CN103245437B - 一种确定非线性薄膜应力的系统与方法 - Google Patents

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Abstract

一种确定非线性薄膜应力的系统与方法，本发明将薄膜材料作为多层板壳结构进行力学建模，以定义在多层板壳结构中面上的挠度、横截面转角、中面内位移或曲率变化，以及非线性的几何关系描述薄膜材料的变形。采用形状测量设备测量因薄膜应力引起的薄膜材料变形，并将该变形表示成为薄膜材料的挠度、横截面转角、中面内位移或曲率变化。采用多层板壳结构有限元对检测对象的几何模型进行离散，以直接测量或间接插值的方式给出全部或部分有限元节点自由度的测量值，建立这些节点处薄膜应力产生的变形与测量给出的变形之间的最小二乘拟合条件，通过非线性迭代计算，反求出薄膜应力。对属于薄膜应力一部分的薄膜温度错配应力，在给定温度变化的情况下，同时计算考虑了基体变形的薄膜材料非线性温度错配应力。

Description

一种确定非线性薄膜应力的系统与方法
技术领域
本发明属于集成电路和微机电系统（MEMS）制造过程中使用的测量技术，该技术用于测量薄膜材料中的薄膜应力。
背景技术
薄膜材料被广泛用于制造集成电路和微机电系统（MEMS）。在基体表面采用化学沉积（CVD）和物理沉积（PVD）等技术形成具有特定性质和功能的薄膜材料后，采用掩模，光刻和腐蚀等微加工工艺可将薄膜材料加工成为集成电路和微结构。由于薄膜形成过程中产生的晶体缺陷和薄膜材料与基体材料热膨胀系数之间的差异，导致不可避免地在薄膜材料中出现不可忽视的应力。薄膜应力可引起薄膜材料的变形、脱层和开裂，也可使得由薄膜材料制造的器件发生力学性能的改变，甚至失效。薄膜材料应力的精确测量是设计能够对其进行有效控制的工艺过程的重要依据。
薄膜应力测量的方法可分为直接和间接两类方法。直接方法包括像采用X-射线散射仪和微拉曼光谱仪等通过测量微观晶格弹性变形来确定薄膜内应力的方法。这类方法成本很高，也不便于在生产过程采用。间接方法则是通过测量试样变形（位移和曲率变化等）来确定薄膜应力。比如在微机电系统领域，对环结构、金刚石结构和指针旋转结构测量其在特殊点处的平面位移，对两端固支梁列阵和悬臂梁测量其特殊点的离面位移等。这些模型的主要缺陷是只能用于确定特定结构的薄膜应力。在半导体集成电路制造领域使用最为普遍的是基体弯曲法。该方法采用光学干涉仪或表面轮廓仪测量晶片变形前后曲率或角度的改变，然后通过如下 公式计算薄膜中的应力
（1）
其中， 为薄膜应力； 和 分别为基体和薄膜厚度； 和 分别为基体的弹性模量和泊松比； 为薄膜应力引起的基体曲率变化（假设初始曲率为0）。虽然该方法简单实用也无需薄膜的材料参数，但是该解析计算公式主要适用于圆形薄板各向同性和均匀分布的平面薄膜应力状态的情况。该方法在非均匀薄膜应力、材料各向异性以及几何非线性领域也做了一定的扩展，但是其解析方法固有的限制使其对一般几何形状和应力状态下薄膜应力的测量仍然难以成为一种有效的方法。
有限元方法是一种适合分析一般几何形状、复杂载荷条件和不同材料构成等情况下相关力学问题的数值方法。采用有限元法确定薄膜应力的方法可分为直接法和间接法两种。直接法是在已知薄膜温度应变或薄膜和基体间非协调的本征应变的情况下，将这些应变变换为等效的载荷用来计算薄膜应力。这种方法的主要障碍是在通常情况下难于获取这些应变的值。间接法则采用试件因薄膜应力产生的变形来反求薄膜应力。在间接法中，一种处理方法是将基体和薄膜分别进行有限元建模，将测量的变形转化为节点位移，由有限元方程得出节点载荷，再由节点载荷计算薄膜应力。虽然这种处理方法避免了使用非协调应变的问题，但是仍然存在如下的明显缺陷：（1）测量全部节点运动学变量一般是无法实现的，除边界上的节点外，内部节点是不可测的，只能靠插值获得；（2）对转角等自由度的测量难于保证获得足够的精度；（3）没有考虑基体与薄膜之间变形的协调条件；（4）计算需要利用薄膜的材料参数；和（5）没有考虑修正外力（如自重）对测量变形的影响等。
间接法的另外一种处理方法则是将薄膜材料作为多层板结构进行力学建模，采用板结构基本假设将基体和薄膜内的位移统一表示成为定义在中面上的挠度和横截面转角的函数，建立薄膜材料多层板结构的有限元模型，通过薄膜材料多层板结构的有限元模型给出的变形与测量变形之间的最小二乘拟合条件来确定薄膜应力。第二种处理方法避免了第一种处理方法的上述不足。但是，第二种处理方法目前采用的是线性多层板理论，仅当薄膜变形的挠度远小于薄膜厚度时才能正确反应薄膜应力与薄膜变形之间的基本关系。对具有较高薄膜厚度基体厚度比、高展向尺寸厚度比和高薄膜应力的薄膜材料，其变形可进入非线性范围，线性模型将明显低估反求出的薄膜应力。而非线性范围的薄膜应力对正确预测薄膜材料的翘曲、鼓包和脱层等现象具有重要意义。
薄膜材料与基体材料热膨胀系数的不同导致薄膜材料在制作和使用过程中因温度变化而产生出属于薄膜应力一部分的温度错配应力。当薄膜很薄而基体可以认为刚性的情况下，薄膜的各向同性温度错配应力由下式给出
； （2）
