CN103647523B - 一种降低窄过渡带fir低通滤波器实现复杂度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种降低窄过渡带带宽FIR低通滤波器长度的方法，首先通过系统需求设计一FIR低通滤波器并确定FIR低通滤波器的各个参数，再根据FIR低通滤波器的各个参数设计一FIR低通滤波器的等效结构，使设计的FIR低通滤波器的等效结构满足FIR低通滤波器的性能并降低过渡带带宽，但FIR低通滤波器的等效结构具有较少的滤波器系数，同时具有实现简单和节约资源成本的特点。

Description

一种降低窄过渡带FIR低通滤波器实现复杂度的方法

技术领域

本发明属于滤波器技术领域，更为具体地讲，涉及一种降低窄过渡带FIR低通滤波器实现复杂度的方法。

背景技术

FIR(FiniteImpulseResponse)滤波器：有限长单位冲激响应滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。因此，FIR滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用。设FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为一个N点序列，0≤n≤N-1，则滤波器的系统函数为：

$H\left(z\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}h\left(n\right)z^{-1}$

即H(z)有N-1阶极点在z=0处，有N-1个零点位于有限z平面的任何位置。同时，FIR实现结构上主要是采用非递归结构，没有输出到输入的反馈，实现比较简单。

在数字信号处理过程中，经常会遇到抽样率转换的问题。如：

（1）一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输视频信号，这些信号的频率成分相差较远，因而相应的抽样频率也相差很远。因此，该系统应具有传输多种抽样率信号并自动完成抽样率转换的能力。

（2）当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率能根据时钟的不同而变换。

（3）对一个信号抽样时，如果抽样率过高，必然会造成数据的冗余同时消耗过多的资源，这时，希望可以将该数字型号的抽样率降下来。

以上提及的几个方面都需要对抽样率进行转换，或是要求数字系统可以工作在多抽样率状态,降低抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的抽取，增加抽样率以增加数据的过程称之为信号的插值,抽取、插值及二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。然而，抽样率变换过程必然会出现混叠和镜像，因此，抽样率变换的主要问题就集中在设计抗混叠和抑制镜像的滤波器，以及这些滤波器的高效实现。

然而，在设计一个比较陡峭的滤波器时，即要求滤波器的过渡带很窄，采用以前的直接非递归结构实现就会很复杂。一般地，FIR滤波器的长度与过渡带的宽度成反比，过渡带越窄，滤波器就越长。如果直接在FPGA或者DSP中实现时，会出现硬件复杂度高、系数灵敏度高以及截断噪声高等问题，需要消耗大量的存储资源或者逻辑资源。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种降低窄过渡带FIR低通滤波器实现复杂度的方法，通过设计一FIR低通滤波器的等效结构来代替FIR低通滤波器，在满足FIR低通滤波器性能的同时还具有实现简单和低成本的特点。

为实现上述发明目的，本发明降低窄过渡带带宽FIR低通滤波器长度的方法，其特征在于，包括以下步骤：

（1）、根据系统需求设计一FIR低通滤波器，其冲击响应和系统函数分别为h(n)和H(z)，且满足关系为：其中，N为FIR低通滤波器长度，h(n)的参数分别为：通带截止频率为ω_p，阻带截止频率ω_s，通带内纹波最大幅度为δ_p，阻带最小衰减δ_s，过渡带带宽为BW_t＝ω_s-ω_p，BW_t与滤波器长度N成反比例；

输入信号x(n)经FIR低通滤波器滤波后输出信号y(n)，则x(n)和y(n)的z变换分别为X(z)和Y(z)，二者的关系为：Y(z)＝X(z)H(z)；

（2）、设计一等效结构来代替FIR低通滤波器：

2、1）、根据FIR低通滤波器的各个参数，设计三个低通滤波器H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)，将三个低通滤波器构建一等效结构来替代FIR低通滤波器，输入信号x(n)经等效结构后输出信号y(n)，则x(n)和y(n)的z变换分别为X(z)和Y(z)，二者的关系为：Y(z)＝X(z)H′(z)；

