CN103869316A - 基于稀疏表征的前视阵列sar超分辨成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于稀疏表征的前视阵列SAR超分辨成像方法，主要解决现有前视成像算法物理难实现且系统成本高的问题。其实现过程是：（1）以双基模式接收合成孔径雷达回波数据，并按照单基模式修改回波信号；（2）对修改后的回波信号进行距离脉冲压缩和方位维解线调频处理；（3）基于观测场景和成像目标的稀疏特性，将处理后的信号通过最大后验概率估计方法构建SAR成像的代价函数；（4）利用更新的拟牛顿算法来求解代价函数得到前视阵列SAR的超分辨成像结果。本发明能在有限阵列长度的条件下获得高分辨率前视成像结果，有效降低系统的成本和复杂度，可用于目标探测、地形勘测、制导、城市规划以及环境勘测。

Description

基于稀疏表征的前视阵列SAR超分辨成像方法

技术领域

本发明属于雷达信号处理领域，特别涉及平台运动正前方场景的SAR成像，可用于机载、星载平台SAR成像处理。

背景技术

合成孔径雷达SAR成像属于高分辨成像技术，在径向距离上依靠发射宽带信号来提高分辨率，在方位上则是依靠雷达平台运动等效地在空间形成很长的线性阵列来实现的。半个世纪以来，SAR成像技术和理论研究有了很大发展，并得到了广泛的应用。

传统SAR通常采取侧视的工作模式，针对该模式下SAR的成像处理研究已经非常多了，主要是依靠成像平台相对目标运动所提供的多普勒信息以实现方位维的高分辨，然而对于平台正前方的目标而言，传统SAR无法获取目标的多普勒信息，因此对平台运动正前方的场景无法进行探测，具有一定的局限性。然而在许多应用场合，需要SAR采取前视或者下视工作模式，例如敌情探测、地形勘测、导弹制导、城市规划以及环境勘测等。

已有文献提出了前视SAR成像算法（Ren X Z,Tan L L,Yang R L,Research ofthree-dimensional imaging processing for airborne forward-looking SAR,IET International onRadar Conference,2009,20-22:1-4.）和（Hai P H,Chang W Q,Qiang Z,et al,Signal analysis ofdownward-looking and forward-looking array FMCW SAR,International Congress on Imageand Signal Processing(CISP),2010,9:4267-4270.）。上述文献提出了一种在垂直平台运动方向摆放线性阵列的前视SAR成像体制，通过对各个阵元的回波信号进行常规成像处理以实现前视二维成像。然而，前视SAR方位维的分辨率与阵列长度密切相关，而实际中往往由于系统成本、成像平台的载重以及空间等因素的限制，阵列长度不能太长，从而导致方位维分辨受到很大的影响。为了实现方位高分辨，现有的前视或下视工作模式下的SAR成像算法往往需要高的系统成本，物理难实现，给SAR成像处理研究带来了很多的不便。

发明内容

本发明的目的在于针对上述已有技术的不足，结合近年来广泛应用的压缩感知理论，提出一种基于稀疏表征的前视阵列SAR超分辨成像方法，以解决现有前视阵列SAR成像算法物理难实现且分辨率低的问题。

为实现上述目的，本发明的技术思路是：通过波束形成技术在不同时刻得到不同方向的窄波束以实现对场景的扫描观测；采用稀疏阵列作为接受阵列，且部分接收阵元和发射阵元复用来降低系统的复杂度和成本；通过设置合理的系统参数来解决因为接收阵元不满足瑞利准则而导致的栅瓣问题；利用发射窄带波束覆盖有限场景提供的SAR图像的稀疏先验信息建立正则化问题，并通过基于更新的Hessian矩阵的拟牛顿算法来求解最优化问题，最终实现在有限阵元的条件下获得更优的成像结果并降低系统成本的目的。具体步骤包括如下：

