CN103294647A - 基于正交张量近邻保持嵌入的头相关传输函数降维方法 - Google Patents

基于正交张量近邻保持嵌入的头相关传输函数降维方法 Download PDF

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CN103294647A CN2013101723376A CN201310172337A CN103294647A CN 103294647 A CN103294647 A CN 103294647A CN 2013101723376 A CN2013101723376 A CN 2013101723376A CN 201310172337 A CN201310172337 A CN 201310172337A CN 103294647 A CN103294647 A CN 103294647A
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Abstract

本发明公开了一种基于正交张量近邻保持嵌入的头相关传输函数降维方法。包括：首先对给定的一组头相关传输函数进行张量表述，并构建近邻图；然后计算近邻图中的权重矩阵；根据上述步骤得到的权重矩阵，在投影矩阵正交性的约束下，求解泛化特征向量问题，寻找到高维头相关传输函数嵌入到低维数据空间的投影矩阵；利用上述得到的投影矩阵可以对头相关传输函数高维张量进行特征提取，挖掘出蕴藏在高维空间中的头相关传输函数的低维特征，并且保持了高维空间中头相关传输函数的局部流形结构。真实的反映了头相关传输函数数据的分布，克服了传统降维方法对原始数据局部流形结构的破坏，能广泛用于3D音频信号处理等领域。

Description

基于正交张量近邻保持嵌入的头相关传输函数降维方法
技术领域
本发明涉及一种头相关传输函数（HRTF）张量降维方法，具体地说，是涉及一种基于正交张量近邻保持嵌入（OTNPE）的头相关传输函数降维方法，属于3D音频和语音信号处理的技术领域。
背景技术
头相关传输函数（Head-related transfer function，HRTF）是实现虚拟3D音频的核心部分。它是多变量声学传输函数包含了声音的空间方位信息（方位角和俯仰角），还与声音的频率相关。通过实验测量方法可以得到不同声源方向的HRTF，其维数高且数据结构复杂。这样在声学应用领域中直接利用和研究测量得到的HRTF数据是很困难的。因此需要对高维复杂的HRTF进行降维处理，提取出HRTF的低维特征以便于观察研究其特性。
目前传统的降维方法如主成分分析、奇异值分解可以实现HRTF数据从高维到低维的简化，他们都基于向量模型进行降维。然而多维HRTF数据的向量化操作不仅增加计算的复杂度，还破坏原本数据的结构信息以及不同变量之间的相互关系。为了避免这些问题，利用张量表示多维结构的HRTF而后进行降维保持了原始数据的结构信息，并实现了较传统降维方法更高的数据压缩比。实际上HRTF是当声源处于听者头部不同方位（方位角和俯仰角）时所测得的频率响应，是多种因素综合作用产生的声学滤波器。HRTF存在这样的数据特征，不同方位角的HRTF既有相似之处，也有各自不同的特征。方位角差异越小，其对应的HRTF之间的“距离”越小，共性特征越多。当方位角度差异增大时，HRTF数据之间的关联性减弱，所以在对HRTF进行降维后得到的低维特征能够保留原始HRTF所蕴藏的局部几何特性和近邻信息才更加符合听觉特性。但是之前的降维方法则忽略了这些潜在的特征关系。
发明内容
本发明的目的在于针对现有技术的不足，提出一种基于正交张量近邻保持嵌入的HRTF降维方法，能够通过投影矩阵的正交化较好地保持原始HRTF的局部几何特性和近邻关系，并且将高维HRTF张量嵌入到低维空间，使原始数据得到较大的压缩和精简，也更加符合听觉感知。
为了达到上述目的，本发明的构思是：正交张量近邻保持嵌入是最近几年得到广泛运用的一种挖掘高维复杂数据低维特征信息的方法，其原理是通过构建近邻图保持原始数据流形上的局部结构，使得原始张量数据的正交化张量近邻保持嵌入得以实现。本发明充分利用头相关传输函数本身潜在的局部特征关系，来学习HRTF张量的子空间且保证子空间基向量的正交性，以实现高维HRTF张量到低维空间的嵌入并更加符合听觉特性。本发明首先构建HRTF张量样本集的近邻图；然后按照近邻图计算权重矩阵。根据正交张量近邻保持嵌入方法，且保证不同投影矩阵中基向量互相正交的前提下来学习HRTF的正交张量子空间。接着，得到逼近正交子空间的参数的更新等式，循环迭代更新等式直到满足收敛条件。最后，利用上述得到的张量子空间的正交性完成HRTF的投影并保持局部近邻重构关系。
根据上述发明构思，本发明采用下述技术方案：
一种基于正交张量近邻保持嵌入的头相传输函数降维方法包括以下几个步骤：
1．针对头相关传输函数的训练样本构建近邻图。近邻图的点是由HRTF样本集构成，按照k-近邻的方法选择近邻点；
