CN103514143A - 一种粗网格快速时域有限差分方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种粗网格快速时域有限差分方法，属于电磁场数值计算领域，本发明方法的时间步长Δt与空间网格长度Δz无关，空间网格长度Δx只需小于等于模拟频段最小波长的1/2。本发明能够同时解决传统时域有限差分方法的两大限制条件，即Courant-Friedrich-Levy时间稳定性条件和空间离散间隔限制条件，能够在降低时间稳定性条件的同时，改善波长对空间网格长度的限制，本发明方法适用于模拟同时具有精细结构和电大尺寸结构的复杂目标，相比于传统时域有限差分方法，该方法具有计算效率高、计算所需内存少两大优点。

Description

一种粗网格快速时域有限差分方法

技术领域

本发明属于电磁场数值计算领域，具体涉及一种粗网格快速时域有限差分方法。

背景技术

目前，随着科学技术的发展，电磁波频谱的应用范围已从微波波段扩展至光波波段，器件尺寸也缩小至纳米级范围。越来越多的电磁目标呈现出同时具有精细结构和电大尺寸结构的复杂特征，如太赫兹波段下的大规模集成电路器件、大型复杂载体上的发射天线、核电磁脉冲作用下的电子信息系统以及薄层涂覆电大目标等等。这些同时具有精细结构和电大尺寸结构的复杂目标，对电磁场数值计算方法的计算速度以及计算机的内存提出了新的挑战。

众所周知，时域有限差分方法是当今计算电磁学中应用最为广泛的数值模拟方法之一。然而，采用该方法来模拟同时具有精细结构和电大尺寸结构的复杂目标，却面临着很大的困难。首先，该方法需满足Courant-Friedrich-Levy时间稳定性条件：即时间步长Δt受空间最小网格尺寸的限制。该限制条件使得时域有限差分方法对具有精细结构的时域电磁问题的模拟存在计算效率较低的问题；其次，为了减小差分近似所带来的数值色散误差，该方法还需满足空间离散间隔限制条件，即空间网格长度不得大于模拟频段最小波长的1/10，该限制条件使得时域有限差分方法对电大尺寸结构的模拟存在内存需求过大的问题。针对精细结构问题，可采用弱条件稳定时域有限差分方法和交变方向隐式时域有限差分方法进行解决。而对于电大尺寸目标的电磁模拟，目前，也有一些方法可以解决。如M.Krumpholz结合小波技术提出的时域多分辨小波方法和柳清伙教授提出的伪谱时域差分方法。虽然经过研究者们的不断努力与完善，具有精细结构的时域电磁模拟和电大尺寸目标的模拟问题都分别得到了解决，但是，如果模拟目标同时具有精细结构和电大尺寸，则无论是传统时域有限差分方法，还是弱条件稳定时域有限差分方法，以及时域多分辨小波方法或伪谱时域差分方法均没有足够的分析能力。

发明内容

为了解决上述现有技术存在的缺陷，本发明的目的在于提供了一种粗网格快速时域有限差分方法，该方法能够在降低时间稳定性条件的同时，改善波长对空间网格长度的限制，计算效率高、内存需求低。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：

一种粗网格快速时域有限差分方法，包括以下步骤：

1）对待求电磁目标模型进行空间离散：磁场节点和电场节点的空间排布采用Yee元胞，电场节点E_x、E_y和E_z位于元胞的各个棱上，磁场节点H_x垂直于元胞的yz平面，磁场节点H_y与电场节点E_z的空间位置重合，磁场节点H_z与电场节点E_y的空间位置重合；

2）对待求电磁目标模型进行时间取样：电场分量的时间步取值为n和n+1时刻，磁场分量的时间步取值也为n和n+1时刻；

3）对Maxwell方程中的空间求导项采用混合时间步法进行时间离散；

4）对得到的

求导项采用傅立叶变换求解，其余空间求导项采用二阶中心差分近似；

5）利用公式（1）和（2）求解n+1时刻的电场分量

和磁场分量

6）利用公式（3）求解n+1时刻的电场分量

7）利用公式（4）求解n+1时刻的电场分量

8）利用公式（5）和（6）求解n+1时刻的磁场分量

和

$\begin{array}{c}{H}_x^{n+1}(i,j+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2})=H_x^n(i,j+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2})\\ +\frac{\mathrm{\Δt}}{2\mathrm{\Δ\μz}}[E_y^{n+1}(i,j+\frac{1}{2},k+1)-E_y^{n+1}(i,j+\frac{1}{2},k)+E_y^n(i,j+\frac{1}{2},k+1)-E_y^n(i,j+\frac{1}{2},k)]\\ -\frac{\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\μ\Δy}}[E_z^{n+1}(i,j+1,k+\frac{1}{2})-E_z^{n+1}(i,j,k+\frac{1}{2})]\end{array}---\left(5\right);$

