CN109948254B - 一种在移动荷载激励下桥梁位移极值响应分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种在移动荷载激励下桥梁位移极值响应分析方法，该方法首先需要对作用在桥梁上的移动荷载进行傅立叶变换，以及移动荷载作用下的桥梁位移响应进行傅立叶变换，分别获得移动荷载谱与桥梁位移响应谱；然后建立移动荷载谱与桥梁振动位移响应之间的关系，可确定引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度，并可进一步确定导致桥梁自由振动最大位移响应的移动荷载速度。本发明由频域得到的桥梁振动位移响应谱能够有效地反映桥梁位移响应的自由振动，桥梁发生自由振动最大位移响应时，移动荷载的移动速度仅与桥梁自振频率、桥梁跨度有关，移动荷载谱中的极值点对应的速度与时域得到的桥梁振动位移响应极值点的速度相吻合。

Description

一种在移动荷载激励下桥梁位移极值响应分析方法

技术领域

本发明属于桥梁工程领域，尤其涉及一种在移动荷载激励下桥梁位移极值响应分析方法。

背景技术

高速铁路桥梁的建设对我国高速铁路的快速发展起着非常重要的作用，随着列车时速的不断提升，桥梁振动响应引起的问题也更加明显，因此高速列车荷载作用下的梁桥动荷载响应问题一直备受关注。在高速铁路桥梁中，简支梁桥因其结构简单、施工方便，已成为高速铁路桥梁的首选桥型结构，国内外相关学者针对高速铁路简支梁桥的振动响应和振动控制也开展了一系列的理论研究，尤其是关于移动荷载引起桥梁共振响应的问题。

移动荷载引起桥梁共振响应的影响因素诸多，如桥梁跨度和移动荷载行驶速度等。然而，当移动荷载以共振速度通过简支梁后，引起的桥梁振动响应并非最大值。例如当单个移动荷载以不同的速度通过简支梁桥后，桥梁自由振动的振动响应将会发生改变，并出现一系列的极值点，且这一系列极值点对应的速度都不是共振速度。因此，当移动荷载以共振速度通过简支梁后，引起的桥梁振动响应并不能达到最大响应。目前移动荷载作用下的桥梁振动响应研究主要是从时域角度进行分析。然而相对时域而言，频域分析也具有诸多优势，直观且无需求解微分方程等。本发明能有效确定引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度，并可进一步确定导致桥梁自由振动最大位移响应的移动荷载速度。

发明内容

本发明的目的在于提供一种在移动荷载激励下桥梁位移极值响应分析方法，旨在解决如何有效确定引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度，以及确定导致桥梁自由振动最大位移响应的移动荷载速度。

本发明是这样实现的，一种在移动荷载激励下桥梁位移极值响应分析方法，包括以下步骤：

步骤(S1)，对作用在桥梁上的移动荷载进行傅立叶变换，获得移动荷载谱；

步骤(S2)，进行移动荷载作用下桥梁位移响应的傅立叶变换，获得桥梁位移响应谱；

步骤(S3)，建立移动荷载谱与桥梁振动位移响应之间的关系，确定引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度；

步骤(S4)，进一步确定导致桥梁自由振动最大位移响应的移动荷载速度。

本发明达到的有益效果：①能够有效确定引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度；②可以有效地确定导致桥梁自由振动最大位移响应的移动荷载速度；③能够有效确定桥梁发生自由振动最大位移响应时，移动荷载的移动速度与桥梁自振频率、桥梁跨度的关系。

附图说明

图1是本发明在移动荷载激励下桥梁位移极值响应分析方法的步骤流程图。

图2是本发明实施例中移动荷载谱对参量x求导。

图3是本发明实施例中不同时速下移动荷载谱的最大幅值。

图4是本发明实施例中不同时速下桥梁自由振动响应最大值。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明提供了一种在移动荷载激励下桥梁位移极值响应分析方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤(S1)，对作用在桥梁上的移动荷载进行傅立叶变换，获得移动荷载谱。

