CN102968537B - 一种行星齿轮传动系统扭转振动固有特性分析方法 - Google Patents

Abstract

一种行星齿轮传动系统扭转振动固有特性分析方法，该方法有四大步骤：步骤一：应用拉格朗日方程，对单个行星排带阻尼纯扭转振动进行数学建模；步骤二：对该传动系统进行固有特性分析；步骤三：应用多组计算，验证阻尼对固有频率的影响：步骤四：建立行星齿轮传动系统通用矩阵并通过实例数值计算和simulationX建模仿真验证。本方法在行星传动系统中，得到的参数化矩阵（刚度矩阵、阻尼矩阵、连接矩阵）形式的有阻尼固有振动微分方程，具有通用性，可根据不同的连接结构和行星齿轮系统参数，对应部件直接选择相应矩阵形式构造整体系统矩阵，带入参数后，快速准确分析传动系统的固有特性。

Description

一种行星齿轮传动系统扭转振动固有特性分析方法

技术领域：

本发明涉及一种行星齿轮传动系统扭转振动固有特性分析方法，属于机械传动系统振动技术领域。

背景技术：

Velex和Flamand运用集中参数模型研究了行星齿轮动力学,Kahraman运用行星齿轮模型来估计固有频率，振动模式及动力。王世宇：建立了2K-H直齿行星齿轮传动平移-扭转耦合模型，分析了行星传动的固有特性。魏大盛建立了多自由度系统的动力学模型，采用Gill法对系统的运动微分方程进行数值积分，得到了此自由度系统在刚度激励作用下的动态响应，并计算了轮齿间的动态载荷。而在上述研究中，均把齿轮啮合看作弹簧模型，忽略了阻尼的影响，并且细节部分均有忽略，与实际情况不完全相符合。还有一个共同点就是都是针对某个具体结构进行分析，不具有普遍通用性。

发明内容：

1、目的：本发明的目的是提供一种行星齿轮传动系统扭转振动固有特性分析方法，它考虑更多影响因素，准确分析单行星排扭转振动的固有特性。在有多个行星齿轮的传动系统中（车辆传动），得到系统具有通用性的参数化矩阵形式固有振动微分方程，直接带入参数进行计算，快速准确分析其固有特性。

2、技术方案：为了实现上述目的，本发明采取如下技术方案：

本发明一种行星齿轮传动系统扭转振动固有特性分析方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：应用拉格朗日方程，对单个行星排带阻尼纯扭转振动进行数学建模；

见图1，规定太阳轮、行星轮、齿圈、行星架的下标分别为s、p、r、c，第i个行星轮定义下标为pi，转角为θ，转速为加速度为各齿轮半径为R，J表示转动惯量，k、c分别表示刚度和阻尼，k、c下标两字母连接代表下标两字母表示部件间的刚度和阻尼。α₁为行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角，α₂为行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角。

应用拉格朗日方程建模

设L=T-V

有 $\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{q}}_j}\right)-\frac{\∂L}{\∂q_j}=Q_j^{\′}$

其中T为动能，V为势能，Q′_j为非有势力的广义力，在进行带阻尼扭转振动计算中，把阻尼力看作非有势力广义力进行计算。

(1)能量计算

系统的动能为

$T=\frac{1}{2}{J}_s{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_s^2+\frac{1}{2}{J}_r{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_r^2+\frac{1}{2}{J}_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_c^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{pi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_c+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_p{\left(R_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_c\right)}^2]$

系统的势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能。

齿轮传动啮合处势能：

$V_1=\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{sp}}{\left({\text{\θ}}_s{R}_s-{\mathrm{\θ}}_c{R}_s\cos {\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{pi}}{R}_{\mathrm{pi}}\right)}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_c{R}_r\cos {\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{pi}}{R}_{\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_r{R}_r)}^2\right]$

行星系统与外部连接的势能：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_s{\mathrm{\θ}}_s^2+\frac{1}{2}{k}_c{\mathrm{\θ}}_c^2+\frac{1}{2}{k}_r{\mathrm{\θ}}_r^2$

上式中k_s、k_c、k_r为与其他部件连接刚度，单位为N·m/rad，k_sp、k_pr为行星传动内外啮合刚度，分别为太阳轮与行星轮啮合刚度和行星轮与齿圈啮合刚度，单位为N/(m·rad)。

(2)建立有阻尼扭转振动微分方程

$J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+C\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+\mathrm{K\θ}=0$

得到：

由图可以看出，阻尼与弹簧对应存在，可以得知作为非有势力广义力的阻尼力与有势力弹簧力对应存在，所以，可以通过刚度矩阵推出阻尼矩阵：

步骤二：对该传动系统进行固有特性分析

（1）数值求解

应用阵型叠加法求解，引入正则坐标x_N，所得振动方程左乘右乘A_N，则

${\stackrel{\·\·}{x}}_N+C_N{\stackrel{\·}{x}}_N+K_N{x}_N=0$

C_N、K_N分别为正则坐标中的阻尼矩阵和刚度矩阵。

展开形式为： ${\stackrel{\·\·}{x}}_{\mathrm{Nj}}+C_{\mathrm{Nj}}{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{Nj}}+W_j^2{x}_{\mathrm{Nj}}=0$

改写为： ${\stackrel{\·\·}{x}}_{\mathrm{Nj}}+2{\mathrm{\ζ}}_j{W}_j{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{Nj}}+W_j^2{x}_{\mathrm{Nj}}=0$

其中ζ=C_Nj/2W_j，是第j阶正则阵型相对阻尼系数。

所以固有频率 $W_j^{\′}=W_j\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}$

举实例验证：

行星排中有4个行星轮，其行星齿轮传动参数如表1：

表1行星齿轮传动参数

编程得到的固有频率如表2：

表2固有频率

阶数	固有频率（Hz）
		0	0
1	1146.6
		2	2059.3
3	2807.4
		4	3325.5

表中0阶代表刚体运动。

（2）simulationX仿真求解

根据表1，构建模型如图2所示：

求得固有频率为表3：

表3固有频率

阶数	固有频率（Hz）
		0	0
1	1272.7
		2	2037.5
3	2866.3
		4	3327.4

（3）小结

除第一阶频率外，其他阶固有频率计算与仿真误差在3%以下。第一阶的不同是由于建模方式的限制产生的，在simulationX建模中，行星架的转动惯量与行星轮是必须分开计算的，而数值计算中，把行星轮绕中心轴的转动同时归于行星架的转动惯量上，所以引起了约为9.9%的误差。