其中，、、 和 为薄膜温度错配应力， 和 分别为薄膜材料的杨氏模量和泊松比，为基体材料与薄膜材料热膨胀系数差， 为薄膜材料所经历的温度变化。当薄膜较厚或基体刚性较弱时，该式给出过大的薄膜应力。对一般结构条件下基体可变形情况下的薄膜材料温度错配应力分析，当前采用的都是基于三维有限元模型的方法。由于薄膜相对基体通常非常薄，为了保证单元的数值性能薄膜层的单元必须选取的非常小，受薄膜单元的影响基体也要做很小单元的剖分，因此分析效率不高。
发明内容
本发明是针对微电子和微机电系统（MEMS）制造过程中需要确定薄膜材料的薄膜应力的要求为克服上述现有技术中的缺点和不足而提出的一种的测试方法和一套相应的测量系统。
测试系统包括：测量台 1、形状测量设备 2、计算与控制设备 3、以及设备之间的数据连接和交换设备 5、6 和 7。用户 4 通过上述设备的人机交互界面 8、9 和 10 对设备进行操作（见 ）。测量台 1 提供的被测薄膜材料的安装条件，使其至少在自身重力作用下至少成为静定结构。形状测量设备 2 为能够测量测量台上试件形状的测量仪，它可以是光学干涉仪、表面轮廓仪或激光形貌扫描仪，由它通过测量通路 5 采集安装在测量台上被测试件的形状数据。由计算机构成的计算与控制设备 3 通过连接装置 6 和 7 分别与测量仪器 2 和测量台 1 相连接，执行本发明的方法中所需的全部数据交换、计算和处理功能。计算机构成的计算与控制设备 3 通过输入设备或介质获得薄膜材料分析所需的材料特性、计算控制和包括温度在内的载荷参数。
测试方法包括：方法流程图（）概括给出的各操作步骤、计算内容和计算过程。下面是结合流程图对各模块及其相互之间关系的说明。
（1）测试件在测量台上的安装 13 ：根据测试件的尺寸和测量条件，在选择一个合适的方式安装测试件（）。所述测试件可以是原始基体材料、分层成膜后的薄膜材料、分层除膜后的薄膜材料或除膜后的基体材料。
（2）测量数据的采集与处理 14 ：通过形状测量设备采集安装在测量台上的测试件指定点处的形状数据，将形状数据转换成轮廓数据，对比成膜或除膜前后基体材料或薄膜材料的轮廓数据，得出由挠度 、横截面转角 、中面内位移 或曲率扭率变化 表示的薄膜材料变形数据（）。
（3）薄膜材料结构的有限元离散 15 ：用三角形或四边形多层板或多层壳单元对薄膜材料几何模型进行离散。
（4）确定处理问题的类型 16 ：选择执行薄膜应力或薄膜温度错配应力的识别和计算。
（5）测量数据向有限元节点的转换 17 ：若执行薄膜应力的识别和计算，将测量得到的薄膜材料变形转换为由挠度、横截面转角、中面内位移或曲率扭率变化表示的有限元节点自由度，建立由全部或部分有限元节点自由度测量值组成的矢量矩阵 ，为此有两种途径：一是将测量点的值插值到有限元节点上，二是选择有限元节点的位置直接进行测量。
（6）有限元节点测量值的修正 18、19、20、21、22 ：当外力（比如重力）对薄膜变形测量结果的影响不能忽略时，用标准有限元方法计算这些非薄膜应力载荷在与测量状态等同的条件下产生的变形，得到有限元节点自由度修正量的矢量矩阵 。在测量得到的有限元节点自由度的测量值 中消除有限元节点自由度的修正量 ，得到修正了外力影响的由测量给出的变形节点自由度 。当 的分析采用和步骤（3）完全相同的有限元网格时，本步骤节点自由度数据的处理是简单的。
（7）薄膜材料结构有限元模型的建立 24 ：对薄膜应力的识别和计算问题，在没有外力而仅有薄膜应力单独作用的条件下，建立薄膜材料在以薄膜应力作为内力处于自平衡状态的薄膜材料虚功方程
（3）
其中，和取值{1,2}（除非另行说明，以下相同）；和取值{1,2,3}，在直角坐标系中{1,2,3}对应于{x,y,z}（除非另行说明，以下相同）；和分别为基体的体积和薄膜的体积；、、和分别为基体应力、基体应变、薄膜应力和薄膜应变。在有层膜的多层薄膜的情况下，取其中，和分别为第层膜的体积和薄膜的层数；同时，和在各层膜中分别取为各层膜的薄膜应力和各层膜的薄膜应变。
基体应力 通过基体材料的本构关系表示成为基体应变 的函数。非用以限定本发明的申请范围，以各向同性线弹性材料为例，基体的应力弹性应变关系可取为
（4）
其中， 和 分别为基体材料的弹性模量和泊松比。
基体的应变分量 和薄膜的应变分量 在相同的运动学假设下通过相同的非线性应变位移几何关系表示成为薄膜材料的挠度 、横截面转角 和中面内位移 的函数，即 和 。非用以限定本发明的申请范围，以大挠度问题为例，基体和薄膜的面内非线性应变位移几何关系都取为如下相同的形式
（5）
其中， 为基体或薄膜的面内应变； 为薄膜材料中面上法线方向的坐标。而基体横向应变位移几何关系则取为
（6）
在薄板的情况下，或通过基体横向应变 为零的 Kirchhoff-Love 假设令（6）式为恒等式，由 和 将（5）式中的 表示成为 的函数后有如下薄板的非线性几何关系
(7)
或利用薄膜材料的曲率扭率变化与挠度和横截面转角的关系 、 和 ，将薄板的非线性几何关系（7）取做
（8）
