CN103942396B - 一种含齿向误差的斜齿轮精确建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及含齿向误差的斜齿轮精确建模方法，包括以下步骤：(1)根据齿条刀具结构得到刀具齿廓方程；(2)根据误差的形式与运动规律，通过坐标变换得到含螺旋线倾斜和形状误差刀具齿面方程；(3)根据误差刀具齿面方程和齿轮啮合规律，得到啮合方程；(4)根据啮合方程和误差刀具齿面方程，得到含螺旋线倾斜误差以及形状误差齿面方程。(5)求解和处理齿面离散点，使之能够直接读入到有限元软件中，建立斜齿轮有限元模型。本发明公开了根据误差刀具方程直接推导出含齿向误差的斜齿轮齿面方程，通过数学软件和有限元软件混合编程的方法，实现了参数化建立含齿向误差的斜齿轮有限元模型，提高了建模效率和精度，降低了计算分析的工作量。

Description

一种含齿向误差的斜齿轮精确建模方法

技术领域

本发明涉及一种含齿向误差的斜齿轮建模领域，更具体的说，涉及到螺旋线倾斜误差及服从正弦规律的螺旋线形状误差建模方法。

背景技术

斜齿轮由于具有重合度大、啮合性能好、传动平稳及承载能力高等优点，在各类机械设备中得到了广泛的应用。但在齿轮加工过程中，由于齿坯的安装误差、机床导轨扭曲、进给丝杆的径轴向跳动以及分度传动链的周期性运动误差等，会产生齿向误差，使传动过程中轮齿偏离理论啮合位置，降低齿轮接触精度。接触精度的降低会导致齿面载荷分布不均匀和应力集中，造成齿面局部磨损，直接缩短齿轮使用寿命等，因此，根据误差的不同建立精确的齿轮模型是其精确设计和制造的重要前提。目前还没有根据含齿向误差的斜齿轮齿面方程来建立误差模型的报道。

对于展成法加工的斜齿轮，齿轮齿廓的生成可以看成是齿条刀具与齿轮刀具啮合形成的，因此，可以通过给定具有误差的齿条刀具方程，通过齿轮啮合原理，得到含误差的斜齿轮模型。但是在现有的方法当中，都是通过直接修改理论齿面上点的坐标得到含误差的齿轮模型，这种建模方法不仅建模复杂、效益低而且建模精度低，最重要的是，误差幅值的不同需要重新建模，不能实现参数化建模。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：提供一种含齿向误差的斜齿轮精确建模方法，以便克服上述现有技术存在的缺陷。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

本发明提供的含齿向误差的斜齿轮精确建模方法，其包括以下几个步骤：

(1)根据齿条刀具的结构得到齿条刀具的齿廓方程；

(2)根据误差的形式并结合刀具的运动规律，通过坐标变换得到含螺旋线倾斜和服从正弦规律的形状误差刀具齿面方程；

(3)根据误差刀具齿面方程和齿轮啮合规律，得到齿轮齿条啮合方程；

(4)根据啮合方程和误差刀具齿面方程，确定含螺旋线倾斜误差和服从正弦规律的螺旋线形状误差齿面方程；

(5)根据齿面方程，求解和处理齿面离散点，使之能够直接读入到有限元软件中，并以生成节点的形式将两侧齿面离散点进行编号，编写循环命令，反复生成单元，得到单齿和有限元模型。

所述步骤(1)中，先确定斜齿轮的基本参数，其包括法向模数、法向压力角、螺旋角、齿顶高和顶隙系数、齿轮齿数、齿宽、螺旋线倾斜误差值、螺旋线形状误差值，然后根据齿 条刀具的结构得到以下的齿条刀具的齿廓方程：

(1)工作侧齿条刀具齿廓方程在坐标系S_n中表达式：

(a)工作侧直线段A₁B₁：

t∈[r_ccosα_n，rccosα_n+(ha*m_n+h)tanα_n]，

(b)工作侧圆弧段A₁A₂：

α∈［α_n，90°］，

(2)非工作侧齿条刀具齿廓方程在坐标系S_n中表达式：

(a)非工作侧直线段A₄B₂：

α∈［α_n，90°］，

(b)非工作侧圆弧段A₃A₄：

α∈［α_n，90°］，

式中：

t－长度变化参数；α_n′－法向压力角；α－角度变化参数；u－齿向方向的位移变化量；r_c-刀具圆角半径r_c＝c^*m_n/(1-sinα_n)；h-齿条中线至A₁距离h＝(h_a ^*+c^*)m_n-r_c(1-sinβ)；Δ-S_n坐标系中x_n轴距离齿条齿槽对称线的距离^Δ＝πm_n/4-htanβ-r_ctanβ。