步骤三：应用多组计算，验证阻尼对固有频率的影响：

通过以上步骤，计算实际应用中的100个行星排的固有频率。对比无阻尼情况下与有阻尼的实际情况，可以得出这样的结论。

数值上，C/K≤1/10000时，对其固有特性基本无影响，在1/10000≤C/K≤1/500时，除行星架（行星架约为5%～10%）外影响很小，约为1%。因此，1/500≤C/K，就应考虑阻尼影响。

步骤四：建立行星齿轮传动系统通用矩阵并通过实例数值计算和simulationX建模仿真验证

一、多个行星齿轮传动系统通用矩阵

见图3同样应用拉格朗日方程求解（参数命名如图3）。

(1)能量计算

系统的动能为

$T=\frac{1}{2}{J}_{1s}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1s}^2+\frac{1}{2}{J}_{1r}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1r}^2+J_{1c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{1\mathrm{pi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{1\mathrm{pi}}{\left(R_{1c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}\right)}^2]$

$+\frac{1}{2}{J}_{2s}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2s}^2+\frac{1}{2}{J}_{2r}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2r}^2+\frac{1}{2}{J}_{2c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{2\mathrm{pi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{2\mathrm{pi}}{\left(R_{2c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}\right)}^2]$

$+...+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{xs}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{qs}}^2+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{xr}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xr}}^2+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{xc}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xc}}^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{xpi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xc}}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xpi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{\mathrm{xpi}}{\left(R_{\mathrm{xc}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xc}}\right)}^2]$

$+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{in}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{in}}^2+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{out}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{out}}^2$

系统的势能为

如图所示，势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能。

齿轮传动啮合处势能：

$V_1=\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{1\mathrm{sp}}{\left({\text{\θ}}_{1s}{R}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{1c}{R}_{1s}\cos {\mathrm{\α}}_{12}+{\mathrm{\θ}}_{1\mathrm{pi}}{R}_{1\mathrm{pi}}\right)}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{1\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_{1c}{R}_{1r}\cos {\mathrm{\α}}_{11}+{\mathrm{\θ}}_{1\mathrm{pi}}{R}_{1\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_{1r}{R}_{1r})}^2\right]$

$\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{2\mathrm{sp}}{\left({\text{\θ}}_{2s}{R}_{2s}-{\mathrm{\θ}}_{2c}{R}_{2s}\cos {\mathrm{\α}}_{22}+{\mathrm{\θ}}_{2\mathrm{pi}}{R}_{2\mathrm{pi}}\right)}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{2\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_{2c}{R}_{2r}\cos {\mathrm{\α}}_{21}+{\mathrm{\θ}}_{2\mathrm{pi}}{R}_{2\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_{2r}{R}_{2r})}^2\right]$

$+...+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{xsp}}{\left({\text{\θ}}_{\mathrm{xs}}{R}_{\mathrm{xs}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xc}}{R}_{\mathrm{xs}}\cos {\mathrm{\α}}_{x2}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xpi}}{R}_{\mathrm{xpi}}\right)}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{xpr}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xc}}{R}_{\mathrm{xr}}\cos {\mathrm{\α}}_{x1}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xpi}}{R}_{\mathrm{xpi}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xr}}{R}_{\mathrm{xr}})}^2\right]$

行星系统与外部连接的扭转弹性势能包括两部分

1、行星排间通用势能表达式：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{xymn}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{mn}})}^2$

行星排间有多少连接，就有多少V2求和，由于其连接的不确定性，所以没办法用求和的方法统一表示。

2、输入、输出势能：

$V_3=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{in}}{({\mathrm{\θ}}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{out}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{out}}-{\mathrm{\θ}}_{x_{\mathrm{end}}c})}^2$

公式中J_in、J_out分别为输入转动惯量，θ_in、θ_out、分别为输入和输出的转角和转速。

由非有势力对应求得阻尼矩阵为：

其中K_y,n表示部件y、n连接的连接矩阵

x指第x级行星排，x取1、2、3…，q代表第q个行星齿轮，q取1、2、3…

R_xs、R_xc、R_xr、R_xpi分别指第x级行星排太阳轮、行星架、齿圈、第i个行星轮的半径。

α_x1、α_x2分别指第x级行星排行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角、行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角。

J_in、J_out、K_in、K_out是把输入和输出看作一个整体，代表整体的输入、输出转动惯量和输入、输出轴的刚度。

求得对应阻尼矩阵为：

其中m取1、2、3…，代表第m排，n代表s、r、c。k_xymn、c_xymn代表第x级行星排中部件y与m级行星排中部件n连接刚度和阻尼。矩阵中y直接替换成了相应部件字母。k_xsp、k_xsp、c_xsp、c_xsp分别代表第x行星排太阳轮和行星轮间、行星轮和齿圈间的刚度和阻尼。

一般情况下，由一排太阳轮输入，最后一个行星排行星架输出。这两个矩阵加上输入输出影响后变为：

阻尼为：

我们可以求得连接矩阵的构成，对于k_xymn、c_xymn，是第x级行星排中部件y与m级行星排中部件n连接刚度和阻尼,刚度和阻尼的连接矩阵就是在x级行星排y部件对应行和m级行星排n部件对应列位置分别添加项-k_xymn、-c_xymn。就构成了连接矩阵

在输入、输出轴连接部件对应刚度项和阻尼项中直接加上k_in、k_out、c_in、c_out即可。

举简单连接矩阵的例子如下：

连接矩阵只受行星排间连接影响。因为连接有多种形式，所以连接矩阵也不相同，还是按照一排太阳轮输入，最后一排行星架输出分情况。这里假设相邻行星排连接中最常见的几种连接情况，其他情况得到原理相同。

由于相邻排中所有可能出现的情况以势能方式均列出，在下面分情况讨论

$V_2=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{xs}(x+1)s}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xs}}-{\mathrm{\θ}}_{(x+1)s})}^2+\frac{1}{2}{k}_{(x+1)\mathrm{cxr}}{({\mathrm{\θ}}_{(x+1)c}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xr}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{xc}(x+1)r}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xc}}-{\mathrm{\θ}}_{(x+1)r})}^2$

$+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{in}}{({\mathrm{\θ}}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{out}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{out}}-{\mathrm{\θ}}_{x_{\mathrm{end}}c})}^2$

K_in，1=[-k_in00…000]

$K_{x,\mathrm{out}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \·\\ \·\\ \·\\ 0\\ -k_{\mathrm{out}}\\ 0\end{array}\right]$

阻尼为：C_in，1=[-c_in00…000]

$C_{x,\mathrm{out}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \·\\ \·\\ \·\\ 0\\ -c_{\mathrm{out}}\\ 0\end{array}\right]$