2、2）、确定H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带和阻带截止频率；

根据式(α)、(β)和(γ)分别计算出H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带与阻带截止频率分别为ω_p1、ω_p2、ω_p3和ω_s1、ω_s2、ω_s3；

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{p1}={\mathrm{\ω}}_{p}M-2\mathrm{m\π}\\ {\mathrm{\ω}}_{s1}={\mathrm{\ω}}_{s}M-2\mathrm{m\π}\end{array}\right.---\left(\mathrm{\α}\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{p2}=\frac{2\mathrm{m\π}+{\mathrm{\ω}}_{p1}}{M}\\ {\mathrm{\ω}}_{s2}=\frac{2(m+1)\mathrm{\π}-{\mathrm{\ω}}_{s1}}{M}\end{array}\right.---\left(\mathrm{\β}\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{p3}=\frac{2\mathrm{m\π}+{\mathrm{\ω}}_{p1}}{M}\\ {\mathrm{\ω}}_{s3}=\frac{2\mathrm{m\π}+{\mathrm{\ω}}_{s1}}{M}\end{array}\right.---\left(\mathrm{\γ}\right)$

其中，ω_p为FIR低通滤波器的通带截止频率，ω_s为FIR低通滤波器的阻带截止频率，，整数M为应用于H₁(z)的内插系数，表示取不大于A的最大整数；

2、3）、确定H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带最大纹波与阻带最小衰减：

H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带最大纹波为δ_pi，阻带最小衰减为δ_si，其中，i＝1,2,3，则满足的关系式为： $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{pi}}={\mathrm{\δ}}_p\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{si}}={\mathrm{\δ}}_s\end{array}\right.;$

利用滤波器设计工具，调整调整δ_p1和δ_s1的值，得到H₁(z)长度系数N₁，且N₁为奇数，在H₁(z)的相邻两个系数中插入M-1个0，得到H₁(z^M)，滤波器长度N₁M，由于其余(M-1)N₁个系数为0，H₁(z^M)实际只有N₁个有效系数，则X(z)和Y(z)二者的关系可表示为：

$Y\left(z\right)=X\left(z\right)H^{\′}\left(z\right)=X\left(z\right)[H_1\left(z^M\right)H_2\left(z\right)+(2^{-(N_1-1)M/2}-H_1\left(z^M\right))H_3\left(z\right)];$

利用滤波器设计工具，分别调整调整δ_p2、δ_s2和δ_p3和δ_s3的值，得到H₂(z)和H₃(z)长度系数N₂和N₃，N₂和N₃为奇数且N₂=N₃；

2、4）、确定H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的长度：

根据过渡带带宽公式BW_t＝ω_s-ω_p，求出H₁(z)的过渡带带宽，其表达式为：

BW_t1＝ω_s1-ω_p1＝M(ω_s-ω_p)＝M·BW_t

通过选择合适的M值，使H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的长度总和满足下面的关系式： $\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_i<N.$

其中，所述的H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带最大纹波与阻带最小衰减性能略优于H(z)，即δ_pi略小于δ_p，而δ_si略大于δ_s。

本发明的发明目的是这样实现的：

本发明降低窄过渡带带宽FIR低通滤波器长度的方法，首先通过系统需求确定FIR低通滤波器的各个参数，再根据FIR低通滤波器的各个参数设计一FIR低通滤波器的等效结构，使设计的FIR低通滤波器的等效结构满足FIR低通滤波器的性能并降低过渡带带宽，但FIR低通滤波器的等效结构具有较少的滤波器系数，同时具有实现简单和节约资源成本的特点。