（1）按照双基模式接收合成孔径雷达SAR的回波信号，并按单基模式对该回波信号进行修改；

（2）对修改后的回波信号在距离时域做傅里叶变换，并对变换后的信号进行距离维脉冲压缩处理；

（3）对距离维脉冲压缩处理后的信号进行方位维解线频调处理；

（4）将方位维解线频调处理后的信号按同一距离单元重新排列为矩阵的形式，即：

其中，s表示按照同一距离单元重新排列的回波信号，s(m,k)为第m个距离单元在第k个脉冲的回波信号，1≤m≤M,1≤k≤N₂；a表示需要重构的SAR图像，a(m,l)为第m个距离单元在第l个脉冲的重构SAR图像，1≤l≤N₁,N₁和N₂分别为重构信号和回波信号的脉冲总数；n为观测噪声矩阵，T为观测矩阵，

为部分傅里叶变换矩阵，维数为N₂×N₁，且N₂＜N₁；

（5）利用观测场景的稀疏先验信息和成像目标边缘特征的稀疏特性，通过最大后验概率估计对重新排列后的矩阵式构建目标方程，即：

$\hat{a}=\arg \min [{\left|\right|s-\mathrm{Ta}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\λ}}_1{\left|\right|a\left|\right|}_k^k+{\mathrm{\λ}}_2{\left|\right|D\left|a\right|\left|\right|}_k^k]$

其中，D为二维导数算子，其分为距离维和方位维两个部分；式中第一项为观测误差，第二项为目标信号的稀疏约束，第三项是区域特征；λ₁和λ₂分别为两个数值不同的常数，用于平衡上述三项之间的关系；

（6）通过基于更新的Hessian矩阵的拟牛顿算法，对建立的目标方程进行求解，得到在各距离单元各脉冲的SAR重构信号。

本发明与现有技术相比具有如下优点：

1）现有前视阵列扫描SAR成像方法由于受到系统成本、成像平台的载重以及空间等因素的限制，阵列长度往往不能太长，导致方位维分辨受到很大影响。而本发明通过合理设计发射阵元间隔，接收阵元间隔、发射阵列长度以及接收阵列长度，有效解决了由于接收阵元间隔过大导致的栅瓣模糊问题，从而减少接收阵元的数目，克服了现有成像方法受阵列长度约束的问题，降低了系统的成本和复杂度；同时可以保证较高的发射功率，提高回波信号的信噪比，从而提高成像的质量。

2）本发明提出的方法由于接收阵列总的波束范围大于发射阵列子波束范围，对于扫描子波束其成像结果的场景分布有限，所以子孔径成像结果具有稀疏性，同时由于目标边缘特征的稀疏性，可有效的利用现有的压缩感知理论在有限数据的情况下实现高质量成像。

附图说明

图1是本发明的前视SAR成像几何模型；

图2是本发明的实现流程图；

图3是点目标的原始场景图；

图4是用本发明对点目标的仿真结果图；

图5是传统算法对实测数据的仿真结果图；

图6是用本发明对实测数据的仿真结果图。

具体实施方式

本发明是在前视SAR成像几何模型上实现的。

参照图1，本实例的几何模型给出了载机的空间坐标和参数、运动目标的位置以及载机与运动目标的距离。其中：x轴定义为载机航向，y轴定义为垂直于航线的水平方向，z轴定义为载机的高度方向，o定义为坐标原点，载机速度为v，高度为h。设在某一时刻场景中运动目标在p点的位置为(x_n,y_n,z_n)，前视俯仰角为α，运动目标与雷达之间的距离为R₀。

本实例采用“多天线发射多天线接收”的扫描工作方式，雷达天线阵列沿y轴方向线性排列，发射阵列为密集阵列，接收阵列为稀疏阵列，发射阵元和接收阵元沿阵列中心等间隔分布，部分接收阵元与发射阵元复用，且设置接收阵列的长度大于发射阵列的长度，距离维定义为发射波束的中心方向，方位维定义为线性阵列安置的方向。

