CN103218512A - 一种获取核燃料组件中子角通量密度的方法 - Google Patents

Abstract

一种获取核燃料组件中子角通量密度的方法，步骤为：1、计算基函数的值；2、计算基函数与角度变量的积分；3、建立组件内小波展开方程；4、处理组件边界条件；5、计算中子角通量密度；6、建立修正量的小波展开方程；7、修正中子角通量密度；8、判断中子通量密度值是否满足精度要求；本发明采用一维基函数展开中子角通量密度的幅角变量以降低计算规模；采用组件边界和组件内分别展开的方法，只在燃料组件边界上采用分区间展开，以避免冗余展开系数的计算；由于对中子角通量密度和修正量进行分别处理，只计算两次同等耦合规模的问题，因此相比简单提高展开阶数，本发明在达到相近计算精度的情况下，避免了提高精度伴随的耦合系数平方增长，提高计算效率。

Description

一种获取核燃料组件中子角通量密度的方法

技术领域

本发明涉及核燃料组件中子学分析方法领域，特别涉及一种获取核燃料组件中子角通量密度的方法。

背景技术

为了保证反应堆的安全和提高运行的经济性，需要提高核燃料组件参数计算的精度。其中，获取核燃料组件中中子角通量密度的分布是关键的环节之一。随着核燃料组件设计的复杂化和计算要求的提高，部分核燃料组件中中子角通量密度剧烈变化的现象被发现^[1]，从而加剧了获取高精度中子角通量密度的难度。

传统的中子角通量密度获取方法分为球谐函数方法和离散纵标方法。

球谐函数方法采用球谐函数展开中子角通量密度，最终获得中子通量密度的值及其随角度方向的分布。受球谐函数自身特点的限制，对于变化剧烈的中子角通量密度，只能获得近似分布且计算效率低。

离散纵标方法采用若干个离散方向表示中子角通量密度的分布，最终获得中子通量密度的值及其随离散角度方向的分布。该方法在某些情况下存在射线效应，适用范围受到限制，且同样不适用中子角通量密度变化剧烈的问题。

美国德州农工大学采用离散纵标方法分析过核燃料组件中中子角通量密度剧烈变化的现象，但该方法由于计算效率低，不具有实用性。小波展开方法可以更好地处理上述问题，但是同样受限于计算效率问题，应用于工程实践仍存在困难^[2-5]。传统小波展开方法采用基于提升技术的球小波^[2]，该方法展开系数多且耦合紧密，计算效率低。改进的小波展开方法采用Daubechies小波只展开幅角变量，从而一定程度上降低了耦合规模^[3]，但是，为了能够精确处理边界条件，采用了分区间的展开方式，结果导致在燃料组件内部区域存在大量的冗余展开系数需要求解，降低了效率。此外，由于只采用了简单提高阶数的方法处理复杂角度分布，在解决此类问题时所需的耦合量平方增长，大大降低计算效率，使得方法的实用性进一步受到效率的限制^[4-5]。

参考文献

1.Adams ML.Angular Dependence of the Fast Flux in Reactor Lattics[J].Trans Am Nucl Soc,2001,84:212-214

2.Buchan,A.G.,Pain C.C.,et al.,2005.Linear and quadratic octahedralwavelets on the sphere for angular discretisations of the Boltzmanntransport equation.Ann.Nucl.Energy32,1224-1273.

3.Cao L,Wu H.,Zheng Y..Solution of neutron transport equation usingDaubechies’wavelet expansion in the angular discretization.NuclearEngineering and Design,238(9),2292-2301,2008.

4.Zheng Y.,Wu H.,Cao L.An improved three-dimensional wavelet-basedmethod for solving the first-order Boltzmann transport equation.Annals ofNuclear Energy,36(9),1440-1449,2009.

5.Zheng Y.,Wu H.,Cao L.,Cho N.Z.Daubechies'Wavelet Method forAngular Solution of the Neutron Transport Equation.Nuclear Science andEngineering,164(2),87-104,2010.

