CN103488459B - 一种改进的高基cordic方法及基于其的复数乘法运算单元 - Google Patents

Abstract

本发明属于数字信号处理和集成电路设计技术领域，具体涉及一种基于改进的高基CORDIC算法的复数乘法运算单元。本发明提出的改进的高基CORDIC算法，在已有算法的基础上，进一步增加CORDIC运算每一级的迭代角度的选择范围，在保证精度的同时，减少了所需的迭代次数，从而提高运算速度；采用余弦函数的泰勒级数展开近似的方法，简化高基CORDIC算法中模校正因子的乘法操作，使得整个运算过程只存在一个常数模校正因子，减小了硬件复杂度。在复数乘法的一个乘数是可以事先确定的应用场合，可以完全避免通用复数乘法器的使用，在乘法运算单元的硬件面积和所需要的ROM大小上都具有优势，同时计算精度没有损失。

Description

一种改进的高基CORDIC方法及基于其的复数乘法运算单元

技术领域

本发明属于数字信号处理和集成电路设计技术领域，具体涉及一种基于改进的高基CORDIC算法的复数乘法运算单元。

背景技术

在数字信号处理中，许多应用场合所需要的复数乘法运算，其中一个乘数是可以事先确定的系数，例如FFT(快速傅里叶变换)中的旋转因子乘法。在FFT处理器中，存储旋转因子的存储单元和复数乘法运算单元占据了很大的面积。传统的实现方案采用通用的复数乘法器计算旋转因子乘法，用存储器存放旋转因子，硬件实现的面积比较大。CORDIC(坐标旋转计算机)算法使用简单的加法和移位操作代替复杂的复数乘法运算，与此同时，可以减小存储旋转因子所需的存储器的大小，从而降低FFT处理器的硬件规模。但是，传统的CORDIC算法需要比较长的迭代周期，不能满足高速计算的要求，而高基的CORDIC算法需要额外的硬件开销来解决模校正因子不是一个常数的问题。

发明内容

为了克服通用复数乘法器硬件资源消耗大的缺点和已有CORDIC算法的不足，本发明提出了一种改进的高基CORDIC算法及基于改进的高基CORDIC算法的复数乘法运算单元。

本发明提出的改进的高基CORDIC算法，具体过程如下：

设直角平面上的一个二维向量逆时针旋转θ角度之后得到向量写成矩阵形式如式(1)所示：

$\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& sin\mathrm{\θ}\\ -sin\mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_p\\ y_p\end{array}\right]---\left(1\right)$

本发明所提供的改进CORDIC算法，其旋转角度θ的范围限定为[-π/4,π/4]，对于旋转角度超过这一范围的计算，通过三角函数的变换关系对输入的二维向量进行预旋转操作，使其映射到[-π/4,π/4]的范围内。角度预旋转的操作如表1所示，其中θ′是原始的旋转角度；θ是CORDIC运算单元实际计算的旋转角度；输入向量是经过角度预旋转，实部虚部交换和取反操作之后输入到CORDIC运算单元的实部和虚部，表示为

表1角度预选转方法

	θ′角度范围	输入向量	θ
				A	θ′∈[0,π/4)	xp+jyp	θ′
B	θ′∈[π/4,π/2)	yp-jxp	θ′-π/2
				C	θ′∈[π/2,3π/4)	yp-jxp	θ′-π/2
D	θ′∈[3π/4,π)	-xp-jyp	θ′-π
				E	θ′∈[π,5π/4)	-xp-jyp	θ′-π
F	θ′∈[5π/4,3π/2)	-yp+jxp	θ′-3π/2
				G	θ′∈[3π/2,7π/4)	-yp+jxp	θ′-3π/2
H	θ′∈[7π/4,2π)	xp+jyp	θ′-2π