2．利用近邻图计算权重矩阵，HRTF训练样本集中的每一点都可以通过它的k近邻点的线性组合进行重建。通过求解约束条件下的最小化目标函数：
Figure 658962DEST_PATH_IMAGE001
                        (1)
其中
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE002
代表权值矩阵，则
Figure 136955DEST_PATH_IMAGE003
为近邻图
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE004
中第个HRTF样本
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE006
到第
Figure 979009DEST_PATH_IMAGE007
个样本
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE008
的权值。如果第个样本不属于第
Figure 250907DEST_PATH_IMAGE005
个样本的K近邻时，
Figure 73370DEST_PATH_IMAGE003
为0；
3．根据HRTF训练样本数据集的阶数
Figure 340403DEST_PATH_IMAGE009
，以及在第
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE010
模式下的维数
Figure 601620DEST_PATH_IMAGE011
，确定基函数（投影矩阵）的个数为
Figure 270499DEST_PATH_IMAGE009
和第个基函数的维数为
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE012
，
Figure 644291DEST_PATH_IMAGE009
个基函数标记为
Figure 443619DEST_PATH_IMAGE013
。 
4．假设第
Figure 967005DEST_PATH_IMAGE010
个基函数
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE014
未知，其余基函数已知并初始化为相应维数的单位矩阵，保证基函数中基向量间的正交性，利用初始化的已知基函数来求解未知的基函数
Figure 459166DEST_PATH_IMAGE015
；
5．利用步骤4中的已知初始化基函数对HRTF训练样本集进行低维嵌入，得到每个样本的低维特征张量
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE016
，由
Figure 267503DEST_PATH_IMAGE017
个样本的
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE018
得到矩阵
Figure 604943DEST_PATH_IMAGE019
，再结合权重矩阵计算得到矩阵
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE020
。基函数
Figure 310731DEST_PATH_IMAGE021
中每个列向量是正交的，但是其第一个列向量是不受限制的。利用特征分解求解出即
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE024
的最小特征值对应的特征向量。再根据其余
Figure 918DEST_PATH_IMAGE025
个列向量与已求解出向量的正交关系，利用拉格朗日乘数法将正交条件加入到目标函数中逐一求解出
Figure 204366DEST_PATH_IMAGE014
中剩余的个列向量。 
6．利用步骤5求解出的基函数
Figure 536307DEST_PATH_IMAGE014
再代入到步骤5中，此时
Figure 47798DEST_PATH_IMAGE010
更新为且基函数作为已知条件重复步骤5，求解基函数
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE028
；
7．预先设定一个阈值。将步骤6得到的基函数
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE030
标记为
Figure 850221DEST_PATH_IMAGE031
，重复步骤5得到
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE032
，使得两者之间欧氏距离小于阈值
Figure 896936DEST_PATH_IMAGE029
结束循环，否则一直重复步骤5和步骤6。
8．对于新的HRTF测试样本可以利用上述过程获取的基函数将测试HRTF嵌入到低维正交子空间去。由于基函数的正交性，较好的保持了原本高维数据中蕴藏的局部流形结构。
