CN103528584A - 基于横向地理坐标系的极区惯性导航方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于横向地理坐标系的极区惯性导航方法。该方法包括如下步骤：建立横向地球坐标系和横向地理坐标系，以横向水平地理坐标系作为捷联惯导系统的导航坐标系进行机械编排，并且提供了地理坐标系和横向地理坐标系两种导航参数之间的转换关系，用以实现载体从非极区运行到极区时的导航方式的平稳过渡。在横向地理坐标系下的惯性导航编排方式解决了在极地地区因为经线收敛造成的基于地理坐标系的捷联算法失效问题。

Description

基于横向地理坐标系的极区惯性导航方法

技术领域

本发明主要涉及惯性导航技术领域，特别是涉及一种基于横向地理坐标系的极区惯性导航方法。

背景技术

现有捷联惯性系统的导航坐标系主要分为地理坐标系g、本地水平游移坐标系w、地心固定坐标系e、惯性坐标系i等。由于运载体是在地球表面运动，所以用于运载体导航的信息都是在地理坐标系g中给出。若采用其他坐标系的编排方式，其解算结果也要转换到地理坐标系中。然而地理坐标系北向是跟踪经线的切线方向，在极区由于经线的收敛，造成地理坐标系的快速变化，即使位置偏差很小，地理坐标系的误差角也会很大，特别是在极点处，所有的经线集于一点，通过该点经线的切线方向有无数条，地理坐标系就变成一个不确定的坐标系，所以只要是在地理坐标系中给出导航参数转的解算方法在极点处均没有意义。

所以我们需要一个新的水平坐标系作为极区的导航坐标系使用。如果将地球表面重新划分，将原来地球表面的极点转换为新的划分方式下的地球表面的非极点即可解决上述问题，我们提出了横向地球坐标系和横向地理坐标系，在原来地球表面极点处，横向地理坐标系是确定的一个坐标系，所以在极区的的航行可以采用横向地理坐标系作为导航坐标系，由此解决了惯性导航在极区存在的没有有效导航坐标系的问题。

发明内容

发明目的：本发明针对在地理坐标系在极点处无法使用问题和在极点附近区域使用时存在误差放大问题，提出一种基于横向地理坐标系的极区惯性导航方法，所述方法是以水平坐标系横向地理坐标系作为导航坐标系，以此来解决地理坐标系在极区不适用带来的导航问题。

本发明所述的基于横向地理坐标系的极区惯性导航方法的技术方案为：在地球赤道处重新选择两点作为横向极点，这样当载体运行在原有极点处时就变成了在横向赤道处运行，那么也就解决了原有在极点处地理坐标系不确定带来的导航问题。具体步骤如下：

一种基于横向地理坐标系的极区惯性导航方法，地球模型取为圆球型且圆球半径为R，包括以下步骤：

步骤1：建立横向地球坐标系s：

所述的横向地球坐标系s的原点位于地心，x_s轴穿过北极点，y_s轴穿过本初子午线与赤道的交点，z_s轴穿过东经90°子午线与赤道的交点且将该交点定义为横向北极点；

步骤2：建立横向地理坐标系t：

在步骤1的基础上定义横向地理坐标系t，所述的横向地理坐标系t的原点位于运载体质心，y_t轴沿横向球坐标系中对应横向经线的切线方向指向横向北极点，z_t轴垂直于当地水平面指向天向，x_t轴与y_t轴、z_t轴构成右手坐标系，

步骤3：在横向地理坐标系t下实现惯性系统力学编排：

把在步骤2中定义的横向地理坐标系t作为导航坐标系进行力学编排，捷联惯导系统的姿态方向余弦矩阵、速度和位置微分方程分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{C}}_b^t=C_b^t({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}^b\×)\\ {\stackrel{\·}{V}}^t=C_b^t{f}^b-({2C}_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t){\×V}^t+G^t\\ {\stackrel{\·}{r}}^s=C_t^s{V}^t-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t\×r^s\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：

