CN103530445B - 一种具有初始侧移钢柱构件的临界温度的获取方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有初始侧移钢柱构件的临界温度的获取方法，属于钢结构的稳定设计和分析领域。本发明根据平衡微分方程推导了两端铰支和两端固支的有初始侧移的轴向约束钢柱的挠曲线方程，采用边缘屈服准则计算了钢柱的极限承载力、高温下内力，得出了有初始侧移钢柱的临界温度的计算方法。本发明在确定钢柱的临界温度过程中，考虑了钢柱的初弯曲、荷载初偏心等初始缺陷，能够准确的估计出钢柱在高温下的极限承载力和耐火极限，对钢结构的防火设计、施工提供一定的参考依据。也为准确预估地震后次生火灾的抢险救援时间作出一定的贡献。

Description

一种具有初始侧移钢柱构件的临界温度的获取方法

技术领域

本发明属于钢结构的稳定涉及和分析领域，尤其涉及一种具有初始侧移钢柱构件的临界温度的获得方法。

背景技术

钢材具有高强、质轻、力学性能良好的优点，是制造结构物的一种良好的建筑材料。钢结构与建筑结构中应用广泛的钢筋混凝土结构相比，对于相同受力功能的构件，具有截面轮廓尺寸小、构件细长和板件柔薄的特点。对于因受压、受弯和受剪等存在受压区的构件或板件，如果技术上处理不当，可能使钢结构出现整体失稳或局部失稳。失稳前结构物的变形可能很微小，突然失稳使结构物的几何形状急剧改变而导致结构物完全丧失抵抗能力，以至整体塌落。

钢结构的稳定性能是决定其承载能力的一个特别重要的因素，稳定理论与设计方法需要完善。近几十年来，在研究发挥钢结构稳定性能的潜力和完善稳定计算的理论方面，国内外都取得了长足的进步。例如完善钢结构的弹塑性稳定理论，研究有几何缺陷和残余应力的钢结构的实际受力性能和其极限荷载，用数值法来解决这类问题等都取得了不少研究成果。包括我国在内的世界上许多国家，最近几年都相继修订了钢结构设计规范。在这些规范中均反映了新的研究成果。

在已进行的研究中，初始缺陷如初弯曲、荷载初偏心和残余应力等对构件承载力的影响都进行过讨论，然而钢柱初始侧移对其承载力的影响研究还未有人研究。

发明内容

发明目的：针对上述现有存在的问题和不足，本发明提供了一种具有初始侧移钢柱构件的临界温度的获取方法，从而为研究初试侧移对钢柱火灾下临界温度的影响提供了参考。

技术方案：为实现上述发明目的，本发明采用以下技术方案：1、一种具有初始侧移钢柱构件的临界温度的获取方法，包括以下步骤：

步骤1：确定钢柱构件的弹塑性极限承载力；

情形一：对于两端铰支钢柱构件：

(1)钢柱构件初弯曲复合正弦曲线，由公式(1)表示：

$y_0=a_0\sin \left(\frac{\mathrm{\π}x}{L}\right)+\frac{\mathrm{\δ}\·x}{L}---\left(1\right)$

式中，y0为钢柱构件的初弯曲挠度，α₀为构件中点初弯曲的幅值，L为构件长度，δ为钢柱柱顶的初始侧移；

(2)荷载作用后的钢柱的绕曲线为y，通过平衡法建立屈曲方程，如公式(2)所示：

E_TI(y-y0)″+P(y+e₀-δ)＝0(0≤y≤L)(2)

式中，P为轴压荷载，E_TI为柱高温下的抗弯刚度，e₀为荷载的初偏心；

(3)令则由边界条件y(0)＝0，y(L)＝δ得微分方程的通解为：

$y\left(x\right)=C_1\sin \left(\frac{u\mathrm{\π}x}{L}\right)+C_2\cos \left(\frac{u\mathrm{\π}x}{L}\right)+\frac{a}{1-u^2}\sin \left(\frac{\mathrm{\π}x}{L}\right)+(\mathrm{\δ}-e)---\left(3\right)$

其中，C₁＝-((e-δ)cos(uπ)-e)/sin(uπ)；C₂＝e-δ；

(4)钢柱构件截面受轴向压力为附加弯矩M_m＝Pα_max，α_max为构件的最大挠度，截面剪力为Psinθ＝Pδ/L忽略不计；然后采用钢柱截面边缘纤维屈服为破坏准则，此时钢柱截面的平均应力状态为构件的极限承载状态，在极限承载状态下符合公式(5)：