发明内容

为解决上述现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种获取核燃料组件中子角通量密度的方法，本发明方法不仅能够弥补现有方法对角度方向上存在复杂变化的中子角通量密度获取能力的不足，而且相比传统方法，计算效率大大提高，具有工程实用价值。

为了达到上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种获取核燃料组件中子角通量密度的方法，包括如下步骤：

步骤1：计算基函数的值：选择具有正交性质的Daubechies小波尺度函数作为基函数，利用小波的二尺度关系计算基函数在二分点上的值；

步骤2：计算基函数与角度变量的积分：根据步骤1计算的基函数在二分点上的值，采用辛普森积分法计算基函数与角度变量的积分A_nn’和B_nn’，计算公式如下式（7）和（8），

$A_{{\mathrm{nn}}^{\′}}={\∫}_0^1\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{{j,n}^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ},\mathrm{\ξ}\∈\left[\mathrm{0,1}\right),n=1,2^j,n^{\′}=1,2^j---\left(7\right)$

$B_{{\mathrm{nn}}^{\′}}={\∫}_0^1\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{{j,n}^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ},\mathrm{\ξ}\∈\left[\mathrm{0,1}\right),n=1,2^j,n^{\′}=1,2^j---\left(8\right)$

式中：

Φ_j,n——j阶展开时的第n个Daubechies小波尺度函数；

步骤3：建立组件内小波展开方程：用周期化处理的Daubechies小波尺度函数展开组件内部的中子角通量密度，得到如下式（18），将式（18）回代入中子输运方程得到组件内部的小波展开方程，如下式（24），

${\mathrm{\ψ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})=\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)---\left(18\right)$

式中：

ψ_g,m(x,y,ξ)——第g个能群内第m个极角方向上的中子角通量密度；

ψ_g,mn(x,y)——第g个能群内第m个极角方向上中子角通量密度的第n个展开系数；

x,y,ξ分别为X-、Y-轴的位置坐标和幅角方向变量；

$\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{n{n}^{\′}}\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y)}{\∂x}+\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y)}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m{n}^{\′}}(x,y)$

（24）

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}\underset{n^{\′\′}=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}{n}^{\′\′}}^i(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left({\mathrm{\ξ}}^{\′}\right)d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,\mathrm{mn}}(x,y)$

其中：

$A_{n{n}^{\′}}={\∫}_0^1\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}$

$B_{n{n}^{\′}}={\∫}_0^1\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}$

步骤4：处理组件边界条件：根据核燃料组件的几何结构，将边界上的角度区间分解为多个子区间，建立各子区间内新的中子角通量密度表达式，如式（10），用区间化处理的Daubechies小波尺度函数展开边界上每个子区间内的中子角通量密度表达式并代入中子输运方程，得到组件边界子区间的小波展开方程，如下式（20），

式中：

ψ_g(x,y,μ,

)——表示变量分解后的中子角通量密度，其中x,y,μ,

分别表示位置的X、Y坐标和方向中的极角和幅角方向，g表示能群索引；

——表示第g群，第一个角度子区间内的中子角通量密度；

$-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^1(x,y)}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^1(x,y)}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m{n}^{\′}}^1(x,y)$

（20）

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}\underset{n^{\′\′}=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}{n}^{\′\′}}^i(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left({\mathrm{\ξ}}^{\′}\right)d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,\mathrm{mn}}(x,y)$

步骤5：计算中子角通量密度：采用菱形差分方法求解小波展开方程中全部的展开系数，展开系数与基函数的乘积即为组件的中子角通量密度；

步骤6：建立修正量的小波展开方程：建立方法重复步骤（1）-（5），区别在于各步骤中将针对中子角通量密度的展开直接替换为针对修正量的展开，如下式（28），展开基函数选取Daubechies小波函数替换Daubechies小波尺度函数；

${\mathrm{\ϵ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})=\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Ψ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)---\left(28\right)$

式中：

ε_g,m(x,y,ξ)——第g群，第m个离散方向上的中子角通量密度修正量；

ε_g,mn(x,y)——第g群，第m个离散方向上的中子角通量密度修正量展开系数；

ψ_j,n——j阶展开时的第n个Daubechies小波函数；

步骤7：修正中子角通量密度：在获得修正量后采用如式（30）的修正关系对中子角通量密度进行修正，

${\mathrm{\ψ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})=\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)+\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Ψ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}---\left(30\right)$