为载体坐标系b到横向地理坐标系t的姿态余弦矩阵，

是

对时间的导数；载体坐标系b的原点位于载体质心，载体坐标系b的x_b轴、y_b轴、z_b轴分别指向载体的右、前、上；

为横向地球坐标系s到横向地理坐标系t的位置余弦矩阵；

的反对称阵，

是载体坐标系b相对坐标横向地理坐标系t的角速度在载体坐标系b下的投影；V^t是载体对地航行速度V在横向地理坐标系t的投影，

是载体对地航行速度V对时间的导数在横向地理坐标系t的投影；f^b为捷联惯导系统中加速度计测得的比力输出；

为地球自转角速度在横向地球坐标系s下的投影；

是横向地理坐标系t相对横向地球坐标系s的角速度在横向地理坐标系t下的投影；G^t为地球重力矢量在横向地理坐标系t下的投影；r^s为载体在横向地球坐标系s中的位置向量，

是载体位置向量对时间的导数在横向地球坐标系s中的投影；

为横向地理坐标系t到横向地球坐标系s的位置余弦矩阵，

为

的转置；

这三个微分方程中，加表的输出f^b由传感器输出得到，

G^t的表达式由下列步骤计算得到：

步骤3.1横向地球坐标系s到横向地理坐标系t的位置余弦矩阵表达式：

$C_s^t=\left[\begin{array}{ccc}-\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ -\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\\ \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(2\right)$

α，β为载体所在位置在横向地球坐标系中表示的横向经度、纬度，

由此得到：

$C_t^s={\left(C_s^t\right)}^T=\left[\begin{array}{ccc}-\sin \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}\\ \cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}\\ 0& \cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(3\right)$

是

的转置，T表示转置，

步骤3.2地球自转角速度在横向地球坐标系s下的投影

表达式：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s={\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}& 0& 0\end{array}\right]}^T---\left(4\right)$

式中ω_is为地球自转角速度大小，T表示转置，

步骤3.3横向地理坐标系t相对横向地球坐标系s的角速度在横向地理坐标系t下的投影

表达式：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t=\left[\begin{array}{c}-\frac{V_{\mathrm{yt}}^t}{R}\\ \frac{V_{\mathrm{xt}}^t}{R}\\ \frac{V_{\mathrm{xt}}^t}{R}\tan \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(5\right)$

为载体的对地速度V在横向地理坐标系t中沿x_t轴和y_t轴方向的分量，R为圆球半径，

步骤3.4重力矢量G在横向地理坐标系t下的投影G^t表达式：

横向地理坐标系为当地水平坐标系，有：

G^t＝[00-G]^T    (6)

其中，G为重力矢量的大小，T表示转置，

求解姿态矩阵微分方程所用到的

由陀螺输出

与式(2)、式(4)、式(5)构造得到：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}^b={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{it}}^b={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-C_t^b(C_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-{\left(C_b^t\right)}^T(C_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t)---\left(7\right)$

其中，

为横向地理坐标系t到载体坐标系b的姿态余弦矩阵，

为

的转置，

步骤4：横向地理坐标系下的导航参数与地理坐标系下导航参数的转换关系：

在非极区航行时，惯导系统使用的导航参数是在地理坐标系g中给出，当进入极区之后，导航坐标系取为横向地理坐标系t，将导航参数也需要转换到横向地理坐标系t下，二者之间的转换公式如下：

步骤4.1载体位置在横向地理坐标系t中表示的横向经纬度α、β与在地理坐标系g中表示的经纬度λ、L的转换关系：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\β}\\ \mathrm{\α}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\arctan \left(\frac{\cos L\sin \mathrm{\λ}}{\sqrt{{\sin }^{2}L+\mathrm{co}{s}^2{L\cos }^2\mathrm{\λ}}}\right)\\ \arctan \left(\frac{\cos L\cos \mathrm{\λ}}{\sin L}\right)\end{array}\right]---\left(8\right)$

