CN103473479A - 一种履带车辆传动系统扭转振动数学模型建立方法 - Google Patents

Abstract

一种履带车辆传动系统扭转振动数学模型建立方法，它有三大步骤：步骤一，计算理论基础，建立履带车辆各元件扭转振动分析理论方程；步骤二，履带车辆传动数学模型的建立，得到常用结构扭振分析矩阵；步骤三，依据常用结构扭振分析矩阵，带入矩阵形式数学分析模型，获得具体结构扭振数学分析模型。本发明可以根据结构直接查询得到相应部分的矩阵，各个独立部分矩阵经上述方法可构成完整系统矩阵形式微分方程，跳过最为繁琐的计算得到方程过程，由结构应用上述方法可直接进行方程求解。这样就建立了履带车辆传动系统通用性的参数化矩阵形式固有振动微分方程，可以直接带入参数进行求解，快速准确分析其固有特性。

Description

一种履带车辆传动系统扭转振动数学模型建立方法

技术领域：

本发明涉及一种履带车辆传动系统扭转振动数学模型建立方法，属于机械传动系统振动技术领域。

背景技术：

Kahraman采用非线性动力学方法，建立简单行星齿轮机构的扭振模型，估算出了行星齿轮的固有频率及其模态。魏大盛采用Gill法对太阳轮浮动的简单行星机构进行动力学分析，得到了多自由度行星齿轮系统在刚性激励作用下的动态响应，并计算了轮齿间的动态载荷。上述对行星齿轮振动特性的研究，忽略了行星架与行星轮间的弹性轴承支撑，使得计算得到的固有特性偏刚性。王世宇建立了2K-H直齿行星齿轮传动机构的平移-扭转耦合模型，分析了行星齿轮机构的固有特性，其中考虑了行星架与行星轮间的轴承支撑，且对刚度、质量等参数对振动特性影响做了深入分析，但是忽略了行星架位移方向与齿轮啮合方向的夹角因素，同时它只针对具体结构进行分析，而没有提供一种普遍分析方法。

发明内容：

1、目的：本发明的目的是提供一种履带车辆传动系统扭转振动数学模型建立方法，它考虑更多影响因素，可以根据结构直接查询得到相应部分的矩阵，各个独立部分矩阵经以下方法可构成完整系统矩阵形式微分方程，跳过最为繁琐的计算得到方程过程，由结构应用以下方法可直接进行方程求解。这样就建立了履带车辆传动系统通用性的参数化矩阵形式扭转振动微分方程，可以直接带入参数进行求解，快速准确分析其固有特性。

2、技术方案：为了实现上述目的，本发明采取如下技术方案：

本发明一种履带车辆传动系统扭转振动数学模型建立方法，该方法具体步骤如下：

步骤一，计算理论基础；

各个元件简化为具有集中质量的惯性元件，齿轮之间的啮合简化为弹性连接，刚度等于齿轮啮合刚度，并且啮合作用只发生在理论啮合线上，其他元件连接同时也简化为弹性连接。

应用拉格朗日方程建模

设L=T-V

有 $\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{.}{q}}_j}\right)-\frac{\∂L}{\∂q_j}=Q_j^{\text{'}}$

其中T为动能，V为势能，Q'_j为非有势力的广义力，在进行带阻尼扭转振动计算中，把阻尼力看作非有势力广义力进行计算。

这里举行星齿轮和圆柱齿轮两例

（1）行星齿轮传动中

能量计算

带有q个行星轮的第x个简单行星排系统如图1所示，动能为

$T=\frac{1}{2}{J}_s{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_s^2+\frac{1}{2}{J}_r{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_r^2+\frac{1}{2}{J}_c{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_c^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{pi}}{({\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_c+{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_p+{\left(R_c{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_c\right)}^2]$

系统的势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能。

齿轮传动啮合处势能：

$V_1=\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{sp}}{({\mathrm{\θ}}_s{R}_s-{\mathrm{\θ}}_c{R}_s\cos {\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{pi}}{R}_{\mathrm{pi}})}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_c{R}_r\cos {\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{pi}}{R}_{\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_r{R}_r)}^2\right]$ 行星系统与外部连接的势能：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{slmn}}{({\mathrm{\θ}}_s-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{clmn}}{({\mathrm{\θ}}_c-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{rlmn}}{({\mathrm{\θ}}_r-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2$