此时，可以在薄膜材料变形的测量或薄膜应力的计算中使用薄膜材料变形前后的曲率和扭率变化。采用基于以上所述各种几何关系得到的基体应变和薄膜应变能够满足基体与薄膜之间和多层膜情况下的薄膜与薄膜之间在界面处的变形协调条件。
在有 层膜的多层薄膜的情况下，第 层与第 层的界面处有应变连续条件
（9）
通过各层薄膜的本构关系 ，应变连续条件可以表示成为如下应力的形式
（10）
由此可以得到具有传递性的相邻层薄膜应力的关联条件
（11）
非用以限定本发明的申请范围，以各向同性线弹性材料为例，第 层薄膜材料的应力弹性应变关系为
（12）
其中， 和 分别为第 层薄膜材料的杨氏模量和泊松比；此时，第 层与第 层本征应变相同时的相邻层薄膜应力的关联条件为
（13）
（14）
选定一个主薄膜层，通过所述关联条件（11）的传递性质将各层薄膜应力都表达成为主薄膜层薄膜应力的函数。通过将各层薄膜应力表达成为主薄膜层薄膜应力，薄膜材料虚功方程（3）中用于识别过程的薄膜应力为主薄膜层薄膜应力。待识别出主薄膜层薄膜应力后，通过所述具有传递性质的关联条件由主薄膜层薄膜应力计算其他各层的薄膜应力。
将用于识别过程的薄膜材料虚功方程中的基体应力 通过所述基体材料的本构关系表示成为基体应变 函数，然后利用所述非线性应变位移几何关系将基体应变 和薄膜应变 表示成为中面内位移 、挠度 、横截面转角 或曲率扭率变化 的函数，最后采用三角形或四边形多层板或多层壳单元做有限元离散，得到如下基于挠度、横截面转角和中面内位移自由度的非线性薄膜材料有限元方程
（15）
其中， 为由挠度、横截面转角、中面内位移或曲率扭率变化组成的有限元节点自由度矢量矩阵； 为有限元刚度矩阵； 为由用于识别过程的单元薄膜应力 组成的矢量矩阵； 为将定义在单元内或单元节点上的单元薄膜应力转换为节点力的薄膜应力系数矩阵。对单层膜的情况，在薄膜材料有限元模型的建立过程中，仅使用到基体材料的本构关系，这使得本发明的方法在测试单层膜薄膜材料的薄膜应力时不需要使用薄膜的材料参数。
（8）薄膜材料变形反问题的提出 25、26 ：由于 的自由度数一般是小于或等于 的自由度数，不能由方程（15）直接确定薄膜应力。本发明通过采用薄膜应力决定的有限元节点自由度 与测量确定的有限元节点自由度 之间的最小二乘拟合条件来建立由薄膜变形反求薄膜应力的条件，即
（16）
该极值条件给出一个可以迭代计算的薄膜应力方程
（17）
其中，下标和分别表示各量在和步迭代时的取值；为通过薄膜材料非线性有限元方程（15）对薄膜应力求导数并求解后获得的挠度、横截面转角、中面内位移或曲率扭率变化对薄膜应力的灵敏度。
（9）选择解迭代计算薄膜应力方程的方法 27 ：选择求解一般情况下病态方程的方法，比如奇异值分解、迭代规则化方法、或规则化方法等。
（10）规则化函数的确定 28 ：对规则化方法，根据光滑性需要可以选择不同的规则化函数，比如，可将其取为基于薄膜应力一阶导数的 范数
（18）
不受此例限制，本发明允许采用其他不同的光滑化函数进行规则化处理，它们最终都可以归结为如下的矩阵形式
（19）
其中， 为规则化矩阵。由规则化函数的矩阵表达形式（19）确定具体规则化方法的规则化矩阵 。
（11）规则化薄膜应力方程的建立 27 ：由薄膜材料变形反问题的极值条件（16）的规则化可导出如下规则化的薄膜应力方程
（20）
其中， 为规则化系数。
（12）迭代薄膜应力的计算 27 ：采用奇异值分解或迭代规则化方法求解方程（17）或用规则化方法求解方程（20）确定薄膜应力在迭代步 时的薄膜应力 。
（13）薄膜应力的迭代计算 23、24、25、26、27、29、30 ：通过迭代求解薄膜材料非线性有限元方程（15） 和薄膜应力方程（17）或规则化薄膜应力方程（20）计算薄膜应力，其过程为：（i）初始化 、、；（ii）通过建立和求解非线性薄膜材料有限元方程由 计算 ；（iii）通过非线性薄膜材料有限元方程由 计算 ; (iv) 通过薄膜应力方程由和计算；(v)若收敛于，则输出薄膜应力，结束计算，否则 ，重复 (ii)(v) 循环。
（14）非线性薄膜材料温度错配应力有限元方程的建立与求解 31 ：当薄膜和基体材料的热膨胀系数不同，材料经历一个给定的从前期温度 到后期温度 的温度变化 时，结合在一起的基体与薄膜之间具有如下的薄膜材料基体薄膜之间温度错配应变
（21）
（22）
其中， 和 分别为直接附着在基体上的薄膜材料热膨胀系数和基体材料热膨胀系数。考虑基体和薄膜的变形协调，在基体与薄膜结合的界面处建立变形协调条件
（23）
其中， 和 分别为附着在基体上的薄膜温度错配应变和基体温度错配应变。在有 层膜的多层薄膜情况下，对第 层和第 层两个结合在一起的相邻薄膜（），考虑其共同经历一个从前期温度 到后期温度 的温度变化，则在第 层薄膜和第 层薄膜之间的界面处有薄膜间温度错配应变
（24）
（25）
其中， 和 分别为第 层薄膜材料热膨胀系数和第 层薄膜材料热膨胀系数。在第 层薄膜与第 层薄膜结合的界面处建立变形协调条件
（26）
其中， 和 分别为第 层和第 层薄膜中的薄膜温度错配应变。
薄膜材料温度错配应力满足如下虚功方程
（27）