上述步骤(2)中，所述含螺旋线倾斜和服从正弦规律的形状误差刀具齿面方程可以为：

式中：Δt_i(i^＝1、2、3).；

是齿轮前端面N₁N₁到截平面N₂N₂之间相对于理论渐开线偏移量；且满足Δl₁/ΔT₁＝Δ₂/ΔT₂；

是齿轮后端面N₃N₃到截平面N₂N₂之间相对于理论渐开线偏移量；

是有正弦曲线形状误差时沿齿向相对于理论齿线的偏移量；

B－齿轮宽度；

_s－齿条在节圆线上的1/4齿厚s＝πm_n/4；

Δf_Hβ －螺旋线倾斜误差值；

Δl₁－误差点至前端面的距离；

Δl₂－误差点至后端面的距离，且Δl₁+Δl₂＝B

ΔT₁－在前端面内，相对于理论齿线的最大值；

ΔT₂－在后端面内，相对于理论齿线的最大值；

N－螺旋线形状误差周期数；

A-误差系数。

上述步骤(3)中，所述齿轮齿条啮合方程可以为：

A₁B₁对应啮合方程：

A₁A₂对应啮合方程：

A₃B₁对应啮合方程：

A₃A₄对应啮合方程：

含误差时对应啮合方程：

(1)直线对应曲面处：

(2)圆弧曲线对应曲面处：

式中：β₁＝arctan(tanβ+ΔT_i/Δl_i)。

上述步骤(4)中，所述含螺旋线倾斜误差和服从正弦规律的螺旋线形状误差齿面方程可以为：

含螺旋线倾斜误差渐开线曲面方程：

(a)齿轮前端面N₁N₁到截平面N₂N₂之间渐开线曲面方程：

(b)齿轮后端面N₃N₃到截平面N₂N₂之间渐开线曲面方程：

含螺旋线倾斜误差齿根圆弧曲面方程：

(a)齿轮前端面N₁N₁到截平面N₂N₂之间齿根圆弧曲面方程：

(b)齿轮后端面N₃N₃到截平面N₂N₂之间齿根圆弧曲面方程：

含螺旋线形状误差渐开线曲面方程：

式中：

含螺旋线形状误差齿根圆弧曲面方程：

上述步骤(5)中，所述整齿斜齿轮齿向误差的有限元模型可以为：

(1)创建hex.dat文件，将包括法向模数、法向压力角、螺旋角、齿顶高和顶隙系数、齿轮齿数、齿宽、螺旋线倾斜误差值、螺旋线形状误差值、径向网格等分数、轴向网格等分数和轴向网格等分数依次输入到数据文件中；

(2)利用数学软件(如matlab软件)根据步骤(4)得到的齿面方程生成离散点数据，并进行处理，使之能够直接读入到有限元软件(如ANSYS软件)环境中。处理数据时以生成节点的形式将两侧齿面离散点进行编号，并在同一端面层内(Z坐标相同)，在对应的两节点之间填充(n_c-2)个节点，一个轮齿节点总数为n_r×n_c×n_a，将这些生成的节点输出到文件data.dat中。其中相邻八个节点的编号满足：

P₁＝i+(j-1)×n_r+(k-1)×n_r×n_c，P₂＝P₁+n_r，P₃ ^＝P₂+1

P₄＝P₁+1，P₅＝P₁+(n_r×n_c)，P₆＝P₅+n_r，P₇＝P₆+1，P₈＝P₅+1，

其中，i∈[1，n_r，] j∈[1，n_c] k∈[1，n_a]，

n_r、n_c、n_a－分别是径向、轴向网格和周向网格划分等数；

(3)输入单元类型以及材料属性,包括材料密度、弹性模量、泊松比和solid185(八节点)单元类型；

(4)根据生成的节点位置和编号，利用有限元二次开发语言(如ANSYS-APDL语言)编写循环命令，反复生成单元，得到单个轮齿有限元模型；

(5)在柱坐标下，将单个轮齿有限元模型绕轴线旋转复制，并合并相邻重合的节点，得到整个斜齿轮齿向误差有限元模型。

本发明与现有技术相比，具有以下有效效益：

1.根据含螺旋线倾斜误差和形状误差的刀具齿面方程，可以直接加工出对应误差的渐开线成形齿轮，提高了齿轮的建模效率，得到精确的模型，并且得到的含螺旋线倾斜误差和螺旋线形状误差模型简单实用。