（2）普通圆柱齿轮传动中第x对圆柱齿轮动能为：

$T=\frac{1}{2}{J}_{x1}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{x1}^2+\frac{1}{2}{J}_{x2}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{x2}^2$

齿轮啮合处势能： $V_1=\frac{1}{2}{k}_x{({\mathrm{\θ}}_{x1}{R}_{x1}+{\mathrm{\θ}}_{x2}{R}_{x2})}^2$

与外部连接处的势能： $V_2=\frac{1}{2}{k}_{x1\mathrm{lmn}}{({\mathrm{\θ}}_{x1}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{x2\mathrm{lmn}}{({\mathrm{\θ}}_{x2}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2$

（3）其他元件应用同样的原理方法进行计算。

以上符号含义在步骤三中给出。

步骤二，履带车辆传动数学模型建立

应用此理论构建履带车辆机械传动系统数学模型；

履带车辆机械传动系统中包括前传动、变速机构、侧传动、转向复合机构和其它传动机件。扭转振动数学模型可构造如下：

$J=\left[\begin{array}{ccccccc}{J}_{\mathrm{IN}}& & & & & & \\ & J_{\mathrm{AT}}& & & & & \\ & & J_{\mathrm{TR}}& & & & \\ & & & J_{\mathrm{SD}}& & & \\ & & & & J_{\mathrm{SM}}& & \\ & & & & & J_{\mathrm{OM}}& \\ & & & & & & J_{\mathrm{OUT}}\end{array}\right]$

K_AT(Anterier transmission)表示前传动刚度矩阵；K_TR表示变速机构刚度矩阵；K_SD(sidedrive)表示侧传动刚度矩阵；K_SM（steering mechanism）表示转向复合机构刚度矩阵；K_OM(other mechanism)表示其它传动机件刚度矩阵。非主对角矩阵为连接刚度矩阵，表示下标用“-”连接的两个机件的连接刚度关系。

C_AT(Anterier transmission)表示前传动阻尼矩阵；C_TR表示变速机构阻尼矩阵；C_SD(sidedrive)表示侧传动阻尼矩阵；C_SM（steering mechanism）表示转向复合机构阻尼矩阵；C_OM(other mechanism)表示其它传动机件阻尼矩阵。非主对角矩阵为连接刚度矩阵，表示下标用“-”连接的两个机件的连接阻尼关系。

以传动系统中最复杂的变速机构为例，其它结构计算方法完全相同。

K_TR表示变速箱刚度矩阵，K_I表示行星齿轮刚度矩阵，K_II表示圆柱齿轮刚度矩阵，K_III表示其他需考虑部件刚度矩阵。而非对角线矩阵表示连接矩阵，例如K_I-II表示行星齿轮刚度矩阵与圆柱齿轮刚度矩阵的连接矩阵。

C_TR表示变速箱阻尼矩阵，C_I表示行星齿轮阻尼矩阵，C_II表示圆柱齿轮阻尼矩阵，C_III表示其他需考虑部件阻尼矩阵。而非对角线矩阵表示连接矩阵，例如C_I-II表示行星齿轮阻尼矩阵与圆柱齿轮阻尼矩阵的连接矩阵。

K_I、K_II、K_III中的K_x表示此类部件矩阵中第x个零件的刚度矩阵，x可以是1、2…。例如，K_II中的K₃表示第3个圆柱齿轮刚度矩阵。而非对角线矩阵表示此类部件矩阵中的连接矩阵，例如K_II中的K_1，2表示第一个圆柱齿轮与第二个圆柱齿轮的连接刚度矩阵。

C_I、C_II、C_III中的K_x表示此类部件矩阵中第x个零件的阻尼矩阵，x可以是1、2…。例如，C_II中的C₃表示第3个圆柱齿轮阻尼矩阵。而非对角线矩阵表示此类部件矩阵中的连接矩阵，例如C_II中的C_1，2表示第一个圆柱齿轮与第二个圆柱齿轮的连接刚度阻尼矩阵。

$J_{\mathrm{TR}}=\left[\begin{array}{ccc}{J}_I& & \\ & J_{\mathrm{II}}& \\ & & J_{\mathrm{III}}\end{array}\right]$