情况一、X排行星架与X+1排齿圈相连，X排齿圈同时与X+1排行星架相连

情况二、X排齿圈与X+1排行星架相连，X排太阳轮与X+1排太阳轮相连。

情况三、X排行星架与X+1排齿圈相连，同时X排太阳轮与X+1排太阳轮相连。

其余情况连接矩阵计算原理相同。连接部件不同影响相应项的位置。上述部件间若无连接，则对应刚度值取0。在变速箱中应用，随档位变化会有相应的部件固定，此时，对应刚度行和列的值均取0（不存在固定时还与其他部件连接，所以可忽略此种情况）。

二、两个行星排连接实例验证

这里举例两个行星排连接验证，两个行星排中行星齿轮均为4个。1行星排的太阳轮与2行星排的太阳轮相连，1行星排的齿圈与2行星排行星架相连。依实际情况，输入轴连接1排太阳轮，输出轴连接2排行星架，离合器输入，负载输出(此处只是验证理论正确性，有部分地方进行了简化。例如，实际车辆传动的2个输出简化为1个，档位变化中有部件固定，这里为自由转动，这些只需要在数值计算中改变相应的行和列，在simulationX建模中改变相应部件状态即可，不影响验证)。下面计算中的所有符号表示，是把上面的第x排换成实际行星排的级数进行计算，不再重复列出。

见图4，同样应用拉格朗日方程求解。

（1）能量计算

系统的动能为

$T=\frac{1}{2}{J}_{1s}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1s}^2+\frac{1}{2}{J}_{1r}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1r}^2+\frac{1}{2}{J}_{1c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}^2+\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{1\mathrm{pi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{1\mathrm{pi}}{\left(R_{1c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}\right)}^2]$

$+\frac{1}{2}{J}_{2s}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2s}^2+\frac{1}{2}{J}_{2r}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2r}^2+\frac{1}{2}{J}_{2c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}^2+\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{2\mathrm{pi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{2\mathrm{pi}}{\left(R_{2c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}\right)}^2]$

$+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{in}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{in}}^2+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{out}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{out}}^2$

系统的势能为

如图所示，势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能。

齿轮传动啮合处势能：

$V_1=\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{1\mathrm{sp}}{\left({\text{\θ}}_{1s}{R}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{1c}{R}_{1s}\cos {\mathrm{\α}}_{12}+{\mathrm{\θ}}_{1\mathrm{pi}}{R}_{1\mathrm{pi}}\right)}^2\right]+\left[\frac{1}{2}{k}_{1\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_{1c}{R}_{1r}\cos {\mathrm{\α}}_{11}+{\mathrm{\θ}}_{1\mathrm{pi}}{R}_{1\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_{1r}{R}_{1r})}^2\right]$

$\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{2\mathrm{sp}}{\left({\text{\θ}}_{2s}{R}_{2s}-{\mathrm{\θ}}_{2c}{R}_{2s}\cos {\mathrm{\α}}_{22}+{\mathrm{\θ}}_{2\mathrm{pi}}{R}_{2\mathrm{pi}}\right)}^2\right]+\left[\frac{1}{2}{k}_{2\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_{2c}{R}_{2r}\cos {\mathrm{\α}}_{21}+{\mathrm{\θ}}_{2\mathrm{pi}}{R}_{2\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_{2r}{R}_{2r})}^2\right]$

行星系统与外部连接的扭转弹性势能：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_{1s2s}{({\mathrm{\θ}}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{2s})}^2+\frac{1}{2}{k}_{2c1r}{({\mathrm{\θ}}_{2c}-{\mathrm{\θ}}_{1r})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{in}}{({\mathrm{\θ}}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{out}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{out}}-{\mathrm{\θ}}_{2c})}^2$

公式中J_in、J_out分别为输入转动惯量，θ_in、θ_out、分别为输入和输出的转角和转速。

$J=\left[\begin{array}{cccc}{J}_{\mathrm{in}}& & & \\ & J_1& & \\ & & J_2& \\ & & & J_{\mathrm{out}}\end{array}\right]$

$K=\left[\begin{array}{cccc}{K}_{\mathrm{in}}& K_{\mathrm{in},1}& & \\ & K_1& K_{\mathrm{1,2}}& \\ & & K_2& K_{2,\mathrm{out}}\\ & & & K_{\mathrm{out}}\end{array}\right]$ $C=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{\mathrm{in}}& C_{\mathrm{in},1}& & \\ & C_1& C_{\mathrm{1,2}}& \\ & & C_2& C_{2,\mathrm{out}}\\ & & & C_{\mathrm{out}}\end{array}\right]$

K_in，1=[-k_in000000]C_in，1=[-c_in000000]

$K_{2,\mathrm{out}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ {-k}_{\mathrm{out}}\\ 0\end{array}\right]$ $K_{\mathrm{1,2}}=\left[\begin{array}{ccccccc}{-k}_{1s2s}& & & & & & \\ & 0& & & & & \\ & & 0& & & & \\ & & & 0& & & \\ & & & & 0& & \\ & & & & & 0& \\ & & & & & {-k}_{2c1r}& 0\end{array}\right]$

$C_{2,\mathrm{out}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ {-c}_{\mathrm{out}}\\ 0\end{array}\right]$ $C_{\mathrm{1,2}}=\left[\begin{array}{ccccccc}{-c}_{1s2s}& & & & & & \\ & 0& & & & & \\ & & 0& & & & \\ & & & 0& & & \\ & & & & 0& & \\ & & & & & 0& \\ & & & & & {-c}_{2c1r}& 0\end{array}\right]$

表4行星齿轮传动系统参数

表5输入输出参数

	输入	输出
			转动惯量（kg·m2）	0.248	0.366
刚度（N·m/rad）	kin=3000	kout=3000
			阻尼（N·m/(rad/·s)）	cin=8	cout=8

编程得到的固有频率如表6：

表6固有频率

阶数	固有频率（Hz）
		0	0
1	90
		2	109
3	980
		4	1138
5	1146
		6	1599
7	2715
		8	2807
9	3176
		10	3456

表中0阶代表刚体运动。

（2）simulationX仿真求解(这里没有构造输入输出轴，只建立行星排连接检验数值计算结果)

根据表4、5，构建模型为：

见图5求得固有频率为表7：

表7固有频率

阶数	固有频率（Hz）
		0	0

1	975
		2	1130
3	1297
		4	1559
5	2790
		6	2896
7	3180
		8	3400

表中0阶代表刚体运动。

表2中3-10阶频率与表3中1-8阶一一对应，误差（除表2中第5阶与表3中第3阶，后面解释）小于5%，验证了数值计算方法的正确性。

所有误差都与是否考虑输入输出轴有关，其中表2中数值表2中第5阶与表3中第3阶相差较大的原因还有仿真建模方法与数值计算方法的不同，在simulationX建模中，行星架的转动惯量与行星轮是必须分开计算的，而数值计算中，把行星轮绕中心轴的转动同时归于行星架的转动惯量上，这点与单行星排出现的误差原因相同。

