CN103826298A - 一种协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法，利用节点间距离的相互约束关系，以代数计算方法精确定位未知节点坐标。对于二维或三维平面上的无线传感器网络节点，包含有已知位置的信标节点和未知位置的未知节点，先采用已知位置的信标节点定位未知节点坐标；将被定位的未知节点作为伪信标节点定位其余未知节点；采用最大数量的邻接信标节点和伪信标节点改进第二步的初始定位结果；协作式迭代优化第三步定位结果，得到最终的所有未知节点的坐标。该定位计算方法将复杂的定位计算过程进行分解，将计算过程分配于各个节点上，实现分布式定位计算。仿真结果表明，该定位计算方法所得的定位结果收敛，稳定可靠，定位精度高。

Description

一种协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法

技术领域

本发明属于无线传感器网络定位技术领域，涉及基于协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法。

背景技术

无线传感器网络是通过将大量具有传感器单元、数据处理单元及通信模块的微小智能节点密集地散布在感知区域，节点间以自组织方式构成的无线通信网络。无线传感器网络能够实时监测、感知和采集网络分布区域内的各种环境或监测对象的信息，并对这些信息进行处理，从而为远程用户提供详尽而准确的信息。采用无线传感器网络进行信息收集和处理，这些数据必须和位置信息相结合才有意义，甚至有时需要传感器节点发回单纯的位置信息。

GPS系统利用精确的同步卫星时钟提供实时测距以对用户节点进行定位，具有定位精度高、实时性好、抗干扰能力强等优点。但是GPS定位仅仅适应于无遮挡的室外环境，其用户设备通常能耗高、体积大、成本高，需要固定的基础硬件设施等，这使得它不适用于大规模环境下的无线传感器网络定位。这种方法的局限性激发了一种低成本的无线传感器网络定位方法，即利用已知位置坐标的信标节点（其位置坐标可通过GPS或人工测量方式获取）去推算其余未知节点位置坐标。在这种方法中，把已知位置坐标的节点称为信标节点，采用信标节点去推算其余未知节点位置坐标时，需要未知节点与信标节点间的某些参数值，比如，距离或者角度信息。

在上述定位方法中，如何在计算能力、存储能力、能量受限的无线传感器网络节点上进行定位计算，达到低成本、高精度的定位目标，一直是无线传感器网络定位领域重点解决的问题。在大规模无线传感器网络部署中，信标节点的数量有有限，DV-Hop算法的核心思想是估计未知节点与非相邻的信标节点间的距离，利用平均每跳距离与最短跳数的乘积表示节点间的近似距离。APIT定位方法是通过测试未知节点是否位于三个信标节点所组成的三角形内，并使用不同信标节点组合所形成的三角形重复测试，直到所有三角形组合测试完毕，将所有包含未知节点所有三角形的交集质心作为待定位未知节点的坐标。质心定位算法是将与未知节点相邻的所有信标节点的坐标质心来估计节点位置。DV-Hop算法、质心算法、APIT算法等轻量级的定位算法，计算过程简单，易于实现分布式定位计算，但定位精度不够高。基于先验统计信息的最大可能性（ML）估计方法能达到定位结果的CRLB下界，定位精度较高，但ML估计方法为非线性问题，其精确的求解过程只能通过数值方法求解，计算过程也较复杂，并且容易产生奇异解。为提高定位精度，也有研究将定位模型归结为数学优化问题，如将定位问题放松为半正定规划（SDP）优化问题，SDP算法能实现全局优化，定位精度也较高，但计算复杂度较高，难以实现分布式定位计算，并且对于网络局部测距信息的变化不敏感，并要求收集网络全部信息，因此通信代价很高、可扩展性弱。

发明内容

本发明的目的在于针对资源受限的无线传感器网络节点定位实现问题，提出一种新的定位代数计算方法。该代数计算方法以节点间的测距模型为研究对象，针对全局距离约束下的定位问题，提出精确的定位代数计算方法。该方法直接以代数解形式表示了定位结果，减少了计算复杂度。

本发明同时利用节点间距离的相互约束关系，在已有初始定位结果基础上，通过节点间的不断协作式迭代优化，达到单个节点上定位结果的最优解。同时将复杂的定位计算过程进行分解，并将分解后的计算过程分配于各个节点上，实现分布式定位计算，尤其适合于规模化无线传感器网络的定位过程。

为实现上述目的，本发明提出一种基于协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法，具体为：直接采用信标节点定位未知节点坐标；将被定位的未知节点作为伪信标节点定位其余未知节点；采用尽最大数量的邻接信标节点和伪信标节点改进第二步的定位结果；节点间协作式迭代优化第三步的定位结果。

本发明的技术方案为：

步骤1：直接采用已知位置的信标节点定位未知节点坐标；

步骤2：将被定位的未知节点作为伪信标节点定位其余未被定位的未知节点；

步骤3：采用最大数量的邻接信标节点和伪信标节点改进步骤2的定位结果；

步骤4：节点间协作式迭代优化步骤3的定位结果。

本发明的技术特点还在于步骤1采用信标节点或步骤2伪信标节点定位未知节点坐标值时，以精确的代数方法表示未知节点坐标，达到定位结果的无偏估计值。步骤4节点间的不断协作式迭代优化直至定位结果保持稳定，达到单个节点定位结果的最优值。

步骤1的计算过程为：

坐标平面上分布着N个无线传感器网络节点，假设序号为1,2,…,M的M个节点为坐标位置已知的信标节点，其余序号为M+1,M+2,…,N的N-M个节点为待定位的未知节点，为确定未知节点位置坐标，未知节点i与其邻接的节点j间的实际测量距离d_ij与真实节点间距离满足 $d_{\mathrm{ij}}^o=d_{\mathrm{ij}}+\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}},i=M+1,M+2,\·\·\·,N,j=\mathrm{1,2},\·\·\·,N,$ 并且i＞j，Δd_ij为节点间的测距误差。假设节点i、j的真实坐标位置分别为

则有关系式

$d_{\mathrm{ij}}^o=d_{\mathrm{ij}}+\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}={\left|\right|x_i^o-x_j^o\left|\right|}_2---\left(1\right)$

式（1）中下角标2代表2-范数，假设节点间的测距误差Δd_ij各自独立，并且Δd_ij服从均值为0，方差为

的高斯分布，记为

如果节点间距离可直接测量，称节点间是邻接的，若未知节点至少有三个以上的邻接信标节点，该未知节点可以被直接定位，假设单个未知节点i坐标列向量为x_i＝[x_i y_i]^T，与该未知节点i邻接的m个信标节点的真实位置坐标为列向量 $x_j^o={\left[\begin{array}{cc}{x}_j^o& y_j^o\end{array}\right]}^T,$ j＝1,…,m，将式（1）转化为以下关系式

