LDPC码更容易。

LDPC码的构造方法主要分为随机构造法和结构化构造法。随机构造法包括Gallager法、Mackay法和渐进边缘增长法。随机构造法虽然构造简单，但是因为构造的随机性所以编码复杂度很高。与之相比，结构化构造法构造出的矩阵结构固定，一般主要是利用几何构造法和代数构造法来构造校验矩阵。

西顿序列首次在文献(X.Ge and S.T.Xia,“Structured non-binary LDPC codeswith largegirth,”Electronics Letters,vol.43,no.22,pp.1220-1221,Oct.2007.)中用来构造围长为12的(2,L)QC-LDPC码，但所构造的码列重较低，译码阈值较大。随后，在文献(G.Zhang,R.Sun and X.Wang,"New quasi-cyclic LDPC codes with girth at leasteight based on Sidon sequences,"2012 7th International Symposium on TurboCodes and Iterative Information Processing(ISTC),2012,pp.31-35,doi:10.1109/ISTC.2012.6325193.)中利用西顿序列构造围长至少为8的(3,L)QC-LDPC码。文献(J.Wang,G.Zhang,Q.Zhou,Y.Yang and R.Sun,"Explicit constructions for type-1QC-LDPCcodes with girth at least ten,"2014IEEE Information Theory Workshop(ITW2014),2014,pp.436-440,doi:10.1109/ITW.2014.6970869.)基于西顿序列构造了围长至少为10的(3,L)QC-LDPC码，但是此文献所提出的基矩阵由参数L控制，对于码长码率选用的灵活性不高。在本篇专利中构造了围长至少为10的(3,L)QC-LDPC码，所提出的基矩阵由两个参数共同决定，对于码长码率的选取更加灵活，且围长为10。

发明内容

发明目的：本发明针对QC-LDPC码提供了一种大围长构造方法，通过利用西顿序列和对基矩阵的巧妙设计，从而达到提升纠错性能的目的。

为了达到上述目的，本发明公开了一种基于西顿序列构造围长为10的QC-LDPC码的构造方法。其中包含基矩阵的设计、矩阵元素的填充方法和扩展因子的选取。

本发明技术方案如下：

步骤1：构造基矩阵，根据需求确定基矩阵的参数，确定矩阵的具体形式。

步骤1-1：基矩阵的形式如图2所示，基矩阵E由子矩阵EA_i、EB_i、EC_i和ED_i(0≤i<t)组成，EC_i和ED_i为2×L的矩阵，EA_i和EB_i为L×L的矩阵，其对角线上元素为0，其余位置的元素为∞。基矩阵的大小记为2(L+t)×2Lt；基矩阵的码率记为

步骤1-2：根据需求选取参数t和L，对于码长码率具有更高的灵活选择性，对于参数t和L有如下要求：0<t≤2L。

步骤2：对子矩阵EC_i和ED_i(0≤i<t)进行元素填充。填充方法需满足如下条件：需要满足下列条件：①对于循环置换矩阵为p×p大小的EC_i、ED_i和[EC_i,ED_i]，其对应的tanner图无四环；②对于任意整数对(i,j)(0≤i<j<t)，其循环置换矩阵大小为p×p，

对应的tanner图无四环。

步骤2-1：对子矩阵EC_i和ED_i进行元素填充。其步骤为，记一个西顿序列为S，令S₀＝S，S_i为S_i-1(0<i<t)向左循环移动一个单位得到的序列。EC_i和ED_i中的第一行元素分别为S_i的子集，记EC_i第一行的元素序列为S_i1，ED_i第一行的元素序列为S_i2，那么S_i1和S_i2的获取方法如下：序列S_i元素数量至少为2L，S_i1取S_i前L个元素，S_i2取S_i后L个元素。EC_i和ED_i第二行元素分别是其第一行元素的负集。

步骤3：确定扩展因子p的大小,对基矩阵进行扩展,得到校验矩阵H。

步骤3-1：根据查表得出在Z_m上的一个西顿序列S，所查询的西顿序列集合元素数量需要满足|S|≥2L，且序列中的第一个元素为0。

步骤3-2：根据西顿序列性质可得，如果S＝{0＝s₀<s₁<…s_C-1}在Z_m上是一个西顿序列，那么S在Z_m′上也是一个西顿序列，其中m′≥2S_C-1+1。