步骤4.2载体对地速度V在横向地理坐标系t坐标轴上的投影

与载体对地速度V在地理坐标系g坐标轴上的投影 ${\left[\begin{array}{ccc}{V}_{\mathrm{xg}}^g& V_{\mathrm{yg}}^g& V_{\mathrm{zg}}^g\end{array}\right]}^T$ 的转换关系：

$\left[\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{xt}}^t\\ V_{\mathrm{yt}}^t\\ V_{\mathrm{zt}}^t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{xg}}^g\cos p-V_{\mathrm{yg}}^g\sin p\\ V_{\mathrm{xg}}^g\sin p-V_{\mathrm{yg}}^g\cos p\\ V_{\mathrm{zg}}^g\end{array}\right]---\left(9\right)$

其中p为地理坐标系g和横向地理坐标系t在当地水平面上的夹角：

$\cos p=\frac{-\sin L\sin \mathrm{\λ}}{\sqrt{{1-\cos }^2{L\sin }^2\mathrm{\λ}}}$     (10)

$\sin p=\frac{\cos \mathrm{\λ}}{\sqrt{{1-\cos }^2{L\sin }^2\mathrm{\λ}}}$

步骤4.3载体姿态角在横向地理坐标系t中表示的分量[ψ′θ′γ′]^T与在地理

坐标系g中表示的分量[ψθγ]^T的转换关系：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}^{\′}\\ {\mathrm{\θ}}^{\′}\\ {\mathrm{\γ}}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ψ}-p+2\mathrm{\π}\\ \mathrm{\θ}\\ \mathrm{\γ}\end{array}\right]---\left(11\right)$

ψ′、θ′、γ分别为载体在横向地理坐标系t中的横向航向角，横向俯仰角，横向横摇角，ψ、θ、γ分别为载体在地理坐标系g中的航向角，俯仰角，横摇角，

步骤5：解微分方程得到横向地理坐标系下的导航参数：

由上述步骤4得到载体从非极区进入到极区时横向地理坐标系中的初始导航参数，对步骤3中的公式(1)进行解算，得到横向地理坐标系下的表示量，并以得到横向地理坐标系下的表示量作为极区导航参数，为载体进行导航。

本发明具有如下优点：1)本发明为软件方法，不需要增加硬件，故实际实施方便。2)通过改变导航系统的力学编排来解决现有惯性导航方法在极区使用的问题。在进入极区之后通过横向地理坐标系下的导航参数与地理坐标系下导航参数的转换关系，由地理坐标系的导航参数得到横向地理坐标系导航参数的初始值，进而对捷联系统在横向地理坐标系编排下惯性导航参数的计算，得出横向地理坐标系下的导航参数对载体进行在横向地理坐标系下的导航，解决了现有的地理坐标系在极点处不能使用的问题，并且与传统的导航参数在地理坐标系给出的方法相比，减小了惯性系统在极点附近区域的航向误差，即提供了一个有效的方向参考。3)横向地理坐标系作为惯导系统的导航系，在实际导航过程中所需要的横向地理坐标系下的导航地图可以参照原有地图的绘制方式绘制，后续操作性强。

附图说明

图1为本发明基于横向地理坐标系的极区惯性导航方法原理图。

图2为本发明横向地球坐标系、横向地理坐标系及横向经纬度示意图示意图。

图3为本发明横向地理坐标系与地理坐标系关系示意图。

图4为地理坐标系编排下在极区一点处的解算误差。

图5为在与图4同一点处横向坐标系编排下的解算误差。

具体实施方式

一种基于横向地理坐标系的极区惯性导航方法，地球模型取为圆球型且圆球半径为R，包括以下步骤：

步骤1：建立横向地球坐标系s：

所述的横向地球坐标系s的原点位于地心，x_s轴穿过北极点，y_s轴穿过本初子午线与赤道的交点，z_s轴穿过东经90°子午线与赤道的交点且将该交点定义为横向北极点；