以上各式中，表示傅立叶变换，

表示逆傅立叶变换；

9）令n=n+1，重复执行步骤5）～8）直至迭代完成。

步骤3）所述的对Maxwell方程中的空间求导项

采用混合时间步法进行时间离散；所述的混合时间步法是指在对场量E_x、E_y、H_x和H_y，在时刻的选取上，包含了未知的n+1时刻。

时间步长Δt与空间网格长度Δz无关，时间稳定性条件满足：

空间离散间隔条件满足：沿x方向的空间网格长度Δx只需小于等于模拟频段最小波长的1/2，Δx≤λ/2。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明在对同时具备精细结构和电大尺寸的复杂模型进行模拟分析时，能够同时解决传统时域有限差分方法的两大限制条件，即Courant-Friedrich-Levy时间稳定性条件和空间离散间隔限制条件，能够在降低时间稳定性条件的同时，改善波长对空间网格长度的限制；本发明方法的时间步长Δt与空间网格长度Δz无关，时间稳定性条件为：

同时，本发明方法沿x方向的空间网格长度只需小于等于模拟频段最小波长的1/2：Δx≤λ/2。本发明具有以下优点：

1、本发明提供的粗网格快速时域有限差分方法，其时间步长Δt不受空间网格长度Δz的限制，因此，在模拟沿z方向具有精细结构的时域电磁问题时，相比于传统时域有限差分方法，计算效率大大提高。

2、本发明提供的粗网格快速时域有限差分方法，空间网格长度Δx只需小于等于模拟频段最小波长的1/2。因此，在模拟沿x方向具有电大尺寸结构的时域电磁问题时，相比于传统时域有限差分方法，计算所需内存大大减少。

3、本发明提供的粗网格快速时域有限差分方法，在模拟同时具有精细结构（沿z方向）和电大尺寸结构（沿x方向）的复杂目标时，相比于传统时域有限差分方法，具有计算效率高、计算所需内存少两大优势。

附图说明

图1为本发明所述的电场节点和磁场节点的空间排布示意图；

图2为本发明的流程图；

图3为本发明具体实施例提供的开缝金属板结构图；

图4为本发明具体实施例提供的开缝金属板的透射场。

具体实施方式

下面结合具体的附图及实施例对本发明做进一步的详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。

本发明提供的粗网格快速时域有限差分方法，对待求电磁目标模型进行空间离散时，磁场节点和电场节点的空间排布采用Yee元胞，各节点的空间排布示意图如图1所示，电场节点E_x、E_y和E_z的位于元胞的各个棱上，磁场节点H_x垂直于元胞的yz平面，磁场节点H_y与电场节点E_z的空间位置重合，磁场节点H_z与电场节点E_y的空间位置重合。

本发明提供的粗网格快速时域有限差分方法，对待求电磁目标模型进行时间取样时，电场分量的时间步取值为n和n+1时刻，磁场分量的时间步取值也为n和n+1时刻。

本发明提供的粗网格快速时域有限差分方法对Maxwell方程中的空间求导项

采用混合时间步法进行时间离散；对得到的

求导项采用傅立叶变换求解，其余空间求导项采用二阶中心差分近似；

本发明提供的粗网格快速时域有限差分方法采用以下步骤进行求解：

1）利用公式（1）和（2）直接求解电场分量

和磁场分量

2）利用公式（3）和（4）求解电场分量

和

3）利用公式（5）和（6）求解磁场分量

和

$\begin{array}{c}{H}_x^{n+1}(i,j+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2})=H_x^n(i,j+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2})\\ +\frac{\mathrm{\Δt}}{2\mathrm{\Δ\μz}}[E_y^{n+1}(i,j+\frac{1}{2},k+1)-E_y^{n+1}(i,j+\frac{1}{2},k)+E_y^n(i,j+\frac{1}{2},k+1)-E_y^n(i,j+\frac{1}{2},k)]\\ -\frac{\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\μ\Δy}}[E_z^{n+1}(i,j+1,k+\frac{1}{2})-E_z^{n+1}(i,j,k+\frac{1}{2})]\end{array}---\left(5\right);$

以上各式中，

表示傅立叶变换，

表示逆傅立叶变换；

4）最后，令n=n+1，重复执行步骤1）～3）直至迭代完成。

以上，可以得出：时间步长Δt与空间网格长度Δz无关，时间稳定性条件满足：

空间离散间隔条件满足：沿x方向的空间网格长度Δx只需小于等于模拟频段最小波长的1/2，Δx≤λ/2。

上述实施步骤的流程图如图2所示。

下面以图3所示的开缝金属板为例，说明粗网格快速时域有限差分方法在计算效率和计算所需内存方面的优势。

图3所示的金属板尺寸为60mm×1mm，板上开有三条细长缝隙，尺寸均为30mm×0.2mm，各个缝之间的距离为0.1mm，一沿x方向的电流源位于金属板正前方1.5mm处，频率为100GHz，波长为3mm。该模型沿z方向具有精细结构，沿x方向具有电大尺寸结构。