$\sqrt{{(x_i-x_j^o)}^2+{(y_i-y_j^o)}^2}=d_{\mathrm{ij}}+\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}---\left(2\right)$

式（2）中测距误差Δd_ij服从均值为0，方差为

的高斯分布，即

将式（2）中的每个方程式等式两边平方，忽略测距误差的二次项，考虑信标节点的位置坐标是不存在误差的，有即

及

亦可以得到方程式（2）的另一种表示

$-x_j{x}_i-y_j{y}_i+0.5(x_i^2+y_i^2)=0.5(d_{\mathrm{ij}}^2-x_j^2-y_j^2)+d_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}---\left(3\right)$

令列向量参数 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T,$ （z_i为3×1向量）；矩阵A的行向量值为[-x_j -y_j 0.5]，j＝1,…,m，（A为m×3矩阵）；列向量b、α的行元素值分别为

（b、α为m×1向量），则可将式（3）写成矩阵的线性表达式

Az_i＝b+α  （4）

根据线性最小二乘平方原理，向量z_i的无偏估计值为

z_i＝(A^TW_αA)^-1A^TW_αb  （5）

式（5）中，W_α为最小平方权重系数，其值为

$W_{\mathrm{\α}}=E{\left({\mathrm{\α}}^T\mathrm{\α}\right)}^{-1}=\mathrm{diag}{\left\{d_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}^2\right\}}^{-1}---\left(6\right)$

将向量z_i的估计误差记为Δz_i（Δz_i亦为3×1向量），则有关系式

Δz_i＝(A^TW_αA)^-1A^TW_αα  （7）

则估计误差Δz_i的协方差为

cov(Δz_i)＝(A^TW_αA)^-1  （8）

这里cov(Δz_i)为3×3矩阵，式（5）表示了未知节点i的位置坐标近似值，可利用向量 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T$ 元素间的相互约束关系进一步计算其位置坐标的精确值，则有以下关系式

$\left\{\begin{array}{c}{x}_i^2={[z_i\left(1\right)+\mathrm{\Δ}{z}_i\left(1\right)]}^2\≈z_i{\left(1\right)}^2+2z_i\left(1\right)\mathrm{\Δ}{z}_i\left(1\right)\\ y_i^2={[z_i\left(2\right)+\mathrm{\Δ}{z}_i\left(2\right)]}^2\≈z_i{\left(2\right)}^2+2z_i\left(2\right)\mathrm{\Δ}{z}_i\left(2\right)\\ x_i^2+y_i^2=z_i\left(3\right)+\mathrm{\Δ}{z}_i\left(3\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

式（9）中z_i(k)、Δz_i(k)表示了向量z_i、Δz_i的第k个元素，k＝1,2,3。将式（9）表示为线性矩阵形式

Gu_i＝h+β  （10）

式（10）中h＝[z_i(1)² z_i(2)² z_i(3)]^T（h为3×1向量）， $u_i={\left[\begin{array}{cc}{x}_i^2& y_i^2\end{array}\right]}^T$ （u_i为2×1向量），β＝LΔz_i（β为3×1向量），

$G={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]}^T$ （G为3×2矩阵），L＝diag{2z_i(1) 2z_i(2) 1}（L为3×3对角矩阵），

根据线性最小二乘平方原理，向量u_i的无偏估计值为

u_i＝(G^TW_βG)^-1G^TW_βh  （11）

式(11)中，

W_β＝E(β^Tβ)^-1＝[L^Tcov(Δz_i)L]^-1＝L^-1A^TW_αAL^-1  （12）

式（12）中W_β为3×3矩阵，将向量u_i的估计误差记为Δu_i，则有关系式

Δu_i＝(G^TW_βG)^-1G^TW_ββ  （13）

则估计误差Δu_i的协方差为

cov(Δu_i)＝(G^TW_βG)^-1  （14）

这里cov(Δu_i)为2×2矩阵。由于 $u_i={\left[\begin{array}{cc}{x}_i^2& y_i^2\end{array}\right]}^T,$ 则未知节点坐标x_i的估计值

为

$x_i^e=\mathrm{sign}\left(\mathrm{diag}\left(z(1:2)\right)\right){\sqrt{u}}_i---\left(15\right)$

sign表示符号函数，当diag(z(1:2))元素值大于等于零时，值为1；当diag(z(1:2))元素值小于零时，值为-1，根据u_i和之间的关系，

的估计误差

与u_i的估计误差Δu_i之间有关系式

$\mathrm{\Δ}{x}_i^e=\mathrm{U\Δ}{u}_i---\left(16\right)$

式（16）中，U＝diag{0.5u_i(1)^-0.5 0.5u_i(2)^-0.5}，由式（13）将估计误差

进一步表示为

$\mathrm{\Δ}{x}_i^e=U{\left(G^T{W}_{\mathrm{\β}}G\right)}^{-1}{G}^T{W}_{\mathrm{\β}}\mathrm{L\Δ}{z}_i=\mathrm{F\Δ}{z}_i---\left(17\right)$

式（17）中F＝U(G^TW_βG)^-1G^TW_βL，则估计误差

的方差可以表示为

$\mathrm{cov}\left({\mathrm{\Δx}}_i^e\right)=F^T\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{z}_i\right)F=F^T{\left(A^T{W}_{\mathrm{\α}}A\right)}^{-1}F---\left(18\right)$

式（15）精确了表示了未知节点坐标位置x_i的估计值就是该步骤直接由信标节点定位出的未知节点坐标，并且其估计误差

的方差可由式（18）计算。

步骤2的计算过程为：

若与未知节点直接邻接的信标节点数量不够三个，但与未知节点邻接的信标节点和伪信标节点总数达到三个以上，则该未知节点可也以被间接定位出来。将被定位的未知节点作为伪信标节点时，伪信标节点的位置坐标是存在误差的，假设伪信标节点的真实位置坐标为 $x_j^o={\left[\begin{array}{cc}{x}_j^o& y_j^o\end{array}\right]}^T,$ 其位置坐标误差为Δx_j＝[Δx_j Δy_j]^T，则有关系式 $x_j=x_j^o+\mathrm{\Δ}{x}_j,$ 即 $x_j=x_j^o+\mathrm{\Δ}{x}_j$ 及 $y_j=y_j^o+\mathrm{\Δ}{y}_j$ 代入式（2）有下列关系式，

