CN105958966B - 有限长冲激响应滤波器解析设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于数字信号处理领域，为实现全相位滤波器频率采样模式的自动选择，并且仅需将边界频率参数代入到对应解析表达式中即可实现滤波器设计。本发明采用的技术方案是，有限长冲激响应滤波器解析设计方法，包括构造两种采样模式的候选通带临界频率点集合，搜索两种采样模式下截止频率和候选点集间最小距离对应的下标，判断选定采样模式，具体步骤是，1)给定截止频率ω_c，频率向量H的长度N₀，根据式(1)(2)求得通带截止频率ω_p：2)判断并选定采样模式，算出最终的滤波器系数。本发明主要应用于数字信号处理场合。

Description

有限长冲激响应滤波器解析设计方法

技术领域

本发明属于数字信号处理领域。具体涉及有限长单位冲激响应滤波器，自适应滤波器，全相位滤波器的设计。

背景技术

数字滤波技术是数字信号分析与处理技术的重要一环。实际生活中遇到的通信信号、控制信号等绝大多数信号都需要进行数字化处理。而数字化的处理和交换都离不开数字滤波技术。数字滤波器精度高、使用灵活、可靠性高，具有模拟设备所没有的许多优点。在许多许多工程应用领域以及科学技术领域，数字滤波器已经广泛运用，如数字电视[1]、语音[2]、图像[3]等

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器[4]。IIR滤波器具有无限持续时间冲激响应，利用已有滤波器模型可以简单有效的完成设计，但若要求线性相位，就需加全通网络进行校准。如此就会增加额外的滤波器阶数和复杂性，且存在稳定性问题。而FIR滤波器可直接实现线性相位且无稳定性问题(传递函数没有极点)。

现今较常用的FIR滤波器设计方法是直接从频域设计滤波器(如窗函数法和频率采样法等),但这样设计出的滤波器由于具有通带起伏大、临界频率成分不易控制的缺点，使得其应用受到很大限制。近年来，出现了很多新的频率域FIR滤波器设计法[5]，它们通常的做法是：设定目标频率向量，按照某种最优化准则，通过多次迭代来产生最优的滤波器系数。

但是在某些特定应用中，如互素谱分析器[6-9]，其功能的实现期望原型滤波器长度适中。因为当用Remez算法[10]设计的原型滤波器长度过短时，会引起两路稀疏样本的多相滤波通道间相互干扰，从而导致输出谱在多个不期望的位置上出现谱泄漏；当原型滤波器选用长度过长时，又会使分析器耗费数量庞大的样本和滤波器硬件成本，同时还存在延迟时间长的缺陷[6]。因此需要一种高效的解析FIR滤波器设计方法，用以满足各种数字信号处理中苛刻的滤波器要求。

为了解决以上问题，本发明将完成文献[11]没有实现的两类全相位滤波器的解析表达式推导工作，并提出基于两种对称(奇对称和偶对称)频率采样全相位滤波器的设计方法。该设计法可根据期望的原型滤波器边界频率自动选择频率采样模式，基于此再将边界频率参数和滤波器长度直接代入解析式中可以快速完成滤波器的设计。并且所设计出来的原型滤波器可以在更宽的频率范围内获得-50dB以下的阻带衰减。

借由推导出的滤波器解析式，本发明可以避开现有最优化滤波器设计中需多次迭代的过程(如等波纹方法[10]、差分演化法[12]等)，再根据全相位滤波器的衰减特性，使用不长的滤波器长度就能在较大的范围内实现高阻带衰减。从而高效的设计出通带起伏小、阻带衰减大、截止频率容易控制、具有对称实系数特征的滤波器[13]，因此能更好地应用到各种数字信号处理的场景中。

参考文献

[1]R.Turner.Some Thoughts on Using Comb Filters in the BroadcastTelevision Transmitter and at the Receiver[J].IEEE Transactions on ConsumerElectronics，1977，23(3)：248-257.

[2]M.z.Ikram，A.Siddiqui.Multirate IIR filter design andimplementation in STLC7545analogue front-end for voice communication[J].Electronics Letters，1998，34(1)：32-33.

[3]K.He，J.Sun，X.Tang.Guided Image Filtering[J].IEEE Transactions onPattern Analysis and Machine Intelligence，2012，35(6)：1397-1409.

[4]G.Beylkin，R.D.Lewis，L..Monzon.Digital On the Design of HighlyAccurate and Efficient IIR and FIR Filters [J].IEEE Transactions on SignalProcessing，2012，60(8)：4045-4054.

