CN103400374B - 利用双平面镜装置和拉盖尔定理的推论求解摄像机内参数的方法 - Google Patents

Abstract

本发明利用两个矩形平面镜，并且两平面镜与其底边构成的平面垂直，用于摄像机自标定的方法。具体的步骤包括：拍摄包括物体及其在平面镜中形成四个像的三幅图像，从图像上提取特征点，利用平面镜成像原理求取平面镜法方向的消失点，利用交比的性质求取两个实平面镜镜面方向的消失点，最后根据拉盖尔定理的推论求取圆环点的像，利用三幅图像，建立圆环点的像对绝对二次曲线像的六组约束方程,线性求解摄像机的内参数。

Description

利用双平面镜装置和拉盖尔定理的推论求解摄像机内参数的方法

技术领域

本发明属于计算机视觉研究领域，涉及一种用于求解摄像机内参数的一个新方法，利用两个成一定夹角的平面镜所成像的特殊性，通过求解三幅图像上的圆环点像的坐标，线性确定摄像机的内参数。

背景技术

计算机视觉的基本任务之一，就是从摄像机获得的二维图像信息出发恢复物体在三维空间中的几何信息，从而识别和重建三维空间中物体的几何形状。在此过程中必须确定空间物体点的三维几何位置与其图像中的对应点之间的相互关系，而这种关系又由摄像机成像的几何模型决定的，这些几何模型的参数就是摄像机参数。在大多数条件下，这些参数都是通过实验得到的，这就是摄像机标定。它一般分为传统标定和自标定两种方法，无论哪种标定方法，标定物体都是采用一些特殊的几何模型，例如：平面正方形、三角形、圆、空间立方体及圆柱等等，如何建立这些几何模型与摄像机参数之间的关系尤其是某种线性的关系，是目前摄像机标定所追求的目标，也是目前计算机视觉领域研究的热点之一。

传统的摄像机标定方法虽然可以获得较高的精度，但是标定块制作困难，不便于操作，针对这一问题文献“Aflexiblenewtechniqueforcameracalibration”,(ZhengyouZhang,IEEETransactionsonPatternAnalysisandMachineIntelligence,vol.22,no.11,pp.1330-1334,2000.)提出了用平面模板代替传统标定块的方法，这种方法简单方便，成本低，并且能获得较高的精度，但需要精确定位模板上点阵的物理坐标，由于圆环点是一种更简洁更全局化的基元，因而可以进一步提高方法的稳定性，于是用圆环点解决标定问题被广泛使用，文献”ANewEasyCameraCalibrationTechniqueBasedonCircularPoints,2002,vol.13,pp.957-965.”就是利用圆环点的属性,从单一投影图像中计算摄像机的内参数.

圆环点是像平面上一个特殊的虚点，平面上任意一个圆与无穷远直线的交点称为圆环点。文献(胡钊政,谈正“利用二次曲线拟合和圆环点进行摄像机标定”,西安交通大学学报，自然科学版，vol.40,no.10,pp.1065-1069,2006.)根据两条二次曲线的交点求取圆环点，文献(胡培成，黎宁，周建江“一种改进的基于圆环点的摄像机自标定方法”,光电工程,pp.54-60,2007.)基于拉盖尔定理求取圆环点像的坐标，进而建立对绝对二次曲线像(IAC)的约束。

发明内容

本发明提供了一种制作简单，适用广泛，稳定性好的用于求解摄像机内参数的方法。该方法由两个矩形平面镜片组成，并且垂直于两平面镜底边构成的平面，一个物体任意放置在两平面镜片之间，调整两平面镜片之间的夹角在60°-80°之间，使这个物体在两个平面镜中共形成四个像。根据平面镜成像原理，分别计算平面镜方向及其法方向的消失点，利用平面镜法方向与镜面方向是垂直的，再利用拉盖尔定理推论就可求解摄像机内参数。在求解摄像机内参数的过程中，只需摄像机从不同方位拍摄包括物体在内的五个视图的3幅图像就可以线性求解出摄像机的5个内参数。

本发明采用如下技术方案：

本发明是由利用两个平面镜装置进行摄像机自标定的方法。具体的步骤包括：拍摄三幅包括物体在平面镜中形成的四个像的图像，从图像上提取特征点；利用平面镜成像原理求解四个平面镜法方向的消失点，利用交比的性质求取两个实平面镜镜面方向的消失点，最后利用拉盖尔定理的推论，即两条直线垂直的充要条件是这两条直线上的无穷远点与圆环点调和共轭的原理求解圆环点的像，建立圆环点的像对绝对二次曲线的像的约束；利用三幅图像建立三组约束方程,可线性求解摄像机的内参数。