式中，

ψ_g,m(x,y,ξ)——第g群第m个极角方向上的中子角通量密度；

ψ_g,mn(x,y)——第g群第m个极角方向上的中子角通量密度的第n个展开系数；

ε_g,mn(x,y)——第g群第m个极角方向上的中子角通量密度修正量的第n个展开系数；

步骤8：判断中子通量密度值是否满足精度要求；如果中子角通量密度修正量的大小在量级上小于中子角通量密度的大小超过2个数量级，则满足精度要求，输出结果并结束计算，否则，采用高一阶的展开重新进行计算，重复步骤（2）-（7）直到满足计算精度的要求。

步骤4所述的根据核燃料组件的几何结构，将边界上的角度区间分解为多个子区间，对于方形组件是以90°为区间宽度将角度区间划分为4个子区间。

本发明和现有技术相比，具有如下优点：

考虑核燃料组件中中子角通量分布的实际特点，本发明采用一维基函数展开中子角通量密度的幅角变量以降低计算规模。采用组件边界和组件内分别展开的方法，只在燃料组件边界上采用分区间展开，以避免组件内部出现分区间导致的冗余展开系数，减小计算量。利用小波的特点，采用修正的方式提高计算精度，通过选择不同的基函数，在相同阶数下对修正量进行展开并以此修正原有结果，由于对中子角通量密度和修正量进行分别处理，只计算两次同等耦合规模的问题，因此相比简单提高展开阶数，该方法在达到相近计算精度的情况下，避免了提高精度伴随的耦合系数的平方增长，提高了计算效率。

附图说明

图1是计算流程图。

图2是模拟效果图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明步骤进行详细说明。

如图1所示，本发明一种获取核燃料组件中子角通量密度的方法，包括如下步骤：

1：计算基函数的值：

构造满足计算要求的基函数：

Daubechies小波尺度函数为：

${\mathrm{\Ψ}}_{j,k}\left(x\right)=\underset{l=2k-2N+2}{\overset{2k+1}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^l{c}_{1-l+2k}{\mathrm{\Φ}}_{j+1,k}\left(x\right)---\left(1\right)$

式中：

ψ_j,k——j阶展开时的第k个小波函数；

Φ_j,k——j阶展开时的第k个尺度函数；

c——Daubechies系数；

利用小波二尺度关系构造有限区间上的基函数：

在左边界处：

${\mathrm{\Φ}}_{j,k}\left(x\right)={\mathrm{\Φ}}_{j,k}^{\mathrm{left}}\left(x\right),0\≤k\≤N-1---\left(2\right)$

式中：——j阶展开时的第k个左边界上的小波函数。

在右边界处：

${\mathrm{\Φ}}_{j,k}\left(x\right)={\mathrm{\Φ}}_{j,k-2^n}^{\mathrm{right}}(x-1),2^j-N\≤k\≤2^j-1---\left(3\right)$

式中：

——j阶展开时的第k个右边界上的小波函数。

在区间内部：

${\mathrm{\Φ}}_{j,k}\left(x\right)={\mathrm{\Φ}}_{j,k}\left(x\right),N\≤k\≤2^j-N-1---\left(4\right)$

计算基函数的值，由于Daubechies小波函数具有紧支性，可以利用二尺度关系构造特征值矩阵计算整数点上的函数值，并利用二尺度关系构造递推形式，求解二分点上的函数值；实现如下：

$v\left(x\right)\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Φ}\left(x\right)\\ \mathrm{\Φ}(x+1)\\ \mathrm{\Φ}(x+2)\end{array}\right]---\left(5\right)$

$\left[\begin{array}{cc}v\left(x\right)=\mathrm{Ax}\left(2x\right)& 0\≤x\≤\frac{1}{2}\\ v\left(x\right)=\mathrm{Bv}(2x-1)& \frac{1}{2}\≤x\≤1\end{array}\right]---\left(6\right)$

式中：

ν(x)——尺度函数组成的向量；

A,B——Daubechies系数构成的系数矩阵；

2：计算基函数与角度变量的积分：根据步骤1计算的基函数在二分点上的值，采用辛普森积分法计算任意形式的基函数与角度变量的积分A_nn’和B_nn’，计算公式如下式（7）和（8），

