CN103580560A - 永磁式同步电机t-s模糊速度调节器的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种永磁式同步电机T-S模糊速度调节器的设计方法。本发明方法首先基于永磁式同步电动机的内部结构得到其非线性方程，挖掘出基本的对象特性；然后依据模糊规则，将其进行模糊处理；最后设计永磁式同步电动机的T-S模糊速度调节器。本发明将非线性的永磁式电机转速的控制，经过模糊处理，令其延时为0，使其模型逼近于线性系统。该方法可有效提高带有时变延时的永磁式电机转速控制的精度与稳定性，同时也满足了生产的需求。

Description

永磁式同步电机T-S模糊速度调节器的设计方法

技术领域

本发明属于自动化技术领域，涉及一类永磁式同步电机T-S模糊速度调节器的设计。

背景技术

永磁式同步电机拥有低惯性，低噪声，功率密度大，效率高等优点，它已经广泛应用到半导体设备和高分辨计算机数控机器的生产之中。但是，由于永磁式同步电动机速度的控制是非线性的，这就给它的精确控制带来了挑战。T-S模糊控制系统鲁棒性强，尤其适合非线性和时变纯滞后系统的控制。如果能将模糊控制应用到永磁式同步电动机速度的控制中，将大大提高生产的效率，也更加有利于模糊控制的研究与推广。

发明内容

本发明的目的是针对永磁式同步电动机的速度难以精确控制的特点，提出了一种永磁式同步电动机T-S模糊速度调节器的设计，来更好的调节永磁式同步电动机的转速。通过T-S模糊规则，可以使得磁式同步电动机的速度模型近似于线性系统，这样丰硕的线性系统理论的成果便可以应用到该系统的分析与设计中。

本发明方法首先基于永磁式同步电动机的内部结构得到其非线性方程，挖掘出基本的对象特性；然后依据模糊规则，将其进行模糊处理；最后设计永磁式同步电动机的T-S模糊速度调节器。

本发明的技术方案是通过模糊模型的建立、模糊处理、解线性矩阵不等式等手段，得到T-S模糊控制器。利用该方法可有效提高带有非线性系统控制的精度与稳定性，同时也满足了生产的需求。

本发明方法的步骤包括：

步骤(1).将非线性系统进行模糊处理，得到模糊奇异系统

a.连续型T-S模糊时变延时非线性系统可以描述为

模糊规则i：Ifθ₁is

and IFθ₂is

…IFθ_g is,THEN

$\left\{\begin{array}{c}E\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=A_i\left(t\right)x\left(t\right)+A_{\mathrm{di}}\left(t\right)x(t-\mathrm{\τ}\left(t\right))+B_i\left(t\right)u\left(t\right),i=\mathrm{1,2},...,r\\ x\left(t\right)=\mathrm{\φ}\left(t\right),t\∈[-{\mathrm{\τ}}_2,0]\end{array}\right.$

其中，i表示模糊规则；θ₁,θ₂…θ_g是前提基变量；

是一个模糊集合，j∈{1,2…g}；x(t)∈Rⁿ表示非线性系统的状态向量，表示非线性系统状态向量的一阶导数；

阶奇异矩阵，假定rankE＝n₁≤n；A_i,A_di为n阶方阵，B_i(t)表示r*1阶矩阵；u(t)表示输入变量，φ(t)表示连续向量值初始函数；τ(t)为时变延时函数，τ₂是进程所允许的最大延时时间。

b.使用“模糊混合”，a步骤中的模型可进一步变为：

$\left\{\begin{array}{c}E\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i\left(\mathrm{\θ}\right)\{A_i\left(t\right)x\left(t\right)+A_{\mathrm{di}}\left(t\right)x(t-\mathrm{\τ}\left(t\right))+B_i\left(t\right)u\left(t\right)\}\\ x\left(t\right)=\mathrm{\φ}\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，模糊基函数

$\left\{\begin{array}{c}{u}_i\left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{{\mathrm{\ω}}_i\left(\mathrm{\θ}\right)}{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i\left(\mathrm{\θ}\right)}\\ {\mathrm{\ω}}_i\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\Π}}}{H}_j^i\left({\mathrm{\θ}}_j\right)\end{array}\right.$