步骤三，依据步骤一计算原理，常用结构矩阵获得

（1）行星齿轮刚度矩阵K_I中，带有q个行星轮的第x个简单行星排惯量、刚度和阻尼矩阵为：

规定太阳轮、行星轮、齿圈、行星架的下标分别为s、p、r、c，第i个行星轮定义下标为pi，转角为θ，转速为加速度为

各齿轮半径为R，J表示转动惯量，k、c分别表示刚度和阻尼，k、c下标表示下标字母表示部件间的刚度和阻尼。

J_s、J_r、J_c、J_pi分别为太阳轮、齿圈、行星架和第i个行星轮的转动惯量。m_pi表示第i个行星轮的质量。

q代表第q个行星齿轮，q取1、2、3…l代表I、II、III…表示部件类型。

K_x中R_s、R_c、R_r、R_pi分别指第x级行星排太阳轮、行星架、齿圈、第i个行星轮的半径。α₁、α₂分别指第x级行星排行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角、行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角。k_sp指第x级行星排太阳轮与行星轮啮合刚度，k_pr指第x级行星排齿圈与行星轮啮合刚度。k_slmn、k_rlmn、k_clmn分别表示第x级行星排太阳轮、齿圈、行星架与第m个l类部件的n零件连接刚度。

在复合行星排中行星轮用a、b、d表示。所有字母后如果带数字e，表示第x级行星排第e个此零件。例如K_x中k_r2lmn表示第x行星排第二个齿圈与第m个l零件连接刚度。

阻尼矩阵中符号含义与刚度矩阵完全相同，此处不做赘述。

非主对角连接矩阵结构（包含下面圆柱齿轮、轴、其他部件）都放在最后统一给出。

（2）圆柱齿轮刚度矩阵K_II中，第x对圆柱齿轮啮合的惯量、刚度和阻尼矩阵：

$J_x=\left[\begin{array}{cc}{J}_{x1}& \\ & J_{x2}\end{array}\right]$

$K_x=\left[\begin{array}{cc}{k}_x{R}_{x1}^2+k_{x1\mathrm{lmn}}& k_x{R}_{x1}{R}_{x2}\\ k_x{R}_{x1}{R}_{x2}& k_x{R}_{x2}^2+k_{x2\mathrm{lmn}}\end{array}\right]$ $C_x=\left[\begin{array}{cc}{c}_x{R}_{x1}^2+c_{x1\mathrm{lmn}}& c_x{R}_{x1}{R}_{x2}\\ c_x{R}_{x1}{R}_{x2}& c_x{R}_{x2}^2+c_{x2\mathrm{lmn}}\end{array}\right]$

J_x1、J_x2非别为圆柱齿轮主动轮和被动轮转动惯量。k_x、c_x为第x对圆柱齿轮齿轮啮合刚度和阻尼，R_x1为第x对圆柱齿轮齿轮主动轮半径，R_x2为第x对圆柱齿轮齿轮从动轮半径，k_x1lmn、k_x2lmn、c_x1lmn、c_x2lmn分别为主动轮、从动轮与第m个l类部件的n零件连接刚度和阻尼。

（3）其他元件刚度矩阵K_III中，按照行星齿轮和圆柱齿轮计算方法求得其刚度和阻尼矩阵。

应用同样的计算方式，得到带有q个行星轮常用复合行星排惯量、刚度和阻尼矩阵。（此处由于篇幅所限，只表示一种常用复合行星排矩阵。其余计算方法相同，不再赘述。下列矩阵各项表示含义见步骤三（1））：

上述所有非主对角矩阵中项的构成依据以下原则。

找到此项对应行和列的主对角线元素，查找这两个元素所对应零件是否有连接关系。若无连接关系，非对角矩阵此项为0，若有连接关系（定义第m个l类部件的n零件和第m，个l，类部件的n’零件连接刚度k_{lmnl’m’n’}阻尼c_{lmnl’m’n’}，非对角刚度和阻尼矩阵此项分别为-k_{lmnl’m’n’}和-c_{lmnl’m’n’}。按照此原则即可把所有非对角矩阵填写完整。

优点及功效：本发明一种履带车辆传动系统扭转振动数学模型建立方法，其优点是：可以根据结构直接查询得到相应部分的矩阵，各个独立部分矩阵经上述方法可构成完整系统矩阵形式微分方程，跳过最为繁琐的计算得到方程过程，由结构应用上述方法可直接进行方程求解。