本发明与现有技术相比较，具有如下显而易见的突出实质性特点和显著优点：
本发明充分利用张量近邻保持嵌入的优点，并在此基础上保证基函数的正交性，使得投影的同时更加完好的保持头相关传输函数高维数据空间中的近邻重构关系，提取了符合听觉特性的HRTF低维特征。
附图说明
图1为本发明所述方法的流程图。
具体实施方式
为了更好地理解本发明的技术方案，以下对本发明的优选实施例作进一步的详细描述：
实施例一：
参见图1，本基于正交张量近邻保持嵌入的头相关传输函数的降维方法，其特征是
1） 针对头相关传输函数的训练样本构建近邻图，近邻图的点是由样本集构成，按照k-近邻的方法选择近邻点；
2） 利用近邻图计算权重矩阵，头相关传输函数训练样本集中的每一点都可以通过它的k近邻点的线性组合进行重建；通过求解约束条件下的最小化目标函数：
Figure 431823DEST_PATH_IMAGE033
                        
其中
Figure 545272DEST_PATH_IMAGE002
代表权值矩阵，则
Figure 532820DEST_PATH_IMAGE003
为第近邻图
Figure 312120DEST_PATH_IMAGE004
中第
Figure 435934DEST_PATH_IMAGE005
个HRTF样本
Figure 782602DEST_PATH_IMAGE006
到第
Figure 257446DEST_PATH_IMAGE007
个HRTF样本
Figure 285444DEST_PATH_IMAGE008
 的权值。如果第第
Figure 30809DEST_PATH_IMAGE007
个样本不属于第
Figure 282799DEST_PATH_IMAGE005
个样本的K近邻时，
Figure 182622DEST_PATH_IMAGE003
为0；
3） 根据头相关传输函数训练样本数据集的阶数
Figure 811049DEST_PATH_IMAGE009
，以及在第
Figure 175034DEST_PATH_IMAGE010
模式下的维数
Figure 535608DEST_PATH_IMAGE011
，确定基函数的个数为
Figure 483579DEST_PATH_IMAGE009
和第
Figure 853381DEST_PATH_IMAGE010
个基函数的维数为
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 868610DEST_PATH_IMAGE009
个基函数标记为
Figure 665665DEST_PATH_IMAGE035
； 
4） 假设第个基函数
Figure 74092DEST_PATH_IMAGE014
未知，其余基函数已知并初始化为相应维数的单位矩阵，保证基函数中基向量间的正交性，利用初始化的已知基函数来求解未知的基函数
Figure 84773DEST_PATH_IMAGE014
；
5） 利用步骤4）中的已知初始化基函数对头相关传输函数训练样本集进行低维嵌入，得到每个样本的低维特征张量
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE036
，由
Figure 115046DEST_PATH_IMAGE017
个样本的
Figure 211178DEST_PATH_IMAGE037
得到矩阵
Figure 922782DEST_PATH_IMAGE019
，再结合权重矩阵计算得到矩阵
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE038
；基函数
Figure 912604DEST_PATH_IMAGE014
中每个列向量是正交的，但是其第一个列向量
Figure 51461DEST_PATH_IMAGE026
是不受限制的；利用特征分解求解出
Figure 634889DEST_PATH_IMAGE026
即
Figure 451316DEST_PATH_IMAGE039
的最小特征值对应的特征向量；再将其余
Figure 436590DEST_PATH_IMAGE025
个列向量与已求解出的向量的正交关系，利用拉格朗日乘数法将正交条件加入到目标函数中逐一求解出
Figure 746349DEST_PATH_IMAGE014
中剩余的
Figure 879390DEST_PATH_IMAGE025
个列向量； 
6） 利用步骤5）求解出的基函数满足预先设定条件之后，再代入到步骤5）中，此时
Figure 772576DEST_PATH_IMAGE010
更新为
Figure 315553DEST_PATH_IMAGE027
且基函数
Figure 607994DEST_PATH_IMAGE014
作为已知条件重复步骤5），求解基函数；
7） 预先设定一个阈值，将步骤6）得到的基函数