输入向量经过CORDIC运算单元的角度旋转，得到输出向量其过程可以由式(2)表示：

其中α_s为初始角度旋转的系数，α_s∈{0,1,-1}；

α_i为第1级到第n级的CORDIC迭代运算的系数，α_i∈{0,±1,±1/2,±1/4}；

K₀为初始旋转角度引入的常数模校正因子，K₀的取值等于1或者0.89443；

是第i级CORDIC迭代的模校正因子，本发明提供的高基CORDIC算法采用泰勒级数展开式近似的方式计算模校正因子，表达式为：

由算式(2)和算式(3)，得到每一级CORDIC迭代运算的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=x_1-x_1{\mathrm{\α}}_1^2{2}^{-5}-x_1{\mathrm{\α}}_1^4{2}^{-11}+y_1{\mathrm{\α}}_1{4}^{-1}\\ y_2=y_1-y_1{\mathrm{\α}}_1^2{2}^{-5}-y_1{\mathrm{\α}}_1^4{2}^{-11}+x_1{\mathrm{\α}}_1{4}^{-1}\end{array}\right.---\left(4\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i+1}=x_i-x_i{\mathrm{\α}}_i^2{2}^{-4i-1}+y_i{\mathrm{\α}}_i{4}^{-i}\\ y_{i+1}=y_i-y_i{\mathrm{\α}}_i^2{2}^{-4i-1}-x_i{\mathrm{\α}}_i{4}^{-i}\end{array}\right.,i=2or3---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i+1}=x_i+y_i{\mathrm{\α}}_i{4}^{-i}\\ y_{i+1}=y_i-x_i{\mathrm{\α}}_i{4}^{-i}\end{array}\right.,i\≥4---\left(6\right)$

旋转角度θ由初始旋转角度和各级CORDIC迭代角度叠加组成，表达式为：

其中τ表示角度误差。

[α_s,α₁,α₂,...,α_n]组合为旋转向量，在旋转角度可以事前确定的应用中，通过事先计算，将结果存储在ROM中，需要时再读出ROM中的旋转向量作为运算单元的控制信号。

本发明提供的CORDIC复数乘法运算单元由三个部分构成：第一部分为输入数据的预处理模块101，对应于算法中的预选转操作，对输入数据的实部和虚部进行取反和交换；第二部分为CORDIC乘法单元的运算模块，包括初始角度旋转模块102(对应于算式(2)中初始旋转角度系数α_s所在的矩阵乘法)，第一级到第六级的CORDIC迭代运算模块103(对应于算式(2)中旋转角度系数α_i所在的n级矩阵乘法)，以及乘以常数模校正因子的模校正模块(对应于算式(2)中的乘数K₀)；第三部分为只读存储器105，用以存储作为控制信号的旋转向量。其中：

第一级CORDIC迭代模块的硬件结构，包括：依次连接的一个二选一数据选择器201、三组硬件连线构成的移位器A1 202、三个四选一数据选择器A1 203、一个4-2数据压缩器204和一个快速加法器A1 205；其中：

所述二选一数据选择器A1 201，用于选择输入数据或者输入数据取反之后的结果；

所述硬件连线构成的移位器A1 202，分为三组，一组对应于算式(4)除x₁或y₁外中的一项；同组中的三个移位器分别实现算式(4)中α₁＝±1、α₁＝±1/2、α₁＝±1/4时对输入数的右移操作；

所述三个四选一数据选择器A1 203，其四个输入与同组移位器的三个输出以及一个0输入相连；α₁＝0时选择0输入，α₁＝±1时选择移位器组中的第一个输出，α₁＝±1/2时选择移位器组中的第二个输出，α₁＝±1/4时选择移位器组中的第三个输出；

所述4-2数据压缩器204，其输入对应于算式(4)中的四项，将经过移位之后的数据压缩成为两路数据输出给快速加法器；

快速加法器A1 205，将中间结果相加之后得到最后的输出。

第二和第三级CORDIC迭代模块的硬件结构如图(3)所示，包括：依次连接的一个二选一数据选择器A2、两组硬件连线构成的移位器A2、两个四选一数据选择器A2、一个3-2数据压缩器和一个快速加法器A2；其中：

所述二选一数据选择器A2，用于选择输入数据或者输入数据取反之后的结果；

所述硬件连线构成的移位器A2，共分为两组，一组对应于算式(5)除x_i或y_i外中的一项；同组中的三个移位器分别实现算式(5)中α_i＝±1、α_i＝±1/2、α_i＝±1/4时对输入数的右移操作；