这样就建立了履带车辆传动系统通用性的参数化矩阵形式固有振动微分方程，可以直接带入参数进行求解，快速准确分析其固有特性。

附图说明：

图1为简单行星排纯扭转振动模型。

图1中，k_sp指太阳轮与行星轮啮合刚度，k_pr指齿圈与行星轮啮合刚度。k_slmn、k_rlmn、k_clmn分别表示太阳轮、齿圈、行星架与第m个l类部件的n零件连接刚度。

c_sp指太阳轮与行星轮啮合阻尼，c_pr指齿圈与行星轮啮合阻尼。c_slmn、c_rlmn、c_clmn分别表示太阳轮、齿圈、行星架与第m个l类部件的n零件连接阻尼。

图2为一种常用复合行星排机构图。

图中，a、b、d表示行星轮，r1、r2分别表示复合行星排中齿圈1、齿圈2，s1、s2分别表示复合行星排中太阳轮1、太阳轮2，c表示行星架。

图3是本发明流程框图。

具体实施方式

见图3，本发明一种履带车辆传动系统扭转振动数学模型建立方法，该方法具体步骤如下：

步骤一，计算理论基础；

各个元件简化为具有集中质量的惯性元件，齿轮之间的啮合简化为弹性连接，刚度等于齿轮啮合刚度，并且啮合作用只发生在理论啮合线上，其他元件连接同时也简化为弹性连接。

应用拉格朗日方程建模

设L=T-V

有 $\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{.}{q}}_j}\right)-\frac{\∂L}{\∂q_j}=Q_j^{\text{'}}$

其中T为动能，V为势能，Q'_j为非有势力的广义力，在进行带阻尼扭转振动计算中，把阻尼力看作非有势力广义力进行计算。

这里举行星齿轮和圆柱齿轮两例

（1）行星齿轮传动中

能量计算

带有q个行星轮的第x个简单行星排系统如图1所示，动能为

$T=\frac{1}{2}{J}_s{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_s^2+\frac{1}{2}{J}_r{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_r^2+\frac{1}{2}{J}_c{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_c^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{pi}}{({\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_c+{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_p+{\left(R_c{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_c\right)}^2]$

系统的势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能。

齿轮传动啮合处势能：

$V_1=\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{sp}}{({\mathrm{\θ}}_s{R}_s-{\mathrm{\θ}}_c{R}_s\cos {\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{pi}}{R}_{\mathrm{pi}})}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_c{R}_r\cos {\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{pi}}{R}_{\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_r{R}_r)}^2\right]$ 行星系统与外部连接的势能：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{slmn}}{({\mathrm{\θ}}_s-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{clmn}}{({\mathrm{\θ}}_c-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{rlmn}}{({\mathrm{\θ}}_r-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2$

（2）普通圆柱齿轮传动中第x对圆柱齿轮动能为：

$T=\frac{1}{2}{J}_{x1}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{x1}^2+\frac{1}{2}{J}_{x2}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{x2}^2$

齿轮啮合处势能： $V_1=\frac{1}{2}{k}_x{({\mathrm{\θ}}_{x1}{R}_{x1}+{\mathrm{\θ}}_{x2}{R}_{x2})}^2$

与外部连接处的势能： $V_2=\frac{1}{2}{k}_{x1\mathrm{lmn}}{({\mathrm{\θ}}_{x1}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{x2\mathrm{lmn}}{({\mathrm{\θ}}_{x2}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2$

（3）其他元件应用同样的原理方法进行计算。

以上符号含义在步骤三中给出。

步骤二，履带车辆传动数学模型建立

应用此理论构建履带车辆机械传动系统数学模型；

履带车辆机械传动系统中包括前传动、变速机构、侧传动、转向复合机构和其它传动机件。扭转振动数学模型可构造如下：

$J=\left[\begin{array}{ccccccc}{J}_{\mathrm{IN}}& & & & & & \\ & J_{\mathrm{AT}}& & & & & \\ & & J_{\mathrm{TR}}& & & & \\ & & & J_{\mathrm{SD}}& & & \\ & & & & J_{\mathrm{SM}}& & \\ & & & & & J_{\mathrm{OM}}& \\ & & & & & & J_{\mathrm{OUT}}\end{array}\right]$

