CN103276686B - 一种梯级水库下游设计洪水的推求方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于水库防洪安全设计领域，涉及一种梯级水库下游设计洪水的推求方法，按以下步骤进行：采用Copula函数构造水库断面洪量和区间洪量的多维联合分布，推导条件概率函数的显式表达式，并对条件概率的频率曲线进行离散，根据概率组合离散求和的原理，推求经梯级水库调洪后下游断面年最大洪峰流量的设计值及对应概率。本发明可以克服常规梯级水库设计洪水推求技术的不足，为流域梯级规划和开发提供更全面的参考信息。

Description

一种梯级水库下游设计洪水的推求方法

技术领域

本发明属于水库防洪安全设计领域，涉及一种梯级水库下游设计洪水的推求方法。

背景技术

设计洪水是指水利水电工程规划、设计、施工中所指定的各种设计标准的洪水。因此，对设计洪水计算的要求是和工程设计及建设相伴生的。新中国成立后，20世纪50年代中后期以来，我国开始大规模开发水利水电工程，与之相应，有关科研院所及水电设计院等开展了大规模的水利水电工程设计洪水计算方法研究及应用。同时为了保证设计洪水计算成果的可靠性，自20世纪60年代以来，开始逐步走上规范化的道路；自70年代至今，已经颁布实施了三版《水利水电工程设计洪水计算规范》。到目前，经过六十余年来的实践和研究，我国设计洪水计算已经形成了一套较为规范和完善的体系，为我国水利水电开发和建设作出了贡献。对受上游水库影响的设计洪水计算，《规范》提出应开展设计洪水的地区组成分析。对于单个水库的影响，《规范》中规定的方法较为全面，而且可操作性强；但对于梯级水库，特别是三个以上的水库群系统，现行《规范》中规定的方法计算工作量大，实际工作中常只能采用概化处理，既影响了成果的科学合理性，亦影响成果精度。

目前，我国已建成大中小型水库近9万座，特别是随着水资源开发的逐步完善，大部分河流已经或即将形成梯级水库群格局，明显改变了河川径流及洪水的时程分配过程。因此，在新的水利工程兴建、下游防洪系统建设、现有水利工程安全鉴定及防洪标准复核、流域梯级水库群的管理运行等方面，设计洪水计算如何适应这种下垫面条件及河道汇流条件的改变，充分考虑上游水库工程的影响和水库群之间的相互补偿作用等，是当前水电工程规划设计和水库群运行管理实际工作中遇到的难题不可回避的科学问题。

发明内容

本发明的上述技术问题主要是通过下述技术方案得以解决的：

一种梯级水库下游设计洪水的推求方法，其特征在于，基于定义，水库为k个，包括以下步骤：

步骤1，建立水库断面与各区间洪量的联合分布，即自上游向下游构造最上一级水库断面与下游第一个区间洪量的二维联合分布，再与第二个区间洪量构造三维联合分布，直至与第k个区间洪量的k+1维联合分布建立完毕；

步骤2，根据步骤1所构造的联合分布，推求各联合分布所对应的条件概率函数的显式表达式；

步骤3，根据步骤2所得的条件概率函数的显式表达式，绘制条件概率的频率曲线，并离散各分区设计洪量及对应条件概率的频率曲线；

步骤4，根据步骤3中离散的频率曲线所对应的各种设计值状态和概率区间，按照组合概率的原理，推求受梯级水库影响后下游防洪断面洪水的设计值及对应概率。

在上述的一种梯级水库下游设计洪水的推求方法，所述步骤1中，针对最上一级水库断面与下游各区间洪量的联合分布F(x₁,y₁)、F(x₁,y₁,y₂)……F(x₁,y₁,y₂,…,y_k)分别采用多维Copula函数表示：

$F(x_1,y_1)=C_1(u_1,u_2)=\exp \{-[{(-\ln u_1)}^{{\mathrm{\θ}}_1}+{(-\ln u_2)}^{{\mathrm{\θ}}_1}{]}^{{1/\mathrm{\θ}}_1}\}$    式一；