2.通过数学软件和有限元软件混合编程的方法，实现了参数化建立了斜齿轮齿向误差有限元模型，避免了不同软件之间的转化误差，且可以通过改变网格划分份数，得到规则的、不同网格密度的有限元模型，进而进行啮合特性的分析。

3.提高了齿轮的建模效率和建模精度，降低了设计人员的工作量，提高了工作效率。

附图说明

图1是本发明提出的技术方案流程图；

图2是齿条刀具结构示意图；

图3是含螺旋线倾斜误差的刀具结构示意图；

图4是含螺旋线形状误差的刀具结构示意图；

图5是齿轮齿条坐标变化示意图；

图6是生成的螺旋线形状误差斜齿轮齿面示意图；

图7是生成的螺旋线倾斜误差斜齿轮齿面示意图；

图8是Solid185八节点单元示意图；

图9是含误差斜齿轮单齿有限元模型示意图；

图10是含误差斜齿轮整齿有限元模型。

具体实施方式

本发明涉及一种含齿向误差的斜齿轮建模方法，包括以下几个步骤：(1)根据齿条刀具的结构得到齿条刀具的齿廓方程；(2)根据误差的形式并结合刀具的运动规律，通过坐标变换得到含螺旋线倾斜和形状误差刀具齿面方程；(3)根据误差刀具齿面方程和齿轮啮合规律，得到齿轮齿条啮合方程；(4)根据啮合方程和误差刀具齿面方程，确定含螺旋线倾斜误差和服从正弦规律的螺旋线形状误差齿面方程。(5)根据齿面方程，求解和处理齿面离散点，使之能够直接读入到有限元软件中，并以生成节点的形式将两侧齿面离散点进行编号、编写循环命令，反复生成单元，得到单齿和整齿有限元模型。