K_AT(Anterier transmission)表示前传动刚度矩阵；K_TR表示变速机构刚度矩阵；K_SD(sidedrive)表示侧传动刚度矩阵；K_SM（steering mechanism）表示转向复合机构刚度矩阵；K_OM(other mechanism)表示其它传动机件刚度矩阵。非主对角矩阵为连接刚度矩阵，表示下标用“-”连接的两个机件的连接刚度关系。

C_AT(Anterier transmission)表示前传动阻尼矩阵；C_TR表示变速机构阻尼矩阵；C_SD(sidedrive)表示侧传动阻尼矩阵；C_SM（steering mechanism）表示转向复合机构阻尼矩阵；C_OM(other mechanism)表示其它传动机件阻尼矩阵。非主对角矩阵为连接刚度矩阵，表示下标用“-”连接的两个机件的连接阻尼关系。

以传动系统中最复杂的变速机构为例，其它结构计算方法完全相同。

K_TR表示变速箱刚度矩阵，K_I表示行星齿轮刚度矩阵，K_II表示圆柱齿轮刚度矩阵，K_III表示其他需考虑部件刚度矩阵。而非对角线矩阵表示连接矩阵，例如K_I-II表示行星齿轮刚度矩阵与圆柱齿轮刚度矩阵的连接矩阵。

C_TR表示变速箱阻尼矩阵，C_I表示行星齿轮阻尼矩阵，C_II表示圆柱齿轮阻尼矩阵，C_III表示其他需考虑部件阻尼矩阵。而非对角线矩阵表示连接矩阵，例如C_I-II表示行星齿轮阻尼矩阵与圆柱齿轮阻尼矩阵的连接矩阵。

K_I、K_II、K_III中的K_x表示此类部件矩阵中第x个零件的刚度矩阵，x可以是1、2…。例如，K_II中的K₃表示第3个圆柱齿轮刚度矩阵。而非对角线矩阵表示此类部件矩阵中的连接矩阵，例如K_II中的K_1，2表示第一个圆柱齿轮与第二个圆柱齿轮的连接刚度矩阵。

C_I、C_II、C_III中的K_x表示此类部件矩阵中第x个零件的阻尼矩阵，x可以是1、2…。例如，C_II中的C₃表示第3个圆柱齿轮阻尼矩阵。而非对角线矩阵表示此类部件矩阵中的连接矩阵，例如C_II中的C_1，2表示第一个圆柱齿轮与第二个圆柱齿轮的连接刚度阻尼矩阵。

$J_{\mathrm{TR}}=\left[\begin{array}{ccc}{J}_I& & \\ & J_{\mathrm{II}}& \\ & & J_{\mathrm{III}}\end{array}\right]$

步骤三，常用结构矩阵获得（依据步骤一计算原理）

（1）行星齿轮刚度矩阵K_I中，带有q个行星轮的第x个简单行星排惯量、刚度和阻尼矩阵为：

规定太阳轮、行星轮、齿圈、行星架的下标分别为s、p、r、c，第i个行星轮定义下标为pi，转角为θ，转速为

加速度为

各齿轮半径为R，J表示转动惯量，k、c分别表示刚度和阻尼，k、c下标表示下标字母表示部件间的刚度和阻尼。

J_s、J_r、J_c、J_pi分别为太阳轮、齿圈、行星架和第i个行星轮的转动惯量。m_pi表示第i个行星轮的质量。

q代表第q个行星齿轮，q取1、2、3…l代表I、II、III…表示部件类型。

K_x中R_s、R_c、R_r、R_pi分别指第x级行星排太阳轮、行星架、齿圈、第i个行星轮的半径。α₁、α₂分别指第x级行星排行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角、行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角。k_sp指第x级行星排太阳轮与行星轮啮合刚度，k_pr指第x级行星排齿圈与行星轮啮合刚度。k_slmn、k_rlmn、k_clmn分别表示第x级行星排太阳轮、齿圈、行星架与第m个l类部件的n零件连接刚度。

在复合行星排中行星轮用a、b、d表示。所有字母后如果带数字e，表示第x级行星排第e个此零件。例如K_x中k_r2lmn表示第x行星排第二个齿圈与第m个l零件连接刚度。