步骤2：建立横向地理坐标系t：

在步骤1的基础上定义横向地理坐标系t，所述的横向地理坐标系t的原点位于运载体质心，y_t轴沿横向球坐标系中对应横向经线的切线方向指向横向北极点，z_t轴垂直于当地水平面指向天向，x_t轴与y_t轴、z_t轴构成右手坐标系，

步骤3：在横向地理坐标系t下实现惯性系统力学编排：

把在步骤2中定义的横向地理坐标系t作为导航坐标系进行力学编排，捷联惯导系统的姿态方向余弦矩阵、速度和位置微分方程分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{C}}_b^t=C_b^t({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}^b\×)\\ {\stackrel{\·}{V}}^t=C_b^t{f}^b-({2C}_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t){\×V}^t+G^t\\ {\stackrel{\·}{r}}^s=C_t^s{V}^t-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t\×r^s\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：

为载体坐标系b到横向地理坐标系t的姿态余弦矩阵，

是

对时间的导数；载体坐标系b的原点位于载体质心，载体坐标系b的x_b轴、y_b轴、z_b轴分别指向载体的右、前、上；

为横向地球坐标系s到横向地理坐标系t的位置余弦矩阵；

为

的反对称阵，

是载体坐标系b相对坐标横向地理坐标系t的角速度在载体坐标系b下的投影；V^t是载体对地航行速度V在横向地理坐标系t的投影，是载体对地航行速度V对时间的导数在横向地理坐标系t的投影；f^b为捷联惯导系统中加速度计测得的比力输出；

为地球自转角速度在横向地球坐标系s下的投影；

是横向地理坐标系t相对横向地球坐标系s的角速度在横向地理坐标系t下的投影；G^t为地球重力矢量在横向地理坐标系t下的投影；r^s为载体在横向地球坐标系s中的位置向量，

是载体位置向量对时间的导数在横向地球坐标系s中的投影；

为横向地理坐标系t到横向地球坐标系s的位置余弦矩阵，

为

的转置；

这三个微分方程中，加表的输出f^b由传感器输出得到，

G^t的表达式由下列步骤计算得到：

步骤3.1横向地球坐标系s到横向地理坐标系t的位置余弦矩阵

表达式：

载体所在位置的横向经纬度为α、β，则载体所在点处的横向地理坐标系t可由横向地球坐标系s经三次基本旋转后确定，即

得到：

$C_s^t=\left[\begin{array}{ccc}-\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ -\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\\ \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(2\right)$

步骤3.2地球自转角速度在s系下的投影

表达式：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s={\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}& 0& 0\end{array}\right]}^T---\left(3\right)$

式中ω_is为地球自转角速度大小，T表示转置

步骤3.3横向地理坐标系t相对横向地球坐标系s的角速度在横向地理坐标系t下的投影

表达式：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t=\left[\begin{array}{c}-\frac{V_{\mathrm{yt}}^t}{R}\\ \frac{V_{\mathrm{xt}}^t}{R}\\ \frac{V_{\mathrm{xt}}^t}{R}\tan \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(4\right)$

为载体的对地速度在横向地理坐标系t中沿x_t轴和y_t轴方向的分量，R为圆球半径，

步骤3.4重力矢量G在横向地理坐标系t下的投影G^t表达式：

横向地理坐标系也为当地水平坐标系，有：

G^t＝[00-G]^T    (5)

其中，G为重力矢量大小，

求解姿态矩阵微分方程所用到的

可由陀螺输出

和(2)、(3)、(4)构造得到：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}^b={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{it}}^b={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-C_t^b(C_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-{\left(C_b^t\right)}^T(C_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t)---\left(6\right)$

其中，

为横向地理坐标系t到载体坐标系b的姿态余弦矩阵，

为

的转置，

步骤4：横向地理坐标系下的导航参数与地理坐标系下导航参数的转换关系：

在非极区航行时，惯导系统使用的导航参数是在地理坐标系e中给出，当进入极区之后，导航坐标系取为横向地理坐标系t，导航参数转换到横向地理坐标系t下，二者之间的转换公式如下：

