CN108170933B - 固支圆板极限荷载安全评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种固支圆板极限荷载安全评估方法，包括：S1、在π平面上的误差三角形中，通过Tresca轨迹边长与TSS轨迹边长的边心距调和平均构建出一直线轨迹，根据流动法则确定出一边心距调和平均屈服准则；S2、采用变分法结合边心距调和平均屈服准则的比塑性功率构建出固支圆板极限载荷模型；S3、根据固支圆板极限荷载模型计算固支圆板极限荷载值，并与固支圆板的极限压力进行比较，若固支圆板极限荷载值大于固支圆板的极限压力，则判定固支圆板结构安全，否则判定固支圆板结构不安全。本发明能够给出固支圆板极限载荷的连续曲线，普适性较好，易于工程应用，即根据固支圆板尺寸和它的材料性能可以直接研判该结构能否安全服役。

Description

固支圆板极限荷载安全评估方法

技术领域

本发明涉及工程设备技术领域，特别是涉及一种固支圆板极限荷载安全 评估方法。

背景技术

固支圆板在工程上有着非常广泛的应用，例如圆形水塔的底板、大型油 罐的端板。固支圆板作为许多大型机械设备的重要结构之一，它的使用性能 主要取决于安全服役时的极限载荷。因此，对于固支圆板进行极限载荷研究 有着十分重要的工程意义。然而，对于固支圆板在受均部载荷情况下到底能 承受多大的极限载荷，目前还缺乏准确的评估判据。

现有技术中，文献曹富新，杨春秋.用复变函数方法求解在横向载荷 作用下的固支圆板[J].大连大学学报，1991，(04)：39-46+10.中，利用复 变函数求解了固支圆板在横向载荷作用下的极限压力数值解。文献陈一鸣. 用摄动一加权残值联合法求解圆板大挠度问题[J].怀化师专学报，2002， (05)：22-26.中，先用正则摄动法求得摄动展开中的各阶函数，然后以此函 数作为试函数，采用加权残值法计算待定系数，从而得出均布荷载作用下周 边固支圆板挠度近似解。

目前对于均布载荷下固支圆板极限压力的研究鲜见报道，已有固支圆板 极限载荷的理论研究仅能给出数值解或近似解，预测精度有限，不便于工程 应用。因此，开发出预测精度较高的极限载荷解析式，从而指导固支圆板的 选材与设计具有重要意义。

因此，针对上述技术问题，有必要提供一种固支圆板极限荷载安全评估 方法。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种固支圆板极限荷载安全评估方 法，以保障固支圆板的安全服役。

为了实现上述目的，本发明实施例提供的技术方案如下：

一种固支圆板极限荷载安全评估方法，所述方法包括：

S1、在π平面上的误差三角形中，通过Tresca轨迹边长与TSS轨迹边 长的边心距调和平均构建出一直线轨迹，根据流动法则确定出一边心距调和 平均屈服准则；

S2、采用变分法结合边心距调和平均屈服准则的比塑性功率构建出固支 圆板极限载荷模型；

S3、根据固支圆板极限荷载模型计算固支圆板极限荷载值，并与固支圆 板的极限压力进行比较，若固支圆板极限荷载值大于固支圆板的极限压力， 则判定固支圆板结构安全，否则判定固支圆板结构不安全。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S1中的边心距调和平均屈服准则 为：

当

时，σ₁-0.152σ₂-0.848σ₃＝σ_s；

当

时，0.848σ₁+0.152σ₂-σ₃＝σ_s；

其中，σ1、σ2、σ3分别为主应力分量，σs为固支圆板的材料屈服强 度。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S1中边心距调和平均屈服准则在π 平面上的轨迹是边长为0.4124σ_s、顶角分别为136.312°、163.688°的等边 非等角的十二边形。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S2中的比塑性功率为：

D(σ_ij)＝0.5411σ_s(ε_max-ε_min)；

其中，ε_max＝ε₁，ε_min＝ε₃，σs为固支圆板的材料屈服强度，ε₁为主轴1方 向的应变，ε₃为主轴3方向的应变。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S2包括：

建立固支圆板的位移方程；

根据应变场及位移方程确定固支圆板内塑性功和外塑性功；

由内塑性功和外塑性功、以及边心距调和平均屈服准则的比塑性功率构 建固支圆板极限载荷模型。

作为本发明的进一步改进，所述固支圆板的位移方程为：

其中，a为固支圆板的半径，q₀为均布载荷，D为抗弯刚度

作为本发明的进一步改进，所述固支圆板的内塑性功为：

固支圆板的外塑性功为：

其中，M_p＝σ_s*h²，h为固支圆板板一半厚度，η为极值半径。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S2中的固支圆板极限载荷模型为：