其中，、、 和 分别为基体温度错配应力、基体温度错配应变、薄膜温度错配应力和薄膜温度错配应变。在有层膜的多层薄膜的情况下，取其中，为各层膜的体积；同时，和在各层薄膜中取为各层薄膜的薄膜温度错配应力和各层薄膜的薄膜温度错配应变。
与计算薄膜应力的（4）（8）的处理类似，采用所述基体的应力应变本构关系；采用所述非线性应变位移几何关系和，其中，、和分别为薄膜材料温度错配变形的挠度、横截面转角和中面内位移；在薄板的情况下，或将横截面转角表示成为挠度或曲率扭率变化的形式。温度错配应力虚功方程（27）经有限元离散化处理给出由薄膜温度错配应力 与挠度、横截面转角、中面内位移或曲率扭率变化表示的薄膜材料温度错配变形 共同满足的非线性薄膜材料温度错配应力有限元方程
（28）
其中， 为由挠度、横截面转角、中面内位移或曲率扭率变化组成的有限元节点自由度矢量矩阵； 为非线性有限元刚度矩阵， 为将定义在单元内或单元节点上的单元薄膜温度错配应力转换为节点力的薄膜应力系数矩阵；非线性薄膜材料温度错配应力有限元模型采用三角形或四边形多层板单元或多层壳单元。对（28）式，首先将其中的 通过薄膜的本构关系 表示成为薄膜温度错配应变 的函数，非用以限定本发明的申请范围，以各向同性线弹性材料为例，薄膜的应力弹性应变关系可取为
（29）
其中， 和 分别为薄膜材料的弹性模量和泊松比；其次，将薄膜温度错配应变 通过变形协调关系（23）或（26）表示成为基体的温度错配应变 、薄膜材料基体薄膜间温度错配应变 或多层膜情况下的薄膜间温度错配应变 的函数；最后，所述基体温度错配应变 通过所述非线性应变位移几何关系表示成为薄膜材料温度错配变形 的函数。给定薄膜材料基体薄膜间温度错配应变 或多层膜情况下的薄膜间温度错配应变 ，通过求解所述变换后的非线性薄膜材料温度错配应力有限元方程（28）得到薄膜材料温度错配变形 。
（15）计算薄膜温度错配应力 32、33、34 ：由薄膜材料温度错配变形 通过所述非线性应变位移几何关系计算基体温度错配应变 ；由基体温度错配应变 、薄膜材料基体薄膜间温度错配应变 或多层膜情况下的薄膜间温度错配应变 ，通过变形协调关系（23）或（26）计算薄膜温度错配应变 ；由薄膜温度错配应变 通过薄膜的本构关系计算薄膜温度错配应力 。
（16）计算薄膜本征应力 35 ：当基于温度变化的薄膜温度错配应力的计算和基于变形测量的薄膜应力的计算都参照同一个无应力状态时，由变形测量反求计算得到的薄膜应力减去温度变化计算得到的薄膜温度错配应力给出薄膜材料的本征应力。
这里通过两个数值算例来说明该方法的有效性。
选用的例子为一个薄膜材料细长板梁，其尺寸和材料参数见 。基体（）的初始形状为平面，其上形成连续的钨（W）薄膜后产生均布的大小为 的薄膜应力。
取薄膜材料变形前的形心为坐标原点，以过原点的纵轴线为 、纵向垂直对称面法线为 、中性面法线为 ，根据板的非线性大挠度理论，在均匀薄膜应力 作用下，薄膜材料细长板梁沿长度方向发生自由弯曲变形的挠度为
（30）
其中，、、 和 分别为基体厚度、薄膜厚度、梁的二分之一长度和板的弯曲刚度。
利用公式（30）给出 时的挠度 作为有限元的测量给出的变形节点自由度，采用本发明的非线性数值反求方法计算薄膜应力。 和 分别给出了在所用的有限元网格中表示的计算至收敛时的迭代位移 和反求出的薄膜应力。 给出了采用 方程（1）计算的薄膜应力、线性数值反求方法计算的薄膜应力和本发明的非线性计算方法计算的薄膜应力与原始薄膜应力的对比，可以看出，本发明的方法能够很好地反求出非线性问题中的薄膜应力，而用 方程的方法或线性数值反求的方法所得的结果与正确的结果都有很大偏差，二者都严重低估了薄膜应力并给出不同于精确解的薄膜应力分布。
选用的例子为一个具有双层膜的圆形薄膜材料，其尺寸和材料参数见 。基体（）的初始形状为平面，其上形成均匀和连续的第一层镍（）薄膜和第二层钨（）薄膜。薄膜形成后测得薄膜材料变形的挠度 如 所示。由于该位移最大值与薄膜厚度接近，故属于非线性大挠度问题。
采用 的四边形网格对薄膜材料进行有限元离散。采用本发明对多层膜的处理方法，针对测量给出的挠度以第一层镍（）薄膜作为主薄膜层进行识别，首先得到第一层镍（）薄膜的薄膜应力，其最大主应力的分布情况参见 。利用第二层钨（）薄膜与第一层镍（）薄膜之间的相邻层薄膜应力的关联条件计算第二层钨（）薄膜的薄膜应力，其最大主应力的分布情况参见 。由 和 可以看出：（1）两层薄膜应力的分布具有以致性，都符合薄膜形成的均匀和连续性特点；（2）两层薄膜应力的大小具有合理性，第一层镍（）薄膜刚度较低故其薄膜应力也较低，而第二层钨（）薄膜的刚度较大故其薄膜应力也较大。本算例也表明了本发明在识别的多层膜薄膜应力时所具有的唯一确定性，以及在识别过程中将一个对多层膜的应力识别转化为一个对主薄膜层薄膜应力的识别所具有的计算上的高效率。