$F(x_1,y_2,y_2)=C_2(u_1,u_2,u_3)=\exp \{-{({[{(-\ln u_1)}^{{\mathrm{\θ}}_2}+{(-\ln u_2)}^{{\mathrm{\θ}}_2}]}^{{\mathrm{\θ}}_1/{\mathrm{\θ}}_2}+{(-\ln u_3)}^{\mathrm{\θ}1})}^{1/{\mathrm{\θ}}_1}\}$    式二；

……

$F(x_1,y_1,...,y_k)=C_k(u_1,u_2,{...u}_{k+1})$

$={\mathrm{\φ}}_1^{[-1]}({\mathrm{\φ}}_1\left(u_{k+1}\right)+{\mathrm{\φ}}_1({\mathrm{\φ}}_2^{[-1]}\left(u_k\right)+...+{\mathrm{\φ}}_k^{[-1]}({\mathrm{\φ}}_k\left(u_2\right)+{\mathrm{\φ}}_k\left(u_1\right))...))$    式三；

   式四；

其中，C₁(u₁,u₂)代表上水库断面洪量X₁和上区间洪量Y₁的二维联合分布函数，C₂(u₁,u₂,u₃)代表上水库断面洪量X₁、上区间洪量Y₁和下区间洪量Y₂的三维联合分布函数；C_k(u₁,u₂,…u_k+1)代表上水库断面洪量X₁与下游各区间洪量Y₁、Y₂、…、Y_k的k+1维联合分布函数； 分别为随机变量X₁、Y₂、…、Y_k的边缘分布；x₁、y₁、y₂、…、y_k分别为随机变量X₁、Y₁、Y₂、…、Y_k的具体取值；为的反函数；θ₁、θ₂、…、θ_k为Copula函数的参数，通过极大似然法估算。

在上述的一种梯级水库下游设计洪水的推求方法，所述步骤2中，推求各联合分布所对应的条件概率函数的显式表达式：

$F_{Y_1|X_1}\left(y_1\right|x_1)=P(Y_1\≤y_1|X_1=x_1)=P(U_2\≤u_2|U=u_1)=\frac{\∂C_1(u_1,u_2)}{\∂u_1}$    式五；

$F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_2\right|y_1,x_1)=P(U_3\≤u_3|U_1=u_1,U_2=u_2)=\frac{{\∂}^2{C}_2(u_1,u_2,u_3)}{{\∂u}_1{\∂u}_2}$    式六；

……

$F_{Y_k|Y_{k-1},...,Y_1,X_1}\left(y_k\right|y_{k-1},...,y_1,x_1)=P(Y_k\≤y_k|X_1=x_1,Y_1=y_1,...,Y_{k-1}=y_{k-1})$

$=P(U_{k+1}\≤u_{k+1}|U_1=u_1,U_2=u_2,...,U_k=u_k)$    式七；

$\frac{{\∂}^k{C}_k(u_1,u_2,...,u_{k+1})}{\∂u_1\∂u_2...{\∂u}_k}$

依据概率分布的性质，给定X₁=x₁时，Y₁≥y₁的条件概率给定X₁=x₁、Y₁=y₁时，Y₂≥y₂的条件概率…，以及给定X₁=x₁、Y₁=y₁、…、Y_k-1=y_k-1时，Y_k≥y_k的条件概率分别表示为：

$P_{y_1|x_1}=P(Y_1\≥y_1|X_1=x_1)=1-F_{Y_1|X_1}\left(y_1\right|x_1)$    式八；

$P_{y_2|y_1,x_1}=P(Y_2\≥y_2|X_1=x_1,Y_1=y_1)=1-F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_2\right|y_1,x_1)$    式九；

……

$P_{y_k|y_{k-1},...,y_1,x_1}=P(Y_k\≤y_k|X_1=x_1,Y_1=y_1,...,Y_{k-1}=y_{k-1})$

$=1-F_{Y_k|Y_{k-1},...,Y_1,X_1}\left(y_k\right|y_{k-1},...,y_1,x_1)$    式十。

在上述的一种梯级水库下游设计洪水的推求方法，所述步骤3中，离散各分区设计洪量及对应条件概率的频率曲线：

将上水库设计洪量X₁、条件概率条件概率…、条件概率的频率曲线离散化，即概化成阶梯状；定义X₁取个状态，取个状态，取个状态，…，取个状态，则组合变量Z的状态 $n_z=n_{x_1}\·n_{y_1}\·n_{y_2}\·...\·n_{y_k};$