步骤3-3：根据所需要构造的QC-LDPC码长度，来确定p的取值。p的取值可以为p＝m，也可以为p≥2S_C-1+1，扩展因子具有一定的灵活性，在码长的选择上相对灵活。最终得到的QC-LDPC码码长为2Lpt。

有益效果：

1.本发明利用西顿序列来构造大围长QC-LDPC码，解决了LDPC码中的短环的问题，进而提高了译码性能。

2.相较于随机构造，本发明所设计的构造方法复杂度低，且对于矩阵参数的选取较为灵活。

下文证明本发明所构造的校验矩阵围长为10：

步骤1：证明该构造方法满足发明技术方案中步骤2所提出的两个条件。

步骤1-1：先阐述一个引理，假设a,b,c,d是一个西顿序列中的元素。如果a+b＝c+d(mod p)，则下面两种情况其中一个成立：1)a＝c(mod p)，b＝d(mod p)；2)a＝d(mod p)，b＝c(mod p)。

步骤1-2：对于条件①，在EC_i(ED_i)中四环的形式如下：EC_i(0,r)-EC_i(1,r)-EC_i(1,t)-EC_i(0,t)＝0 mod p，即EC_i(0，r)+EC_i(1,t)＝EC_i(0,t)+EC_i(1，r)，根据引理，这样的四环不存在。在[EC_i，ED_i]中的四环表达式为：EC_i(0，r)+ED_i(1，t)＝EC_i(1，r)+ED_i(0，t)mod p，根据引理，这样的四环不存在。所以条件①成立。

步骤1-3：对于条件②，四环的存在形式为：EC_i(x,r)-EC_j(y,r)+EC_j(y,t)-EC_i(x,t)＝0 mod p，其中x,y∈[0,1]。当x＝0,y＝0时，该式可以写为：EC_i(0,r)+EC_j(0,t)＝EC_j(0,r)+EC_i(0,t)mod p，由于该式四个元素都是西顿序列，根据引理，该式不成立。当x＝0,y＝1时，该式可以写为：EC_i(0,r)+EC_j(0，r)＝EC_j(0，t)+EC_j(0，t)mod p，由于该式四个元素都是西顿序列，根据引理，该式不成立。当x＝1,y＝0时，情况与x＝0,y＝1类似。当x＝1,y＝1时，情况与x＝0,y＝0类似。在

中的情况与之类似。综上所述，条件②成立。

步骤2：证明基矩阵中无四环存在。

步骤2-1：根据基矩阵的形式而言，四环可能存在于EC_i、ED_i、[EC_i，ED_i]，而根据构造条件①可知，在EC_i、ED_i、[EC_i,ED_i]中不存在四环，所以基矩阵没有四环存在。

步骤3：证明基矩阵中无六环存在。

步骤3-1：因为六环只可能存在于循环置换矩阵中的三个不同行列中，由于该基矩阵无此形式，所以没有六环存在。

步骤4：证明基矩阵无八环存在。

步骤4-1：八环在基矩阵存在两种形式，对两种情况进行分情况讨论。

步骤4-2：八环存在于EA_i和EC_i(0≤i<t)中(EB_i和ED_i(0≤i<t))，其结构如图4所示。考虑八环存在于EA_i和EC_i中的情况，这样一个八环形式的表达式可以写为：EC_i(x,r)-EC_j(x,r)+EC_j(x,t)-EC_i(x,t)＝0 mod p，其中x,y∈[0,1]。该式成立的条件是

存在四环，而根据构造条件②可知，

不存在四环，所以这种形式的八环在EA_i和EC_i中不存在。同理，EB_i和ED_i也不存在这样的八环。

步骤4-3：八环存在于EA_i、EB_i、EC_i和ED_i(0<i<t)中，其结构如图5所示。这样一个八环的存在形式的表达式可以写为：EC_i(x,r)-ED_i(x，r)+ED_j(y,r)-EC_j(y,r)＝0 mod p，其中x,y∈[0,1]。判断该式是否成立需要分情况判断，一共分四种情况：

(1)x＝0,y＝0,该式写为EC_i(0,r)+ED_j(0,r)＝ED_i(0,r)+EC_j(0,r)mod p，因为对于西顿序列S,最多向左循环移位(t-1)次，所以不会出现重复的序列，即上述表达式中的四个元素都不相同，根据引理，该式不成立。