Figure 873256DEST_PATH_IMAGE030
标记为，重复步骤5）得到
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE040
，使得两者之间欧氏距离小于阈值
Figure 877564DEST_PATH_IMAGE029
结束循环，否则一直重复步骤5）和步骤6）；
8） 对于新的头相关传输函数测试样本可以利用获得的基函数将其嵌入到低维子空间去，由于基函数的正交性，较好的保持了原本高维数据中蕴藏的局部流形结构。
 
实施例二：
参见图1，本基于正交张量近邻保持嵌入的头相关传输函数的降维方法，利用张量建模HRTF，结合张量近邻保持嵌入，并保证投影矩阵的正交性，实现张量HRTF投影到低维特征空间中并保持着原本高维数据空间中的局部几何特性和近邻关系，其具体实施步骤如下：
1．头相关传输函数的
Figure 426357DEST_PATH_IMAGE017
个3阶张量形式的训练样本
Figure 514398DEST_PATH_IMAGE041
，其中3个
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE042
指标分别代表声源方位信息的方位角、俯仰角以及频率的个数。针对HRTF张量样本集构建近邻图，图中的点是由样本集构成。假设样本
Figure 42649DEST_PATH_IMAGE043
对应着近邻图中第
Figure 508265DEST_PATH_IMAGE005
个节点，若存在样本
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE044
是样本
Figure 767208DEST_PATH_IMAGE043
的近邻，则有一条边连接近邻图
Figure 583854DEST_PATH_IMAGE004
中的第
Figure 320866DEST_PATH_IMAGE005
点和第点。按照k-近邻的方法选择近邻点；
2．按照下述过程计算权值矩阵：
Figure 274096DEST_PATH_IMAGE002
代表权值矩阵，则
Figure 810994DEST_PATH_IMAGE003
为第近邻图
Figure 351697DEST_PATH_IMAGE004
中第
Figure 995168DEST_PATH_IMAGE045
个HRTF样本
Figure 392651DEST_PATH_IMAGE043
到第
Figure 183890DEST_PATH_IMAGE007
个HRTF样本
Figure 262704DEST_PATH_IMAGE044
的权值。如果第
Figure 760682DEST_PATH_IMAGE007
个样本不属于第
Figure 329066DEST_PATH_IMAGE005
个样本的K近邻时，
Figure 545284DEST_PATH_IMAGE003
为0。通过求解下述约束条件下的最小化目标函数：
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE046
                        (2)
3．利用步骤1中3阶HRTF训练样本张量得知阶数n = 3，以及在第模式下的维数
Figure 344055DEST_PATH_IMAGE011
Figure 286603DEST_PATH_IMAGE047
。这样确定了基函数的个数为3，且第
Figure 786855DEST_PATH_IMAGE010
个基函数的维数为
Figure 207472DEST_PATH_IMAGE034
，3个基函数分别为
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE048
；
4．假设第
Figure 680041DEST_PATH_IMAGE010
个基函数
Figure 590228DEST_PATH_IMAGE014
未知，其余两个基函数已知并初始化为单位矩阵，保证基函数中基向量间的正交性，利用初始化的已知基函数来求解未知的基函数
Figure 515459DEST_PATH_IMAGE014
；
5．利用步骤4中的已知初始化基函数对HRTF训练样本集进行低维嵌入，得到每个样本的低维特征张量：
Figure 739767DEST_PATH_IMAGE049
                  (3)
其中
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE050
为样本个数，且对按第k模式展开为矩阵
Figure 54258DEST_PATH_IMAGE051
。利用
Figure 466785DEST_PATH_IMAGE017
个样本的低维特征矩阵
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE052
计算得到