X₁、的每一状态都对应一概率区间，设变量X₁第i种状态的取值为x_1,i，Y₁取状态y_1,j的条件概率区间为Y₂取状态y_2,m的条件概率为取状态y_k,l的条件概率为 ${\mathrm{\ΔP}}_{y_{k,l}|y_{k-1,h,...,}{y}_{1,j},x_{1,i}}(i=\mathrm{1,2},...,n_{x_1};j=\mathrm{1,2},...,n_{y_1};m=\mathrm{1,2},...,n_{y_2};...;h=1,$ $2,...,n_{y_{k-1}};l=\mathrm{1,2},...,n_{y_k}),$ Z相应状态对应的概率区间为则根据概率组合的原理，

$P(Z=z_{\mathrm{ijm}...k})=\mathrm{\Δ}{P}_{z,\mathrm{ijm}...k}$

$=P(X_1=x_{1,i})\·P(Y_1=y_{1,j}|X_1=x_{1,i})\·P(Y_2=y_{2,m}|Y_1=y_{1,j}{X}_1=x_{1,i})$

$\·...\·P(Y_k=y_{k,l}|X_1=x_{1,i},Y_1=y_{1,j},Y_2=y_{2,m},...,Y_{k-1}=y_{k-1,h})$

$=\mathrm{\Δ}{P}_{x_{1,i}}\·\mathrm{\Δ}{P}_{y_{1,j}|x_{1,i}}\·\mathrm{\Δ}{P}_{y_{2,m}|y_{1,j},x_{1,i}}\·...\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{k,l}|y_{k-1,h,...,}{y}_{1,j},x_{1,i}}$

$=[F_{X_1}\left(x_{1,i}\right)-F_{X_1}\left(x_{1,i+1}\right)]\·[F_{Y_1|X_1}\left(y_{1,j}\right|x_{1,i})-F_{Y_1|X_1}\left(y_{1,j+1}\right|x_{1,i})]$

$\·[F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_{2,m}\right|y_{1,j},x_{1,i})-F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_{2,m+1}\right|y_{1,j},x_{1,i})]\·...\·$

$[F_{Y_k|Y_{k-1},...,Y_1,X_1}\left(y_{k,l}\right|y_{k-1,h},...,y_{1,j},x_{1,i})-F_{Y_k|Y_{k-1},...,Y_1,X_1}\left(y_{k,l+1}\right|y_{k-1,h},...,y_{1,j},x_{1,j})]$ 式十一。

在上述的一种梯级水库下游设计洪水的推求方法，所述步骤4中，按照组合概率的原理，推求受梯级水库影响后下游防洪断面洪水的设计值及对应概率：

按照各取值状态放大各分区典型洪水过程，统计经梯级水库调洪后最大洪峰流量Q_C的一个数值q_C,_ijm…k，显然q_C,_ijm…k的出现概率等于z_ijm…k的出现概率，即

$P(Q_C=q_{C,\mathrm{ijm}...k})=P(Z=z_{\mathrm{ijm}...k})=\mathrm{\Δ}{P}_{x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{1,j}|x_{1,i}}\·\mathrm{\Δ}{P}_{y_{2,k}|y_{1,j},x_{1,i}}\·...\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{k,l}|y_{k-1,h,...,}{y}_{1,j},x_{1,i}}$ 式十二；

经梯级水库A、B调洪后C断面最大洪峰流量等于或大于某一指定流量q_S的概率为

$P(Q_C\≥q_S)=P(q_{C,\mathrm{ijm}...k}\≥q_S)=\underset{q_{C,\mathrm{ijm}...k}\≥q_S}{\mathrm{\Σ\Σ\Σ}}{\mathrm{\ΔP}}_{x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{1,j}|x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,k}|y_{1,j},x_{1,i}}\·...\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{k,l}|y_{k-1,h,...,}{y}_{1,j},x_{1,i}}$ 式十三。