$\begin{array}{c}-x_j{x}_i-y_j{y}_i+0.5(x_i^2+y_i^2)=0.5(d_{\mathrm{ij}}^2-x_j^2-y_j^2)+\\ (x_j-x_i)\mathrm{\Δ}{x}_j+(y_j-y_i)\mathrm{\Δ}{y}_j+d_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}\end{array}---\left(19\right)$

同样令 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T,$ 矩阵A的行向量值为[-x_j -y_j 0.5]，j＝1,…,m，A为m×3矩阵，列向量b、γ的行元素值分别为

[(x_j-x_i)Δx_j+(y_j-y_i)Δy_j+d_ijΔd_ij]，b、γ为m×1向量，则可将式（19）写成矩阵的线性表达式

Az_i＝b+γ  （20）

则z_i的无偏估计值为

z_i＝(A^TW_γA)^-1A^TW_γb  （21）

式（21）中，W_γ其值应为

$W_{\mathrm{\γ}}=E{\left({\mathrm{\γ}}^T\mathrm{\γ}\right)}^{-1}=\mathrm{diag}{\{C_{\mathrm{ij}}\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{x}_j\right)C_{\mathrm{ij}}^T+d_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}^2\}}^{-1}---\left(22\right)$

j＝1,…,m，W_γ为m×m对角矩阵，式（22）中，C_ij＝[x_j -x_i y_j-y_i]，由于在计算权重系数W_γ时，需要已知未知节点坐标值x_i＝(x_i,y_i)。可预先设置W_γ为m×m单位矩阵，近似地求解未知节点坐标值x_i，并以此计算C_ij，代入式（22）计算W_γ，再以式（21）进一步精确计算参数z_i，根据式（7～18），同样利用向量 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T$ 元素间的相互约束关系可计算其位置坐标的精确值及估计位置坐标误差的方差，根据式（15）、（16）进一步计算精确估计值即为该步骤由结果伪信标节点定位出的未知节点坐标（与步骤1的不同之处在于权重系数W_γ的取值不同，该步骤考虑了伪信标节点的位置坐标误差对权重系数W_γ的影响），

的位置坐标误差的协方差表示为

$\mathrm{cov}\left({\mathrm{\Δx}}_i^e\right)=F^T\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{z}_i\right)F=F^T{\left(A^T{W}_{\mathrm{\γ}}A\right)}^{-1}F---\left(23\right)$

步骤3的计算过程为：

当网络中所有可被定位的未知节点坐标位置被确定后，未知节点也可以作为伪信标节点，重新优化已有的初始位置坐标。假设通过步骤1和步骤2后未知节点i的初始位置坐标估计值为

而采用最大数量的邻接信标节点和伪信标节点改进后位置坐标的向量增量为 $\mathrm{\Δ}{x}_i^p={\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{x}_i^p& \mathrm{\Δ}{y}_i^p\end{array}\right]}^T,$ 则有 $x_i=x_i^e+\mathrm{\Δ}{x}_i^p,$ 即 $x_i=x_i^e+\mathrm{\Δ}{x}_i^p$ 及

代入式（19），则有

$\begin{array}{c}(x_i^e-x_j)\mathrm{\Δ}{x}_i^p+(y_i^e-y_j)\mathrm{\Δ}{y}_i^p=0.5(d_{\mathrm{ij}}^2-x_j^2-y_j^2-x_i^{e2}-y_i^{e2})+\\ x_j{x}_i^e+y_j{y}_i^e+(x_j-x_i^e)\mathrm{\Δ}{x}_j+(y_j-y_i^e)\mathrm{\Δ}{y}_j+d_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}\end{array}---\left(24\right)$

假设未知节点i共有n个（一般来说，要求n≥m）邻接信标节点和伪信标节点，矩阵J的行向量为 $\left[\begin{array}{cc}{x}_i^e-x_j& y_i^e-y_j\end{array}\right],j=\mathrm{1,2},\·\·\·,n$ （J为n×2矩阵）；向量ρ及ε的元素值为

（ρ、ε为n×1向量），则也可将式（24）写成矩阵的线性表达式

$\mathrm{J\Δ}{x}_i^p=\mathrm{\ρ}+\mathrm{\ϵ}---\left(25\right)$

被优化的位置坐标增量

的无偏估计值为

$\mathrm{\Δ}{x}_i^p={\left(J^T{W}_{\mathrm{\ϵ}}J\right)}^{-1}{J}^T{W}_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{\ρ}---\left(26\right)$

式（26）中W_ε为n×n矩阵，其值应为

$W_{\mathrm{\ϵ}}=E{\left({\mathrm{\ϵ}}^T\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}=\mathrm{diag}{\{C_{\mathrm{ij}}^e\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{x}_j\right)C_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{eT}}+d_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}^2\}}^{-1}---\left(27\right)$

式（27）中， $C_{\mathrm{ij}}^e=\left[\begin{array}{cc}{x}_j-x_i^e& y_j-y_i^e\end{array}\right],j=\mathrm{1,2},\·\·\·,n.$ 则被优化后的未知节点位置坐标为

$x_i^p=x_i^e+\mathrm{\Δ}{x}_i^p---\left(28\right)$

步骤4的计算过程为：

将步骤3中的通过式（28）获取的节点定位结果作为伪信标节点位置坐标，重新定位网络中所有未知节点，即所有未知节点位置坐标被重新优化一次，称为一次协作式迭代优化过程。当网络中所有节点重新优化后，将优化后具有更准确位置坐标的定位结果作为伪信标节点位置坐标，又一次重新定位和优化网络中所有未知节点，这个过程称为二次协作式迭代优化过程。这样协作式迭代定位过程一次又一次地不断更新，直至定位结果保持稳定，不能再改进。

附图说明

图1为节点的位置坐标分布图；

图2为直接由信标节点定位的未知节点位置分布图；

图3为由伪信标节点定位的未知节点位置分布图；

图4为采用尽可能多的伪信标节点定位的未知节点位置分布图；

图5为蒙特卡罗测试下未知节点的平均RMS定位误差比较图；

图6为五次协作式迭代优化后的未知节点位置分布图；

图7为蒙特卡罗测试下未知节点的平均RMS定位误差比较图；

图8不同迭代次数下未知节点的平均RMS定位误差变化规律。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明方法可用在二维或三维面上，在二维平面上（三维平面的分析方法与二维平面分析方法相同），坐标平面上分布着N个无线传感器网络节点。不失一般性，假设序号为1,2,…,M的M个节点为坐标位置已知的信标节点，其余序号为M+1,M+2,…,N的N-M个节点为待定位的未知节点。为确定未知节点位置坐标，未知节点i与其邻接的节点j间的实际测量距离d_ij与真实节点间距离