$A_{{\mathrm{nn}}^{\′}}={\∫}_0^1\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{{j,n}^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ},\mathrm{\ξ}\∈\left[\mathrm{0,1}\right),n=1,2^j,n^{\′}=1,2^j---\left(7\right)$

$B_{{\mathrm{nn}}^{\′}}={\∫}_0^1\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{{j,n}^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ},\mathrm{\ξ}\∈\left[\mathrm{0,1}\right),n=1,2^j,n^{\′}=1,2^j---\left(8\right)$

式中：

Φ_j,n——j阶展开时的第n个Daubechies小波尺度函数；

3：建立组件内和组件边界的小波展开方程：

中子输运方程角度变量离散：

中子输运方程的形式为：

$\mathrm{\Ω}\▿\mathrm{\ψ}(r,E,\mathrm{\Ω})+{\mathrm{\Σ}}_t(r,E)\mathrm{\ψ}(r,E,\mathrm{\Ω})=\mathrm{S\ψ}(r,E,\mathrm{\Ω})+q(r,E,\mathrm{\Ω})---\left(9\right)$

式中，

ψ(r,E,Ω)——中子角通量密度，其中r,E,Ω分别表示位置、中子能量、方向自变量；

Σ_t(r,E)——中子宏观总截面；

Sψ(r,E,Ω)——散射中子源项；

q(r,E,Ω)——外中子源项；

根据方形核燃料组件的结构，以90°为区间宽度将角度区间划分为4个子区间，获得各子区间内新的中子角通量密度表达式为：

式中：

——边界上第一子区间[0,90°]内，第g个能群内的中子角通量密度；

同时，将组件内部的中子角通量密度表示为：

首先利用离散纵标方法进行极角变量的离散：

利用

${\∫}_{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\μ}}_m}{\mathrm{\ψ}}_g(x,y,\mathrm{\μ},\mathrm{\ξ})\mathrm{d\μ}={\mathrm{\ω}}_m{\mathrm{\ψ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})---\left(12\right)$

式中：

ω_m——高斯积分权重；

ψ_g,m(x,y,ξ)——第g群，第m个离散方向上的中子角通量密度；

在组件边界上，第一角度子区间内的中子输运方程可以表示为：

$-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right)\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,m}^1(x,y,\mathrm{\ξ})}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right)\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,m}^1(x,y,\mathrm{\ξ})}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m}^1(x,y,\mathrm{\ξ})---\left(13\right)$ $=\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}}^i(x,y,{\mathrm{\ξ}}^{\′})d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})$

第二角度子区间内的中子输运方程可以表示为：

$-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right)\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,m}^2(x,y,\mathrm{\ξ})}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right)\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,m}^2(x,y,\mathrm{\ξ})}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m}^2(x,y,\mathrm{\ξ})---\left(14\right)$

$=\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}}^i(x,y,{\mathrm{\ξ}}^{\′})d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})$

第三角度子区间内的中子输运方程可以表示为：

$\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right)\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,m}^3(x,y,\mathrm{\ξ})}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right)\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,m}^3(x,y,\mathrm{\ξ})}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m}^3(x,y,\mathrm{\ξ})---\left(15\right)$

$=\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}}^i(x,y,{\mathrm{\ξ}}^{\′})d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})$

第四角度子区间内的中子输运方程可以表示为：

$\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right)\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,m}^4(x,y,\mathrm{\ξ})}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right)\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,m}^4(x,y,\mathrm{\ξ})}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m}^4(x,y,\mathrm{\ξ})---\left(16\right)$

$=\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}}^i(x,y,{\mathrm{\ξ}}^{\′})d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})$

在组件内部，中子输运方程可以表示为：：

$\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right)\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right)\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})---\left(17\right)$

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}}^i(x,y,{\mathrm{\ξ}}^{\′})d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})$

将组件内部的中子角通量密度表示为基函数展开的形式：

${\mathrm{\ψ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})=\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)---\left(18\right)$

式中：

ψ_g,mn(x,y)——第g群，第n个中子角通量密度展开系数；

将组件边界的中子角通量密度表示为基函数展开的形式：

${\mathrm{\ψ}}_{g,m}^1(x,y,\mathrm{\ξ})=\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^1(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)---\left(19\right)$