(2)x＝0,y＝1。该式可以写为EC_i(0,r)-ED_i(0，r)+ED_j(1,r)-EC_j(1,r)＝0 mod p。因为第二行是第一行的负集，又可将其表示为EC_i(0，r)-ED_i(0,r)+P-ED_j(0,r)-P+EC_j(0,r)＝0 mod p，整理后得到EC_i(0,r)+EC_j(0,r)＝ED_i(0,r)+ED_j(0,r)mod p。理由同上，式中为四个不同的西顿序列元素，根据引理，该式不成立。

(3)x＝1,y＝0。该式写成EC_i(1,r)-ED_i(1,r)+ED_j(0，r)-EC_j(0，r)＝0 mod p，该式整理后得到EC_i(0，r)+EC_j(0，r)＝ED_i(0，r)+ED_j(0,r)mod p，同情况(2)，该式不成立。

(4)x＝1,y＝1。该式写成EC_i(1，r)+ED_j(1,r)＝ED_i(1，r)+EC_j(1，r)mod p，整理后得到EC_i(0,r)+ED_j(0，r)＝ED_i(0，r)+EC_j(0,r)mod p，同情况(1)，该式不成立。

步骤5：根据步骤2、3、4证明不存四、六、八环，从而证明得到最小环长为10。所以本发明所构造的QC-LDPC码围长为10。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明做更进一步的具体说明。

图1为本发明提出的基于西顿序列构造围长为10的QC-LDPC码的流程示意图。

图2为本发明所提供的QC-LDPC码基矩阵的示意图。

图3为本发明提供的方法和现有技术在BIAWGN信道上的译码性能对比。

图4为本发明证明无八环时的第一种情况。

图5为本发明证明无八环时的第二种情况。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的实施案例进行描述。下面给出一个具体码长和码率的H矩阵的构造过程，其中码长为1116，码率为0.5。

结合图2所示的LDPC码基矩阵，并根据图1所示的构造方法流程，构造一个QC-LDPC码，记其码长为n，码率为R，所构造的QC-LDPC码的Tanner图包含M个校验节点和N个变量节点，M＝N×R，M和N均为正整数，0<R<1；t和L为QC-LDPC码的设置参数，为正整数，其取值需要满足一定要求。在实施例中，所构造QC-LDPC码的校验矩阵大小n设置为1116，码率R设置为0.5，t设置为6，L设置为3。构造QC-LDPC码的校验矩阵包括如下步骤：

步骤1，确定基矩阵的形式。

在实施例中，所述步骤1包括：

步骤1-1，要求参数t>0使得所构造的校验矩阵n>0。选取参数t＝6，获取基矩阵的具体形式。

步骤1-2，校验矩阵的码率为R，根据已经选出的参数t＝6，以及子矩阵的参数，得出码率

为了得到码率为0.5，令L＝3，得到子矩阵的具体形式。

步骤2，在获取了子矩阵的具体表现形式后，需要对子矩阵EC_i和ED_i(0≤i<6)进行元素填充；

在实施例中，所述步骤2包括：

步骤2-1，根据查表法，选取了一个西顿序列S＝{0,4,6,9,16,17}，所对应的m＝31。

步骤2-2，对子矩阵EC_i和ED_i(0≤i<6)进行元素填充。其步骤为记一个西顿序列为S，令S₀＝S，S_i为S_i-1(0<i<6)向左循环移动一个单位得到的序列。EC_i和ED_i中的第一行元素分别为S_i的子集，记EC_i第一行的元素序列为S_i1，ED_i第一行的元素序列为S_i2，那么S_i1和S_i2的获取方法如下：S_i1取S_i前3个元素，S_i2取S_i后3个元素。EC_i和ED_i第二行元素分别是其第一行元素的负集。

步骤3，确定扩展因子p的大小,对基矩阵进行扩展,得到校验矩阵H。

在实施例中，所述步骤3包括：

步骤3-1，步骤2-1中所采用的西顿序列所对应的m＝31，根据西顿序列的性质，扩展因子p的取值可以为p＝31，也可以为p≥2×17+1＝35。最终取得扩展因子p大小为31。所构造的QC-LDPC码校验矩阵长度为1116，码率为0.5。