1.提取图像中的特征点

在Matlab软件中利用Harris角点检测提取出图像平面上的特征点坐标。

2.求圆环点像的坐标

(1)计算四个平面镜，即：两个虚的，两个实的，法方向的消失点

如图1，M₁与M₂是两个实平面镜，它们之间的夹角是60°到80°,M₃是平面镜M₂在平面镜M₁中的像，M₄是平面镜M₁在平面镜M₂中所成的像，M₃与M₄构成一组虚平面镜。A，A₁，A₂，A₃，A₄是一组对应点，其中点A是空间中一个实点，点A₁是点A在M₁中的像，点A₂是点A在M₂中的像，点A₃是点A₁在虚反射镜M₃中的像，点A₄是点A₂在虚反射镜M₄中的像。根据平面镜成像原理，点A，A₁，A₂，A₃，A₄在一个圆上。B，B₁，B₂，B₃，B₄也是一组对应点，其中点B是空间中一个实点，点B₁是点B在平面镜M₁中的像，点B₂是点B在平面镜M₂中的像，点B₃是点B₁在虚反射镜M₃中的像，点B₄是点B₂在虚反射镜M₄中的像，根据平面镜成像原理B，B₁，B₂，B₃，B₄也在一个圆上。A与A₁关于平面镜M₁对称，B与B₁也关于平面镜M₁对称，所以A，A₁所在的直线与B，B₁所在直线平行，这两条直线AA₁和BB₁的交点就是反射镜M₁法方向的无穷远点P₁。A与A₂关于平面镜M₂对称，B与B₂也关于平面镜M₂对称，A，A₂所在直线与B，B₂所在直线平行，其交点是反射镜M₂法方向的无穷远点P₂。点A₁与A₃关于平面镜M₃对称，点B₁与B₃也关于平面镜M₃对称，所以A₁，A₃所在的直线与B₁，B₃所在的直线平行，其交点是平面镜M₃法方向的无穷远点P₃。A₂与A₄关于平面镜M₄对称，B₂与B₄也关于平面镜M₄对称，所以点A₂，A₄所在直线与B₂，B₄所在直线平行，其交点是平面镜M₄法方向的无穷远点P₄。

如图2，a，a₁，a₂，a₃，a₄，b，b₁，b₂，b₃，b₄分别是A，A₁，A₂，A₃，A₄，B，B₁，B₂，B₃，B₄的像，根据透视成像原理，a，a₁，a₂，a₃，a₄在二次曲线C₁上，b，b₁，b₂，b₃，b₄也在二次曲线C₂上。a，a₁所在直线与b，b₁所在直线的交点p₁是无穷远点P₁的像，点p₁就是平面镜M₁法方向的消失点，其计算公式为p₁＝(aa₁)×(bb₁)。a，a₂，b，b₂分别是A，A₂，B，B₂的像，a，a₂所在直线与b，b₂所在直线的交点p₂是无穷远点P₂的像，点p₂就是平面镜M₂法方向的消失点，其计算公式为p₂＝(aa₂)×(bb₂)。a₁，a₃，b₁，b₃分别是A₁，A₃，B₁，B₃的像，a₁，a₃所在直线与b₁，b₃所在直线的交点p₃是无穷远点P₃的像，点p₃就是反射镜M₃法方向的消失点,其计算公式为p₃＝(a₁a₃)×(b₁b₃)。a₂，a₄，b₂，b₄分别是A₂，A₄，B₂，B₄的像，点a₂，a₄所在直线与b₂，b₄所在直线的交点p₄是无穷远点P₄的像，点p₄就是反射镜M₄法方向的消失点,其计算公式为p₄＝(a₂a₄)×(b₂b₄)。

(2)计算两个实平面镜镜面方向的消失点

平面镜M₃是平面镜M₂在平面镜M₁中所成的像，平面镜M₄是平面镜M₁在平面镜M₂中所成的像，根据平面镜成像原理，M₃与M₁的夹角等于M₂与M₁的夹角，M₄与M₂的夹角等于M₁与M₂的夹角。图3是该装置的俯视图，n₁，n₂，n₃，n₄分别表示反射镜M₁，M₂，M₃，M₄的法方向，m₁，m₂表示平面镜M₁，M₂的镜面方向。由平面镜成像原理得到：n₂与m₁的夹角等于n₃与m₁的夹角，且n₁⊥m₁，由交比的性质得：n₁，m₁和n₂，n₃调和共轭，所以有：(n₂，n₃；n₁，m₁)＝-1。

p₂，p₃，p₁分别是n₂，n₃，n₁方向的消失点，q₁是m₁方向的消失点，即平面镜M₁镜面方向的消失点，所以由：(p₂，p₃；p₁，q₁)＝-1，求得q₁的坐标。n₁与m₂的夹角等于n₄与m₂的夹角，且n₂⊥m₂，由交比的性质得：n₂，m₂和n₁，n₄调和共轭，所以有(n₂，n₃；n₁，m₁)＝-1。p₁，p₄，p₂分别是n₁，n₄，n₂方向的消失点，q₂是m₂方向的消失点，即平面镜M₂镜面方向的消失点，所以由(p₁，p₄；p₂，q₂)＝-1求得q₂的坐标。