3、优点与功效：

单行星排扭转振动中，考虑了阻尼、行星架位移方向与齿轮啮合线的夹角和外部连接的影响，更全面准确计算其固有特性。弥补前人研究中对阻尼等因素考虑欠缺的不足，分析得到了在何种情况下应考虑阻尼影响。

在行星传动系统中，得到的参数化矩阵（刚度矩阵、阻尼矩阵、连接矩阵）形式的有阻尼固有振动微分方程，具有通用性，可根据不同的连接结构和行星齿轮系统参数，对应部件直接选择相应矩阵形式构造整体系统矩阵，带入参数后，快速准确分析传动系统的固有特性。

这样，不仅使得行星齿轮系统固有特性分析的结果更加准确，还可根据结构直接选择建立好的参数矩阵模块直接构建整体系统矩阵进行分析，省略了分析不同结构重新构造能量方程，利用拉格朗日方程计算，排布矩阵的过程，特别是系统较为庞大时，选择搭好的模块对应带入参数更显示出其快速的特点。

将理论计算得出的结果与运用simulationX软件进行仿真的结果对比，验证结果的正确性，从而更有说服力。

附图说明

图1行星齿轮传动纯扭转振动模型示意图

图2单行星排simulationX模型示意图

图3行星排参数命名参考示意图

图4两行星排传动扭转振动模型示意图

图5两行星排simulationX模型示意

图6为本发明流程框图

图中符号说明如下:

图1中，k_r、c_r表示齿圈与外部连接的刚度和阻尼；k_c、c_c表示行星架与外部连接的刚度和阻尼；k_s、c_s表示太阳轮与外部连接的刚度和阻尼；k_pr、c_pr表示齿圈与行星轮间的啮合刚度和阻尼；k_sp、c_sp表示太阳轮与行星轮间的啮合刚度和阻尼；θ_r表示齿圈速度；θ_c表示行星架速度；θ_s太阳轮速度；θ_pi表示行星轮速度，图中画了4个行星轮示意。

图2中，planetlO1、planetlO2、planetlO3、planetlO4表示齿圈、行星轮、行星架之间的连接关系；planetOOm1、planetOOm2、planetOOm3、planetOOm4表示太阳轮与行星轮间的连接关系；drive、load分别表示输入和输出；J_sun、J_c、J_r分别表示太阳轮、行星架、齿圈的转动惯量；J_p1、J_p2、J_p3、J_p4分别表示4个行星轮自转的转动惯量；J_p1pian、J_p2pian、J_p3pian、J_p4pian分别表示4行星轮绕行星排中心轴的转动惯量。

图3中，k_xrmn、c_xrmn表示第x级行星排的齿圈与第m级行星排的n部件的连接刚度和阻尼；k_xcmn、c_xcmn表示第x级行星排的行星架与第m级行星排的n部件的连接刚度和阻尼；k_xsmn、c_xsmn表示第x级行星排的太阳轮与第m级行星排的n部件的连接刚度和阻尼；k_xpr、c_xpr表示第x级行星排中齿圈与行星轮的啮合刚度和阻尼；k_xsp、c_xsp表示第x级行星排中太阳轮与行星轮的啮合刚度和阻尼。θ_xr、θ_xc、θ_xs分别表示第x级行星排齿圈、行星架、太阳轮的速度；θ_xpi分别表示第x级行星排4个行星轮速度，图中画了4个行星轮示意。

图4中，J_in、J_out分别表示输入、输出轴连接的转动惯量；k_in、c_in表示输入轴刚度和阻尼；k_out、c_out表示输出轴刚度和阻尼；k_1s2s、c_1s2s表示第1级行星排太阳轮与第2级行星排太阳轮连接刚度和阻尼；k_1r2c、c_1r2c表示第1级行星排齿圈与第2级行星排行星架连接刚度和阻尼；k_1pr、c_1pr表示第1级行星排中齿圈与行星轮啮合刚度和阻尼；k_1sp、c_1sp表示第1级行星排中太阳轮与行星轮啮合刚度和阻尼；k_2pr、c_2pr表示第2级行星排中齿圈与行星轮啮合刚度和阻尼；k_2sp、c_2sp表示第2级行星排中太阳轮与行星轮啮合刚度和阻尼。

图5中，lanetlO5、planetlO6、planetlO7、planetlO8表示行星排1中齿圈、行星轮、行星架之间的连接关系；planetOOm5、planetOOm6、planetOOm7、planetOOm8表示行星排1中太阳轮与行星轮间的连接关系；planetlO9、planetlO10、planetlO11、planetlO12表示行星排2中齿圈、行星轮、行星架之间的连接关系；planetOOm9、planetOOm10、planetOOm11、planetOOm12表示行星排2中太阳轮与行星轮间的连接关系；J_sun1、J_c1、J_r1分别表示行星排1中太阳轮、行星架、齿圈的转动惯量；J_1p1、J_1p2、J_1p3、J_1p4分别表示行星排1中4个行星轮自转的转动惯量；J_1p1pian、J_1p2pian、J_1p3pian、J_1p4pian分别表示行星排1中4个行星轮绕行星排中心轴的转动惯量。J_sun2、J_c2、J_r2分别表示行星排2中太阳轮、行星架、齿圈的转动惯量；J_2p1、J_2p2、J_2p3、J_2p4分别表示行星排2中4个行星轮自转的转动惯量；J_2p1pian、J_2p2pian、J_2p3pian、J_2p4pian分别表示行星排2中4个行星轮绕行星排中心轴的转动惯量。drivel、loadl分别表示输入和输出。

具体实施方式：

下面结合附图，对本方法进行进一步的说明：

见图6，本发明一种行星齿轮传动系统扭转振动固有特性分析方法，该方法具体步骤如下：步骤一：应用拉格朗日方程，对单个行星排带阻尼纯扭转振动进行数学建模；

见图1，规定太阳轮、行星轮、齿圈、行星架的下标分别为s、p、r、c，第i个行星轮定义下标为pi，转角为θ，转速为加速度为各齿轮半径为R，J表示转动惯量，k、c分别表示刚度和阻尼，k、c下标两字母连接代表下标两字母表示部件间的刚度和阻尼。α₁为行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角，α₂为行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角。部分标注如图1。

应用拉格朗日方程建模

设L=T-V

有 $\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{q}}_j}\right)-\frac{\∂L}{\∂q_j}=Q_j^{\′}$