阻尼矩阵中符号含义与刚度矩阵完全相同，此处不做赘述。

非主对角连接矩阵结构（包含下面圆柱齿轮、轴、其他部件）都放在最后统一给出。

（2）圆柱齿轮刚度矩阵K_II中，第x对圆柱齿轮啮合的惯量、刚度和阻尼矩阵：

$J_x=\left[\begin{array}{cc}{J}_{x1}& \\ & J_{x2}\end{array}\right]$

$K_x=\left[\begin{array}{cc}{k}_x{R}_{x1}^2+k_{x1\mathrm{lmn}}& k_x{R}_{x1}{R}_{x2}\\ k_x{R}_{x1}{R}_{x2}& k_x{R}_{x2}^2+k_{x2\mathrm{lmn}}\end{array}\right]$ $C_x=\left[\begin{array}{cc}{c}_x{R}_{x1}^2+c_{x1\mathrm{lmn}}& c_x{R}_{x1}{R}_{x2}\\ c_x{R}_{x1}{R}_{x2}& c_x{R}_{x2}^2+c_{x2\mathrm{lmn}}\end{array}\right]$

J_x1、J_x2非别为圆柱齿轮主动轮和被动轮转动惯量。k_x、c_x为第x对圆柱齿轮齿轮啮合刚度和阻尼，R_x1为第x对圆柱齿轮齿轮主动轮半径，R_x2为第x对圆柱齿轮齿轮从动轮半径，k_x1lmn、k_x2lmn、c_x1lmn、c_x2lmn分别为主动轮、从动轮与第m个l类部件的n零件连接刚度和阻尼。

（3）其他元件刚度矩阵K_III中，按照行星齿轮和圆柱齿轮计算方法求得其刚度和阻尼矩阵。

应用同样的计算方式，得到带有q个行星轮常用复合行星排惯量、刚度和阻尼矩阵如下（此处由于篇幅所限，只表示一种常用复合行星排矩阵。其余计算方法相同，不再赘述。下列矩阵各项表示含义见步骤三（1））：

上述所有非主对角矩阵中项的构成依据以下的原则。

找到此项对应行和列的主对角线元素，查找这两个元素所对应零件是否有连接关系。若无连接关系，非对角矩阵此项为0，若有连接关系（定义第m个l类部件的n零件和第m，个l，类部件的n’零件连接刚度k_{lmnl’m’n’}阻尼c_{lmnl’m’n’}，非对角刚度和阻尼矩阵此项分别为-k_{lmnl’m’n’}和-c_{lmnl’m’n’}。按照此原则即可把所有非对角矩阵填写完整。

这样就可以根据结构直接查询得到相应部分的矩阵，各个独立部分矩阵经上述方法可构成完整系统矩阵形式微分方程，跳过最为繁琐的计算得到方程过程，由结构应用上述方法可直接进行方程求解。

这样就建立了履带车辆传动系统通用性的参数化矩阵形式固有振动微分方程，可以直接带入参数进行求解，快速准确分析其固有特性。图2为一种常用复合行星排机构图。

Claims (1)

1.一种履带车辆传动系统扭转振动数学模型建立方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一，计算理论基础；

各个元件简化为具有集中质量的惯性元件，齿轮之间的啮合简化为弹性连接，刚度等于齿轮啮合刚度，并且啮合作用只发生在理论啮合线上，其他元件连接同时也简化为弹性连接；

应用拉格朗日方程建模

设L=T-V

有 $\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{.}{q}}_j}\right)-\frac{\∂L}{\∂q_j}=Q_j^{\text{'}}$

其中T为动能，V为势能，Q'_j为非有势力的广义力，在进行带阻尼扭转振动计算中，把阻尼力看作非有势力广义力进行计算；

（1）行星齿轮传动中

能量计算

带有q个行星轮的第x个简单行星排系统，其动能为

$T=\frac{1}{2}{J}_s{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_s^2+\frac{1}{2}{J}_r{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_r^2+\frac{1}{2}{J}_c{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_c^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{pi}}{({\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_c+{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_p+{\left(R_c{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_c\right)}^2]$