(3)求取圆环点的像i，j

平面镜法方向与镜面方向是垂直的，即n₁⊥m₁,n₂⊥m₂,根据拉盖尔定理的推论得：n₁与m₁方向的消失点与圆环点的像调和共轭，有：

(p₁，q₁；i，j)＝-1(1)

n₂与m₂方向的消失点与圆环点的像调和共轭，有：

(p₂，q₂；i，j)＝-1(2)

联立方程(1)，(2)即可求得圆环点的像的坐标。

3.求解摄像机内参数

利用在三幅图像中所得三组圆环点的像对绝对二次曲线像的约束可以列出六个约束方程，线性求解出摄像机的5个内参数，即矩阵 $K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_u& s& u_0\\ 0& f_v& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ s为图像的畸变因子，f_u，f_v为图像坐标系中u轴、v轴的尺度因子，(u₀，v₀)是主点坐标，为摄像机的5个内参数。

本发明优点：

(1)该装置制作简单，只需要将两个平面镜间的夹角设置成60°-80°之间，使得物体在平面镜中恰好形成4个图像即可。

(2)只需用摄像机从不同方位拍摄三幅图像(均包括物体及其在两个镜面中的四个成像)便可线性求解出摄像机的5个内参数。

附图说明

图1用于求解摄像机内参数的双平面镜示意图。

图2是求解镜面法方向消失点的原理图。

图3求解两个平面镜镜面方向的消失点的原理图。

具体实施方式

一种用于求解摄像机内参数的新的方法，它是由空间中任意两个矩形平面镜和一个物体构成的，如图1。用此新的方法完成摄像机内参数的求解需要经过以下步骤：基于圆环点的摄像机标定方法采用的是两个平面镜装置，将其放置成夹角在60°-80°之间，如图1所示。物体放在两个平面镜之间的任意位置，调整平面镜的夹角使得物体在平面镜中出现四个图像即可，利用本发明中的方法对用于实验的摄像机进行标定，具体步骤如下：

1.拟合图像中的特征点

在Matlab软件中利用Harris角点检测法提取出图像特征点的坐标。

2.计算圆环点像的坐标

(1)计算四个平面镜，即两个虚的，两个实的，法方向的消失点

如图1，M₁与M₂是两个实平面镜，它们之间的夹角是60°到80°,M₃是平面镜M₂在平面镜M₁中的像，M₄是平面镜M₁在平面镜M₂中所成的像，则M₃，M₄为两虚平面镜。A，A₁，A₂，A₃，A₄是一组对应点，其中点A是空间中一个实点，点A₁是点A在M₁中的像，点A₂是点A在M₂中的像，点A₃是点A₁在虚平面镜M₃中的像，点A₄是点A₂在虚平面镜M₄中的像。根据平面镜成像原理，点A，A₁，A₂，A₃，A₄在一个圆上。B，B₁，B₂，B₃，B₄也是一组对应点，其中点B是空间中一个实点，点B₁是点B在平面镜M₁中的像，点B₂是点B在平面镜M₂中的像，点B₃是点B₁在虚平面镜M₃中的像，点B₄是点中B₂在虚平面镜M₄中的像，根据平面镜成像原理B，B₁，B₂，B₃，B₄也在一个圆上。A与A₁关于平面镜M₁对称，B与B₁也关于平面镜M₁对称，所以A，A₁所在的直线与B，B₁所在直线平行，这两条直线的交点就是平面镜M₁法方向的无穷远点P₁。A与A₂关于平面镜M₂对称，B与B₂也关于平面镜M₂对称，A，A₂所在直线与B，B₂所在直线平行，其交点是反射镜M₂法方向的无穷远点P₂。点A₁与A₃关于平面镜M₃对称，点B₁与B₃也关于平面镜M₃对称，所以A₁，A₃所在的直线与B₁，B₃所在的直线平行，其交点是平面镜M₃法方向的无穷远点P₃。A₂与A₄关于平面镜M₄对称，B₂与B₄也关于平面镜M₄对称，所以点A₂，A₄所在直线与B₂，B₄所在直线平行，其交点是平面镜M₄法方向的无穷远点P₄。