满足 $d_{\mathrm{ij}}^o=d_{\mathrm{ij}}+\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}},i=M+1,M+2,\·\·\·,N,j=\mathrm{1,2},\·\·\·,N,$ 并且i＞j，Δd_ij为节点间的测距误差。假设节点i、j的真实坐标位置分别为则有关系式

$d_{\mathrm{ij}}^o=d_{\mathrm{ij}}+\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}={\left|\right|x_i^o-x_j^o\left|\right|}_2---\left(1\right)$

式（1）中下角标2代表2-范数，假设节点间的测距误差Δd_ij各自独立，并且Δd_ij服从均值为0，方差为

的高斯分布，记为

对于任意未知节点i，并不是与所有节点j＝1,2,…,N都是可测距的，只有部分与其邻接的节点是可测距的。定位计算的目标是通过尽可能地利用所有的节点间距离测量值，以尽可能地精确定位未知节点坐标。

由于节点被定位需满足可定位条件，所以规模化无线传感器网络中大部分节点不能直接被信标节点定位，而必须采用被定位出的未知节点（将被定位的未知节点当作信标节点时，该节点也被称为伪信标节点）位置坐标定位其余未知节点。图1说明无线传感器网络中的协作式迭代定位过程，该图中节点1～8为信标节点，其位置坐标为已知的精确值，节点9～20为待定位未知节点，节点间的连接直线代表了节点间的连通性，其直线长度代表了节点间的测量距离。也就是说没有直线连接表示两个节点间没有连通性，不能被测距。在二维平面上，定位未知节点至少需要三个邻接信标节点（邻接含义即为可直接被测距），因此图1中大多数待定位未知节点都能被信标节点直接定位，而未知节点9、10、15由于缺少足够数量的邻接信标节点而不能被信标节点直接定位。由于节点9、10、15与节点11、16间的距离是可测量的，所以当未知节点11、16被定位后被当作伪信标节点可进一步定位未知节点9、10、15，从而网络中所有的未知节点都被定位。当未知节点9、10、15的坐标位置被确定后，节点9、10、15的位置坐标可以用来重新优化节点11、16的位置坐标，从而优化网络中所有与之邻接的节点坐标位置。当11、16的位置坐标被优化后，其被优化后的具有更精确位置坐标的节点11、16也可以用来重新优化节点9、10、15的位置坐标。如此交互循环，网络中所有节点的位置坐标不断被迭代优化，此过程被称为协作式迭代优化定位过程。协作式迭代优化定位的实现步骤：定位过程可以分成以下四个步骤来完成：

步骤1：直接采用已知位置的信标节点定位未知节点坐标。

如果节点间距离可直接测量，称节点间是邻接的。若未知节点至少有三个以上的邻接信标节点，该未知节点可以被直接定位。假设单一未知节点i坐标列向量为x_i＝[x_i y_i]^T，(这里T表示转置矩阵，下同），与该未知节点i邻接的m个信标节点的真实位置坐标为列向量 $x_j^o={\left[\begin{array}{cc}{x}_j^o& y_j^o\end{array}\right]}^T,j=1,\·\·\·,m.$ 将式（1）转化为以下关系式

$\sqrt{{(x_i-x_j^o)}^2+{(y_i-y_j^o)}^2}=d_{\mathrm{ij}}+\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}---\left(2\right)$

式（2）中测距误差Δd_ij服从均值为0，方差为的高斯分布，即将式（2）中的每个方程式等式两边平方，忽略测距误差的二次项，考虑信标节点的位置坐标是不存在误差的，有

即

及

亦可以得到方程式（2）的另一种表示

$-x_j{x}_i-y_j{y}_i+0.5(x_i^2+y_i^2)=0.5(d_{\mathrm{ij}}^2-x_j^2-y_j^2)+d_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}---\left(3\right)$

令列向量参数 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T,$ （z_i为3×1向量）；矩阵A的行向量值为[-x_j -y_j0.5]，j＝1,…,m，（A为m×3矩阵）；列向量b、α的行元素值分别为（b、α为m×1向量），则可将式（3）写成矩阵的线性表达式

Az_i＝b+α  （4）

根据线性最小二乘平方原理，向量z_i的无偏估计值为

z_i＝(A^TW_αA)^-1A^TW_αb  （5）

式（5）中，W_α为最小平方权重系数，其值为

$W_{\mathrm{\α}}=E{\left({\mathrm{\α}}^T\mathrm{\α}\right)}^{-1}=\mathrm{diag}{\left\{d_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}^2\right\}}^{-1}---\left(6\right)$

（W_α为m×m矩阵，这里diag表示由

作为对角元素构成的对角矩阵，E表示求期望值，-1表示逆矩阵，m就是指m个信标节点，下同）

将向量z_i的估计误差记为Δz_i（Δz_i亦为3×1向量），则有关系式

Δz_i＝(A^TW_αA)^-1A^TW_αα  （7）

则估计误差Δz_i的协方差为

cov(Δz_i)＝(A^TW_αA)^-1  （8）

这里cov(Δz_i)为3×3矩阵。式（5）表示了未知节点i的位置坐标近似值，可利用向量 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T$ 元素间的相互约束关系计算其位置坐标的精确值，则有以下关系式

$\left\{\begin{array}{c}{x}_i^2={[z_i\left(1\right)+\mathrm{\Δ}{z}_i\left(1\right)]}^2\≈z_i{\left(1\right)}^2+2z_i\left(1\right)\mathrm{\Δ}{z}_i\left(1\right)\\ y_i^2={[z_i\left(2\right)+\mathrm{\Δ}{z}_i\left(2\right)]}^2\≈z_i{\left(2\right)}^2+2z_i\left(2\right)\mathrm{\Δ}{z}_i\left(2\right)\\ x_i^2+y_i^2=z_i\left(3\right)+\mathrm{\Δ}{z}_i\left(3\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

式（9）中z_i(k)、Δz_i(k)表示了向量z_i、Δz_i的第k个元素，k＝1,2,3。将式（9）表示为线性矩阵形式

Gu_i＝h+β  （10）

式（10）中h＝[z_i(1)² z_i(2)² z_i(3)]^T（h为3×1向量）， $u_i={\left[\begin{array}{cc}{x}_i^2& y_i^2\end{array}\right]}^T$ （u_i为2×1向量），β＝LΔz_i（β为3×1向量），

$G={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]}^T$ （G为3×2矩阵），L＝diag{2z_i(1) 2z_i(2) 1}（L为3×3对角矩阵）。