除了上述非线性多层膜的薄膜应力预测以外，本发明相对现有方法的优点还体现在：（1）除了可以测量挠度和横截面转角外，还可以通过测量中面内位移来确定薄膜应力，这为采用不同的薄膜材料变形测试技术提供了条件；（2）虽然几何模型和有限元模型含有多个自由度，本方法采用其中的全部或一部分自由度都可以足够精确地确定出薄膜应力，这为选择合适的变形测量带来了方便；（3）在本方法和系统含有对非线性薄膜材料温度错配应力的预测能力，模型中考虑了基体变形对薄膜温度错配应力的影响；（4）外力和薄膜材料的外部约束因温度变化而产生的薄膜内应力可以通过在本方法的有限元模型中施加相应的外载荷，按标准方法予以分析；（5）本发明采用有限元方法的灵活性可以用来分析复杂几何形状的薄膜材料，比如可以对每个单元指定不同的基体或薄膜的厚度，也可以在薄膜中按梯度或分层的方式引入可预测的薄膜应力；（6）采用板模型或壳体模型的有限元方法处理薄膜材料问题比三维有限元更为方便、高效和准确。
附图说明
由测量台1、测量仪2、计算机3和连接装置5、6和7构成的薄膜应力测量系统。
是一个采用一端固定方式安装的同时具有挠曲变形和中面内变形的薄膜材料。
是本发明测试和计算的流程图。
中板梁有限元网格中表示的计算至收敛时的迭代位移 。
中板梁有限元网格中表示的计算至收敛时的薄膜应力 。
中非线性数值反求方法确定的薄膜应力与其他方法确定的薄膜应力之间的对比。
中测量给出的薄膜材料变形的挠度 。
中的双层薄膜材料几何模型和有限元网格。
中预测出的第一层薄膜中的薄膜应力最大主应力。
中预测出的第二层薄膜中的薄膜应力最大主应力。
中的薄膜材料几何模型和有限元网格。
中的有限元节点中面内位移自由度 。
中的有限元节点中面内位移自由度 。
中预测出的薄膜正应力 。
中预测出的薄膜正应力 。
中预测出的第一层薄膜中的薄膜温度错配应力的最大主应力。
中预测出的第二层薄膜中的薄膜温度错配应力的最大主应力。
中节点曲率自由度 （）。
中预测出的第一层薄膜中的最大主应力。
中预测出的第一层薄膜中的最大主应力。
具体实施方式
以下通过三个实施例说明本发明的实施方式。
通过测量薄膜材料中面内的变形确定薄膜应力：考虑一个平面矩形基体材料，其尺寸为 ，杨氏模量为 、泊松比为 、密度为，在基体上生成一个厚 的均匀薄膜。基体因形成薄膜材料发生变形的挠度接近基体的厚度，因此属于非线性变形问题。运用本发明的方法通过测量的基体中面内变形位移预测非线性薄膜应力的步骤如下：
（1）用户将无薄膜时的基体和有薄膜时的薄膜材料分别安装于测量台上；
（2）用形状测量设备分别测量出无薄膜时基体的形状数据和有薄膜时基体的形状数据；
（3）用计算程序对比两种测量得到的形状数据求出薄膜材料形状的改变量；
（4）用计算程序对薄膜材料进行几何建模和有限元网格的剖分（见 ）；
（5）用计算程序通过薄膜材料形状的改变量计算出有限元节点上中面内位移自由度的测量值 ；
（6）如果需要做外力的修正，用计算程序计算薄膜材料在相同测试环境下由外力产生的有限元节点自由度的修正量 ；
（7） 用计算程序由 或与 一起给出节点中面内位移自由度 （见 和 ）；
（8） 用计算程序做非线性迭代的初始化：，，；
（9）用计算程序建立非线性薄膜材料有限元方程，由计算并形成；
（10）用计算程序通过非线性薄膜材料有限元方程由 计算 ；
（11）用计算程序建立薄膜应力方程，由和计算；
（12）用计算程序检查收敛条件 （为给定的允许误差），如果条件满足转（13），否则 转（9）；
（13）用计算程序输出薄膜应力 ，结束计算。
和分别给出了上述计算至收敛时的薄膜正应力和薄膜正应力。
通过测量薄膜材料经历的温度变化确定双层薄膜材料的薄膜温度错配应力：一个四分之一圆形状的氧化铝（）材料的基体，其直径为 ，两直角边为固支边界条件，在基体上沉积第一层钼（）薄膜，然后再沉积第二层铜（）薄膜。基体和薄膜的材料和几何特性参数见 。
取双层薄膜沉积时的 140 o C 温度为前期温度，则薄膜材料在后期温度 20 o C时的非线性薄膜温度错配应力预测步骤如下：
（1）用计算程序根据薄膜材料的平面几何尺寸建立薄膜材料的有限元网格；
（2）用计算程序通过计算机输入薄膜材料参数和温度变化参数；
（3）用计算程序选择系统的温度分析功能开始薄膜温度应力的预测；
（4）用计算程序建立和求解非线性薄膜材料温度错配应力有限元方程获得薄膜材料温度错配变形 ；
（5）用计算程序由薄膜材料温度错配变形 计算基体温度错配应变 ；
（6）用计算程序由基体温度错配应变 ，基体薄膜间温度错配应变 和薄膜间温度错配应变 计算薄膜温度错配应变 ；
（7）用计算程序由薄膜温度错配应变 计算薄膜温度错配应力 ；
（8）用计算程序输出预测结果，结束计算。
和 分别为预测得出的第一层钼（）薄膜和第二层铜（）薄膜的薄膜温度错配应力的最大主应力分布。从两个图中显示结果可以看出：（i）钼（）薄膜为受压状态，第二层铜（）受拉状态，这与前者的热膨胀系数远大于后者和基体的热膨胀系数相一致；（ii）钼（）的薄膜应力较小，这是由于其与较厚的基体材料具有相近的材料性质。本实施例表明，即使基体材料、薄膜材料和温度分布是均匀的，但是薄膜温度错配应力分布却可以是非均匀的，基体允许变形较大的地方薄膜温度错配应力较小，反之亦然。
通过测量薄膜材料基体表面的曲率变化确定薄膜应力：考虑一个初始形状为圆形平板的硅（）基体材料，其上首先形成第一层氧化铬（）薄膜，然后再形成第二层氮化硅（）薄膜。基体和薄膜的材料和几何特性参数见 。