如图2，点a，a₁，a₂，a₃，a₄，b，b₁，b₂，b₃，b₄分别是A，A₁，A₂，A₃，A₄，B，B₁，B₂，B₃，B₄的的成像点，点a，a₁，a₂，a₃，a₄在二次曲线C₁上，点b，b₁，b₂，b₃，b₄在二次曲线C₂上。点a，a₁所在直线与b，b₁所在直线的交点p₁是无穷远点P₁的像，点p₁就是平面镜M₁法方向的消失点，其计算公式为p₁＝(aa₁)×(bb₁)。点a，a₂，b，b₂分别是A，A₂，B，B₂的像，点a，a₂所在直线与b，b₂所在直线的交点p₂是无穷远点P₂的像，点p₂就是平面镜M₂法方向的消失点，其计算公式为p₂＝(aa₂)×(bb₂)。点a₁，a₃，b₁，b₃分别是A₁，A₃，B₁，B₃的像，点a₁，a₃所在直线与b₁，b₃所在直线的交点p₃是无穷远点P₃的像，点p₃就是平面镜M₃法方向的消失点,其计算公式为p₃＝(a₁a₃)×(b₁b₄)。点a₂，a₄，b₂，b₄分别是A₂，A₄，B₂，B₄的像，点a₂，a₄所在直线与b₂，b₄所在直线的交点p₄是无穷远点P₄的像，点p₄就是平面镜M₄法方向的消失点,其计算公式为p₄＝(a₂a₄)×(b₂b₄)。

(2)计算两个实平面镜镜面方向的消失点。

平面镜M₃是平面镜M₃在平面镜M₁中所成的像，平面镜M₄是平面镜M₁在平面镜M₂中所成的像，根据平面镜成像原理，M₃与M₁的夹角等于M₂与M₁的夹角，M₄与M₂的夹角等于M₁与M₂的夹角。图3是该装置的俯视图，n₁，n₂，n₃，n₄分别表示反射镜M₁，M₂，M₃，M₄的法方向，m₁，m₂表示平面镜M₁，M₂的镜面方向。有平面镜成像原理得到：n₂与m₁的夹角等于n₃与m₁的夹角，且n₁⊥m₁，由交比的性质得：n₁，m₁和n₂，n₃调和共轭，所以有：(n₂，n₃；n₁，m₁)＝-1。

p₂，p₃，p₁分别是n₂，n₃，n₁方向的消失点，q₁是m₁方向的消失点，即平面镜M₁镜面方向的消失点，所以由：(p₂，p₃；p₁，q₁)＝-1，求得q₁的坐标。n₁与m₂的夹角等于n₄与m₂的夹角，且n₂⊥m₂，由交比的性质得：n₂，m₂和n₁，n₄调和共轭，所以有(n₂，n₃；n₁，m₁)＝-1。p₁，p₄，p₂分别是n₁，n₄，n₂方向的消失点，q₂是m₂方向的消失点，即平面镜M₂镜面方向的消失点，所以由(p₁，p₄；p₂，q₂)＝-1求得q₂的坐标。

(3)求取圆环点的像i，j

平面镜法方向与镜面方向是垂直的，即n₁⊥m₁,n₂⊥m₂,根据拉盖尔定理的推论得：n₁与m₁方向的消失点与圆环点的像调和共轭，有：

(p₁，q₁；i，j)＝-1(1)

n₂与m₂方向的消失点与圆环点的像调和共轭，有：

(p₂，q₂；i，j)＝-1(2)

联立方程(1)和(2)即可求得圆环点的像的坐标。

3.求解摄像机内参数

拍摄三幅图像，利用在三幅图像中所求的三组圆环点的像对IAC约束可以列出六个方程，线性求解出摄像机的5个内参数，即矩阵 $K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_u& s& u_0\\ 0& f_v& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ s为图像的畸变因子，f_u，f_v为图像坐标系中u轴、v轴的尺度因子，(u₀，v₀)是主点坐标，为摄像机的5个内参数。

实施例

本发明提出了利用空间中任意两个矩形平面镜，并且垂直于两个平面镜的底边构成的平面，放置成夹角在72°之间，使得物体在平面中形成四个像，根据拉盖尔定理推论求解摄像机内参数；这种新的方法可线性确定摄像机的内参数，结构示意图如图1所示，下面以一实例对本发明的实施方案做出更为详细的描述。

摄像机标定方法采用的实验装置是空间中任意两个矩形的平面镜，如图1所示，利用本发明中的方法对用于实验的摄像机进行标定，具体步骤如下：

(1)拟合图像中的特征点

本发明采用的图像分辨率为554×416个像素，用摄像机从不同方向拍摄多幅实验图片，选取三幅较为清晰的图片，读入图像在Matlab中利用Harris角点检测提取出图像特征点的坐标。