其中Q′_j为非有势力的广义力，在进行带阻尼扭转振动计算中，把阻尼力看作非有势力广义力进行计算。

（1）能量计算

系统的动能为

$T=\frac{1}{2}{J}_s{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_s^2+\frac{1}{2}{J}_r{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_r^2+\frac{1}{2}{J}_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_c^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{pi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_c+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_p{\left(R_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_c\right)}^2]$

系统的势能为

如图所示，势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能。

齿轮传动啮合处势能：

$V_1=\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{sp}}{\left({\text{\θ}}_s{R}_s-{\mathrm{\θ}}_c{R}_s\cos {\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{pi}}{R}_{\mathrm{pi}}\right)}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_c{R}_r\cos {\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{pi}}{R}_{\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_r{R}_r)}^2\right]$

行星系统与外部连接的势能：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_s{\mathrm{\θ}}_s^2+\frac{1}{2}{k}_c{\mathrm{\θ}}_c^2+\frac{1}{2}{k}_r{\mathrm{\θ}}_r^2$

上式中k_s、k_c、k_r为与其他部件连接刚度，单位为N·m/rad，k_sp、k_pr为行星传动内外啮合刚度，分别为太阳轮与行星轮啮合刚度和行星轮与齿圈啮合刚度，单位为N/(m·rad)。

(3)建立有阻尼扭转振动微分方程

$J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+C\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+\mathrm{K\θ}=0$

得到：

由图可以看出，阻尼与弹簧对应存在，可以得知作为非有势力广义力的阻尼力与有势力弹簧力对应存在，所以，可以通过刚度矩阵推出阻尼矩阵：

步骤二：对该传动系统进行固有特性分析

（1）数值求解

应用振兴叠加法求解，引入正则坐标x_N，所得振动方程左乘右乘A_N，则

${\stackrel{\·\·}{x}}_N+C_N{\stackrel{\·}{x}}_N+K_N{x}_N=0$

C_N、K_N分别为正则坐标中的阻尼矩阵和刚度矩阵。

展开形式为： ${\stackrel{\·\·}{x}}_{\mathrm{Nj}}+C_{\mathrm{Nj}}{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{Nj}}+W_j^2{x}_{\mathrm{Nj}}=0$

改写为： ${\stackrel{\·\·}{x}}_{\mathrm{Nj}}+2{\mathrm{\ζ}}_j{W}_j{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{Nj}}+W_j^2{x}_{\mathrm{Nj}}=0$

其中ζ=C_Nj/2W_j，是第j阶正则阵型相对阻尼系数。

所以固有频率

举实例验证：

行星排中有4个行星轮，其行星齿轮传动的参数如表1：

表1行星齿轮传动参数

编程得到的固有频率如表2：

表2固有频率

阶数	固有频率（Hz）
		0	0
1	1146.6
		2	2059.3
3	2807.4
		4	3325.5

表中0阶代表刚体运动。

（2）simulationX仿真求解

根据表1，构建模型如图2所示：

求得固有频率为表3：

表3固有频率

阶数

固有频率（Hz）

0	0
		1	1272.7
2	2037.5
		3	2866.3
4	3327.4

（3）小结

除第一阶频率外，其他阶固有频率计算与仿真误差在3%以下。第一阶的不同是由于建模方式的限制产生的，在simulationX建模中，行星架的转动惯量与行星轮是必须分开计算的，而数值计算中，把行星轮绕中心轴的转动同时归于行星架的转动惯量上，所以引起了约为9.9%的误差。

步骤三：应用多组计算，验证阻尼对固有频率的影响：

通过以上方法，计算实际应用中的100个行星排的固有频率。对比无阻尼情况下与有阻尼的实际情况，可以得出这样的结论。

数值上，C/K≤1/10000时，对其固有特性基本无影响，在1/10000≤C/K≤1/500时，除行星架（行星架约为5%～10%）外影响很小，约为1%。因此，1/500≤C/K，就应考虑阻尼影响。

步骤四：建立行星齿轮传动系统通用矩阵并通过实例数值计算和simulationX建模仿真验证

1、多个行星齿轮传动系统通用矩阵

见图3同样应用拉格朗日方程求解，参数命名如图3。

（1）能量计算

系统的动能为

$T=\frac{1}{2}{J}_{1s}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1s}^2+\frac{1}{2}{J}_{1r}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1r}^2+J_{1c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{1\mathrm{pi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{1\mathrm{pi}}{\left(R_{1c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}\right)}^2]$

$+\frac{1}{2}{J}_{2s}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2s}^2+\frac{1}{2}{J}_{2r}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2r}^2+\frac{1}{2}{J}_{c2}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{2\mathrm{pi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{2\mathrm{pi}}{\left(R_{2c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}\right)}^2]$

$+...+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{xs}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{qs}}^2+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{xr}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xr}}^2+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{xc}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xc}}^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{xpi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xc}}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xpi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{\mathrm{xpi}}{\left(R_{\mathrm{xc}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{xc}}\right)}^2]$

$+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{in}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{in}}^2+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{out}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{out}}^2$

系统的势能为

如图所示，势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能。

齿轮传动啮合处势能：

$V_1=\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{1\mathrm{sp}}{\left({\text{\θ}}_{1s}{R}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{1c}{R}_{1s}\cos {\mathrm{\α}}_{12}+{\mathrm{\θ}}_{1\mathrm{pi}}{R}_{1\mathrm{pi}}\right)}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{1\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_{1c}{R}_{1r}\cos {\mathrm{\α}}_{11}+{\mathrm{\θ}}_{1\mathrm{pi}}{R}_{1\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_{1r}{R}_{1r})}^2\right]$

$\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{2\mathrm{sp}}{\left({\text{\θ}}_{2s}{R}_{2s}-{\mathrm{\θ}}_{2c}{R}_{2s}\cos {\mathrm{\α}}_{22}+{\mathrm{\θ}}_{2\mathrm{pi}}{R}_{2\mathrm{pi}}\right)}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{2\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_{2c}{R}_{2r}\cos {\mathrm{\α}}_{21}+{\mathrm{\θ}}_{2\mathrm{pi}}{R}_{2\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_{2r}{R}_{2r})}^2\right]$

$+...+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{xsp}}{\left({\text{\θ}}_{\mathrm{xs}}{R}_{\mathrm{xs}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xc}}{R}_{\mathrm{xs}}\cos {\mathrm{\α}}_{x2}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xpi}}{R}_{\mathrm{xpi}}\right)}^2\right]+\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{xpr}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xc}}{R}_{\mathrm{xr}}\cos {\mathrm{\α}}_{x1}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xpi}}{R}_{\mathrm{xpi}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xr}}{R}_{\mathrm{xr}})}^2\right]$

行星系统与外部连接的扭转弹性势能

行星排间通用势能表达式：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{xymn}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xy}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{mn}})}^2$

