CN103294899A - 一种计算小型实验反应堆堆芯中子通量分布的方法 - Google Patents

Abstract

一种计算小型实验反应堆堆芯中子通量分布的方法，1、根据小型实验堆堆芯结构确定其几何和材料参数，建立描述堆芯内各个离散方向上中子运动规律的中子输运方程；2、对法线与各个坐标轴方向均不平行的边界准备相应的求积组；3、用非结构网格逼近非结构几何，建立任意三角形网格的节块方法，对中子输运方程进行数值离散，获得关于中子角通量密度的线性代数方程组；4、求解上述线性代数方程组，获得中子角通量密度在堆芯中的离散分布；再利用中子角通量密度和中子通量密度之间的关系获得中子通量密度在堆芯中的离散分布；本发明能够精确获得小型实验核反应堆尤其是医用同位素生产堆、球床堆和高通量堆三种堆型堆芯内的中子通量分布。

Description

一种计算小型实验反应堆堆芯中子通量分布的方法

技术领域

本发明涉及小型实验核反应堆技术领域，特别涉及一种计算小型实验反应堆堆芯中子通量分布的方法。

背景技术

与压水堆、沸水堆、重水堆和快堆等大型商用堆相比，小型实验核反应堆，比如医用同位素生产堆、球床堆和高通量堆，一般具有堆芯几何复杂、结构紧凑、材料强烈非均匀、中子角通量密度沿角度分布的各向异性较强等特点，使得其对中子通量分布计算的要求与大型核反应堆截然不同。

但是，现有的核反应堆堆芯中子通量分布计算的方法，主要是针对几何结构规则的大型商用堆；采用的是基于低阶角度近似的中子扩散计算等等。将现有方法直接应用于小型实验核反应堆，会由于几何上网格剖分的近似处理、中子通量密度的角度分布的近似处理和中子输运过程中各向异性散射过程的近似处理等多个环节上的近似，无法获得精度令人满意的结果。

因此，为了能够准确模拟小型试验核反应堆堆芯内的中子在空间和角度上的输运过程、给出计算精度满足要求的中子通量密度分布，新的数值方法必须减少网格剖分、数值离散和迭代计算过程中引入的近似，而且还能在可接受的时间内完成相应的计算。

发明内容

为了解决现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种计算小型实验反应堆堆芯中子通量分布的方法，能够精确获得小型实验核反应堆堆芯内的中子通量分布，尤其是获得医用同位素生产堆、球床堆和高通量堆三种堆型的中子通量分布，本发明通过最大限度地减少几何上网格剖分带来的近似、降低数值离散过程和迭代计算过程中引入的近似，给出高精度的小型实验核反应堆堆芯内的中子通量分布，弥补了现有技术无法给出满足工程精度的结果的缺点。

为达到以上目的，本发明采用如下技术方案：

一种计算小型实验反应堆堆芯中子通量分布的方法，包括如下步骤：

步骤一，首先根据实际的小型实验堆堆芯结构，确定堆芯的几何和材料参数；然后根据中子输运理论和离散纵标方法建立描述堆芯内各个离散方向上中子运动规律的中子输运方程，如式(1)所示；该方程中，几何和材料参数均为已知系数，有效增殖因子和中子角通量密度关于空间与角度变量的分布函数均为待求的目标物理量；

${\mathrm{\Ω}}^m\▿{\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)+{\mathrm{\Σ}}_t^g\left(r\right){\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)=Q_g\left(r\right)---\left(1\right)$

式中：

$Q_g\left(r\right)=\underset{g^{\′}\≠g}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\Σ}}_s^{g^{\′}\→g}\left(r\right){\mathrm{\Φ}}_{g^{\′}}\left(r\right)+\frac{{\mathrm{\χ}}_g}{k_{\mathrm{eff}}}\underset{g^{\′}}{\mathrm{\Σ}}v{\mathrm{\Σ}}_f^{g^{\′}}\left(r\right){\mathrm{\Φ}}_{g^{\′}}\left(r\right)---\left(2\right)$

${\mathrm{\Φ}}_g\left(r\right)=\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}^m{\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)---\left(3\right)$

Ω^m＝[μ^m η^m ξ^m]^T    (4)