表^示θ_j在

中的隶属度；对于任意的t，均有

ω_i(θ)≥0,i＝1,2,…r

$\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i\left(\mathrm{\θ}\right)>0$

c.采用时滞分解法，对时变时滞进行分割

τ(t)＝τ₁+d(t),0≤d(t)≤τ₂-τ₁

其中，τ₁为时滞的常量部分，d(t)为时滞的时变部分，表示时间的微分。

d.把时变滞后中的常数部分τ₁分割成N个子空间，每个子空间为 $[0,(1/N){\mathrm{\τ}}_1],[(1/N){\mathrm{\τ}}_1,\frac{2}{N}{\mathrm{\τ}}_2],...,[(N-1)/N{\mathrm{\τ}}_1,{\mathrm{\τ}}_1].$ 并且在每个子空间上构造带有加权矩阵的泛函W_j(j＝1,2,…,N)。

e.设计整个空间上的Lyapunov-Krasovsk泛函

$V(x_t,t)=\underset{m=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{V}_m(x_t,t)$

V₁(x_t,t)＝x^Τ(t)E^ΤPx(t)

$V_2(x_t,t)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_{t-\mathrm{jh}}^{t-(j-1)h}{x}^T\left(s\right)Q_{j}x\left(s\right)\mathrm{ds}+{\∫}_{t-\mathrm{\τ}\left(t\right)}^{t-{\mathrm{\τ}}_1}{x}^T\left(s\right)S_{1}x\left(s\right)\mathrm{ds}+{\∫}_{t-{\mathrm{\τ}}_2}^t{x}^T\left(s\right)S_{2}x\left(s\right)\mathrm{ds}$

$V_3(x_t,t)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_{-\mathrm{jh}}^{-(j-1)h}{\∫}_{t+\mathrm{\θ}}^t{\stackrel{\·}{x}}^T\left(s\right)\left(h{E}^T{W}_{j}E\right)\stackrel{\·}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\θ}+{\∫}_{-{\mathrm{\τ}}_2}^{-{\mathrm{\τ}}_1}{\∫}_{t+\mathrm{\θ}}^t{\stackrel{\·}{x}}^T\left(s\right)({\mathrm{\τ}}_2-{\mathrm{\τ}}_1)E^T\mathrm{RE}\stackrel{\·}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\θ}$

其中，矩阵 $S_1=S_1^T>0,S_2=S_2^T>0,R=R^T>0,Q_j=Q_j^T>0,W_j=W_j^T>0,$ 小^区间的长度

表示小区间的个数，x(s)表示x(t)的拉普拉斯变换。

步骤（2）设计该模糊奇异系统的控制器

a.利用模糊规则，列出模糊控制器的表达形式

模糊规则i：Ifθ₁is

and IFθ₂is

…IFθ_g is

,THEN

u(t)＝-F_ix(t),i＝1,2,…,r

进而得到整体的状态反馈控制规律

$u\left(t\right)=-\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i\left(\mathrm{\θ}\right)F_{i}x\left(t\right)$

b.假定输入矩阵在所有的模糊规则是相等的，将a步骤的结果带入到步骤(1)b步骤中的模型中，可得

$\left\{\begin{array}{c}E\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i\left(\mathrm{\θ}\right)\{(A_i-{\mathrm{BF}}_i)x\left(t\right)+A_{\mathrm{di}}\left(t\right)x(t-\mathrm{\τ}\left(t\right))\}\\ x\left(t\right)=\mathrm{\φ}\left(t\right),t\∈[{\mathrm{\τ}}_2,0]\end{array}\right.$

c.先保证b步骤系统的稳定性和规律性。对步骤(1)步骤中的Lyapunov-Krasovsk泛函求导，令其导数小于零，可得

如果存在对称正定矩阵

和矩阵X，满足

E^ΤP＝P^ΤE≥0

$\mathrm{\&psi;}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&psi;}}^{\left(1\right)}& {\mathrm{\&psi;}}^{\left(2\right)}& {\mathrm{\&psi;}}^{\left(3\right)}\\ {\mathrm{\&psi;}}^{\left(2\right)T}& -\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{W}_j& 0\\ {\mathrm{\&psi;}}^{\left(3\right)T}& 0& -R\end{array}\right)<0$