式中：

——第g群，边界上第一个子区间内，第n个中子角通量密度展开系数；

将边界上的小波展开式代入边界上各子区间内的中子输运方程（13）-（16），得到各子区间内边界角度变量离散后的方程形式：

第一角度子区间内的小波展开方程为：

$-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^1(x,y)}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^1(x,y)}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m{n}^{\′}}^1(x,y)---\left(20\right)$

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}\underset{n^{\′\′}=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}{n}^{\′\′}}^i(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left({\mathrm{\ξ}}^{\′}\right)d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,\mathrm{mn}}(x,y)$

第二角度子区间内的小波展开方程为：

$-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^2(x,y)}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^2(x,y)}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m{n}^{\′}}^2(x,y)$

（21）

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}\underset{n^{\′\′}=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}{n}^{\′\′}}^i(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left({\mathrm{\ξ}}^{\′}\right)d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,\mathrm{mn}}(x,y)$

第三角度子区间内的小波展开方程为：

$-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^3(x,y)}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^3(x,y)}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m{n}^{\′}}^3(x,y)$

（22）

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}\underset{n^{\′\′}=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}{n}^{\′\′}}^i(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left({\mathrm{\ξ}}^{\′}\right)d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,\mathrm{mn}}(x,y)$

第四角度子区间内的小波展开方程为：

$-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^4(x,y)}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^4(x,y)}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m{n}^{\′}}^4(x,y)$

（23）

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}\underset{n^{\′\′}=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}{n}^{\′\′}}^i(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left({\mathrm{\ξ}}^{\′}\right)d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,\mathrm{mn}}(x,y)$

将组件内部的小波展开式代入中子输运方程（17），得到组件内部角度变量离散后的方程形式即组件内小波展开方程：

$\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y)}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y)}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m{n}^{\′}}(x,y)$

（24）

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}\underset{n^{\′\′}=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}{n}^{\′\′}}^i(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left({\mathrm{\ξ}}^{\′}\right)d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,\mathrm{mn}}(x,y)$

其中：

$A_{n{n}^{\′}}={\∫}_0^1\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}$

$B_{n{n}^{\′}}={\∫}_0^1\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}$

4：计算中子角通量密度：采用菱形差分方法求解小波展开方程中全部的展开系数，展开系数与基函数的乘积即为组件的中子角通量密度；

具体如下：

利用差商近似表示方程中的导数：

$\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y)}{\∂x}{|}_{x=x_p,y=y_q}\≈\frac{{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn},p+\frac{1}{2}q}-{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn},p-\frac{1}{2}q}}{x_{p+\frac{1}{2}}-x_{p-\frac{1}{2}}}---\left(25\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y)}{\∂y}{|}_{x=x_p,y=y_q}\≈\frac{{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn},\mathrm{pq}+\frac{1}{2}}-{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn},\mathrm{pq}-\frac{1}{2}}}{y_{q+\frac{1}{2}}-y_{q-\frac{1}{2}}}---\left(26\right)$

获得关于展开系数的代数关系式：

$2\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}[\mathrm{\Δy}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{{\mathrm{nn}}^{\′}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn},\mathrm{pq}}+\mathrm{\Δx}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{{\mathrm{nn}}^{\′}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn},\mathrm{pq}}]+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}{\mathrm{\ψ}}_{g,m{n}^{\′},\mathrm{pq}}\mathrm{\Δx\Δy}$

（27）

$=Q_{{g,\mathrm{mn}}^{\′}}(x,y)\mathrm{\Δx\Δy}-2\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}[\mathrm{\Δy}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{{\mathrm{nn}}^{\′}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn},p\±\frac{1}{2}q}+\mathrm{\Δx}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{{\mathrm{nn}}^{\′}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn},\mathrm{pq}\±\frac{1}{2}}]$

利用高斯消去法求解全部展开系数构成的矩阵，最终获得每个空间网格点上的展开系数；

5：建立修正量的小波展开方程并修正中子角通量密度：建立方法重复步骤1-4，区别在于各步骤中将针对中子角通量密度的展开直接替换为针对修正量的展开，展开基函数选取Daubechies小波函数替换Daubechies小波尺度函数；

具体如下：

对于需要局部细化的区域，采用Daubechies小波函数作为基函数，对中子角通量密度的修正量进行同阶展开：

${\mathrm{\ϵ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})=\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Ψ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)---\left(28\right)$