步骤4.1载体位置在横向地理坐标系t中表示的横向经纬度α、β与在地理坐标系e中表示的经纬度L、λ的转换关系：

对于地球表面任一点，在这两种地球坐标系对应的直角坐标系中坐标的表示关系为：

$\left[\begin{array}{c}{X}_s\\ Y_s\\ Z_s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Z}_e\\ X_e\\ Y_e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_e\\ Y_e\\ Z_e\end{array}\right]---\left(7\right)$

也就有

$\left[\begin{array}{c}R\cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}\\ R\cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}\\ R\sin \mathrm{\β}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}R\cos L\cos \mathrm{\λ}\\ R\cos L\sin \mathrm{\λ}\\ R\sin L\end{array}\right]---\left(8\right)$

通过求解上述方程，得到横向地理坐标系t中表示的横向经纬度α、β与在地理坐标系g中表示的经纬度L、λ的转换公式：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\β}\\ \mathrm{\α}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{ar}\tan \frac{Z_s}{\sqrt{X_s^2+Y_s^2}}\\ \arctan \left(\frac{Y_s}{X_s}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\arctan \left(\frac{\cos L\sin \mathrm{\λ}}{\sqrt{{\sin }^{2}L+{\cos }^2{L\cos }^2\mathrm{\λ}}}\right)\\ \arctan \left(\frac{\cos L\cos \mathrm{\λ}}{\sin L}\right)\end{array}\right]---\left(9\right)$

步骤4.2载体对地速度在横向地理坐标系t中表示的分量

与在地理坐标系g中表示的分量

的转换关系：

速度矢量V在g系和t系的投影存在以下的关系：

$V^t=C_g^t{V}^g=C_s^t{C}_t^s{C}_g^e{V}^g---\left(10\right)$

在式(11)中代入两种经纬度关系式(9)后，可以得到

的表达式：

从上述关系可以认识到，两种地理坐标系g系和t系均跟踪的当地水平面，即它们x轴和y轴均在当地的水平面中，因此g系和t系之间角度关系是在水平面内，也就是沿天向轴方向存在一个夹角p。

这样可有：

$C_g^t=\left[\begin{array}{ccc}\cos p& -\sin p& 0\\ \sin p& \cos p& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(13\right)$

其中：

$\cos p=\frac{-\sin L\sin \mathrm{\λ}}{\sqrt{{1-\cos }^2{L\sin }^2\mathrm{\λ}}}$     (14)

$\sin p=\frac{\cos \mathrm{\λ}}{\sqrt{{1-\cos }^2{L\sin }^2\mathrm{\λ}}}$

$\left[\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{xt}}^t\\ V_{\mathrm{yt}}^t\\ 1V_{\mathrm{zt}}^t\end{array}\right]=C_g^t\left[\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{xg}}^g\\ V_{\mathrm{yg}}^g\\ V_{\mathrm{zg}}^g\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos p{V}_{\mathrm{xg}}^g-\sin {\mathrm{pV}}_{\mathrm{xg}}^g-\sin V_{\mathrm{yg}}^g\\ \sin p{V}_{\mathrm{xg}}^g+\cos {\mathrm{pV}}_{\mathrm{yg}}^g\\ V_{\mathrm{zg}}^g\end{array}\right]---\left(15\right)$

通过式(15)可以把用在地理坐标系g中表示的载体对地速度变换到横向地理坐标系t中表示。

步骤4.3载体姿态角在横向地理坐标系t中表示的分量[ψ′θ′γ′]^T与在地理坐标系g中表示的分量[ψθγ]^T的转换关系：

由公式(11)可以得到g与t的夹角：

根据定义可以看出P的范围为(0，360°)，所以有：

根据上述分析，姿态角关系：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}^{\′}\\ {\mathrm{\θ}}^{\′}\\ {\mathrm{\γ}}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ψ}-p+2\mathrm{\π}\\ \mathrm{\θ}\\ \mathrm{\γ}\end{array}\right]---\left(18\right)$