在步骤S1中，移动荷载谱的具体描述为：

目前，关于列车荷载对桥梁的振动响应研究模型主要包括移动力、移动质量和移动悬挂质量等模型。根据文献可知采用移动悬挂质量模型和移动集中力模型两种不同列车模型得到的桥梁动荷载响应曲线基本吻合。因此列车荷载模型考虑为移动集中力模型，该移动集中力P₀以匀速v行驶在跨度为L的梁桥上。在移动荷载作用下的桥梁运动方程可表示为

F_b(x,t)＝δ(x-vt)P₀·S(t) (2)

式(1)中：F_b(x,t)为移动集中力，由于该移动集中力作用在桥梁上的时间有限，因此移动集中力可看作是脉冲荷载；m_b、c_b分别为简支梁单位长度质量和阻尼；EI为桥梁单位长度的截面弯曲刚度；u(x,t)为桥梁x位置t时刻的竖向位移；式(2)右端δ为Dirac函数；S为位置函数，用以判断荷载是否在桥上。采用结构运动方程的振型分解法，桥梁x位置t时刻的竖向位移u_b(x,t)可表示为桥梁振型的线性组合，即

式中：φ_j(x)为桥梁第j阶振型，对于等截面简支梁，振型函数φ_j(x)＝sin(jπx/L)；q_j(t)为广义坐标。将公式(3)代入公式(1)，然后在等式两边同乘φ_m(x)，并将等式两边对全桥积分可得：

利用振型正交性，整理后可得桥梁解耦后的运动方程为：

式中：ω_bj、ξ_bj分别为结构的第j阶频率和阻尼比；F_bj(t)为移动集中力的第j阶振型荷载，其表达式为：

将(5)式进行傅立叶变换可得第j阶模态响应分量：

于是，移动集中力引起的桥梁振动位移响应

其中传递函数为：

为移动集中力第j阶振型荷载F_bj(t)的傅立叶变换，即第j阶移动荷载谱：

当模态为奇数时，即j＝1,3,5···，移动荷载谱为：

当模态为偶数时，即j＝2,4,6···，移动荷载谱为：

从上式(11a)、(11b)可知，移动荷载作用在简支梁上引起的外荷载谱表现为余弦波(奇数阶振型)或正弦波(偶数阶振型)的形式。

步骤(S2)，进行移动荷载作用下桥梁位移响应的傅立叶变换，获得桥梁位移响应谱。

在步骤S2中，桥梁位移响应谱的具体描述为：

脉冲荷载激励的结构振动时程响应存在受迫振动和自由振动两部分响应，而在频域中脉冲荷载激励的结构振动响应幅值谱对应于结构自由振动幅值。由于移动荷载作用时间有限，属于脉冲荷载，则

为脉冲荷载幅值谱，因此移动荷载激励的桥梁振动响应谱对应于桥梁自由振动幅值。

本文为了简便计算，忽略阻尼的作用，考虑桥梁的竖向第一阶振型，根据公式(8)移动荷载激励的桥梁振动位移响应谱为：

由上式(12)可知，桥梁振动位移响应谱与振型函数、传递函数以及外荷载谱有关。其中振型函数只与桥梁位置有关；传递函数与桥梁振型质量和桥梁自振频率有关；外荷载谱与桥跨长度、移动速度等因素有关。根据振型函数表达式可知，当x＝0.5L时取得最大值，即在桥梁的跨中位置取得最大值。对传递函数而言，当外荷载激励频率等于桥梁自振频率时取得最大值。然而，在式(12)位移响应谱中外荷载谱含有虚部项，因此在研究振动位移响应幅值谱时需要对移动荷载谱取模。

上式进行欧拉公式转换可得：

步骤(S3)，建立移动荷载谱与桥梁振动位移响应之间的关系，确定引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度。

在步骤S3中，引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度的具体描述为：由于移动荷载属于脉冲荷载，可以基于频域分析的脉冲荷载幅值谱