其中，a为固支圆板的半径，M_p＝σ_s*h²，h为固支圆板板一半厚度。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S1后还包括：

对边心距调和平均屈服准则进行屈服验证。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S1中的边心距调和平均屈服准则 为：

其中，

本发明的有益效果是：

本发明基于边心距调和平均屈服准则以及依赖于该屈服准则的极限载 荷，能够给出固支圆板极限载荷的连续曲线，普适性较好，易于工程应用， 即根据固支圆板尺寸和它的材料性能可以直接研判该结构能否安全服役。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实 施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面 描述中的附图仅仅是本发明中记载的一些实施例，对于本领域普通技术人员 来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附 图。

图1为本发明固支圆板极限荷载安全评估方法的流程图；

图2为本发明一具体实施方式中π平面上的屈服轨迹示意图；

图3为本发明一具体实施方式误差三角形中的屈服轨迹示意图；

图4为本发明一具体实施方式中π平面上主应力分量σ1的投影示意 图；

图5为本发明一具体实施方式中屈服准则与实验数据对比曲线图；

图6为本发明一具体实施方式中固支圆板受均布载荷的示意图。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本发明中的技术方案，下面将结合 本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描 述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施 例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前 提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本发明保护的范围。

参图1所示，本发明公开了一种固支圆板极限荷载安全评估方法，包 括：

S1、在π平面上的误差三角形中，通过Tresca轨迹边长与TSS轨迹边 长的边心距调和平均构建出一直线轨迹，根据流动法则确定出一边心距调和 平均屈服准则；

S2、采用变分法结合边心距调和平均屈服准则的比塑性功率构建出固支 圆板极限载荷模型；

S3、根据固支圆板极限荷载模型计算固支圆板极限荷载值，并与固支圆 板的极限压力进行比较，若固支圆板极限荷载值大于固支圆板的极限压力， 则判定固支圆板结构安全，否则判定固支圆板结构不安全。

优选地，步骤S2包括：

建立固支圆板的位移方程；

根据应变场及位移方程确定固支圆板内塑性功和外塑性功；

由内塑性功和外塑性功、以及边心距调和平均屈服准则的比塑性功率构 建固支圆板极限载荷模型。

本发明的目的在于开发出的边心距调和平均屈服准则以及依赖于该线性 屈服准则的极限载荷解析式，从而指导固支圆板的选材与设计。

以下对本发明一具体实施方式中弯管爆破压力安全评估方法的各步骤进 行详细说明。

(1)边心距调和平均屈服准则的开发

由图2可看出，Tresca轨迹为Mises圆的内接正六边形，TSS轨迹为 Mises圆的外切正六边形。它们在误差三角形OB′B中的轨迹如图3所示。对边 心距OB′和OF取调和平均数可得新轨迹B′E的边心距计算方法如下：

代入

至式(1)可得：

根据式(2)结果，可确定如下角度：

∠EOI＝30-21.844°＝8.156° (3)

从而可得边长OE、EF：

EF＝OE-OF＝0.0585σ_s (4)

由

和EF＝0.0585σ_s可得：

考虑到∠FB′E＝∠EOI＝8.156°，新屈服轨迹的两个顶角可按下式计算：

由以上计算表明，新的屈服轨迹是与Mises圆相交的等边非等角十二边 形，边长为0.4124σ_s，它的轨迹与Mises圆存在6个交点，交点处的顶角为 136.312°，另外6个顶点位于Mises圆的内侧，相距0.0585σ_s，顶角为 163.688°。

如下为A′E和B′E的推导过程：

由图4投影关系可得E点的应力状态为：

A′E线可假定满足如下方程：

σ₁-a₁σ₂-a₂σ₃-c＝0 (8)

注意到材料屈服时有c＝σ_s，a₁+a₂＝1，代入应力分量至式(8)得：

a₁＝0.152，a₂＝0.848 (9)