$\frac{P}{A}+\frac{{\mathrm{P\α}}_{\max }}{W}=f_{yT}---\left(5\right)$

式中，α_max为构件的最大挠度，f_yT为高温下钢材的屈服强度；所述钢柱构件的承载压力P的表达式记为f(P)，并对公式(5)进行公式变换得到公式(6)：

$\begin{array}{c}f\left(P\right)=\frac{P}{A}+P(\frac{\sin (1/2\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})\left(\cos \right(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})e-\cos (\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})\mathrm{\δ}-e)}{\left(\sin \right(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\left)\right)}\\ +\cos (1/2\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})(e-\mathrm{\δ})+\frac{-E_T{\mathrm{Ia\π}}^2-(e-\mathrm{\δ})({\mathrm{PL}}^2-{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I)}{{\mathrm{PL}}^2-{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I})/W-f_{yT}\end{array}---\left(6\right)$

将高温下钢材的强度和弹性模量带入公式(6)，并通过牛顿迭代法求解P值，即为钢柱的极限承载压力：

$P=P-\frac{f\left(P\right)}{f^{\′}\left(P\right)}---\left(7\right);$

情形二：对于两端固支的钢柱构件：

(1)钢柱构件的初弯曲复合余弦曲线，符合公式(8)：

$y_0=\frac{1}{2}{a}_0(1-\cos \frac{2\mathrm{\π}}{L}x)+\frac{\mathrm{\δ}\·x}{L}---\left(8\right)$

(2)设荷载作用后的钢柱构件的绕曲线为y，通过平衡法建立屈曲方程得到公式(9)：

E_TI(y-y0)″+P(y-δ)+M＝0(0≤y≤L)(9)

式中，E_TI为柱高温下的抗弯刚度，M为钢柱下段支座弯矩；

(3)令则由边界条件y(0)＝0，y(L)＝δ，y′(0)＝0得微分方程的通解为：

$y\left(x\right)=C_1\sin \left(\frac{\sqrt{P}x}{\sqrt{E_{T}I}}\right)+C_2\sin \left(\frac{\sqrt{P}x}{\sqrt{E_{T}I}}\right)+\frac{2E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P}{P({\mathrm{PL}}^2-4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I)}\cos \left(2\frac{\mathrm{\π}x}{L}\right)-\frac{M-\mathrm{\δ}P}{P}---\left(10\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{C}_1=-(-2E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P+L^{2}MP-4{\mathrm{M\π}}^2{E}_{T}I+2\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P-4\cos (\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}){\mathrm{\δP\π}}^2{E}_{T}I+\cos (\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})L^2{\mathrm{\δP}}^2\\ -\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)L^{2}MP+4\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right){\mathrm{M\π}}^2{E}_{T}I)\sin {\left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)}^{-1}{P}^{-1}{(-{\mathrm{PL}}^2+4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I)}^{-1}\end{array}$

$C_2=\frac{(2E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P-4{\mathrm{\δP\π}}^2{E}_{T}I+L^2{\mathrm{\δP}}^2-L^{2}MP+4{\mathrm{M\π}}^2{E}_{T}I)}{P(-{\mathrm{PL}}^2+4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I)}---\left(12\right)$

$M=-\frac{P(-2E_T{\mathrm{Ia\π}}^2+2\cos (\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})E_T{\mathrm{Ia\π}}^2-4\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right){\mathrm{\δ\π}}^2{E}_{T}I+\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)L^2\mathrm{\δ}P)}{{\mathrm{PL}}^2-4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I-\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)L^{2}P+4\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right){\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I}---\left(13\right)$

(4)采用钢柱截面边缘纤维屈服为破坏准则，此时钢柱截面的平均应力状态为钢柱构件的极限承载力状态，此时符合公式(14)：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{P}{A}+\frac{M}{W}=f_{yT}\\ \frac{P}{A}+\frac{\left|M-{\mathrm{P\α}}_{\max }\right|}{W}=f_{yT}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，α_max为构件的最大挠度；然后将高温下钢材的强度和弹性模量带入上式，式14为超越方程，通过牛顿迭代法可解出P值，其中P的最小值就为钢柱的极限承载力；

步骤2：确定轴向约束钢柱的高温内力：

温度升高时，柱轴向长度可表示为：

Δl_s＝Δl_th-Δl_c(15)