Figure 291521DEST_PATH_IMAGE019
为
                                (4)
然后再结合步骤2中求出的权重矩阵
Figure 928356DEST_PATH_IMAGE002
来计算矩阵
Figure 890496DEST_PATH_IMAGE038
：
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE054
               (5)
基函数中每个列向量是正交的，但是其第一个列向量
Figure 118794DEST_PATH_IMAGE026
是不受限制的。求解下列泛化特征向量问题：
Figure 744948DEST_PATH_IMAGE055
                               (6)
为特征向量
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE056
中最小特征值对应的特征向量，即
Figure 298606DEST_PATH_IMAGE039
的最小非零特征值对应的特征向量。如果
Figure 454781DEST_PATH_IMAGE019
为奇异矩阵，则进行规范化操作令
Figure 314152DEST_PATH_IMAGE057
，为很小的标量，例如0.01。
5.1．根据基函数
Figure 922988DEST_PATH_IMAGE059
中的基向量之间是正交性，假设已确定前
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE060
正交向量
Figure 657332DEST_PATH_IMAGE061
，第
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE062
个正交向量
Figure 730331DEST_PATH_IMAGE063
可以通过求解下面的约束条件下的最小化目标函数：
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE064
           (7)
为了排除尺度因子的影响，增加约束条件
Figure DEST_PATH_IMAGE065
。利用拉格朗日乘数法，构造辅助函数，对
Figure 698287DEST_PATH_IMAGE063
求偏导并利用已知进行运算，得到
           (8)
其中
Figure 856736DEST_PATH_IMAGE067
，
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE068
。
5.2．显然根据
Figure 365077DEST_PATH_IMAGE069
正是需要最小化的目标函数，而
Figure 495844DEST_PATH_IMAGE063
为式（8）的最小非零特征值对应的特征向量。标记，
Figure 198483DEST_PATH_IMAGE063
为的最小特征值对应的特征向量。将得到的第
Figure 93944DEST_PATH_IMAGE062
个正交向量
Figure 79218DEST_PATH_IMAGE063
进行归一化
Figure 2013101723376100002DEST_PATH_IMAGE072
                                          (9)
5.3．重复步骤5.1和5.2更新
Figure 451293DEST_PATH_IMAGE062
由2到之后结束循环，即计算得到个正交的基向量组成基函数
Figure 477521DEST_PATH_IMAGE014
结束循环运算。
Figure 958181DEST_PATH_IMAGE014
的维数为，其每个列向量之间是正交的，因此能够实现HRTF张量第k模式下的低维嵌入，并且能够由基函数和低维特征张量重构出HRTF原始高维的数据。
6．利用步骤5求解出的基函数
Figure 817333DEST_PATH_IMAGE014
，再代入到步骤5中，且基函数
Figure 674431DEST_PATH_IMAGE014
作为已知条件重复步骤5，此时
Figure 368717DEST_PATH_IMAGE010
更新为求解基函数
Figure 127912DEST_PATH_IMAGE028
；
7．预先设定一个阈值
Figure 523121DEST_PATH_IMAGE029
。将步骤6得到的基函数
Figure DEST_PATH_IMAGE075
标记为
Figure 196548DEST_PATH_IMAGE031
，重复步骤5得到，使得两者之间欧氏距离小于阈值
Figure 551623DEST_PATH_IMAGE029
结束循环，否则一直重复步骤5和步骤6。