于是，式(8)可确定为：

σ₁-0.152σ₂-0.848σ₃＝σ_s，当

同理，轨迹A′E方程为：

0.848σ₁+0.152σ₂-σ₃＝σ_s，当

上面两式(10)、(11)即为边心距调和平均屈服准则(TM屈服准则) 的数学表达式，σ1、σ2、σ3分别为主应力分量，σs为固支圆板的材料屈 服强度。

该式表明：若应力分量σ₁，σ₂，σ₃按照系数1，0.152，0.848或0.848，0.152和1进行线性组合，则材料发生屈服。同时，根据式(7)可得 τ_s＝(σ₁-σ₃)/2＝0.541σ_s。该值表明，当材料的屈服剪应力达到0.541σ_s时，材料 发生屈服。其中屈服应力σ_s可通过单轴拉伸或压缩实验确定。与其他屈服准 则比较表明，边心距调和平均屈服准则的屈服剪应力接近于Mises屈服剪应 力的τ_s＝0.577σ_s，介于Tresca屈服剪应力τ_s＝0.5σ_s与TSS屈服剪应力 τ_s＝0.667σ_s之间。

(2)下面进行比塑性功率的开发

由于应力分量σ_ij满足f(σ_ij)＝0且满足流动法则

任意假设 λ≥0，μ≥0，则根据边心距调和平均准则数学表达式(10)和(11)可得：

ε₁为主轴1方向的应变，ε₂为主轴2方向的应变，ε₃为主轴3方向的应 变，λ为任一正数，μ为任一正数。

将以上两结果线性组合有：

ε₁∶ε₂∶ε₃＝(λ+0.848μ)∶0.152(μ-λ)∶[-(0.848λ+μ)] (13)

取ε₁＝λ+0.848μ有：

ε₂＝0.152(μ-λ)，ε₃＝-(0.848λ+μ) (14)

其中ε_max＝ε₁，ε_min＝ε₃，由此可得：

在顶点E处，注意到σ₂＝(σ₁+σ₃)/2，可由边心距调和平均屈服准则得 出：

从式(15)和(16)可得比塑性功率为：

由式(17)可看出，导出的比塑性功率是σ_s，ε_max和ε_min的函数。

(3)屈服准则实验验证

将Lode参数

引入Mises准则、TSS准则和边心 距调和平均准则(TM屈服准则)可得：

图5将TSS准则、Mises准则、和边心距调和平均准则(TM准则)进行 了对比。图5中同时给出了铜-Ni-Cr-Mo钢、2024-T4铝以及X52、X60管线 钢的实验数据。

由图5可见，TSS准则给出实验数据的上限，而Tresca准则给出下限； 边心距调和平均屈服准则给出结果介于两者之间，与实验数据吻合较好，对 Mises准则具有较高的逼近程度。

(4)TM准则与变分法组合解析固支圆板

4.1试函数与位移场

周边固支的圆板半径为a，厚度为2h，受均布载荷q₀作用如图6所示。 对于该问题，可设位移函数为：

上述函数满足固支圆板的下述边界条件为：

由最小势能原理可得：

D为抗弯刚度。

该势能泛函取极值可得：

将式(24)代入式(21)可得位移方程为：

中心最大绕度为：

4.2应变场与塑性功

由位移方程(25)，注意到塑性变形时体积不变条件，可得应变场为：

注意到ε_min＝ε_z,，ε_max＝ε_θ，将式(27)代入下式积分，可得圆板整个变形 体内塑性功为：

M_p＝σ_s*h²，h为固支圆板板一半厚度，η为极值半径。

由式(28)可得：

因此塑性功最小值为：

将式(25)代入下式，可得外力已知表面的外塑性功为：

4.3塑性极限荷载

令W_e＝W_i，可得按TM屈服准则的极限载荷为：

式(32)为变分法按TM屈服准则比塑性功确定的圆板极限荷载的解析解， M_p＝σ_s*h²，表明塑性极限荷载为材料屈服极限σ_s，圆板厚度为h，以及半径 a的函数。

本申请中开发出的TM屈服准则式(20)以及按TM屈服准则确定的极限 载荷表达式(32)是判定固支圆板结构是否服役安全的依据，是本发明的核 心内容。

以下结合具体实施例对本发明作进一步说明。

实施例1：

固支圆板厚度2h＝1.5mm，半径a＝0.35m，强度σ_s＝750MPa， E＝2×10⁵MPa，抗弯刚度D＝200/9N·m，受均布载荷作用，已知该圆盘承受的 极限压力为0.05MPa，试根据本文结果判定该结构是否安全。如不安全，给出 圆板厚度或半径的调整结果。