则模糊控制系统是稳定的。

其中，

${\mathrm{\&psi;}}_{11}^{\left(1\right)}={\tilde{A}}_{11}^{T}P+P^T{\tilde{A}}_i+Q_1+S_2-E^T{W}_{1}E$

${\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{jj}}^{\left(1\right)}=-Q_{j-1}-E^T{W}_{j-1}E+Q_j-E^T{W}_{j}E,j=\mathrm{2,3},...,N$

${\mathrm{\&psi;}}_{(N+1)(N+1)}^{\left(1\right)}=-Q_N-E^T{W}_{N}E+S_1+E^T\mathrm{RE}$

${\mathrm{\&psi;}}_{(N+2)(N+2)}^{\left(1\right)}=-(1-d)S_1-{2E}^T\mathrm{RE}$

${\mathrm{\&psi;}}_{(N+3)(N+3)}^{\left(1\right)}=-S_2-E^T\mathrm{RE}$

${\mathrm{\&psi;}}^{\left(2\right)}=\left(\begin{array}{c}h(X^T{A}_i^T-Y_i^T{B}^T)\\ 0\\ 0\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ 0\\ {\mathrm{hX}}^T{A}_{\mathrm{di}}^T\\ 0\end{array}\right),{\mathrm{\&psi;}}^{\left(3\right)}=\left(\begin{array}{c}({\mathrm{\&tau;}}_2-{\mathrm{\&tau;}}_1)(X^T{A}_i^T-A_i^T{B}^T)\\ 0\\ 0\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ ({\mathrm{\&tau;}}_2-{\mathrm{\&tau;}}_1{\mathrm{hX}}^T{A}_{\mathrm{di}}^T)\\ 0\\ \end{array}\right)$ ${\tilde{Q}}_j=P^T{Q}_j{P}^{-1},{\tilde{V}}_j=W_j^{-1},(j=\mathrm{1,2,3},...,N)$

${\tilde{S}}_1=P^T{S}_1{P}^{-1},{\tilde{S}}_2=P^T{S}_2{P}^{-1},\tilde{R}=R^{-1}$

X＝P^-1

P是适合维数的非奇异矩阵，为了表述简单，可再令F_i＝Y_iX^-1。

d.求解c步骤中的线性矩阵不等式，可求得矩阵Y_i进而得T-S模糊控制器F_i

F_i＝Y_iX^-1

e.将d步骤中的模糊控制器加入到非线性系统中，调节该系统的性能。

本发明将非线性的永磁式电机转速的控制，经过模糊处理，令其延时为0，使其模型逼近于线性系统。该方法可有效提高带有时变延时的永磁式电机转速控制的精度与稳定性，同时也满足了生产的需求。

具体实施方式

以永磁式同步电动机的T-S模糊速度调节器的设计为例：

在永磁式同步电机转动时，需要控制的是电机的转速，控制手段为调节q轴和d轴的端电压。

步骤(1)将时变滞后系统进行模糊处理，得到模糊奇异系统

a.以永磁式电机的转子坐标作为参考坐标，建立非线性速度模型

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}=k_1{i}_{\mathrm{qs}}-k_2\mathrm{\&omega;}-k_3{T}_L$

${\stackrel{\&CenterDot;}{i}}_{\mathrm{ps}}=-k_4{i}_{\mathrm{qs}}-k_5\mathrm{\&omega;}+k_6{V}_{\mathrm{qs}}-{\mathrm{\&omega;i}}_{\mathrm{qs}}$

${\stackrel{\&CenterDot;}{i}}_{\mathrm{ds}}=-k_4{i}_{\mathrm{qs}}+k_6{V}_{\mathrm{ds}}+{\mathrm{\&omega;i}}_{\mathrm{qs}}$