[5]B.K.Mohanty，P.K.Meher.A High-Performance FIR FilterArchitecturefor Fixed and Reconfigurable Applications[J].IEEE Transactions onVery Large Scale Integration(VLSI)Systems，2015，24(2)：444-452.

[6]Vaidyanathan PP，Pal P.Sparse sensing with co-pprime samplers andarrays[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2011，59(2)：573-586.

[7]Vaidyanathan PP，Pal P..Theory of sparse coprime sensing inmultiple dimensions[J].Signal Processing，IEEE Transactions on，2011，59(8)：3592-3608.

[8]Vaidyanathan PP，Pal P.Sparse coprime sensing with multidimensionallattice arrays[C]//Digital Signal Processing Workshop and IEEE SignalProcessing Education Workshop(DSP/SPE)，2011IEEE.IEEE，2011：425-430.

[9]Vaidyanathan P P，Pal P.Coprime Sampling and Arrays in One andMultiple Dimensions[M]//Multiscale Signal Analysis and Modeling.SpringerNewYork，2013：105-137.

[10]Parks T，McClellan J.Chebyshev approximationfor nonrecursivedigital filters with linear phase[J].Circuit Theory，IEEE Transactions on，1972，19(2)：189-194.

[11]黄翔东，王兆华.基于两种对称频率采样的全相位FIR滤波器设计[J].电子与信息学报，2007，29(2)：478-481.

[12]Reddy K S，Sahoo S K.An approach for FIR filter coefficientoptimization using differential evolutionalgorithm[J].AEU-InternationalJournal ofElectronics and Communications，2015，69(1)：101-108.

[13]黄翔东，王兆华.基于全相位幅频特性补偿的FIR滤波器设计[J].电路与系统学报，2008，13(2)：1-5。

发明内容

为克服现有技术的不足，避开现有最优化滤波器设计中需多次迭代的过程，实现全相位滤波器频率采样模式的自动选择，并且仅需将边界频率参数代入到对应解析表达式中即可实现滤波器设计。本发明采用的技术方案是，有限长冲激响应滤波器解析设计方法，包括构造两种采样模式的候选通带临界频率点集合，搜索两种采样模式下截止频率和候选点集间最小距离对应的下标，判断选定采样模式，具体步骤是，

1)给定截止频率ω_c，频率向量H的长度N₀，根据式(1)(2)求得通带截止频率ω_p：

Δω₀＝2π/N₀ (1)

再分别构造两种频率采样模式的候选通带临界频率点集合Γ_o和Γ_e；其中奇对称采样模式的候选通带临界频率点集合为Γ_o＝{kΔω₀，k＝0，...，N₀-1}，偶对称采样模式的候选通带临界频率点集合为Γ_e＝{(k+0.5)Δω₀，k＝0，...，N₀-1}；

遍历并求取期望的截止频率ω_p与Γ_o、Γ_e之间的距离D_o、D_e，即

D_o＝{d_o(k)＝|ω_p-k△ω₀|,k＝0,...,N₀-1} (3)

D_e＝{d_e(k)＝|ω_p-(k+0.5)△ω₀|,k＝0,...,N₀-1} (4)

进而搜索出两种采样模式下最小距离对应的下标k_o、k_e，即

2)判断并选定采样模式，若d_o(k_o)≤d_e(k_e)时，则选择奇对称采样模式，确定m＝k_o并代入式(7)算出最终的滤波器系数；当d(k_o)>d(k_e)则选择偶对称采样模式，确定m＝k_e+1并代入式(8)算出最终的滤波器系数：

其中C为归一化因子w_c(0)，w_c(n)由长度为N₀的哈明(Hamming)窗和翻转后的长度为N₀矩形窗卷积得到，即

w_c(n)＝w_h(n)*R_N(-n) (9)。

找出ω_p与Γ_o,Γ_e中的最小距离从而确定对称频率采样模式。

奇对称全相位滤波器通带截止频率ω_p＝m△ω₀。

偶对称全相位滤波器通带截止频率ω_p＝(m-0.5)△ω₀。

本发明的特点及有益效果是：

本发明提出的高效的解析FIR滤波器设计法，若用于数字滤波器的设计及相关实际工程领域，可产生如下有益效果：

第一拓宽了设计的FIR原型滤波器的高阻带衰减的频带范围。

这得益于全相位滤波器引入了卷积窗傅里叶谱作为频率响应的内插函数。该益处表达在实际应用中，如互素谱分析器，可以更彻底地抑制谱泄漏，从而解决因谱泄漏而导致的互素谱可读性差的问题。