根据线性最小二乘平方原理，向量u_i的无偏估计值为

u_i＝(G^TW_βG)^-1G^TW_βh  （11）

式(11)中，

W_β＝E(β^Tβ)^-1＝[L^Tcov(Δz_i)L]^-1＝L^-1A^TW_αAL^-1  （12）

式（12）中W_β为3×3矩阵，将向量u_i的估计误差记为Δu_i（Δu_i亦为2×1向量），则有关系式

Δu_i＝(G^TW_βG)^-1G^TW_ββ  （13）

则估计误差Δu_i的协方差为：

cov(Δu_i)＝(G^TW_βG)^-1  （14）

这里cov(Δu_i)为2×2矩阵。由于 $u_i={\left[\begin{array}{cc}{x}_i^2& y_i^2\end{array}\right]}^T,$ 则未知节点坐标x_i的估计值

为：

$x_i^e=\mathrm{sign}\left(\mathrm{diag}\left(z(1:2)\right)\right){\sqrt{u}}_i---\left(15\right)$

（这里sign表示符号函数，当diag(z(1:2))元素值大于等于零时，值为1；当diag(z(1:2))元素值小于零时，值为-1）根据u_i和

之间的关系，的估计误差

与u_i的估计误差Δu_i之间有关系式

$\mathrm{\Δ}{x}_i^e=\mathrm{U\Δ}{u}_i---\left(16\right)$

式（16）中，U＝diag{0.5u_i(1)^-0.5 0.5u_i(2)^-0.5}，由式（13）将估计误差

进一步表示为

$\mathrm{\Δ}{x}_i^e=U{\left(G^T{W}_{\mathrm{\β}}G\right)}^{-1}{G}^T{W}_{\mathrm{\β}}\mathrm{L\Δ}{z}_i=\mathrm{F\Δ}{z}_i---\left(17\right)$

式（17）中F＝U(G^TW_βG)^-1G^TW_βL，则估计误差

的方差可以表示为

$\mathrm{cov}=\left({\mathrm{\Δx}}_i^e\right)=F^T\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{z}_i\right)F=F^T{\left(A^T{W}_{\mathrm{\α}}A\right)}^{-1}F---\left(18\right)$

式（15）精确了表示了未知节点坐标位置x_i的估计值

就是该步骤直接由信标节点定位出的未知节点坐标，并且其估计误差

的方差可由式（18）计算。图1中除未知节点9、10和15以外的所有未知节点都具有三个以上直接邻接的信标节点，因此这些未知节点的位置坐标都可以在此步定位过程中被确定。当节点设置为图1所示位置时，实验测试了上述计算方法下的定位结果。假设所有节点间测距误差服从均值为零，方差为5²的高斯分布，即Δd_ij∈N(0,5²)，随机选择一组测距误差，图2画出了除未知节点9、10和15以外的所有未知节点被确定的位置坐标。

步骤2：将被定位的未知节点作为伪信标节点定位其余未被定位的未知节点：

若与未知节点直接邻接的信标节点数量不够三个，但与未知节点邻接的信标节点和伪信标节点总数达到三个以上，则该未知节点可也以被间接定位出来。将被定位的未知节点作为伪信标节点时，伪信标节点的位置坐标是存在误差的。假设伪信标节点的真实位置坐标为 $x_j^o={\left[\begin{array}{cc}{x}_j^o& y_j^o\end{array}\right]}^T,$ 其位置坐标误差为Δx_j＝[Δx_j Δy_j]^T，则有关系式 $x_j=x_j^o+\mathrm{\Δ}{x}_j,$ 即 $x_j=x_j^o+\mathrm{\Δ}{x}_j$ 及 $y_j=y_j^o+\mathrm{\Δ}{y}_j$ 代入式（2）有下列关系式，

$\begin{array}{c}-x_j{x}_i-y_j{y}_i+0.5(x_i^2+y_i^2)=0.5(d_{\mathrm{ij}}^2-x_j^2-y_j^2)+\\ (x_j-x_i)\mathrm{\Δ}{x}_j+(y_j-y_i)\mathrm{\Δ}{y}_j+d_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}\end{array}---\left(19\right)$

同样令 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T$ （z_i为3×1向量）；矩阵A的行向量值为[-x_j -y_j 0.5]，j＝1，…，m，（A为m×3矩阵）；列向量b、γ的行元素值分别为

[(x_j-x_i)Δx_j+(y_j-y_i)Δy_j+d_ijΔd_ij]，（b、γ为m×1向量），则可将式（19）写成矩阵的线性表达式

Az_i＝b+γ  （20）

则z_i的无偏估计值为

z_i＝(A^TW_γA)^-1A^TW_γb  （21）

式（21）中，W_γ其值应为

$W_{\mathrm{\γ}}=E{\left({\mathrm{\γ}}^T\mathrm{\γ}\right)}^{-1}=\mathrm{diag}{\{C_{\mathrm{ij}}\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{x}_j\right)C_{\mathrm{ij}}^T+d_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}^2\}}^{-1}---\left(22\right)$

（j＝1,…,m，W_γ为m×m对角矩阵）式（22）中，C_ij＝[x_j-x_i y_j-y_i]。由于在计算权重系数W_γ时，需要已知未知节点坐标值x_i＝(x_i,y_i)。可预先设置W_γ为m×m单位矩阵，近似地求解未知节点坐标值x_i，然后计算C_ij，代入式（22）计算W_γ，再以式（21）进一步精确计算参数z_i。根据式（7～18），同样利用向量 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T$ 元素间的相互约束关系可计算其位置坐标的精确值及估计位置坐标误差的方差。根据式（15）、（16）进一步计算精确估计值

即为该步骤由结果伪信标节点定位出的未知节点坐标（与步骤1的不同之处在于权重系数W_γ的取值不同，该步骤考虑了伪信标节点的位置坐标误差对权重系数W_γ的影响），

的位置坐标误差的协方差表示为

$\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{x}_i^e\right)=F^T\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{z}_i\right)F=F^T{\left(A^T{W}_{\mathrm{\γ}}A\right)}^{-1}F---\left(23\right)$

将图2中被定位出的未知节点作为伪信标节点，在图2中定位出的未知节点位置坐标的基础上，图3画出了未知节点9、10和15的估计位置坐标。

步骤3：采用最大数量的邻接信标节点和伪信标节点改进步骤2的定位结果：

当未知节点9、10、15的坐标位置被确定后，节点9、10、15也可以作为伪信标节点，以重新优化节点11、16的原有位置坐标。在此优化过程中定位节点11、16的伪信标节点数目增多了。显然采用更多的邻接伪信标节点可以改进已有的定位结果，减少定位误差。经过步骤1和步骤2的定位过程，未知节点i的初步位置坐标估计值为