所述两个四选一数据选择器A2，其四个输入与同组移位器的三个输出以及一个0输入相连；α_i＝0时选择0输入，α_i＝±1时选择移位器组中的第一个输出，α_i＝±1/2时选择移位器组中的第二个输出，α_i＝±1/4时选择移位器组中的第三个输出；

所述3-2数据压缩器，其输入对应于算式(5)中的三项，将经过移位之后的数据压缩成为两路数据输出给快速加法器；

所述快速加法器A2，将中间结果相加之后得到最后的输出。

第四级到第六级CORDIC迭代模块的硬件结构如图(4)所示。包括：依次连接的一个二选一数据选择器A3、一组硬件连线构成的移位器A3、一个四选一数据选择器A3和一个快速加法器A3；其中：

所述二选一数据选择器A3，用于选择输入数据或者输入数据取反之后的结果；

所述硬件连线构成的移位器A3，一组对应于算式(6)除x_i或y_i外中的一项；同组中的三个移位器分别实现算式(6)中α_i＝±1、α_i＝±1/2、α_i＝±1/4时对输入数的右移操作；

所述四选一数据选择器A3，其四个输入与同组移位器的三个输出以及一个0输入相连；α_i＝0时选择0输入，α_i＝±1时选择移位器组中的第一个输出，α_i＝±1/2时选择移位器组中的第二个输出，α_i＝±1/4时选择移位器组中的第三个输出；

所述快速加法器A3，将中间结果相加之后得到最后的输出。

本发明提供的高基CORDIC算法在基4CORDIC算法的基础上，进一步增加了每一级的迭代角度的选择范围，在保证精度的同时，减少了所需的迭代次数，从而提高了运算速度；采用余弦函数的泰勒级数展开近似的方法，简化了高基CORDIC算法中模校正因子的乘法操作，使得整个运算过程只存在一个常数模校正因子，减小了硬件复杂度。

本发明中，复数乘法运算单元，对于一个复数乘数可以事先计算的应用场合，将此乘数作为旋转向量预先计算并存储，作为复数乘法单元的控制信号。

本发明的有益效果是，在复数乘法的一个乘数是可以事先确定的应用场合，可以完全避免通用复数乘法器的使用，在乘法运算单元的硬件面积和所需要的ROM大小上都具有优势，同时计算精度没有损失。

附图说明

图1是CORDIC乘法器的整体结构图。

图2是第一级CORDIC迭代模块。

图3是第二三级CORDIC迭代模块。

图4是第四五六级CORDIC迭代模块。

具体实施方式

以下结合附图对本发明做进一步的阐述。

本实施例是本发明在一个32到2048点可变点数的FFT处理器中的应用，输入和输出数据的实部与虚部均为16比特的定点数。应用于FFT(快速傅里叶变换)处理器的旋转因子乘法单元，由角度预选转模块、初始旋转模块、六级CORDIC迭代运算模块、模校正模块和旋转向量存储模块构成。

在FFT运算中，蝶形单元运算的结果需要乘以对应的旋转因子，表达式为：

$(x_p+j\·y_p)W_N^{nk}=(x_p+j\·y_p)e^{-j\·2\mathrm{\π}\·nk/N}---\left(8\right)$

其中，N为任意正整数，n和k的取值范围为[0,N-1],j为复数单位。

对应于CORDIC算法，相当于将二维矢量逆时针旋转了θ′角度，θ′＝2π·nk/N。

本实施例中各级的CORDIC迭代运算关系如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=x_1-x_1{\mathrm{\α}}_1^2{2}^{-5}-x_1{\mathrm{\α}}_1^4{2}^{-11}+y_1{\mathrm{\α}}_1{4}^{-1}\\ y_2=y_1-y_1{\mathrm{\α}}_1^2{2}^{-5}-y_1{\mathrm{\α}}_1^4{2}^{-11}+x_1{\mathrm{\α}}_1{4}^{-1}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i+1}=x_i-x_i{\mathrm{\α}}_i^2{2}^{-4i-1}+y_i{\mathrm{\α}}_i{4}^{-i}\\ y_{i+1}=y_i-y_i{\mathrm{\α}}_i^2{2}^{-4i-1}-x_i{\mathrm{\α}}_i{4}^{-i}\end{array}\right.,i\∈\{2,3\}$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i+1}=x_i+y_i{\mathrm{\α}}_i{4}^{-i}\\ y_{i+1}=y_i-x_i{\mathrm{\α}}_i{4}^{-i}\end{array}\right.,i\∈\{4,5,6\}$