因此，本发明具有如下优点：1.通过Copula函数构造各分区洪水的联合分布，可充分考虑各分区洪水之间的内在相关性和组成的随机性；2.可以考虑洪水的所有地区组成及其相应的发生概率，能较好反映水库对不同频率洪水的调洪效应；3.不必简化调洪函数，可适应具有复杂调洪规则的水库及水库群。

附图说明

图1是本发明的流程图。

图2是梯级水库简化示意图。

图3是上水库A断面洪量X₁的频率曲线及其离散化示意图。其中，变量X₁取第i种状态x_1,i时对应的概率区间为

图4是上区间D₁断面洪量Y₁在X₁=x_1,i时的条件概率曲线及其离散化示意图。其中，X₁=x_1,i时，Y₁=y_1,j的条件概率区间为 ${\mathrm{\ΔP}}_{y_{1,j}|x_{1,i}}=F_{Y_1|X_1}\left(y_{1,j}\right|x_{1,i})-F_{Y_1|X_1}\left(y_{1,j+1}\right|x_{1,i}).$

图5是下区间D₂断面洪量Y₂在X₁=x_1,i、Y₁=y_1,j时的条件概率曲线及其离散化示意图。其中，X₁=x_1,i，Y₁=y_1,j时，Y₂=y_2,k的条件概率区间为 ${\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,k}|y_{1,j},x_{1,i}}=F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_{2,k}\right|y_{1,j},x_{1,i})-F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_{2,k+1}\right|y_{1,j},x_{1,i}).$

图6是梯级水库下游防洪断面洪峰频率曲线比较图。其中，实线为下游断面天然情况下的洪峰频率曲线，虚线为受梯级水库调蓄影响后的频率曲线。

具体实施方式

下面通过实施例，并结合附图，对本发明的技术方案作进一步具体的说明。

实施例：

本实施例提供一种推求梯级水库下游设计洪水的方法，在考虑各分区洪量之间相关性的基础上，利用Copula函数构建了各分区洪量的多维联合分布，推求了条件概率函数的显式表达式，并基于对条件概率曲线的离散推求了受梯级水库影响后下游防洪断面的设计洪水，图1是本实施例的计算流程图，按照以下步骤进行：

1.建立水库断面与各区间洪量的联合分布。

由上、下两个水库组成的梯级水库是最常见的，具有一定的代表性，因为多级水库可以看成是两级水库的各种组合。因此，本实施例主要针对两级串联水库下游设计洪水的推求方法进行展开描述。

如图2所示，A、B分别为梯级中的上、下水库，C为下游防洪设计断面，D₁、D₂分别代表上区间和下区间。X₁、Y₁分别表示上水库和上区间的洪量，X₂、Y₂分别表示下水库和下区间的洪量，Z表示下游防洪断面洪量。由水量平衡原理知：

X₂=X₁+Y₁   (1)

Z=X₂+Y₂   (2)

水库断面和各区间洪量均采用P-Ⅲ型分布拟合，其边缘分布函数分别采用 和F_Z(z)来表示。

首先，采用二维Gumbel-Hougaard Copula建立上水库断面和上区间洪量的二维联合分布F(x₁,y₁)，表达式如下：

C₁(u,v)=exp{-[(-lnu)^θ+(-lnv)^θ]^1/θ}   (3)其中，C₁(u,v)代表联合概率分布函数， 分别为随机变量X₁和Y₁的边缘分布，θ为Copula函数的参数，可以通过Kendall秩相关系数求得。

然后，通过三维非对称Gumbel-Hougaard Copula函数构建上水库断面洪量X₁、上区间洪量Y₁和下区间洪量Y₂的三维联合分布F(x₁,y₁,y₂)，表达式为：

