CN103488459A

CN103488459A - 一种基于改进的高基cordic算法的复数乘法运算单元

Info

Publication number: CN103488459A
Application number: CN201310420101.XA
Authority: CN
Inventors: 周晓方; 王冬格
Original assignee: Fudan University
Current assignee: Fudan University
Priority date: 2013-09-13
Filing date: 2013-09-13
Publication date: 2014-01-01
Anticipated expiration: 2033-09-13
Also published as: CN103488459B

Abstract

本发明属于数字信号处理和集成电路设计技术领域，具体涉及一种基于改进的高基CORDIC算法的复数乘法运算单元。本发明提出的改进的高基CORDIC算法，在已有算法的基础上，进一步增加CORDIC运算每一级的迭代角度的选择范围，在保证精度的同时，减少了所需的迭代次数，从而提高运算速度；采用余弦函数的泰勒级数展开近似的方法，简化高基CORDIC算法中模校正因子的乘法操作，使得整个运算过程只存在一个常数模校正因子，减小了硬件复杂度。在复数乘法的一个乘数是可以事先确定的应用场合，可以完全避免通用复数乘法器的使用，在乘法运算单元的硬件面积和所需要的ROM大小上都具有优势，同时计算精度没有损失。

Description

一种基于改进的高基CORDIC算法的复数乘法运算单元

技术领域

本发明属于数字信号处理和集成电路设计技术领域，具体涉及一种基于改进的高基CORDIC算法的复数乘法运算单元。

背景技术

在数字信号处理中，许多应用场合所需要的复数乘法运算，其中一个乘数是可以事先确定的系数，例如FFT（快速傅里叶变换）中的旋转因子乘法。在FFT处理器中，存储旋转因子的存储单元和复数乘法运算单元占据了很大的面积。传统的实现方案采用通用的复数乘法器计算旋转因子乘法，用存储器存放旋转因子，硬件实现的面积比较大。CORDIC（坐标旋转计算机）算法使用简单的加法和移位操作代替复杂的复数乘法运算，与此同时，可以减小存储旋转因子所需的存储器的大小，从而降低FFT处理器的硬件规模。但是，传统的CORDIC算法需要比较长的迭代周期，不能满足高速计算的要求，而高基的CORDIC算法需要额外的硬件开销来解决模校正因子不是一个常数的问题。

发明内容

为了克服通用复数乘法器硬件资源消耗大的缺点和已有CORDIC算法的不足，本发明提出了一种改进的高基CORDIC算法及基于改进的高基CORDIC算法的复数乘法运算单元。

本发明提出的改进的高基CORDIC算法，具体过程如下：

设直角平面上的一个二维向量

逆时针旋转θ角度之后得到向量

写成矩阵形式如式（1）所示：

[\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{p} \\ y_{p} \end{matrix}] - - - (1)

本发明所提供的改进CORDIC算法，其旋转角度θ的范围限定为[-π/4,π/4]，对于旋转角度超过这一范围的计算，通过三角函数的变换关系对输入的二维向量进行预旋转操作，使其映射到[-π/4,π/4]的范围内。角度预旋转的操作如表1所示，其中θ′是原始的旋转角度；θ是CORDIC运算单元实际计算的旋转角度；输入向量是经过角度预旋转，实部虚部交换和取反操作之后输入到CORDIC运算单元的实部和虚部，表示为

表1 角度预选转方法

	θ′角度范围	输入向量	θ
				A	θ′∈[0,π/4)	x_p+jy_p	θ′
B	θ′∈[π/4,π/2)	y_p-jx_p	θ′-π/2
				C	θ′∈[π/2,3π/4)	y_p-jx_p	θ′-π/2
D	θ′∈[3π/4,π)	-x_p-jy_p	θ′-π
				E	θ′∈[π,5π/4)	-x_p-jy_p	θ′-π
F	θ′∈[5π/4,3π/2)	-y_p+jx_p	θ′-3π/2
				G	θ′∈[3π/2,7π/4)	-y_p+jx_p	θ′-3π/2
H	θ′∈[7π/4,2π)	x_p+jy_p	θ′-2π

输入向量经过CORDIC运算单元的角度旋转，得到输出向量

其过程可以由式（2）表示：

其中α_s为初始角度旋转的系数，α_s∈{0,1,-1}；

α_i为第1级到第n级的CORDIC迭代运算的系数，α_i∈{0,±1,±1/2,±1/4}；

K₀为初始旋转角度引入的常数模校正因子，

K₀的取值等于1或者0.89443；

是第i级CORDIC迭代的模校正因子，本发明提供的高基CORDIC算法采用泰勒级数展开式近似的方式计算模校正因子，表达式为：

由算式（2）和算式（3），得到每一级CORDIC迭代运算的表达式为：

\{\begin{matrix} x_{2} = x_{1} - x_{1} α_{1}^{2} 2^{- 5} - x_{1} α_{1}^{4} 2^{- 11} + y_{1} α_{1} 4^{- 1} \\ y_{2} = y_{1} - y_{1} α_{1}^{2} 2^{- 5} - y_{1} α_{1}^{4} 2^{- 11} + x_{1} α_{1} 4^{- 1} \end{matrix} - - - (4)