其中α₁为一级CORDIC迭代模块的系数，α_i为二到六级CORDIC迭代模块的系数，α_i∈{0,±1,±1/2,±1/4}。

在CORDIC运算单元内部，为了避免最终的计算结果溢出，角度预选转模块101对输入定点数进行一位符号扩展，字长为17位；初始角度旋转模块将输入数据右移一位，字长为18位；之后的各级迭代模块采用21比特的内部字长。最后的运算结果在模校正模块中进行截断操作，输出16比特的定点数。

旋转向量[α_s,α₁,α₂,...,α₆]需要20比特的数据宽度进行存储，角度预旋转模块对输入数的实部和虚部进行交换和取反操作，需要3比特的控制信号，因而所需存储的ROM105位宽共23比特。

本实施例采用SMIC0.13工艺库对所设计的CORDIC复数乘法运算单元进行综合，并且与通用复数乘法器进行比较，综合结果如表2所示。通用复数乘法器方案需要存储实部和虚部各16比特的旋转因子，因此需要的ROM宽度为32比特，同时一个复数乘法器需要四个实数乘法器和两个实数加法器构成，硬件消耗较大。本发明提出的基于高基CORDIC算法的复数乘法单元在硬件面积和ROM面积上都具有优势。

表2.综合结果比较

Claims (2)

1.一种改进的高基CORDIC方法，设直角平面上的一个二维向量逆时针旋转角度之后得到向量，写成矩阵形式如式（1）所示：

(1)

其特征在于，旋转角度的范围限定为，对于旋转角度超过这一范围的计算，通过三角函数的变换关系对输入的二维向量进行预旋转操作，使其映射到的范围内；角度预旋转的操作如表1所示，其中是原始的旋转角度；是CORDIC运算单元实际计算的旋转角度；输入向量是经过角度预旋转，实部虚部交换和取反操作之后输入到CORDIC运算单元的实部和虚部，表示为；

表1 角度预选转方法

输入向量经过CORDIC运算单元的角度旋转，得到输出向量，其由式（2）表示：

（2）

其中为初始角度旋转的系数，；为第1级到第n级的CORDIC迭代运算的角度旋转系数，；为初始旋转角度引入的常数模校正因子，；是第级CORDIC迭代的模校正因子，高基CORDIC算法采用泰勒级数展开式近似的方式计算模校正因子，表达式为：

（3）

由算式（2）和算式（3），得到每一级CORDIC迭代运算的表达式为：

（4）

（5）

（6）

旋转角度由初始旋转角度和各级CORDIC迭代角度叠加组成，表达式为：

（7）

其中表示角度误差；组合为旋转向量，在旋转角度可以事前确定的应用中，通过事先计算，将结果存储在ROM中，需要时再读出ROM中的旋转向量作为运算单元的控制信号。

2.基于如权利要求1所述改进的高基CORDIC方法的复数乘法运算单元，其特征在于：由三个部分构成：

第一部分为输入数据的预处理模块（101），对应于算法中的预选转操作，对输入数据的实部和虚部进行取反和交换；

第二部分为CORDIC乘法单元的运算模块，包括：初始角度旋转模块（102），对应于算式（2）中初始旋转角度系数所在的矩阵乘法，第一级到第六级的CORDIC迭代运算模块（103），对应于算式（2）中旋转角度系数所在的n级矩阵乘法，以及乘以常数模校正因子的模校正模块，对应于算式（2）中的乘数；