第二提高滤波器的设计效率

由于本发明中的全相位滤波器采用了解析设计，只需将m等参数代入相应解析式即可求出滤波器系数，避免了现有最优化滤波器设计中需多次迭代的过程(如Remez算法为获取等波纹特性，需多次迭代更替交错点等)，故可大大提高滤波器的设计效率。

第三提升了设计的FIR滤波器的边界频率控制精度。

为了提升滤波器的边界频率控制精度，本发明采用了频率采样模式的自动选择策略。通过推导出全相位滤波器偶对称和奇对称条件下的解析式，则通带截止频率便可由滤波器性能要求来精准确定。再经过构造两种频率采样模式的候选通带临界频率点集合、遍历和搜索出两种采样模式下最小距离对应的下标、判断并选定采样模式这三个步骤，算出最终的滤波器系数。这样能保证最终滤波器的截止频率与期望截止频率的误差小于1/4频率分辨率，并且该误差会随着滤波器长度的增加而减小。

附图说明：

图1高效的解析FIR滤波器设计的流程图。

图2本发明提出的滤波器和Remez滤波器性能对比图。

(a)为第一路滤波器传输曲线；(b)为第一路滤波器衰减曲线；(c)为第二路滤波器传输曲线；(d)第二路滤波器衰减曲线。

图3滤波器设计实现的硬件实施图。

图4 DSP内部程序流图。

具体实施方式

依据本发明提出的方法设计的滤波器可实现如下目标

避开现有最优化滤波器设计中需多次迭代的过程，提高滤波器设计效率；

实现了全相位滤波器频率采样模式的自动选择。该方法依据实际应用的通带截止频率，从奇对称频率采样模式和偶对称频率采样模式中选择其一，从而精确控制所期望的截止频率；

仅需将边界频率参数代入到对应解析表达式中即可实现滤波器设计。

本发明采用的技术方案如下。

1.高效的解析FIR滤波器设计总流程

本发明提出的高效的解析FIR滤波器设计的流程如图1所示

图1中，本发明的处理分三个部分，包括构造两种采样模式的候选通带临界频率点集合，搜索两种采样模式下截止频率和候选点集间最小距离对应的下标，判断选定采样模式。

1)给定3dB截止频率ω_c，频率向量H的长度N₀。根据式(1)(2)求得通带截止频率ω_p，再分别构造两种频率采样模式的候选通带临界频率点集合Γ_o和Γ_e。其中奇对称采样模式的候选通带临界频率点集合为Γ_o＝{k△ω₀,k＝0,...,N₀-1}，偶对称采样模式的候选通带临界频率点集合为Γ_e＝{(k+0.5)△ω₀,k＝0,...,N₀-1}。

△ω₀＝2π/N₀ (1)

2)遍历并求取期望的截止频率ω_p与Γ_o、Γ_e之间的距离D_o、D_e，即

D_o＝{d_o(k)＝|ω_p-k△ω₀|,k＝0,...,N₀-1} (3)

D_e＝{d_e(k)＝|ω_p-(k+0.5)△ω₀|,k＝0,...,N₀-1} (4)

进而搜索出两种采样模式下最小距离对应的下标k_o、k_e，即

3)判断并选定采样模式。若d_o(k_o)≤d_e(k_e)时，则选择奇对称采样模式，确定m＝k_o并代入式(7)算出最终的滤波器系数；当d(k_o)>d(k_e)则选择偶对称采样模式，确定m＝k_e+1并代入式(8)算出最终的滤波器系数。

2.各处理步骤的详细原理解释

1)奇对称全相位滤波器解析表达式

首先设定长度为N₀的频率向量H，如下所示

式(9)的H符合奇对称频率采样模式，即满足

H(k)＝H(N₀-k),k＝0,...,N₀-1 (10)

对频率向量做逆DFT(离散傅里叶变换)，得到滤波器系数h′(n)

根据全相位滤波器的设计过程，需要对式(11)的定义域进行扩展(由n∈[0,N₀-1]到n∈[-N₀+1,N₀-1])，再对扩展后的h′(n)加卷积窗w_c(n)即得长度为L＝(2N₀-1)的滤波器为

其中C为归一化因子w_c(0)。w_c(n)由长度为N₀的哈明(Hamming)窗和翻转后的长度为N₀矩形窗卷积得到，如式(13)，其中w_h(n)代表长度为N₀的哈明窗，R_N(-n)代表翻转后的长度为N₀的矩形窗。

w_c(n)＝w_h(n)*R_N(-n) (13)