式中：

ε_g,m(x,y,ξ)——第g群，第m个离散方向上的中子角通量密度修正量；

ε_g,mn(x,y)——第g群，第m个离散方向上的中子角通量密度修正量展开系数；

建立修正量的小波展开方程：

$\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{{\mathrm{nn}}^{\′}}^{\′}\frac{\∂{\mathrm{\ϵ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y)}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{{\mathrm{nn}}^{\′}}^{\′}\frac{\∂{\mathrm{\ϵ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y)}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ϵ}}_{g,m{n}^{\′}}(x,y)$

（29）

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}\underset{n^{\′\′}=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ϵ}}_{g^{\′},m^{\′}{n}^{\′\′}}^i(x,y){\mathrm{\Ψ}}_{j,n^{\′}}\left({\mathrm{\ξ}}^{\′}\right)d{\mathrm{\ξ}}^{\′}$

其中，

$A_{n{n}^{\′}}={\∫}_0^1\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Ψ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Ψ}}_{j,n^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}$

$B_{n{n}^{\′}}={\∫}_0^1\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Ψ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Ψ}}_{j,n^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}$

修正后的中子角通量密度则表示为：

${\mathrm{\ψ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})=\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)+\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Ψ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}---\left(30\right)$

式中，

ψ_g,m(x,y,ξ)——第g群第m个极角方向上的中子角通量密度；

ψ_g,mn(x,y)——第g群第m个极角方向上的中子角通量密度的第n个展开系数；

ε_g,mn(x,y)——第g群第m个极角方向上的中子角通量密度修正量的第n个展开系数；

6：判断中子通量密度值是否满足精度要求；如果中子角通量密度修正量的大小在量级上小于中子角通量密度的大小超过2个数量级，则满足精度要求，输出结果并结束计算，否则，采用高一阶的展开重新进行计算，重复步骤（2）-（7）直到满足计算精度的要求。

如图2所示，为本发明方法模拟效果图，该问题为美国德州农工大学提出的中子角通量密度在核燃料组件内分布急剧变化的问题，采用离散纵标方法和传统的小波方法均可以模拟出如图所示的具有复杂分布的中子角通量密度，其中离散纵标方法需要求解512个方程，传统小波方法需要求解128个方程，其中每32个耦合，由于小波方程间耦合关系更加复杂，其计算效率相比离散纵标方法提高有限，而采用本发明的方法虽然仍需求解128个方程，但是每16个耦合，简化的耦合关系可以将传统小波展开方法的计算效率提高10倍以上。

Claims (2)

1.一种获取核燃料组件中子角通量密度的方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：计算基函数的值：选择具有正交性质的Daubechies小波尺度函数作为基函数，利用小波的二尺度关系计算基函数在二分点上的值；

步骤2：计算基函数与角度变量的积分：根据步骤1计算的基函数在二分点上的值，采用辛普森积分法计算基函数与角度变量的积分A_nn’和B_nn’，计算公式如下式（7）和（8），

$A_{{\mathrm{nn}}^{\′}}={\∫}_0^1\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{{j,n}^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ},\mathrm{\ξ}\∈\left[\mathrm{0,1}\right),n=1,2^j,n^{\′}=1,2^j---\left(7\right)$

$B_{{\mathrm{nn}}^{\′}}={\∫}_0^1\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{{j,n}^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ},\mathrm{\ξ}\∈\left[\mathrm{0,1}\right),n=1,2^j,n^{\′}=1,2^j---\left(8\right)$

式中：

Φ_j,n——j阶展开时的第n个Daubechies小波尺度函数；

步骤3：建立组件内小波展开方程：用周期化处理的Daubechies小波尺度函数展开组件内部的中子角通量密度，得到如下式（18），将式（18）回代入中子输运方程得到组件内部的小波展开方程，如下式（24），

${\mathrm{\ψ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})=\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)---\left(18\right)$

式中：

ψ_g,m(x,y,ξ)——第g个能群内第m个极角方向上的中子角通量密度；

ψ_g,mn(x,y)——第g个能群内第m个极角方向上中子角通量密度的第n个展开系数；

x,y,ξ分别为X-、Y-轴的位置坐标和幅角方向变量；

$\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{n{n}^{\′}}\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y)}{\∂x}+\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y)}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m{n}^{\′}}(x,y)$