步骤5：解微分方程得到横向地理坐标系下的导航参数：

由上述步骤4得到载体从非极区进入到极区时横向地理坐标系中的初始导航参数，对步骤3中的公式(1)进行解算，姿态微分方程采用等效旋转矢量单子样算法，该方法在科学出版社出版的秦永元编著的《惯性导航》第305页至第317页有描述，速度微分方程和位置微分方程采用清华大学出版社出版的高钟毓著的《惯性导航系统技术》第218页至221页介绍的方法进行计算，得到横向地理坐标系下的导航参数的表示量，并以得到横向地理坐标系下的表示量作为极区导航参数，为载体进行导航。

有益效果：使用横向地理坐标系编排下的惯导系统在极点处不存在计算奇点问题，且在极区内使用比地理坐标系编排下的惯导系统解算误差减小。

对本发明的有益效果说明如下。

(1)在极点处可以进行捷联解算，不存在传统方法中使用地理坐标系在极点处无法计算的问题

首先分析姿态微分方程：

${\stackrel{\·}{C}}_b^t=C_b^t({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}^b\×)$

在极点处α＝0，β＝0，载体坐标系b系相对横向地理坐标系t系角速度

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}^b={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{it}}^b={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-C_t^b{C}_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t)\\ ={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-C_t^b\·\left[\begin{array}{c}-\sin \mathrm{\α}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}-\frac{V_{\mathrm{yg}}^t}{R}\\ -\sin \mathrm{\β}{\cos \mathrm{\α\ω}}_{\mathrm{is}}+\frac{V_{\mathrm{xt}}^t}{R}\\ \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}+\frac{V_{\mathrm{xt}}^t}{R}\tan \mathrm{\β}\end{array}\right]\end{array}$

可以看出在极点处b系相对t的角速度并不存在无法计算的量。所以姿态微分方程也不存在计算困难。

其次分析速度微分方程在极点处α＝0，β＝0为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}^t=C_b^t{f}^b-({2C}_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t){\×V}^t+G^t\\ =C_b^t{f}^b-\left[\begin{array}{c}-\frac{V_{\mathrm{yt}}^t}{R}\\ \frac{V_{\mathrm{xt}}^t}{R}\\ {2\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}\end{array}\right]{\×V}^t+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -G\end{array}\right]\end{array}$

观察这个微分方程也不存在计算困难的项。

最后分析位置微分方程在极点处α＝0，β＝0为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{r}}^s=C_t^s{V}^t-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t\×r^s\\ =\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]V^t-\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}-\frac{V_{\mathrm{yt}}^t}{R}\\ \frac{V_{\mathrm{xt}}^t}{R}\\ 0\end{array}\right]\×r^s\end{array}\end{array}$

也可以看出这个微分方程中也不存在计算困难的项。

(2)在极区捷联解算航向角误差与经度误差减少

系统处于静止状态时，惯性导航系统的各种误差行为都可以得到充分暴露。为简化分析，我们选择在静止条件下观察地理坐标系作为导航系的惯导系统在极区的导航效果。

仿真条件：陀螺的常值漂移为0.01°/h，随机白噪声标准差为0.01°/h；加速度计的零偏为50μg，机白噪声标准差为50μg；初始姿态误差为零；初始纬度为0°N，45°N和89°N，经度为118°E；不考虑陀螺与加速度计的标度因数误差、安装误差。陀螺和加速度计的采样间隔为10ms，姿态、速度、位置计算更新周期也为10ms，数据录取周期为2min，仿真运行60h。