参照图2，本发明的实现步骤如下：

步骤1，修改回波信号，

（1a）设雷达发射端的发射信号：

$s_0(\hat{t},t_m)=\exp \left[{\mathrm{j\π\γ}\left(\hat{t}\right)}^2\exp \right[{j2\mathrm{\πf}}_{c}t]=s\left(\hat{t}\right)\exp [{j2\mathrm{\πf}}_{c}t],$

其中，

为其包络，f_c为发射信号载频，γ为发射信号的调频率，t_m为慢时间，为快时间，t为全时间，

按照双基模式接收合成孔径雷达SAR的回波信号：

$\begin{array}{c}r(\hat{t},t_m,{\mathrm{\θ}}_0,y;x_n,y_n,z_n)={\mathrm{\σa}}_r({\mathrm{\θ}}_0,x_n,z_n)a_{y_n}({\mathrm{\θ}}_0,y_n)\exp [-\frac{j4\mathrm{\π}{f}_{c}R}{C}]\exp \left[\mathrm{j\π\γ}{(\hat{t}-\frac{2R}{C})}^2\right],\\ -L_2/2\≤y\≤L_2/2\end{array}$

其中，C为光速，L₂为接收阵列的长度，a_r(·)为距离向调制函数，

为方位向调制函数；y为运动目标点p在当前时刻t_m的横向位置坐标，σ为目标的后向散射系数，R为当前时刻t_m雷达和运动目标点p的距离， $R=\frac{\sqrt{{({\mathrm{vt}}_m-x_n)}^2+{y_n}^2+{(h-z_n)}^2}+\sqrt{{({\mathrm{vt}}_m-x_n)}^2+{(y-y_n)}^2+{(h-z_n)}^2}}{2},$ 在信号发射端，通过对发射阵元信号利用波束形成原理，在不同t_m时刻形成不同方位扫描角度的发射波形，其方位中心角度用θ₀表示；

（1b）依据等效相位中心原理，按照单基模式对接收到的SAR回波信号进行修改，得到修改后的回波信号：

$\begin{array}{c}{r}^{\′}(\hat{t},t_m,{\mathrm{\θ}}_0,y;x_n,y_n,z_n)={\mathrm{\σa}}_r({\mathrm{\θ}}_0,x_n,z_n)a_{y_n}({\mathrm{\θ}}_0,y_n)\exp [-\frac{j4\mathrm{\π}{f}_c{R}^{\′}}{C}]\exp \left[\mathrm{j\π\γ}{(\hat{t}-\frac{2R^{\′}}{C})}^2\right]\\ -L_2/2\≤y\≤L_2/4\end{array}$

其中，R'为双基转换单基后的等效斜距， $R^{\′}=\sqrt{{({\mathrm{vt}}_m-x_n)}^2+{(h-z_n)}^2+{(y/2-y_n)}^2}=\sqrt{R_0^2+{(y/2-y_n)}^2},$ $R_0^2={({\mathrm{vt}}_m-x_n)}^2+{(h-z_n)}^2.$

步骤2，对修改后的回波信号

在距离时域做傅里叶变换，得到傅里叶变换后的信号：

$F(f_r,t_m,{\mathrm{\θ}}_0;x_n,y_n,z_n)={\mathrm{\σa}}_r({\mathrm{\θ}}_0,x_n,z_n)a_{y_n}({\mathrm{\θ}}_0,y_n)\exp [-j4\mathrm{\π}(f_c+f_r)\frac{R^{\′}}{C}]\exp [-\mathrm{j\π}\frac{{f_r}^2}{\mathrm{\γ}}],$

其中，f_r为信号频率，由于发射波束覆盖范围相对较小，可忽略回波信号的包络徙动，对傅里叶变换后的信号F(f_r,t_m,θ₀;x_n,y_n,z_n)进行距离维脉冲压缩处理，得到距离维脉冲压缩后的信号：