第一幅图像上的特征点如下，a，a₁，a₂，a₃，a₄，b，b₁，b₂，b₃，b₄分别表示A，A₁，A₂，A₃A₄，B，B₁，B₂，B₃，B₄像的坐标：

a＝(1.0e+003)×[-2.509510974672609，5.340357636134798]，

a₁＝(1.0e+003)×[0.093256108132860，1.846192767681494]，

a₂＝(1.0e+003)×[0.626388106018957，-3.705801807204714]，

a₃＝(1.0e+003)×[0.972315881257984，1.754579291727169]，

a₄＝1.0e+003)×[3.360588934990145，4.609274269638338]，

b＝(1.0e+003)×[-0.572189903412919，1.449519670879711]，

b₁＝(1.0e+003)×[0.166906840087154.1.101106026772109]，

b₂＝(1.0e+003)×[0.065514967858956，2.246736211714242]，

b₃＝(1.0e+003)×[0.743924846731584，1.043700194272411]，

b₄＝(1.0e+003)×[1.285113861768697，1.261482282420435]；

第二副图像上的特征点如下，a₀，a₁₀，a₂₀，a₃₀，a₄₀，b₀，b₁₀，b₂₀，b₃₀，b₄₀分别表示A，A₁，A₂，A₃，A₄，B，B₁，B₂，B₃，B₄像的坐标：

a₀＝(1.0e+004)×[1.926744169396400，-1.195544281165462]，

a₁₀＝(1.0e+003)×[-1.533291313295506，2.701800175816412]，

a₂₀＝(1.0e+003)×[1.527331933898616，-1.165728606948676]，

a₃₀＝(1.0e+003)×[-0.088824122782689，3.195197504625858]，

a₄₀＝(1.0e+004)×[-0.033616567992193，-1.107138908284866]，

b₀＝(1.0e+003)×[-1.645683559216000，1.432656248651340]，

b₁₀＝(1.0e+003)×[-0.405972258256320，1.281185812399730]，

b₂₀＝(1.0e+003)×[-2.549295633715954，4.019759203378551]，

b₃₀＝(1.0e+003)×[0.292839419042515，1.485414749757236]，

b₄₀＝(1.0e+003)×[0.823387469165080，2.190114252497396]；

第三幅图像上的特征点如下：a₀₀，a₁₀₀，a₂₀₀，a₃₀₀，a₄₀₀，b₀₀，b₁₀₀，b₂₀₀，b₃₀₀，b₄₀₀表示A，A₁，A₂，A₃，A₄，B，B₁，B₂，B₃，B₄像的坐标：

a₀₀＝(1.0e+002)×[-7.134192086191733，8.035632160018436]，

a₁₀₀＝(1.0e+002)×[0.206260230140425，7.373495677940634]，

a₂₀₀＝(1.0e+003)×[-1.618056663503033，2.384400040956565]，

a₃₀₀＝(1.0e+003)×[0.410784750395573，1.028185843670085]，

a₄₀₀＝(1.0e+003)×[0.400721028774396，1.883098380358456]，

b₀₀＝(1.0e+002)×[-1.539964432915420，3.806760054049060]，

b₁₀₀＝(1.0e+002)×[2.750814375985950，4.835636433533843]，

b₂₀₀＝(1.0e+002)×[-0.659318940047353，8.309860471636716]，

b₃₀₀＝(1.0e+002)×[6.360542286533531，7.097603257507052]，

b₄₀₀＝(1.0e+003)×[0.833866508130907，1.049332543751880]；

(2)计算四个平面镜，即两个实的，两个虚的，法方向的消失点

如图1，M₁与M₂是两个实的平面镜，它们之间的夹角是72°,M₃是平面镜M₂在平面镜M₁中的像，M₄是平面镜M₁在平面镜M₂中所成的像，则M₃，M₄是两个虚平面镜。A，A₁，A₂，A₃，A₄是一组对应点，其中点A是空间中一个实点，点A₁是点A在M₁中的像，点A₂是点A在M₂中的像，点A₃是点A₁在虚反射镜M₃中的像，点A₄是点A₂在M₄中的像。根据平面镜成像原理，点A，A₁，A₂，A₃，A₄在一个圆上。B，B₁，B₂，B₃，B₄也是一组对应点，其中点B是空间中一个实点，点B₁是点B在平面镜M₁中的像，点B₂是点B在平面镜M₂中的像，点B₃是点B₁在虚平面镜M₃中的像，点B₄是点中B₂在虚平面镜M₄中的像，根据平面镜成像原理B，B₁，B₂，B₃，B₄也在一个圆上。A与A₁关于平面镜M₁对称，B与B₁也关于平面镜M₁对称，所以A，A₁所在的直线与B，B₁所在直线平行，这两条直线的交点就是平面镜M₁法方向的无穷远点P₁。A与A₂关于平面镜M₂对称，B与B₂也关于平面镜M₂对称，A，A₂所在直线与B，B₂所在直线平行，其交点是反射镜M₂法方向的无穷远点P₂。点A₁与A₃关于平面镜M₃对称，点B₁与B₃也关于平面镜M₃对称，所以A₁，A₃所在的直线与B₁，B₃所在的直线平行，其交点是平面镜M₃法方向的无穷远点P₃。A₂与A₄关于平面镜M₄对称，B₂与B₄也关于平面镜M₄对称，所以点A₂，A₄所在直线与B₂，B₄所在直线平行，其交点是平面镜M₄法方向的无穷远点P₄。