其中，T_L代表负载转矩，是未知的，通常令

分别代表永磁式同步电机的转子转动的角速度以及其一阶导数，可以测量来获得；i_qs、V_qs表示q轴上的电流和电压，i_ds、v_ds表示d轴上的电流和电压，可测量来获得；k_i＞0,i＝1,2,…,6是依赖于定子电阻的参数值；

b.利用模糊规则，将其转换成连续型T-S模糊系统模型

模糊规则i:

Ifθ₁is

and IFθ₂is

…IFθ_g is

,THEN

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}=k_1{i}_{\mathrm{qs}}-k_2\mathrm{\&omega;}}-k_3{T}_L$

${\stackrel{\&CenterDot;}{i}}_{\mathrm{qs}}=-k_4{i}_{\mathrm{qs}}-k_5\mathrm{\&omega;}+k_6{V}_{\mathrm{qs}}-\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(i_s\right)I_{\mathrm{di}}\mathrm{\&omega;}$

${\stackrel{\&CenterDot;}{i}}_{\mathrm{ds}}=-k_4{i}_{\mathrm{qs}}+k_6{V}_{\mathrm{ds}}+\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(i_s\right)I_{\mathrm{qi}}\mathrm{\&omega;}$

c.将模糊系统进一步处理，可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(i_s\right)A_i\left(t\right)x\left(t\right)+B_i\left(t\right)u\left(t\right)+B_T{T}_L,i=\mathrm{1,2},...,r$

其中，

$A_i=\left(\begin{array}{ccc}-k_2& k_1& 0\\ -k_5-I_{\mathrm{di}}& -k_4& 0\\ I_{\mathrm{qi}}& 0& -k_4\end{array}\right)B_T=\left(\begin{array}{c}-k_3\\ 0\\ 0\end{array}\right),B_i=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ k_6& 0\\ 0& k_6\end{array}\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left(\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{w}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{i}}_{\mathrm{qs}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{i}}_{\mathrm{ds}}\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{c}w\\ i_{\mathrm{qs}}\\ i_{\mathrm{ds}}\end{array}\right),u=\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{qs}}\\ V_{\mathrm{ds}}\end{array}\right)$

$h_i(\&CenterDot;)=m_i(\&CenterDot;)/{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^r{m}_j(\&CenterDot;)$

m_i:R²→[0,1],i＝1,2,…,r

$h_i\left(i_s\right)\&GreaterEqual;0,{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^r{h}_i\left(i_s\right)=1$

(I_qi,I_di)＝(i_qi,i_di),表示第i个操作点的q轴和d轴的电流；m_i表示第i个规则的隶属度函数。模糊集合H_i可以由隶属度函数m_i(i_s)得到。

步骤（2）模糊速度调节器的设计

a.利用模糊规则，列出模糊速度调节器的表达形式

u(t)＝-F_ix(t),i＝1,2,…,r

其中，F_i为3行3列矩阵。

b.假定输入矩阵在所有的模糊规则中是相等的，将a步骤的结果带入到步骤(1)c步骤中的模型中，可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(i_s\right)(A_i-{\mathrm{BF}}_i)x\left(t\right)+B_T{T}_L$

c.先保证步b步骤系统的稳定性和规律性。

选取Lyapunov-Krasovsk泛函为V_c(x)＝x^ΤP_cx

对其求导，可得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_c={2x}^T\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(i_s\right)X^{-1}[A+{\mathrm{BF}}_i]x$

若系统稳定，则必满足

$\left\{\begin{array}{c}X>0\\ \mathrm{AX}+{\mathrm{BY}}_i+*<0\end{array}\right.$

其中，P_c为正定矩阵，且P_c＝X^-1。

d.通过求解c步骤中的线性矩阵不等式，可得到满足步骤c的(X,Y_i)，进而得到T-S模糊速度调节器：

F_i＝Y_iX^-1

e.将d步骤中的模糊控制器加入到永磁式电机调速系统中，进而调节系统的速度。

Claims (1)