$F^{\′}(\hat{t},t_m,y;x_n,y_n,z_n)={\mathrm{\σa}}_r({\mathrm{\θ}}_0,x_n,z_n)a_{y_n}({\mathrm{\θ}}_0,y_n)\sin c\left(B\left((\hat{t}-\frac{{2R}^{\′}}{c}\right)\right)\exp [-j\frac{2\mathrm{\π}{(y-y_n)}^2}{{\mathrm{\λR}}_0}]\exp [-j\frac{4\mathrm{\π}{R}_0}{\mathrm{\λ}}],$

其中，B为发射信号带宽，λ为发射信号波长。

步骤3，对距离维脉冲压缩处理后的信号

进行方位维解线频调处理，得到方位维解线频调处理后的信号：

$s(\hat{t},t_m,y;x_n,y_n,z_n)={\mathrm{\σa}}_r({\mathrm{\θ}}_0,x_n,z_n)a_{y_n}({\mathrm{\θ}}_0,y_n)\sin c\left(B\left((\hat{t}-\frac{{2R}^{\′}}{c}\right)\right)\exp [-j\frac{2\mathrm{\π}{y_n}^2}{{\mathrm{\λR}}_0}]\exp [j\frac{4\mathrm{\π}{y}_{n}y}{{\mathrm{\λR}}_0}]\exp [-j\frac{4\mathrm{\π}{R}_0}{\mathrm{\λ}}].$

步骤4，将方位维解线频调处理后的信号

按同一距离单元重新排列为矩阵的形式，即：

其中，s表示按照同一距离单元重新排列的回波信号，s(m,k)为第m个距离单元在第k个脉冲的回波信号，1≤m≤M,1≤k≤N₂；a表示需要重构的SAR图像，a(m,l)为第m个距离单元在第l个脉冲的重构SAR图像，1≤l≤N₁,N₁和N₂分别为重构信号和回波信号的脉冲总数；n为观测噪声矩阵，T为观测矩阵，

为部分傅里叶变换矩阵，维数为N₂×N₁，且N₂＜N₁，T为降维矩阵。

步骤5，利用观测场景的稀疏先验信息和成像目标边缘特征的稀疏特性，对重新排列后的矩阵式通过最大后验概率估计构建目标方程。

（5a）验证本实例系统中观测场景的稀疏性,对方位维解线调频处理后的回波数据进行方位维傅里叶变换，得到粗分辨的扫描SAR场景，可看出成像SAR目标仅占据SAR图像的部分区域，因此成像SAR观测场景具有稀疏性；

（5b）基于上述观测场景和成像目标边缘特征的稀疏特性，得到目标方程中关于稀疏特性的约束条件

（5c）对需要重构的SAR图像数据a在距离维和方位维求二阶导数D|a|，并将其作为目标函数中的另一个约束条件进行区域增强处理，以提高SAR目标恢复的性能；

（5d）根据最大后验概率估计，得出目标方程：

$\hat{a}=\arg \min [{\left|\right|s-\mathrm{Ta}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\λ}}_1{\left|\right|a\left|\right|}_k^k+{\mathrm{\λ}}_2{\left|\right|D\left|a\right|\left|\right|}_k^k],$

其中，λ₁和λ₂分别为两个数值不同的常数，用于平衡两个约束条件和观测误差三者之间关系，其数值通过参数估计方法计算得到。

步骤6，对建立的目标方程的求解需要数值迭代运算。

求解目标方程需要数值迭代运算，现有运算方法有Hessian矩阵的牛顿算法，拟牛顿算法等。本实例采用基于更新的Hessian矩阵的牛顿算法求解目标方程，其步骤如下：

（6a）利用如下公式对构建的目标方程中的两个约束条件近似，以避免l_k-范数在零处不可导问题：

$\left\{\begin{array}{c}{\left|\right|a\left|\right|}_k^k\≈\underset{i=1}{\overset{M\·N_1}{\mathrm{\Σ}}}{({\left|a_i\right|}^2+\mathrm{\δ})}^{k/2}\\ {\left|\right|D\left|a\right|\left|\right|}_k^k\≈\underset{i=1}{\overset{M\·N_1}{\mathrm{\Σ}}}{({\left|{\left(D\right|a\left|\right)}_i\right|}^2+\mathrm{\δ})}^{k/2}\end{array}\right.,$