然后将式(9)代入式(11)，联立式(12)-(13)，得出

令则根据等比级数求和以及三角函数变换公式，得

因为分母不能为0，因此，上式并不适用于n＝0的情况。当n＝0时，由式(12)得出h(0)＝(2m+1)/N₀，则最终的滤波器系数为

由于奇对称全相位滤波器传递曲线在ω＝k△ω₀(k＝0,...,N₀-1)处通过H(k)指定的频率采样点，结合式(9)的H(k)设置，可推出其通带截止频率ω_p＝m△ω₀。

2)偶对称全相位滤波器解析表达式

与奇对称类似，首先设定长度为N₀的频率向量H，形式如下

式(17)的H符合偶对称频率采样模式，即满足

H(k)＝H(N₀-k-1),k＝0,...,N₀-1 (18)

对其做逆DFT，得滤波器系数h′(n)，

然后对其定义域进行扩展(由n∈[0,N₀-1]到n∈[-N₀+1,N₀-1])，由于偶对称的频率向量进行逆DFT后得到的滤波器系数不是实数，因此要对其进行相移操作，即需乘因子最后加卷积窗w_c(n)(同奇对称形式)，即得长度为L＝(2N₀-1)的滤波器为

将式(17)代入式(19)，并结合式(13)和式(20)，得

设则根据等比数列求和以及三角函数积化和差公式，有如下推导

结合式(21)，可得实数的滤波器系数h(n)，同奇对称一样，此式并不适用n＝0情况。当n＝0时，由式(21)可直接得到h(0)＝2m/N₀，这样，最终的偶对称滤波器系数表达式如下所示

由于偶对称全相位滤波器传递曲线在ω＝(k+0.5)△ω₀(k＝0,...,N₀-1)处通过H(k)指定的频率采样点，结合式(17)的H(k)设置，可得通带截止频率ω_p＝(m-0.5)△ω₀。

3)两种频率采样模式的选择

如前所述，N₀和m值确定后，奇对称和偶对称采样的全相位滤波器的通带截止频率也随之相应确定，因而需要解决频率采样模式的自动设置问题。

对全相位滤波器来说，通带截止频率ω_p与阻带截止频率ω_s之间的全相位滤波器传输曲线可近似为线形，故可得出ω_p与ω_c的关系如式(2)。

将3dB截止频率代入式(2)可求得期望的通带截止频率ω_p。由于奇对称与偶对称采样模式的候选通带临界频率点集合分别为Γ_o＝{k△ω₀,k＝0,...,N₀-1}，Γ_e＝{(k+0.5)△ω₀,k＝0,...,N₀-1}，显然确定对称频率采样模式的过程实际上就是找出ω_p与Γ_o,Γ_e中的最小距离过程。基于此，便可按照上文给出的流程确定对称频率采样模式。

3.实验结果

本节将分别设计全相位滤波器和等波纹最佳逼近滤波器，用互素谱分析器中的实际滤波器性能需求分别对滤波器进行配置，并对其进行对比，分析基于自动对称频率模式选择的解析全相位滤波器设计优势。

选取互素谱分析所需的两个互素的整数M＝21，N＝17，可知两路原型滤波器H(z)和G(z)的3dB期望截止频率分别为π/M和π/N，使用Remez方法和本文提出的全相位解析设计法分别设计H(z)和G(z)，选取共同的滤波器长度L＝221(对应的全相位滤波器的频率采样长度N₀＝111)。

首先使用Remez方法设计两路原型低通滤波器，由于该方法只能在通带和阻带中设置期望的频率特性，不能在过渡带中设置期望频率特性，另外由于互素谱算法对截止频率的要求较为严格，故将滤波器H(z)的边界截止频率设置为

ω_p1＝0.98π/M,ω_s1＝1.1π/M (24)

滤波器G(z)的边界截止频率设置为

ω_p2＝0.98π/N,ω_s2＝1.1π/N (25)

然后使用全相位解析式法设计两路原型滤波器，按照上文给出的三个步骤确定频率采样模式和边界频率参数m代入相应解析表达式可快速设计出H(z)和G(z)。两种设计法的幅频特性以及衰减特性如图2所示。

由图2可看出，两种方法得到的滤波器传输曲线都通过要求的截止频率，但Remez滤波器的通带和阻带都是等波纹浮动的，图2(a)、(c)所示的通带和阻带不够平坦，滤波过程中容易发生失真，从图2(b)、(d)所示衰减曲线可以看出，其衰减幅值在整个阻带范围内仅达到-20dB左右，在实际应用中，这必然会导致较严重的谱泄漏效应。与此对比，图2(a)、(c)所示的全相位滤波器的通带和阻带都很平坦，过渡带相对于Remez传输曲线稍宽些，但从图2(b)、(d)的衰减曲线可看出，全相位滤波器仅仅牺牲了一点过渡带带宽便可换来整个阻带范围内的衰减改善：即除第一旁瓣衰减为-25dB外，从第二旁瓣开始，阻带衰减均达到-50dB以下，从而使所设计的滤波器与理想滤波器特性更加拟合。