第三部分为只读存储器（105），用以存储作为控制信号的旋转向量；

所述第一级CORDIC迭代模块的硬件结构，包括：依次连接的一个二选一数据选择器A1（201）、三组硬件连线构成的移位器A1（202）、三个四选一数据选择器A1（203）、一个4-2数据压缩器（204）和一个快速加法器A1（205）；其中：

所述二选一数据选择器A1（201），用于选择输入数据或者输入数据取反之后的结果；

所述硬件连线构成的移位器A1（202），分为三组：

式（4）中的项和，对应于第一组的移位器2＾-11、移位器2＾-15和移位器2＾-19；该组的移位器分别实现算式（4）中、或时对输入数和的右移操作，依次对应于移位器2＾-11、移位器2＾-15和移位器2＾-19；

式（4）中的项和，对应于第二组的移位器2＾-2、移位器2＾-3和移位器2＾-4；该组的移位器分别实现算式（4）中、或时对输入数和的右移操作，依次对应于移位器2＾-2、移位器2＾-3和移位器2＾-4；

式（4）中的项和，第三组的移位器2＾-5、移位器2＾-7和移位器2＾-9；该组的移位器分别实现算式（4）中、或时对输入数和的右移操作，依次对应于移位器2＾-5、移位器2＾-7和移位器2＾-9；

所述三个四选一数据选择器A1（203），其四个输入与同组移位器的三个输出以及一个0输入相连；时选择0输入，时选择移位器组中的第一个输出，时选择移位器组中的第二个输出，时选择移位器组中的第三个输出；

所述4-2压缩器（204）有两个，分别用于式（4）中：和，这两个4-2压缩器的4个输入分别是式和式中的四项；将经过移位之后的数据压缩成为两路数据输出给快速加法器；

所述快速加法器A1（205），将中间结果相加之后得到最后的输出；

所述第二和第三级CORDIC迭代模块的硬件结构，包括：依次连接的一个二选一数据选择器A2、两组硬件连线构成的移位器A2、两个四选一数据选择器A2、一个3-2数据压缩器和一个快速加法器A2；其中：

所述二选一数据选择器A2，用于选择输入数据或者输入数据取反之后的结果；

所述硬件连线构成的移位器A2，共分为两组：

式（5）中的项和，对应于第一组的移位器2^-4i-1、移位器2^-4i-3和移位器2^-4i-5；该组移位器分别实现算式（5）中、或时对输入数和的右移操作，依次对应于移位器2^-4i-1、移位器2^-4i-3和移位器2^-4i-5；

式（5）中的项和，对应于第二组的移位器2^-2i、移位器2^-2i-1和移位器2^-2i-2；该组移位器分别实现算式（5）中、或时对输入数和的右移操作，依次对应于移位器2^-2i、移位器2^-2i-1和移位器2^-2i-2；

所述两个四选一数据选择器A2，其四个输入与同组移位器的三个输出以及一个0输入相连；时选择0输入，时选择移位器组中的第一个输出，时选择移位器组中的第二个输出，时选择移位器组中的第三个输出；

所述3-2压缩器有两个，分别用于式（5）中：和，这两个 3-2压缩器的3个输入分别是式和式中的三项；将经过移位之后的数据压缩成为两路数据输出给快速加法器；

所述快速加法器A2，将中间结果相加之后得到最后的输出；

所述第四级到第六级CORDIC迭代模块的硬件结构，包括：依次连接的一个二选一数据选择器A3、一组硬件连线构成的移位器A3、一个四选一数据选择器A3和一个快速加法器A3；其中：

所述二选一数据选择器A3，用于选择输入数据或者输入数据取反之后的结果；

所述硬件连线构成的移位器A3：

式（6）中的项和，对应于移位器2^-2i、移位器2^-2i-1和移位器2^-2i-2；该组移位器分别实现算式（6）中、或时对输入数和的右移操作，依次对应于移位器2^-2i、移位器2^-2i-1和移位器2^-2i-2；

所述四选一数据选择器A3，其四个输入与同组移位器的三个输出以及一个0输入相连；时选择0输入，时选择移位器组中的第一个输出，时选择移位器组中的第二个输出，时选择移位器组中的第三个输出；

所述快速加法器A3，将中间结果相加之后得到最后的输出。