将薄膜材料作为薄板结构，运用本发明的方法通过测量基体曲率变化预测薄膜应力的步骤如下：
（1）用户将无薄膜时的基体和有两层薄膜时的薄膜材料分别安装于测量台上；
（2）用形状测量设备分别测量出无薄膜时基体的曲率数据和有两层薄膜时基体的曲率数据；
（3）用计算程序对比两种测量得到的曲率数据求出薄膜材料曲率的改变量；
（4）用计算程序对薄膜材料进行几何建模和有限元网格的剖分；
（5）用计算程序通过薄膜材料曲率的改变量计算出有限元节点上曲率自由度的测量值 ；
（6）如果需要做外力的修正，用计算程序计算薄膜材料在相同测试环境下由外力产生的有限元节点曲率自由度的修正量 ；
（7）用计算程序由 或与 一起给出节点曲率自由度 （见 ）；
（8）选第一层氧化铬（）薄膜为主薄膜层，将第二层氮化硅（）薄膜的薄膜应力表达成为第一层氧化铬（）薄膜的薄膜应力，确定用于识别过程的由第一层氧化铬（）薄膜的单元薄膜应力组成的矢量矩阵 ；
（9）用计算程序做非线性迭代的初始化：，，；
（10）用计算程序建立非线性薄膜材料有限元方程，由 计算 并形成；
（11）用计算程序通过非线性薄膜材料有限元方程由 计算 ；
（12）用计算程序建立薄膜应力方程，由 和 计算 ；
（13）用计算程序检查收敛条件 （为给定的允许误差），如果条件满足转（14），否则 转（10）；
（14）由第一层氧化铬（）薄膜的薄膜应力 确定第二层氮化硅（）薄膜的薄膜应力；
（15）用计算程序输出薄膜应力各层薄膜的薄膜应力，结束计算。
和 分别给出了上述计算至收敛时第一层薄膜的最大主应力和第二层薄膜的最大主应力。
上述详细说明为针对本发明的三种较佳的可行实施例说明而已，惟该实施例并非用以限定本发明的申请范围，凡其它未脱离本发明所揭示的技艺精神下所完成的均等变化与修饰变更，均应包含于本发明所涵盖的专利范围中。

Claims (10)

1.一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，包括下列步骤：
(1)在测量台上安装薄膜材料；
(2)测量测量台上薄膜材料的形状变化；
(3)建立和使用被测薄膜材料的有限元模型；
(4)将测量得到的薄膜材料的形状变化转换为有限元网格节点自由度的测量值；
(5)由有限元网格节点自由度的测量值计算薄膜应力；
(6)通过测量或给定温度变化计算薄膜温度错配应力；
其特征在于：
(1)薄膜材料变形的测量量为薄膜材料的挠度、横截面转角或中面内位移；
(2)将基体和薄膜中的位移通过多层板结构运动学假设表达成挠度、横截面转角或中面内位移的函数，采用大挠度变形的非线性应变-位移几何关系；
(3)建立和使用一个以薄膜应力作为内力，以挠度、横截面转角和中面内位移作为运动变量的薄膜材料非线性有限元方程
[K(u)][u]＝[F][σ]，
其中，[u]为由挠度、转角和中面内位移组成的有限元节点自由度矢量矩阵；[K(u)]为非线性有限元刚度矩阵；[σ]为一般平面应力状态下的全部单元薄膜应力组成的矢量矩阵；[F]为将定义在单元内或单元节点上的单元薄膜应力转换为节点力的薄膜应力系数矩阵；薄膜材料的有限元模型采用三角形或四边形板单元；
(4)采用薄膜材料非线性有限元方程对薄膜应力的导数计算挠度、横截面转角和中面内位移对薄膜应力的灵敏度[S(u)]；
(5)建立和使用一个薄膜应力产生的变形节点自由度[u]与测量给出的变形节点自由度之间的最小二乘拟合条件
m i n [ σ ] { [ u - u ‾ ] T [ u - u ‾ ] } ,
通过该条件线性化处理得到一个用于迭代计算的薄膜应力方程
[ S ( u i ) ] T [ S ( u i ) ] [ σ i + 1 - σ i ] = [ S ( u i ) ] T [ u i - u ‾ ] ,
其中，下标i和i+1分别表示各量在i和i+1步迭代时的取值；
(6)通过如下方式迭代求解薄膜材料非线性有限元方程和薄膜应力方程：(i)初始化i＝0，[σi]＝0、[ui]＝0；(ii)通过薄膜材料非线性有限元方程由[σi]计算[ui]；(iii)通过薄膜材料非线性有限元方程由[ui]计算[S(ui)]；(iv)通过薄膜应力方程由[ui]和[S(ui)]计算[σi+1]；(v)若[ui]收敛于[σi+1]即为所求的薄膜应力，否则i→i+1，重复(ii)-(v)循环；
(7)通过建立和求解非线性温度错配应力有限元方程确定由挠度、横截面转角和中面内位移表示的薄膜材料温度错配变形由薄膜材料温度错配变形确定薄膜温度错配应力
2.如权利要求1所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：将测量得到的薄膜材料变形转换成为由挠度、转角和中面内位移表示的有限元节点自由度，给出关于全部或部分有限元节点自由度的测量值采用标准有限元法计算外力作用下有限元节点自由度的修正量在有限元节点自由度的测量值中消除修正量得到修正了外力影响的由测量给出的变形节点自由度