\{\begin{matrix} x_{i + 1} = x_{i} - x_{i} α_{i}^{2} 2^{- 4 i - 1} + y_{i} α_{i} 4^{- i} \\ y_{i + 1} = y_{i} - y_{i} α_{i}^{2} 2^{- 4 i - 1} - x_{i} α_{i} 4^{- i} \end{matrix}, i = 2 or 3 - - - (5)

\{\begin{matrix} x_{i + 1} = x_{i} + y_{i} α_{i} 4^{- i} \\ y_{i + 1} = y_{i} - x_{i} α_{i} 4^{- i} \end{matrix}, i &GreaterEqual; 4 - - - (6)

旋转角度θ由初始旋转角度和各级CORDIC迭代角度叠加组成，表达式为：

其中τ表示角度误差。

[α_s,α₁,α₂,...,α_n]组合为旋转向量，在旋转角度可以事前确定的应用中，通过事先计算，将结果存储在ROM中，需要时再读出ROM中的旋转向量作为运算单元的控制信号。

本发明提供的CORDIC复数乘法运算单元由三个部分构成：第一部分为输入数据的预处理模块（101），对应于算法中的预选转操作，对输入数据的实部和虚部进行取反和交换；第二部分为CORDIC乘法单元的运算模块，包括初始角度旋转模块（102）（对应于算式（2）中初始旋转角度系数α_s所在的矩阵乘法），第一级到第六级的CORDIC迭代运算模块（103）（对应于算式（2）中旋转角度系数α_i所在的n级矩阵乘法），以及乘以常数模校正因子的模校正模块（对应于算式（2）中的乘数K₀）；第三部分为只读存储器（105），用以存储作为控制信号的旋转向量。其中：

第一级CORDIC迭代模块的硬件结构，包括：依次连接的一个二选一数据选择器（201）、三组硬件连线构成的移位器（202）、三个四选一数据选择器（203）、一个4-2数据压缩器（204）和一个快速加法器（205）；其中：

所述二选一数据选择器（201），用于选择输入数据或者输入数据取反之后的结果；

所述硬件连线构成的移位器（202），分为三组，一组对应于算式（4）除x₁或y₁外中的一项；同组中的三个移位器分别实现算式（4）中α₁=±1、α₁=±1/2、α₁=±1/4时对输入数的右移操作；

所述三个四选一数据选择器（203），其四个输入与同组移位器的三个输出以及一个0输入相连；α₁=0时选择0输入，α₁=±1时选择移位器组中的第一个输出，α₁=±1/2时选择移位器组中的第二个输出，α₁=±1/4时选择移位器组中的第三个输出；

所述4-2数据压缩器（204），其输入对应于算式（4）中的四项，将经过移位之后的数据压缩成为两路数据输出给快速加法器；

快速加法器（205），将中间结果相加之后得到最后的输出。

第二和第三级CORDIC迭代模块的硬件结构如图（3）所示，包括：依次连接的一个二选一数据选择器、两组硬件连线构成的移位器、两个四选一数据选择器、一个3-2数据压缩器和一个快速加法器；其中：

所述二选一数据选择器，用于选择输入数据或者输入数据取反之后的结果；

所述硬件连线构成的移位器，共分为两组，一组对应于算式（5）除x_i或y_i外中的一项；同组中的三个移位器分别实现算式（5）中α_i=±1、α_i=±1/2、α_i=±1/4时对输入数的右移操作；

所述两个四选一数据选择器，其四个输入与同组移位器的三个输出以及一个0输入相连；α_i=0时选择0输入，α_i=±1时选择移位器组中的第一个输出，α_i=±1/2时选择移位器组中的第二个输出，α_i=±1/4时选择移位器组中的第三个输出；

所述3-2数据压缩器，其输入对应于算式（5）中的三项，将经过移位之后的数据压缩成为两路数据输出给快速加法器；

所述快速加法器，将中间结果相加之后得到最后的输出。

第四级到第六级CORDIC迭代模块的硬件结构如图（4）所示。包括：依次连接的一个二选一数据选择器、一组硬件连线构成的移位器、一个四选一数据选择器和一个快速加法器；其中：

所述硬件连线构成的移位器，一组对应于算式（6）除x_i或y_i外中的一项；同组中的三个移位器分别实现算式（6）中α_i=±1、α_i=±1/2、α_i=±1/4时对输入数的右移操作；