为对比在极点附近区域地理坐标系编排与横向地理坐标系编排的误差，取初始经纬度为89°N，118°E，初始航向角为0°。

对应初始横向经纬度为通过步骤4.1计算得到，初始横向航向角通过步骤4.3计算。

表1

观察图4和图5以及表1的数据，在极区内同一点处，两种编排方式下，除了航向角误差与经度误差相比明显变小以外，其他导航参数相差不大。也就说明在极区使用横向地理坐标系可以解决地理坐标系编排解算中航向误差和经度误差严重放大的问题。

Claims (1)

1.一种基于横向地理坐标系的极区惯性导航方法，地球模型取为圆球型且圆球半径为R，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：建立横向地球坐标系s：

所述的横向地球坐标系s的原点位于地心，x_s轴穿过北极点，y_s轴穿过本初子午线与赤道的交点，z_s轴穿过东经90°子午线与赤道的交点且将该交点定义为横向北极点；

步骤2：建立横向地理坐标系t：

在步骤1的基础上定义横向地理坐标系t，所述的横向地理坐标系t的原点位于运载体质心，y_t轴沿横向球坐标系中对应横向经线的切线方向指向横向北极点，z_t轴垂直于当地水平面指向天向，x_t轴与y_t轴、z_t轴构成右手坐标系，

步骤3：在横向地理坐标系t下实现惯性系统力学编排：

把在步骤2中定义的横向地理坐标系t作为导航坐标系进行力学编排，捷联惯导系统的姿态方向余弦矩阵、速度和位置微分方程分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{C}}_b^t=C_b^t({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}^b\×)\\ {\stackrel{\·}{V}}^t=C_b^t{f}^b-({2C}_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t){\×V}^t+G^t\\ {\stackrel{\·}{r}}^s=C_t^s{V}^t-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t\×r^s\end{array}\right.---\left(1\right)$ 式中：

为载体坐标系b到横向地理坐标系t的姿态余弦矩阵，

是对时间的导数；载体坐标系b的原点位于载体质心，载体坐标系b的x_b轴、y_b轴、z_b轴分别指向载体的右、前、上；

为横向地球坐标系s到横向地理坐标系t的位置余弦矩阵；

为

的反对称阵，

是载体坐标系b相对坐标横向地理坐标系t的角速度在载体坐标系b下的投影；V^t是载体对地航行速度V在横向地理坐标系t的投影，

是载体对地航行速度V对时间的导数在横向地理坐标系t的投影；f^b为捷联惯导系统中加速度计测得的比力输出；为地球自转角速度在横向地球坐标系s下的投影；

是横向地理坐标系t相对横向地球坐标系s的角速度在横向地理坐标系t下的投影；G^t为地球重力矢量在横向地理坐标系t下的投影；r^s为载体在横向地球坐标系s中的位置向量，

是载体位置向量对时间的导数在横向地球坐标系s中的投影；

为横向地理坐标系t到横向地球坐标系s的位置余弦矩阵，

为

的转置；

这三个微分方程中，加表的输出f^b由传感器输出得到，

G^t的表达式由下列步骤计算得到：

步骤3.1横向地球坐标系s到横向地理坐标系t的位置余弦矩阵

表达式：

$C_s^t=\left[\begin{array}{ccc}-\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ -\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\\ \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(2\right)$

α、β为载体所在位置在横向地球坐标系中表示的横向经度、纬度，

由此得到：

$C_t^s={\left(C_s^t\right)}^T=\left[\begin{array}{ccc}-\sin \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}\\ \cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}\\ 0& \cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(3\right)$

是

的转置，T表示转置，

步骤3.2地球自转角速度在横向地球坐标系s下的投影

表达式：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s={\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}& 0& 0\end{array}\right]}^T---\left(4\right)$ 式中ω_is为地球自转角速度大小，T表示转置，

步骤3.3横向地理坐标系t相对横向地球坐标系s的角速度在横向地理坐标系t下的投影

表达式：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t=\left[\begin{array}{c}-\frac{V_{\mathrm{yt}}^t}{R}\\ \frac{V_{\mathrm{xt}}^t}{R}\\ \frac{V_{\mathrm{xt}}^t}{R}\tan \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(5\right)$