3.如权利要求1或权利要求2所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：薄膜材料为薄板的情况下，采用对挠度、横截面转角和中面内位移自由度的测量和计算，或将所述对横截面转角自由度的测量或计算转化为对挠度或曲率扭率变化自由度的测量或计算；在薄膜材料为中厚板的情况下，采用对挠度、横截面转角和中面内位移自由度的测量和计算。
4.如权利要求1所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：求解薄膜应力方程采用奇异值分解算法，或采用如下规则化方法
{ [ S ( u i ) ] T [ S ( u i ) ] + α [ H ] T [ H ] } [ σ i + 1 - σ i ] = [ S ( u i ) ] T [ u i - u ‾ ]
其中，[H]为规则化矩阵，α为规则化参数；以规则化函数的矩阵表示
Φ＝[σ]T[H]T[H][σ]
作为条件计算规则化矩阵[H]。
5.如权利要求1或权利要求4所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：对多层膜，通过相邻薄膜层之间界面处应变连续条件和各层薄膜的本构关系建立相邻薄膜层上的薄膜应力的关联条件；通过所述关联条件的传递性质将各层薄膜的薄膜应力表达成为一个选定的主薄膜层上的薄膜应力，由所述主薄膜层上的薄膜应力形成所述由用于识别过程的单元薄膜应力组成的矢量矩阵[σ]；由识别出的主薄膜层上的薄膜应力通过所述关联条件的传递关系计算各层薄膜的薄膜应力；或采用迭代规则化方法求解薄膜应力方程。
6.如权利要求1所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：建立薄膜温度错配应力与挠度、横截面转角和中面内位移表示的薄膜材料温度错配变形满足的薄膜材料非线性温度错配应力有限元方程
其中，为非线性有限元刚度矩阵，[F]为将定义在单元内或单元节点上的单元薄膜温度错配应力转换为节点力的薄膜应力系数矩阵；通过该方程由薄膜材料基体-薄膜间的总温度错配应变Δ计算薄膜材料温度错配变形其中，薄膜温度错配应力通过薄膜本构关系表达成为薄膜温度错配应变的函数，薄膜温度错配应变通过基体-薄膜界面处的变形协调条件表达成为薄膜材料基体-薄膜间的总温度错配应变Δ和基体温度错配应变的函数，而基体温度错配应变通过几何关系表达为薄膜材料温度错配变形的函数；由薄膜材料温度错配变形通过几何关系计算基体温度错配应变由薄膜材料基体-薄膜间的总温度错配应变Δ和基体温度错配应变通过基体-薄膜界面处的变形协调条件计算薄膜温度错配应变由薄膜温度错配应变和薄膜本构关系计算薄膜温度错配应力
7.如权利要求1或权利要求6所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：在薄膜材料为薄板的情况下，采用对挠度、横截面转角和中面内位移的计算，或将所述对横截面转角的计算转化为对挠度或曲率扭率变化的计算；在薄膜材料为中厚板的情况下，采用对挠度、横截面转角和中面内位移的计算；在多层膜的情况下，所述薄膜温度错配应变或通过基体-薄膜界面处和薄膜间界面处的变形协调条件表达成为薄膜材料基体-薄膜间温度错配应变Δ(0，1)、薄膜间温度错配应变Δ(i，i+1)和基体温度错配应变的函数；在多层膜的情况下，或由薄膜材料基体-薄膜间温度错配应变Δ(0，1)、薄膜间温度错配应变Δ(i，i+1)和基体温度错配应变通过基体-薄膜界面处或薄膜间界面处的变形协调条件计算所述薄膜温度错配应变非线性薄膜材料温度错配应力有限元模型采用三角形或四边形多层板壳单元。
8.一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试系统，包括：
(1)一个安装薄膜材料试件的测量台；
(2)一台对测量台上的薄膜材料形状进行测量的仪器；
(3)一台可控制测量仪器和处理薄膜材料测量数据的计算机；
(4)一套提供(1)、(2)和(3)中各设备之间互相通讯和连接条件的设备和部件；
其特征在于：
(1)系统通过测量仪测量薄膜材料的挠度、横截面转角或中面内位移；
(2)系统通过计算机和程序将基体和薄膜中的位移通过多层板结构的运动学假设表达成为挠度、横截面转角或中面内位移的函数，并采用大挠度变形的非线性应变-位移几何关系；
(3)系统通过计算机和程序建立和使用一个以薄膜应力作为内力，以挠度、横截面转角和中面内位移作为运动变量的薄膜材料非线性有限元方程
[K(u)][u]＝[F][σ]，
其中，[u]为由挠度、转角和中面内位移组成的有限元节点自由度矢量矩阵；[K(u)]为非线性有限元刚度矩阵；[σ]为一般平面应力状态下的全部单元薄膜应力组成的矢量矩阵；[F]为将定义在单元内或单元节点上的单元薄膜应力转换为节点力的薄膜应力系数矩阵；薄膜材料的有限元模型采用三角形或四边形板单元；
(4)系统通过计算机和程序采用薄膜材料非线性有限元方程对薄膜应力的导数计算挠度、横截面转角和中面内位移对薄膜应力的灵敏度[S(u)]；
(5)系统通过计算机和程序建立和使用一个薄膜应力产生的变形节点自由度[u]与测量给出的变形节点自由度之间的最小二乘拟合条件