假设采用最大数量的邻接信标节点和伪信标节点改进后位置坐标的向量增量为 $\mathrm{\Δ}{x}_i^p={\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{x}_i^p& \mathrm{\Δ}{y}_i^p\end{array}\right]}^T,$ 则有 $x_i=x_i^e+\mathrm{\Δ}{x}_i^p,$ 即 $x_i=x_i^e+\mathrm{\Δ}{x}_i^p$ 及 $y_i=y_i^e+\mathrm{\Δ}{y}_i^p$ 代入式（19），则有

$\begin{array}{c}(x_i^e-x_j)\mathrm{\Δ}{x}_i^p+(y_i^e-y_i)\mathrm{\Δ}{y}_i^p=0.5(d_{\mathrm{ij}}^2-x_j^2-y_j^2{-x}_i^{e2}-y_i^{e2})+\\ x_j{x}_i^e+y_j{y}_i^e+(x_j-x_i^e)\mathrm{\Δ}{x}_j+(y_j-y_i^{\text{e}})\mathrm{\Δ}{y}_j+d_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}\end{array}----\left(24\right)$

假设未知节点i共有n个（一般来说，要求n≥m）邻接信标节点和伪信标节点，矩阵J的行向量为 $\left[\begin{array}{cc}{x}_i^e-x_j& y_i^e-y_j\end{array}\right],j=\mathrm{1,2},\·\·\·,n$ （J为n×2矩阵）；向量ρ及ε的元素值为

（ρ、ε为n×1向量），则也可将式（24）写成矩阵的线性表达式

$\mathrm{J\Δ}{x}_i^p=\mathrm{\ρ}+\mathrm{\ϵ}---\left(25\right)$

被优化的位置坐标增量

的无偏估计值为

$\mathrm{\Δ}{x}_i^p={\left(J^T{W}_{\mathrm{\ϵ}}J\right)}^{-1}{J}^T{W}_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{\ρ}---\left(26\right)$

式（26）中W_ε为n×n矩阵，其值应为

$W_{\mathrm{\ϵ}}=E{\left({\mathrm{\ϵ}}^T\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}=\mathrm{diag}{\{C_{\mathrm{ij}}^e\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{x}_j\right)C_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{eT}}+d_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}^2\}}^{-1}---\left(27\right)$

式（27）中， $C_{\mathrm{ij}}^e=\left[\begin{array}{cc}{x}_j-x_i^e& y_j-y_i^e\end{array}\right],j=\mathrm{1,2},\·\·\·,n.$ 则被优化后的未知节点位置坐标为

$x_i^p=x_i^e+\mathrm{\Δ}{x}_i^p---\left(28\right)$

以图3中的节点位置为已有的初始定位结果，对已有的未知节点坐标位置选择最大数量的邻接信标节点和伪信标节点进行优化，图4画出了优化后的未知节点坐标位置。由图4可见，大多数节点的位置坐标得到了优化。由于测距误差分布的随机性，当然也有少部分节点的定位被放大了。为此进行了定位结果的唯一性实验，选择1000次蒙特卡罗测试的平均RMS定位误差评价其定位及精度。假设所有节点间测距误差服从均值为零，方差为0.1²的高斯分布，即Δd_ij∈N(0,0.1²)，在节点ID为9～20的12个未知节点上1000次蒙特卡罗测试的平均RMS定位误差绘在图5中。由图5可见，利用最大数量的邻接信标节点和伪信标节点优化后的任何一个未知节点上的平均RMS定位误差均小于优化前的平均RMS定位误差。

步骤4：协作式迭代优化步骤3的定位结果：

当11、16的位置坐标采用式（28）被优化后，其被优化后的具有更精确位置坐标的节点11、16也可以用来重新优化节点9、10、15的位置坐标。将步骤3中的节点定位结果作为伪信标节点位置坐标，重新定位网络中所有未知节点，即所有未知节点位置坐标被重新优化一次，称为一次协作式迭代优化过程。当网络中所有节点重新优化后，将优化后具有更准确位置坐标的定位结果作为伪信标节点位置坐标，又一次重新定位和优化网络中所有未知节点，这个过程称为二次协作式迭代优化过程。这样协作式迭代定位过程一次又一次地不断更新，直至定位结果保持稳定，不能再改进。

以图4相对于图3中的节点位置坐标增量为基础，对未知节点坐标位置进行五次协作式迭代优化，图6画出了五次协作式迭代优化后的未知节点坐标位置。由图6可见五次协作式迭代优化后的节点位置坐标误差较优化前的位置坐标误差有所减少。由于测距误差分布的随机性，当然也有少量节点的定位被放大了。

为此，同样地进行唯一性实验，在第三步定位结果的基础上，对节点ID为9～20的12个未知节点上进行了1000次蒙特卡罗测试实验，选择1000次蒙特卡罗测试的平均RMS定位误差评价其定位精度。假设所有节点间测距误差服从均值为零，方差为0.1²的高斯分布，即Δd_ij∈N(0,0.1²)，在节点ID为9～20的12个未知节点上1000次蒙特卡罗测试的平均RMS定位误差绘在图7中。由图7可见，经过五次协作式迭代优化后的所有未知节点上的平均RMS定位误差均不会大于优化前的平均RMS定位误差。仿真实验结果也表明，随着迭代次数的增加，所有未知节点的平均RMS定位误差也将趋于稳定值。图8画出了随机抽取的4个节点的平均RMS定位误差随迭代次数的变化规律。由图8可以看出，随着迭代次数的增加，4个节点的平均RMS定位误差越来越小并且趋于稳定。

Claims (6)

1.基于协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法，其特征在于按照以下步骤完成：

步骤1：直接采用已知位置的信标节点定位未知节点坐标；

步骤2：将被定位的未知节点作为伪信标节点定位其余未被定位的未知节点；

步骤3：采用最大数量的邻接信标节点和伪信标节点改进步骤2的定位结果；

步骤4：节点间协作式迭代优化步骤3的定位结果。

2.按照权利要求1所述基于协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法，其特征在于：所述步骤1采用信标节点或步骤2伪信标节点定位未知节点坐标值时，以精确的代数方法表示未知节点坐标，达到定位结果的无偏估计值。

3.按照权利要求1所述基于协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法，其特征在于：所述步骤4节点间的不断协作式迭代优化直至定位结果保持稳定，达到单个节点定位结果的最优值。

4.按照权利要求1所述基于协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法，其特征在于：所述步骤1的计算过程为：