所述四选一数据选择器，其四个输入与同组移位器的三个输出以及一个0输入相连；α_i=0时选择0输入，α_i=±1时选择移位器组中的第一个输出，α_i=±1/2时选择移位器组中的第二个输出，α_i=±1/4时选择移位器组中的第三个输出；

所述快速加法器，将中间结果相加之后得到最后的输出。

本发明提供的高基CORDIC算法在基4CORDIC算法的基础上，进一步增加了每一级的迭代角度的选择范围，在保证精度的同时，减少了所需的迭代次数，从而提高了运算速度；采用余弦函数的泰勒级数展开近似的方法，简化了高基CORDIC算法中模校正因子的乘法操作，使得整个运算过程只存在一个常数模校正因子，减小了硬件复杂度。

本发明中，复数乘法运算单元，对于一个复数乘数可以事先计算的应用场合，将此乘数作为旋转向量预先计算并存储，作为复数乘法单元的控制信号。

本发明的有益效果是，在复数乘法的一个乘数是可以事先确定的应用场合，可以完全避免通用复数乘法器的使用，在乘法运算单元的硬件面积和所需要的ROM大小上都具有优势，同时计算精度没有损失。

附图说明

图1是CORDIC乘法器的整体结构图。

图2是第一级CORDIC迭代模块。

图3是第二三级CORDIC迭代模块。

图4是第四五六级CORDIC迭代模块。

具体实施方式

以下结合附图对本发明做进一步的阐述。

本实施例是本发明在一个32到2048点可变点数的FFT处理器中的应用，输入和输出数据的实部与虚部均为16比特的定点数。应用于FFT（快速傅里叶变换）处理器的旋转因子乘法单元，由角度预选转模块、初始旋转模块、六级CORDIC迭代运算模块、模校正模块和旋转向量存储模块构成。

在FFT运算中，蝶形单元运算的结果需要乘以对应的旋转因子，表达式为：

(x_{p} + j \cdot y_{p}) W_{N}^{nk} = (x_{p} + j \cdot y_{p}) e^{- j \cdot 2 π \cdot nk / N} - - - (8)

其中，N为任意正整数，n和k的取值范围为[0,N-1],j为复数单位。

对应于CORDIC算法，相当于将二维矢量

逆时针旋转了θ′角度，θ′=2π.nk/N。

本实施例中各级的CORDIC迭代运算关系如下式所示：

\{\begin{matrix} x_{2} = x_{1} - x_{1} α_{1}^{2} 2^{- 5} - x_{1} α_{1}^{4} 2^{- 11} + y_{1} α_{1} 4^{- 1} \\ y_{2} = y_{1} - y_{1} α_{1}^{2} 2^{- 5} - y_{1} α_{1}^{4} 2^{- 11} + x_{1} α_{1} 4^{- 1} \end{matrix}

\{\begin{matrix} x_{i + 1} = x_{i} - x_{i} α_{i}^{2} 2^{- 4 i - 1} + y_{i} α_{i} 4^{- i} \\ y_{i + 1} = y_{i} - y_{i} α_{i}^{2} 2^{- 4 i - 1} - x_{i} α_{i} 4^{- i} \end{matrix}, i &Element; {2,3}

\{\begin{matrix} x_{i + 1} = x_{i} + y_{i} α_{i} 4^{- i} \\ y_{i + 1} = y_{i} - x_{i} α_{i} 4^{- i} \end{matrix}, i &Element; {4,5,6}

其中α₁为一级CORDIC迭代模块的系数，α_i为二到六级CORDIC迭代模块的系数，α_i∈{0,±1,±1/2,±1/4}。

在CORDIC运算单元内部，为了避免最终的计算结果溢出，角度预选转模块（101）对输入定点数进行一位符号扩展，字长为17位；初始角度旋转模块将输入数据右移一位，字长为18位；之后的各级迭代模块采用21比特的内部字长。最后的运算结果在模校正模块中进行截断操作，输出16比特的定点数。

旋转向量[α_s,α₁,α₂,...,α₆]需要20比特的数据宽度进行存储，角度预旋转模块对输入数的实部和虚部进行交换和取反操作，需要3比特的控制信号，因而所需存储的ROM（103）位宽共23比特。

本实施例采用SMIC0.13工艺库对所设计的CORDIC复数乘法运算单元进行综合，并且与通用复数乘法器进行比较，综合结果如表2所示。通用复数乘法器方案需要存储实部和虚部各16比特的旋转因子，因此需要的ROM宽度为32比特，同时一个复数乘法器需要四个实数乘法器和两个实数加法器构成，硬件消耗较大。本发明提出的基于高基CORDIC算法的复数乘法单元在硬件面积和ROM面积上都具有优势。

表2.综合结果比较

。