行星排间有多少连接，就有多少V₂求和，由于其连接的不确定性，所以没办法以求和方式统一表示。

输入、输出势能：

$V_3=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{in}}{({\mathrm{\θ}}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{out}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{out}}-{\mathrm{\θ}}_{x_{\mathrm{end}}c})}^2$

公式中J_in、J_out分别为输入转动惯量，θ_in、θ_out、分别为输入和输出的转角和转速。

由非有势力对应求得阻尼矩阵为：

其中K_y,n表示部件y、n连接的连接矩阵

K_in、K₁、K₂…K_x、K_out和C_in、C₁、C₂…C_x、C_out为主对角矩阵，其余矩阵均为连接矩阵。

x指第x个行星排，x取1、2、3…，q代表第q个行星齿轮，q取1、2、3…

R_xs、R_xc、R_xr、R_xpi分别指第x级行星排太阳轮、行星架、齿圈、第i个行星轮的半径。

α_x1、α_x2分别指第x级行星排行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角、行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角。

J_in、J_out、K_in、K_out是把输入和输出看作一个整体，代表整体的输入、输出转动惯量和输入、输出轴的刚度。

求得对应阻尼矩阵为：

其中m取1、2、3…，代表第m排，n代表s、r、c。k_xymn、c_xymn代表第x级行星排中部件y与m级行星排中部件n连接刚度和阻尼。矩阵中y直接替换成了相应部件字母。k_xsp、k_xsp、c_xsp、c_xsp分别代表第x行星排太阳轮和行星轮间、行星轮和齿圈间的刚度和阻尼。

一般情况下，由一排太阳轮输入，最后一个行星排行星架输出。这两个矩阵加上输入输出影响后变为：

阻尼为：

我们可以求得连接矩阵的构成，对于k_xymn、c_xymn，是第x级行星排中部件y与m级行星排中部件n连接刚度和阻尼,刚度和阻尼连接矩阵就是在x级行星排y部件对应行和m级行星排n部件对应列位置分别添加项-k_xymn、-c_xymn。就构成了连接矩阵

在输入、输出轴连接部件对应刚度项和阻尼项中直接加上K_in、k_out、c_in、c_out即可。

举简单连接矩阵的例子如下：

连接矩阵只受行星排间连接影响。因为连接有多种形式，所以连接矩阵也不相同，还是按照一排太阳轮输入，最后一排行星架输出分情况。这里假设相邻行星排连接中最常见的几种连接情况，其他情况得到原理相同。

由于相邻排中所有可能出现的情况以势能形式均列出，在下面分情况讨论

$V_2=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{xs}(x+1)s}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xs}}-{\mathrm{\θ}}_{(x+1)s})}^2+\frac{1}{2}{k}_{(x+1)\mathrm{cxr}}{({\mathrm{\θ}}_{(x+1)c}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xr}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{xc}(x+1)r}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xc}}-{\mathrm{\θ}}_{(x+1)r})}^2$

$+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{in}}{({\mathrm{\θ}}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{out}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{out}}-{\mathrm{\θ}}_{x_{\mathrm{end}}c})}^2$

K_in，1=[-k_in00…000]

$K_{x,\mathrm{out}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \·\\ \·\\ \·\\ 0\\ -k_{\mathrm{out}}\\ 0\end{array}\right]$

阻尼为：C_in，1=[-c_in00…000]

$C_{x,\mathrm{out}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \·\\ \·\\ \·\\ 0\\ -c_{\mathrm{out}}\\ 0\end{array}\right]$

情况一、X排行星架与X+1排齿圈相连，X排齿圈同时与X+1排行星架相连

情况二、X排齿圈与X+1排行星架相连，X排太阳轮与X+1排太阳轮相连。

情况三、X排行星架与X+1排齿圈相连，同时X排太阳轮与X+1排太阳轮相连。

其余情况连接矩阵计算原理相同。连接部件不同影响相应项的位置。上述部件间若无连接，则对应刚度值取0。在变速箱中应用，随档位变化会有相应的部件固定，此时，对应刚度行和列的值均取0（不存在固定时还与其他部件连接，所以可忽略此种情况）。

（2）两个行星排连接实例验证

这里举例两个行星排连接验证，两个行星排中行星齿轮均为4个。1行星排的太阳轮与2行星排的太阳轮相连，1行星排的齿圈与2行星排行星架相连。依实际情况，输入轴连接1排太阳轮，输出轴连接2排行星架，离合器输入，负载输出(此处只是验证理论正确性，有部分地方进行了简化。例如，实际车辆传动的2个输出简化为1个，档位变化中有部件固定，这里为自由转动，这些只需要在数值计算中改变相应的行和列，在simulationX建模中改变相应部件状态即可，不影响验证)。下面计算中的所有符号表示，是把上面的第x排换成实际行星排的级数进行计算，不再重复列出。

见图4，同样应用拉格朗日方程求解。

（1）能量计算

系统的动能为

$T=\frac{1}{2}{J}_{1s}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1s}^2+\frac{1}{2}{J}_{1r}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1r}^2+\frac{1}{2}{J}_{1c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}^2+\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{1\mathrm{pi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{1\mathrm{pi}}{\left(R_{1c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}\right)}^2]$

$+\frac{1}{2}{J}_{2s}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2s}^2+\frac{1}{2}{J}_{2r}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2r}^2+\frac{1}{2}{J}_{2c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}^2+\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}[\frac{1}{2}{J}_{2\mathrm{pi}}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2\mathrm{pi}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{2\mathrm{pi}}{\left(R_{2c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}\right)}^2]$

$+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{in}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{in}}^2+\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{out}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{out}}^2$

系统的势能为

如图所示，势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能。

齿轮传动啮合处势能：

$V_1=\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{1\mathrm{sp}}{\left({\text{\θ}}_{1s}{R}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{1c}{R}_{1s}\cos {\mathrm{\α}}_{12}+{\mathrm{\θ}}_{1\mathrm{pi}}{R}_{1\mathrm{pi}}\right)}^2\right]+\left[\frac{1}{2}{k}_{1\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_{1c}{R}_{1r}\cos {\mathrm{\α}}_{11}+{\mathrm{\θ}}_{1\mathrm{pi}}{R}_{1\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_{1r}{R}_{1r})}^2\right]$

$\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\left[\frac{1}{2}{k}_{2\mathrm{sp}}{\left({\text{\θ}}_{2s}{R}_{2s}-{\mathrm{\θ}}_{2c}{R}_{2s}\cos {\mathrm{\α}}_{22}+{\mathrm{\θ}}_{2\mathrm{pi}}{R}_{2\mathrm{pi}}\right)}^2\right]+\left[\frac{1}{2}{k}_{2\mathrm{pr}}{({\mathrm{\θ}}_{2c}{R}_{2r}\cos {\mathrm{\α}}_{21}+{\mathrm{\θ}}_{2\mathrm{pi}}{R}_{2\mathrm{pi}}-{\mathrm{\θ}}_{2r}{R}_{2r})}^2\right]$