1.永磁式同步电机T-S模糊速度调节器的设计方法，其特征在于该方法具体是：

步骤(1).将非线性系统进行模糊处理，得到模糊奇异系统

a.连续型T-S模糊时变延时非线性系统可以描述为

模糊规则i：Ifθ₁is

and IFθ₂is

…IFθ_g is

,THEN

$\left\{\begin{array}{c}E\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=A_i\left(t\right)x\left(t\right)+A_{\mathrm{di}}\left(t\right)x(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))+B_i\left(t\right)u\left(t\right),i=\mathrm{1,2},...,r\\ x\left(t\right)=\mathrm{\&phi;}\left(t\right),t\&Element;[-{\mathrm{\&tau;}}_2,0]\end{array}\right.$

其中，i表示模糊规则；θ₁,θ₂…θ_g是前提基变量；

是一个模糊集合，j∈{1,2…g}；x(t)∈Rⁿ表示非线性系统的状态向量，

表示非线性系统状态向量的一阶导数；

阶奇异矩阵，假定rankE＝n₁≤n；A_i,A_di为n阶方阵，B_i(t)表示r*1阶矩阵；u(t)表示输入变量，φ(t)表示连续向量值初始函数；τ(t)为时变延时函数，τ₂是进程所允许的最大延时时间；

b.使用“模糊混合”，a步骤中的模型可进一步变为：

$\left\{\begin{array}{c}E\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{u}_i\left(\mathrm{\&theta;}\right)\{A_i\left(t\right)x\left(t\right)+A_{\mathrm{di}}\left(t\right)x(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))+B_i\left(t\right)u\left(t\right)\}\\ x\left(t\right)=\mathrm{\&phi;}\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，模糊基函数

$\left\{\begin{array}{c}{u}_i\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_i\left(\mathrm{\&theta;}\right)}{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_i\left(\mathrm{\&theta;}\right)}\\ {\mathrm{\&omega;}}_i\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Pi;}}}{H}_j^i\left({\mathrm{\&theta;}}_j\right)\end{array}\right.$

表示θ_j在中的隶属度；对于任意的t，均有

ω_i(θ)≥0,i＝1,2,…,r

$\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_i\left(\mathrm{\&theta;}\right)>0$

c.采用时滞分解法，对时变时滞进行分割

τ(t)＝τ₁+d(t),0≤d(t)≤τ₂-τ₁

其中，τ₁为时滞的常量部分，d(t)为时滞的时变部分，表示时间的微分；

d.把时变滞后中的常数部分τ₁分割成N个子空间，每个子空间为 $[0,(1/N){\mathrm{\&tau;}}_1],[(1/N){\mathrm{\&tau;}}_1,\frac{2}{N}{\mathrm{\&tau;}}_2],...,[(N-1)/N{\mathrm{\&tau;}}_1,{\mathrm{\&tau;}}_1];$ 并且在每个子空间上构造带有加权矩阵的泛函W_j(j＝1,2,…,N)；

e.设计整个空间上的Lyapunov-Krasovsk泛函

$V(x_t,t)=\underset{m=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{V}_m(x_t,t)$

V₁(x_t,t)＝x^Τ(t)E^ΤPx(t)

$V_2(x_t,t)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\&Integral;}_{t-\mathrm{jh}}^{t-(j-1)h}{x}^T\left(s\right)Q_{j}x\left(s\right)\mathrm{ds}+{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right)}^{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}{x}^T\left(s\right)S_{1}x\left(s\right)\mathrm{ds}+{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t{x}^T\left(s\right)S_{2}x\left(s\right)\mathrm{ds}$

$V_3(x_t,t)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\&Integral;}_{-\mathrm{jh}}^{-(j-1)h}{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)\left(h{E}^T{W}_{j}E\right)\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}+{\&Integral;}_{-{\mathrm{\&tau;}}_2}^{-{\mathrm{\&tau;}}_1}{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)({\mathrm{\&tau;}}_2-{\mathrm{\&tau;}}_1)E^T\mathrm{RE}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}$