系统的势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能；

齿轮传动啮合处势能：

$V_1=\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{sp}}{({\mathrm{\θ}}_s{R}_s-{\mathrm{\θ}}_c{R}_s\cos {\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{pi}}{R}_{\mathrm{pi}})}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_c{R}_r\cos {\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{pi}}{R}_{\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_r{R}_r)}^2\right]$ 行星系统与外部连接的势能：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{slmn}}{({\mathrm{\θ}}_s-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{clmn}}{({\mathrm{\θ}}_c-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{rlmn}}{({\mathrm{\θ}}_r-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2$

（2）普通圆柱齿轮传动中第x对圆柱齿轮动能为：

$T=\frac{1}{2}{J}_{x1}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{x1}^2+\frac{1}{2}{J}_{x2}{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_{x2}^2$

齿轮啮合处势能： $V_1=\frac{1}{2}{k}_x{({\mathrm{\θ}}_{x1}{R}_{x1}+{\mathrm{\θ}}_{x2}{R}_{x2})}^2$

与外部连接处的势能： $V_2=\frac{1}{2}{k}_{x1\mathrm{lmn}}{({\mathrm{\θ}}_{x1}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{x2\mathrm{lmn}}{({\mathrm{\θ}}_{x2}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{lmn}})}^2$

（3）其他元件应用同样的原理方法进行计算；

以上符号含义在步骤三中列出；

步骤二，履带车辆传动数学模型建立

应用此理论构建履带车辆机械传动系统数学模型；

履带车辆机械传动系统中包括前传动、变速机构、侧传动、转向复合机构和其它传动机件；扭转振动数学模型构造如下：

$J=\left[\begin{array}{ccccccc}{J}_{\mathrm{IN}}& & & & & & \\ & J_{\mathrm{AT}}& & & & & \\ & & J_{\mathrm{TR}}& & & & \\ & & & J_{\mathrm{SD}}& & & \\ & & & & J_{\mathrm{SM}}& & \\ & & & & & J_{\mathrm{OM}}& \\ & & & & & & J_{\mathrm{OUT}}\end{array}\right]$

K_AT表示前传动刚度矩阵；K_TR表示变速机构刚度矩阵；K_SD表示侧传动刚度矩阵；K_SM表示转向复合机构刚度矩阵；K_OM表示其它传动机件刚度矩阵，非主对角矩阵为连接刚度矩阵，表示下标用“-”连接的两个机件的连接刚度关系；

C_AT表示前传动阻尼矩阵；C_TR表示变速机构阻尼矩阵；C_SD表示侧传动阻尼矩阵；C_SM表示转向复合机构阻尼矩阵；C_OM表示其它传动机件阻尼矩阵；非主对角矩阵为连接刚度矩阵，表示下标用“-”连接的两个机件的连接阻尼关系；

以传动系统中最复杂的变速机构为例，其它结构计算方法完全相同；

K_TR表示变速箱刚度矩阵，K_I表示行星齿轮刚度矩阵，K_II表示圆柱齿轮刚度矩阵，K_III表示其他需考虑部件刚度矩阵；而非对角线矩阵表示连接矩阵，例如K_I-II表示行星齿轮刚度矩阵与圆柱齿轮刚度矩阵的连接矩阵；

C_TR表示变速箱阻尼矩阵，C_I表示行星齿轮阻尼矩阵，C_II表示圆柱齿轮阻尼矩阵，C_III表示其他需考虑部件阻尼矩阵；而非对角线矩阵表示连接矩阵，例如C_I-II表示行星齿轮阻尼矩阵与圆柱齿轮阻尼矩阵的连接矩阵；

K_I、K_II、K_III中的K_x表示此类部件矩阵中第x个零件的刚度矩阵，x是1、2…；例如，K_II中的K₃表示第3个圆柱齿轮刚度矩阵；而非对角线矩阵表示此类部件矩阵中的连接矩阵，例如K_II中的K_1，2表示第一个圆柱齿轮与第二个圆柱齿轮的连接刚度矩阵；

C_I、C_II、C_III中的K_x表示此类部件矩阵中第x个零件的阻尼矩阵，x是1、2…；例如，C_II中的C₃表示第3个圆柱齿轮阻尼矩阵；而非对角线矩阵表示此类部件矩阵中的连接矩阵，例如C_II中的C_1，2表示第一个圆柱齿轮与第二个圆柱齿轮的连接刚度阻尼矩阵；