和振动响应幅值谱

的最大值，来分析桥梁产生最大自由振动幅值的移动荷载速度。令x＝ωL/v，然后，对移动荷载谱求导：

导数G(x)图形如图2所示，当G(x)＝0时，脉冲荷载幅值谱将出现极值，极值点所对应的x值见表1。

表1脉冲荷载幅值谱极值点

注：1点处对应的函数为不连续点，因此在1点处没有实际意义

由图2与表2可知，3、5为极小值点，2、4、6为极大值点。因此，引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度

步骤(S4)，进一步确定导致桥梁自由振动最大位移响应的移动荷载速度。

在步骤S4中，导致桥梁自由振动最大位移响应的移动荷载速度的具体描述为：

将上述极值点代入式(14)，在第2个极值点x＝ωL/v＝4.34时，脉冲荷载幅值谱最大，且当频率ω等于桥梁频率ω_b1时，桥梁振动响应幅值谱最大，此时的移动荷载速度为

该移动荷载速度将使得桥梁产生自由响应最大幅值。

为验证移动荷载激励后，桥梁自由振动时最大响应对应移动荷载速度的有效性，根据表2的桥梁参数得到最大响应对应的速度为V＝ω_b1L/4.34＝65.65m/s，然后，基于时域和频域两种方法进行分析如图3、图4所示。其中图3为不同速度下移动荷载谱最大值图像；图4为采用不同方法得到的不同速度下桥梁自由振动位移响应最大值图像。对比图3和图4可知，移动荷载幅值最大值与桥梁振动位移响应最大值，所对应的荷载移动速度是相等的，与公式(17)计算的桥梁自由振动最大响应时的移动荷载速度65.65m/s相吻合。然而这明显不同于共振速度90.7m/s，即326km/h。此外，对于桥梁自由响应的其他极值点对应的荷载移动速度如图4，也与移动荷载谱极值点对应的速度相吻合，其速度见表3。因此，本发明有效确定引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度，以及确定导致桥梁自由振动最大位移响应的移动荷载速度。

表2桥梁参数及移动荷载参数

表3移动荷载幅值谱极值点对应的速度

本发明提供了一种在移动荷载激励下桥梁位移极值响应分析方法，该方法首先需要对作用在桥梁上的移动荷载进行傅立叶变换，以及移动荷载作用下的桥梁位移响应进行傅立叶变换，分别获得移动荷载谱与桥梁位移响应谱；然后建立移动荷载谱与桥梁振动位移响应之间的关系，可确定引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度，并可进一步确定导致桥梁自由振动最大位移响应的移动荷载速度。本发明由频域得到的桥梁振动位移响应谱能够有效地反映桥梁位移响应的自由振动，桥梁发生自由振动最大位移响应时，移动荷载的移动速度仅与桥梁自振频率、桥梁跨度有关，移动荷载谱中的极值点对应的速度与时域得到的桥梁振动位移响应极值点的速度相吻合。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种在移动荷载激励下桥梁位移极值响应分析方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤(S1)，对作用在桥梁上的移动荷载进行傅立叶变换，获得移动荷载谱；

所述移动荷载谱如下式：

当模态为奇数时，即j＝1,3,5,···，移动荷载谱为:

当模态为偶数时，即j＝2,4,6,···，移动荷载谱为:

从上式可知，移动荷载作用在简支梁上引起的外荷载谱表现为奇数阶振型的余弦波或偶数阶振型的正弦波；

步骤(S2)，进行移动荷载作用下桥梁位移响应的傅立叶变换，获得桥梁位移响应谱；

所述桥梁位移响应谱如下式：

步骤(S3)，建立移动荷载谱与桥梁振动位移响应之间的关系，确定引起桥梁自由振动位移出现极值响应的移动荷载速度；

步骤(S4)，进一步确定导致桥梁自由振动最大位移响应的移动荷载速度。

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