下面就本发明涉及的硬件实现进行说明

在图3中，首先实际应用中要求的原型滤波器3dB截止频率ω_c和数字滤波器频率向量H的长度N₀存入外部RAM(Random-Access Memory，随机存取存储器)中，再将它们实时输入到DSP(Digital Signal Processor，数字信号处理器)中，经过DSP内部核心算法，对输入参数进行处理，对滤波器频率模式进行选择，最后生成滤波器。

其中，图3的DSP为核心器件，在滤波器构造中，完成如下主要功能：

(1)调用内部核心算法，完成构造两种频率采样模式的候选通带临界频率点集合、遍历和搜索出两种采样模式下最小距离对应的下标、判断并选定采样模式这三个处理步骤；

(2)将以上所得参数代入内置的相应滤波器解析式；

(3)存储新的滤波器系数并清空之前生成的数据。

需指出，由于采用了数字化的估计方法，因而决定图3系统的复杂度、实时程度和稳定性的主要因素并不是图3中DSP器件的外围连接，而是DSP内部程序存储器所存储的核心估计算法。

DSP器件的内部程序流程如图4所示。

本发明将所提出的“一种高效的解析FIR滤波器设计法”的核心算法植入DSP器件内，基于此完成高效，边界频率精确可控，阻带衰减范围大的数字滤波器设计。

图4流程分为如下几个步骤：

(1)首先根据实际应用需求，确定所需滤波器的指标参数3dB截止频率和频率向量长度。

(2)然后，CPU主控器从I/O(输入/输出)端口读取参设定的参数，进入内部RAM；

(3)按图1本发明的处理流程进行滤波器的设计是DSP算法最核心的部分，运行该算法后，即可得到所需要的滤波器系数；

(4)判断本发明方法是否满足实际需求，若不满足，程序返回，重新根据要求设定滤波器指标参数；

(5)直至设计结果符合实际要求，然后存储符合要求的滤波器系数。

需指出，由于采用了DSP实现，使得整个数字滤波器设计变得更为灵活快捷，可根据滤波器设计过程中的实际需要，灵活变换所需参数，使之最终符合工程需要。

Claims (4)

1.一种有限长冲激响应滤波器解析设计方法，其特征是，包括构造两种采样模式的候选通带临界频率点集合，搜索两种采样模式下截止频率和候选点集间最小距离对应的下标，判断选定采样模式，具体步骤是，

1)给定截止频率ω_c，频率向量H的长度N₀，根据式(1)(2)求得通带截止频率ω_p：

△ω₀＝2π/N₀ (1)

再分别构造两种频率采样模式的候选通带临界频率点集合Γ_o和Γ_e；其中奇对称采样模式的候选通带临界频率点集合为Γ_o＝{k△ω₀,k＝0,...,N₀-1}，偶对称采样模式的候选通带临界频率点集合为Γ_e＝{(k+0.5)△ω₀,k＝0,...,N₀-1}；

遍历并求取期望的截止频率ω_p与Γ_o、Γ_e之间的距离D_o、D_e，即

D_o＝{d_o(k)＝|ω_p-k△ω₀|,k＝0,...,N₀-1} (3)

D_e＝{d_e(k)＝|ω_p-(k+0.5)△ω₀|,k＝0,...,N₀-1} (4)

进而搜索出两种采样模式下最小距离对应的下标k_o、k_e，即

2)判断并选定采样模式，若d_o(k_o)≤d_e(k_e)时，则选择奇对称采样模式，确定m＝k_o并代入式(7)算出最终的滤波器系数；当d(k_o)>d(k_e)则选择偶对称采样模式，确定m＝k_e+1并代入式(8)算出最终的滤波器系数：

其中C为归一化因子w_c(0)，w_c(n)由长度为N₀的哈明(Hamming)窗和翻转后的长度为N₀矩形窗卷积得到，即

w_c(n)＝w_h(n)*R_N(-n) (9)。

2.如权利要求1所述的有限长冲激响应滤波器解析设计方法，其特征是，找出ω_p与Γ_o,Γ_e中的最小距离从而确定对称频率采样模式。

3.如权利要求1所述的有限长冲激响应滤波器解析设计方法，其特征是，奇对称全相位滤波器通带截止频率ω_p＝m△ω₀。

4.如权利要求1所述的有限长冲激响应滤波器解析设计方法，其特征是，偶对称全相位滤波器通带截止频率ω_p＝(m-0.5)△ω₀。