$C_2(u,v,w)=\exp \{-{({[{(-\ln u)}^{{\mathrm{\θ}}_2}+{(-\ln v)}^{{\mathrm{\θ}}_2}]}^{{\mathrm{\θ}}_1/{\mathrm{\θ}}_2}+{(-\ln w)}^{\mathrm{\θ}1})}^{1/{\mathrm{\θ}}_1}\},{\mathrm{\θ}}_2>{\mathrm{\θ}}_1\≥1---\left(4\right)$

其中，C₂(u,v,w)代表联合概率分布函数， 分别为随机变量X₁、Y₁和Y₂的边缘分布，θ₁和θ₂为Copula函数的参数，可以通过极大似然法求得。

2.推求条件概率函数的显式表达式。

通过Copula函数，构造了联合分布F(x₁,y₁)和F(x₁,y₁,y₂)后，即可推求Y₁倚X₁的条件概率以及Y₂倚X₁、Y₁的条件概率

（1）借助Copula函数，当给定X₁=x₁，Y₁≤y₁的条件概率函数可表示为

$F_{Y_1|X_1}\left(y_1\right|x_1)=P(V\≤v|U=u)=\frac{\∂C_1(u,v)}{\∂u}---\left(5\right)$

上式即为二维联合概率函数（式（3））对u求偏导的结果。依据概率分布的性质，当给定X₁=x₁时，Y₁≥y₁的条件概率为：

$P_{y_1|x_1}=P(Y_1\≥y_1|X_1=x_1)=1-F_{Y_1|X_1}\left(y_1\right|x_1)---\left(6\right)$

（2）借助Copula函数，当给定X₁=x₁、Y₁=y₁时，Y₂≤y₂的条件概率函数可表示为

$F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_2\right|y_1,x_1)=P(W\≤w|U=u,V=v)=\frac{{\∂}^2{C}_2(u,v,w)}{\∂u\∂v}---\left(7\right)$

上式即为三维联合概率函数（式（4））对u、v求二阶偏导的结果。依据概率分布的性质，当给定X₁=x₁、Y₁=y₁时，Y₂≥y₂的条件概率为：

$P_{y_2|y_1,x_1}=P(Y_2\≥y_2|X_1=x_1,Y_1=y_1)=1-F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_2\right|y_1,x_1)---\left(8\right)$

3.离散各分区设计洪量及对应条件概率的频率曲线。

将上水库设计洪量（X₁）、条件概率以及条件概率的频率曲线离散化，即概化成阶梯状（如图3～5所示）。设X₁取个状态，取个状态，取个状态，则组合变量Z的状态

X₁、 的每一状态都对应一概率区间，设变量X₁第i种状态的取值为x_1,i，Y₁取状态y_1,j的条件概率区间为Y₂取状态y_2,k的条件概率为 ${\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,k}|y_{1,j},x_{1,i}}(i=\mathrm{1,2},...,n_{x1};j=\mathrm{1,2},...,n_{y1};k=\mathrm{1,2},...,n_{y.}).$ Z相应状态对应的概率区间为则根据概率组合离散求和的原理，

$P(Z=z_{\mathrm{ijk}})={\mathrm{\ΔP}}_{z,\mathrm{ijk}}$

$=P(X=x_{1,i})\·P(Y=y_{1,j}|X=x_{1,i})\·P(Y=y_{2,k}|Y=y_{1,j}X=x_{1,i})---\left(9\right)$

$=\mathrm{\Δ}{P}_{x,i}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_j|x_i}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,k}|y_{1,j},x_{1,i}}$

式中，z_ijk=x_1,i+y_1,j+y_2,k；则

$P(Z\≥z)=\underset{x_{1,i}+y_{1,j}+y_{2,k}\≥z}{\mathrm{\Σ\Σ\Σ}}{\mathrm{\ΔP}}_{x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{1,j}|x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,k}|y_{1,j},x_{1,i}}---\left(10\right)$

其中，

${\mathrm{\ΔP}}_{x_{1,i}}=[1-F_{X_1}\left(x_{1,i+1}\right)]-[1-F_{X_1}\left(x_{1,i}\right)]=F_{X_1}\left(x_{1,i}\right)-F_{X_1}\left(x_{1,i+1}\right)---\left(11\right)$