下面结合具体的实施例和附图进一步阐明本发明的内容，但本发明的内容不仅仅局限于下面的实施例。

本发明是一种含齿向误差的斜齿轮精确建模方法，如图1-图10所示，包括以下步骤：

1.建立含齿向误差的斜齿轮齿面方程：

(1)确定斜齿轮的基本参数：

参见表1，包括法向模数、法向压力角、螺旋角、齿顶高和顶隙系数、齿轮齿数、齿宽、螺旋线倾斜误差值、螺旋线形状误差值等。

(2)确定齿条刀具的齿廓方程：

根据齿条刀具的结构得到齿条刀具的齿廓方程，具体为：

(1)工作侧齿条刀具齿廓方程在坐标系S_n中表达式：

(a)工作侧直线段A₁B₁：

t∈[r_ccosα_n，r_ccosα_n+(h_a*m_n+h)tanα_n]，

(b)工作侧圆弧段A₁A₂：

α∈［α_n，90°］，

(2)非工作侧齿条刀具齿廓方程在坐标系S_n中表达式：

(a)非工作侧直线段A₄B₂：

α∈［α_n，90°］，

(b)非工作侧圆弧段A₃A₄：

α∈［α_n，90°］，

式中：

t－长度变化参数；

an′－法向压力角

α－角度变化参数

u－齿向方向的位移变化量；

r_c－刀具圆角半径

h－齿条中线至A₁距离^h＝(h_a ^*+c^*)m_n-r_c(1-sinβ)；

^β－螺旋角；nα′：－齿顶高系数；′c^*－顶系系数；

Δ－S_n坐标系中x_n轴距离齿条齿槽对称线的距离Δ＝πm_n/4-htanβ-r_ctanβ；

(3)确定刀具齿面方程：

根据误差的形式并结合刀具的运动规律，通过坐标变换得到含螺旋线倾斜和形状误差的刀具齿面方程。具体如下：

(a)由坐标系Sn转换到坐标系S_p的矩阵、S_p转换到齿轮坐标系S1矩阵为：

式中：r为节圆半径。

(b)标准齿条刀具在坐标系S_p中的齿面方程为：

(c)含误差时齿条刀具在坐标系S_p中的齿面方程为：

式中：Δt_i(ⁱ＝1^、2、3）.。

是齿轮前端面N₁N₁到截平面N₂N₂之间相对于理论渐开线偏移量；且满足^二人^上五二^J@、^上散，。

是齿轮后端面N₃N₃到截平面N₂N₂之间相对于理论渐开线偏移量。

是有正弦曲线形状误差时沿齿向相对于理论齿线的偏移量；

B－齿轮宽度；

s－齿条在节圆线上的1/4齿厚,s＝πm_n/4；

Δf_Hβ－螺旋线倾斜误差值；

Δl₁－误差点至前端面的距离；

Δl₂－误差点至后端面的距离，且Δl₁+Δl₂＝B；

ΔT₁－在前端面内，相对于理论齿线的最大值；

ΔT₂－在后端面内，相对于理论齿线的最大值；

N－螺旋线形状误差周期数；

A-误差系数。

(4)齿条刀具和齿轮的啮合方程：

根据误差刀具齿面方程和齿轮啮合规律，得到齿轮齿条啮合方程。

利用啮合轴的概念来求解齿轮的啮合方程。

(a)各段齿条刀具齿面的法向向量在坐标系S_p中的投影：

(b)含螺旋线倾斜误差时刀具齿面的法向向量

－分别为含螺旋线倾斜误差刀具直线部分对应曲面和圆弧部分对应曲面法向向量。

(c)含螺旋线形状误差时刀具齿面的法向向量

螺旋线形状误差齿面的形成是由原来渐开线和过渡曲线上的任意点沿着渐开线和过渡曲线的法向方向偏移一定的误差量得到，因此：

－分别为含螺旋线形状误差刀具直线部分对应曲面和圆弧部分对应曲面法向向 量。

(d)OZ轴是齿条与齿轮传动啮合轴，啮合轴OZ在S_p中的方程：

(e)在S_p中齿条齿面的法线方程：

式中：x_P、y_P、z_P－分别是在坐标系S_p中啮合点的坐标值；

－分别是在坐标系S_p中齿条刀具齿面法线向量在各坐标轴的投影；

将上述法向量、齿条刀具齿面方程和啮合轴方程带入齿条齿面的法向方程中，得到各曲面的啮合方程：

A₁B₁对应啮合方程：

A₁A₂对应啮合方程：

A₃B₁对应啮合方程：

A₃A₄对应啮合方程：

含误差时对应啮合方程：

(1)直线对应曲面处：

(2)圆弧曲线对应曲面处：

式中：β₁＝arctan(tanβ+ΔT_i/Δl_i)。

(5)确定含螺旋线倾斜误差和螺旋线形状误差的齿面方程：

结合上述步骤(3)和(4)分别得到的误差刀具齿面方程和啮合方程，可以得到以下形的齿轮齿面方程。

工作侧直线A₁B₁段形成的渐开线齿面方程：

工作侧直线A₁A₂段形成的齿根圆弧齿面方程

非工作侧直线A₄B₂段形成的渐开线齿面方程：

非工作侧直线A₃A₄段形成的渐开线齿面方程：

含螺旋线倾斜误差渐开线曲面方程：

(a)齿轮前端面N₁N₁到截平面N₂N₂之间渐开线曲面方程：

(b)齿轮后端面N₃N₃到截平面N₂N₂之间渐开线曲面方程：

含螺旋线倾斜误差齿根圆弧曲面方程：

(a)齿轮前端面N₁N₁到截平面N₂N₂之间齿根圆弧曲面方程：

(b)齿轮后端面N₃N₃到截平面N₂N₂之间齿根圆弧曲面方程：

含螺旋线形状误差渐开线曲面方程：

式中：

含螺旋线形状误差齿根圆弧曲面方程：

2.建立斜齿轮齿向误差有限元模型：

(1)创建hex.dat文件，将包括法向模数、法向压力角、螺旋角、齿顶高和顶隙系数、齿轮齿数、齿宽、螺旋线倾斜误差值、螺旋线形状误差值、径向网格等分数、轴向网格等分数和周向网格等分数依次输入到数据文件中。

(2)利用数学软件(如matlab软件)生成齿面离散点数据，并进行处理，使之能够直接读入到有限元软件(如ANSYS软件)环境中。并以生成节点的形式将两侧齿面离散点进行编号，并在与Z坐标相同的同一端面层内，在对应的两节点之间填充(n_c-2)个节点，一个 轮齿节点总数为n_r×n_c×n_a，将这些生成的节点输出到文件data.dat中。其中相邻八个节点的编号满足：