如图2，点a，a₁，a₂，a₃，a₄，b，b₁，b₂，b₃，b₄分别是A，A₁，A₂，A₃，A₄，B，B₁，B₂，B₃，B₄的成像点，点a，a₁，a₂，a₃，a₄在二次曲线C₁上，点b，b₁，b₂，b₃，b₄在二次曲线C₂上。点a，a₁所在直线与b，b₁所在直线的交点p₁是无穷远点P₁的像，点p₁就是平面镜M₁法方向的消失点，其计算公式为p₁＝(aa₁)×(bb₁)。点a，a₂，b，b₂分别是A，A₂，B，B₂的像，点a，a₂所在直线与b，b₂所在直线的交点p₂是无穷远点p₂的像，点p₂就是平面镜M₂法方向的消失点，其计算公式为p₂＝(aa₂)×(bb₂)。点a₁，a₃，b₁，b₃分别是A₁，A₃，B₁，B₃的像，点a₁，a₃所在直线与b₁，b₃所在直线的交点p₃是无穷远点P₃的像，点p₃就是平面镜M₃法方向的消失点,其计算公式为p₃＝(a₁a₃)×(b₁b₃)。点a₂，a₄，b₂，b₄分别是A₂，A₄，B₂，B₄的像点，点a₂，a₄所在直线与b₂，b₄所在直线的交点p₄是无穷远点P₄的像，点p₄就是平面镜M₄法方向的消失点,其计算公式为p₄＝(a₂a₄)×(b₂b₄)。计算结果分别如下：

第一幅图像，四个平面镜法方向的消失点：

p₁＝(1.0e+002)×[9.087616589484565，7.513922131051364]，

p₂＝(1.0e+002)×[-9.827910060737908，9.362132724617654]，

p₃＝(1.0e+005)×[1.560512845447476，-0.144073744240776]，

p₄＝(1.0e+003)×[2.022189183056]92，0.639376326156913]；

第二幅图像，四个平面镜法方向的消失点：

p₁₀＝(1.0e+003)×[0.669191238931999，1.149820159900757]，

p₂₀＝(1.0e+003)×[-1.349210596868922，0.583808183804589]，

p₃₀＝(1.0e+004)×[-3.701332809408045，-0.941737808498250]，

p₄₀＝(1.0e+003)×[2.034996785868755，1.532828998850593]；

第三幅图像，四个平面镜法方向的消失点：

p₁₀₀＝(1.0e+002)×[9.745935209304014，6.512981017717000]，

p₂₀₀＝(1.0e+002)×[-2.348450636031750，-0.327360415937190]，

p₃₀₀＝(1.0e+003)×[-3.457792895601328，-1.855570526589767]，

p₄₀₀＝(1.0e+003)×[2.312961328256176，1.408252020969882]；

(3)计算两个实平面镜镜面方向的消失点

平面镜M₃是平面镜M₂在平面镜M₁中所成的像，平面镜M₄是平面镜M₁在平面镜M₂中所成的像，根据平面镜成像原理，M₃与M₁的夹角等于M₂与M₁的夹角，M₄与M₂的夹角等于M₁与M₂的夹角。图3是该装置的俯视图，n₁，n₂，n₃，n₄分别表示反射镜M₁，M₂，M₃，M₄的法方向，m₁，m₂表示反射镜M₁，M₂的镜面方向。有平面镜成像原理得到：n₂与m₁的夹角等于n₃与m₁的夹角，且n₁⊥m₁，由交比的性质得：n₁，m₁和n₂，n₃调和共轭，所以有：(n₂，n₃；n₁，m₁)＝-1。

p₂，p₃，p₁分别是n₂，n₃，n₁方向的消失点，q₁是m₁方向的消失点，即平面镜M₁镜面方向的消失点，所以由：(p₂，p₃；p₁，q₁)＝-1，求得q₁的坐标。n₁与m₂的夹角等于n₄与m₂的夹角，且n₂⊥m₂，由交比的性质得：n₂，m₂和n₁，n₄调和共轭，所以有(n₂，n₃；n₁，m₁)＝-1。p₁，p₄，p₂分别是n₁，n₄，n₂方向的消失点，q₂是m₂方向的消失点，即平面镜M₂镜面方向的消失点，所以由(p₁，p₄；p₂，q₂）＝-1求得q₂的坐标。