构造完成后，即可生成对应的QC-LDPC码校验矩阵。

为了比较本发明提出的构造方法和其他构造方法的译码性能，本实施例进行了计算机仿真。具体操作为，文献1(G.Zhang,Y.Fang and Y.Liu,"Automatic Verification ofGCD Constraint for Construction of Girth-Eight QC-LDPC Codes,"in IEEECommunications Letters,vol.23,no.9,pp.1453-1456,Sept.2019,doi:10.1109/LCOMM.2019.2925792.)中所提出LDPC码构造方法和本专利所提出的构造方法作为对比，均在BIAWGN(Binary Input Additive White Gaussian Noise Channel，二进制输入高斯加性白噪声)信道上模拟仿真，并利用BP(Belief Propagation，置信度传播)译码算法进行译码，其中SNR(Signal Noise Ratio)为信噪比。

如图3所示是本专利提出的基于西顿序列构造QC-LDPC码方法、文献1所提出的QC-LDPC码方法在BIAWGN信道上译码纠错性能对比，在BIAWGN信道上，随着信道比SNR的增加，三种构造方法对应的BER(Bit Error Ratio，比特错误率)都在减少。当BER＝10^-6时，本专利提出的构造方法相对于文献1的构造方法，在性能上有0.12dB的增益。这证明了本专利提出的构造方法拥有不错的性能。

Claims

1.一种基于西顿序列构造围长为的10QC-LDPC码的方法，其特征在于，利用西顿序列在一定的约束条件下来填充特殊形式的基矩阵，并对基矩阵进行扩展得到QC-LDPC码。包括如下步骤：

步骤一：构造基矩阵。所构造的基矩阵形式如图2所示，基矩阵E由子矩阵EA_i、EB_i、EC_i和ED_i(0≤i＜t)组成，其中EC_i和ED_i为2×L的矩阵，EA_i和EB_i为L×L的矩阵，EA_i和EB_i对角线上元素为0，其余位置的元素为∞。

步骤二：对子矩阵EC_i和ED_i(0≤i＜t)进行元素填充，填充方法需要满足下列条件：①对于循环置换矩阵为p×p大小的EC_i、ED_i和[EC_i，ED_i]，其对应的tanner图无四环；②对于任意整数对(i，j)(0≤i＜j＜t)，其循环置换矩阵大小为p×p，

对应的tanner图无四环。

步骤三：用大小为p×p的矩阵对基矩阵进行扩展。基矩阵中的∞用全零矩阵替换，用单位循环矩阵替换基矩阵中的非负值，单位循环矩阵的偏移量由基矩阵对应的元素值确定，最后得到QC-LDPC的校验矩阵，完成构造。

2.如权利要求1中所述的基矩阵，其特征在于，基矩阵的大小和码率由参数t和L所确定，可以根据需求来确定基矩阵的参数t和L，对于基矩阵的设计更加灵活。基矩阵的大小记为2(L+t)×2Lt，基矩阵的码率记为

基矩阵的对于参数t和L有如下要求：0＜t≤2L。

3.如权利要求1所述的EC_i和ED_i(0≤i＜t)的元素填充方式，其特征在于，利用西顿序列对EC_i和ED_i进行填充，只需要运用简单的循环移位，填充过程简单，复杂度低。在矩阵的填充上，记选定的西顿序列为S，令S₀＝S，S_i为S_i-1(0＜i＜t)向左循环移动一个单位得到的序列。EC_i和ED_i中的第一行元素分别为S_i的子集，记EC_i第一行的元素序列为S_i1，ED_i第一行的元素序列为S_i2，那么S_i1和S_i2的获取方法如下：序列S_i元素数量至少为2L，S_i1取S_i前L个元素，S_i2取S_i后L个元素。EC_i和ED_i第二行元素分别是其第一行元素的负集。

4.如权利要求1所述，采用p×p的循环置换矩阵进行基矩阵扩展，其特征在于，在选定西顿序列进行子矩阵填充后，进行矩阵扩展的参数p由西顿序列决定。如果S＝{0，s₁，…，s_C-1}在Z_m上是西顿序列，那么p的取值为如下两种情况：p＝m；p≥2S_C-1+1。经过扩展后可以保障得到的校验矩阵围长至少为10，避免短环的产生。