P₁＝i+(j-1)×n_r+(k-1)×n_r×n_c，P₂＝P₁+n_r，P₃＝P₂+1

P₄＝P₁+1，P₅＝P₁+(n_r×n_c)，P₆＝P₅+n_r，P₇＝P₆+1，P₈＝P₅+1，

其中，i∈[1，n_r，] j∈[1，n_c] k∈[1，n_a]，

n_r、n_c ^、n_a－分别是径向、轴向网格和周向网格划分等数。

(3)输入单元类型以及材料属性,包括材料密度、弹性模量、泊松比和solid185单元类型。

(4)根据生成的节点位置和编号，利用有限元二次开发语言(如ANSYS-APDL语言)编写循环命令，反复生成单元，得到单个轮齿有限元模型。

(5)在柱坐标下，将单个轮齿有限元模型绕轴线旋转复制，并合并相邻重合的节点，得到整个斜齿轮齿向误差有限元模型。

上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，还可以做出很多形式，这些均属于本发明的保护之内。

表1齿轮的基本设计参数

Claims (6)

1.一种含齿向误差的斜齿轮精确建模方法，其特征在于包括以下几个步骤：

(1)根据齿条刀具的结构得到齿条刀具的齿廓方程；

(2)根据误差的形式并结合刀具的运动规律，通过坐标变换得到含螺旋线倾斜和服从正弦规律的形状误差刀具齿面方程；

(3)根据误差刀具齿面方程和齿轮啮合规律，得到齿轮齿条啮合方程；

(4)根据啮合方程和误差刀具齿面方程，确定含螺旋线倾斜误差和服从正弦规律的螺旋线形状误差齿面方程；

(5)根据齿面方程，求解和处理齿面离散点，使之能够直接读入到有限元软件中，并以生成节点的形式将两侧齿面离散点进行编号，编写循环命令，反复生成单元，得到单齿和整齿有限元模型。

2.根据权利要求1所述的含齿向误差的斜齿轮精确建模方法，其特征在于步骤(1)中，先确定斜齿轮的基本参数，其包括法向模数、法向压力角、螺旋角、齿顶高和顶隙系数、齿轮齿数、齿宽、螺旋线倾斜误差值、螺旋线形状误差值，然后根据齿条刀具的结构得到以下的齿条刀具的齿廓方程：

(1)工作侧齿条刀具齿廓方程在坐标系S_n中表达式：

(a)工作侧直线段A₁B₁：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_n={\mathrm{cot\α}}_n(t-r_c{\mathrm{cos\α}}_n)-h\\ y_n=t\\ z_n=u\end{array}\right.$

(b)工作侧圆弧段A₁A₂：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_n=-h+r_c\sin {\mathrm{\α}}_n-r_c\sin \mathrm{\α}\\ y_n=r_c\cos \mathrm{\α}\\ z_n=u\end{array}\right.$

α∈[α_n，90°]，

(2)非工作侧齿条刀具齿廓方程在坐标系S_n中表达式：

(a)非工作侧直线段A₄B₂：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_n=-h+r_c\sin {\mathrm{\α}}_n-r_{c}sin\mathrm{\α}\\ y_n=-r_c\cos \mathrm{\α}-2\mathrm{\Δ}\\ z_n=u\end{array}\right.$

α∈[α_n，90°]，

(b)非工作侧圆弧段A₃A₄：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_n=-h+r_c\sin {\mathrm{\α}}_n-r_{c}sin\mathrm{\α}\\ y_n=-r_c\cos \mathrm{\α}-2\mathrm{\Δ}\\ z_n=u\end{array}\right.$

α∈[α_n，90°]，

式中：

t－长度变化参数；α_n－法向压力角；α－角度变化参数；u－齿向方向的位移变化量；r_c－刀具圆角半径，r_c＝c^*m_n/(1-sinα_n).；h－齿条中线至A₁距离，h＝(h_a ^*+c^*)m_n-r_c(1-sinβ)；Δ－S_n坐标系中x_n轴距离齿条齿槽对称线的距离，Δ＝πm_n/4-htanβ-r_ctanβ。

3.根据权利要求1所述的含齿向误差的斜齿轮精确建模方法，其特征在于步骤(2)中，所述含螺旋线倾斜和服从正弦规律的形状误差刀具齿面方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_p=x_n\\ y_p=y_n\cos \mathrm{\β}+z_n\sin \mathrm{\β}-\mathrm{\Δ}{t}_i\\ z_p=-y_n\sin \mathrm{\β}+z_n\cos \mathrm{\β}\end{array}\right.,$