${\mathrm{\ΔP}}_{y_{1,i}|x_{1,i}}=[1-F_{Y_1|X_1}\left(y_{1,j+1}\right|x_{1,i})]-[1-F_{Y_1|X_1}\left({y_{1,j}|x}_{1,i}\right)]={F_{Y_1|X_1}\left(y_{1,j}\right|x_{1,i})-F}_{{Y_1|X}_1}\left(y_{1,j+1}\right|x_{1,i})---\left(12\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,k}|y_{1,j},x_{1,i}}=[1-F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_{2,k+1}\right|y_{1,j},x_{1,i})]-[1-F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_{2,k}\right|y_{1,j},x_{1,i})]\\ =[F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_{2,k}\right|y_{1,j},x_{1,i})-F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_{2,k+1}\right|y_{1,j},x_{1,i})]\end{array}---\left(13\right)$

4.推求梯级水库下游防洪断面的设计洪水。

选择一个典型洪水过程线，对Z的每一个取值z_ijk，都按照x_1,i、y_1,j及y_2,k控制缩放上水库A断面、上区间D₁及下区间D₂断面的洪水过程线。将A断面过程线经调洪后得到的下泄流量过程线，与上区间D₁的洪水过程线组合，得到B断面的入库洪水过程，经下水库调洪后得到下泄流量过程线，再与下区间D₂的洪水过程线组合，就得到下游防洪设计断面C的过程线，从中统计出C断面受梯级水库调洪后最大洪峰流量Q_C的一个数值q_C,ijk。显然q_C,ijk的出现概率等于z_ijk的出现概率，即

$P(Q_C=q_{C,\mathrm{ijk}})=P(Z=z_{\mathrm{ijk}})={\mathrm{\ΔP}}_{x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{1,j}{|x}_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,k}{|y}_{1,j},x_{1,i}}---\left(27\right)$

经梯级水库A、B调洪后C断面最大洪峰流量等于或大于某一指定流量q_S的概率即为

$P(Q_C=q_{C,\mathrm{ijk}})=P(Z=z_{\mathrm{ijk}})={\mathrm{\ΔP}}_{x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{1,j}|x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,k}|y_{1,j},x_{1,i}}---\left(27\right)$

根据上式即可求得C断面受上游梯级水库调洪影响后年最大洪峰流量Q_C的频率曲线（如图6所示），从中可查出不同频率所对应的洪峰设计值。

对于两个以上的梯级水库，本发明同样适用，只是组合变量的个数增加了，基本方法与两个水库的梯级情况是一样的。可采取自上游向下游构造三个变量的联合分布后，再与第四个变量构造联合分布……。只是每增加一个水库，即需要多构造一个联合分布，且全部组合状态将方次增加。例如有k个水库，每一组合变量离散后的状态均取n，则全部组合状态有n^k+1个。

本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。

Claims (2)

1.一种梯级水库下游设计洪水的推求方法，其特征在于，基于定义，水库为k个，包括以下步骤：

步骤1，建立水库断面与各区间洪量的联合分布，即自上游向下游构造最上一级水库断面与下游第一个区间洪量的二维联合分布，再与第二个区间洪量构造三维联合分布，直至与第k个区间洪量的k+1维联合分布建立完毕；

步骤2，根据步骤1所构造的联合分布，推求各联合分布所对应的条件概率函数的显式表达式；

步骤3，根据步骤2所得的条件概率函数的显式表达式，绘制条件概率的频率曲线，并离散各分区设计洪量及对应条件概率的频率曲线；

步骤4，根据步骤3中离散的频率曲线所对应的各种设计值状态和概率区间，按照组合概率的原理，推求受梯级水库影响后下游防洪断面洪水的设计值及对应概率；

所述步骤1中，针对最上一级水库断面与下游各区间洪量的联合分布F(x₁,y₁)、F(x₁,y₁,y₂)……F(x₁,y₁,y₂,…,y_k)分别采用多维Copula函数表示：