第一幅图像两个实平面镜镜面方向的消失点：

q₁＝(1.0e+003)×[-2.92103794623698]，1.125596766455834]，

q₂＝(1.0e+003)×[1.348667042002879，0.708409651521611]；

第二幅图像两个实平面镜镜面方向的消失点：

q₁₀＝(1.0+003)×[-3.162364405596930，0.075348261559086]，

q₂₀＝(1.0e+003)×[1.17945233463863]，1.292911181470468]；

第三幅图像两个实平面镜镜面方向的消失点：

q₁₀₀＝(1.0e+002)×[-9.257487097143857，-4.234972507691777]，

q₂₀₀＝(1.0e+003)×[1.405407502091504，0.891957826475450]；

(4)求取圆环点像

平面镜法方向与镜面方向是垂直的，即n₁⊥m₁,n₂⊥m₂,根据拉盖尔定理的推论得：n₁与m₁方向的消失点与圆环点的像调和共轭，有：

(p₁，q₁；i，j)＝-1(1)

n₂与m₂方向的消失点与圆环点的像调和共轭，有：

(p₂，q₂；i，j)＝-1(2)

联立方程(1)和(2)即可求得圆环点的像的坐标，计算结果如下：

I₀＝(1.0e+003)×[0.558866409787798-1.103450044952898i，0.785580005921872+0.107816615432636i]，

I₁＝(1.0e+003)×[0.22591984849743-1.225532312095111i，1.025514865511826-0.343672430408487i]，

I₂＝(1.0e+002)×[5.100888729649573-8.166720460980784i，3.885836133938058-4.618932871888678i]；

(5)建立关于IAC的约束方程，求解出摄像机内参数

经过以上步骤得到的三幅图像上的三组圆环点像的坐标，可线性地求解出摄像机内参数矩阵。结果如下：

$K=(1.0e+002)\×\left[\begin{array}{ccc}9.999999998847265& -0.000000014077056& 5.000000009255775\\ 0& 8.000000019060392& 3.999999982374886\\ 0& 0& 0.010000000000000\end{array}\right],$ 其中五个内参数(单位：像素)分别为：f_u＝9.999999998847265×10²，f_v＝8.000000019060392×10²，s＝-0.000000014077056×10²，u₀＝5.00000000925575×10²和v₀＝3.999999982374886×10²。

Claims (1)

1.一种利用双平面镜装置和拉盖尔定理的推论求解摄像机内参数的方法，其特征在于，该方法通过两个矩形平面镜片来实现，利用两个平面镜之间的物体在两个平面镜中共形成四个像，分别计算平面镜方向及其法方向的消失点；利用平面镜法方向与镜面方向垂直，再利用拉盖尔定理推论求解摄像机内参数；具体的步骤包括：拍摄三幅包括物体在平面镜中形成的四个像的图像，从图像上提取特征点，利用平面镜成像原理求解四个平面镜法方向的消失点，利用交比的性质求取两个实平面镜镜面方向的消失点，最后利用拉盖尔定理的推论求解圆环点的像，建立圆环点的像对绝对二次曲线的像的约束；利用三幅图像建立三组约束方程,线性求解摄像机的内参数；

(1)计算四个平面镜，即：两个虚的，两个实的法方向的消失点

M₁与M₂是两个实平面镜，它们之间的夹角是60°到80°,M₃是平面镜M₂在平面镜M₁中的像，M₄是平面镜M₁在平面镜M₂中所成的像，则M₃与M₄构成一组虚平面镜；A，A₁，A₂，A₃，A₄是一组对应点，其中点A是空间中一个实点，点A₁是点A在M₁中的像，点A₂是点A在M₂中的像，点A₃是点A₁在平面镜M₃中的像，点A₄是点A₂在平面镜M₄中的像，根据平面镜成像原理，点A，A₁，A₂，A₃，A₄在一个圆上；B，B₁，B₂，B₃，B₄也是一组对应点，其中点B是空间中一个实点，点B₁是点B在平面镜M₁中的像，点B₂是点B在平面镜M₂中的像，点B₃是点B₁在平面镜M₃中的像，点B₄是点B₂在平面镜M₄中的像，根据平面镜成像原理，B，B₁，B₂，B₃，B₄也在一个圆上；A与A₁关于平面镜M₁对称，B与B₁也关于平面镜M₁对称，所以A，A₁所在的直线与B，B₁所在直线平行，这两条直线的交点就是平面镜M₁法方向的无穷远点P₁；A与A₂关于平面镜M₂对称，B与B₂也关于平面镜M₂对称，A，A₂所在直线与B，B₂所在直线平行，其交点是平面镜M₂法方向的无穷远点P₂；点A₁与A₃关于平面镜M₃对称，点B₁与B₃也关于平面镜M₃对称，所以A₁，A₃所在的直线与B₁，B₃所在的直线平行，其交点是平面镜M₃法方向的无穷远点P₃；A₂与A₄关于平面镜M₄对称，B₂与B₄也关于平面镜M₄对称，所以点A₂，A₄所在直线与B₂，B₄所在直线平行，其交点是平面镜M₄法方向的无穷远点P₄；