采用本发明的粗网格快速时域有限差分方法计算金属板后的透射场，所得结果如图4所示。为了便于比较，图中同时给出了传统时域有限差分方法的计算结果，其中，实线表示传统时域有限差分方法的计算结果，虚线表示粗网格快速时域有限差分方法的计算结果。从该图可以看出，两种方法的计算结果符合较好。

完成上述模拟，两种方法所用的空间网格尺寸Δx，时间步长Δt，计算时间和计算所需内存如下表所示：

以上分析结果表明，粗网格快速时域有限差分方法具有与传统时域有限差分方法相似的计算精度，但由于采用了较大的空间网格Δx和较大的时间步长Δt，其计算所需时间、所需内存均远小于传统时域有限差分方法。

对Maxwell方程中的

求导项在时刻的选取上采用混合时间步技术，以此消除z方向空间网格长度Δz对时间步长Δt的限制，使时间稳定性条件变为：

$\mathrm{\Δt}\≤\frac{1}{c\sqrt{{(1/\mathrm{\Δy})}^2+{(\mathrm{\π}/2\mathrm{\Δx})}^2}};$

对Maxwell方程中的

求导项采用傅立叶变换求解，而不是传统时域有限差分方法的中心差分近似，该方法在理论上可保证沿x方向一个波长仅用2个网格来离散。

综上所述，本发明提供的粗网格快速时域有限差分方法，通过对Maxwell方程中的

求导项在时刻的选取上采用混合时间步技术，对

求导项采用傅立叶变换求解，设计出了一种时间步长Δt与空间网格长度Δz无关，空间网格长度Δx只需小于等于模拟频段最小波长1/2的新型时域有限差分方法。该方法在模拟同时具有精细结构和电大尺寸结构的复杂目标时，相比于传统时域有限差分方法，具有更高的计算效率和更低的内存需求。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所做的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于由本发明所提交的权利要求书确定专利保护范围。

Claims (3)

1.一种粗网格快速时域有限差分方法，其特征在于，包括以下步骤：

1）对待求电磁目标模型进行空间离散：磁场节点和电场节点的空间排布采用Yee元胞，电场节点E_x、E_y和E_z位于元胞的各个棱上，磁场节点H_x垂直于元胞的yz平面，磁场节点H_y与电场节点E_z的空间位置重合，磁场节点H_z与电场节点E_y的空间位置重合；

2）对待求电磁目标模型进行时间取样：电场分量的时间步取值为n和n+1时刻，磁场分量的时间步取值也为n和n+1时刻；

3）对Maxwell方程中的空间求导项

采用混合时间步法进行时间离散；

4）对得到的

求导项采用傅立叶变换求解，其余空间求导项采用二阶中心差分近似；

5）利用公式（1）和（2）求解n+1时刻的电场分量

和磁场分量

6）利用公式（3）求解n+1时刻的电场分量

7）利用公式（4）求解n+1时刻的电场分量

8）利用公式（5）和（6）求解n+1时刻的磁场分量

和

$\begin{array}{c}{H}_x^{n+1}(i,j+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2})=H_x^n(i,j+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2})\\ +\frac{\mathrm{\Δt}}{2\mathrm{\Δ\μz}}[E_y^{n+1}(i,j+\frac{1}{2},k+1)-E_y^{n+1}(i,j+\frac{1}{2},k)+E_y^n(i,j+\frac{1}{2},k+1)-E_y^n(i,j+\frac{1}{2},k)]\\ -\frac{\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\μ\Δy}}[E_z^{n+1}(i,j+1,k+\frac{1}{2})-E_z^{n+1}(i,j,k+\frac{1}{2})]\end{array}---\left(5\right);$

以上各式中，

表示傅立叶变换，

表示逆傅立叶变换；

9）令n=n+1，重复执行步骤5）～8）直至迭代完成。

2.根据权利要求1所述的一种粗网格快速时域有限差分方法，其特征在于，步骤3）所述的对Maxwell方程中的空间求导项

采用混合时间步法进行时间离散；所述的混合时间步法是指在对场量E_x、E_y、H_x和H_y，在时刻的选取上，包含了未知的n+1时刻。

3.根据权利要求1所述的一种粗网格快速时域有限差分方法，其特征在于，时间步长Δt与空间网格长度Δz无关，时间稳定性条件满足：空间离散间隔条件满足：沿x方向的空间网格长度Δx只需小于等于模拟频段最小波长的1/2，Δx≤λ/2。

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