式中，Δl_s为弹簧长度变化，Δl_th为整个钢柱的热膨胀量，Δl_c为整个钢柱的缩减量；

(1)整个钢柱的热膨胀量用公式(16)表示：

Δl_th＝α_T(T₁-T₀)×L(16)

式中，α_T为钢材的热膨胀系数；T₁为钢柱的温度；T₀为初始温度；

(2)高温下，随着钢柱轴力的增加以及钢材弹性模量的降低，钢柱会出现轴向压缩变形，整个钢柱长度的压缩变形量通过公式(19)求取：

${\mathrm{\Δl}}_c=\frac{P_T\×L}{E_{T}A}-\frac{P_{20}\×L}{EA}+\frac{1}{2}{\∫}_0^L\[y^{\′}{\left(P_T\right)}^2-y^{\′}{\left(P_{20}\right)}^2\]d_x---\left(19\right)$

式中，P_T为在给定的温度下柱的轴力；P₂₀为常温下钢柱的设计承载力；E_T为钢材在高温下的弹性模量；E为钢材在常温下的弹性模量；

(3)随着温度升高，钢柱的轴向长度变化满足公式(21)：

$a_T(T_1-20)\×L=\frac{P_T-P_{20}}{k_s}+\frac{P_T\×L}{E_{T}k}-\frac{P_{20}\×L}{EA}+\frac{1}{2}{\∫}_0^L\[y^{\′}{\left(P_T\right)}^2-y^{\′}{\left(P_{20}\right)}^2\]dx---\left(21\right)$

此时，通过牛顿迭代法求解P_T，即得到约束钢柱在高温下的内力；

步骤3：确定轴向约束钢柱构件的临界温度：温度升高到钢柱的内力达到极限承载力时的温度，即为钢柱的临界温度。

有益效果：与现有技术相比，本发明具有以下优点：采用边缘屈服准则计算了钢柱的极限承载力、高温下内力，得出了有初始侧移钢柱的临界温度的计算方法；在确定钢柱的临界温度过程中，考虑了钢柱的初弯曲、荷载初偏心等初始缺陷，能够准确的估计出钢柱在高温下的极限承载力和耐火极限，对钢结构的防火设计、施工提供一定的参考依据，也为准确预估地震后次生火灾的抢险救援时间作出一定的贡献。

附图说明

图1是本发明所述两端铰支有初始侧移钢柱的挠曲线分析模型图。

图2是本发明所述两端固支有初始侧移钢柱的挠曲线分析模型图。

图3是本发明所述约束钢柱轴向力分析的力学模型图。

图4是本发明所述钢柱在受压及受弯状态下长度变化示意图。

图5是本发明所述钢柱挠曲线的有限元验证结果图。

图6是本发明所述钢柱的轴向位移有限元验证结果图。

图7是本发明所述轴向约束钢柱的临界温度示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明。应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

第一步：确定钢柱的弹塑性极限承载力。

对于两端铰支钢柱：

(1)假定钢柱初弯曲符合正弦曲线，函数表达式为：

$y_0=a_0\sin \left(\frac{\mathrm{\π}x}{L}\right)+\frac{\mathrm{\δ}\·x}{L}---\left(1\right)$

(2)分析有侧移钢柱的挠曲线的力学模型如图1所示。取柱的下半隔离体进行分析，设荷载作用后的钢柱的挠曲线为y，根据平衡法建立屈曲方程：

E_TI(y-y0)″+P(y+e₀-δ)＝0(0≤y≤L)(2)

式中E_TI为柱高温下的抗弯刚度，e₀为荷载的初偏心。

(3)令则由边界条件y(0)＝0，y(L)＝δ得微分方程的通解为：

$y\left(x\right)=C_1\sin \left(\frac{u\mathrm{\π}x}{L}\right)+C_2\cos \left(\frac{u\mathrm{\π}x}{L}\right)+\frac{a}{1-u^2}\sin \left(\frac{\mathrm{\π}x}{L}\right)+(\mathrm{\δ}-e)---\left(3\right)$

其中，

C₁＝-((e-δ)cos(uπ)-e)/sin(uπ)

C₂＝e-δ(4)

(4)构件截面受轴向压力为附加弯矩M_m＝Pα_max，截面剪力为Psinθ＝Pδ/L，可忽略不计。采用柱截面边缘纤维屈服为破坏准则，此时截面的平均应力状态为构件的极限承载力状态。柱达到极限承载力时满足下式：