上述校核表明，已超过结构容许压力，需要调整板坯尺寸。

令极限载荷等于0.05MPa，板坯厚度不变，调整后的半径可按下式反算 出：

令极限载荷等于0.05MPa，板坯半径不变，调整后的板坯厚度可按下式反 算出：

∴2h＝1.59mm

以上计算过程表明，增加板坯厚度或减少板坯半径均可保证安全服役。

实施例2：

某固支圆板板厚2h＝1mm，半径a＝0.25m，σ_s＝800MPa，E＝2×10⁵MPa抗 弯刚度

受均布载荷，试确定极限荷载，并用已有的Mises数值 结果验证该预测结果的可靠性。

由式(32)可得本申请中的极限载荷为：

按Mises数值预测式可得：

本申请结果与该数值解之间的相对误差为：

足见，所得解析结果预测精度较好，能够满足工程需要。

由上述技术方案可以看出，本发明基于边心距调和平均屈服准则以及依 赖于该屈服准则的极限载荷，能够给出固支圆板极限载荷的连续曲线，普适 性较好，易于工程应用，即根据固支圆板尺寸和它的材料性能可以直接研判 该结构能否安全服役。

对于本领域技术人员而言，显然本发明不限于上述示范性实施例的细 节，而且在不背离本发明的精神或基本特征的情况下，能够以其他的具体形 式实现本发明。因此，无论从哪一点来看，均应将实施例看作是示范性的， 而且是非限制性的，本发明的范围由所附权利要求而不是上述说明限定，因 此旨在将落在权利要求的等同要件的含义和范围内的所有变化囊括在本发明 内。不应将权利要求中的任何附图标记视为限制所涉及的权利要求。

此外，应当理解，虽然本说明书按照实施方式加以描述，但并非每个实 施方式仅包含一个独立的技术方案，说明书的这种叙述方式仅仅是为清楚起 见，本领域技术人员应当将说明书作为一个整体，各实施例中的技术方案也 可以经适当组合，形成本领域技术人员可以理解的其他实施方式。

Claims (6)

1.一种固支圆板极限荷载安全评估方法，其特征在于，所述方法包括：

S1、在π平面上的误差三角形中，通过Tresca轨迹边长与TSS轨迹边长的边心距调和平均构建出一直线轨迹，根据流动法则确定出一边心距调和平均屈服准则；

S2、采用变分法结合边心距调和平均屈服准则的比塑性功率构建出固支圆板极限载荷模型；

S3、根据固支圆板极限荷载模型计算固支圆板极限荷载值，并与固支圆板的极限压力进行比较，若固支圆板极限荷载值大于固支圆板的极限压力，则判定固支圆板结构安全，否则判定固支圆板结构不安全；

所述步骤S2包括：

建立固支圆板的位移方程；

根据应变场及位移方程确定固支圆板内塑性功和外塑性功；

由内塑性功和外塑性功、以及边心距调和平均屈服准则的比塑性功率构建固支圆板极限载荷模型；

所述固支圆板的位移方程为：

其中，a为固支圆板的半径，q₀为均布载荷，D为抗弯刚度，r为固支圆板的半径变量；

所述固支圆板的内塑性功为：

固支圆板的外塑性功为：

其中，M_p＝σ_s*h²，h为固支圆板一半厚度，η为极值半径；

固支圆板极限载荷模型为：

其中，a为固支圆板的半径，M_p＝σ_s*h²，h为固支圆板一半厚度。

2.根据权利要求1所述的固支圆板极限荷载安全评估方法，其特征在于，所述步骤S1中的边心距调和平均屈服准则为：

当

时，σ₁-0.152σ₂-0.848σ₃＝σ_s；

当

时，0.848σ₁+0.152σ₂-σ₃＝σ_s；

其中，σ₁、σ₂、σ₃分别为主应力分量，σ_s为固支圆板的材料屈服强度。

3.根据权利要求2所述的固支圆板极限荷载安全评估方法，其特征在于，所述步骤S1中边心距调和平均屈服准则在π平面上的轨迹是边长为0.4124σ_s、顶角分别为136.312°、163.688°的等边非等角的十二边形。

4.根据权利要求2所述的固支圆板极限荷载安全评估方法，其特征在于，所述步骤S2中的比塑性功率为：

D(σ_ij)＝0.5411σ_s(ε_max-ε_min)；

其中，ε_max＝ε₁,ε_min＝ε₃，σ_s为固支圆板的材料屈服强度，ε₁为主轴1方向的应变，ε₃为主轴3方向的应变，σ_ij为应力张量。

5.根据权利要求2所述的固支圆板极限荷载安全评估方法，其特征在于，所述步骤S1后还包括：

对边心距调和平均屈服准则进行屈服验证。

6.根据权利要求5所述的固支圆板极限荷载安全评估方法，其特征在于，所述步骤S1中的边心距调和平均屈服准则为：

其中，

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