m i n [ σ ] { [ u - u ‾ ] T [ u - u ‾ ] } ,
通过该条件线性化处理得到一个用于迭代计算的薄膜应力方程
[ S ( u i ) ] T [ S ( u i ) ] [ σ i + 1 - σ i ] = [ S ( u i ) ] T [ u i - u ‾ ] ,
其中，下标i和i+1分别表示各量在i和i+1步迭代时的取值；
(6)系统通过计算机和程序以如下方式迭代求解薄膜材料非线性有限元方程和薄膜应力方程：(i)初始化i＝0，[σi]＝0、[ui]＝0；(ii)通过薄膜材料非线性有限元方程由[σi]计算[ui]；(iii)通过薄膜材料非线性有限元方程由[ui]计算[S(ui)]；(iv)通过薄膜应力方程由[ui]和[S(ui)]计算[σi+1]；(v)若[ui]收敛于[σi+1]即为所求的薄膜应力，否则i→i+1，重复(ii)-(v)循环；
(7)系统通过计算机和程序建立和求解非线性温度错配应力有限元方程，确定由挠度、横截面转角和中面内位移表示的薄膜材料温度错配变形由薄膜材料温度错配变形确定薄膜温度错配应力
9.如权利要求8所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试系统，其特征在于：测量薄膜材料试件形状的仪器是能够对测量台上以不同允许方向进行安装的薄膜材料进行测量的光学干涉仪、表面轮廓仪或激光形貌扫描仪。
10.如权利要求8所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试系统，其特征在于：处理薄膜材料数据的计算机通过程序：
(1)将测量得到的薄膜材料变形转换成为由挠度、横截面转角和中面内位移表示的有限元节点自由度，给出关于全部或部分有限元节点自由度的测量值矢量
(2)采用标准有限元法计算外力作用下有限元节点自由度的修正量在有限元节点自由度的测量值中消除修正量得到修正了外力影响的由测量给出的变形节点自由度
(3)在薄膜材料为薄板的情况下，采用对挠度、横截面转角和中面内位移自由度的测量和计算，或将所述对横截面转角自由度的测量或计算转化为对挠度或曲率扭率变化自由度的测量或计算；在薄膜材料为中厚板的情况下，采用对挠度、横截面转角和中面内位移自由度的测量和计算；
(4)采用奇异值分解算法，或采用如下规则化方法
{ [ S ( u i ) ] T [ S ( u i ) ] + α [ H ] T [ H ] } [ σ i + 1 - σ i ] = [ S ( u i ) ] T [ u i - u ‾ ]
求解薄膜应力方程；其中，α为规则化参数，[H]为以如下矩阵表示的规则化函数
Φ＝[σ]T[H]T[H][σ]
所给出的规则化矩阵；
(5)对多层膜，通过相邻薄膜层之间界面处应变连续条件和各层薄膜的本构关系建立相邻薄膜层上的薄膜应力的关联条件；通过所述关联条件的传递性质将各层薄膜的薄膜应力表达成为一个选定的主薄膜层上的薄膜应力，由所述主薄膜层上的薄膜应力形成所述由用于识别过程的单元薄膜应力组成的矢量矩阵[σ]；由识别出的主薄膜层上的薄膜应力通过所述关联条件的传递关系计算各层薄膜的薄膜应力；或采用迭代规则化方法求解薄膜应力方程；
(6)建立薄膜温度错配应力与挠度、横截面转角和中面内位移表示的薄膜材料温度错配变形满足的薄膜材料非线性温度错配应力有限元方程
其中，为非线性有限元刚度矩阵，[F]为将定义在单元内或单元节点上的单元薄膜温度错配应力转换为节点力的薄膜应力系数矩阵；通过该方程由薄膜材料基体-薄膜间的总温度错配应变Δ计算薄膜材料温度错配变形其中，薄膜温度错配应力通过薄膜本构关系表达为薄膜错配应变的函数，薄膜错配应变通过变形协调条件表达成为薄膜材料基体-薄膜间的总温度错配应变Δ和基体温度错配应变的函数，而基体温度错配应变通过几何关系表达成为薄膜材料温度错配变形的函数；
(7)由薄膜材料温度错配变形通过几何关系计算基体温度错配应变由薄膜材料基体-薄膜间的总温度错配应变Δ和基体温度错配应变通过变形协调条件计算薄膜温度错配应变由薄膜温度错配应变和薄膜本构关系计算薄膜温度错配应力；
(8)在薄膜材料为薄板的情况下，采用对挠度、横截面转角和中面内位移的计算，或将所述对横截面转角的计算转化为对挠度或曲率扭率变化的计算；在薄膜材料为中厚板的情况下，采用对挠度、横截面转角和中面内位移的计算；在多层膜的情况下，所述薄膜温度错配应变或通过基体-薄膜界面处和薄膜间界面处的变形协调条件表达成为薄膜材料基体-薄膜间温度错配应变Δ(0，1)、薄膜间温度错配应变Δ(i，i+1)和基体温度错配应变的函数；在多层膜的情况下，或由薄膜材料基体-薄膜间温度错配应变Δ(0，1)、薄膜间温度错配应变Δ(i，i+1)和基体温度错配应变通过基体-薄膜界面处或薄膜间界面处的变形协调条件计算所述薄膜温度错配应变非线性薄膜材料温度错配应力有限元模型采用三角形或四边形多层板壳单元。
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