${\▿\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂{\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)}{\∂x}& \frac{{\∂\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)}{\∂y}& \frac{\∂{\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)}{\∂z}\end{array}\right]}^T---\left(5\right)$

式中：

m——采用离散纵标方法离散后的某一角度方向；

ω^m——与角度方向向量Ω^m相应的数值积分权重因子；

μ^m，η^m，ξ^m——角度方向向量Ω^m在x，y，z坐标轴上的分量；

g，g’＝1～G——中子能群标号；

——空间r处沿方向Ω^m的第g群的中子角通量密度（cm^-2·s^-1）；

Φ_g(r)——空间r处的第g群中子通量密度（cm^-2·s^-1）；

k_eff——有效增殖因数；

——空间r处材料的第g群宏观总截面（cm^-1）；

——空间r处材料的从第g’群到第g群的宏观散射截面（cm^-1）；

χ^g(r)——空间r处材料第g群的裂变中子谱；

——空间r处材料的第g’群宏观中子产生截面（cm^-1）；

步骤二，在非结构几何下的基于离散纵标方法的中子输运计算过程中，对法线与各个坐标轴方向均不平行的边界准备相应的求积组；

步骤三，针对小型实验堆堆芯中的非结构几何，采用非结构网格来逼近，并建立任意三角形网格的节块方法，通过先在剖分网格上定义离散物理量，再根据步骤一中的方程（1）确定离散物理量相互耦合的线性代数方程组，对步骤一中在空间上连续分布的方程（1）进行数值离散；通过求解该线性代数方程组获得有限个未知数的值，来近似表征方程（1）由无限个未知数构成的连续函数解；将对以连续函数为未知数的方程（1）的求解近似转化为对仅包含有限个离散未知数的线性代数方程组的求解；其中节块方法中的一个节块是指一个剖分网格；

上述所述在剖分网格上定义的离散物理量包括：在节块表面上定义的各个离散方向上的横向积分表面平均中子角通量密度，用于表征相邻节块沿各个离散方向在空间上的耦合关系；在节块体内定义的各个离散方向上的横向积分平均中子角通量密度矩，用于表征节块内部的中子通量密度分布；

上述所述确定离散物理量相互耦合的线性代数方程组的方法为：首先，利用坐标变换技术，将任意三棱柱网格中的离散方向中子输运方程转换成正三棱柱内的离散方向中子输运方程；其次，针对正三角形节块的三个径向方向和两个轴向方向，做横向积分近似，即认为不同方向之间仅通过横向泄露相互耦合在一起；再次，对于每一个方向，先利用横向积分技术获得其横向积分方程，再利用多项式函数为基函数展开该方向上的横向积分中子角通量密度，然后根据方程（1）的性质即可获得离散物理量之间的耦合关系，即以离散物理量为未知数的线性代数方程组；

步骤四，利用迭代算法求解步骤三中通过数值离散获得的线性代数方程组，获得步骤一中方程（1）的近似解，即核反应堆堆芯的有效增殖因子和所有网格上沿各个离散方向的中子角通量密度；然后利用中子输运理论中中子角通量密度和中子通量密度之间的关系即方程（3），由离散方向上的中子角通量密度在堆芯中的离散分布获得中子通量密度在堆芯中的离散分布。

本发明通过在步骤二中提出针对小型实验核反应堆堆芯中出现的斜边专门产生相应的求积组来消除斜边边界上的对称边界条件处理中引入的近似，通过在步骤三中提出采用非结构网格剖分大多数小型实验核反应堆堆芯都具有的非结构几何来最大限度地降低几何网格剖分带来的近似，通过在步骤三中建立能够处理非结构几何的任意三角形节块方法有效地降低数值离散过程和迭代计算过程中带来的近似，从而保证小型实验堆堆芯中子通量密度计算的精度，弥补了现有技术无法给出满足工程精度的结果的缺点。