其中，

表示对向量的k次方求k范数，k≤1，||表示对向量求模，δ是一个很小的正常数，其取值为1×10^-5；

（6b）将目标方程改写为下式：

$\hat{a}=\arg \min [{\left|\right|s-\mathrm{Ta}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\λ}}_1{\left|\right|a\left|\right|}_k^k+{\mathrm{\λ}}_2{\left|\right|{\mathrm{DP}}^{*}\left(a\right)a\left|\right|}_k^k],$

式中，P^*(a)=diag[exp(-j·φ(a_i))]为对角矩阵，[]^*表示矩阵的共轭操作；

（6c）求解改写之后目标方程代价函数的共轭梯度

${\▿}_{a^{*}}\left(a\right)=H\left(a\right)a-T^{H}s,$

其中，H(a)为代价函数的共轭梯度

的系数矩阵，

$H\left(a\right)=T^{H}T+\frac{{\mathrm{k\λ}}_1}{2}{\mathrm{\Λ}}_1\left(a\right)+\frac{{\mathrm{k\λ}}_2}{2}{P}^T\left(a\right)D^H{\mathrm{\Λ}}_2\left(a\right){\mathrm{DP}}^{*}\left(a\right),$ 式中 ${\mathrm{\Λ}}_1\left(a\right)=\mathrm{diag}\left[\frac{1}{{({\left|a_i\right|}^2+\mathrm{\δ})}^{1-k/2}}\right],$ ${\mathrm{\Λ}}_2\left(a\right)=\mathrm{diag}\left[\frac{1}{{({\left|{\left(D\right|a\left|\right)}_i\right|}^2+\mathrm{\δ})}^{1-k/2}}\right];$

（6d）采用共轭梯度中的H(a)为近似的Hessian矩阵，利用拟牛顿的方法求解目标函数，在迭代求解过程中利用

代替P，得到a的迭代表达式为：

${\hat{a}}_{g+1}={\hat{a}}_g-\mathrm{\γ}{\left[H\left({\hat{a}}_g\right)\right]}^{-1}{\▿}_{{\hat{a}}_g^{*}}\left({\hat{a}}_g\right),$

其中，γ为迭代步长因子；

和

分别为第g次和g+1次迭代中a的估计值，

为将

代入代价函数的共轭梯度

所得到的值，

为将

代入共轭梯度的系数矩阵H(a)所得到的值；

（6e）将代价函数的共轭梯度矩阵

代入步骤（6d）中a的迭代表达式，并化简，得到下式：

$H\left({\hat{a}}_g\right){\hat{a}}_{g+1}=(1-\mathrm{\γ})H\left({\hat{a}}_g\right){\hat{a}}_g+{\mathrm{\γT}}^{H}s,$

对上式循环的执行迭代，直至满足如下迭代终止条件：

${|{\hat{a}}_{g+1}-{\hat{a}}_g|}_2/{\left|{\hat{a}}_g\right|}_2<\mathrm{\&rho;},$

其中，ρ是预先设置的迭代终止门限，迭代终止时所得到的重构信号

即为本发明的成像结果，其中，g′为迭代终止时的迭代次数。

以下通过点目标仿真成像实验及实测数据仿真成像实验，进一步说明本发明的有效性。

1.仿真参数：

仿真采用图3所示的原始场景和图5所示的基准场景，其中：

图3所示的原始场景中心放置9个点为目标，点目标排列为距离向3行，间距为8m，方位向3列，间距为4m，发射阵列的阵元分布满足瑞利分布，仿真参数如表1所示；

图5所示的基准场景，是利用传统SAR成像算法对实测数据处理所得到的聚焦良好的SAR图像作为仿真的基准场景，仿真参数如表一所示。

表1：仿真参数

系统参数	数值	系统参数	数值
				波长λ	0.008m	载机高度	1000m
发射信号带宽	60MHz	发射天线阵元个数	64
				采样频率	72MHz	发射天线阵元间距	0.004m
脉冲重复周期	1500Hz	接收天线阵元个数	128
				前视下视角度	60°	接收天线阵元间距	0.016m