其中，矩阵 $S_1=S_1^T>0,S_2=S_2^T>0,R=R^T>0,Q_j=Q_j^T>0,W_j=W_j^T>0,$ 小区间的长度

表示小区间的个数，x(s)表示x(t)的拉普拉斯变换；

步骤（2）设计该模糊奇异系统的控制器

a.利用模糊规则，列出模糊控制器的表达形式

模糊规则i：Ifθ₁isand IFθ₂is

…IFθ_g is

,THEN

u(t)＝-F_ix(t),i＝1,2,…,r

进而得到整体的状态反馈控制规律

$u\left(t\right)=-\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{u}_i\left(\mathrm{\&theta;}\right)F_{i}x\left(t\right)$

b.假定输入矩阵在所有的模糊规则是相等的，将a步骤的结果带入到步骤(1)b步骤中的模型中，可得

$\left\{\begin{array}{c}E\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{u}_i\left(\mathrm{\&theta;}\right)\{(A_i-{\mathrm{BF}}_i)x\left(t\right)+A_{\mathrm{di}}\left(t\right)x(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))\}\\ x\left(t\right)=\mathrm{\&phi;}\left(t\right),t\&Element;[{\mathrm{\&tau;}}_2,0]\end{array}\right.$

c.先保证b步骤系统的稳定性和规律性；对步骤(1)步骤中的Lyapunov-Krasovsk泛函求导，令其导数小于零，可得

如果存在对称正定矩阵和矩阵X，满足

E^ΤP＝P^ΤE≥0

$\mathrm{\&psi;}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&psi;}}^{\left(1\right)}& {\mathrm{\&psi;}}^{\left(2\right)}& {\mathrm{\&psi;}}^{\left(3\right)}\\ {\mathrm{\&psi;}}^{\left(2\right)T}& -\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{W}_j& 0\\ {\mathrm{\&psi;}}^{\left(3\right)T}& 0& -R\end{array}\right)<0$

则模糊控制系统是稳定的；

其中，

${\mathrm{\&psi;}}_{11}^{\left(1\right)}={\tilde{A}}_{11}^{T}P+P^T{\tilde{A}}_i+Q_1+S_2-E^T{W}_{1}E$

${\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{jj}}^{\left(1\right)}=-Q_{j-1}-E^T{W}_{j-1}E+Q_j-E^T{W}_{j}E,j=\mathrm{2,3},...,N$

${\mathrm{\&psi;}}_{(N+1)(N+1)}^{\left(1\right)}=-Q_N-E^T{W}_{N}E+S_1+E^T\mathrm{RE}$

${\mathrm{\&psi;}}_{(N+2)(N+2)}^{\left(1\right)}=-(1-d)S_1-{2E}^T\mathrm{RE}$

${\mathrm{\&psi;}}_{(N+3)(N+3)}^{\left(1\right)}=-S_2-E^T\mathrm{RE}$

${\mathrm{\&psi;}}^{\left(2\right)}=\left(\begin{array}{c}h(X^T{A}_i^T-Y_i^T{B}^T)\\ 0\\ 0\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ 0\\ {\mathrm{hX}}^T{A}_{\mathrm{di}}^T\\ 0\end{array}\right),{\mathrm{\&psi;}}^{\left(3\right)}=\left(\begin{array}{c}({\mathrm{\&tau;}}_2-{\mathrm{\&tau;}}_1)(X^T{A}_i^T-A_i^T{B}^T)\\ 0\\ 0\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ ({\mathrm{\&tau;}}_2-{\mathrm{\&tau;}}_1{\mathrm{hX}}^T{A}_{\mathrm{di}}^T)\\ 0\\ \end{array}\right)$

${\tilde{Q}}_j=P^T{Q}_j{P}^{-1},{\tilde{V}}_j=W_j^{-1},(j=\mathrm{1,2,3},...,N)$

${\tilde{S}}_1=P^T{S}_1{P}^{-1},{\tilde{S}}_2=P^T{S}_2{P}^{-1},\tilde{R}=R^{-1}$

X＝P^-1

P是适合维数的非奇异矩阵，

为了表述简单，可再令F_i＝Y_iX^-1；

d.求解c步骤中的线性矩阵不等式，可求得矩阵Y_i进而得T-S模糊控制器F_i

F_i＝Y_iX^-1

e.将d步骤中的模糊控制器加入到非线性系统中，调节该系统的性能。