8．根据上述过程求得的嵌入矩阵对测试的新样本进行特征提取，得到的测试样本映射到低维空间的特征张量
Figure DEST_PATH_IMAGE076
                              (10)
其维数为。由于基函数向量的正交性，较好的保持了原本高维数据中蕴藏的局部流形结构，并且可以由低维特征张量和基函数重构回头相关传输函数原始高维空间的数据。

Claims (1)

1. 一种基于正交张量近邻保持嵌入的头相关传输函数降维方法，其特征在于包括如下具体步骤：
1） 针对头相关传输函数的训练样本构建近邻图，近邻图的点是由样本集构成，按照k-近邻的方法选择近邻点；
2） 利用近邻图计算权重矩阵，头相关传输函数训练样本集中的每一点都可以通过它的k近邻点的线性组合进行重建；通过求解约束条件下的最小化目标函数：
Figure 2013101723376100001DEST_PATH_IMAGE002
                        
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE004
代表权值矩阵，则
Figure DEST_PATH_IMAGE006
为第近邻图
Figure DEST_PATH_IMAGE008
中第个HRTF样本到第
Figure DEST_PATH_IMAGE014
个HRTF样本
Figure DEST_PATH_IMAGE016
 的权值。如果第第
Figure 489544DEST_PATH_IMAGE014
个样本不属于第
Figure 406685DEST_PATH_IMAGE010
个样本的K近邻时，
Figure 186422DEST_PATH_IMAGE006
为0；
3） 根据头相关传输函数训练样本数据集的阶数
Figure DEST_PATH_IMAGE018
，以及在第
Figure DEST_PATH_IMAGE020
模式下的维数
Figure DEST_PATH_IMAGE022
，确定基函数的个数为
Figure 519314DEST_PATH_IMAGE018
和第
Figure 288948DEST_PATH_IMAGE020
个基函数的维数为
Figure DEST_PATH_IMAGE024
，
Figure DEST_PATH_IMAGE026
个基函数标记为
Figure DEST_PATH_IMAGE028
； 
4） 假设第
Figure DEST_PATH_IMAGE030
个基函数
Figure DEST_PATH_IMAGE032
未知，其余基函数已知并初始化为相应维数的单位矩阵，保证基函数中基向量间的正交性，利用初始化的已知基函数来求解未知的基函数
Figure DEST_PATH_IMAGE034
；
5） 利用步骤4）中的已知初始化基函数对头相关传输函数训练样本集进行低维嵌入，得到每个样本的低维特征张量，由
Figure DEST_PATH_IMAGE038
个样本的
Figure DEST_PATH_IMAGE040
得到矩阵，再结合权重矩阵计算得到矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE044
；基函数中每个列向量是正交的，但是其第一个列向量
Figure DEST_PATH_IMAGE048
是不受限制的；利用特征分解求解出即
Figure DEST_PATH_IMAGE052
的最小特征值对应的特征向量；再将其余
Figure DEST_PATH_IMAGE054
个列向量与已求解出的向量的正交关系，利用拉格朗日乘数法将正交条件加入到目标函数中逐一求解出
Figure DEST_PATH_IMAGE056
中剩余的
Figure DEST_PATH_IMAGE058
个列向量； 
6） 利用步骤5）求解出的基函数
Figure DEST_PATH_IMAGE060
满足预先设定条件之后，再代入到步骤5）中，此时更新为
Figure DEST_PATH_IMAGE062
且基函数
Figure DEST_PATH_IMAGE064
作为已知条件重复步骤5），求解基函数
Figure DEST_PATH_IMAGE066
；
7） 预先设定一个阈值
Figure DEST_PATH_IMAGE068
，将步骤6）得到的基函数
Figure DEST_PATH_IMAGE070
标记为
Figure DEST_PATH_IMAGE072
，重复步骤5）得到
Figure DEST_PATH_IMAGE074
，使得两者之间欧氏距离小于阈值
Figure 942225DEST_PATH_IMAGE068
结束循环，否则一直重复步骤5）和步骤6）；
8） 对于新的头相关传输函数测试样本可以利用获得的基函数将其嵌入到低维子空间去，由于基函数的正交性，较好的保持了原本高维数据中蕴藏的局部流形结构。
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