$\frac{P}{A}+\frac{{\mathrm{P\α}}_{\max }}{W}=f_{yT}---\left(5\right)$

其中α_max为构件的最大挠度。

式5为超越方程，将方程右端移项到左端，并将关于P的表达式记为f(P)：

$\begin{array}{c}f\left(P\right)=\frac{P}{A}+P(\frac{\sin (1/2\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})\left(\cos \right(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})e-\cos (\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})\mathrm{\δ}-e)}{\left(\sin \right(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\left)\right)}\\ +\cos (1/2\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})(e-\mathrm{\δ})+\frac{-E_T{\mathrm{Ia\π}}^2-(e-\mathrm{\δ})({\mathrm{PL}}^2-{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I)}{{\mathrm{PL}}^2-{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I})/W-f_{yT}\end{array}---\left(6\right)$

将高温下钢材的强度和弹性模量带入上式，通过牛顿迭代法可解出P值，即为钢柱的极限承载力。

$P=P-\frac{f\left(P\right)}{f^{\′}\left(P\right)}---\left(7\right)$

对于两端固支钢柱：

(1)假定钢柱初弯曲符合余弦曲线，函数表达式为：

$y_0=\frac{1}{2}{a}_0(1-\cos \frac{2\mathrm{\π}}{L}x)+\frac{\mathrm{\δ}\·x}{L}---\left(8\right)$

(2)两端固支钢柱挠曲线的力学分析模型如图2所示。取柱的下半隔离体进行分析，设荷载作用后的钢柱的挠曲线为y，根据平衡法建立屈曲方程：

E_TI(y-y0)″+P(y-δ)+M＝0(0≤y≤L)(9)

式中E_TI为柱高温下的抗弯刚度，M为钢柱下段支座弯矩。

(3)由边界条件y(0)＝0，y(L)＝δ，y′(0)＝0得微分方程的通解为：

$y\left(x\right)=C_1\sin \left(\frac{\sqrt{P}x}{\sqrt{E_{T}I}}\right)+C_2\sin \left(\frac{\sqrt{P}x}{\sqrt{E_{T}I}}\right)+\frac{2E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P}{P({\mathrm{PL}}^2-4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I)}\cos \left(2\frac{\mathrm{\π}x}{L}\right)-\frac{M-\mathrm{\δ}P}{P}---\left(10\right)$

其中：

$\begin{array}{c}{C}_1=-(-2E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P+L^{2}MP-4{\mathrm{M\π}}^2{E}_{T}I+2\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P-4\cos (\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}){\mathrm{\δP\π}}^2{E}_{T}I+\cos (\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})L^2{\mathrm{\δP}}^2\\ -\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)L^{2}MP+4\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right){\mathrm{M\π}}^2{E}_{T}I)\sin {\left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)}^{-1}{P}^{-1}{(-{\mathrm{PL}}^2+4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I)}^{-1}\end{array}---\left(11\right)$

$C_2=\frac{(2E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P-4{\mathrm{\δP\π}}^2{E}_{T}I+L^2{\mathrm{\δP}}^2-L^{2}MP+4{\mathrm{M\π}}^2{E}_{T}I)}{P(-{\mathrm{PL}}^2+4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I)}---\left(12\right)$

$M=-\frac{P(-2E_T{\mathrm{Ia\π}}^2+2\cos (\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}})E_T{\mathrm{Ia\π}}^2-4\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right){\mathrm{\δ\π}}^2{E}_{T}I+\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)L^2\mathrm{\δ}P)}{{\mathrm{PL}}^2-4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I-\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)L^{2}P+4\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right){\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I}---\left(13\right)$

采用柱截面边缘纤维屈服为破坏准则，此时截面的平均应力状态为构件的极限承载力状态。柱达到极限承载力时满足下式：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{P}{A}+\frac{M}{W}=f_{yT}\\ \frac{P}{A}+\frac{\left|M-{\mathrm{P\α}}_{\max }\right|}{W}=f_{yT}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中α_max为构件的最大挠度。将高温下钢材的强度和弹性模量带入上式，式14为超越方程，通过牛顿迭代法可解出P值，其中P的最小值就为钢柱的极限承载力。

第二步：确定轴向约束钢柱的高温内力。

如图3所示，温度升高时，柱轴向长度可表示为：

Δl_s＝Δl_th-Δl_c(15)