行星系统与外部连接的扭转弹性势能：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_{1s2s}{({\mathrm{\θ}}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{2s})}^2+\frac{1}{2}{k}_{2c1r}{({\mathrm{\θ}}_{2c}-{\mathrm{\θ}}_{1r})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{in}}{({\mathrm{\θ}}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{out}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{out}}-{\mathrm{\θ}}_{2c})}^2$

公式中J_in、J_out分别为输入转动惯量，θ_in、θ_out、分别为输入和输出的转角和转速。

$J=\left[\begin{array}{cccc}{J}_{\mathrm{in}}& & & \\ & J_1& & \\ & & J_2& \\ & & & J_{\mathrm{out}}\end{array}\right]$

K_in，1=[-k_in000000]C_in，1=[-c_in000000]

$K_{2,\mathrm{out}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ {-k}_{\mathrm{out}}\\ 0\end{array}\right]$ $K_{\mathrm{1,2}}=\left[\begin{array}{ccccccc}{-k}_{1s2s}& & & & & & \\ & 0& & & & & \\ & & 0& & & & \\ & & & 0& & & \\ & & & & 0& & \\ & & & & & 0& \\ & & & & & {-k}_{2c1r}& 0\end{array}\right]$

$C_{\mathrm{1,2}}=\left[\begin{array}{ccccccc}{-c}_{1s2s}& & & & & & \\ & 0& & & & & \\ & & 0& & & & \\ & & & 0& & & \\ & & & & 0& & \\ & & & & & 0& \\ & & & & & {-c}_{2c1r}& 0\end{array}\right]$

$C_{2,\mathrm{out}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ {-c}_{\mathrm{out}}\\ 0\end{array}\right]$

表4行星齿轮传动系统参数

表5输入输出参数

	输入	输出
			转动惯量（kg·m2）	0.248	0.366
刚度（N·m/rad）	kin=3000	kout=3000
			阻尼（N·m/(rad/·s)）	cin=8	cout=8

编程得到的固有频率如表6：

表6固有频率

阶数	固有频率（Hz）
		0	0
1	90
		2	109
3	980
		4	1138
5	1146
		6	1599
7	2715
		8	2807
9	3176
		10	3456

表中0阶代表刚体运动。

（4）simulationX仿真求解(这里没有构造输入输出轴，只建立行星排连接检验数值计算结果)

根据表4、5，构建模型为：

见图5，求得固有频率为表7：

表7固有频率

阶数

固有频率（Hz）

0	0
		1	975
2	1130
		3	1297
4	1559
		5	2790
6	2896
		7	3180
8	3400

表中0阶代表刚体运动。

表2中3-10阶频率与表3中1-8阶一一对应，误差（除表2中第5阶与表3中第3阶，后面解释）小于5%，验证了数值计算方法的正确性。

所有误差都与是否考虑输入输出轴有关，其中表2中数值表2中第5阶与表3中第3阶相差较大的原因还有仿真建模方法与数值计算方法的不同，在simulationX建模中，行星架的转动惯量与行星轮是必须分开计算的，而数值计算中，把行星轮绕中心轴的转动同时归于行星架的转动惯量上，这点与单行星排出现的误差原因相同。

Claims (1)

1.一种行星齿轮传动系统扭转振动固有特性分析方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：应用拉格朗日方程，对单个行星排带阻尼纯扭转振动进行数学建模；

规定太阳轮、行星轮、齿圈、行星架的下标分别为s、p、r、c，第i个行星轮定义下标为pi，转角为θ，转速为加速度为各齿轮半径为R，J表示转动惯量，k、c分别表示刚度和阻尼，k、c下标两字母连接代表下标两字母表示部件间的刚度和阻尼，α₁为行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角，α₂为行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角；

应用拉格朗日方程建模

设L＝T-V

有 $\frac{d}{dt}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{q}}_j}\right)-\frac{\∂L}{\∂q_j}=Q_j^{\′}$

其中T为动能，V为势能，Q'_j为非有势力的广义力；

在进行带阻尼扭转振动计算中，把阻尼力看作非有势力广义力进行计算；

(1)能量计算

系统的动能为

$T=\frac{1}{2}{J}_s{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_s^2+\frac{1}{2}{J}_r{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_r^2+\frac{1}{2}{J}_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_c^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{J}_{pi}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_c+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{pi})}^2+\frac{1}{2}{m}_p{\left(R_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_c\right)}^2\]$

系统的势能为弹簧的弹性势能，在单个行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能；

齿轮传动啮合处势能：

$V_1=\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{k}_{sp}{({\mathrm{\θ}}_s{R}_s-{\mathrm{\θ}}_c{R}_s{\mathrm{cos\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_{pi}{R}_{pi})}^2\]+\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{k}_{pr}{({\mathrm{\θ}}_c{R}_r{\mathrm{cos\α}}_1+{\mathrm{\θ}}_{pi}{R}_{pi}-{\mathrm{\θ}}_r{R}_r)}^2\]$

行星系统与外部连接的势能：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_s{\mathrm{\θ}}_s^2+\frac{1}{2}{k}_c{\mathrm{\θ}}_c^2+\frac{1}{2}{k}_r{\mathrm{\θ}}_r^2$

上式中k_s、k_c、k_r为与其他部件连接刚度，单位为N·m/rad，k_sp、k_pr为行星传动内外啮合刚度，分别为太阳轮与行星轮啮合刚度和行星轮与齿圈啮合刚度，单位为N/(m·rad)；

(2)建立有阻尼扭转振动微分方程

$J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+C\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+K\mathrm{\θ}=0$

得到：

由此看出，阻尼与弹簧对应存在，作为非有势力广义力的阻尼力与有势力弹簧力对应存在，所以，通过刚度矩阵推出阻尼矩阵：

步骤二：对该传动系统进行固有特性分析

(1)数值求解

应用阵型叠加法求解，引入正则坐标x_N，所得振动方程左乘右乘A_N,则

${\stackrel{\·\·}{x}}_N+C_N{\stackrel{\·}{x}}_N+K_N{x}_N=0$

C_N、K_N分别为正则坐标中的阻尼矩阵和刚度矩阵；

展开形式为： ${\stackrel{\·\·}{x}}_{Nj}+C_{Nj}{\stackrel{\·}{x}}_{Nj}+W_j^2{x}_{Nj}=0$

改写为： ${\stackrel{\·\·}{x}}_{Nj}+2{\mathrm{\ζ}}_j{W}_j{\stackrel{\·}{x}}_{Nj}+W_j^2{x}_{Nj}=0$