a，a₁，a₂，a₃，a₄，b，b₁，b₂，b₃，b₄分别是A，A₁，A₂，A₃，A₄，B，B₁，B₂，B₃，B₄的像，a，a₁，a₂，a₃，a₄在二次曲线C₁上，b，b₁，b₂，b₃，b₄在二次曲线C₂上；a，a₁所在直线与b，b₁所在直线的交点p₁是无穷远点P₁的像，点p₁就是平面镜M₁法方向的消失点，其计算公式为p₁＝(aa₁)×(bb₁)；a，a₂，b，b₂分别是A，A₂，B，B₂的像，a，a₂所在直线与b，b₂所在直线的交点p₂是无穷远点P₂的像，点p₂就是平面镜M₂法方向的消失点，其计算公式为p₂＝(aa₂)×(bb₂)；a₁，a₃，b₁，b₃分别是A₁，A₃，B₁，B₃的像，a₁，a₃所在直线与b₁，b₃所在直线的交点p₃是无穷远点P₃的像，点p₃就是平面镜M₃法方向的消失点,其计算公式为p₃＝(a₁a₃)×(b₁b₃)；a₂，a₄，b₂，b₄分别是A₂，A₄，B₂，B₄的像，点a₂，a₄所在直线与b₂，b₄所在直线的交点p₄是无穷远点P₄的像，点p₄就是平面镜M₄法方向的消失点,其计算公式为p₄＝(a₂a₄)×(b₂b₄)；

(2)计算两个实平面镜镜面方向的消失点

平面镜M₃是平面镜M₂在平面镜M₁中所成的像，平面镜M₄是平面镜M₁在平面镜M₂中所成的像，根据平面镜成像原理，M₃与M₁的夹角等于M₂与M₁的夹角，M₄与M₂的夹角等于M₁与M₂的夹角；n₁，n₂，n₃，n₄分别表示平面镜M₁，M₂，M₃，M₄的法方向，m₁，m₂表示平面镜M₁，M₂的镜面方向；由平面镜成像原理得到：n₂与m₁的夹角等于n₃与m₁的夹角，且n₁⊥m₁，由交比的性质得：n₁，m₁和n₂，n₃调和共轭，所以有：(n₂，n₃；n₁，m₁)＝-1；

p₂，p₃，p₁分别是n₂，n₃，n₁方向的消失点，q₁是m₁方向的消失点，即平面镜M₁镜面方向的消失点，所以由：(p₂，p₃；p₁，q₁)＝-1，求得q₁的坐标；n₁与m₂的夹角等于n₄与m₂的夹角，且n₂⊥m₂，由交比的性质得：n₂，m₂和n₁，n₄调和共轭；p₁，p₄，p₂分别是n₁，n₄，n₂方向的消失点，q₂是m₂方向的消失点，即平面镜M₂镜面方向的消失点，所以由(p₁，p₄；p₂，q₂)＝-1求得q₂的坐标；

(3)求取圆环点的像j，j

平面镜法方向与镜面方向是垂直的，即n₁⊥m₁,n₂⊥m₂,根据拉盖尔定理的推论得：n₁与m₁方向的消失点与圆环点的像调和共轭，有：

(p₁，q₁；i，j)＝-1(1)

n₂与m₂方向的消失点与圆环点的像调和共轭，有：

(p₂，q₂；i，j)＝-1(2)

联立方程(1)和(2)即求得圆环点的像的坐标；

(4)求解摄像机内参数

利用在三幅图像中所得三组圆环点的像对绝对二次曲线像的约束列出六个约束方程，线性求解出摄像机的5个内参数，即矩阵 $K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_u& s& u_0\\ 0& f_v& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ s为图像的畸变因子，f_u，f_v为图像坐标系中u轴、v轴的尺度因子，(u₀，v₀)是主点坐标，则s,f_u，f_v,u₀,v₀为摄像机的5个内参数。