其中，Δl_s为弹簧长度变化，Δl_th为整个钢柱的热膨胀量，Δl_c为整个钢柱的缩减量。

(1)整个钢柱的热膨胀量可以用下式表示：

Δl_th＝α_T(T₁-T₀)×L(16)

式中，α_T为钢材的热膨胀系数；T₁为钢柱的温度；T₀为初始温度。

(2)高温下，随着钢柱轴力的增加以及钢材弹性模量的降低，钢柱会出现轴向压缩变形，如图4所示。

${\mathrm{\Δl}}_2-{\mathrm{\Δl}}_1=\frac{P_T\×L}{E_{T}A}-\frac{P_{20}\×L}{EA}---\left(17\right)$

同时，钢柱发生弯曲也会导致其轴向长度的缩减。由于 $cos\mathrm{\θ}=1-\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}^2+\frac{1}{24}{\mathrm{\θ}}^4+...\≈1-\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}^2,\mathrm{\θ}=\frac{dy}{dx},$ 所以 $dx(1-cos\mathrm{\θ})=\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}^{2}dx,$ 弯曲变形引起的长度变化：

$\mathrm{\Δ}l={\∫}_0^L(1-\cos \mathrm{\θ})dx\≈\frac{1}{2}{\∫}_0^L\left(y^{\′}\right)dx---\left(18\right)$

整个钢柱长度的缩减量可以用下式表示：

${\mathrm{\Δl}}_c=\frac{P_T\×L}{E_{T}A}-\frac{P_{20}\×L}{EA}+\frac{1}{2}{\∫}_0^L\[y^{\′}{\left(P_T\right)}^2-y^{\′}{\left(P_{20}\right)}^2\]d_x---\left(19\right)$

式中，P_T为在给定的温度下柱的轴力；P₂₀为常温下钢柱的设计承载力；E_T为钢材在高温下的弹性模量；E为钢材在常温下的弹性模量。

(3)轴向约束用弹簧表示，高温时钢柱轴力增加时，弹簧受压其长度减少。根据胡克定律：

Δl_s＝ΔP/k_s(20)

式中，ΔP＝P_T–P₂₀，k_s为钢柱所受约束的约束刚度。

综上分析，随着温度的升高，钢柱的轴向长度变化满足下式：

${\mathrm{\α}}_T(T_1-20)\×L=\frac{P_T-P_{20}}{k_s}+\frac{P_T\×L}{E_{T}A}-\frac{P_{20}\×L}{EA}+\frac{1}{2}{\∫}_0^L\[y^{\′}{\left(P_T\right)}^2-y^{\′}{\left(P_{20}\right)}^2\]dx---\left(21\right)$

式21为超越方程，通过牛顿迭代法求解P_T，即得到约束钢柱在高温下的内力。

第三步：确定轴向约束钢柱的临界温度。

由于受热膨胀受到约束，钢柱的轴力会增加。随着温度的升高，当轴力增加到钢柱的极限承载力时，就会产生屈服或屈曲。钢柱的临界温度定义为温度升高到钢柱的内力达到极限承载力时的温度。

利用上述步骤，结合具体算例对本发明的具体实施方式作出更为详细的说明：

钢柱截面尺寸采用H300×300×8×16，长度为5m，初始弯曲α₀取钢柱长度的1‰，荷载偏心率e₀为4％，初始柱侧移δ取15mm，钢柱温度取600℃。使用本文推倒的公式和有限元方法计算的两端铰支钢柱的跨中挠度随荷载的变化曲线如图5(a)所示，两端固支钢柱在竖向荷载P＝15000kN下，挠曲线如图5(b)所示。挠曲线的有限元结果和本发明推倒公式的计算结果吻合较好。验证了本发明的计算方法可用来计算有侧移钢柱的极限承载力。

钢柱截面尺寸为H300×300×8×16，长度为5m，常温下的轴力设计值P₂₀＝328kN，弹簧刚度k_s＝0.02×E₂₀A/L，钢材的热膨胀系数取1.4×10^-5，本发明推导的理论公式的计算结果和有限元分析的轴向位移计算结果如图6所示，结果吻合较好，验证了本发明的计算方法可用来计算钢柱的高温内力。