$J_{\mathrm{TR}}=\left[\begin{array}{ccc}{J}_I& & \\ & J_{\mathrm{II}}& \\ & & J_{\mathrm{III}}\end{array}\right]$

步骤三，依据步骤一计算原理，常用结构矩阵获得

（1）行星齿轮刚度矩阵K_I中，带有q个行星轮的第x个简单行星排惯量、刚度和阻尼矩阵为：

规定太阳轮、行星轮、齿圈、行星架的下标分别为s、p、r、c，第i个行星轮定义下标为pi，转角为θ，转速为加速度为

各齿轮半径为R，J表示转动惯量，k、c分别表示刚度和阻尼，k、c下标表示下标字母表示部件间的刚度和阻尼；

J_s、J_r、J_c、J_pi分别为太阳轮、齿圈、行星架和第i个行星轮的转动惯量；m_pi表示第i个行星轮的质量；

q代表第q个行星齿轮，q取1、2、3…l代表I、II、III…表示部件类型；

K_x中R_s、R_c、R_r、R_pi分别指第x级行星排太阳轮、行星架、齿圈、第i个行星轮的半径，α₁、α₂分别指第x级行星排行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角、行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角；k_sp指第x级行星排太阳轮与行星轮啮合刚度，k_pr指第x级行星排齿圈与行星轮啮合刚度；k_slmn、k_rlmn、k_clmn分别表示第x级行星排太阳轮、齿圈、行星架与第m个l类部件的n零件连接刚度；

在复合行星排中行星轮用a、b、d表示，所有字母后如果带数字e，表示第x级行星排第e个此零件；例如K_x中k_r2lmn表示第x行星排第二个齿圈与第m个l零件连接刚度；

阻尼矩阵中符号含义与刚度矩阵完全相同，非主对角连接矩阵结构，包含下面圆柱齿轮、轴、其他部件都放在最后统一给出；

（2）圆柱齿轮刚度矩阵K_II中，第x对圆柱齿轮啮合的惯量、刚度和阻尼矩阵：

$J_x=\left[\begin{array}{cc}{J}_{x1}& \\ & J_{x2}\end{array}\right]$

$K_x=\left[\begin{array}{cc}{k}_x{R}_{x1}^2+k_{x1\mathrm{lmn}}& k_x{R}_{x1}{R}_{x2}\\ k_x{R}_{x1}{R}_{x2}& k_x{R}_{x2}^2+k_{x2\mathrm{lmn}}\end{array}\right]$ $C_x=\left[\begin{array}{cc}{c}_x{R}_{x1}^2+c_{x1\mathrm{lmn}}& c_x{R}_{x1}{R}_{x2}\\ c_x{R}_{x1}{R}_{x2}& c_x{R}_{x2}^2+c_{x2\mathrm{lmn}}\end{array}\right]$

J_x1、J_x2非别为圆柱齿轮主动轮和被动轮转动惯量，k_x、c_x为第x对圆柱齿轮齿轮啮合刚度和阻尼，R_x1为第x对圆柱齿轮齿轮主动轮半径，R_x2为第x对圆柱齿轮齿轮从动轮半径，k_x1lmn、k_x2lmn、c_x1lmn、c_x2lmn分别为主动轮、从动轮与第m个l类部件的n零件连接刚度和阻尼；

（3）其他元件刚度矩阵K_III中，按照行星齿轮和圆柱齿轮计算方法求得其刚度和阻尼矩阵；

应用同样的计算方式，得到带有q个行星轮常用复合行星排惯量、刚度和阻尼矩阵；此处只表示一种常用复合行星排矩阵，其余计算方法相同；下列矩阵各项表示含义见步骤三（1）：

上述所有非主对角矩阵中项的构成依据以下原则；

找到此项对应行和列的主对角线元素，查找这两个元素所对应零件是否有连接关系；若无连接关系，非对角矩阵此项为0，若有连接关系，定义第m个l类部件的n零件和第m’个l’类部件的n’零件连接刚度k_{lmnl’m’n’}阻尼c_{lmnl’m’n’}，非对角刚度和阻尼矩阵此项分别为-k_{lmnl’m’n’}和-c_{lmnl’m’n’}；按照此原则即可把所有非对角矩阵填写完整。

Images