（24）

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}\underset{n^{\′\′}=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}{n}^{\′\′}}^i(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left({\mathrm{\ξ}}^{\′}\right)d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,\mathrm{mn}}(x,y)$

其中：

$A_{n{n}^{\′}}={\∫}_0^1\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}$

$B_{n{n}^{\′}}={\∫}_0^1\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}$

步骤4：处理组件边界条件：根据核燃料组件的几何结构，将边界上的角度区间分解为多个子区间，建立各子区间内新的中子角通量密度表达式，如式（10），用区间化处理的Daubechies小波尺度函数展开边界上每个子区间内的中子角通量密度表达式并代入中子输运方程，得到组件边界子区间的小波展开方程，如下式（20），

式中：

ψ_g(x,y,μ,

)——表示变量分解后的中子角通量密度，其中x,y,μ,分别表示位置的X、Y坐标和方向中的极角和幅角方向，g表示能群索引；

——表示第g群，第一个角度子区间内的中子角通量密度；

$-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^1(x,y)}{\∂x}-\sqrt{1-{{\mathrm{\μ}}_m}^2}\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{n{n}^{\′}}\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}^1(x,y)}{\∂y}+{\mathrm{\Σ}}_{t,g}(x,y){\mathrm{\ψ}}_{g,m{n}^{\′}}^1(x,y)$

（20）

$=2\underset{g^{\′}=1}{\overset{G}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m^{\′}=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{m^{\′}}\underset{n^{\′\′}=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\Σ}}_{g^{\′}-g}(r,{\mathrm{\Ω}}^{\′}\→\mathrm{\Ω}){\mathrm{\ψ}}_{g^{\′},m^{\′}{n}^{\′\′}}^i(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n^{\′}}\left({\mathrm{\ξ}}^{\′}\right)d{\mathrm{\ξ}}^{\′}+q_{g,\mathrm{mn}}(x,y)$

步骤5：计算中子角通量密度：采用菱形差分方法求解小波展开方程中全部的展开系数，展开系数与基函数的乘积即为组件的中子角通量密度；

步骤6：建立修正量的小波展开方程：建立方法重复步骤（1）-（5），区别在于各步骤中将针对中子角通量密度的展开直接替换为针对修正量的展开，如下式（28），展开基函数选取Daubechies小波函数替换Daubechies小波尺度函数；

${\mathrm{\ϵ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})=\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Ψ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)---\left(28\right)$

式中：

ε_g,m(x,y,ξ)——第g群，第m个离散方向上的中子角通量密度修正量；

ε_g,mn(x,y)——第g群，第m个离散方向上的中子角通量密度修正量展开系数；

ψ_j,n——j阶展开时的第n个Daubechies小波函数；

步骤7：修正中子角通量密度：在获得修正量后采用如式（30）的修正关系对中子角通量密度进行修正，

${\mathrm{\ψ}}_{g,m}(x,y,\mathrm{\ξ})=\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ψ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Φ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)+\underset{n=1}{\overset{2^j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{g,\mathrm{mn}}(x,y){\mathrm{\Ψ}}_{j,n}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{d\ξ}---\left(30\right)$ 式中，

ψ_g,m(x,y,ξ)——第g群第m个极角方向上的中子角通量密度；

ψ_g,mn(x,y)——第g群第m个极角方向上的中子角通量密度的第n个展开系数；

ε_g,mn(x,y)——第g群第m个极角方向上的中子角通量密度修正量的第n个展开系数；

步骤8：判断中子通量密度值是否满足精度要求；如果中子角通量密度修正量的大小在量级上小于中子角通量密度的大小超过2个数量级，则满足精度要求，输出结果并结束计算，否则，采用高一阶的展开重新进行计算，重复步骤（2）-（7）直到满足计算精度的要求。

2.根据权利要求1所述的一种获取核燃料组件中子角通量密度的方法，其特征在于：步骤4所述的根据核燃料组件的几何结构，将边界上的角度区间分解为多个子区间，对于方形组件是以90°为区间宽度将角度区间划分为4个子区间。

Images