$F(x_1,y_1)=C_1(u_1,u_2)=\exp \{-{[{(-\ln u_1)}^{{\mathrm{\θ}}_1}+{(-\ln u_2)}^{{\mathrm{\θ}}_1}]}^{1/{\mathrm{\θ}}_1}\}$    式一；

$F(x_1,y_1,y_2)=C_2(u_1,u_2,u_3)=\exp \{-{({[{(-\ln u_1)}^{{\mathrm{\θ}}_2}+{(-\ln u_2)}^{{\mathrm{\θ}}_2}]}^{{\mathrm{\θ}}_1/{\mathrm{\θ}}_2}+{(-\ln u_3)}^{{\mathrm{\θ}}_1})}^{1/{\mathrm{\θ}}_1}\}$    式二；

……

$\begin{array}{c}F(x_1,y_1,...,y_k)=C_k(u_1,u_2,...u_{k+1})\\ ={\mathrm{\φ}}_1^{[-1]}({\mathrm{\φ}}_1\left(u_{k+1}\right)+{\mathrm{\φ}}_1({\mathrm{\φ}}_2^{[-1]}\left(u_k\right)+...+{\mathrm{\φ}}_k^{[-1]}({\mathrm{\φ}}_k\left(u_2\right)+{\mathrm{\φ}}_k\left(u_1\right))...))\end{array}$    式三；

   式四；

其中，C₁(u₁,u₂)代表上水库断面洪量X₁和上区间洪量Y₁的二维联合分布函数，C₂(u₁,u₂,u₃)代表上水库断面洪量X₁、上区间洪量Y₁和下区间洪量Y2的三维联合分布函数；C_k(u₁,u₂,…u_k+1)代表上水库断面洪量X₁与下游各区间洪量Y₁、Y₂、…、Y_k的k+1维联合分布函数； $u_1=F_{X_1}\left(x_1\right),u_2=F_{Y_1}\left(y_1\right),...,u_{k+1}=F_{Y_k}\left(y_k\right)$ 分别为随机变量X₁、Y₂、…、Y_k的边缘分布；x₁、y₁、y₂、…、y_k分别为随机变量X₁、Y₁、Y₂、…、Y_k的具体取值；为的反函数；θ₁、θ₂、…、θ_k为Copula函数的参数，通过极大似然法估算；

所述步骤2中，推求各联合分布所对应的条件概率函数的显式表达式：

$F_{Y_1|X_1}\left(y_1\right|x_1)=P(Y_1\≤y_1|X_1=x_1)=P(U_2\≤u_2|U=u_1)=\frac{{\∂C}_1(u_1,u_2)}{{\∂u}_1}$    式五；

$F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_2\right|y_1,x_1)=P(U_3\≤u_3|U_1=u_1,U_2=u_2)=\frac{{{\∂}^{2}C}_2(u_1,u_2,u_3)}{{\∂u}_1{\∂u}_2}$    式六；

……

$\begin{array}{c}{F}_{Y_k|Y_{k-1},...,Y_1,X_1}\left(y_k\right|y_{k-1},...,y_1,x_1)=P(Y_k\≤y_k|X_1=x_1,Y_1=y_1,...,Y_{k-1}=y_{k-1})\\ =P(U_{k+1}\≤u_{k+1}|U_1=u_1,U_2=u_2,...,U_k=u_k)\\ =\frac{{\∂}^k{C}_k(u_1,u_2,...,u_{k+1})}{{\∂u}_1{\∂u}_2...{\∂u}_k}\end{array}$    式七；

依据概率分布的性质，给定X₁＝x₁时，Y₁≥y₁的条件概率给定X₁＝x₁、Y₁＝y₁时，Y₂≥y₂的条件概率…，以及给定X₁＝x₁、Y₁＝y₁、…、Y_k-1＝y_k-1时，Y_k≥y_k的条件概率分别表示为：