同时，本发明降低窄过渡带带宽FIR低通滤波器长度的方法还具有以下有益效果：通过设计一低通滤波器的等效结构能够满足FIR低通滤波器同样的通带，阻带及过渡带带宽，但低通滤波器的等效结构具有较少的滤波器系数，同时还能克服在FPGA或者DSP中实现时，会出现硬件复杂度高、系数灵敏度高以及截断噪声高等问题，降低存储资源或者逻辑资源，特别是在系统硬件资源紧张的情况，以较少滤波器阶数得到同样的滤波效果显得尤为重要。

附图说明

图1是本发明一种低通滤波器等效结构的原理框图；

图2是图1所示的FIR低通滤波器原理框图；

图3是图1所示的H(z)的幅频特性频谱图；

图4是图1所示的H₁(z)的幅频特性频谱图；

图5是图1所示的H₂(z)的幅频特性频谱图；

图6是图1所示的H₃(z)的幅频特性频谱图；

图7是图1所示的H′(z)的幅频特性频谱图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述，以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。

实施例

图1是本发明一种低通滤波器等效结构的原理框图。

在本实施例中，如图1所示，本发明

S101、首先根据系统要求确定FIR低通滤波器H(z)的各个参数：通带截止频率为ω_p，阻带截止频率ω_s，通带内纹波最大幅度为δ_p，阻带最小衰减δ_s；

S102、设计一等效结构来代替FIR低通滤波器：

a）、根据FIR低通滤波器的各个参数，设计三个低通滤波器H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)，将三个低通滤波器构建一等效结构来替代FIR低通滤波器，输入信号x(n)经等效结构后输出信号y(n)，则x(n)和y(n)的z变换分别为X(z)和Y(z)，二者的关系为：Y(z)＝X(z)H′(z)；

b）、确定H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带和阻带截止频率；

根据式(α)、(β)和(γ)分别计算出H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带与阻带截止频率分别为ω_p1、ω_p2、ω_p3和ω_s1、ω_s2、ω_s3；

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{p1}={\mathrm{\&omega;}}_{p}M-2\mathrm{m\&pi;}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{s1}={\mathrm{\&omega;}}_{s}M-2\mathrm{m\&pi;}\end{array}\right.---\left(\mathrm{\&alpha;}\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{p2}=\frac{2\mathrm{m\&pi;}+{\mathrm{\&omega;}}_{p1}}{M}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{s2}=\frac{2(m+1)\mathrm{\&pi;}-{\mathrm{\&omega;}}_{s1}}{M}\end{array}\right.---\left(\mathrm{\&beta;}\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{p3}=\frac{2\mathrm{m\&pi;}+{\mathrm{\&omega;}}_{p1}}{M}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{s3}=\frac{2\mathrm{m\&pi;}+{\mathrm{\&omega;}}_{s1}}{M}\end{array}\right.---\left(\mathrm{\&gamma;}\right)$

其中，ω_p为FIR低通滤波器的通带截止频率，ω_s为FIR低通滤波器的阻带截止频率，整数M为应用于H1(z)的内插系数，表示取不大于A的最大整数；

c）、确定H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带最大纹波与阻带最小衰减：

H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带最大纹波为δ_pi，阻带最小衰减为δ_si，其中，i＝1,2,3，则满足的关系式为： $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{pi}}={\mathrm{\&delta;}}_p\\ {\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{si}}={\mathrm{\&delta;}}_s\end{array}\right.$

利用滤波器设计工具，调整调整δ_p1和δ_s1的值，得到H₁(z)长度系数N₁，且N₁为奇数，在H₁(z)的相邻两个系数中插入M-1个0，得到图1中H₁(z^M)，滤波器长度N₁M，由于其余(M-1)N₁个系数为0，H₁(z^M)实际只有N₁个有效系数，则X(z)和Y(z)二者的关系可表示为：

$Y\left(z\right)=X\left(z\right)H^{\&prime;}\left(z\right)=X\left(z\right)[H_1\left(z^M\right)H_2\left(z\right)+(2^{-(N_1-1)M/2}-H_1\left(z^M\right))H_3\left(z\right)];$