附图说明

图1是医用同位素生产堆的全堆芯径向结构示意图。

图2是医用同位素生产堆的径向60°计算堆芯几何结构示意图。

图3是60°对称求积组的离散方向分布示意图。

图4是医用同位素生产堆的径向60°计算堆芯非结构网格剖分示意图。

图5是正三角形网格上的横向积分几何示意图。

具体实施方式

以下结合附图、以医用同位素生产堆为例，对本发明作进一步的详细描述。

本发明一种计算小型实验反应堆堆芯中子通量分布的方法，包括如下步骤：

步骤一，首先根据图1所示的医用同位素生产堆的全堆芯结构，确定堆芯的几何和材料参数，几何如图2所示，其中，(1)考虑到堆芯结构具有60°对称性，计算区域选择从0°到60°的扇区；(2)考虑到堆芯中的冷却剂管道尺寸小、数目多，且管道内为水、外为水溶液，将管道部分通过局部均匀化计算获得均匀化的少群参数；(3)考虑到堆芯腔体外采用水作为反射和屏蔽材料，计算区域在堆芯腔体外增加两层水，即图2中标号为1和2的两区；再根据中子输运理论和离散纵标方法建立描述堆芯内各个离散方向上中子运动规律的中子输运方程，如式(1)所示；

${\mathrm{\Ω}}^m\▿{\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)+{\mathrm{\Σ}}_t^g\left(r\right){\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)=Q_g\left(r\right)---\left(1\right)$

式中：

$Q_g\left(r\right)=\underset{g^{\′}\≠g}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\Σ}}_s^{g^{\′}\→g}\left(r\right){\mathrm{\Φ}}_{g^{\′}}\left(r\right)+\frac{{\mathrm{\χ}}_g}{k_{\mathrm{eff}}}\underset{g^{\′}}{\mathrm{\Σ}}v{\mathrm{\Σ}}_f^{g^{\′}}\left(r\right){\mathrm{\Φ}}_{g^{\′}}\left(r\right)---\left(2\right)$

${\mathrm{\Φ}}_g\left(r\right)=\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}^m{\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)---\left(3\right)$

Ω^m＝[μ^m η^m ξ^m]^T    (4)

$\▿{\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)={\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\∂\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)}{\∂x}& \frac{{\∂\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)}{\∂y}& \frac{{\∂\mathrm{\Ψ}}_g^m\left(r\right)}{\∂z}\end{array}\right]}^T---\left(5\right)$

式中：

m——采用离散纵标方法离散后的某一角度方向；

ω^m——与角度方向向量Ω^m相应的数值积分权重因子；

μ^m，η^m，ξ^m——角度方向向量Ω^m在x,y,z坐标轴上的分量；

g=1～G——中子能群标号；

——空间r处沿方向Ω^m的第g群的中子角通量密度（cm^-2·s^-1）；

Φ_g(r)——空间r处的第g群中子通量密度（cm^-2·s^-1）；

k_eff——有效增殖因数；

——空间r处材料的第g群宏观总截面（cm^-1）；

——空间r处材料的从第g’群到第g群的宏观散射截面（cm^-1）；

χ^g(r)——空间r处材料第g群的裂变中子谱；

——空间r处材料的第g’群宏观中子产生截面（cm^-1）；

该方程中，几何和材料参数均为已知系数，有效增殖因子和中子角通量密度关于空间与角度变量的分布函数均为待求的目标物理量；

步骤二，在非结构几何下的基于离散纵标方法的中子输运计算过程中，各个离散方向之间为了在外边界处满足出射和入射的对应关系，需针对法线与各个坐标轴方向均不平行的边界准备相应的求积组，才能精确处理相应的中子角通量密度之间在边界处的反射关系，也才能准确完成从离散方向的中子角通量密度到与角度无关的中子标通量密度的转化；

医用同位素生产堆中出现的法线与各个坐标轴方向均不平行的边界是60°的斜边，其对称几何要求离散方向的选择必须满足在60°斜边上的对称关系，图3给出了在-1≤ξ≤1和极角

区间上的1/4球面，若能在每一层ξ_i上找到关于极角

对称的角度方向也就得到了关于60°对称的求积组,通过数值计算获得的相应求积组与离散方向一起按照相应的离散纵标阶数（2、4、6、8、10、12、16等）列于表1；

表1离散纵标方法可采用的60°对称求积组

步骤三，针对小型实验堆堆芯中的非结构几何，采用非结构网格来逼近，如图4所示，其中，粗实线为堆芯计算区域的边界线，同图2，细实线为计算网格的剖分线；并建立任意三角形网格的节块方法，通过先在剖分网格上定义离散物理量、再根据步骤一中的方程（1）确定离散物理量相互耦合的线性代数方程组，对步骤一中在空间上连续分布的方程（1）进行数值离散；通过求解该线性代数方程组获得这有限个未知数的值，来近似表征方程由无限个未知数构成的连续函数解；将对以连续函数为未知数的方程（1）的求解近似转化为对仅包含有限个离散未知数的线性代数方程组的求解；其中节块方法中的一个节块是指一个剖分网格；