其中ζ＝C_Nj/2W_j，是第j阶正则阵型相对阻尼系数；

所以，固有频率 $W_j^{\′}=W_j\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2};$

(2)simulationX仿真求解；

(3)通过实例数值计算和simulationX建模仿真验证；

步骤三：基于上述步骤一和步骤二，应用到多组行星齿轮计算中，验证阻尼对固有频率的影响；

步骤四：建立行星齿轮传动系统通用矩阵并通过实例数值计算和simulationX建模仿真验证；

(一)多个行星齿轮传动系统通用矩阵

同样应用拉格朗日方程求解

(1)能量计算

系统的动能为

$\begin{array}{c}T=\frac{1}{2}{J}_{1s}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1s}^2+\frac{1}{2}{J}_{1r}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1r}^2+\frac{1}{2}{J}_{1c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{J}_{1pi}{\left({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1pi}\right)}^2+\frac{1}{2}{m}_{1pi}{\left(R_{1c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{1c}\right)}^2\]\\ +\frac{1}{2}{J}_{2s}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2s}^2+\frac{1}{2}{J}_{2r}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2r}^2+\frac{1}{2}{J}_{c2}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{J}_{2pi}{\left({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2pi}\right)}^2+\frac{1}{2}{m}_{2pi}{\left(R_{2c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{2c}\right)}^2\]\\ +...+\frac{1}{2}{J}_{xs}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{qs}^2+\frac{1}{2}{J}_{xr}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{xr}^2+\frac{1}{2}{J}_{xc}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{xc}^2+\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{J}_{xpi}{\left({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{xc}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{xpi}\right)}^2+\frac{1}{2}{m}_{xpi}{\left(R_{xc}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{xc}\right)}^2\]\\ +\frac{1}{2}{J}_{in}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{in}^2+\frac{1}{2}{J}_{out}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{out}^2\end{array}$

系统的势能为

势能为弹簧的弹性势能，在单行星排中势能分为两个部分，一个是齿轮传动啮合处的势能，一个是行星系统与外部连接处的势能；

齿轮传动啮合处势能：

$\begin{array}{c}{V}_1=\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{k}_{1sp}{\left({\mathrm{\θ}}_{1s}{R}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{1c}{R}_{1s}{\mathrm{cos\α}}_{12}+{\mathrm{\θ}}_{1pi}{R}_{1pi}\right)}^2\]+\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{k}_{1pr}{\left({\mathrm{\θ}}_{1c}{R}_{1r}{\mathrm{cos\α}}_{11}+{\mathrm{\θ}}_{1pi}{R}_{1pi}-{\mathrm{\θ}}_{1r}{R}_{1r}\right)}^2\]\\ \underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{k}_{2sp}{\left({\mathrm{\θ}}_{2s}{R}_{2s}-{\mathrm{\θ}}_{2c}{R}_{2s}{\mathrm{cos\α}}_{22}+{\mathrm{\θ}}_{2pi}{R}_{2pi}\right)}^2\]+\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{k}_{2pr}{\left({\mathrm{\θ}}_{2c}{R}_{2r}{\mathrm{cos\α}}_{21}+{\mathrm{\θ}}_{2pi}{R}_{2pi}-{\mathrm{\θ}}_{2r}{R}_{2r}\right)}^2\]\\ +...+\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{k}_{xsp}{\left({\mathrm{\θ}}_{xs}{R}_{xs}-{\mathrm{\θ}}_{xc}{R}_{xs}{\mathrm{cos\α}}_{x2}+{\mathrm{\θ}}_{xpi}{R}_{xpi}\right)}^2\]+\underset{i=1}{\overset{q}{\Σ}}\[\frac{1}{2}{k}_{xpr}{\left({\mathrm{\θ}}_{xc}{R}_{xr}{\mathrm{cos\α}}_{x1}+{\mathrm{\θ}}_{xpi}{R}_{xpi}-{\mathrm{\θ}}_{xr}{R}_{xr}\right)}^2\]\end{array}$

行星系统与外部连接的扭转弹性势能包括两部分

(A)行星排间通用势能表达式：

$V_2=\frac{1}{2}{k}_{xymn}{({\mathrm{\θ}}_{xy}-{\mathrm{\θ}}_{mn})}^2$

行星排间有多少连接，就有多少V₂求和，由于其连接的不确定性，所以没办法用求和的方法统一表示；

(B)输入、输出势能：

$V_3=\frac{1}{2}{k}_{in}{({\mathrm{\θ}}_{1s}-{\mathrm{\θ}}_{in})}^2+\frac{1}{2}{k}_{out}{({\mathrm{\θ}}_{out}-{\mathrm{\θ}}_{x_{end}c})}^2$

公式中J_in、J_out分别为输入转动惯量，θ_in、θ_out、分别为输入和输出的转角和转速；

(2)建立有阻尼扭转振动微分方程

由非有势力对应求得阻尼矩阵为：

其中K_y,n表示部件y、n连接的连接矩阵

x指第x级行星排，x取1、2、3…，q代表第q个行星齿轮，q取1、2、3…

R_xs、R_xc、R_xr、R_xpi分别指第x级行星排太阳轮、行星架、齿圈、第i个行星轮的半径；

α_x1、α_x2分别指第x级行星排行星架位移方向与齿圈和行星轮啮合线的夹角、行星架位移方向与太阳轮和行星轮啮合线的夹角；

J_in、J_out、K_in、K_out是把输入和输出看作一个整体，代表整体的输入、输出转动惯量和输入、输出轴的刚度；

求得对应阻尼矩阵为：

其中m取1、2、3…，代表第m排，n代表s、r、c；k_xymn、c_xymn代表第x级行星排中部件y与m级行星排中部件n连接刚度和阻尼；矩阵中y直接替换成了相应部件字母；k_xsp、k_xsp、c_xsp、c_xsp分别代表第x行星排太阳轮和行星轮间、行星轮和齿圈间的刚度和阻尼；

由一排太阳轮输入，最后一个行星排行星架输出，这两个矩阵加上输入输出影响后变为：

阻尼为：

求得连接矩阵的构成，对于k_xymn、c_xymn，是第x级行星排中部件y与m级行星排中部件n连接刚度和阻尼，刚度和阻尼的连接矩阵就是在x级行星排y部件对应行和m级行星排n部件对应列位置分别添加项-k_xymn、-c_xymn，就构成了连接矩阵；

在输入、输出轴连接部件对应刚度项和阻尼项中直接加上k_in、k_out、c_in、c_out即可；

(二)通过实例数值计算和simulationX建模仿真验证。