利用滤波器设计工具，分别调整调整δ_p2、δ_s2和δ_p3和δ_s3的值，得到H₂(z)和H₃(z)长度系数N₂和N₃，N₂和N₃为奇数且N₂=N₃；

由于滤波器系数量化误差和中间数据位宽处理产生的误差会影响到H′(z)的通带及阻带性能，因此设计滤波器H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带最大纹波与阻带最小衰减性能略优于H(z)，即δ_pi略小于δ_p，而δ_si略大于δ_s；

d）、确定H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的长度：

根据过渡带带宽公式BW_t＝ω_s-ω_p，求出H₁(z)的过渡带带宽，其表达式为：

BW_t1＝ω_s1-ω_p1＝M(ω_s-ω_p)＝M·BW_t

由于H₁(z)的过渡带带宽为H(z)的M倍，设计得到的系数长度N₁＜N。通过选择合适的M值，M值的选取可以从M=2开始，逐渐增加，使H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的长度总和满足下面的关系式：

图2是图1所示的FIR低通滤波器原理框图。

如图2所示，在本实施例中，FIR低通滤波器的冲击响应和系统函数分别为h(n)和H(z)，且满足关系为：其中，N为FIR低通滤波器长度，h(n)的参数分别为：通带截止频率为ω_p，阻带截止频率ω_s，通带内纹波最大幅度为δ_p，阻带最小衰减δ_s，过渡带带宽为BW_t＝ω_s-ω_p，BW_t与滤波器长度N成反比例；输入信号x(n)经FIR低通滤波器滤波后输出信号y(n)，则x(n)和y(n)的z变换分别为X(z)和Y(z)，二者的关系为：Y(z)＝X(z)H(z)；

图3是图1所示的H(z)的幅频特性频谱图。

一个FIR低通滤波器H(z)的参数为：通带截止频率为ω_p=0.4π，阻带截止频率ω_s=0.426π，过渡带带宽为0.026π。通带内纹波最大幅度为δ_p=0.05dB，阻带最小衰减δ_s=50dB。通过Fdatool设计得到长度N=203，幅频特性如图3所示。

图4是图1所示的H₁(z)的幅频特性频谱图。

根据H(z)的参数，选择M＝6，通过H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带和阻带截止频率以及通带最大纹波和阻带最小衰减的计算公式，计算得到通带截止频率为ω_p1=0.4π，阻带截止频率ω_s1=0.556π，过渡带带宽为0.156π，调整通带内纹波最大幅度为δ_p1=0.045dB，阻带最小衰减δ_s1=51dB，通过Fdatool设计得到长度N=35，幅频特性如图4所示。

图5是图1所示的H₂(z)的幅频特性频谱图。

图6是图1所示的H₃(z)的幅频特性频谱图。

根据H(z)的参数，选择M＝6，通过H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带和阻带截止频率以及通带最大纹波和阻带最小衰减的计算公式，计算得到m=1，通带截止频率为ω_p2=0.4π，阻带截止频率ω_s2=0.574π；ω_p3=0.266π，阻带截止频率ω_s3=0.426π，调整通带内纹波最大幅度为δ_p2＝δ_p3=0.045dB，阻带最小衰减δ_s2＝δ_s3=51dB，通过Fdatool设计得到长度N₂＝N₃=33，幅频特性如图5和图6所示。

图7是图1所示的H′(z)的幅频特性频谱图；

低通滤波器的等效结构H′(z)，其等效长度满足：幅频特性如图7所示，与图3中H(z)幅频特性基本一致。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (2)

1.一种降低窄过渡带FIR低通滤波器实现复杂度的方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、根据系统需求设计一FIR低通滤波器，其冲击响应和系统函数分别为h(n)和H(z)，且满足关系为：其中，N为FIR低通滤波器长度，h(n)的参数分别为：通带截止频率为ω_p，阻带截止频率ω_s，通带内纹波最大幅度为δ_p，阻带最小衰减δ_s，过渡带带宽为BW_t＝ω_s-ω_p，BW_t与滤波器长度N成反比例；