上述所述在剖分网格上定义的离散物理量包括：在与方向x垂直的节块表面沿离散方向Ω^m上定义横向积分表面平均中子角通量密度，如式（6）所示，用于表征相邻节块沿各个离散方向在空间上的耦合关系：

${\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}}_x^m=\frac{{\∫}_{-1/2}^{1/2}{\∫}_{-y_s(1/3)}^{y_s(1/3)}{\mathrm{\Ψ}}^m\left(r\right)\mathrm{dydz}}{{\∫}_{-1/2}^{1/2}{\∫}_{-y_s(1/3)}^{y_s(1/3)}\mathrm{dydz}}---\left(6\right)$

在节块体内沿离散方向Ω^m上定义x方向上的横向积分平均中子角通量密度矩，如式（7）所示，用于表征节块内部的中子通量密度分布：

${\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{xi}}^m={\∫}_{-\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}\frac{{\∫}_{-1/2}^{1/2}{\∫}_{-y_s\left(x\right)}^{y_s\left(x\right)}{\mathrm{\Ψ}}^m\left(r\right)\mathrm{dydz}}{{\∫}_{-1/2}^{1/2}{\∫}_{-y_s\left(x\right)}^{y_s\left(x\right)}\mathrm{dydz}}{h}_i\left(x\right)\mathrm{dx}---\left(7\right)$

其中，方向x可以是三个径向方向u、v和w，也可以是两个轴向方向z+和z-。

上述获得离散物理量之间的耦合关系，即获得以离散物理量为未知数的线性代数方程组的方法为：首先，利用坐标变换技术，将任意三棱柱网格中的离散方向中子输运方程转换成正三棱柱内的离散方向中子输运方程，在数学上可以证明两种几何下的中子输运方程是等价的，可通过一个Jacobi矩阵进行相互转化；其次，针对正三角形节块的三个径向方向和两个轴向方向，做横向积分近似，即认为不同方向之间仅通过横向泄露相互耦合在一起；再次，对于每一个方向，先利用横向积分技术获得其横向积分方程，再利用多项式函数为基函数展开该方向上的横向积分中子角通量密度，然后根据方程（1）的性质即可获得离散物理量之间的耦合关系，即以离散物理量为未知数的线性代数方程组；

正三棱柱的径向三个侧面具有对称性，如图5所示，利用横向积分技术和多项式展开技术，可获得定义在节块内的物理量之间的关系，三个侧面统一表示（略去能群标号g）为：

与x方向所垂直表面的横向积分表面平均中子角通量密度：

${\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}}_x^m=P_{x0}^m({\stackrel{\‾}{Q}}_{x0}-{\stackrel{\‾}{\mathrm{Lz}}}_x^m)+\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{xi}}^m{\stackrel{\‾}{Q}}_{\mathrm{xi}}+\underset{i=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{R}_{\mathrm{xi}}^m{\stackrel{\‾}{\mathrm{Lr}}}_{\mathrm{xi}}^m---\left(8\right)$

横向积分平均中子角通量密度分布函数的展开矩：

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_{\mathrm{xi}}^m=\left\{\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{xi}0}^m({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{x0}-{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{Lz}}}_x^m)+\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{F}_{\mathrm{xij}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{\mathrm{xj}}+\underset{j=0}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{G}_{\mathrm{xij}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{Lr}}}_{\mathrm{xj}}^m,{\mathrm{\&mu;}}_x^m>0\\ F_{\mathrm{xi}0}^m({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{x0}-{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{Lz}}}_x^m)+\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{F}_{\mathrm{xij}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{\mathrm{xj}}+\underset{j=0}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{G}_{\mathrm{xij}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{Lr}}}_{\mathrm{xj}}^m+H_{\mathrm{xi}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_x^m{,\mathrm{\&mu;}}_x^m<0\end{array}\right.i=\mathrm{0,1,2}---\left(9\right)$