2.仿真内容：

仿真1：将图3场景中的目标通过传统的成像算法和本发明提出的成像算法进行仿真成像，成像结果如图4所示，其中图4（a）为传统算法的成像结果，图4（b）为本发明算法的成像结果；

仿真2：用本发明方法对图5的基准场景进行仿真成像，成像结果如图6所示。

3.仿真结果分析：

从图4可以看出，传统成像算法无法将方位向的各个目标点分开，而本发明提出的超分辨成像处理，其方位向的几个点目标均可被区分开，且目标散射系数的幅度基本保持一致。

从图5和图6可以看出本发明方法不仅可提高前视SAR成像的分辨率，而且可有效增强目标的边缘特征。

Claims (3)

1.一种基于稀疏表征的前视阵列SAR超分辨成像方法，包括如下步骤：

（1）按照双基模式接收合成孔径雷达SAR的回波信号，并按单基模式对该回波信号进行修改；

（2）对修改后的回波信号在距离时域做傅里叶变换，并对变换后的信号进行距离维脉冲压缩处理；

（3）对距离维脉冲压缩处理后的信号进行方位维解线频调处理；

（4）将方位维解线频调处理后的信号按同一距离单元重新排列为矩阵的形式，即：

其中，s表示按照同一距离单元重新排列的回波信号，s(m,k)为第m个距离单元在第k个脉冲的回波信号，1≤m≤M,1≤k≤N₂；a表示需要重构的SAR图像，a(m,l)为第m个距离单元在第l个脉冲的重构SAR图像，1≤l≤N₁,N₁和N₂分别为重构信号和回波信号的脉冲总数；n为观测噪声矩阵，T为观测矩阵，

为部分傅里叶变换矩阵，维数为N₂×N₁，且N₂＜N₁；

（5）利用观测场景的稀疏先验信息和成像目标边缘特征的稀疏特性，通过最大后验概率估计对重新排列后的矩阵式构建目标方程，即：

$\hat{a}=\arg \min [{\left|\right|s-\mathrm{Ta}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left|\right|a\left|\right|}_k^k+{\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|\right|D\left|a\right|\left|\right|}_k^k]$

其中，D为二维导数算子，其分为距离维和方位维两个部分；式中第一项为观测误差，第二项为目标信号的稀疏约束，第三项是区域特征；λ₁和λ₂分别为两个数值不同的常数，用于平衡上述三项之间的关系；

（6）通过基于更新的Hessian矩阵的拟牛顿算法，对建立的目标方程进行求解，得到在各距离单元各脉冲的SAR重构信号。

2.根据权利要求1中所述的基于稀疏表征的前视阵列SAR超分辨成像方法，其中所述步骤（5）中的目标方程，按如下步骤构建：

（5a）验证本系统中观测场景的稀疏性,对方位维解线调频处理后的回波数据进行方位维傅里叶变换，得到粗分辨的扫描SAR场景；

（5b）基于上述观测场景和成像目标边缘特征的稀疏特性，得到目标方程中关于稀疏特性的约束条件

（5c）对需要重构的SAR图像数据a在距离维和方位维求二阶导数D|a|，并将其作为目标函数中的另一个约束条件来进行区域增强处理；

（5d）根据最大后验概率估计，得出目标方程：

$\hat{a}=\arg \min [{\left|\right|s-\mathrm{Ta}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left|\right|a\left|\right|}_k^k+{\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|\right|D\left|a\right|\left|\right|}_k^k],$