输入信号x(n)经FIR低通滤波器滤波后输出信号y(n)，则x(n)和y(n)的z变换分别为X(z)和Y(z)，二者的关系为：Y(z)＝X(z)H(z)；

(2)、设计一等效结构来代替FIR低通滤波器：

2、1)、根据FIR低通滤波器的各个参数，设计三个低通滤波器H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)，将三个低通滤波器构建一等效结构H′(z)来替代FIR低通滤波器，输入信号x(n)经等效结构H′(z)后输出信号y(n)，则x(n)和y(n)的z变换分别为X(z)和Y(z)，二者的关系为：Y(z)＝X(z)H′(z)，其中，H′(z)的等效长度满足：N_i表示三个低通滤波器的长度系数；

2、2)、确定H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带和阻带截止频率；

根据式(α)、(β)和(γ)分别计算出H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带与阻带截止频率分别为ω_p1、ω_p2、ω_p3和ω_s1、ω_s2、ω_s3；

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{p1}={\mathrm{\&omega;}}_{p}M-2m\mathrm{\&pi;}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{p1}={\mathrm{\&omega;}}_{s}M-2m\mathrm{\&pi;}\end{array}\right.---\left(\mathrm{\&alpha;}\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{p2}=\frac{2m\mathrm{\&pi;}+{\mathrm{\&omega;}}_{p1}}{M}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{s2}=\frac{2(m+1)\mathrm{\&pi;}-{\mathrm{\&omega;}}_{s1}}{M}\end{array}\right.---\left(\mathrm{\&beta;}\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{p3}=\frac{2m\mathrm{\&pi;}-{\mathrm{\&omega;}}_{p1}}{M}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{s3}=\frac{2m\mathrm{\&pi;}+{\mathrm{\&omega;}}_{s1}}{M}\end{array}\right.---\left(\mathrm{\&gamma;}\right)$

其中，ω_p为FIR低通滤波器的通带截止频率，ω_s为FIR低通滤波器的阻带截止频率，整数M为应用于H₁(z)的内插系数，表示取不大于A的最大整数；

2、3)、确定H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带最大纹波与阻带最小衰减：

H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带最大纹波为δ_pi，阻带最小衰减为δ_si，其中，i＝1,2,3，则满足的关系式为：

利用滤波器设计工具，调整调整δ_p1和δ_s1的值，得到H₁(z)长度系数N₁，且N₁为奇数，在H₁(z)的相邻两个系数中插入M-1个0，得到H₁(z^M)，滤波器长度N₁M，由于其余(M-1)N₁个系数为0，H₁(z^M)实际只有N₁个有效系数，则X(z)和Y(z)二者的关系可表示为：

$Y\left(z\right)=X\left(z\right)H^{\&prime;}\left(z\right)=X\left(z\right)\&lsqb;H_1\left(z^M\right)H_2\left(z\right)+(2^{-(N_1-1)M/2}-H_1(z^M\left)\right)H_3\left(z\right)\&rsqb;;$

利用滤波器设计工具，分别调整调整δ_p2、δ_s2和δ_p3和δ_s3的值，得到H₂(z)和H₃(z)长度系数N₂和N₃，N₂和N₃为奇数且N₂＝N₃；

2、4)、确定H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的长度：

根据过渡带带宽公式BW_t＝ω_s-ω_p，求出H₁(z)的过渡带带宽，其表达式为：

BW_t1＝ω_s1-ω_p1＝M(ω_s-ω_p)＝M·BW_t

通过选择合适的M值，使H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的长度总和满足下面的关系式：

2.根据权利要求1所述的降低窄过渡带FIR低通滤波器实现复杂度的方法，其特征在于，所述的H₁(z)，H₂(z)和H₃(z)的通带最大纹波与阻带最小衰减性能略优于H(z)，即δ_pi略小于δ_p，而δ_si略大于δ_s。