坐标平面上分布着N个无线传感器网络节点，假设序号为1,2,…,M的M个节点为坐标位置已知的信标节点，其余序号为M+1,M+2,…,N的N-M个节点为待定位的未知节点，为确定未知节点位置坐标，未知节点i与其邻接的节点j间的实际测量距离d_ij与真实节点间距离

满足 $d_{\mathrm{ij}}^o=d_{\mathrm{ij}}+\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}},i=M+1,M+2,\·\·\·,N,j=\mathrm{1,2},\·\·\·,N,$ 并且i＞j，Δd_ij为节点间的测距误差;假设节点i、j的真实坐标位置分别为

则有关系式

$d_{\mathrm{ij}}^o=d_{\mathrm{ij}}+\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}={\left|\right|x_i^o-x_j^o\left|\right|}_2---\left(1\right)$

式（1）中下角标2代表2-范数，假设节点间的测距误差Δd_ij各自独立，并且Δd_ij服从均值为0，方差为的高斯分布，记为

如果节点间距离可直接测量，称节点间是邻接的，若未知节点至少有三个以上的邻接信标节点，该未知节点可以被直接定位，假设单一未知节点i坐标列向量为x_i＝[x_i y_i]^T，与该未知节点i邻接的m个信标节点的真实位置坐标为列向量 $x_j^o={\left[\begin{array}{cc}{x}_j^o& y_j^o\end{array}\right]}^T,$ j＝1,…,m，将式（1）转化为以下关系式

$\sqrt{{(x_i-x_j^o)}^2+{(y_i-y_j^o)}^2}=d_{\mathrm{ij}}+\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}---\left(2\right)$

式（2）中测距误差Δd_ij服从均值为0，方差为

的高斯分布，即将式（2）中的每个方程式等式两边平方，忽略测距误差的二次项，考虑信标节点的位置坐标是不存在误差的，有

即及

亦可以得到方程式（2）的另一种表示

$-x_j{x}_i-y_j{y}_i+0.5(x_i^2+y_i^2)=0.5(d_{\mathrm{ij}}^2-x_j^2-y_j^2)+d_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}---\left(3\right)$

令列向量参数 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T,$ （z_i为3×1向量）；矩阵A的行向量值为[-x_j -y_j 0.5]，j＝1,…,m，（A为m×3矩阵）；列向量b、α的行元素值分别为

（b、α为m×1向量），则可将式（3）写成矩阵的线性表达式

Az_i＝b+α  （4）

根据线性最小二乘平方原理，向量z_i的无偏估计值为

z_i＝(A^TW_αA)^-1A^TW_αb  （5）

式（5）中，W_α为最小平方权重系数，其值为

$W_{\mathrm{\α}}=E{\left({\mathrm{\α}}^T\mathrm{\α}\right)}^{-1}=\mathrm{diag}{\left\{d_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}^2\right\}}^{-1}---\left(6\right)$

将向量z_i的估计误差记为Δz_i（Δz_i亦为3×1向量），则有关系式

Δz_i＝(A^TW_αA)^-1A^TW_αα  （7）

则估计误差Δz_i的协方差为

cov(Δz_i)＝(A^TW_αA)^-1  （8）

这里cov(Δz_i)为3×3矩阵，式（5）表示了未知节点i的位置坐标近似值，可利用向量 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T$ 元素间的相互约束关系计算其位置坐标的精确值，则有以下关系式

$\left\{\begin{array}{c}{x}_i^2={[z_i\left(1\right)+\mathrm{\Δ}{z}_i\left(1\right)]}^2\≈z_i{\left(1\right)}^2+2z_i\left(1\right)\mathrm{\Δ}{z}_i\left(1\right)\\ y_i^2={[z_i\left(2\right)+\mathrm{\Δ}{z}_i\left(2\right)]}^2\≈z_i{\left(2\right)}^2+2z_i\left(2\right)\mathrm{\Δ}{z}_i\left(2\right)\\ x_i^2+y_i^2=z_i\left(3\right)+\mathrm{\Δ}{z}_i\left(3\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

式（9）中z_i(k)、Δz_i(k)表示了向量z_i、Δz_i的第k个元素，k＝1,2,3；将式（9）表示为线性矩阵形式

Gu_i＝h+β  （10）

式（10）中h＝[z_i(1)² z_i(2)² z_i(3)]^T（h为3×1向量）， $u_i={\left[\begin{array}{cc}{x}_i^2& y_i^2\end{array}\right]}^T$ （u_i为2×1向量），β＝LΔz_i（β为3×1向量），

$G={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]}^T$ （G为3×2矩阵），L＝diag{2z_i(1)2z_i(2)1}（L为3×3对角矩阵），

根据线性最小二乘平方原理，向量u_i的无偏估计值为

u_i＝(G^TW_βG)^-1G^TW_βh  （11）

式(11)中，

W_β＝E(β^Tβ)^-1＝[L^Tcov(Δz_i)L]^-1＝L^-1A^TW_αAL^-1  （12）

式（12）中W_β为3×3矩阵，将向量u_i的估计误差记为Δu_i，则有关系式

Δu_i＝(G^TW_βG)^-1G^TW_ββ  （13）

则估计误差Δu_i的协方差为：

cov(Δu_i)＝(G^TW_βG)^-1  （14）

这里cov(Δu_i)为2×2矩阵；由于 $u_i={\left[\begin{array}{cc}{x}_i^2& y_i^2\end{array}\right]}^T,$ 则未知节点坐标x_i的估计值

为：

$x_i^e=\mathrm{sign}\left(\mathrm{diag}\left(z(1:2)\right)\right){\sqrt{u}}_i---\left(15\right)$

sign表示符号函数，当diag(z(1:2))元素值大于等于零时，值为1；当diag(z(1:2))元素值小于零时，值为-1，根据u_i和

之间的关系，

的估计误差

与u_i的估计误差Δu_i之间有关系式

$\mathrm{\Δ}{x}_i^e=\mathrm{U\Δ}{u}_i---\left(16\right)$

式（16）中，U＝diag{0.5u_i(1)^-0.5 0.5u_i(2)^-0.5}，由式（13）将估计误差

进一步表示为

$\mathrm{\Δ}{x}_i^e=U{\left(G^T{W}_{\mathrm{\β}}G\right)}^{-1}{G}^T{W}_{\mathrm{\β}}\mathrm{L\Δ}{z}_i=\mathrm{F\Δ}{z}_i---\left(17\right)$

式（17）中F＝U(G^TW_βG)^-1G^TW_βL，则估计误差的方差可以表示为

$\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{x}_i^e\right)=F^T\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{z}_i\right)F=F^T{\left(A^T{W}_{\mathrm{\α}}A\right)}^{-1}F---\left(18\right)$