其中：

${\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{\mathrm{xi}}=\underset{g\text{'}=1}{\overset{G}{\mathrm{\&Sigma;}}}\{{\mathrm{\&Sigma;}}_s^{g\text{'}-g}+\frac{{\mathrm{\&chi;}}^g\left(r\right)}{k_{\mathrm{eff}}}v{\mathrm{\&Sigma;}}_f^{g\text{'}}\}{\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{xi}}---\left(10\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{Lz}}}_x^m=\frac{{\mathrm{\&xi;}}^m}{h_z}({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_{z+}^m-{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_{z-}^m)---\left(11\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{Lr}}}_{x0}^m=\frac{1}{3}{\mathrm{\&mu;}}_u^m(4{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_u^m-{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{px}}^m)+\frac{1}{3}{\mathrm{\&mu;}}_v^m(4{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_v^m-{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{px}}^m)---\left(12\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{Lr}}}_{x1}^m=2{\mathrm{\&mu;}}_u^m({\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{pv}}^m-{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_u^m)+2{\mathrm{\&mu;}}_v^m({\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{pu}}^m-{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_v^m)---\left(13\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{Lr}}}_{x2}^m=3{\mathrm{\&mu;}}_u^m({\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{px}}^m+{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{pv}}^m-2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_u^m)+3{\mathrm{\&mu;}}_v^m({\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{px}}^m+{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{pu}}^m-2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_v^m)---\left(14\right)$

$P_{\mathrm{xi}}^m=\frac{\sqrt{3}}{{\mathrm{\&mu;}}_x^m}{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{y}_s\left(x\right)h_i\left(x\right)e^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t}{{\mathrm{\&mu;}}_x^m}(1/3-x)}\mathrm{dx},i=\mathrm{0,1,2}---\left(15\right)$

$R_{\mathrm{xi}}^m=-\frac{1}{{\mathrm{\&mu;}}_x^m}{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{x}^i{e}^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t}{{\mathrm{\&mu;}}_x^m}(1/3-x)}\mathrm{dx},i=\mathrm{0,1,2}---\left(16\right)$

$F_{\mathrm{xij}}^m=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{{\mathrm{\&mu;}}_x^m}\frac{{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{\&Integral;}_{-2/3}^x{y}_s\left(x^{\&prime;}\right)h_j\left(x^{\&prime;}\right)e^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t}{{\mathrm{\&mu;}}_x^m}(x-x^{\&prime;})}{\mathrm{dx}}^{\&prime;}{h}_i\left(x\right)\mathrm{dx}}{{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{y}_s\left(x\right){\left(h_i\left(x\right)\right)}^2\mathrm{dx}},{\mathrm{\&mu;}}_x>0\\ \frac{1}{\left|{\mathrm{\&mu;}}_x^m\right|}\frac{{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{\&Integral;}_x^{1/3}{y}_s\left(x^{\&prime;}\right)h_j\left(x^{\&prime;}\right)e^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t}{|{\mathrm{\&mu;}}_x^{m|}}(x^{\&prime;}-x)}{\mathrm{dx}}^{\&prime;}{h}_i\left(x\right)\mathrm{dx}}{{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{y}_s\left(x\right){\left(h_i\left(x\right)\right)}^2\mathrm{dx}},{\mathrm{\&mu;}}_x<0\end{array}\right.---\left(17\right)$

$G_{\mathrm{xij}}^m=\left\{\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{3}}{3{\mathrm{\&mu;}}_x^m}\frac{{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{\&Integral;}_{-2/3}^x{\left(x^{\&prime;}\right)}^j{e}^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t}{{\mathrm{\&mu;}}_x^m}(x-x^{\&prime;})}{\mathrm{dx}}^{\&prime;}{h}_i\left(x\right)\mathrm{dx}}{{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{y}_s\left(x\right){\left(h_i\left(x\right)\right)}^2\mathrm{dx}}{\mathrm{\&mu;}}_x>0\\ -\frac{\sqrt{3}}{3\left|{\mathrm{\&mu;}}_x^m\right|}\frac{{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{\&Integral;}_x^{1/3}{\left(x^{\&prime;}\right)}^j{e}^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t}{|{\mathrm{\&mu;}}_x^{m|}}(x^{\&prime;}-x)}{\mathrm{dx}}^{\&prime;}{h}_i\left(x\right)\mathrm{dx}}{{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{y}_s\left(x\right){\left(h_i\left(x\right)\right)}^2\mathrm{dx}},{\mathrm{\&mu;}}_x<0\end{array}\right.---\left(18\right)$