由于受热膨胀受到约束，钢柱的轴力会增加。随着温度的升高，当轴力增加到钢柱的极限承载力时就会屈服或屈曲，钢柱极限承载力-温度曲线与约束钢柱轴力-温度曲线交点的温度即为轴向约束钢柱的临界温度。对于两端铰支钢柱，截面尺寸为H300×300×8×16，长度为5m，常温下的轴力设计值P₂₀＝328kN，弹簧刚度k_s＝0.02×E₂₀A/L，钢材的热膨胀系数取1.4×10^-5。如图7所示计算了两端铰支钢柱在不同约束刚度、荷载比下的临界温度。

Claims (1)

1.一种具有初始侧移钢柱构件的临界温度的获取方法，包括以下步骤：

步骤1：确定钢柱构件的弹塑性极限承载力；

情形一：对于两端铰支钢柱构件：

(1)钢柱构件初弯曲复合正弦曲线，由公式(1)表示：

$y_0=a_{0}sin\left(\frac{\mathrm{\π}x}{L}\right)+\frac{\mathrm{\δ}\·x}{L}---\left(1\right)$

式中，y₀为钢柱构件的初弯曲挠度，α₀为构件中点初弯曲的幅值，L为构件长度，δ为钢柱柱顶的初始侧移；

(2)荷载作用后的钢柱的绕曲线为y，通过平衡法建立屈曲方程，如公式(2)所示：

E_TI(y-y₀)″+P(y+e₀-δ)＝0(0≤y≤L)(2)

式中，P为轴压荷载，E_TI为柱高温下的抗弯刚度，e₀为荷载的初偏心；

(3)令Pcr＝π²E_TI/L²，则由边界条件y(0)＝0，y(L)＝δ得微分方程的通解为：

$y\left(x\right)=C_{1}sin\[\frac{u\mathrm{\π}x}{L}\]+C_{2}cos\[\frac{u\mathrm{\π}x}{L}\]+\frac{a}{1-u^2}sin\[\frac{\mathrm{\π}x}{L}\]+(\mathrm{\δ}-e)---\left(3\right)$

其中，C₁＝-((e-δ)cos(uπ)-e)/sin(uπ)；C₂＝e-δ；

(4)钢柱构件截面受轴向压力为附加弯矩M_m＝Pα_max，α_max为构件的最大挠度，截面剪力为Psinθ＝Pδ/L忽略不计；然后采用钢柱截面边缘纤维屈服为破坏准则，此时钢柱截面的平均应力状态为构件的极限承载状态，在极限承载状态下符合公式(5)：

$\frac{P}{A}+\frac{{\mathrm{P\α}}_{max}}{W}=f_{yT}---\left(5\right)$

式中，α_max为构件的最大挠度，f_yT为高温下钢材的屈服强度；所述钢柱构件的承载压力P的表达式记为f(P)，并对公式(5)进行公式变换得到公式(6)：

$\begin{array}{c}f\left(P\right)=\frac{P}{A}+P(-\frac{\sin \left(1/2\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)\left(\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)e-\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)\mathrm{\δ}-e\right)}{\left(\sin \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)\right)}\\ +\cos \left(1/2\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)\left(e-\mathrm{\δ}\right)+\frac{-E_T{\mathrm{Ia\π}}^2-\left(e-\mathrm{\δ}\right)\left({\mathrm{PL}}^2-{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I\right)}{{\mathrm{PL}}^2-{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I})/W-f_{yT}\end{array}---\left(6\right)$

将高温下钢材的强度和弹性模量带入公式(6)，并通过牛顿迭代法求解P值，即为钢柱的极限承载压力：

$P=P-\frac{f\left(P\right)}{f^{\′}\left(P\right)}---\left(7\right);$

情形二：对于两端固支的钢柱构件：

(1)钢柱构件的初弯曲复合余弦曲线，符合公式(8)：

$y_0=\frac{1}{2}{a}_0(1-cos\frac{2\mathrm{\π}}{L}x)+\frac{\mathrm{\δ}\·x}{L}---\left(8\right)$

(2)设荷载作用后的钢柱构件的绕曲线为y，通过平衡法建立屈曲方程得到公式(9)：

E_TI(y-y₀)″+P(y-δ)+M＝0(0≤y≤L)(9)