式（15）精确了表示了未知节点坐标位置x_i的估计值

就是该步骤直接由信标节点定位出的未知节点坐标，并且其估计误差的方差可由式（18）计算。

5.按照权利要求1所述基于协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法，其特征在于：所述步骤2的计算过程为：

若与未知节点直接邻接的信标节点数量不够三个，但与未知节点邻接的信标节点和伪信标节点总数达到三个以上，则该未知节点可也以被间接定位出来，将被定位的未知节点作为伪信标节点时，伪信标节点的位置坐标是存在误差的，假设伪信标节点的真实位置坐标为 $x_j^o={\left[\begin{array}{cc}{x}_j^o& y_j^o\end{array}\right]}^T,$ 其位置坐标误差为Δx_j＝[Δx_j Δy_j]^T，则有关系式 $x_j=x_j^o+\mathrm{\Δ}{x}_j,$ 即 $x_j=x_j^o+\mathrm{\Δ}{x}_j$ 及 $y_j=y_j^o+\mathrm{\Δ}{y}_j$ 代入式（2）有下列关系式，

$\begin{array}{c}-x_j{x}_i-y_j{y}_i+0.5(x_i^2+y_i^2)=0.5(d_{\mathrm{ij}}^2-x_j^2-y_j^2)+\\ (x_j-x_i)\mathrm{\Δ}{x}_j+(y_j-y_i)\mathrm{\Δ}{y}_j+d_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}\end{array}---\left(19\right)$

同样令 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T,$ 矩阵A的行向量值为[-x_j -y_j 0.5]，j＝1,…,m，A为m×3矩阵，列向量b、γ的行元素值分别为

[(x_j-x_i)Δx_j+(y_j-y_i)Δy_j+d_ijΔd_ij]，b、γ为m×1向量，则可将式（19）写成矩阵的线性表达式

Az_i＝b+γ  （20）

则z_i的无偏估计值为

z_i＝(A^TW_γA)^-1A^TW_γb  （21）

式（21）中，W_γ其值应为

$W_{\mathrm{\γ}}=E{\left({\mathrm{\γ}}^T\mathrm{\γ}\right)}^{-1}=\mathrm{diag}{\{C_{\mathrm{ij}}\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{x}_j\right)C_{\mathrm{ij}}^T+d_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}^2\}}^{-1}---\left(22\right)$

j＝1,…,m，W_γ为m×m对角矩阵，式（22）中，C_ij＝[x_j -x_i y_j-y_i]，由于在计算权重系数W_γ时，需要已知未知节点坐标值x_i＝(x_i,y_i)，可预先设置W_γ为m×m单位矩阵，近似地求解未知节点坐标值x_i，然后计算C_ij，代入式（22）计算W_γ，再以式（21）进一步精确计算参数z_i，根据式（7～18），同样利用向量 $z_i={\left[\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& x_i^2+y_i^2\end{array}\right]}^T$ 元素间的相互约束关系可计算其位置坐标的精确值及估计位置坐标误差的方差，根据式（15）、（16）进一步计算精确估计值

即为该步骤由结果伪信标节点定位出的未知节点坐标（与步骤1的不同之处在于权重系数W_γ的取值不同，该步骤考虑了伪信标节点的位置坐标误差对权重系数W_γ的影响），

的位置坐标误差的协方差表示为

$\mathrm{cov}\left({\mathrm{\Δx}}_i^e\right)=F^T\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{z}_i\right)F=F^T{\left(A^T{W}_{\mathrm{\γ}}A\right)}^{-1}F---\left(23\right).$

6.按照权利要求1所述基于协作式迭代优化的无线传感器网络定位计算方法，其特征在于：所述步骤3的计算过程为：

当未知节点坐标位置被确定后，未知节点也可以作为伪信标节点，以重新优化原有位置坐标，未知节点i的初步位置坐标估计值为

假设采用最大数量的邻接信标节点和伪信标节点改进后位置坐标的向量增量为 $\mathrm{\Δ}{x}_i^p={\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{x}_i^p& \mathrm{\Δ}{y}_i^p\end{array}\right]}^T,$ 则有 $x_i=x_i^e+\mathrm{\Δ}{x}_i^p,$ 即 $x_i=x_i^e+\mathrm{\Δ}{x}_i^p$ 及 $y_i=y_i^e+\mathrm{\Δ}{y}_i^p$ 代入式（19），则有

$\begin{array}{c}(x_i^e-x_j)\mathrm{\Δ}{x}_i^p+(y_i^e-y_j)\mathrm{\Δ}{y}_i^p=0.5(d_{\mathrm{ij}}^2-x_j^2-y_j^2-x_i^{e2}-y_i^{e2})+\\ x_j{x}_i^e+y_j{y}_i^e+(x_j-x_i^e)\mathrm{\Δ}{x}_j+(y_j-y_i^e)\mathrm{\Δ}{y}_j+d_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}{d}_{\mathrm{ij}}\end{array}---\left(24\right)$

假设未知节点i共有n个（一般来说，要求n≥m）邻接信标节点和伪信标节点，矩阵J的行向量为 $\left[\begin{array}{cc}{x}_i^e-x_j& y_i^e-y_j\end{array}\right],j=\mathrm{1,2},\·\·\·,n$ （J为n×2矩阵）；向量ρ及ε的元素值为

（ρ、ε为n×1向量），则也可将式（24）写成矩阵的线性表达式

$\mathrm{J\Δ}{x}_i^p=\mathrm{\ρ}+\mathrm{\ϵ}---\left(25\right)$

被优化的位置坐标增量

的无偏估计值为

$\mathrm{\Δ}{x}_i^p={\left(J^T{W}_{\mathrm{\ϵ}}J\right)}^{-1}{J}^T{W}_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{\ρ}---\left(26\right)$

式（26）中W_ε为n×n矩阵，其值应为

$W_{\mathrm{\ϵ}}=E{\left({\mathrm{\ϵ}}^T\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}=\mathrm{diag}{\{C_{\mathrm{ij}}^e\mathrm{cov}\left(\mathrm{\Δ}{x}_j\right)C_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{eT}}+d_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}^2\}}^{-1}---\left(27\right)$

式（27）中， $C_{\mathrm{ij}}^e=\left[\begin{array}{cc}{x}_j-x_i^e& y_j-y_i^e\end{array}\right],j=\mathrm{1,2},\·\·\·,n;$ 则被优化后的未知节点位置坐标为

$x_i^p=x_i^e+\mathrm{\Δ}{x}_i^p---\left(28\right).$

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