式中：Δt_i(i＝1、2、3)；

是齿轮前端面N₁N₁到截平面N₂N₂之间相对于理论渐开线偏移量；且满足Δl₁/ΔT₁＝Δl₂/ΔT₂；

是齿轮后端面N₃N₃到截平面N₂N₂之间相对于理论渐开线偏移量；

是有正弦曲线形状误差时沿齿向相对于理论齿线的偏移量；

B－齿轮宽度；

s－齿条在节圆线上的1/4齿厚,s＝πm_n/4；

Δf_Hβ－螺旋线倾斜误差值；

Δl₁－误差点至前端面的距离；

Δl₂－误差点至后端面的距离，且Δl₁+Δl₂＝B；

ΔT₁－在前端面内，相对于理论齿线的最大值；

ΔT₂－在后端面内，相对于理论齿线的最大值；

N－螺旋线形状误差周期数；

A-误差系数。

4.根据权利要求1所述的含齿向误差的斜齿轮精确建模方法，其特征在于步骤(3)中，所述齿轮齿条啮合方程为：

A₁B₁对应啮合方程：

A₁A₂对应啮合方程：

A₃B₁对应啮合方程：

A₃A₄对应啮合方程：

含误差时对应啮合方程：

(1)直线对应曲面处：

(2)圆弧曲线对应曲面处：

式中：β₁＝arctan(tan β+ΔT_i/Δl_i)。

5.根据权利要求1所述的含齿向误差的斜齿轮精确建模方法，其特征在于步骤(4)中，所述含螺旋线倾斜误差和服从正弦规律的螺旋线形状误差齿面方程为：

含螺旋线倾斜误差渐开线曲面方程：

(a)齿轮前端面N₁N₁到截平面N₂N₂之间渐开线曲面方程：

(b)齿轮后端面N₃N₃到截平面N₂N₂之间渐开线曲面方程：

含螺旋线倾斜误差齿根圆弧曲面方程：

(a)齿轮前端面N₁N₁到截平面N₂N₂之间齿根圆弧曲面方程：

(b)齿轮后端面N₃N₃到截平面N₂N₂之间齿根圆弧曲面方程：

含螺旋线形状误差渐开线曲面方程：

式中：

$\mathrm{\γ}=\frac{u}{\mathrm{\γ}}\tan \mathrm{\β},$

含螺旋线形状误差齿根圆弧曲面方程：

6.根据权利要求1所述的含齿向误差的斜齿轮精确建模方法，其特征在于步骤(5)中，所述单齿和整齿有限元模型为：

(1)创建hex.dat文件，将包括法向模数、法向压力角、螺旋角、齿顶高和顶隙系数、齿轮齿数、齿宽、螺旋线倾斜误差值、螺旋线形状误差值、径向网格等分数、轴向网格等分数和轴向网格等分数依次输入到数据文件中；

(2)利用数学软件根据步骤(4)得到的齿面方程生成离散点数据，并进行处理，使之能够直接读入到有限元软件环境中；处理数据时以生成节点的形式将两侧齿面离散点进行编号，并在与Z坐标相同的同一端面层内，在对应的两节点之间填充(n_c-2)个节点，一个轮齿节点总数为n_r×n_c×n_a，将这些生成的节点输出到文件data.dat中；其中相邻八个节点的编号满足：

P₁＝i+(j-1)×n_r+(k-1)×n_r×n_c，P₂＝P₁+n_r，P₃＝P₂+1

P₄＝P₁+1，P₅＝P₁+(n_r×n_c)，P₆＝P5+n_r，P₇＝P₆+1，P₈＝P₅+1，

其中，i∈[1，n_r] j∈[1，n_c] k∈[1，n_a]，

n_r、n_c、n_a-分别是径向、轴向网格和周向网格划分等数；

(3)输入单元类型以及材料属性，包括材料密度、弹性模量、泊松比和solid185单元类型；

(4)根据生成的节点位置和编号，利用有限元二次开发语言编写循环命令，反复生成单元，得到单个轮齿有限元模型；

(5)在柱坐标下，将单个轮齿有限元模型绕轴线旋转复制，并合并相邻重合的节点，得到整个斜齿轮齿向误差有限元模型。