$H_{\mathrm{xi}}^m=\frac{\sqrt{3}}{3}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_x^m{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{h}_i\left(x\right)e^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t}{\left|{\mathrm{\&mu;}}_x^m\right|}(1/3-x)}\mathrm{dx}/{\&Integral;}_{-2/3}^{1/3}{y}_s\left(x\right)(h_i\left(x\right){)}^2\mathrm{dx}---\left(19\right)$

是区间[-2/3,1/3]上的带权y_s(x)正交多项式。

对于正三棱柱的轴向，也可以进行相应的处理，获得物理量的迭代关系，包括上下表面的表面平均中子角通量密度

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_{z+}^m=P_{z0}^m({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{z0}-{\stackrel{\&OverBar;}{L}}_{\mathrm{xy}}^m)+\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{\mathrm{zi}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{\mathrm{zi}}+T^m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_{z-,}^m{\mathrm{\&xi;}}^m>0---\left(20\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_{z-}^m=P_{z0}^m({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{z0}-{\stackrel{\&OverBar;}{L}}_{\mathrm{xy}}^m)+\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_{\mathrm{zi}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{\mathrm{zi}}+T^m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_{z+,}^m{\mathrm{\&xi;}}^m<0---\left(21\right)$

横向积分平均中子角通量密度矩：

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Psi;}}}_{\mathrm{zi}}^m=\left\{\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{zi}0}^m({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{z0}-{\stackrel{\&OverBar;}{L}}_{\mathrm{xy}}^m)+\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{F}_{\mathrm{zij}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{\mathrm{zj}}+H_{\mathrm{xi}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_{z-,}^m{\mathrm{\&xi;}}^m>0\\ F_{\mathrm{zi}0}^m({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{\mathrm{zi}0}-{\stackrel{\&OverBar;}{L}}_{\mathrm{xy}}^m)+\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{F}_{\mathrm{zij}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{\mathrm{zj}}+H_{\mathrm{zi}}^m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_{z+,}^m{\mathrm{\&xi;}}^m<0\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中：

${\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{\mathrm{zi}}=\underset{g\text{'}=1}{\overset{G}{\mathrm{\&Sigma;}}}\{{\mathrm{\&Sigma;}}_s^{g\text{'}-g}+\frac{x^{g\left(r\right)}}{k_{\mathrm{eff}}}v{\mathrm{\&Sigma;}}_f^{g\text{'}}\}{\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{zi}}---\left(23\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{L}}_{\mathrm{xy}}^m\left(z\right)=2[{\mathrm{\&mu;}}_x^m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_x^m+{\mathrm{\&mu;}}_u^m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_u^m+{\mathrm{\&mu;}}_v^m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}}_v^m]---\left(24\right)$

$P_{\mathrm{zi}}^m=\left\{\begin{array}{c}\frac{h_z}{{\mathrm{\&xi;}}^m}{\&Integral;}_{-1/2}^{1/2}{f}_i\left(z\right)e^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t{h}_z}{{\mathrm{\&xi;}}^m}(1/2-z)}\mathrm{dz},{\mathrm{\&xi;}}^m>0\\ \frac{h_z}{\left|{\mathrm{\&xi;}}^m\right|}{\&Integral;}_{-1/2}^{1/2}{f}_i\left(z\right)e^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t{h}_z}{\left|{\mathrm{\&xi;}}^m\right|}(1/2+z)}\mathrm{dz},{\mathrm{\&xi;}}^m<0\end{array}---\left(25\right)\right.$

$T^m=\left\{\begin{array}{c}{e}^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t{h}_z}{{\mathrm{\&xi;}}^m}},{\mathrm{\&xi;}}^m>0\\ e^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t{h}_z}{\left|{\mathrm{\&xi;}}^m\right|}},{\mathrm{\&xi;}}^m<0\end{array}\right.---\left(26\right)$