式中，E_TI为柱高温下的抗弯刚度，M为钢柱下段支座弯矩；

(3)令Pcr＝π²E_TI/L²，则由边界条件y(0)＝0，y(L)＝δ，y′(0)＝0得微分方程的通解为：

$y\left(x\right)=C_{1}sin\left(\frac{\sqrt{P}x}{\sqrt{E_{T}I}}\right)+C_2\sin \left(\frac{\sqrt{P}x}{\sqrt{E_{T}I}}\right)+\frac{2E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P}{P\left({\mathrm{PL}}^2-4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I\right)}cos\left(2\frac{\mathrm{\π}x}{L}\right)-\frac{M-\mathrm{\δ}P}{P}---\left(10\right)$

其中，

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{C}_1=-(-2E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P+L^{2}MP-4{\mathrm{M\π}}^2{E}_{T}I+2\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P-4\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right){\mathrm{\δP\π}}^2{E}_{T}I+\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)L^2{\mathrm{\δP}}^2\\ -\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)L^{2}MP+4\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right){\mathrm{M\π}}^2{E}_{T}I)\sin {\left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)}^{-1}{P}^{-1}{\left(-{\mathrm{PL}}^2+4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I\right)}^{-1}\end{array}\\ C_2=\frac{\left(2E_T{\mathrm{Ia\π}}^{2}P-4{\mathrm{\δP\π}}^2{E}_{T}I+L^2{\mathrm{\δP}}^2-L^{2}MP+4{\mathrm{M\π}}^2{E}_{T}I\right)}{P\left(-{\mathrm{PL}}^2+4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I\right)}---\left(12\right)\\ M=-\frac{P\left(-2E_T{\mathrm{Ia\π}}^2+2\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)E_T{\mathrm{Ia\π}}^2-4\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right){\mathrm{\δ\π}}^2{E}_{T}I+\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)L^2\mathrm{\δ}P\right)}{{\mathrm{PL}}^2-4{\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I-\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right)L^{2}P+4\cos \left(\frac{\sqrt{P}L}{\sqrt{E_{T}I}}\right){\mathrm{\π}}^2{E}_{T}I}---\left(13\right)\end{array}$

(4)采用钢柱截面边缘纤维屈服为破坏准则，此时钢柱截面的平均应力状态为钢柱构件的极限承载力状态，此时符合公式(14)：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{P}{A}+\frac{M}{W}=f_{yT}\\ \frac{P}{A}+\frac{|M-{\mathrm{P\α}}_{\max }|}{W}=f_{yT}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，α_max为构件的最大挠度；然后将高温下钢材的强度和弹性模量带入上式，式14为超越方程，通过牛顿迭代法可解出P值，其中P的最小值就为钢柱的极限承载力；

步骤2：确定轴向约束钢柱的高温内力：

温度升高时，柱轴向长度可表示为：

Δls＝Δlth-Δlc(15)

式中，Δls为弹簧长度变化，Δlth为整个钢柱的热膨胀量，Δlc为整个钢柱的缩减量；

(1)整个钢柱的热膨胀量用公式(16)表示：

Δlth＝α_T(T₁-T₀)×L(16)

式中，α_T为钢材的热膨胀系数；T₁为钢柱的温度；T₀为初始温度；

(2)高温下，随着钢柱轴力的增加以及钢材弹性模量的降低，钢柱会出现轴向压缩变形，整个钢柱长度的压缩变形量通过公式(19)求取：

${\mathrm{\Δl}}_c=\frac{P_T\×L}{E_{T}A}-\frac{P_{20}\×L}{EA}+\frac{1}{2}{\∫}_0^L\[y^{\′}{\left(P_T\right)}^2-y^{\′}{\left(P_{20}\right)}^2\]d_x---\left(19\right)$

式中，PT为在给定的温度下柱的轴力；P20为常温下钢柱的设计承载力；ET为钢材在高温下的弹性模量；E为钢材在常温下的弹性模量；

(3)随着温度升高，钢柱的轴向长度变化满足公式(21)：

${\mathrm{\α}}_T\left(T_1-20\right)\×L=\frac{P_T-P_{20}}{k_s}+\frac{P_T\×L}{E_{T}A}-\frac{P_{20}\×L}{EA}\frac{1}{2}{\∫}_0^L\[y^{\′}{\left(P_T\right)}^2-y^{\′}{\left(P_{20}\right)}^2\]dx---\left(21\right)$

此时，通过牛顿迭代法求解PT，即得到约束钢柱在高温下的内力；

步骤3：确定轴向约束钢柱构件的临界温度：温度升高到钢柱的内力达到极限承载力时的温度，即为钢柱的临界温度。