其中，λ₁和λ₂分别为两个数值不同的常数，用于平衡两个约束条件和观测误差三者之间关系，其数值通过参数估计方法计算得到。

3.根据权利要求1中所述的基于稀疏表征的前视阵列SAR超分辨成像方法，其中所述步骤（6）所述的通过基于更新的Hessian矩阵的拟牛顿算法，对建立的目标方程进行求解，按如下步骤进行：

（6a）利用如下公式对构建的目标方程中的两个约束条件近似，以避免l_k-范数在零处不可导问题，k≤1：

$\left\{\begin{array}{c}{\left|\right|a\left|\right|}_k^k\&ap;\underset{i=1}{\overset{M\&CenterDot;N_1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{({\left|a_i\right|}^2+\mathrm{\&delta;})}^{k/2}\\ {\left|\right|D\left|a\right|\left|\right|}_k^k\&ap;\underset{i=1}{\overset{M\&CenterDot;N_1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{({\left|{\left(D\right|a\left|\right)}_i\right|}^2+\mathrm{\&delta;})}^{k/2}\end{array}\right.,$

其中，δ是一个很小的正常数，其取值为1×10^-5；

（6b）将目标方程改写为下式：

$\hat{a}=\arg \min [{\left|\right|s-\mathrm{Ta}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left|\right|a\left|\right|}_k^k+{\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|\right|{\mathrm{DP}}^{*}\left(a\right)a\left|\right|}_k^k],$

其中，P^*(a)=diag[exp(-j·φ(a_i))]为对角矩阵，[]^*表示矩阵的共轭操作；

（6c）求解改写之后目标方程代价函数的共轭梯度

${\&dtri;}_{a^{*}}\left(a\right)=H\left(a\right)a-T^{H}s,$

其中，H(a)为代价函数的共轭梯度

的系数矩阵, $H\left(a\right)=T^{H}T+\frac{{\mathrm{k\&lambda;}}_1}{2}{\mathrm{\&Lambda;}}_1\left(a\right)+\frac{{\mathrm{k\&lambda;}}_2}{2}{P}^T\left(a\right)D^H{\mathrm{\&Lambda;}}_2\left(a\right){\mathrm{DP}}^{*}\left(a\right),{\mathrm{\&Lambda;}}_1\left(a\right)=\mathrm{diag}\left[\frac{1}{{({\left|a_i\right|}^2+\mathrm{\&delta;})}^{1-k/2}}\right],$ ${\mathrm{\&Lambda;}}_1\left(a\right)=\mathrm{diag}\left[\frac{1}{{({\left|a_i\right|}^2+\mathrm{\&delta;})}^{1-k/2}}\right];$

（6d）采用共轭梯度

中的H(a)为近似的Hessian矩阵，利用拟牛顿的方法求解目标函数，在迭代求解过程中利用

代替P，得到a的迭代表达式为：

${\hat{a}}_{g+1}={\hat{a}}_g-\mathrm{\&gamma;}{\left[H\left({\hat{a}}_g\right)\right]}^{-1}{\&dtri;}_{{\hat{a}}_g^{*}}\left({\hat{a}}_g\right),$

其中，γ为迭代步长因子；

和

分别为第g次和g+1次迭代中a的估计值，

为将

代入代价函数的共轭梯度

所得到的值，

为将代入共轭梯度的系数矩阵H(a)所得到的值；

（6e）将代价函数的共轭梯度矩阵

代入步骤（6d）中a的迭代表达式，并化简，得到下式：

$H\left({\hat{a}}_g\right){\hat{a}}_{g+1}=(1-\mathrm{\&gamma;})H\left({\hat{a}}_g\right){\hat{a}}_g+{\mathrm{\&gamma;T}}^{H}s,$

对上式循环的执行迭代，直至满足如下迭代终止条件：

${|{\hat{a}}_{g+1}-{\hat{a}}_g|}_2/{\left|{\hat{a}}_g\right|}_2<\mathrm{\&rho;},$

迭代终止时所得到的

就是所要求的SAR重构信号a，其中g′为迭代终止时的迭代次数，ρ是预先设置的迭代终止门限。

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