为载体的对地速度V在横向地理坐标系t中沿x_t轴和y_t轴方向的分量，R为圆球半径，

步骤3.4重力矢量G在横向地理坐标系t下的投影G^t的表达式：

横向地理坐标系为当地水平坐标系，有：

G^t＝[00-G]^T    (6)

其中，G为重力矢量的大小，T表示转置，

求解姿态矩阵微分方程所用到的

由陀螺输出

与式(2)、式(4)、式(5)构造得到：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{tb}}^b={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{it}}^b={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-C_t^b(C_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ib}}^b-{\left(C_b^t\right)}^T(C_s^t{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{is}}^s+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{st}}^t)---\left(7\right)$

其中，

为横向地理坐标系t到载体坐标系b的姿态余弦矩阵，

为

的转置，

步骤4：横向地理坐标系下的导航参数与地理坐标系下导航参数的转换关系：

在非极区航行时，惯导系统使用的导航参数是在地理坐标系g中给出，当进入极区之后，导航坐标系取为横向地理坐标系t，将导航参数转换到横向地理坐标系t下，二者之间的转换公式如下：

步骤4.1载体位置在横向地理坐标系t中表示的横向经纬度α、β与在地理坐标系g中表示的经纬度λ、L的转换关系为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\β}\\ \mathrm{\α}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\arctan \left(\frac{\cos L\sin \mathrm{\λ}}{\sqrt{{\sin }^{2}L+\mathrm{co}{s}^2{L\cos }^2\mathrm{\λ}}}\right)\\ \arctan \left(\frac{\cos L\cos \mathrm{\λ}}{\sin L}\right)\end{array}\right]---\left(8\right)$

步骤4.2载体对地速度V在横向地理坐标系t坐标轴上的投影

与载体对地速度V在地理坐标系g坐标轴上的投影

${\left[\begin{array}{ccc}{V}_{\mathrm{xg}}^g& V_{\mathrm{yg}}^g& V_{\mathrm{zg}}^g\end{array}\right]}^T$ 的转换关系：

$\left[\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{xt}}^t\\ V_{\mathrm{yt}}^t\\ V_{\mathrm{zt}}^t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{xg}}^g\cos p-V_{\mathrm{yg}}^g\sin p\\ V_{\mathrm{xg}}^g\sin p-V_{\mathrm{yg}}^g\cos p\\ V_{\mathrm{zg}}^g\end{array}\right]---\left(9\right)$

其中p为地理坐标系g和横向地理坐标系t在当地水平面上的夹角：

$\cos p=\frac{-\sin L\sin \mathrm{\λ}}{\sqrt{{1-\cos }^2{L\sin }^2\mathrm{\λ}}}$     (10)

$\sin p=\frac{\cos \mathrm{\λ}}{\sqrt{{1-\cos }^2{L\sin }^2\mathrm{\λ}}}$

步骤4.3载体姿态角在横向地理坐标系t中表示的分量[ψ′θ′γ′]^T与在地理坐标系g中表示的分量[ψθγ]^T的转换关系：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}^{\′}\\ {\mathrm{\θ}}^{\′}\\ {\mathrm{\γ}}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ψ}-p+2\mathrm{\π}\\ \mathrm{\θ}\\ \mathrm{\γ}\end{array}\right]---\left(11\right)$

ψ′、θ′、γ分别为载体在横向地理坐标系t中的横向航向角，横向俯仰角，横向横摇角，ψ、θ、γ分别为载体在地理坐标系g中的航向角，俯仰角，横摇角，

步骤5：解微分方程得到横向地理坐标系下的导航参数：

由上述步骤4得到载体从非极区进入到极区时横向地理坐标系中的初始导航参数，对步骤3中的公式(1)进行解算，得到横向地理坐标系下的表示量，并以得到横向地理坐标系下的表示量作为极区导航参数，为载体进行导航。

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