$F_{\mathrm{zij}}^m=\left\{\begin{array}{c}\frac{h_z}{{\mathrm{\&xi;}}^m}\frac{{\&Integral;}_{-1/2}^{1/2}{\&Integral;}_{-1/2}^z{f}_j\left(z^{\&prime;}\right)e^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t{h}_z}{{\mathrm{\&xi;}}^m}(z-z^{\&prime;})}{\mathrm{dz}}^{\&prime;}{f}_i\left(z\right)\mathrm{dz}}{{\&Integral;}_{-1/2}^{1/2}{\left(f_i\left(z\right)\right)}^2\mathrm{dz}},{\mathrm{\&xi;}}^m>0\\ \frac{h_z}{\left|{\mathrm{\&xi;}}^m\right|}\frac{{\&Integral;}_{-1/2}^{1/2}{\&Integral;}_z^{1/2}{f}_j\left(z^{\&prime;}\right)e^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t{h}_z}{\left|{\mathrm{\&xi;}}^m\right|}(z^{\&prime;}-z)}{\mathrm{dz}}^{\&prime;}{f}_i\left(z\right)\mathrm{dz}}{{\&Integral;}_{-1/2}^{1/2}{\left(f_i\left(z\right)\right)}^2\mathrm{dz}},{\mathrm{\&xi;}}^m<0\end{array}\right.---\left(27\right)$

$H_{\mathrm{zi}}^m=\left\{\begin{array}{c}\frac{h_z}{{\mathrm{\&xi;}}^m}\frac{{\&Integral;}_{-1/2}^{1/2}{e}^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t{h}_z}{{\mathrm{\&xi;}}^m}(z+1/2)}{f}_i\left(z\right)\mathrm{dz}}{{\&Integral;}_{-1/2}^{1/2}{\left(f_i\left(z\right)\right)}^2\mathrm{dz}},{\mathrm{\&xi;}}^m>0\\ \frac{h_z}{\left|{\mathrm{\&xi;}}^m\right|}\frac{{\&Integral;}_{-1/2}^{1/2}{e}^{-\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_t{h}_z}{\left|{\mathrm{\&xi;}}^m\right|}(1/2-z)}{f}_i\left(z\right)\mathrm{dz}}{{\&Integral;}_{-1/2}^{1/2}{\left(f_i\left(z\right)\right)}^2\mathrm{dz}},{\mathrm{\&xi;}}^m<0\end{array}\right.---\left(28\right)$

h_z——三棱柱高度/cm；

f_i(z)={1,z,z²-1/12}是区间-1/2≤z≤1/2上的正交多项式。

步骤一中的式（3）和本步骤中的式（8）至式（14）、式（20）至式（24）构成了关于待求解的离散物理量的线性代数方程组；

步骤四，利用迭代算法求解步骤三中通过数值离散获得的线性代数方程组，获得步骤一中方程（1）的近似解，即核反应堆堆芯的有效增殖因子和所有网格上沿各个离散方向的中子角通量密度；然后利用中子输运理论中中子角通量密度和中子通量密度之间的关系即方程（3），由离散方向上的中子角通量密度在堆芯中的离散分布获得中子通量密度在堆芯中的离散分布。

Claims (1)

1.一种计算小型实验反应堆堆芯中子通量分布的方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤一，首先根据实际的小型实验堆堆芯结构，确定堆芯的几何和材料参数；然后根据中子输运理论和离散纵标方法建立描述堆芯内各个离散方向上中子运动规律的中子输运方程，如式（1）所示；该方程中，几何和材料参数均为已知系数，有效增殖因子和中子角通量密度关于空间与角度变量的分布函数均为待求的目标物理量；

${\mathrm{\&Omega;}}^m{\&dtri;\mathrm{\&Psi;}}_g^m\left(r\right)+{\mathrm{\&Sigma;}}_t^g\left(r\right){\mathrm{\&Psi;}}_g^m\left(r\right)=Q_g\left(r\right)---\left(1\right)$