$P_{y_1|x_1}=P(Y_1\≥y_1|X_1=x_1)=1-F_{Y_1|X_1}\left(y_1\right|x_1)$    式八；

式九；

……

$\begin{array}{c}{P}_{y_k|y_{k-1},...,y_1,x_1}=P(Y_k\≤y_k|X_1=x_1,Y_1=y_1,...,Y_{k-1}=y_{k-1})\\ =1-F_{Y_k|Y_{k-1},...,Y_1,X_1}\left(y_k\right|y_{k-1},...,y_1,x_1)\end{array}$    式十；

所述步骤3中，离散各分区设计洪量及对应条件概率的频率曲线：

将上水库设计洪量X₁、条件概率条件概率…、条件概率的频率曲线离散化，即概化成阶梯状；定义X₁取个状态，取个状态，取个状态，…，取个状态，则组合变量Z的状态

X₁、的每一状态都对应一概率区间，设变量X₁第i种状态的取值为x_1,i，Y₁取状态y_1,j的条件概率区间为Y₂取状态y_2,m的条件概率为取状态y_k,l的条件概率为 Z相应状态对应的概率区间为则根据概率组合的原理，

$\begin{array}{c}P(Z=z_{\mathrm{ijm}...k})={\mathrm{\ΔP}}_{z,\mathrm{ijm}...k}\\ =P(X_1=x_{1,i})\·P(Y_1=y_{1,j}|X_1=x_{1,i})\·P(Y_2=y_{2,m}|Y_1=y_{1,j}{X}_1=x_{1,i})\\ \·...\·P(Y_k=y_{k,l}|X_1=x_{1,i},Y_1=y_{1,j},Y_2=y_{2,m},...,Y_{k-1}=y_{k-1,h})\\ ={\mathrm{\ΔP}}_{x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{1,j}|x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,m}|y_{1,j},x_{1,i}}\·...\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{k,l}|y_{k-1,h,...,}{y}_{1,j},x_{1,i}}\\ =[F_{X_1}\left(x_{1,i}\right)-F_{X_1}\left(x_{1,i+1}\right)]\·[F_{Y{1}_{}|X_1}\left(y_{1,j}\right|x_{1,i})-F_{Y_1|X_1}\left(y_{1,j+1}\right|x_{1.i})]\\ \·[F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_{2,m}\right|y_{1,j},x_{1,i})-F_{Y_2|Y_1,X_1}\left(y_{2,m+1}\right|y_{1,j},x_{1,i})]\·...\·\\ [F_{Y_k|Y_{k-1},...,Y_1,X_1}\left(y_{k,l}\right|y_{k-1,h},...,y_{1,j},x_{1,i})-F_{Y_k|Y_{k-1},...,Y_1,X_1}\left(y_{k,l+1}\right|y_{k-1,h},...,y_{1,j},x_{1,i})]\end{array}$    式十一。

2.根据权利要求1所述的一种梯级水库下游设计洪水的推求方法，其特征在于：所述步骤4中，按照组合概率的原理，推求受梯级水库影响后下游防洪断面洪水的设计值及对应概率：

按照各取值状态放大各分区典型洪水过程，统计经梯级水库调洪后最大洪峰流量Q_C的一个数值q_C,ijm…k，显然q_C,ijm…k的出现概率等于z_ijm…k的出现概率，即

$P(Q_C=q_{C,\mathrm{ijm}...k})=P(Z=z_{\mathrm{ijm}...k})={\mathrm{\ΔP}}_{x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{1,j}|x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,k}|y_{1,j},x_{1,i}}\·...\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{k,l}|y_{k-1,h,...,}{y}_{1,j},x_{1.i}}$    式十二；

经梯级水库A、B调洪后C断面最大洪峰流量等于或大于某一指定流量q_S的概率为

$P(Q_C\≥q_S)=P(q_{C,\mathrm{ijm}...k}\≥q_S)=\underset{q_{C,\mathrm{ijm}...k}\≥q_S}{\mathrm{\Σ\Σ\Σ}}{\mathrm{\ΔP}}_{x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{1,j}|x_{1,i}}\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{2,k}|y_{1,j},x_{1,i}}\·...\·{\mathrm{\ΔP}}_{y_{k.l}|y_{k-1,h,...,}{y}_{1,j},x_{1,i}}$    式十三。