式中：

$Q_g\left(r\right)=\underset{g^{\&prime;}\&NotEqual;g}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Sigma;}}_s^{g^{\&prime;}\&RightArrow;g}\left(r\right){\mathrm{\&Phi;}}_{g^{\&prime;}}\left(r\right)+\frac{{\mathrm{\&chi;}}_g}{k_{\mathrm{eff}}}\underset{g^{\&prime;}}{\mathrm{\&Sigma;}}v{\mathrm{\&Sigma;}}_f^{g^{\&prime;}}\left(r\right){\mathrm{\&Phi;}}_{g^{\&prime;}}\left(r\right)---\left(2\right)$

${\mathrm{\&Phi;}}_g\left(r\right)=\underset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}^m{\mathrm{\&Psi;}}_g^m\left(r\right)---\left(3\right)$

Ω^m=[μ^m η^m ξ^m]^T    （4）

${\&dtri;\mathrm{\&Psi;}}_g^m\left(r\right)={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&Psi;}}_g^m\left(r\right)}{\&PartialD;x}& \frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Psi;}}_g^m\left(r\right)}{\&PartialD;y}& \frac{\&PartialD;{\mathrm{\&Psi;}}_g^m\left(r\right)}{\&PartialD;z}\end{array}\right]}^T---\left(5\right)$

式中：

m——采用离散纵标方法离散后的某一角度方向；

ω^m——与角度方向向量Ω^m相应的数值积分权重因子；

μ^m,η^m,ξ^m——角度方向向量Ω^m在x,y,z坐标轴上的分量；

g,g’=1～G——中子能群标号；

——空间r处沿方向Ω^m的第g群的中子角通量密度（cm^-2·s^-1）；

Φ_g(r)——空间r处的第g群中子通量密度（cm^-2·s^-1）；

k_eff——有效增殖因数；

——空间r处材料的第g群宏观总截面（cm^-1）；

——空间r处材料的从第g’群到第g群的宏观散射截面（cm^-1）；

χ^g(r)——空间r处材料的第g群裂变中子谱；

——空间r处材料的第g’群宏观中子产生截面（cm^-1）；

步骤二，在非结构几何下的基于离散纵标方法的中子输运计算过程中，对法线与各个坐标轴方向均不平行的边界准备相应的求积组；

步骤三，针对小型实验堆堆芯中的非结构几何，采用非结构网格来逼近，并建立任意三角形网格的节块方法，通过先在剖分网格上定义离散物理量，再根据步骤一中的方程（1）确定离散物理量相互耦合的线性代数方程组，对步骤一中在空间上连续分布的方程（1）进行数值离散；通过求解该线性代数方程组获得有限个未知数的值，来近似表征方程（1）由无限个未知数构成的连续函数解；将对以连续函数为未知数的方程（1）的求解近似转化为对仅包含有限个离散未知数的线性代数方程组的求解；其中节块方法中的一个节块是指一个剖分网格；

上述在剖分网格上定义的离散物理量包括：在节块表面上定义的各个离散方向上的横向积分表面平均中子角通量密度，用于表征相邻节块沿各个离散方向在空间上的耦合关系；在节块体内定义的各个离散方向上的横向积分平均中子角通量密度矩，用于表征节块内部的中子通量密度分布；

上述确定离散物理量相互耦合的线性代数方程组的方法为：首先，利用坐标变换技术，将任意三棱柱网格中的离散方向中子输运方程转换成正三棱柱内的离散方向中子输运方程；其次，针对正三角形节块的三个径向方向和两个轴向方向，做横向积分近似，即认为不同方向之间仅通过横向泄露相互耦合在一起；再次，对于每一个方向，先利用横向积分技术获得其横向积分方程，再利用多项式函数为基函数展开该方向上的横向积分中子角通量密度，然后根据方程（1）的性质即可获得离散物理量之间的耦合关系，即以离散物理量为未知数的线性代数方程组；

步骤四，利用迭代算法求解步骤三中通过数值离散获得的线性代数方程组，获得步骤一中方程（1）的近似解，即核反应堆堆芯的有效增殖因子和所有网格上沿各个离散方向的中子角通量密度；然后利用中子输运理论中中子角通量密度和中子通量密度之间的关系即方程（3），由离散方向上的中子角通量密度在堆芯中的离散分布获得中子通量密度在堆芯中的离散分布。

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